Title トポロジー最適化の新展開 (小特集 最適化の現状の将来)

Author(s) 山田, 崇恭

Citation シミュレーション (2016), 35(4): 240-244

Issue Date 2016

URL http://hdl.handle.net/2433/218959

Right © 日本シミュレーション学会; 発行元の許可を得て登録しています.

Type Journal Article

Textversion author

Kyoto University

トトポポロロジジーー最最適適化化のの新新展展開開

山田崇恭

京都大学大学院 工学研究科 機械理工学専攻

トポロジー最適化は有限要素法等の数値シミュレーションを用いた構造設計法として知られて

いる．この方法では，設計者の勘と経験に基づく試行錯誤に頼らずに，力学的数学的根拠に

基づいて最適構造を求めるため，今までにはない設計案の創成が可能である．本報では，トポ

ロジー最適化の基本的な考え方と定式化及びいくつかの展開例について示す．最初に，構造

最適化問題の定義とその分類について概説する．次にトポロジー最適化の定式化とその良設

定問題について議論する．最後に，いくつかの展開例を示すと共に，今後の展望について議

論する．

1. ははじじめめにに 構造最適化分野の最初の研究は，偏微分方程式に支配された領域の境界移動に関する定式化であり，ジャック・サロモン・アダマールによって行われた 1)．具体的な最適化アルゴリズムを構築し，計算機を用いて最適設計解を求めることを含めれば，ルシェン・シュミットの研究が最初と言える 2)．当初，構造最適化理論は，最適制御理論と区別なく研究が行われ，1970 年代から 1980 年代頃には，ジャック=ルイ・リオンを始めとしたフランスの研究者により応用数学の一分野として組織的に研究された．そして，リオンの指導を受けたオリビエ・ピロノーによる構造最適化法に関する書籍の出版 3)などを経て，構造最適化の基礎理論の大半はフランスを中心に発展してきた．現在，多くの書籍出版，汎用ソフトウエアの販売等により学術界のみならず，産業界においても広く認知されるようになりつつある．

構造最適化とは，設計者の勘と経験に基づく試行錯誤に頼らずに，力学と数学に基づいた数値シミュレーションにより，構造物の最適な形状を自動的に求める方法である．その代表的な例題として，図１に示すコート掛け問題について考えてみる．

図１ コート掛け問題

図中のコート掛けは，左端を壁に固定されており，右側の鉤型形状の物体にコートを掛ける機能を持っている．コート掛け問題とは，このコート掛けの形状をどのように設計するのかを考える問題である．ある設計課題に対して構造最適化法を適用する場合，次の三つの要素を決定する必要がある．第一に，設計の善し悪しを判断するための指針，すなわち最小化（または最大化）すべき，一つもしくは複数の設計基準を決定する．例えば，コート掛け問題の場合，重量を一定とした場合にコート掛けの変形量が小さい方が良い設計案とする基準が考えられる．この基準のことを目的関数と呼ぶ．第二に，設計変更の対象，すなわち形状を表現する変数とその許容範囲を決定する．例えば，コート掛けの厚み（紙面に垂直方向の寸法）の分布を変更可能とし，最適な厚さ分布を求める問題と考えれば，設計変更の対象は「コート掛けの厚み」である．他の例としては，軽量化を目的として，初期設計案のコート掛けに円形の貫通孔を空ける設計課題考え，この孔の位置と大きさ（半径）を自由に設計できるとする．この場合の設計変更の対象は「孔の位置」と「孔の半径」と言える．このような形状を表現する変数を設計変数と呼ぶ．第三に，力学的な振る舞いを評価するためのモデル，すなわち，目的関数を評価するために必要となる力学モデルを決定する．変形量などの力学特性を目的関数に設定したコート掛け問題の場合，材料力学における梁理論や弾性力学に基づく偏微分方程式がそれに対応する．以上の三つの構成要素，すなわち「目的関数」，「設計変数とその許容範囲」及び「力学モデル」が決まれば，具体的な構造最適化のシステムを構築できる．典型的な構造最適化システムの流れは次のようになる．

①初期設計案（設計変数の初期値）を与える．

②力学モデルを解析する．典型的には有限要素法などを用いて数値解析を行う．

③力学モデルの解析結果を用いて，目的関数値を計算する．

④目的関数が改善されるように，設計変数を更新（形状を更新）する．典型的には設計変数の変化量が目的関数の変化に与える度合である設計感度に基づいて設計変数の更新を行う．

⑤更新された形状に対して目的関数値を評価し，目的関数値が収束していれば最適化の過程を終了し，そうでなければ 2 の工程に戻る．

以上の構造最適化システムを構築し，設計者が与えた初期設計案の形状変更を繰り返して最適形状に収束するまで繰り返し計算を行う．通常，計算機を用いて一連の工程を自動化することで，初期設計案や目的関数等を入力して，最適形状を出力するシステムを構築する．このような構造最適化システムを構築できれば，設計者が設計要件や目的関数を与えれば，所望の目的を最大限に満たす形状を自動的に求めることが可能となる．

２２．．構構造造最最適適化化法法のの分分類類 構造最適化法は，設計自由度の観点から 3 つの方法，寸法最適化，形状最適化，トポロジー最適化に大別される．図２にコート掛け問題への各種法の適用例を示す．

図２ 構造最適化法の分類

寸法最適化では，高さや長さ，断面係数等の媒介変数を設計変数とした最適化問題を解くことで，最適構造を得る方法である．この方法では，予め設定された構造の構成は変更されず，３つの方法の中で最も単純で簡単な方法であるものの，初期設計案をどのように決定するのかが重要になる．形状最適化では，構造物の境界の位置を設計変数とし，予め設定した外形形状の移動と変形により最適構造を得る方法である．最適化の過程において，直線から曲線への変更や曲率の変更等の境界形状の自由な変形が可能となる．図２に示すように，寸法最適化と比較して，初期設計案からの大幅な形状変更を許容するため，比較的大きな性能の向上が期待できる．トポロジー最適化は，構造最適化問題を最適な材料分布を求める問題と捉えて，予め設定された領域の内部において，材料の有無を求める方法である．外形形状の変更だけではなく，トポロジーの変更も可能とする最も設計自由度の高い構造最適化法である．この方法では，抜本的な設計変更を許容するため，最も性能の高い形状を創出できる可能性を持つものの，比較的高度な数学的基礎理論に基づいている．

３３．．トトポポロロジジーー最最適適化化のの考考ええ方方とと定定式式化化 構造により占められた滑らかな領域 Ω（以下，構造領域）において，その形状を設計変数とした最適化問題を考える．このとき，目的関数 F の一例として，次のように定式化できる．

(1)

ここで，u は対象としている物理現象を表現する状態変数である．トポロジー最適化では，固定設計領域と呼ばれる，構造領域の存在が許容される固定された領域 D を導入し，構造最適化問題を構造領域 Ωから固定設計領域 Dへ拡張する．このとき，目的関数 Fは次のようになる．

(2)

ここで，𝜒𝜒は構造領域で 1，それ以外の領域では 0 をとる特性関数である．

(3)

固定設計領域 D と特性関数の導入により，構造の外形形状だけではなく，新たに境界が生成されるような形状形態の変更をも許容する．しかしながら，この特性関数は連続性が保証されておらず，無限小の間隔で，無限個の不連続状態を許容するため，多様体構造を全く持っていない．この特性関数のたちの悪い不連続性に起因して，トポロジー最適化問題は，不良設定問題であることが知られている．従って，実際のトポロジー最適化法の構築には，最適化問題の緩和もしくは正則化を行い，良設定問題への置き換えが必要である．すなわち，解が存在し，さらには，解が一意性及び連続性を持つように，最適化問題を修正しなければならない．直感的には，最適形状が滑らかになるように，設計感度に滑らかさを持たせる，または曲率が大きくならないように幾何学的制約を加えるなどの操作を適切に行えば良い4)．

数学的に厳密に述べると，緩和とは，設計変数の空間（設計空間）の変更により，最適解が存在する問題へ置き換えることである．すなわち，固定設計領域はパラメータ θ(x)で形状が表現される多孔質体により構成されていると仮定し，その際の均質化された材料特性を

inf⌦

F =

ˆ

⌦

f(x,u) d⌦

inf⌦

F =

ˆ

D

f(x,u)(x) d⌦

(x) =

(1 if 8x 2 ⌦

0 if 8x 2 D \ ⌦

A*とすると，設計空間の緩和は次の関係を満たす．

(4)

ここで，緩和前（左辺）と緩和後（右辺）の関係が等号であることが重要である．従って，後述の均質化設計法は緩和を用いた方法と言えるが，密度法は等号が成立しないため緩和法ではない．一方，幾何学的制約や滑らかさを与える操作は正則化であり，例えば，次のように表現できる．

(5)

ここで，正則化の前後で設計空間が変化しないことが重要である．正則化に基づく方法の代表例として，ソボレフ勾配による設計感度の平滑化法が挙げられる．これまでに多くのトポロジー最適化法が提案されており，どのように緩和もしくは正則化を行うのかが各方法論の大きな特徴となる．なお，ソボレフ勾配に基づく感度の平滑化法は，当初，有限要素の節点移動に基づく形状最適化に対して検討された．パトリック・ル・タレックは，設計感度を境界条件とした仮想的な弾性体モデルを考え，その弾性体の変形を有限要素の節点更新位置とすることで平滑化を図った．その後，平滑化に用いる仮想的な偏微分方程式は，弾性方程式に限らず，正定なオペレーターであれば滑らかさが保証されることが確認され，ピロノーらによってまとめられた 5)．

4.トトポポロロジジーー最最適適化化のの方方法法 トポロジー最適化の代表的な方法として，均質化設計法 6)，密度法 7)，レベルセット法 8)に基づく方法 9)がある．均質化設計法では，固定設計領域が無限小の多孔質体により構成されていると仮定し，その多孔質体の形状パラメータの最適化問題に置き換える．その結果，0

から 1 の間で正規化された材料密度 ρ を用いて，固定設計領域における材料定数 A*を表現できる：

(6)

ここで，Aは構造領域の材料定数である．関数 gは多孔質体の形状設定に依存し，その形状設定に関する議論が必要になる．ここで，多孔質体状態は材料密度 ρが 0 と 1 の中間状態，いわゆるグレースケールとして表現される．均質化設計法では，最終的に中間値を持つ材料

infχ2Uad

F (χ) = min(✓,A⇤)

F (✓, A⇤)

inf2L2

F (φ) ! inf2L2

F (φ) + ✏2@φ

@xi

2

L2

A⇤(x) = g(A, ⇢(x))

密度により最適構造を表現していることに注目し，簡略化した方法として，密度法が提案された．この方法では，中間状態を仮想的な材料モデルにより表現する．その代表的なモデルとして，SIMP（Solid Isotropic Material with Penalization）法がある：

(7)

ここで，pはペナルティパラメータと呼ばれるパラメータで，通常 3 から 5 程度に設定されるが，ハッシン=シュトライクマンの原理に基づき，複合材料がとりうる範囲に設定する必要がある．密度法は非常に簡便であるものの，このような仮想モデルは力学的，数学的な正当性がないことが理論的及び数値的に確認 4)されている．また，グレースケールは，非線形問題における数値不安定性の問題，設計領域内において陽に境界条件を扱えない問題等の原因となるため，それを排除する方法に関する研究報告が数多くある．その中で，レベルセット法による形状表現に基づく構造最適化 10)は，グレースケールを本質的に排除する方法として注目されている．この方法では，スカラー関数の等位面を設計対象の境界と定義し，そのスカラー関数の変更により，構造変更を陰的に表現する．中でも，外形形状感度に従って境界を移流させる方法 8)が主流である．この方法では，新たに境界が追加されるようなトポロジーの変更ができない問題を持ち，バブル法 11)により恣意的に孔を与える等の回避方法12)が検討されている．この問題を本質的に解決する方法して，トポロジー最適化の考え方に基づいた方法 13)も提案されている．この他，勾配に基づかない方法として，遺伝的アルゴリズム等を用いた方法論 14)もいくつか提案されている．

5.展展開開とと応応用用 トポロジー最適化の設計問題への展開は，剛性最大化問題 6)に始まり，振動問題 15), 16)，メカニズムの創成設計問題 17)等の構造力学分野を中心に発展してきた．その後，流体力学 18)，熱力学 19）等の物理領域に関する展開も活発に行われ，2000 年代からはマルチフィジクス問題 20)への展開も始まった．また，当初は有限要素法に基づいた方法論が主流であったが，対象とする物理現象に応じて適切な数値解析手法を選択して最適化が図れるよう，拡張有限要素法 21)，境界要素法 22),23)，格子ボルツマン法 24),25)等に基づく方法も提案されている．さらに，設計の対象物として，構造を構成するミクロ構造に注目し，特異な見かけの材料特性を持つ構造の設計例（図３）も報告されている．例えば，負のポアソン比 26)や負の熱膨張係数27)，負の透磁率 28),29)等が挙げられる．

A⇤(x) = ⇢p(x)A

図３ 負のポアソン比を持つ周期構造

他方，信頼性やロバスト性を考慮したトポロジー最適化 30)や幾何学制約を考慮した方法31)などの工業製品への応用に向けた研究も一つのトレンドとなりつつある．さらには，積層造形技術との連携に向けた幾何学的制約や，製造工程をも考慮したトポロジー最適化も今後のトレンドになると考えられる．例えば，金型による成形を前提とした幾何学的制約法（図４）に基づき，デバイス性能が最大となるような金型形状に対するトポロジー最適化の報告例 32)もある．

図４ 金型による製造を前提としたコンプライアントメカニズムの最適設計例

６６．．おおわわりりにに 近年の三次元製造技術の発達に伴い，トポロジー最適化の産業界への本格的な展開が可能となりつつある．基礎理論の発展だけではなく，設計システム全体のあり方に関する議論を深めることで，より高度な設計製造技術の構築も期待できると考える．また，単なるデバイ

ス性能等の向上だけではなく，新しい物理現象を創成する一方法 33)としても有用になりつつあり，今後のさらなる発展が期待できる．

参参考考文文献献 [1] J. Hadamard: Leçons sur le calcul des variations, (1910).

[2] L. A. Schmit: Structural design by systematic synthesis, Proceedings of Second Conference on Electronic

Computation ASCE, 105/122 (1960).

[3] O. Pironneau: Optimal shape design for elliptic systems, Springer-Verlag, (1984).

[4] G. Allaire: Shape optimization by the homogenization method, Springer-Verlag, (2002).

[5] B. Mohammadi and O. Pironneau: Applied shape optimization for fluids, Oxford University Press, (2001).

[6] M. P. Bendsøe and N. Kikuchi: Generating optimal topologies in structural design using a homogenization

method, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 71-2, 197/224 (1988).

[7] M. P. Bendsøe: Optimal shape design as a material distribution problem, Structural Optimization, 1-4

193/202 (1989).

[8] G. Allaire, F. Jouve and A. Toader: Structural optimization using sensitivity analysis and level-set method,

Journal of Computational Physics, 194, 363/393 (2004)

[9] T. Yamada, K. Izui, S. Nishiwaki, A. Takezawa: A topology optimization method based on the level set

method incorporating a fictitious interface energy, Computer Methods in Applied Mechanics and

Engineering, 199, 2876/2891 (2010).

[10] J. A. Sethian and A. Wiegmann: Structural boundary design via level set and immersed interface methods,

Journal of Computational Physics, 163-2, 489/528 (2000).

[11] 山田崇恭，西脇眞二，泉井一浩，吉村允孝，竹澤晃弘：レベルセット法による形状表現を用いた

フェーズフィールド法の考え方に基づくトポロジー最適化，日本機械学会論文集（A 編），75-753,

550/558 (2009).

[12] H. A. Eschenauer, V. V. Kobelev and A. Schumacher: Bubble method for topology and shape optimization

of structures, Structural optimization, 8-1, 42/51, (1994).

[13] G. Allaire, F. De Gournay, F. Jouve. And A. Toader: Structural optimization using topological and shape

sensitivity via a level set method, Control and cybernetics, 34-1, 3269/3290 (2005).

[14] Y.M. Xie and G. P. Steven: A simple evolutionary procedure for structural optimization, Computers &

Structures, 49-5, 885/896 (1993).

[15] A.R. Diaz and N. Kikuchi: Solutions to shape and topology eigenvalue optimization using a

homogenization method, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 35, 1487/1502

(1992).

[16] Z. D. Ma, N. Kikuchi and H. C. Cheng, Topological design for vibrating structures, Computer methods in

applied mechanics and engineering, 121-1, 259/280 (1995).

[17] O. Sigmund: On the design of compliant mechanisms using topology optimization, Mechanics Based

Design of Structures and Machines, 25-4, 493/524 (1997).

[18] T. Borrvall and J. Petersson: Topology optimization of fluid in stokes flow, International Journal for

Numerical Methods in Fluids, 41, 77/107 (2003).

[19] J. Haslinger, A. Hillebrand, T. Kärkkäinen and M. Miettinen: Optimization of conducting structures by

using the homogenization method, Structural and Multidisciplinary Optimization, 24, 125/140 (2002).

[20] O. Sigmund: Design of multiphysics actuators using topology optimization—part I: one-material structures,

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 190, 6577/6604 (2001).

[21] S. Kreissl and K. Maute: Levelset based fluid topology optimization using the extended finite element

method, Structural and Multidisciplinary Optimization, 46-3, 311/326 (2012).

[22] S. Zhou, W. Li and Q. Li: Level-set based topology optimization for electromagnetic dipole antenna design,

Journal of Computational Physics, 229-19, 6915/6930 (2010).

[23] H. Isakari, K. Kuriyama, S. Harada, T. Yamada, T. Takahashi and T. Matsumoto: A topology optimisation

for three-dimensional acoustics with the level set method and the fast multipole boundary element method,

Mechanical Engineering Journal, 1-4, CM0039 (2014).

[24] G. Pingen, A. Evgrafov and K. Maute: Topology optimization of flow domains using the lattice Boltzmann

method, Structural and Multidisciplinary Optimization, 34-6, 507/524 (2007),

[25] K. Yaji, T. Yamada, M. Yoshino, T. Matsumoto, K. Izui and S. Nishiwaki, Topology optimization using the

lattice Boltzmann method incorporating level set boundary expressions, Journal of Computational Physics,

274, 158/181 (2014).

[26] O. Sigmund: Materials with prescribed constitutive parameters: an inverse homogenization problem,

International Journal of Solids and Structures, 31-17, 2313/2329 (1994).

[27] O. Sigmund and S. Torquato: Composites with extremal thermal expansion coefficients, Applied Physics

Letters, 69-21, 3203/3205 (1996).

[28] A. R. Diaz and O. Sigmund: A topology optimization method for design of negative permeability

metamaterials, Structural and Multidisciplinary Optimization, 41-2, 163/177 (2010).

[29] M. Otomori, T. Yamada, K. Izui, S. Nishiwaki and J. Andkjær: A topology optimization method based on

the level set method for the design of negative permeability dielectric metamaterials, Computer Methods

in Applied Mechanics and Engineering, 237, 192/211 (2010).

[30] G. Kharmanda, N. Olhoff, A. Mohamed and M. Lemaire: Reliability-based topology optimization,

Structural and Multidisciplinary Optimization, 26-5, 295/307 (2004).

[31] J. K. Guest, J. H. Prévost and T. Belytschko: Achieving minimum length scale in topology optimization

using nodal design variables and projection functions, International journal for numerical methods in

engineering, 61-2 238/254, (2004).

[32] 佐藤勇気，泉井一浩，山田崇恭，西脇眞二，離型性を考慮したトポロジー最適化，第 26 回設計工学・システム部門講演会講演論文集， 2016-26, 2306-1/2306-6, (2016)．

[33] Y. Noguchi, T. Yamada, M. Otomori K. Izui and S. Nishiwaki: An acoustic metasurface design for wave

motion conversion of longitudinal waves to transverse waves using topology optimization, Applied Physics

Letter, 107-22, 221909 (2015).

著著者者紹紹介介 2007 年京都大学工学部物理工学科卒業．2010 年京都大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻博士後期課

程修了．博士（工学）．2010 年名古屋大学大学院工学研究科機械理工学専攻助教を経て，2012 年より京都大

学大学院工学研究科機械理工学専攻助教となり現在に至る．この間，2014 年より 2 年間，日本学術振興会海外

特別研究員制度により仏国エコール・ポリテクニーク応用数学科に研究滞在し，高次均質化法を中心としたマル

チスケール解析に関する研究に従事．専門は設計工学及び計算力学．これまでにトポロジー最適化を中心とし

た最適設計分野と均質化法によるマルチスケール解析関連の研究成果を発表している．