Embed Size (px)
DESCRIPTION
Časová propagace vlnové funkce na mřížce I I . ( propaga ční metody). (Lekce III). Evoluční operátor. úkol: získat řešení časové Schrödingerovy rovnice s danou počáteční podmínkou: počáteční podmínka (známe): neznámá je vlnová fce v čase t : pohybová rovnice: - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
str.
1
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Časová propagace vlnové funkce na mřížce II.(propagační metody)
(Lekce III)
str.
2
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Evoluční operátor
• úkol: získat řešení časové Schrödingerovy rovnice s danou počáteční podmínkou:
– počáteční podmínka (známe):
– neznámá je vlnová fce v čase t:
– pohybová rovnice:
• obecné řešení = evoluční operátor :
• pro časově nezávislý Hamiltonián platí:
; 0x t
; 0x t
ˆi Ht
ˆ; ;0tx t u x
ˆtuˆˆ expt
iu Ht
str.
3
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Evoluční operátor
• odvození evolučního operátoru z časové Schrödingerovy rovnice:– 1. Taylorův rozvoj pro časově závislou funkci:
– 2. vyšší časové derivace dosadíme ze Schrödingerovy rovnice:
– 3. dosazení do Taylorova rozvoje:
0 0
;;
!
nn
nn t
x ttx t
n t
22
2
33
3
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
iH
t t
i iH H
t t t
iH
t
0
1 ˆ; ;0!
n
n
ix t Ht x
n
str.
4
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Evoluční operátor
– 4. srovnání s Taylorovým rozvojem exponenciely:
– 5. srovnání s definicí evolučního operátoru:
• numerická aplikace evolučního operátoru pro funkce na mřížce– není možná přímo– evoluční operátor je základem propagačních
metod
ˆˆ ˆ; ;0 expt t
ix t u x u Ht
0
ˆexp ; exp ;0!
n
n
x ix x t Ht x
n
str.
5
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Příklad:
Zdůvodněte, proč níže odvozený tvar evolučního operátoru platí pouze pro časově nezávislý Hamiltonián.
str.
6
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Výčet propagačních metod
• metoda diferencí 2. řádu „SOD“ (second order differences)– velmi jednoduchý k programování – vytváří kumulativní chyby– chyby se projevují v normě, která má
poté tendenci vytvářet obrovská čísla– záludnost: chyby vlnové funkce vznikají
dříve, než se projeví v normě
• rozdělený propagátor (split propagator)– také přesnost do 2. řádu– chyby nemají takovou tendenci se
kumulovat jako u SOD– ve srovnání se SOD dosahuje větší
přesnosti pro stejné časové kroky– z definice zachovává normu
str.
7
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Výčet propagačních metod
• Taylorův rozvoj evolučního operátoru do vyšších řádů– jednoduchý– použití v kontextu metody (tt’) pro
časově závislé Hamiltoniány– může být použit i pro běžnou propagaci
s bezčasovým Hamiltoniánem
• rozdělený propagátor do 4. řádu– poměrně jednoduchý– vylepšení přesnosti oproti obyčejnému
rozdělenému propagátoru
• Čebyševův propagátor– dlouhé časové kroky– nehodí se pro časově závislé
Hamiltoniány ani jako aproximace
• Lanczosův propagátor
str.
8
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Taylorův rozvoj evol. op.
• konstrukce propagačního kroku pomocí rozvoje evolučního operátoru do Taylorovy řady:
• problém asymetrie pro konečný rozvoj:– exaktně platí symetrie pro zpětnou propagaci:
– (1) napíšeme zpětnou propagaci pro konečný rozvoj
1
ˆexp
1 ˆ!
t t t
nMn
t tn
iH t
i tH
n
0
ˆexp
1 ˆ!
t t t
nMn
t tn
iH t
i tH
n
t t t
tt t t
tt t t
str.
9
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Taylorův rozvoj evol. op.
– (2) dosadíme za vlnovou funkci podle dopředné propagace:
– (3) úprava sumy:– součet podle mocnin delta t ….– podmínky pro n’:
''
0 ' 0
' ''
0 ' 0
1 1ˆ ˆ! '!
1 ˆ! '!
t
n nM Mn n
tn n
n n nM Mn n
tn n
i t i tH H
n n
i tH
n n
'min ,2
0 ' max 0,
min ,2'
0 ' max 0,
1ˆ' ! '!
1 ˆ 1'!
nm m MMm
t tm n m M
m m MMnm
tm n m M
i tH
m n n
mi tH
nm
'm n n
'm M n m
0 'n m n M
str.
10
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Taylorův rozvoj evol. op.
• (4) binomický trojúhelník…
– součet binomických čísel pro jednotlivé řádky
– pro m=0 získáme 1
– pro m>0 díky omezení M získáme nenulový součet
min ,2'
0 ' max 0,
1 ˆ 1'!
m m MMnm
t tm n m M
mi tH
nm
1
1 -1
1 -2 1
1 -3 3 -1
1 -4 6 -4 1
1 -5 10 -10 5 -1
-20
m=0
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
n'=0
n'=1
n'=2
n'=3
n'=4
n'=5
M=2
M=3
M=1
str.
11
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Taylorův rozvoj evol. op.
• M=1 – přispívá m=0 a m=2:
• M=2 – přispívá m=0 a m=4:
• M=3:
• Závěr: Aplikace Taylorova rozvoje pro výpočet evolučního operátoru nesplňuje přesně časovou symetrii, chyba je řádu M+1:
-20
-15-1010-51
1-46-41
-13-31
1-21
-11
1m=0
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
n'=0
n'=1
n'=2
n'=3
n'=4
n'=5
M=2
M=3
M=1
22ˆ
t t t
i tH
4
46 ˆ4!t t t
i tH
4 6
4 62 20ˆ ˆ4! 6!t t t t
i t i tH H
111 maxˆ
MMM
t
E ttH
str.
12
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Metoda diferencí II. řádu (SOD)
• zajištění časové symetrie propagace:– jiné vyjádření evolučního operátoru:
– pokud aproximujeme pravou stranu Taylorovým rozvojem sin, pak P(Δt)= –P(–Δt), a získáme symetrickou vlastnost propagace:
ˆexp
ˆexp
1 ˆ ˆ2 sin
t t t
t t t
t t t t t t
iH t
iH t
i H t P t
ˆ:
ˆ:
ˆ ˆ:
t t t t t
t t t t t
t t t t t t t
tam P t
zpet P t
dosazeni P t P t
2 11 2
0
ˆ1ˆ 22 1 !
nnM
n
H tP t i
n
str.
13
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Metoda diferencí II. řádu (SOD)
• často používanou metodou je rozvoj do II. řádu (M=2)
• chyba propagátoru je 3. řádu:
– součin časového kroku a energie musí být u propagace založené na Taylorově rozvoji < < 1, např. 0.01
• průběh propagace:
3ˆ2 ˆ ...3t t t t t
i t i t HH
3
max1
3
t E
2
,
,
...
t t t t t
t t t t t
str.
14
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Metoda diferencí II. řádu (SOD)
• inicializace propagace:– máme Ψt
– potřebujeme Ψt–Δt
– použití nesymetrického propagátoru pro 1. poloviční krok
– další poloviční krok pomocí SOD:
– získáme počáteční chybu 3. řádu, což je v rámci SOD v pořádku:
2
2 ˆ2t t t t t
i tH
22
2
2 ˆ ˆ2 2
1ˆ ˆ12
t t t t t
t
i t i tH H
i t tH H
2ˆ
2t t t t
i tH
str.
15
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Metoda diferencí II. řádu (SOD)Příklad:
Navrhněte program pro propagaci vlnové funkce zadané v minulé lekci (Gaussián v Morseho potenciálu) metodou SOD.
1. Odhadněte maximální energii kvantové částice pro dané zadání a podle ní navrhněte vhodný časový krok. (Pro odhad maximální kinetické energie použijte vzdálenost bodů na mřížce x.)
2. Napište funkci, jejíž první vstupní parametr je vlnová funkce ψ na mřížce x a výstupní parametr je H ψ na mřížce, také v souřadnicové reprezentaci. (Návod: použijte metody Fourierovy transformace pro aplikaci kinetického operátoru.)
3. Napište funkci, jejíž vstupní parametr bude vlnová funkce ψ na mřížce x a výstupní parametr je funkce ψ(t) na mřížce x, kde t=NΔt, (N=100,1000, apod.).
str.
16
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Metoda diferencí II. řádu (SOD)…pokračování…
Během propagačního cyklu provádějte kontrolní výpočty a jejich výsledky tiskněte během propagace pod sebe na řádek:
• výpočet normy vlnové funkce
• výpočet kinetické, potenciální a celkové energie
• *výpočet předpokládané chyby v normě a v energii
Dále přidejte do propagačního cyklu příkazy pro vykreslení propagované vlnové funkce pro každý n-tý krok (např. n=10 nebo 100). Pod funkcí vykreslete také potenciál. (Abyste dosáhli v Matlabu vykreslení grafiky v průběhu výpočtu, je nutné použít příkaz pause(a), který zastaví běh na a sec.)
str.
17
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Kontrola správnosti výpočtu
• zachování normy a energie– s přesností např. 0.001%
• kontrola vlnové funkce v souřadnicové reprezentaci– vlnová funkce nesmí unikat z mřížky na okrajích– je dobré provést kontrolu také v log škále (tj.
zobrazit log10|ψ|) – hodnota na okrajích by měla být o několik řádů nižší než max hodnota |ψ|
• kontrola vlnové funkce v momentové reprezentaci– převedení ψ(x) a zobrazení ψtrans(p) – pokud vlnová funkce uniká na okrajích z mřížky
v p příliš velký interval Δx v souřadnicové reprezentaci, který neumožňuje dostatečnou kinetickou energii
str.
18
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• aproximace založená na rozdělení evolučního operátoru na součin typu:
• (1) chyba nejjednodušší aproximace:
– ukážeme, že chyba je řádu (Δt)2, tato aproximace se v praxi nepoužívá
• (2) a (3) symetrizované verze s chybou řádu (Δt)3
• (4) rozdělený propagátor 3. řádu
0
ˆ ˆ ˆˆ exp exp
ˆ ˆexp exp
t
t
i iu H t T V t
i iT t V t
ˆ ˆˆ exp expt
i iu T t V t
str.
19
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• přesný evoluční operátor rozepíšeme podle Taylorovy řady takto:– V a T nekomutují, proto
0
22 2
33 2 2 2
2 3
ˆˆ exp
1 ˆ ˆ!
ˆ ˆ1
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2!
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3!
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
...
t
nn
n
iu H t
i tT V
n
i tT V
i tT TV VT V
i tT VT TVT V T T V
VTV TV V
ˆ ˆ ˆ ˆVT TV
str.
20
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• aproximativní evoluční operátor (1) napíšeme jako součin dvou mocninných řad:
• použijeme substituci m=n+n'…
• aproximace oproti přesnému operátoru:– uvedená rovnost platí jen pro n<2
0 0
ˆ ˆˆ exp exp
1 ˆ ˆ! !
t
n nn n
n n
i iu T t V t
i tT V
n n
0 0
0 0
1 ˆ ˆˆ! !
1 ˆ ˆ!
m mm n n
tm n
n nn n n
n n
i tu T V
m n n
ni tT V
nn
0
ˆ ˆ ˆ ˆnn n n n
n
nT V T V
n
str.
21
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• chyba u druhého řádu:
• chyba u třetího řádu:
22
2 2
22 2 2 2
2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ22!
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ22
1 ˆ ˆ,2
i tT V T TV V
i tT TV VT V T TV V
i tV T
33
3 2 2 3
33 2 2 2
2 3 3 2 2 3
32 2 2
2
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 33!
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ26
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2
i tT V T T V TV V
i tT VT TVT V T T V
VTV TV V T T V TV V
i tVT TVT T V V T
VTV TV
str.
22
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• aproximativní evol. operátor získaný symetrizací jako aritm. průměr:
– pozn. ukážeme, že chyba tohoto propagátoru je 3. řádu
• chyba u 2. řádu – u 1. členu:
– u 2. členu:
– po sečtení se chyba u 2. řádu vyruší
1 ˆ ˆˆ exp exp2
ˆ ˆexp exp
t
i iu T t V t
i iV t T t
21 ˆ ˆ,4
i tV T
2 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ, ,4 4
i t i tT V V T
str.
23
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• chyba u 3. řádu:– u prvního členu:
– u druhého členu:
– po sečtení:
3
2 2 2 21 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 212
i tVT TVT T V V T VTV TV
3
2 2 2 21 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 212
i tTV VTV V T T V TVT VT
2 2 2 2
22
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2
, ,
, , , ,
, ,
, ,
ˆ ˆˆ
TV VTV V T T V TVT VT
TV VT V TV VT T
V T V V TV VT T TV VT V T T
V T V V V T T V T V T T
V T
VTV V
V T V T
T V TV
V T
V T V
TT
T
3
1 ˆ ˆ ˆ ˆ, ,12
i tV T V T
str.
24
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• (ad 3) rozdělený propagátor 2. řádu získaný symetrizací součinu:– nejběžněji užívaný rozdělený propagátor– vyžaduje menší počet aritmetických operací
nežli v předchozím případě
– nebo analogicky:
ˆ ˆˆ exp exp2 2
ˆ ˆexp exp2 2
ˆ ˆ ˆexp exp exp2 2
t
i t i tu T V
i t i tV T
i t i i tT V t T
ˆ ˆ ˆˆ exp exp exp2 2t
i t i i tu V T t V
str.
25
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• chyba propagátoru:– rozložení exponenciálních členů do mocninných
řad:
– substituce m=n+n'+n„
– chyba v m-tém řádu:
0 0 0
ˆ ˆ ˆˆ exp exp exp2 2
ˆ ˆ ˆ1
2 ! ! !
t
n n n n n n
n nn n n
i t i i tu T V t T
i t T V T
n n n
0 0 0
ˆ ˆ ˆ1 !ˆ
! 2 ! ! !
m m n nn nm m n
t n nm n n
i t m T V Tu
m n m n n n
0 0
ˆ ˆ ˆ!ˆ ˆ2 ! ! !
m n nn nm m nm
n nn n
m T V TT V
n m n n n
str.
26
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• chyba ve 2. řádu (m=2)– ukážeme, že je nulová…
– pravá strana (napíšeme do tabulky)
– součet:
22 22
0 0
ˆ ˆ ˆ1ˆ ˆ 22 ! 2 ! !
n nn nn
n nn n
T V TT V
n n n n
n n" n+n" 2-(n+n")
1/
2 n+n"
1/n! 1/ n"!
1/[2-(n+n")]!
0 0 0 2 1 1 1 1/2 1/2 V2
0 1 1 1 1/2 1 1 1 1/2 VT
0 2 2 0 1/4 1 1/2 1 1/8 T2
1 0 1 1 1/2 1 1 1 1/2 TV
1 1 2 0 1/4 1 1 1 1/4 T2
2 0 2 0 1/4 1/2 1 1 1/8 T2
22 21 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ22T VT TV V T V
str.
27
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• chyba ve 3. řádu
– použijeme podobného postupu jako v předchozím případě a získáme…:
33 33
0 0
ˆ ˆ ˆ1ˆ ˆ 3!2 ! 3 ! !
n nn nn
n nn n
T V TT V
n n n n
Příklad:
Ověřte!
3
1 ˆ ˆ ˆ ˆ, , 224
i tV T T V
str.
28
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
• aplikace rozděleného propagátoru:
1. převedeme vlnovou funkci do p-reprezentace a aplikujeme kinetický evoluční operátor jako skalární součin (T komutuje s p)
2. převedeme získanou funkci zpět do x-reprezentace a aplikujeme potenciální evoluční operátor (V komutuje s x)
3. převedeme vlnovou funkci opět do p-reprezentace a aplikujeme kinetický evoluční operátor
ˆ ˆ ˆˆ exp exp exp2 2t
i t i i tu T V t T
1
1
ˆ ˆ ˆˆ exp exp exp2
ˆ ˆexp exp2
N
N tn
i t i iu T V t T t
i i tV t T
str.
29
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Rozdělený propagátor
Příklad:
Zopakujte předchozí úlohu, kde jsme počítali propagaci pomocí propagátoru SOD, nyní pomocí rozděleného propagátoru. Pokuste se také vypočítat odhad chyby.
Srovnejte závislost chyby na energii u propagátoru SOD a rozděleného propagátoru. Svůj závěr doložte příkladem numerického výpočtu.
literatura:R. Kosloff, Annu.Rev.Phys.Chem. 45 (1994) 145.
str.
30
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Doplnění – kumulace chyby
• Kumulace chyby u aproximace 1. řádu:
– lze ilustrovat změnu normy vlastního vektoru Hamiltoniánu na jednotkové kružnici:
– nastane změna fáze o která se zachová i u aproximativní propagace
– nenastane změna normy, ale u aproximativní propagace ano:
ˆˆ 1i
u t tH
tE
21 tE
str.
31
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
TMF0
45
le
tní s
emes
tr 2
006
III
Doplnění – kumulace chyby
– Závěr: pro vlnové klubko, které obsahuje větší množství energií nastanou tyto chyby:
– soustavná chyba kvůli odlišné změně normy pro jednotlivé složky
– zesílení vyšších energetických složek, jejichž původni norma byla na úrovni numerického šumu způsobí po čase nárůst normy do nekonečna
• změna normy pro SOD
viz TMF045_2.m
Příklad:
Dokažte, že se v každém druhém propagačním kroku změní norma vlastního vektoru Hamiltoniánu takto: 24 E t
