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CARICO DI PUNTA
Prof. Roma Carmelo
La formula della compressione semplice è valida solo in presenza di un solido corto o tozzo , figura A. Quando un solido è assialmente snello o lungo tende a manifestare fenomeni di instabilità alla flessione laterale figura B, questo è dovuto a vari motivi, il
carico non perfettamente assiale, la non perfetta isotropia del materiale, ecc..
P P
P
( A ) ( B)
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La formula di Eulero è valida se la snellezza data dal rapportoè maggiore o uguale ad un determinato valore limite:
9080lim Per gli acciai :
80lim Per la ghisa :
80100lim Per il legno :
xo
y 0y 0
xo o
b
h
ixo
iyo
Per evitare questo fenomeno, occorre prevedere correttamente i carichi di progetto e le azioni sollecitanti, modificandone eventualmente i parametri. Ad esempio:• riducendo la compressione;• cercando di diminuire l'eccentricità del carico;• aumentando l'area della sezione;• riducendo la lunghezza dell'oggetto;• aggiungendo vincoli con altre aste vicine oppure con il suolo;• riducendo la lunghezza libera di inflessione della trave.
min
0
i
l
lim
Un’asta caricata all’estremità da un carico tende a flettersi dal lato dove è minimo il momento d’inerzia principale.
Lunghezza libera di inflessione è in funzione di come è vincolata l'asta all'estremità
P
1° caso
P
2° caso
P
3° caso
P
4° caso
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2
0
min2
l
JEPcrit
Loanard Eulero 1744 determinò il carico critico capace di generare una flessione dell’asta caricata di punta
2
0l = Lunghezza libera di inflessione
minJ = Momenti d’inerzia principale minore
E = Modulo di elasticità
Di cui :
43S
Il carico P che può essere applicato in asse ad un elemento strutturale e snello deve essere minore del valore critico , per evitare fenomeni di instabilità
Dove la quantità di riduzione S è chiamata grado o coefficiente di sicurezza
Per elementi strutturali in acciaio :
108SPer elementi strutturali in legno : S
Pcritcrit
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2
42
2
0
min2 /
mm
mmmmkNkN
l
IEPcrit
Loanard Eulero 1944 determinò il carico critico capace di generare una flessione dell’asta caricata di punta
2minmin iAI Poiché :
Di cui si ottiene la tensione unitaria critica:
A
1
2
0
min2
l
IE
A
Pcritcrit
2
0
2min
2
2
0
2min
2
A
1
l
iE
l
iAE
A
Pcritcrit
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A
Ii minmin
sostituendo:
Il rapporto detto (lapda) tra Lunghezza libera di inflessione ed il
minore raggio d’inerzia della sezione viene trasversale viene chiamato grado si snellezza
2
2
Ecrit
min
0
i
l
Chiamata anche seconda forma dell’equazione di Eulero:
Affiché la formula di Eulero sia valida è necessario che l’instabilità si verifiche nel campo di deformazione elastica, ovvero nell’ambito di validità della legge di Hooke.
Pertanto la tensione critica non deve superare la tensione al limiti di proporzionalità
pcrit
E
2
Da cui si ricava : min
p
E
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p
La formula di Eulero è valida se la snellezza è maggiore o uguale ad un determinatovalore limite:
9080lim
Esempio :
Per gli acciai :
80lim Per la ghisa :
80100lim Per il legno :
Pertanto quando e quindi
S
Pcritcrit
lim pcrit
la formula può essere applicata con sicurezza
84,7311
6400
p
E
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min
0
i
l
ll 20
Carico di punta: Metodo Omega
A sP
AP s
Con l’aumentare la lunghezza del pilastro, ovvero la snellezza, deve diminuire progressivamente il carico P per non incombere in fenomeni di instabilità.In altri termini deve essere ridotta la tensione di sicurezza del materiale , di un coefficiente di riduzione chiamato w oppure coefficiente di amplificazione del carico.
Semplice e pratico valido per qualsiasi valore di snellezza
La formula diviene: ossia
Il coefficiente w varia al variare della snellezza l ne deriva l’espressione:
AP s
I valori di w sono riportati in apposite tabelle in funzione dei diversi valori disnellezza e del materiale.
vc
= tensione ammissibile per compressione semplice.Dove :
c = tensione critica euleriana
v = coefficiente di sicurezza
A sP
A
P
ossia
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Metodo Omega : Formula di verifica ammA
P
Metodo Omega : Formula di progettoS
PA
Noto P e l’area A si calcola il raggio d’inerzia minore della sezione :A
Jminmin
min olE quindi la snellezza :
E corrispondentemente si trova nelle tabelle il valore del coefficiente w ed infine si calcola la tensione unitaria massima con la formula di verifica, la quale deve risultare
amm
Il coefficiente di riduzione ( o amplificazione del carico) w dipende dall’area della sezione, si procede per successive approssimazioni.Esempio: 1) si fissa un opportuno valore di snellezza , poniamo l=100, a cui corrisponde un valore di w e si calcola l’area A con e la relativa sezione;
2) Se snellezza è uguale o inferiore al l ipotizzata il calcolo è soddisfatto.
Se è maggiore occorre fare un altro tentativo fissando un l minore.
min ol
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Applicazione
P=20 kN
Sezione puntone
P
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Un puntone di legno a sezione quadrata è lungo 5 m ed è caricato assialmenteda una forza di compressione assiale di P=20 kN;
Vogliamo Verificare la sezione essendo 2N/mm 00,6amm
80100lim Per il legno :
Verifica con il metodo Eulero . Si verifica prima la snellezza per controllare se essa rientra nel campo di validità del
Metodo, ossia min
0
l
Il raggio d’inerzia è uguale a: mm 46cm 60,41616
1
12
164
min
A
I x
E quindi : il valore rientra nel campo di validità 1001086,4
500
min
0
l
daN 20002735500
5470000.100
8
1
12
2
2
0
min2
l
JE
SS
PP crit
108SPer elementi strutturali in legno :
44
547012
cmb
J
2daN/cm 000.100E
Poiché l’asta può sopportare un carico maggiore del carico applicato significa che è verificata
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Verifica con il metodo Omega
Poiché l vale 108, dalle tabelle si ricava il corrispondente valore del coefficiente w=5,72;
Sostituendo si ha:
La verifica è soddisfatta
ammA
P
ammA
P
2daN/cm 6,44
256
11440
1616
200072,5
2N/mm 0,6amm
Si verifica che la tensione sia inferiore alla tensione ammissibile
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Fine presentazione
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