Carico Di Punta

8/12/2019 Carico Di Punta

http://slidepdf.com/reader/full/carico-di-punta 1/16

Instabilità elastica

Riferimenti bibliografici

Juvinall, Marshek “Fondamenti della progettazione dei componenti delle macchine”

Shigley et al. “Progetto e costruzione di macchine”




Quando si ha a che fare con elementisoggetti a forze di compressione (assiali),

la sollecitazione principale della qualetenere conto è espressa semplicementedal rapporto F/A

Tuttavia all’aumentare della lunghezza del

componente, il ruolo della geometria edella rigidezza diventa crucialenell’assicurare la resistenza

Evidenze sperimentali hanno mostrato che

per aste relativamente lunghe (snelle), siverifica il cosiddetto “buckling”(ingobbamento, imbozzamento) ossia unfenomeno di collasso, anche quando lasollecitazione è ben al di sotto del limite di

resistenza del materiale

A

F =σ

AF =σ



Instabilità elasticaNella progettazione meccanica riveste notevole importanza la casistica relativaad elementi relativamente lunghi e sottili sottoposti ad azione di compressione

• Bielle• Molle ad elica• Viti di trasmissione

Per alcune combinazioni configurazione geometrica-carico si ha una violazionedel principio generale secondo il quale spostamenti e rotazioni sono linearmenteproporzionali con il carico

Per tali situazioni si parla di instabilità elastica




L’instabilità elastica è stata trattata per la prima volta in modo compiuto nel 1744da Eulero, il quale ha definito il concetto dicarico critico (P cr ) come quel caricolimite oltre il quale se si verifica un anche minimo movimento dell’asta, o deisupporti o del carico la struttura collassa

Prendiamo in esame il caso della strut turain figura:

• perfettamente rettilinea• sollecitata a compressione con un caricoperfettamente assiale• omogenea• sottoposta a tensioni entro il limite elastico

Finchè il carico P resta al di sotto di un certovalore, ogni piccolo spostamento lateraleimpresso alla trave produce un momentoelastico interno più che sufficiente aripristinare la rettilineità iniziale



Instabilità elasticaIl carico critico è espresso, dunque, dalla nota Formula di Eulero

2

2

e cr

L

EI P

π =

E modulo di Young

I momento di inerzia della sezionerispetto all’asse intorno al quale siha l’inflessione laterale. Questo è ilMINIMO tra tutti i possibili valoriche I può assumere

Le lunghezza equivalente . Dipendedalla condizione di vincoloesistente agli estremi. Coincide conla lunghezza geometrica

dell’elemento solo nel caso in cuientrambi gli estremi sianoincernierati



Formula di Eulero2

2

e cr L

EI P

π =

Eq, differenziale del moto armonico

ρ

1=EI M

⎩⎨⎧

==

0)(

0)0(

L y

y 0=B



Formula di EuleroUtile espressione alternativa per la formula di Eulero

2 ρ AI =

2

22

e cr L

EAP ρ π =2

22

e

cr

L E

AP ρ π = 22

2

ρ

π

e

cr

L E

AP =

( )22

ρ

π

e

cr cr L

E AP

S == SNELLEZZA (rapporto di snellezza)

Osservazioni:

1. Il carico unitario ha le stesse dimensioni di una sollecitazione (resistenza) ma si tratta dellaresistenza di un’asta specifica non del materiale

2. Raddoppiare la lunghezza (ad esempio) ha un drastico effetto sul valore del carico unitario manon influenza in alcun modo la resistenza del materiale di cui è fatta l’asta

3. Il carico critico unitario dipende solo dal modulo di elasticità e dalla snellezza e NON dal carico disnervamento o di rottura del materiale

CARICO CRITICO UNITARIO

È la distanza alla quale occorre concentrare una massa puntiformepari a quella del sistema affinché il suo momento di inerzia rispettoall’asse eguagli il momento d’inerzia del sistema:



Formula di Eulero( )22

ρ

π

e

cr

L E S =

È possibile riportare la relazione di Eulero(nella formulazione alternativa qui riportata)

in un grafico bilogaritmico (si tratta di unaretta)

• La retta è valida per tutti i materiali elastici

• Essendo adimensionale, questaformulazione può essere impiegata conqualunque unità di misura

• Il grafico mostra che il valore critico delcarico unitario rapportato al modulo dielasticità, dipende SOLO dal rapporto di

snellezza



Diagramma di EuleroIn figura è riportato il diagramma che esprimegraficamente la formula di Eulero in coordinatelineari per due materiali

Acciaio (E = 203 GPa) Alluminio (E = 71 GPa)

• Dall’espressione analitica si può osservareche la curva tende asintoticamente ad uncarico critico infinito per un rapporto di

snellezza tendente a zero.• Ovviamente questo non ha alcunacorrispondenza con la realtà fisica (laresistenza del materiale non è infinita) dunque

si procede a limitare superiormente la curva diEulero con la retta che corrisponde allo sforzodi snervamento

• Nel tratto AC (BD) l’asta deve essere trattata

come sottoposta a compressione pura, mentreper valori di snellezza superiori a C (D) si parladi carico di punta

( )22

ρ

π

e

cr cr

L

E AP

S ==



Diagramma di Eulero• Nella progettazione di aste sottoposte acompressione, il progettista cercherà di fissare leestremità nel modo più opportuno per realizzare lecondizioni di vincolo desiderate (utilizzando ad es.saldature, perni, bulloni ecc.)

• Tuttavia è stato accertato sperimentalmente che sipossono verificare collassi (a causa di eccentricità delcarico e deformazioni localizzate) anche sotto la curvadi Eulero in prossimità del punto di intersezione con la

retta di snervamento• Per tale motivo, quando la snellezza è prossima avalori vicini al punto di intersezione suddetto, non sidovrebbe impiegare né la curva di Eulero né il metododi compressione semplice.

• Un possibile approccio è quello di scegliere ungenerico punto T sulla curva e impiegare la relazionedi Eulero solo se la snellezza è superiore a quellacorrispondente al punto T

• In caso contrario si devono utilizzare delle tecnichealternative

( )22

ρ

π

e

cr cr

L

E AP

S ==




Le differenti combinazioni di vincolo si riflettono in differenti valori delllunghezza equivalente (in sostanza si fa sempre riferimento alla deformata diuna trave doppiamente incernierata)

AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION



La formula parabolica di Johnson

• Per tenere conto delle evidenze sperimentali (cheriportavano collassi anche per combinazioni ‘caricocritico-snellezza’ teoricamente sicure, sono stateproposte alcune modifiche empiriche alla relazione diEulero

• Una delle più utilizzate è la cosiddetta formulaparabolica proposta da J.B. Johnson agli inizi del‘900

• In sostanza, il dominio nel quale l’elemento puòritenersi al sicuro da eventuali problemi di instabilitàelastica è limitato dalla parabola di equazione

• Come illustrato in figura, la parabola è sempretangente alla curva di Eulero nel punto

2

2

2

4 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−== ρ π

e y

y

cr

cr

L E

S

S AP

S

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =

⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ =

y

e y cr S

E L S S 22

2π

ρ



In sintesi…• Il punto di tangenza può servire ancheper distinguere le travi “intermedie”(campo parabolico di Johnson) da quelle“lunghe” (campo Euleriano)

• Le travi “corte” sono comunementedefinite come quelle aventi snellezzainferiore a 10. Nel qual caso il carico

unitario critico può essere assunto parialla tensione di snervamento

• A volte i coefficienti della parabola diJohnson vengono variati per trovare unmigliore accordo con i dati sperimentali

2

2

2

4 ⎟⎟

⎠ ⎞

⎜⎜

⎝ ⎛ −==

ρ π

e y y

cr cr

L E

S S AP S

a b



In sintesi…Come visto in precedenza, le formule di Eulero e Johnson, forniscono espressioni utili alladeterminazione del carico unitario critico, che può essere confrontato con quello applicato. Quindi sipuò pensare alla S cr come ad una grandezza da correlare alla sollecitazione di snervamento S y

mediante l’equazione

nella quale α rappresenta un fattore che riduce la resistenza a compressione a causa della tendenzaall’instabilità. Come accennato, per travi estremamente corte (rapporto di snellezza inferiore a 10) inpratica α assume valore unitario.

L’espressione di α nel campo di Eulero è

Mentre nel campo di validità della formula di Johnson si ha:

Talvolta è conveniente impiegare α come fattore moltiplicativo della tensione e, in questo caso, siconfronta direttamente P/A con la S y Questo approccio risulta particolarmente utile quando si lavoracon sollecitazioni composte. Ad esempio, se una sollecitazione diretta di compressione è presente nel

calcolo diσx , σy si utilizza il valore P/A per tenere conto della tendenza all’instabilità.

α

y

cr

S S =

( )E

L S S S e y

cr

y 2

2

π

ρ α ==

( )22

4

4

ρ π

π α

e y cr

y

L S E

E S

S −

==



Carico eccentrico

• Se la retta d’azione della risultante P che agiscesull’elemento non coincide con l’asse baricentricodella sezione, la trave è caricata eccentricamente.

• La distanza tra l’asse di carico e l’asse dellacolonna è l’eccentricitàe .

• Tenendo conto del momento flettente che si vienea generare in forza della presenza dell’eccentricità sipuò derivare la seguente espressione analitica notacome “ formula della secante”

• Nella quale c rappresenta la distanza della fibra più

esterna dall’asse neutro di flessione e il rapportoec/ ρ 2 è noto come fattore di eccentricità

( ) ( )[ ]AE P L ec

S

AP S cr e

y cr cr 4sec1 2

ρ ρ +==



Carico eccentrico

• La formula della secante, così come vista inprecedenza, non è utilizzabile in fase di progettoperché non può essere risolta esplicitamenterispetto al carico P

• Occorre riferirsi a diagrammi come quello infigura, che vengono tracciati per valori prefissatidel fattore di eccentricità ec/ ρ 2 , relativamente amateriali con determinati valori di E e di Sy

• Talvolta la formula della secante viene ancheimpiegata nel caso di carichi centrati in modo taleda tener conto di inevitabili eccentricità.

• Viene suggerito di assumere un’eccentricitàpari a Le/400Per travi strutturali con carico centrato, si usaspesso un fattore di eccentricità (ec/ ρ 2 ) pari a

0.025 sulla base di studi compiuti negli anni ’30.

Documents

Carico Di Punta