Catatan Matdis.docx

Pertemuan I tgl 25/09/2011

HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan ojek-objek yang berbeda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Himpunan dinyatakan dengan lambang : { } .Objek didalam anggota himpunan dinamakan unsur (elemen) atau anggota himpunan yang dilambangkan oleh notasi ‘ ∈ ‘.

PENULISAN HIMPUNAN

1. Himpunan Huruf Vokal - Tabulasi → A : { a,i,u,e,o }- Deskripsi → A : { x|x = huruf vokal }

2. Himpunan Semesta ( Universal Set ) Merupakan himpunan yang mencakup setiap elemen pada himpunan lainnya. Dilambangkan : S3. Himpunan Kosong Merupakan himpunan yang tidak memiliki satupun elemen . Notasi : { } atau Φ Contoh : bilangan ganjil yang habis dibagi dengan 24. Himpunan Tak Hingga Merupakan himpunan yang memiliki anggota tak terhingga5. Himpunan Terhingga Merupakan himpunan yang memiliki anggota yang berhingga6. Himpunan Bagian ( Subset ) Contoh : A = { a,b,c } → jumlah subset = 2n →|¿ A|=23=8 Maka subset A = {},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

OPERASI TERHADAP HIMPUNAN

1. Irisan ( Intersection ) → lambang : ∩ Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan B . Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } Contoh : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {1,2,4,6,8} B = {1,3,5,7,9} Maka A ∩ B = {1}

2. Gabungan (Union ) → lambang : ∪ Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A dan himpunan B . Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } Contoh : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {1,2,4,6,8} B = {1,3,5,7,9} Maka A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

1Catatan Matematika Diskrit Dany Kurniawan

3.Komplemen ( Complement ) → lambang : Ac

Kompelemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S/U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A. Notasi : Ac = { x | x ∈ S dan x ∉ A} Contoh : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {1,2,4,6,8} B = {1,3,5,7,9} Maka Ac = { 3,5,7,9,10} dan Bc = {2,4,6,8,10}

4. Selisih / Relatif ( Different ) → lambang : - Selisih dari himpunan A dan terhadap B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B . Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B} = A ∩ Bc

Contoh : A = {1,2,4,6,8} B = {1,3,5,7,9}

Maka : A – B = {2,4,6,8} dan B – A = {3,5,7,9} Ket : A – B ≠ B – A

5. Jumlah / Beda Simetris ( Symetric difference ) → ⨁ Beda Simetris dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A dan B , tetapi tidak pada keduanya . Notasi : A ⨁ B = ( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) = ( A – B ) ∪ ( B – A ) Contoh : A = {1,2,4,6,8}

B = {1,3,5,7,9} Maka A ⨁ B = {2,3,4,5,6,7,8,9}

Teorema beda simetris memenuhi hukum2 : a) A ⨁ B = B ⨁ A hk. komutatif b) ( A ⨁ B ) ⨁ C = A ⨁ ( B ⨁ C ) hk. asosiatif

HITUNGAN PADA HIMPUNAN

Persamaan Umum :n = jumlah anggotan ( A ∪ B ) = n (A) + n (B) – n ( A ∩ B )n ( A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n(C) – n ( A ∩ B ) – n ( A ∩ C ) – n ( B ∩ C ) + n ( A ∩ B ∩ C ) n ( A ⨁ B ) = n (A) + n (B) – n . 2 ( A ∩ B )


Contoh soal : U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = { 1,2,3,4,5} → Ac = { 6,7,8,9}B = { 3,4,5,6,7,8} → Bc = { 1,2,9}C = { 2,3,4}

Tentukan dengan menyebut anggotanya :a) A ∩ B = { 3,4,5} g) (A ∩ B) – C = {5}b) B ∩ C = {3,4} h) (A ∩ B) - Ac = {3,4}c) A ∩ B ∩ C = {3,4} i) B – C ={5,6,7,8}d) A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8} j) n ( A ∪ B ) = 5 + 6 - 3 = 8e) A ∩ Bc = {1,2} k) n ( A ∪ B ∪ C ) = 5+ 6 + 3 – 3 – 3 – 2 + 2 = 8f) A ∪ Bc = {1,2,3,4,5,9}l) buat diagram venn

S C A B

1 2 3 6 4 8 5 7

9

RELASIDefinisi :Relasi antara himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang berisi pasangan terurut yang mengikuti aturan tertentu. Jadi , relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian cartesian product A x B atau R ⊆ ( A x B ).

Perkalian kartesian → AxB = {(a,b) | a ∈ A dan b ∈ B }R ⊆ ( A x B )Notasi : - aRb , jika (a,b) ∈ R

- aRb , jika (a,b) ∉ R

Contoh : A = himpunan nama mahasiswa {dany,agus,yanto} B = himpunan kode mata kuliah { IF221,IF251,IF342,IF323}

AxB = { (dany,IF221),(dany,IF251),(dany,IF342),(dany,IF323), (agus,IF221),(agus,IF251),(agus,IF342),(agus,IF323), (yanto,IF221),(yanto,IF251),(yanto,IF342),(yanto,IF323) }

Relasi adalah himpunan bagian dari aRb. * Dimisalkan aRb = { (dany,IF251),(dany,IF323),(agus,IF221),(agus,IF323),(yanto,IF323) }Penulisan Relasi :1. Tabel

A BDany IF251Dany IF323Agus IF221Agus IF323


yanto IF323

2. Matriks Jika A = {a1,a2,a3,….am} dan B = {b1,b2,b3,….bn} Maka AxB= [ M ij ]

b

M = [M 11 M 12…. M 1 n

M 21.....

M 22…. M 2 n

M m1 M m2 M mn

] a

A = {dany,agus,yanto} B = { IF221,IF251,IF342,IF323} aRb = { (dany,IF251),(dany,IF323),(agus,IF221),(agus,IF323),(yanto,IF323) } maka matriksnya :

M = [0 1 01 0 00 0 0

111]

M11 = M dany IF221 = 0 , karena tidak ada dalam kolom relasi (aRb)M12 = M dany IF251 = 1 , karena ada dalam kolom relasi (aRb)

Ket:M 1 1 b1

a1 ∴ jika ada dikolom relasi ,maka di matriks ditulis dengan angka 1 , jika tidak ada ditulis angka 0

3. Graph berarahMisal aRb = {(2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9)}

3Ket : (2,2) = 2

2 4 (2,4) = 2 4

89

RELASI INVERSJika R merupakan suatu relasi maka R -1 merupakan relasi invers dari R dimana

R = { (b,a) | (a,b) ∈ R } .4

Catatan Matematika Diskrit Dany Kurniawan

Contoh : R = {(2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9)} R -1 = { (2,2),(4,2),(8,2),(3,3),(9,3)}


KOMBINASI RELASI Operasi himpunan seperti irisan,gabungan,selisih,beda setangkup juga berlaku antara 2 relasi. Jika R 1

dan R2 masing2 merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B ,Maka R1∩R2 , R1∪R2 , R1-R2 , dan R1⨁R2 juga merupakan relasi dari A ke B .Misal :

A = {a,b,c}B = {a,b,c,d}R1 = { (a,a),(b,b),(c,c)}R2 = { (a,a),(a,b),(a,c),(a,d)}

Maka :R1∩R2 = {(a,a)}R1∪R2 = { (a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d) }R1-R2 = { (b,b),(c,c) }R1⨁R2 = { (b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}

KOMBINASI RELASI MATRIKSMisal :

R1=[1 0 00 0 11 1 0 ] R2=[1 0 0

0 1 00 0 1 ]

R1∩R2 = [1 0 00 0 00 0 0 ] → kedua2nya hrs punya anggota , jika punya ditulis 1, jika tidak ditulis 0

R1∪R2 = [1 0 00 0 11 1 0 ] → R1 dan R2 punya anggota ,jika keduanya punya ditulis 1 , tidak ditulis 0

R1-R2 = [1 0 00 0 11 1 0 ] → R1 harus punya anggota ,jika R1 punya ditulis 1 , tidak ditulis 0

KOMPOSISI RELASIMisalkan : R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan S adl relasi dr himpunan B ke C . komposisi R dan S dengan notasi S∘R adal relasi A ke C.Contoh : R ={(1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)}

S = {(2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)}Maka :

S∘R = { (1,u),(1,t),(2,s),(3,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

Ket : jika R ke S ⟹S∘ R S ke R ⟹R∘ S


A BR = (1 , 2 ) B C S∘ R = {(1,u) } jika double ditulis 1x saja…..S = (2 , u)

FUNGSISuatu fungsi F dari himpunan A ke himpunan B, ditulis: F : X → Y Adalah relasi yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke anggota himpunan B .

Fungsi ⊆ Relasi ⊆ Hasil Kali Kartesian Contoh : X f Y X g Y X h Y

f bukan fungsi g adalah fungsi h bukan fungsi ( karena d tidak mempunyai domain : { a,b,c,d} ( karena c mempunyai kawan di Y ) kodomain : {1,2,3,4} 2 kawan di Y )

range : {1,2,4}

FUNGSI KOMPOSISIKomposisi fungsi dari fungsi f dan g dinyatakan oleh (g o f).

Jika f : A→B dan g : B→C, maka : (g o f) : A→C (g o f) (a) = g (f(a))

Contoh :

1. Misalkan X = { a, b, c } , Y = { w,x,y,z ) , Z = { 1,2,3,4 } Didefinisikan Fungsi f : X →Y dan Fungsi g : Y → Z seperti: Diagram di bawah ini. Carilah g o f ! jawab :


( g o f ) (a) = g( f(a) ) = g( w ) = 1

( g o f ) (b) = g( f(b) ) = g( y ) = 4

( g o f ) (c) = g( f(c) ) = g( z ) = 5

2. Diketahui fungsi f dan g: f(x) = 3x + 4, g(x) = x2– 1. Selidiki apakah g o f(x) = f o g (x)? Jawab :

(g o f) (x) = g( f(x) ) = g( 3x+4 ) = (3x+4)2 – 1= 9x2 + 24 x + 15

(f o g) (x) = f( g(x) ) = f(x2 – 1) = 3(x2 – 1) + 4 = 3x2 + 1 Jadi g o f ≠ f o g

3. Diketahui fungsi f dan g: g(x) = 3x + 2, (gof)(x) = x2 + 3x +4. Tentukan rumus f(x) dan f(2x+1) !!! Jawab :

(g o f) (x ) = g( f(x)) = 3 f(x) + 23 f(x) + 2 = x2 + 3x + 4

f(x) = ⅓ x2 + x + ⅔

f(2x+1) = ⅓ (2x+1)2 + (2x+1) + ⅔

= ⅓ (4x2+4x+1) + ⅓ (6x+3) + ⅔

= ⅔ (2x2 + 5x + 3)

4. Diketahui fungsi f dan g: f(x) = x - 6, (gof)(x) = x2 + 5x+ 4,Tentukan rumus g(x) dan g(2x+1) ! Jawab :

(g o f) (x) = g( x - 6 ) = x2+ 5x + 4 misal: y = x – 6 → x = y + 6

Jadi g( y ) = (y+6)2 + 5 (y+6) + 6

= y2 + 12 y + 36 + 5 y + 30 + 6

= y2 + 17 y + 72

Jadi g(x) = x2 + 17 x + 72

g(2x+1) = (2x+1)2 + 17 (2x+1) + 72

= 4 x2 + 38 x + 90

5. Diketahui fungsi f dan g : f(x) = 3x2 - 8 , g(x) = 5x + 10 ,tentukanlah fog(x) dan gof(x)!!!! Jawab :

fog(x) = f(g(x)) = f(5x + 10)= 3(5x + 10)2 - 8 = 3 (25x2 + 100x + 100 ) – 8

= 75x2 + 300x + 300 – 8 = 75x2 + 300x + 292

gof(x) = g(f(x)) = g(3x2 – 8)


= 5(3x2 – 8) + 10= 15x2 – 40 + 10= 15x2 – 30


Pertemuan II tgl 02/10/2011TEORI GRUP

A . OPERASI ASOSIATIF (PERTUKARAN)

Misalkan : * sebuah operasi biner pada himp A Operasi * dikatakan asosiatif jika :

(a∗b )∗c=a∗(b∗c ) Contoh : 1. H adalah himp asli □ operasi biner sehingga a □ b = a + b kuncinya Apakah □ operasi asosiatif ? Jawab :

(a □ b ) □ c=a□ (b □ c )(a+b )+c=a+(b+c )→ masukan nilai sembarang mis: a = 8, b = 2, c = 3(8+2 )+5=8+(2+5 ) 15=15 bernilai samaMaka □ adalah operasi asosiatif

2. B adalah himp bulat positif ∆ adalah operasi biner sehingga a ∆ b = a2 + b Apakah ∆ opersi asosiatif ? Jawab :

(a ∆ b ) ∆ c=a ∆ (b ∆ c )(a2+b )2+c=a2+(b2+c) a4+2 a2 b+c ≠ a2+b2+c tidak bernilai sama/bukanMaka ∆ adalah bukan operasi asosiatif

3. A adalah himp asli * adalah operasi biner sehingga a ¿ b = a - 2b Apakah * operasi asosiatif ? Jawab :

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )(a−2 b )−2c=a−2 (b−2c ) a−2 b−2c ≠ a−2b−4 c tidak bernilai sama/bukanMaka ¿ adalah bukan operasi asosiatif

4. B adalah himp bil.cacah ⨁ adalah operasi biner sehingga a ⨁ b = a : b Apakah ⨁ operasi asosiatif ? Jawab :

(a⨁b )⨁c=a⨁ (b⨁c ) (a :b ) : c≠ a : (b :c )→ tidak bernilai sama/bukan Maka ⨁ adalah bukan operasi asosiatif


B . SEMI GRUP

Jika ( A , * ) sebuah sistem aljabar , * merupakan operasi sembarang pada ( A,* ) dinamakan semi grup jika memenuhi syarat :1. * merupakan operasi tertutup ( anggota )2. * merupakan operasi asosiatif

a∗b ¿bisa berupa +, - , x ,: Contoh :1. A adalah himp bil.bulat genap {2,4,6,8,10,…} + adalah operasi penjumlahan biasa Apakah (A,+ ) adalah semi grup ? Jawab :

Syarat 1 : misalkan masukan nilai yg terdpat dlm himp bil genapa * b = a + b → a =2, b=10

2 + 10 = 12 → operasi tertutup Maka + adalah operasi tertutup ( anggota dr himp bil.genap {2,4,6,8,10,…} )

Syarat 2 : (a∗b )∗c=a∗(b∗c ) (a+b )+c=a+(b+c ) → a = 4, b =8 , c =10(nilai yg tdpt dlm himp bil genap) (4+8 )+10=4+(8+10 )

22=22 bernilai samaMaka + adalah operasi asosiatif

Sehingga (A, + ) adalah semi grup

2. S={α , β , γ } A adalah himp semua string tidak kosong huruf dari S Maka A = . adalah opeasi biner pada A sehingga untuk sembarang dua string a dan b didalam A

A = {α , β , γ , αα , αβ , αγ , ααα , ααβ , ααγ ,…} berlaku a . b menghasilkan string yang merupakan penyambungan string a dan b αα . αβγ=αααβγ

Apakah (A, . ) merupakan semi grup ? Jawab :

Syarat 1 = . adalah operasi tertutup (anggota dari himp A)Syarat 2 =

(a∗b )∗c=a∗(b∗c ) (a . b ) . c=a . (b . c )→ a = , b = γβ , c = α (αβ . γ β ) . α=αβ . (γβ . α ) αβγβα=αβγβα bernilai sama

Maka . adalah operasi asosiatif

sehingga (A, . ) adalah semi grup


C . UNSUR KEIDENTIKAN

( A ,* ) sebuah sistem aljabar , * sebagai opersi binernya . unsur e didalam A dinamakan keidentikan kiri jika untuk semua x didalam A berlaku e * x = x , unsur e didalam A dinamakan keidentikan kanan jika untuk semua x didalam A berlaku x * e = x .Misal :

e1 suatu keidentikan kiri dan e2 suatu keidentikan kananBagi sistem aljabar (A,*) maka : - keidentikan kiri e1∗e2=e2

- keidentikan kanan e1∗e2=e1

Jadi haruslah e1=e2

Keidentikan merupakan unsur netral , bila ia digabungkan dengan unsur lain ia tidak akan berpengaruh apa-apa terhadap hasilnya.

Contoh :1. ( N,+) suatu sistem aljabar N adalah himp bil.asli + operasi penjumlahan biasa Maka unsur keidentikannya adalah 0 (nol)

2. (M,*) suatu sistem aljabar M himp semua bil.bulat * operasi perkalian Maka unsur keidentikannya adalah 1 (satu)

3. warna jika dicampur Maka unsur keidentikannya adalah warna putih

D. UNSUR KEBALIKAN→ menghilangkan/memulihkan/menetralkan pengaruh unsur tersebut jika digabungkan.

Contoh :1. campuran asam basa air Unsur kebalikan basa adalah asam

2. bilangan asli Unsur kebalikan bil.genap adalah bil.ganjil

3. (A,*) suatu sistem alajabar * operasi biner (A,*) disebut grup jika memenuhi syarat :

- * merupakan operasi tertutup(anggota)- * merupakan operasi asosiatif- * sistem mempunyai unsur keidentikan- * sistem mempunyai unsur kebalikan


Pertemuan III tgl 09/10/2011

TUGAS !!!!1. N himp bil.asli, apakah . suatu operasi asosiatif jika : a) a . b = a + b + 3 b) a . b = a + 2b

2. (A,*) sebuah sistem aljabar , * operasi biner dan untuk sembarang a dan b didalam A a * b = a a) apakah * operasi asosiatif ? b) apakah * bisa menjadi operasi yang komutatif ? ket : komutatif jika a * b = b * a

3. (A, □) sebuah semigrup dan a sebuah unsur didalam x , □ operasi biner pd A sehingga untuk setiap x dan y didalam A berlaku x □ y = x . a . y apakah □ operasi asosiatif ?

Pertemuan IV tgl 16/10/2011

PEMBAHASAN TUGAS!!!Jawaban :1. a) a . b = a + b + 3 → kuncinya

(a . b ) . c=a . (b . c ) (a+b+3 ) . c=a . (b+c+3 )(a+b+3 )+c+3=a+ (b+c+3 )+3 a+b+c+6=a+b+c+6 bernilai samaMaka . bersifat asosiatif

b) a . b = a + 2b → kuncinya

(a . b ) . c=a . (b . c ) (a+2b ) .c=a . (b+2 c ) (a+2b )+2 c=a+2 (b+2c ) a+2b+4 c≠ a+2 b+2c tidak samaMaka . tidak bersifat asosiatif

2. a) a * b = a → kuncinya(a∗b )∗c=a∗(b∗c ) a∗c=a∗b a=a bernilai samaMaka * bersifat asosiatif

b) komutatif jika a∗b=b∗a a ≠ b tidak komutatif

3. x □ y=x . a . y → kuncinya (a □ b ) □ c=a□ (b □ c ) (a . a . b ) □ c=a □ (b . a . c ) a a ba c=a a b ac bernilai sama Maka □ bersifat asosiatif


REVIEW

OPERASI BILANGAN BINERArti biner adalah dua. Sistem bilangan biner hanya menggunakan dua digit, yaitu 0 dan 1.

Seluruh digit yang lain (2 sampai 9) tidak dipergunakan. Dengan perkataan lain, bilangan-bilangan biner merupakan string dari 0 dan 1.Sebagaimana halnya dengan bilangan desimal, yang dapat dilakukan di dalamnya berbagai operasi komputasi (perhitungan), maka pada bilangan-bilangan biner dapat pula dikerjakan operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

1. Penjumlahan BinerPenjumlahan bilangan biner sama saja caranya dengan penjumlahan bilangan desimal. Aturan

yang digunakan untuk penjumlahan adalah :0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 1 1 + 1 = 0 → sisa 11 + 1 + 1 = 1 → sisa 1 sisa bernilai positif

ket : 1 + 1 = 2 – 2 = 0 → sisa 1 karena digit terbesar binari 1, maka harus dikurangi dengan 2 (basis), jadi 2 – 2 = 0 dengan sisa 1 1+ 1+ 1 = 3 – 2 = 1 → sisa 1 karena digit terbesar binari 1, maka harus dikurangi dengan 2 (basis), jadi 3 – 2 = 1 dengan sisa 1 Contoh : * 10011 + 11101= 110000

1 1 11 1 sisa dari hasil bilangan sebelumnya

1 0 01 1 1

1 10 1

+ 1 1 00 0 0 hasil penjumlahan

Atau dengan langkah :

1 + 1 = 0 dengan sisa 1

1 + 0 + 1 = 0 dengan sisa 1

0 + 1 + 1 = 0 dengan sisa 1

0 + 1 + 1 = 0 dengan sisa 1

1 + 1 + 1 = 1 dengan sisa 1 1 1 0 0 0 0



* 11101 + 10111 = 110100

1 1 11 1 sisa dari hasil bilangan sebelumnya

1 1 11 0 1

0 10 1

+ 1 1 01 0 0 hasil penjumlahan

2. Pengurangan BinerBilangan biner dikurangkan dengan cara yang sama dengan pengurangan bilangan desimal. Dasar

pengurangan untuk masing-masing digit bilangan biner adalah :0 – 0 = 00 – 1 = 1 → -1 sebagai pinjaman (dengan meminjam ‘1’ dari digit disebelah kirinya)1 – 0 = 11 – 1 = 00 – 1 – 1 = 0 → -1 sebagai pinjaman 1 – 1 – 1 = 1 → -1 sebagai pinjaman

Pada pengurangan jika bilangan yang dikurangi lebih kecil daripada bilangan pengurangnya maka dilakukan peminjaman pada tempat yang lebih tinggi(disebelah kirinya).

Contoh : * 11010 – 1001 =10001

1 pinjam dari digit disebelah kirinya

1 1 01 ¿ ¿

_ 1 00 0 1 hasil pengurangan

* 11001 – 1111 = 1010 1 pinjam dari digit disebelah kirinya

1 1 01 ¿ ¿


* 100011 – 11101 = 110 1 pinjam dari digit disebelah kirinya

1 0 0 01 1 1

1 10 1




3. Perkalian Biner Dilakukan sama dengan cara perkalian pada bilangan desimal. Dasar perkalian bilangan biner

adalah :0 x 0 = 01 x 0 = 00 x 1 = 01 x 1 = 1

Untuk bil biner pengalinya hanya berharga 0 dan 1 , oleh karena itu perkalian bil biner hanya memerlukan operasi penjumlahan dan operasi pergeseranContoh : 1110 1011 10011

1100 x 101 x 1101 x

0000 1011 10011

0000 0000 00000

1110 1011 + 10011

1110 + 110111 → hasil 10011 +

10101000 → hasil 11110111 → hasil

4. Pembagian BinerPembagian biner dilakukan juga dengan cara yang sama dengan bilangan desimal. Pembagian

biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pemagian biner adalah :0 : 1 = 01 : 1 = 1

Operasi pembagian dua bil biner secra terpisah dapat juga digambarkan sebagai operasi pengurangan dan operasi pergeseran.Contoh : * 1001 : 011 = 11

11 hasil pembagian011 /1001 011 _ 011 011 _ 0

* 101101 : 101 = 1001

1001 hasil pembagian 101/101101 101 _ 01 0 _ 010 0 _ 0101 101 _

0



Pertemuan V tgl 23/10/2011

ALJABAR BOOLEAN

ALJABAR BOOLEANSimbol ( B , + , . , ‘ , 0 , 1 )B = himp Boole+ dan . (dot) = operasi biner ‘ = operasi uner0 = operasi zero1 = operasi unit

Definisi :( B , + , . , ‘ , 0 , 1 ) disebut aljabar boolean untuk a,b,c, ∈ B memenuhi keempat Postulat

Huntington ,yaitu 1. Identitas

a + 0 = a ket : 0 = operasi zero dan 1 = operasi unita . 1 = a

2. Komunitatifa + b = b + aa . b = b . a

3. Distributifa . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

4. Komplementa + a ' = 1 → unita . a ' = 0 → zero

dimana a '=nilai unitnilai a

note : a + b = KPK (a,b)a . b = FPB (a,b)KPK : cari yang sama, pangkat terbesar dan sisanyaFPB : cari yang sama dan pangkat terkecil

Contoh :1. 20 = 1 , 22 , 5 15 = 1 , 3 , 5 KPK dari 20 dan 15 = 1 . 22 . 3 . 5 = 60 → faktor-faktor dikali FPB dari 20 dan 15 = 1 . 5 = 5 → faktor-faktor dikali

2. 25 a2 b c3 = 1 , 52 , a2 , b , c3

10 a b2 d = 1 , 2 , 5 , a , b2 , d KPK nya = 1 . 2 . 52 . a2 . b2. c3 .d = 50 a2 b2 c3d FPB nya = 1 . 5 . a. b = 5 ab


Contoh soal !!!

1. B adalah pembagi dari 70 B = { 1 , 2 , 5 , 7 , 10 , 14 , 35 , 70 } 1 = zero dan 70 = unit Apakah B adl aljabar boolean ? Jawab : * Identitas → mis : a = 2

2 + 1 = 2 1 = 1 2 = 1, 2 2 . 70 = 2 2 = 1 ,2 70 = 1,2,5,7 pembuktian

2 + 1 = KPK = 1.2 = 2 2 . 70 = FPB = 1.2 = 2 identitas terbukti

* Komunitatif → mis : a = 5 , b = 7 5 + 7 = 7 + 5 5 = 1 , 5 5 . 7 = 7 . 5 7 = 1 , 7 pembuktian

5+7 = 7+5 = KPK = 1.5.7 = 355 . 7 = 7 .5 = FPB = 1

komutatif terbukti karena ruas kiri dan kanan bernilai sama

* Distributif → mis : a = 2 , b = 7 , c = 10 I . 2 . (7+10) = (2 .7) + (2 . 10) II. 2 + (7 .10) = (2+7) . (2+10) Pembuktian: 2 = 1,2

7 = 1,710 = 1,2,570 = 1,2,5,7

I . Ruas kiri Ruas kanan7+10 = KPK = 1.2.5.7 = 70 2 . 7 = FPB = 12 . 70 = FPB = 1.2 = 2 2 . 10 = FPB = 1.2 = 2

1 + 2 = KPK = 1.2 = 2 Jadi : 2 . (7+10) = (2 .7) + (2 . 10)

2 . 70 = 1 + 2 2 = 2

Distributif I ruas kiri dan kanan bernilai sama

II . Ruas kiri Ruas kanan 7 . 10 = FPB = 1 2 + 7 = KPK = 1.2.7 = 14

2 + 1 = KPK = 1.2 = 2 2 + 10 = KPK = 1.2.5 = 1014 = 1,2,714 . 10 = FPB = 1.2 = 2

Jadi : 2 + (7 .10) = (2+7) . (2+10) 2 + 1 = 14 . 10 2 = 2 Distributif II ruas kiri dan kanan bernilai sama

Distributif I & II terbukti


* Komplement → mis : a = 7 maka a'=nilai unit

nilai a=70

7

a + a ' = 7 + 707

= 70 → unit

a . a ' = 7 . 707

= 1 → zero

pembuktian:

7 = 1,7 KPK = 1.7.707

= 70

707

= 1, 707

FPB = 1

Kompkement terbukti

Setelah memenuhi keempat Postulat Huntington dan terbukti maka B adalah Aljabar Boolean.

2. B = { 0,1} Dengan operasi biner & opersi komplement ditabel berikut

a b a + b a b a . b a a'0 0 0 0 0 0 0 10 1 1 0 1 0 1 01 0 1 1 0 01 1 1 1 1 1

Apakah B adalah aljabar boolean? Jawab :

* Identitas 1 + 0 = 1 terbukti lihat tabel

1 . 1 = 1* Komutatif

1 + 0 = 0 + 1 terbukti lihat tabel1 . 0 = 0 . 1

* DistributifI . a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )II. a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Tabel I. a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )

a b c b + c a . (b + c ) a . b a . c (a . b)+(a . c)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 0 1


1 1 1 1 1 1 1 1

sama

Tabel II. a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

a b c b . c a + (b . c ) a + b a + c (a + b).(a +c)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

SamaTabel Distributif I & II terbukti

* Komplementa + a ' = 1 + 1' = 1 + 0 = 1 → unit terbukti lihat tabela . a ' = 1 . 1' = 1 . 0 = 0 → zero

Setelah memenuhi keempat Postulat Huntington dan terbukti maka B adalah Aljabar Boolean

Pertemuan VI tgl 30/10/2011EKSPRESI BOOLEAN

Misalkan B ( + , . , ‘ ) merupakan aljabar booleanMaka ekspresi boolean adalah - setiap elemen B- setiap elemen peubah- jika e1 & e2 adalah ekspresi boolean maka e1 . e2 , e1 + e2 ,e1’ adalah ekspresi boolean juga

0 ,1 , a , a+b , a b , a ' b → ekspresi boolean

EVALUASI EKSPRESI BOOLEAN adalah mensubsitusikan nilai untuk mengganti variabel.Contoh : a = 2 , b = 7 , c = 10

a 'b + c = 0 .0 + 1 = 1

PERJANJIAN TANDA'(komplement) mempunyai tingkat lebih tinggi dibanding + dan .

a . b ditulis ab


DUALISME BOOLEAN Misalkan S adalah kesamaan didalam boolean kemudian ditentukan S* dengan cara mengganti :

(+) dengan ( . ) note :( . ) dengan (+) hanya sekali dirubah,jika sudah dirubah tidak 0 dengan 1 perlu di rubah lagi 1 dengan 0

Maka S* disebut dual dari S, dan komplement tetap.Contoh :

1. ( a + 1 ) . ( b + 0 ) = a b Dualnya : ( a . 1 ) + ( b . 0 ) = a + b

2. ( a . 1 ) . ( a’ + 1 ) = ( a + 0 ) Dualnya : ( a + 0 ) + ( a’ . 0 ) = ( a . 1 )

MACAM2 ALAJABAR BOOLEAN1. Hukum Identitas 7 . Hukum Penyerapan (absorbsi) a + 0 = a → 0 = zero a + ab = a a . 1 = a → 1 = unit a ( a + b ) = a2. Hukum Idempoten 8. Hukum Komutatif a + a = a a + b = b + a a . a = a a . b = b . a3.Hukum Komplement 9. Hukum asosiatif a + a’ = 1 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a . a’ = 0 a . ( b . c ) = ( a . b ) . c4. Hukum Dominasi 10. Hukum Distributif a . 0 = 0 a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c ) a + 1 = 1 a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )5. Hukum Involusi 11. Hukum De Morgan ( a’)’ = a ( a + b ) ‘ = a‘ b‘6. Hukum 0/1 ( a b ) ‘ = a’ + b’ 0 ’ = 1 1 ‘ = 0

SEDERHANAKANLAH !!!a) a+a b'

b) a (a'+b)jawab:

a) a+a b'=a+ab+ab' ket : a → a+ab=Hk . Penyerapan ¿a+ (a+a' )b ab+ab' → ( a+a' ) b=Hk . Distributif

¿a+1b a+a' → 1 ¿ Hk . Komplement ¿a+b a+b ¿ Hk . Identitas

b) a ( a'+b )=aa'+ab ket : a ( a'+b ) → aa'+a b=Hk . Distributif

¿0+a b a a' → 0 ¿ Hk . Komplement ¿a b a b ¿ Hk . Identitas


FUNGSI BOOLEANFungsi boolean terdiri dari variabel biner yang menunjukkan fungsi.

Contoh :f (x) = x → 1 literal note :f (x,y) = x’y + x → 2 literal setiap variabel / peubah didalam 1 booleanf (x,y) = (x + y’)’ →2 literal disebut 1 literalf (x,y,z) = x y’z + xy → 3 literal

KOMPLEMENT FUNGSI

Komplement fungsi ditentukan dengan menggunakan rumus De Morgan(a+b)‘=a‘ b ‘(ab) ‘=a ’+b’ kuncinya

Contoh :1. f ( x , y )=x ' y+ y f ' ( x , y )=( x ' y+ y ) ' ¿ ( x ' y )' . y ' ¿ x+ y ' . y '

2. f ( x , y )=( x+ y ' ) . x ' f ' ( x , y )=[ ( x+ y ' ) . x ' ] ' ¿ ( x+ y ' ) ' +x ¿ x ' . y+x

3. f ( x , y , z )=x y ' z+x y f ' ( x , y , z )=( x y ' z+ x y ) ' ¿ ( x y ' z )' . ( x y ) ' ¿ ( x '+ y+ z ' ). ( x '+ y ' )

note : hanya sekali dirubah,jika sudah dirubah tidak perlu di rubah lagi

PENJUMLAHAN FUNGSI f ( x , y )=x y'+ y dan g ( x , y )=x '+ y '

h ( x , y )=f ( x , y )+g( x , y )

jawab : h ( x , y )=f ( x , y )+g( x , y ) ket : y+ y '=1 ¿ ( x y '+ y )+ ( x'+ y ' ) ¿ x y'+ y+ y '+x '


¿ x y'+x '+1

PERKALIAN FUNGSI

f ( x , y )=x y'+ y dan g ( x , y )=x '+ y '

h ( x , y )=f ( x , y ) . g (x , y )

jawab : h ( x , y )=f ( x , y ) . g (x , y ) ¿ ( x y '+ y ) . ( x '+ y ' ) ( x y '+ y ) . ( x '+ y ' ) ¿ ( x y ' x '+x y ' y '+x ' y+ y y ' ) ¿ x x ' y '+x y ' y '+ x' y+ y y ' ket : x . x '=0 ¿0 y '+x y ' y '+x ' y+0 ¿ x y' y '+x ' y

Pertemuan VII tgl 13/11/2011KANONIK

Fungsi aljabar boolean dapat dinyatakan dalam bentuk Kanonik1. SOP (SUM OF PRODUCT) → lambang : Σ

f ( x , y , z )=xyz+x ' y ' z '+x y ' z Tiap suku disebut MINTERM2. POS ( PRODUCT OF SUM ) → lambang : π

f ( x , y , z )=( x+ y+z ) ( x'+ y+z ) ( x+ y '+z ) Tiap suku disebut MAXTERM

Bentuk Kanonik dinyatakan dalam tabel kebenaran

x y zminterm maxterm

sukulamban

g suku lambang0 00 x ' y ' z ' m0 x+ y+z m0

0 01 x ' y ' z m1 x+ y+z ' m1

0 10 x ' y z ' m2 x+ y '+z m2

0 11 x ' y z m3 x+ y '+z ' m3

1 00 x y' z ' m4 x '+ y+z m4

1 01 x y' z m5 x '+ y+z ' m5

1 10 x y z ' m6 x '+ y '+z m6

1 11 x y z m7 x '+ y '+z ' m7

Note :MINTERM : nilai 0 pada minterm dilambangkan dengan ‘ (aksen)MAXTERM : nilai 1 pada maxterm dilambangkan dengan ‘ (aksen)



Contoh :1. Nyatakan tabel berikut dalam bentuk Kanonik !

x y z f ( x, y , z )0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Jawab :* SOP → lihat yang hasil fungsinya 1 (Minterm) f ( x , y , z )=x ' y ' z+x y ' z '+xyz lambang ¿m1+m4+m7

¿ Σ (1 , 4 ,7 )* POS → lihat yang hasilnya 0 (Maxterm) f ( x , y , z )=( x+ y+z ) ( x+ y '+z ) ( x+ y '+z ' ) ( x '+ y+z ' ) ( x '+ y '+z ) lambang ¿m0 .m2 . m3 . m5 . m6

¿ π (0 ,2 , 3 , 5 ,6 )

2. Nyatakan fungsi boolean f ( x , y , z )=x+ y ' z dalam bentuk Kanonik dengan Hukum Komplement Hukum Distributif y+ y '=1 a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c ) y . y '=0 a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )

Jawab : * SOP

f ( x , y , z )=x+ y ' z Kita jabarkan antara x dan y ' zx=x ( y+ y ' ) ket : ( y+ y ' )=hk komplement →tmbh var . y

¿ xy+x y ' xy+x y'=hk distributif ¿ xy ( z+z ' )+x y ' ( z+z ' ) ( z+z ' )=hk komplement → tmbh var . z ¿ xyz+xy z'+x y ' z+ x y ' z ' xyz+xy z' dan x y ' z+x y ' z '=hk distributif

y ' z= y ' z ( x+x ' ) ket : ( x+x ' )=hk komplement →tmbh var . x ¿ y ' zx+ y ' z x ' y ' zx+ y' z x '=hk distributif ¿ x y' z+x ' y ' z Jadi f ( x , y , z )=x+ y ' z ¿ xyz+xy z'+x y ' z+ x y ' z '+x y ' z+x ' y ' z ket : x y' z sama ditulis

¿ xyz+xy z'+x y ' z+ x y ' z '+x ' y ' z satu kali saja


Lambang f ( x , y , z )=m7+m6+m5+m4+m1

¿ Σ(1,4,5,6,7)

Note : untuk lambang lihat tabel kebenaran kanonik Hk komplement diatas tidak mempengaruhi/merubah nilai → y+ y '=1


* POS f ( x , y , z )=x+ y ' z

¿ ( x+ y ' ) (x+z ) hk distributif

¿ ( x+ y ' ) (x+z )

Kita jabarkan antara ( x+ y ' ) dan ( x+z ) ( x+ y ' )=( x+ y ' )+z . z ' ket : z . z '=hk komplement → tmbh var . z ¿ ( x+ y '+ z) ( x+ y '+z ' ) ( x+ y '+ z ) ( x+ y '+z ' )=hk distributif

( x+z )=( x+z )+ y . y ' ket : y . y '=hk komplement → tmbh var . y ¿ ( x+z+ y ) ( x+z+ y ' ) ( x+z+ y ) ( x+z+ y ' )=hk distributif ¿ ( x+ y+z ) ( x+ y '+z )

Jadi f ( x , y , z )=x+ y ' z ¿ ( x+ y ' ) (x+z )

¿ ( x+ y '+ z) ( x+ y '+z ' ) ( x+ y+z ) ( x+ y '+z )

¿ ( x+ y '+ z) ( x+ y '+z ' ) ( x+ y+z )

Lambang f ( x , y , z )=m2 .m3 .m0

¿ π (0,2,3 )

Ket :( x+ y '+ z ) sama ditulis satu kali saja

Note : untuk lambang lihat tabel kebenaran kanonik Hk komplement diatas tidak mempengaruhi/merubah nilai → y . y '=0

KONVERSI ANTAR BENTUK KANONIKContoh:1. f ( x , y , z )=Σ(0,2,3,5) tentukanlah bentuk POS ? Jawab :

POS → f ( x , y , z )=π (1,4,6,7)

2. g (w , x , y , z )=π (0,2,4,5,6,7 ) tentukanlah bentuk SOP ? Jawab :

SOP → g (w , x , y , z )=Σ(1,3,8,9,10,11,12,13,14,15)

Note : jika ada 4 variabel (w,x,y,z) maka tabel kebenaran kanoniknya ada 16 (m0 - m15)


GRAF

Graf adalah himpunan simpul2 yang dihubungkan dengan busur2 . Setiap busur diasosiasikan dengan tepat kedua simpul.

Contoh visual dari graf adalah PETA :- untuk menentukan jalur terpendek antara dua tempat- untuk menentukan tata letak jalur transportasi- pengaturan jaringan komunikasi dan internetGraf ( G ) didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( V . E )Yang ditulis :

G=V . E V = himpunan tidak kosong dari simpul2 ( vertices / node )E = himpunan sisi ( edge / arah ) yang menghubungkan sepasang simpul

JENIS GRAF BERDASARKAN ORIENTASI ARAH 1. Graf tidak berarah urutan , pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan

(U V )=(V U )2. Graf berarah , setiap sisi diberikan orientasi arah

(U V ) ≠ (V U )

U dinamakan simpul asal ( initial vertex ) V dinamakan simpul terminal ( terminal vertex )

= vertex = edge

Degree = jumlah edge yang berada pada vertexSize = jumlah vertex yang dimilikiLength lintasan = jumlah edge dalam lintasanPath = lintasan yang melalui edge dan vertexCycle = lintasan yang dimulai dan berakhir pada vertex yang samaDistance = jumlah edge dengan lintasan terpendek


Documents

Catatan Matdis.docx