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Control de Inventarios de Demanda Determinística Variable con el Tiempo

GESTIÓN DE INVENTARIOS Y ALMACENAMIENTO

2 [ POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO]

• CONTROL DE INVENTARIOS DE DEMANDA DETERMINÍSTICA VARIABLE CON EL TIEMPO

1. CONTROL DE INVENTARIOS DE DEMANDA DETERMINÍSTICA VARIABLE CON EL TIEMPO 1.1. LA COMPLEJIDAD DE UNA DEMANDA VARIABLE CON EL TIEMPO .......................................... 3 1.2. TIPOS DE ESTRATEGIAS ............................................................................................................ 3 1.3. SUPUESTOS BASICOS ................................................................................................................ 3 1.4. USO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO (EOQ) ........................................................... 6 1.5. EL METODO WAGNER-WHITIN ................................................................................................ 7

F(1): 8 F(2) 8 F(3) 8

1. CONTROL DE INVENTARIOS DE DEMANDA DETERMINÍSTICA VARIABLE CON EL TIEMPO En el módulo pasado se desarrolló la cantidad de orden económica o EOQ asumiendo una demanda determinística constante. Para este capítulo se hará un análisis de la demanda cuando esta tiene una variación determinística en el tiempo, para así abarcar un rango mayor de situaciones prácticas, incluyendo:

1. Sistemas de producción multi etapa. En estos casos se tienen patrones de demanda muy acertados pero variables en el tiempo 2. Producción para contratos preestablecidos, donde el contrato requiere que ciertas cantidades sean despachadas al consumidor en ciertas fechas preestablecidas 3. Artículos que tienen comportamiento de demanda estacionario 4. Partes y productos que están siendo sacados del mercado donde la demanda decrece con el tiempo 5. Productos con tendencias de demanda preestablecidas las cuales se espera que se mantengan 6. Partes para mantenimiento preventivo donde la fecha del mantenimiento es bien conocido.

3 [ GESTIÓN DE INVENTARIOS Y ALMACENAMIENTO ]

LA COMPLEJIDAD DE UNA DEMANDA VARIABLE CON EL TIEMPO El problema ahora es que ninguna cantidad de pedido constante se puede considerar como OPTIMA, ya que esta cantidad óptima puede variar significativamente entre cada pedido y debe ser determinada cada vez que se haga un pedido. Por esto es necesario fijar un horizonte de planeación el cual puede ser un año dividido entre doce meses, un semestre dividido entre sus semanas o muchas otras opciones de dependiendo del problema específico. Otro factor es el hecho de restringir o no los pedidos a cierto instante de tiempo como por ejemplo el inicio de cada mes. Aunque en algunos casos se puede establecer el pedido dentro de un horizonte de planeación determinado es más común hacerlo al inicio de cada periodo definido. Finalmente se debe tener en cuenta la importancia de realizar el inventario al final del horizonte de planeación. TIPOS DE ESTRATEGIAS Existen esencialmente tres métodos para lidiar con demandas determinísticas variables en el tiempo: Determinación de la cantidad óptima de pedido EOQ para todos los pedidos teniendo en cuenta la demanda promedio durante cada horizonte de planeación. Esta estrategia es posible cuando el patrón de variación no varía mucho con el tiempo. Uso de la mejor solución exacta para un modelo matemático particular del problema. Como se verá, bajo un conjunto especifico de supuestos, este método, conocido como el algoritmo Wagner-Whitin, minimiza el total de ciertos costos. Uso de una aproximación o método heurístico. La idea aquí es la de usar un método que capture la esencia de la complejidad de la variación en el tiempo pero que a la vez permanezca lo más simple posible. En este capítulo solo se analizarán los dos primero métodos. SUPUESTOS BASICOS La rata de demanda es dada en la forma de 𝐷(𝑗) que debe ser satisfecha en el periodo 𝑗 (𝑗 = 1, 2, … ,𝑁) donde el horizonte de planeación es al final del periodo 𝑁. Por supuesto la rata de demanda puede variar entre un periodo y otro, pero se asume que se conoce.


Se asume que los pedidos llegan en el inicio del periodo en el que son requeridos. Se asume que se conoce el lead time de cada pedido, pero este (el lead time) no se tendrá en consideración en este análisis. El costo de la unidad no dependerá del tamaño del pedido (no se consideran descuentos por tamaño de pedido). Los costos de los artículos no variarán con el tiempo (la inflación se asume con un valor muy bajo y despreciable) A cada artículo se le da un manejo completamente independiente con respecto a los otros artículos. Se asume que se conoce con certeza el Lead Time de reabastecimiento, de modo que se pueda calcular que la entrega de cada pedido ocurra exactamente al inicio de cada periodo. Se asume que cada pedido es entregado en su totalidad y no de forma parcial o por lotes. Por razones de simplicidad, el costo de mantener el inventario será aplicado sobre el inventario del final de cada periodo.

EJEMPLO 1. Demanda Determinística Variable Con El Tiempo. Tabla 1. Demanda Determinística variable con el Tiempo.

En la Tabla 1. se aprecia el patrón de demanda para cierto artículo en una empresa.


La empresa estima que el precio fijo de alistamiento (𝐴) es de $54 por pedido y el costo de llevar el inventario (𝑟) es de 0.02 $/$/𝑚𝑒𝑠. El costo del artículo (𝑣) es de $25/𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑. La empresa ha decidido hacer un abastecimiento cada tres meses lo suficientemente grande para que satisfaga la demanda durante dichos tres meses. Así teniendo en cuenta que al principio del mes uno el inventario es cero, se debe hacer un pedido de: 10 + 62 + 12 = 84 unidades para cumplir con la demanda de los tres primero meses. Calcular los costos de inventario debido a esta política de reabastecimiento. SOLUCIÓN: El comportamiento del inventario al aplicar la regla de los tres meses usada por esta empresa se puede apreciar en la Tabla .2.

Tabla 2. Resultados al aplicar la regla de los tres meses usada por la empresa.

Durante el año habrá cuatro pedidos de reabastecimiento. El costo total relevante del inventario es de $663,20. El promedio de inventario al final del mes es de 1.118/12, o


93.17 [𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠] . De esta forma, podemos obtener que la rotación de inventario es 1.200/93.17, o 12.90. USO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO (EOQ) El uso de la cantidad económica de pedido analizada en la unidad anterior, puede ser un método más efectivo a la hora de tratar inventarios con demandas determinística variantes en el tiempo. Esto se puede hacer simplemente ignorando la variación de la demanda para así poder hallar la cantidad económica de pedido 𝐸𝑂𝑄. Para ser más precisos, la demanda promedio (𝐷�) durante el horizonte de planeación es usada para hallar la cantidad económica de pedido cada vez que se necesite un reabastecimiento:

𝐸𝑂𝑄 = �2𝐴𝐷�𝑣𝑟

1.1

Como se vio anteriormente, se debe hacer un pedido que satisfaga la demande de un número determinado de periodos. Si el valor de 𝐸𝑂𝑄 hallado no coincide con los requerimientos necesarios para un número entero de periodos, lo que se hace es tomar el valor más cercano al valor 𝐸𝑂𝑄. Tomemos como ejemplo el problema planteado en el Ejemplo 1. Para este problema específico tenemos que:

𝐷� =𝑅𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠=

1.20012

= 100 [𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠/𝑚𝑒𝑠]

De esta forma tenemos que:

𝐸𝑂𝑄 = �2 × $54 × 100[𝑢𝑛𝑖./𝑚𝑒𝑠]

20[$/𝑢𝑛𝑖. ] × 0,02[($/$)/𝑚𝑒𝑠]≈ 164[𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠]

Analicemos ahora la selección del valor de pedido para el inicio de enero, de este problema usando los valores presentados en la Tabla 3:


Tabla 1. El EOQ de 164 unidades está entre los valores 84 y 214 necesarios para satisfacer los requerimientos hasta el mes 3 y 4 respectivamente. Tomamos el valor del cuarto mes (214) porque es más cercano al 𝐸𝑂𝑄 que lo que es el valor del tercer mes (84). El anterior análisis se debe aplicar para el inicio de cada uno de los periodos que comprenden el horizonte de planeación como se puede observar en la tabla siguiente.

Tabla 4. Resultado al usar el método del tamaño óptimo de pedido EOQ.

Comparando los resultados de la Tabla 2 (método de los tres meses) con los de la Tabla 4, apreciamos que el costos total de inventario bajo de un valor de $663,20 a un valor de $643,20. EL METODO WAGNER-WHITIN En 1958, Wagner y Whitin desarrollaron un algoritmo que minimiza los costos de mantener y preparar el inventario basándose en un supuesto adicional a lo ya visto en este capítulo. Dicho supuesto asume que el patrón de demanda debe terminar al final del horizonte de planeación, o equivalentemente, el inventario al final del horizonte de planeación debe ser preestablecido, el cual usualmente es igual a cero.


El algoritmo Wagner-Whitin es una aplicación de la técnica de programación dinámica, un proceso matemático para la resolución de problemas de decisión secuencial. El esfuerzo computacional es usualmente muy grande, pero se puede reducir gracias al uso de dos propiedades claves (deducidas por Wagner y Whitin): -La orden solo se lleva a cabo cuando el nivel de inventario es igual a cero. -Existe un límite máximo en el cual la demanda 𝐷(𝑗) correspondiente al periodo 𝑗 va a ser incluida en una orden. Eventualmente, el costo de mantener el inventario se vuelve mayor que el costo de ordenamiento, por lo tanto es preferible hacer una nueva orden para este periodo en lugar de incluir su demanda en una orden realizada varios periodos atrás. Suponga que se define como 𝐹(𝑡) a los costos correspondientes a mejor estrategia para realizar los pedidos la cual satisface los requerimientos para los periodos 1, 2, 3, … , 𝑡. Para ilustrar el procedimiento para encontrar ha 𝐹(𝑡) y las órdenes asociadas se usaran de nuevo el ejemplo de la Tabla 1. F(1):es el costo total de realizar un pedido de diez unidades de tamaño al inicio del periodo 1 o Enero, este costo es simplemente el costo de ordenamiento 𝐴 = $54. F(2): para determinar el costo total F(2) existen dos posibles opciones: OPCIÓN 1: ordenar diez unidades al inicio del mes uno y 62 unidades al inicio del mes dos, para este caso solo se tendrían los costos de ordenar porque no se incurriría en costos de mantener inventario. El costo sería entonces: 𝐹(1) + 𝐴 = $54 + $54 = $108 OPCIÓN 2: ordenar suficientes unidades al inicio del mes uno para que cumpla con los requerimientos del mes uno y dos. De esta forma se tendrán costos de ordenamiento y costos de mantener inventario. Los costos serían entonces: = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑠 1 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑠 2 = $54 + 62[𝑢𝑛𝑖] × 0,40[$/𝑢𝑛𝑖./𝑚𝑒𝑠] × 1[𝑚𝑒𝑠] = $78,80 Como se puede apreciar los costos de la opción dos son menores que los costos de la opción uno, por lo tanto tenemos que 𝐹(2) = $78,80. F(3) Para establecer los costos hasta el tercer mes podemos usar cualquiera de las siguientes tres opciones: OPCION 1: cubrir los requerimientos hasta el final del mes dos y pedir 12 unidades al inicio del tercer mes. = 𝐹(2) + 𝐴 = $132,80 OPCION 2: realizar un primer pedido que dure todo el primer mes y luego hacer un pedido al inicio del segundo mes que cubra los requerimientos hasta el tercer mes. = 𝐹(1) + 𝐴 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑚𝑒𝑠


= $54 + $54 + (12 × 0,40 × 1) = $112,80 OPCION 3: hacer un solo pedido al inicio del primer mes que cubra los requerimientos de los tres meses. = 𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑠 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑠 3 = $54 + (62 × 0,40 × 1) + (12 × 0,40 × 2) = $88,40 Comparando las tres opciones anteriores tenemos que 𝐹(3) = $88,40. De esta forma, se siguen evaluando todos los meses hasta llegar al último del horizonte de planeación. Nótese que este método nos dará la solución óptima del problema pero con un esfuerzo computacional muy grande. Para reducir dicho esfuerzo aplicamos la segunda propiedad del algoritmo Wagner-Whitin vista anteriormente. Así, si para un periodo 𝑗 se tiene que:

𝐷(𝑗)𝑣𝑟 > 𝐴 𝐷(𝑗) > 𝐴/𝑣𝑟

Esto lo que nos muestra es que no es conveniente ordenar la demanda de este mes en un mes anterior ya que los costos de mantener el inventario serán mayor que los costos de ordenamiento. En conclusión se puede decir que para un periodo 𝑗 en el cual esto se cumpla, se debe efectuar la orden de su demanda 𝐷(𝑗) al inicio de dicho periodo 𝑗. Lo que es lo mismo, el inventario debe ser cero al inicio de dicho periodo 𝑗 y dicho periodo debe considerarse como el comienzo de un nuevo horizongte de planeación. Asi, el algoritmo Wagner-Whitin se aplicara por grupos a traves de todo el horizonte de planeación y no por el horizonte completo lo cual mejora su eficiencia y reduce el esfuerzo computacional.

En el caso de la Tabla 1.1 del EJEMPLO 1.1, se tiene que:

𝐴/𝑣𝑟 =$54

20[$/𝑢𝑛𝑖. ] × 0,02[($/$)/𝑚𝑒𝑠]= 135 [𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∙ 𝑚𝑒𝑠]

Teniendo en cuenta lo anterior, nótese que para el Ejercicio 1., el primer mes en el que esto se cumple es el mes cinco, en donde la demanda es mayor que 135, por esto, este mes se considera como el inicio de un nuevo horizonte de planeación que va desde el mes cinco hasta el mes diez, en donde de nuevo la demanda es mayor a 135. Así se tendrá un tercer y último horizonte de planeación que va desde el mes diez hasta el mes doce en donde la demanda final se supone igual a cero.

Así, usando el algoritmo para darle solución al Ejemplo 1., obtenemos los resultados de 5. Como se puede apreciar, los costos totales del inventario se reducen comparándolos con los obtenidos usando el método de los tres meses (Tabla 2) el método de la cantidad económica de pedido (Tabla 4).


Tabla 4. Solución al problema del Ejemplo 1., usando el algoritmo Wagner-Within.

A pesar de lo visto con los tres ejemplos anteriores en donde quedó demostrado que el algoritmo Wagner-Whitin reduce los costos totales de inventario, este algoritmo presenta las siguientes desventajas por la cuales no ha tenido mucha aceptación en la práctica:

1. La complejidad del algoritmo con respecto a otros métodos lo hace más difícil de entender y usar en la práctica 2. El esfuerzo computacional puede llegar a ser demasiado grande se la propiedad 2 del algoritmo no se cumple, ósea que para cierto periodo 𝑗, la demanda 𝐷(𝑗) sea mayor que 𝐴/𝑣𝑟. 3. El asumir que los pedidos solo se pueden hacer al inicio de cada periodo definido. Si por alguna razón se presenta la oportunidad de hacer pedidos en periodos más cortos, automáticamente el esfuerzo computacional del algoritmo crece debido a la subdivisión de dichos periodos. 4. El algoritmo Wagner-Whitin pierde importancia debido a su complejidad si se tienen en cuenta todos los costos relacionados al inventario como los son por ejemplo los costos de control.

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