「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:00

von Neumann 則

( )6−∝ ndt

dSn平面系:

～ 発泡体 (Foam) おける泡の粗大化(Coarsening) を記述する方程式

泡の物理と幾何学

応用物理学部門・数理物理工学研究室 島 弘幸

参考文献:H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601D. Weaire and S. Hutzler, “The Physics of Foams” (Oxford Univ. Pr. 2000)

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Introduction

von Neumann則 ― 気泡の成長則 ―

三次元発泡体の成長則 ― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―

曲面発泡体の成長則 ― 幾何と物性の新相関 ―

まとめ・レポート課題

超伝導薄膜の「泡」 ― 意外?必然? ―

講義内容

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Introduction

von Neumann則 ― 気泡の成長則 ―

三次元発泡体の成長則 ― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―

曲面発泡体の成長則 ― 幾何と物性の新相関 ―

まとめ・レポート課題

超伝導薄膜の「泡」 ― 意外?必然? ―

講義内容

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※参考 ・多孔質材料 =・ 発泡体 =

空隙率 0～30%70%以上

軽量性、断熱性、不燃性、制振性、

防音性、衝撃吸収性、・・・etc

③大腿骨骨頭の断面

①発泡ステンレス鋼

②竹炭の断面

圧密化前 圧密化後

④硬質木材

10mm 3mm

1. Foam(発泡体)とは

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ドライフォーム ウェットフォーム

液相1%以上液相1%以下

面(Face) 稜(Edge)

結節点(Vertices)

Plateauの平衡則

ドライフォーム極限・平衡状態では、

①1本の稜で交わる面は3つ。面同士のなす角度は120°

②1つの頂点を共有する面の最大数は6

2. 気泡の微視構造

See 「泡の物理」 by D.Weaire (内田老鶴圃)

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①気泡の粗大化②気泡の崩壊

～セル間の圧力差により、薄い膜を通してセル内の気体が拡散する

・ 膜内の液体の排水、蒸発

・ 界面活性剤の濃度の不均一性

・ 埃・不純物の付着

～セルが破裂・合体を繰り返す※フォームの位相幾何学的な変化

von Neumann 則

( )63

2−= n

dtdSn γσπ

平面では

主な原因

3. 気泡の不安定性

J. von Neumann, in Metal Interfaces (1952).

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Introduction

von Neumann則 ― 気泡の成長則 ―

三次元発泡体の成長則 ― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―

曲面発泡体の成長則 ― 幾何と物性の新相関 ―

まとめ・レポート課題

超伝導薄膜の「泡」 ― 意外?必然? ―

講義内容

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von Neumann relation

( )63

2−= n

dtdSn γσπ2D:

④曲率の総和則 ( )nRi i

i −=∑ 63π

②Fick の 法則

③Laplace の 法則

ii R

p σ2=Δ

①Plateau の 平衡則 ～ 1点で交わる線は3本で、交角は120O

～ 隣接セル間の圧力差は

セルの曲率半径で決まる

～ あるセルを囲む閉曲線の

曲率和は頂点の数で決まる

～ よくある拡散則( )∑ −−=j

ijnn pp

dtdS γ

4. 気泡の成長則

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● Fick の 法則

1p2p

κ( )∑ −−=

jijn

n ppdt

dS γ

～単位時間あたりに隣接セル間を移動する気体の体積

Rp σ2=Δ● Laplace の 法則

RRpVpU δπδδ 24⋅Δ=⋅Δ=

表面積減少に伴う表面エネルギーの減少

体積減少に伴う気体内部エネルギーの増加

1p

2p21 ppp −=Δ

RRR δ−→気泡半径の変化:

気泡エネルギーに対する平衡条件:

)∵

RRSU δπσδσδ 8⋅=⋅=

σ : 表面張力

5. 気泡成長則の導出

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● 曲率の総和則

( )nRi i

i −=∑ 63π

i

iθΔ

3π

i

ii R=Δθ

)∵

iRπθπ 2

3=Δ+× ∑

iin

セル境界線の曲率の総和は、辺の数だけで決まる!

曲率和の値は、セルを連続変形しても不変に保たれる( = トポロジカル不変量)

5. 気泡成長則の導出

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③(平均)曲率の総和則 ( )nRi i

i −=∑ 63π

①Fick の 法則

②Laplace の 法則i

i Rp σ2=Δ

von Neumann relation(1952) ( )6

32

−= ndt

dSn γσπ2D:

ii pdtdS

Δ××= γ

・ 気泡の面積変化率は、気泡を囲む辺の数だけで決まる・ 六角形の気泡はその面積を不変に保つ・ 五角形以下の気泡は時間とともに消滅する

5. 気泡成長則の導出

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Introduction

von Neumann則 ― 気泡の成長則 ―

三次元発泡体の成長則 ― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―

曲面発泡体の成長則 ― 幾何と物性の新相関 ―

まとめ・レポート課題

超伝導薄膜の「泡」 ― 意外?必然? ―

講義内容

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“Suprafroth in type-I superconductors”R. Prozorov et al.,Nature Physics 4 (2008) 327.

鉛でできた円盤に磁場を印加

→ 臨界磁場以下で、泡(金属領域)の発生

6. 超伝導薄膜の「泡」

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R. Prozorov et al., Nature Physics 4 (2008) 327.

6. 超伝導薄膜の「泡」

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R. Prozorov et al., Nature Physics 4 (2008) 327.

6. 超伝導薄膜の「泡」

Why ( )3−∝ ndHdS ?

… Nobody knows.

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2010/10/15(金) 16:30-18:00

Introduction

von Neumann則 ― 気泡の成長則 ―

三次元発泡体の成長則 ― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―

曲面発泡体の成長則 ― 幾何と物性の新相関 ―

まとめ・レポート課題

超伝導薄膜の「泡」 ― 意外?必然? ―

講義内容

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:00

③(平均)曲率の総和則 ( )nRi i

i −=∑ 63π

①Fick の 法則

②Laplace の 法則i

i Rp σ2=Δ

von Neumann relation(1952) ( )6

32

−= ndt

dSn γσπ2D:

ii pdtdS

Δ××= γ

・ 気泡の面積変化率は、気泡を囲む辺の数だけで決まる・ 六角形の気泡はその面積を不変に保つ・ 五角形以下の気泡は時間とともに消滅する

7. 三次元発泡体への拡張

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2010/10/15(金) 16:30-18:00

③(平均)曲率の総和則 ( )nRi i

i −=∑ 63π

①Fick の 法則

②Laplace の 法則i

i Rp σ2=Δ

von Neumann relation(1952) ( )6

32

−= ndt

dSn γσπ2D:

ii pdtdS

Δ××= γ ∫ Δ=Face

iD dApdtdV

3γ

HRR

pi σσ 211

minmax

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Δ

( )02 θππ −−=∫ nKdAFace

※ガウス曲率Kについてはなし

・ 気泡の面積変化率は、気泡を囲む辺の数だけで決まる・ 六角形の気泡はその面積を不変に保つ・ 五角形以下の気泡は時間とともに消滅する

Straightforwardgeneralization: ∫−=

FaceD

n HdAdt

dV σγ 323D:

R.D. MacPherson et al., Nature 446 (2007) 1053

7. 三次元発泡体への拡張

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:ie

:L

n本の稜で囲まれたセルDの体積変化:

i 番目の稜の長さ

セルDの差し渡し長さの平均値

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= ∑

=

n

iieL

16

32 DDκγπ

∫−=Face

n HdAdt

dV κγ2

( )ndt

dSn −−= 63

2 κγπ・ 2次元におけるNeumann則: の自然な拡張

・ 2&3次元発泡体で観測されるスケーリング則 を説明可能( ) ttL κγ∝

・ 閉曲面全体における平均曲率の積分値を、簡略に表現する式

意義:

・ 半世紀にわたる問題を初めて解決した

( 一般のd次元へも拡張可能 )

3次元泡に対するvon Neumann則 !

R.D. MacPherson et al., Nature 446 (2007) 1053

7. 三次元発泡体への拡張

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実際の発泡体で最も頻繁に実現されるにも関わらず、先行研究がほとんどない。

J. Lamnert et al., Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 058304.

● 3次元wet foamsの粗大化実験 (気液比 14%～20% の泡で実験)

αfVf∝ 2.2≈αwith

fヶの面で囲まれた泡の体積の平均値:

● 3次元dry foamsのMonte Carlo simulations

212

2

6 fcdt

dDf −∝

8.1532

−∝ fdt

dVf

fD

19.13−∝ fdt

dS ffS

fV

: 差し渡しの長さ

: 体積

: 面積

H. Wong et al., Appl. Phys. Lett. 93 (2008) 131902.

8≥f の泡に対しては全て成立

3つ全て、面の数だけで決まるトポロジカルな式!

7. 三次元発泡体への拡張

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2010/10/15(金) 16:30-18:00

Introduction

von Neumann則 ― 気泡の成長則 ―

三次元発泡体の成長則 ― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―

曲面発泡体の成長則 ― 幾何と物性の新相関 ―

まとめ・レポート課題

超伝導薄膜の「泡」 ― 意外?必然? ―

講義内容

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:00

von Neumann 則

( )63

2−= n

dtdSn γσπ

平面:

①Plateau の 平衡則 ～ 1点で交わる線は3本で、交角は120°

8. 曲面上の発泡体

以下の①～④から数学的に導出される。

④曲率の総和則 ( ) παπ 211

=+− ∑∑==

n

j j

jn

ii R

②Fick の 法則

③Laplace の 法則i

i Rp σ2=Δ ～ 隣接セル間の圧力差は

セルの曲率半径で決まる

～ よくある拡散則( )∑ −−=j

ijnn pp

dtdS γ

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:00

von Neumann 則

( )63

2−= n

dtdSn γσπ

平面:

①Plateau の 平衡則 ～ 1点で交わる線は3本で、交角は120°

以下の①～④から数学的に導出される。

曲面系では変更が必要

④曲率の総和則 ( ) παπ 211

=+− ∑∑==

n

j j

jn

ii R

②Fick の 法則

③Laplace の 法則i

i Rp σ2=Δ ～ 隣接セル間の圧力差は

セルの曲率半径で決まる

～ よくある拡散則( )∑ −−=j

ijnn pp

dtdS γ

8. 曲面上の発泡体

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2010/10/15(金) 16:30-18:00

i

ii R=Δθ

πθπ 23

=Δ+× ∑i

in

i

iθΔ

32π

iR例えば内角 の三角形foam(右図)では、確かに

で成り立つ。

( ) παπ 211

=+− ∑∑==

n

j j

jn

ii R

32πα ≡i

● 曲率の総和則

曲率和の値は、セルを連続変形しても不変に保たれる( = トポロジカル不変量)

[平面時]

8. 曲面上の発泡体

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:00

● 曲率の総和則

曲率和の値は、セルを連続変形しても不変に保たれる( = トポロジカル不変量)

例: 球面正三角形(半径 )

ππππ 233232

>=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

aa

( ) ( )∫∫∑∑ +=+−==

KdSR

n

j j

jn

ii παπ 2

11

ai

iθΔ

32π

iR

曲率和の値は、セルが囲む面積 と、その領域のガウス曲率 に依存するS K

X

曲面上の von Neumann則はどう定式化される?

[曲面時]

8. 曲面上の発泡体

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2010/10/15(金) 16:30-18:009. モデル・条件

曲面曲率の増分 :

セル面積の増分 :

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

目的: 曲面形状が時間変化する場合のvon-Neumann則を導出する。

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2010/10/15(金) 16:30-18:009. モデル・条件

目的: 曲面形状が時間変化する場合のvon-Neumann則を導出する。

時刻 における面積変化 (ガス拡散の寄与):

γ

σ

0p

: セル壁の表面張力

: 隣接セル間のガス透過率

: セルの初期内圧 (t=0)

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

曲面曲率の増分 :

セル面積の増分 :

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2010/10/15(金) 16:30-18:009. モデル・条件

目的: 曲面形状が時間変化する場合のvon-Neumann則を導出する。

時刻 における面積変化 (ガス拡散の寄与):

γ

σ

0p

: セル壁の表面張力

: 隣接セル間のガス透過率

: セルの初期内圧 (t=0)

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

セル面積の増分 :

曲面曲率の増分 :

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2010/10/15(金) 16:30-18:0010. 考察結果

See, J. Marchalot et al., Europhys. Lett. (2008)過去に測定された物質パラメータ値:

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:0010. 考察結果

See, J. Marchalot et al., Europhys. Lett. (2008)過去に測定された物質パラメータ値:

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

曲面変形速度の調整により、頂点の数と無関係な泡成長過程の実現が可能。

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:0011. 結論

平面上 von-Neumann則:

可変形曲面上 von-Neumann則:

多角形セルの成長は、頂点の数だけで決まる。(セルの形や面積には依存しない)

曲面変形速度の調整により、頂点の数と無関係な泡成長過程の実現が可能。

基盤変形を通した、2次元Foam粗大化プロセスの新規操作技術を示唆

See H. Shima, J. Phys. Soc. Jpn. 79 (2010) 074601

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:00

Introduction

von Neumann則 ― 気泡の成長則 ―

三次元発泡体の成長則 ― ソフトマター分野のミレニアム問題 ―

曲面発泡体の成長則 ― 幾何と物性の新相関 ―

まとめ・レポート課題

超伝導薄膜の「泡」 ― 意外?必然? ―

講義内容

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:00

静的・安定

動的・不安定

ドライフォーム ウェットフォーム

現在の理解:「平衡状態」の「ドライ」フォームのみ!

気泡のトポロジカル変形(泡の破壊、消失)

膜内部の液体流動(膜厚の変化)

発泡体global構造の急速な変化

剛体フォームの力学特性

泡の整流現象

…未解決問題が山積。学際的アプローチによるBreakthroughが望まれる。

12. 展望

「トポロジー理工学 特別講義Ⅱ」～トポロジー理工学からの新展開～

2010/10/15(金) 16:30-18:00レポート課題

2. 平面系発泡体の成長則をより厳密に導くには、他にどのような物理因子・化学因子を考慮する必要があるか。

4. (発展)発泡体を利用した工業技術の具体例を論じなさい。

5. (発展)気泡の成長を人為的に抑制するためのアイデアを提案しなさい。

3. 上で挙げた因子を新しく考慮に入れた場合、既存のvon Neumann則はどのような修正を受けると推測されるか。

1. 表面張力とは何か。そうした力が生じる物理的理由を説明しなさい。