Cardinalidad de Conjuntos de Funciones

CardinalidadConjuntos de Funciones

Hans Muller Santa Cruz

http://hansmullersantacruz.blogspot.com

Carreras de Matematica

Universidad Mayor de San Simon

Cardinalidad, 15 de noviembre de 2012– p. 1/20

Introducción

Introducción

Intuitivamente:

Introducción

Intuitivamente:

la Cardinalidad de un conjunto

Introducción

Intuitivamente:


se relaciona con el número de elementos del conjunto.

Introducción

Intuitivamente:



El concepto es claro para conjuntos finitos,

Introducción

Intuitivamente:



El concepto es claro para conjuntos finitos,

pero no lo es para conjuntos no finitos.


Introducción

Introducción

Una de las primeras cosas que el Hombre ha aprendido es:

Introducción


Contar.

Introducción


Contar.

Y contar un conjunto A es encontrar

Introducción


Contar.


un conjunto {1, 2, . . . , n} ⊂ N y

una biyección f : {1, 2, . . . , n} → A.

Introducción


Contar.


un conjunto {1, 2, . . . , n} ⊂ N y

una biyección f : {1, 2, . . . , n} → A.

De esta manera, se dice que A tiene n elementos o

su cardinal, card(A) = |A| = n


Introducción


Contar.

Introducción


Contar.

Decidir si un conjunto A es más numeroso que un conjunto

B

Introducción


Contar.


B

y un conjunto A es menos numeroso que B, si se puede

encontrar una inyección f : A → B

Introducción


Contar.


B



A oo //

f

��

{1, 2, . . . , n}

��

B oo // {1, 2, . . . ,m}

Introducción


Contar.


B



A oo //

f

��

{1, 2, . . . , n}

��

B oo // {1, 2, . . . ,m}

es decir, card(A) ≤ card(B).


Introducción

Introducción

En esta exposición se abordará:

Introducción


la cardinalidad de conjuntos de funciones

Introducción



AB = {f : B → A} =∏

i∈B

A

Introducción



AB = {f : B → A} =∏

i∈B

A

para A o B conjuntos no finitos.


Historia

Historia

Georg Cantor

Historia

Georg Cantor

(San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle,

6 de enero de 1918) fue un matemático ale-

mán, inventor con Dedekind y Frege de la teo-

ría de conjuntos, que es la base de las mate-

máticas modernas. Gracias a sus atrevidas in-

vestigaciones sobre los conjuntos infinitos fue

el primero capaz de formalizar la noción de in-

finito bajo la forma de los números transfinitos

(cardinales y ordinales).


Historia

Georg Cantor

En cuanto al estudio de los conjuntos infini-

tos, que fue considerado por su maestro Kro-

necker como una locura matemática, Cantor

descubrió que aquellos no tienen siempre el

mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por

ejemplo, el conjunto de los racionales es enu-

merable, es decir, del mismo tamaño que el

conjunto de los naturales, mientras que el de

los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios

infinitos, más grandes los unos que los otros.

Entre estos infinitos, los hay tan grandes que

no tienen correspondencia en el mundo real,

asimilado al espacio vectorial R3.


Historia

Georg Cantor

Su mente luchó contra varias paradojas de la

teoría de los conjuntos, que parecían invalidar

toda su teoría (tornarla inconsistente o contra-

dictoria en el sentido de que una cierta pro-

piedad podría ser a la vez cierta y falsa). Ade-

más, trató durante muchos años de probar la

hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que

es imposible, y que tiene que ser aceptada (o

rehusada) como axioma adicional de la teoría.

El constructivismo negará este axioma, entre

otras cosas, desarrollando toda una teoría ma-

temática alternativa a la matemática moderna.


Elementos Teóricos

Elementos Teóricos

Sean A y B conjuntos, se dice:

Elementos Teóricos


A es equipotente a B, A ∼ B, si existe f : A → B biyectiva.

Si es el caso, A y B tienen el mismo cardinal

card(A) = card(B)

Elementos Teóricos




card(A) = card(B)

A es menos numeroso que B, A - B, si existe f : A → B

inyectiva.

Elementos Teóricos




card(A) = card(B)


inyectiva.

A es contable si E ∼ {1, 2, . . . , n}, para cierto n ∈ N.

Elementos Teóricos




card(A) = card(B)


inyectiva.


A es enumerable si A ∼ N y card((N) = ℵ0

Elementos Teóricos




card(A) = card(B)


inyectiva.


A es enumerable si A ∼ N y card((N) = ℵ0

A es a lo más enumerable si A es contable o A es

enumerable.


Elementos Teóricos

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos enumerables:

Elementos Teóricos


A y B enumerables, entonces A ∪B enumerable

Elementos Teóricos



{Ai}i∈N familia enumerable de conjuntos enumerables,

entonces∞⊔

n=1

An ∼ N

N ×N ∼ N y

n∏

k=1

N ∼ N, para n ∈ N.

Elementos Teóricos



{Ai}i∈N familia enumerable de conjuntos enumerables,

entonces∞⊔

n=1

An ∼ N

N ×N ∼ N y

n∏

k=1

N ∼ N, para n ∈ N.

Pero, NN =∏

k∈N

N ∼ N 6∼ N


Elementos Teóricos

Para el tratamiento de conjuntos no finitos, son equivalentes:

Elementos Teóricos


Axioma de la Elección.- Toda familia no vacia {Ai}i∈I de

subconjuntos no vacios de un conjunto A admite una función de

elección

f : I → A

i 7→ ai ∈ Ai.

Lema de Zorn.- Todo conjunto no vacio con orden inductivo

admite un elemento maximal.

Teorema del Buen Orden.- Todo conjunto puede ser dotado de

una relación de buen orden

Elementos Teóricos


Axioma de la Elección.- Toda familia no vacia {Ai}i∈I de

subconjuntos no vacios de un conjunto A admite una función de

elección

f : I → A

i 7→ ai ∈ Ai.

Lema de Zorn.- Todo conjunto no vacio con orden inductivo

admite un elemento maximal.

Teorema del Buen Orden.- Todo conjunto puede ser dotado de

una relación de buen orden

Estos tres enunciados son las herramientas básicas para

construir la teoría de los números cardinales transfinitos


Elementos Teóricos

Otras herramientas útiles:

Elementos Teóricos


Teorema de Equivalencia de Bernstein.- Sean A y B conjuntos

f : A → B, g : B → A funciones inyectivas; entonces, existe una

biyección entre A y B

Elementos Teóricos


Teorema de Equivalencia de Bernstein.- Sean A y B conjuntos

f : A → B, g : B → A funciones inyectivas; entonces, existe una

biyección entre A y B

Caracterización de conjuntos infinitos.- Son equivalentes las

siguientes condiciones para un conjunto infinito A:

N - A,

Para todo n ∈ N, A 6∼ {1, 2, . . . , n}

Existe A′ $ A, tal que A′ ∼ A.


Elementos Teóricos

Elementos Teóricos

Se muestra para conjuntos infinitos:

Elementos Teóricos


A - B, entonces A ∪B ∼ B

Elementos Teóricos


A - B, entonces A ∪B ∼ B

{Ai}i∈A familia de conjuntos con Ai - A, entonces

⊔

i∈A

Ai - A

A×A ∼ A y

n∏

k=1

A ∼ A, para n ∈ N.


Cardinales de Conjuntos Potencia


Para un conjunto infinito E, E ≺ P(E) = {E′|E′ ⊂ E}



Demostación.- Por el absurdo, suponemos que existe una

biyección f : E → P(E)





Construimos el subconjunto E′ de E, bajo la siguiente regla:

x ∈ E′ si x 6∈ f(x), x 6∈ E′ si x ∈ f(x).





Construimos el subconjunto E′ de E, bajo la siguiente regla:

x ∈ E′ si x 6∈ f(x), x 6∈ E′ si x ∈ f(x).

Por construcción no existe x ∈ E, tal que f(x) = E′, lo que

contradice la hipóteis que f es biyectiva.


Conjuntos de Funciones


Sea E un conjunto, consideramos 2E = {0, 1}E



Sea A ⊂ E, recordamos

χA(x) =

1 si x ∈ A

0 si x 6∈ A

la función característica del subconjunto A.



Sea A ⊂ E, recordamos

χA(x) =

1 si x ∈ A

0 si x 6∈ A

la función característica del subconjunto A.

Deducimos que 2E ∼ P(E).




Sean A, E conjuntos con A ≺ E.



Tenemos P(E) ∼ 2E - AE - EE .




Ahora bien EE ∼ G(E) = {Γ ⊂ E × E|Γ grafo función}





G(E) - P(E × E) ∼ P(E).





G(E) - P(E × E) ∼ P(E).

Por lo tanto, para A - E, 2E ∼ AE ∼ EE ∼ P(E).


Conjuntos de funciones


2N es el conjunto de sucesiones que toman valores 1 o 0.

Sea x ∈ 2N, consideramos la aplicación

2N → [0, 1] ⊂ R

x 7→+∞∑

k=1

x(k)

2k.




2N → [0, 1] ⊂ R

x 7→+∞∑

k=1

x(k)

2k.

Esto muestra que [0, 1] ∼ P(N) y




2N → [0, 1] ⊂ R

x 7→+∞∑

k=1

x(k)

2k.


como [0, 1] ∼ R, tenemos R ∼ P(N).




2N → [0, 1] ⊂ R

x 7→+∞∑

k=1

x(k)

2k.


como [0, 1] ∼ R, tenemos R ∼ P(N).

card(N) = ℵ0, card(R) = ℵ1


Hipótesis del Continuo


Hipótesis del Continuo.- Sea E un conjunto, si

N - E - R, entonces E ∼ N o E ∼ R.


Hipótesis del Continuo.- Sea E un conjunto, si

N - E - R, entonces E ∼ N o E ∼ R.

Hipótesis del Continuo General.- Sean A y E conjuntos,

si E - A - P(E), entonces A ∼ E o A ∼ P(E).


Más Conjuntos de Funciones


Sea E un conjunto, supongamos que existe E′ tal que

P(E′) ∼ E′E′

∼ E



P(E′) ∼ E′E′

∼ E

B otro conjunto, con B ≺ E



P(E′) ∼ E′E′

∼ E


Por la hipótesis del continuo general, B - E′



P(E′) ∼ E′E′

∼ E



Ahora bien, EB ∼ (E′E′

)B = E′(E′×B) ∼ E′E

′

∼ E.



P(E′) ∼ E′E′

∼ E




)B = E′(E′×B) ∼ E′E

′

∼ E.



P(E′) ∼ E′E′

∼ E




)B = E′(E′×B) ∼ E′E

′

∼ E.



P(E′) ∼ E′E′

∼ E




)B = E′(E′×B) ∼ E′E

′

∼ E.

B ≺ E ⇒ EB ∼, cuando E = P(E′).


Finalmente

Esta presentación ha sido hecha con Prosper

Finalmente


Muchas Gracias

Finalmente


Muchas GraciasAlguna Pregunta


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