CARÁTULA DE TRABAJO

¿LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO ES 180º?Título del trabajo

LOS MATEATLÉTICOSPseudónimo de integrantes

    

MATEMÁTICAS

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Dudas o sugerencias sobre este sistema: feriadelasciencias@cch.unam.mx © 2018 Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades, Hecho en México, Comité Organizador 

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No hay rama de la matemática, por abstracta que sea,

que no pueda aplicarse algún día

a los fenómenos del mundo real.

Nikolai Lobachevski

Resumen

Desde la primaria cuando empezamos a ver las propiedades de los triángulos

hemos escuchado a nuestros profesores de matemáticas que la suma de los

ángulos internos de un triángulo es 180º, ¿qué tan cierto es esto? Para contestar

esta pregunta vamos a investigar un poco sobre las diferentes geometrías que

existen: Euclidiana y no Euclidianas. Presentaremos un panorama general de

cada una y cómo es que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede

ser menor, igual o mayor a 180º dependiendo de la geometría en que se esté

trabajando, utilizando GeoGebra.

Introducción

El quinto postulado de Euclides ha sido una de las proposiciones más

controvertidas de la historia de la Geometría, objeto de polémicas durante más de

dos mil años. Euclides (330 a.C. - 275 a.C.) en Los Elementos1 construyó la

geometría partiendo de 23 axiomas y cinco postulados, a partir de los cuales

demostró todos los teoremas. Un axioma no necesita demostración, ya que se

trata de una proposición clara y evidente. En cambio, un postulado es una

1Los Elementos es la obra escrita por Euclides, la cual está compuesta por trece libros y es considerada como la obra más famosa de la historia de las matemáticas. De esta obra se han hecho tantas ediciones, que sólo la aventaja la Biblia.

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proposición que, no siendo tan evidente como un axioma, se admite como

verdadera sin demostrarla. Los postulados de Euclides dicen:

1. Por dos puntos distintos pasa una única recta.

2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.

3. Hay una única circunferencia con un centro y un radio dados.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta, al incidir sobre dos rectas, hace los ángulos internos del

mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas

indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los (ángulos)

menores que dos rectos.

Desde su mismo nacimiento, el quinto postulado planteó un interrogante, ¿era

realmente un postulado independiente o era un teorema que podía ser

demostrado a partir de los cuatro postulados anteriores? La versión más conocida

del quinto postulado (también conocido como El Postulado de las Paralelas) es la

siguiente:

"Por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y

sólo una paralela a ella".

Esta formulación se debe al matemático griego Proclo, sin embargo, también se le

conoce como el Axioma de Playfair, en honor a John Playfair (1748-1819).

El primer matemático que se dio cuenta de que el quinto postulado era

independiente de los otros cuatro y que de su negación podía surgir una nueva

geometría fue Carl Friedrich Gauss (1777-1855), pero no llegó nunca a publicar

sus resultados por miedo a no ser bien comprendido.

Durante veinte siglos se trató de “demostrar” el quinto postulado, es decir,

convertirlo en teorema. Finalmente se pensó que si de verdad era un postulado, el

hecho de negarlo, aceptando los demás, debía conducir a contradicción alguna.

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De esta manera procedieron Lobachevski (1793-1856) y Riemann (1826-1866).

Sin embargo, con sus trabajos dieron origen a las Geometrías no Euclidianas.

La Geometría de Lobachevski (Geometría Hiperbólica) sustituye el quinto

postulado por el que dice:

"Por un punto situado fuera de una recta pasan dos o más

paralelas a ella".

La Geometría de Riemann (Geometría Elíptica o Esférica) la sustituye por el

siguiente:

"Por un punto situado fuera de una recta no pasa ninguna paralela

a ella"

Al crearse estas nuevas geometrías, se descubrió también que la suma de los

ángulos internos de un triángulo no siempre era igual a 180º.

Para poder introducir los distintos modelos de geometrías no euclidianas,

debemos antes que nada reconsiderar el concepto de recta. Cuando trabajamos

en la Geometría Euclidiana, notamos que un segmento de recta tiene una

propiedad muy importante: es aquella entre todas las curvas que unen dos puntos

que tiene longitud mínima (ver Figura 1).

Figura 1. El segmento de recta entre A y B.

Sin embargo, la concepción que tenemos de la recta en la geometría plana o

euclidiana, no será la misma cuando trabajemos con los modelos de las

geometrías no euclidianas. Esto no es tan descabellado. Veamos un ejemplo para

aclararlo.

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Imaginemos que queremos medir la distancia que hay entre dos postes de luz

que hay en nuestra calle, es claro que mediremos en línea recta. Pero ahora

supongamos que debemos calcular la distancia “real” que hay entre una casa

ubicada en el polo sur y otra en el polo norte, es decir, la distancia que

recorreríamos yendo sobre la superficie de la Tierra. En ese caso, si consideramos

un segmento que una las dos casas nos daría el diámetro de la Tierra. Sin

embargo, la distancia mínima que deberíamos recorrer si no nos despegamos de

la superficie terrestre sería la longitud de una semicircunferencia de radio igual al

de la Tierra. En este caso la “recta” sería una circunferencia que pasa por los dos

polos y el segmento un meridiano.

Problema

Es muy común escuchar a profesores de matemáticas decir que la suma de los

ángulos internos de un triángulo es 180º como si fuera una verdad absoluta. Sin

embargo, en una de las clases nuestro profesor nos contó que esta afirmación

depende de la geometría en que se esté trabajando. De ahí nos surgieron las

preguntas, ¿cuántas geometrías hay?, ¿Qué se estudia en esas geometrías? ¿en

qué se diferencian de la Geometría Euclidiana? y ¿Cuál es la más “útil”? Para

responder estas preguntas, realizamos una investigación sobre lo que nuestro

profesor nos había contado y encontramos bastante información al respecto.

Algunos temas fueron muy complicados, de hecho, algunas cosas no las

comprendimos a la primera y tuvimos que ir a asesorías, porque algunos modelos

eran muy abstractos.

Objetivo El objetivo de este trabajo es presentar información sobre las geometrías no

euclidianas, cómo surgieron y qué diferencias tienen con la geometría

euclidiana, lo que nos permitirá mostrar que la suma de los ángulos internos

de un triángulo puede ser menor, igual o mayor a 180º.

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Para lograr este objetivo, buscamos información en libros, artículos y páginas web,

que contenían información sobre las diferentes geometrías que hay y usando

Applets hechos en GeoGebra para mostrar que dependiendo de la geometría es la

suma de los ángulos internos de un triángulo.

Hipótesis A pesar de la dificultad que conlleva entender los modelos de las geometrías no

euclidianas, se puede mostrar usando Applets de GeoGebra que la suma de

los ángulos internos de un triángulo puede ser menor, igual o mayor a 180º.

Marco teórico

La palabra geometría tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; es

decir, "medida de la tierra". Al igual que otras áreas del conocimiento, es difícil

precisar con exactitud cuándo y cómo nacen los primeros conceptos de la

geometría, sin embargo, es razonable pensar que los primeros orígenes de la

geometría se encuentran en los mismos orígenes de la humanidad, seguramente

el hombre primitivo clasificaba los objetos que le rodeaban según su forma. En la

abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento a la geometría.

En la antigüedad, la geometría era una colección de reglas de uso común para

medir y construir casas, pirámides y ciudades. No fue hasta el año 300 a.C. que

Euclides de Alejandría, en Los Elementos, ordenó y escribió todo ese saber,

imprimiéndole el sello de rigor lógico que caracteriza y distingue a las

matemáticas. Se dio cuenta de que todo razonamiento riguroso (o demostración)

debe basarse en ciertos principios previamente establecidos ya sea, a su vez, por

otra demostración o bien por convención. Pero a final de cuentas, este método

conduce a la necesidad ineludible de convenir en que ciertos principios básicos

(postulados o axiomas) son válidos sin necesidad de demostrarlos, que están

dados y son incontrovertibles para poder construir sobre ellos el resto de la teoría.

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Lo que hoy se conoce como Geometría Euclidiana, y hasta hace dos siglos

simplemente como Geometría, está basada en los cinco postulados de Euclides.

Geometría Euclidiana

Es la geometría que todos conocemos, la que hemos estudiado desde la primaria.

Es la que describe a la percepción clásica del espacio físico en el que vivimos. No

es una necesidad lógica sino una propiedad aparentemente observada del mundo

físico. En esta geometría se verifican los cinco postulados de Euclides.

El modelo más simple para trabajar la Geometría Euclidiana es el plano. De

hecho, Euclides en su libro Los Elementos, define al punto, recta y el plano como

sigue:

• Un punto es lo que no tiene partes.

• Una línea recta es aquella línea que tiene todos sus puntos en la misma

dirección.

• Una superficie es aquello que tiene solamente ancho y largo, no tiene

espesor.

• Una superficie plana (plano) es aquella que contiene una recta en cualquier

posición.

Figura 2. Punto, Recta y Plano en la Geometría Euclidiana.

Geometría Hiperbólica Como lo hemos mencionado, al surgir la pregunta de que si el quinto postulado

era realmente un postulado independiente o era un teorema que podía ser

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demostrado a partir de los cuatro postulados anteriores. Nikolái Lobachevski

(1792-1856) partió de la hipótesis de que el quinto postulado no podía ser

demostrado y construyó una nueva geometría a partir de un postulado diferente en

el que se afirmaba que dada una recta r y un punto P exterior a ella, se pueden

trazar al menos dos paralelas a r que pasen por el punto P.

Trabajando sobre esta hipótesis Lobachevski estableció una Trigonometría no

Euclidiana con resolución de triángulos y cálculo de áreas y volúmenes. En 1868

el matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900) construyó un modelo físico, la

pseudoesfera, para albergar, aunque fuera de forma local, la Geometría de

Lobachevski. Posteriormente Félix Klein (1849-1952) la generalizó a todo el

espacio. La conclusión final a la que se llegó es que la Geometría Hiperbólica es

tan consistente como la Geometría Euclidiana.

Así como el plano euclídeo se representa con los puntos y rectas usuales, para

representar al plano hiperbólico existen diferentes modelos: el modelo de Klein, el

disco de Poincaré y el semiplano superior de Poincaré.

Modelo de Klein

El modelo de Klein, también conocido como disco proyectivo o modelo de Klein-

Beltrami, representa el plano como el interior de un circulo, y las rectas como las

cuerdas del círculo.

Figura 3. Modelo de Klein-Beltrami.

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En la Figura 3 las rectas ! y ! son secantes, mientras que las rectas ! y ! son

asintóticamente paralelas, intersecan pero en la frontera del disco la cual no está

contenida en el modelo. Y las rectas ! y ! son divergentemente paralelas, no

tienen punto alguno en común.

Disco de Poincaré

En una memoria de 1887, el matemático Francés Henri Poincaré (1854-1912)

describió un modelo concreto de una Geometría Hiperbólica en dos dimensiones;

este modelo es conocido ahora como el Disco de Poincaré.

El Disco de Poincaré representa al plano como el interior de un círculo, pero las

rectas están representadas por arcos de circunferencia ortogonales a la

circunferencia borde, y los diámetros de dicha circunferencia.

Figura 4. Disco de Poincaré. Las líneas r y s don dos rectas paralelas.

¿De donde viene este modelo? Consideremos un hiperboloide equilátero de dos

hojas cuya intersección con el plano ! = 0 es vacía. Si tomamos la proyección

estereográfica de la hoja superior del hiperboloide desde el vértice de la hoja

inferior !, sobre el plano ! = 0, obtenemos el modelo del disco de Poincaré; es

decir, consiste en un disco abierto donde los puntos de la hoja superior del

hiperboloide son los puntos del disco y las "rectas", curvas generadas al intersecar

la hoja superior del hiperboloide con planos que pasan por el origen O, se

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proyectan en arcos de circunferencia que intersecan ortogonalmente con la

frontera del disco en su interior.

Figura 5. Proyección estereográfica del hiperboloide.

Para mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor a 180º

en la geometría hiperbólica, utilizaremos este modelo.

Semiplano de Poincaré

El semiplano de Poincaré, como da a entender el nombre, toma la parte de arriba

del plano cartesiano sin tomar al eje !. Ahora las rectas las definiremos como los

semicírculos dentro del plano de tal forma que el centro del círculo esté sobre el

eje !. Una semirrecta perpendicular al eje ! es también una recta si consideramos

a la recta como un círculo de radio infinito (Márquez, 2016).

Figura 6. Semiplano de Poincaré.

En el modelo representado en la Figura 6, las rectas s y u son secantes, ya que se

intersectan; las rectas r, t y u son divergentemente paralelas y las rectas r y s son

asintóticamente paralelas.

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Geometría Elíptica o Esférica La posibilidad de que pudiera haber otras geometrías alternas diferentes a la

geometría de Euclides en donde no se cumpliera el quinto postulado ya había sido

considerada antes de Gauss o Lobachevski. Una de ellas era la geometría

esférica (un caso especial de una geometría más general, una geometría que está

basada no en la superficie de una esfera sino en la superficie de un elipsoide).

Una vez aceptado como igualmente natural el modelo de Geometría Hiperbólica

en que se rechazaba el quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas,

los matemáticos buscaron nuevos sistemas geométricos que incumplieran el

quinto postulado. Uno de esos modelos lo describió Georg Bernhard Riemann

(1826-1866), pupilo de Gauss, negando la existencia de las paralelas.

En la Geometría Hiperbólica, dado un punto exterior a una recta siempre es

posible obtener más de una recta paralela a la primera que pase por dicho punto.

En la Geometría Elíptica o Esférica, dada una recta y un punto exterior a la misma,

no existe ninguna recta paralela, es decir, ninguna recta que no intersecte a la

primera. En esta geometría se denominan “plano” a la superficie de la esfera y

“rectas”, a las circunferencias de círculos máximos.

Figura 7. El punto, la recta y el plano en la Geometría esférica.

Terminología apropiada porque en cualquiera de las geometrías la recta es la

línea más simple que pueda unir a dos puntos y el plano también es la superficie

más simple. Además, al igual que la recta divide al plano en dos semiplanos en la

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geometría euclidiana, una circunferencia de círculo máximo divide a la esfera en

dos semiesferas. Las rectas en la geometría elíptica o esférica también reciben el

nombre de geodésica.

Figura 8. La distancia más corta entre dos puntos no es el segmento sino el arco

de un círculo máximo.

No es difícil ver que en esta geometría dos “rectas” o geodésicas siempre se

cortan. Lo cual nos lleva a pensar que por un punto exterior a una recta dada no

es posible trazar ninguna recta con la cual nunca se cruzará, es decir, ninguna

paralela.

Figura 9. Las rectas ! y !, no importa como las tracemos siempre serán secantes.

Para que sean válidos los primeros cuatro primeros postulados de Euclides,

tenemos que poner una condición sobre los puntos sobre la superficie de la

esfera. Observemos en la Figura 9, en los puntos ! y !’ que están diametralmente

opuestos pueden pasar una infinidad de rectas, sin embargo, si recodamos el

primer Postulado de Euclides, sabemos que por dos puntos solamente puede

pasar una recta. En cambio, si tenemos un solo punto, entonces habrá una

infinidad de rectas que pasen por él. Por lo tanto, en este modelo vamos a

considerar que dos puntos diametralmente opuestos son el mismo, es decir,

! = !’.

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Desarrollo

Para realizar nuestra investigación, estuvimos revisando algunas páginas web,

artículos de investigación, tesis, memorias de congresos y libros que describen las

características de cada una de las tres geometrías: Euclidiana, Hiperbólica y

Elíptica o Esférica. Luego buscamos información sobre los diferentes modelos que

hay para trabajar en cada una de las geometrías, y por supuesto, si se pueden

realizar en GeoGebra. Al respecto, encontramos que para la Geometría Euclidiana

se trabaja directamente en la Vista Gráfica del programa, sin tener que realizar

ninguna adaptación especial. Para la Geometría Hiperbólica, nos basamos en el

Applet desarrollado por Mathías Tejera en 2014, llamado Disco de Poincaré. En

cambio, para trabajar la Geometría Elíptica nos basamos en un Applet

desarrollado por nuestro asesor, ya que no encontramos ninguno desarrollado en

GeoGebra.

Resultados y análisis

A continuación, vamos a describir lo que obtuvimos al usar GeoGebra y trabajar

con los diferentes modelos geométricos.

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º.

Vamos a mostrar usando GeoGebra que cuando trabajamos en la Geometría

Euclidiana, es decir, sobre el plano, la suma de los ángulos internos de un

triángulo es 180º. Para ello, trazamos un triángulo ABC cualquiera sobre el plano

usando la herramienta de Polígono. Al realizar esto, obtuvimos como resultado el

triángulo que se muestra en la Figura 10.

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Figura 10. Triángulo ABC en el plano.

Posteriormente, usando la herramienta de Ángulo, medimos todos los ángulos

internos del triángulo.

Figura 11. Los tres ángulos internos del triángulo.

En el triángulo de la Figura 11 se observa que la suma es 180º. Sin embargo, tal

vez sólo fue suerte. Por lo que realizamos lo siguiente: empezamos a mover los

tres vértices del triángulo en diferentes lugares, lo que cambiaba tanto el tamaño

como los ángulos internos del triángulo, pero la suma se mantenía constante.

Para confirmar que la suma de los ángulos eras siempre 180º, agregamos una

función que sumara los tres ángulos internos y en las propiedades de los ángulos

pusimos que mostrara siempre el ángulo entre 0º y 180º, ya que GeoGebra

también a veces mostraba el ángulo cóncavo (mayor a 180º).

Figura 12. La suma de los ángulos internos del triángulo siempre es 180º.

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En efecto, observamos que al trabajar en el plano la suma de los ángulos internos

del triángulo siempre es 180º.

La suma de los ángulos internos de un triángulo es menor a 180º

Para mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor a

180º, trabajamos con el Applet Disco de Poincaré elaborado por Mathías Tejera.

Al abrir el Applet, aparece una ventana como la que se muestra en la Figura 13.

Figura 13. Ventana del Applet del Disco de Poincaré en GeoGebra.

Para trazar un triángulo, usamos la herramienta "Segmento hiperbólico”.

Seleccionamos la herramienta y luego colocamos dos puntos dentro del círculo

blanco y trazamos un segmento hiperbólico, realizamos el mismo proceso y con

ello formamos un triángulo hiperbólico como el que se muestra en la Figura 14.

Figura 14. Un triángulo en el Disco de Poincaré.

Intuitivamente se nota que la suma de los tres ángulos internos es menor a 180º.

Pero vamos a medirlos. Recordemos que el ángulo en este modelo es igual que

en el modelo Euclidiano. Sin embargo, para medirlo hay que trazar las tangentes a

cada lado del triángulo en cada uno de los vértices y medir el ángulo que se forma

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entre ellas (ver Figura 15).

Figura 15. El ángulo ACB mide en este caso 33.82º.

Hicimos este proceso para cada vértice y ocultando las rectas tangentes, se

obtuvieron las medidas de los tres ángulos internos del triángulo (ver Figura 16).

Figura 16. Las medidas de los tres ángulos internos del triangulo ABC.

Claramente se observa en la Figura 16 que la suma de los ángulos internos del

triángulo ABC es menor a 180º. Sin embargo, moviendo los puntos A, B y C en

diferentes posiciones observamos que la suma iba cambiando. Para analizar

mejor la suma de los ángulos internos del triángulo colocamos una función que lo

hiciera.

Figura 17. La suma de los ángulos internos del triángulo ABC es menor a 180º.

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Algo importante que observamos es que la suma de los ángulos internos del

triángulo no era constante, variaba dependiendo de la posición donde

colocábamos los vértices. Si los vértices estaban muy cerca del borde del Disco, la

suma se hacía cada vez más pequeña. En cambio, cuando los vértices del

triángulo estaban cerca del centro, la suma se acercaba a 180º.

Figura 18. Mientras más lejos están los vértices del triángulo al centro del Disco, la suma de

los ángulos internos del triángulo se acerca a 0º, mientras más cerca, tiende a 180º.

A diferencia de la Geometría Euclidiana, en donde la suma de los ángulos internos

de un triángulo es 180º, en la Geometría Hiperbólica la suma varía entre 0º y 180º.

De hecho, esos valores son los casos límites.

La suma de los ángulos internos de un triángulo es mayor a 180º

Ahora veamos qué pasa en la Geometría Elíptica o Esférica. En la red

encontramos un Applet diseñado por David Austin y Will Dickinson, llamado

Spherical Easel, sin embargo no lo pudimos usar ya que tenía algunos errores, por

ejemplo, no se podía trazar una recta por dos puntos. Así que con ayuda de

nuestro asesor, creamos un Applet que simulara trabajar sobre una esfera en

GeoGebra. Para realizar este Applet nos basamos en el trabajo publicado por

Abar en 2016, “O uso do geogebra na investigação da geometria elíptica (ver

referencia).

Al abrir el Applet, aparece una ventana idéntica a la del Disco de Poincaré (ver

Figura 19).

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Figura 19. Applet para trabajar la Geometría Elíptica.

En esta Applet se simula trabajar sobre una esfera. En donde los puntos, son

como los conocemos y las rectas son los círculos máximos.

Figura 20. Se muestran algunas rectas sobre la esfera.

Para trazar un triángulo simplemente seleccionamos la herramienta “Segmento

Elíptico Por Dos Puntos” y trazamos los tres segmentos para formar el triángulo2.

Figura 21. Un triángulo sobre la esfera.

Visualmente se observa que la suma de los ángulos internos del triángulo es

mayor a 180º. Al igual que en las otras Geometrías, en la Elíptica o Esférica para

2Nota importante, para trazar el segmento, es necesario seleccionar primero el centro de la circunferencia y luego los dos puntos que serán los extremos del segmento.

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determinar la medida de un ángulo hay que trazar las tangentes a cada lado del

triángulo en cada vértice y calcular el ángulo entre ellos. Procediendo de esta

forma se obtuvo que en efecto la suma era mayor a 180º.

Figura 22. La suma de los ángulos internos del triángulo ABC es mayor a 180º.

Al variar las posiciones de los vértices del triángulo sobre la esfera, observamos

que la suma de los ángulos internos también es variable, pero siempre mayor a

180º.

Al igual que en el modelo de la Geometría Hiperbólica, mientras más cerca del

centro estén los vértices más cercano es la suma a 180º y mientras se van

alejando, la suma se acerca a 540º. Este último resultado no se menciona en los

documentos que revisamos en un inicio, así que fue una propiedad que

descubrimos al mover los vértices del triángulo en el Applet. Sin embargo, para

comprobar que lo que descubrimos era cierto buscamos otra vez en otros trabajos

y en efecto, la suma de los ángulos internos de un triángulo elíptico está entre

180º y 540º.

Como hemos observado, GeoGebra fue de vital importancia para lograr nuestro

objetivo, mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser

menor, igual o mayor a 180º dependiendo de la geometría en que estemos

trabajando. La ventaja de usar GeoGebra es que al ser un software libre, es

gratuito y, además, se puede trabajar en cualquier sistema operativo.

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Conclusiones

Hemos observado que en efecto, la suma de los ángulos de un triángulo puede

ser menor, igual o mayor a 180º y todo dependerá de la Geometría en la que

estemos trabajando. Este proyecto se nos hizo bastante interesante, ya que

pudimos vivir la experiencia y poder comprobar esta propiedad del triángulo en las

diferentes geometrías de una manera bastante sencilla usando GeoGebra.

Retomando las preguntas que planteamos en la introducción, ¿cuántas

geometrías hay? En nuestra investigación planteamos la clasificación tomando en

cuenta si se cumplía o no el quinto postulado, por lo que, con base a ello,

descubrimos que existen tres tipos: Euclidiana, Hiperbólica y Elíptica o Esférica.

Además descubrimos, que cada una tiene modelos distintos para representarse y

que muchas de las relaciones que se cumplen en una, no se cumplen en otras. En

especial, que la suma de los ángulos internos de un triángulo no necesariamente

es 180º. En la Geometría Plana es 180º, en la Geometría Hiperbólica está entre 0º

y 180º, mientras que en la Geometría Elíptica o Esférica está entre 180º y 540º.

Para responder a la pregunta ¿cuál es la es más “útil”? Escribiremos lo que dice

Keith J. Devlin en su libro El lenguaje de las matemáticas:

Así pues, disponiendo de tres geometrías igualmente consistentes,

¿cuál es la correcta, es decir, la escogida por la naturaleza? ¿Cuál

es la geometría de nuestro Universo? No está claro que la pregunta

tenga una respuesta única y definitiva. El Universo es como es, y la

geometría es una creación matemática de la mente humana que

refleja ciertos aspectos del modo según el cual nos encaramos a

nuestro entorno, ¿Por qué razón debería el Universo tener una

geometría?

En una escala pequeña, la humana, que cubre parte o toda la

superficie terrestre, la física de Newton proporciona un marco

teórico en completo acuerdo con la evidencia observable, …la

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Geometría Euclidiana es la adecuada.

Por otra parte, a una escala mayor, desde el sistema solar hasta

las galaxias y más allá, la física relativista de Einstein proporciona

un ajuste más preciso a los datos observables… A esta escala

parece ser mas apropiada la Geometría No Euclidiana.

De hecho, cuando el triángulo dibujado sobre el Disco de Poincaré o sobre la

esfera era muy pequeño, observamos que la suma de sus ángulos internos se

acercaba a 180º. Esto concuerda con lo que menciona Devlin, para distancias

“pequeñas” la Geometría Euclidiana funciona bien. En cambio, cuando hablamos

de distancias “grandes” la geometría Euclidiana deja de funcionar y entran en

juego las Geometrías No Euclidianas.

De ahora en adelante, siempre que nos pregunten ¿cuánto suman los ángulos

internos de un triángulo? La respuesta sería, “depende en qué geometría”.

Referencias Bibliográficas

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Congreso Uruguayo de Educación Matemática. Montevideo, Uruguay.

Disponible en http://semur.edu.uy/curem6/actas/pdf/actas.pdf

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