Các Phương Pháp Toán Lý

Phần II: Hàm Suy Rộng

Th.S: Đinh Văn Tuân

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

Khoa VL - VLKT

Outline� Hàm Thử.

� Hàm Delta Dirac.

� Hàm Heaviside

� Hàm Suy Rộng Và Vi Phân.

� Tính Chất Của Hàm Delta Dirac.

� Hàm Dấu

� Bài Tập

I. Hàm Thử:

Hàm Thử là hàm thỏa các tính chất sau:

� và các đạo hàm của nó tồn tại và liên tụctại tất cả các điểm.

� của và tất cả đạo hàm của nó tồn tại vàhữu hạn

* Chú ý:

� VD:

�

�

( )xφ( )xφ

∫+∞

∞−

( )xφ

( ) 0 → ±∞→xxφ

2xe

−

( ) ( )( )[ ]

≥

<<−−−

≤

=

bx

bxaxbax

ax

xf

0

/1exp

0

II. Hàm Delta Dirac:

Hàm delta Dirac :

�

�

� VD:

�

� Hàm thỏa:

( )220

1lim

xx

+=

→ ε

ε

πδ

ε

( )xf

( )xδ( ) ( ) ( ) ( )xdxxx φφδφ ∀=∫

+∞

∞−

0

( ) ( ) 1,00 =≠= ∫+∞

∞−

dxxxkhix δδ

( ) ( )xx

fthìdxxf δεεε

=

=

→

+∞

∞−

∫1

lim10

II. Hàm Delta Dirac:

CM:

Bài Tập:

CMR: :

�

� Thì

( )xG

( ) ( )xGx0

lim→

=ε

δ

( )

>

<=

ε

εε

x

xxG

02

1

Bài Tập:

CMR:

( ) ( )xx

fthìdxxf δεεε

=

=

→

+∞

∞−

∫1

lim10

CM:

III. Hàm Heaviside:

Hàm Heaviside đơn vị :

�

� Ta có:

( )xH

( ) ( )∫∞−

=x

dyyxH δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxxdxxHxhayx

xxH φφφ ∀=

>

<= ∫∫

+∞+∞

∞− 001

00

IV. Hàm Suy Rộng Và Vi Phân:

Đạo hàm của hàm suy rộng được ĐN bởi:

� CMR:

� Tính:

� Có thể coi: ( )220

1lim'

xdx

dx

+=

→ ε

ε

πδ

ε

( )xG

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdxxxGdxxxG φφφ ∀−= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

''

( ) ( )xxH δ='

( ) ( )∫+∞

∞−

dxxx φδ '

IV. Hàm Suy Rộng Và Vi Phân:

V. Tính Chất Của Hàm Delta Dirac:

Hàm delta Dirac :

�

�

�

� Nếu

� Thì

( ) 0=xxδ( ) ( )xxgxxf =

( )xδ

( ) ( )xx δδ =−

( ) ( ) ( )xcxgxf δ+=

( ) ( )α

δαδ

xx =

V. Tính Chất Của Hàm Delta Dirac:

Hàm delta Dirac :

�

�

�

�

�

( ) ( )xxx δδ −='

( )xδ( )( )

( )( )∑−

=i i

i

xg

xxxg

'

δδ

( ) ( )( )( )( )∑∫ =

+∞

∞− i i

i

xg

xfxgxf

'δ

( ) ( ) ( ) ( )xadxaxx φφδφ ∀=−∫+∞

∞−

( ) ( ) ( ) ( )zyxr δδδδ =r

VI. Hàm Dấu:

Hàm dấu :

�

�

�

�

( ) ( ) ( )xHxHx −−=sgn

( )xsign

( ) ( )xxdx

dδ2sgn =

( )

<−

>=

01

01sgn

x

xx

( )dx

xdx =sgn

VII. Bài Tập:

� CMR: :

�

� Thì

( )xG

( ) ( )xGx0

lim→

=ε

δ

( )

>

<−

=

ε

εε

ε

x

xx

xG

0

2

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

� CMR: :

�

� Thì

( )xG

( ) ( )xGx0

lim→

=ε

δ

( ) 2

2

2

1ε

πε

x

exG−

=

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

� CMR:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )01 nnndxxx φφδ −=∫

∞

∞−

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập: Tính đạo hàm bậc I và bậc II của các hàm:

�

�

�

�

�

�

( ) ( )( )xxHxy −= 3

( ) ( )xxHexy =

( ) ( ) xexHxy

2=

( ) ( ) ( )1−−= xHxHxy

( ) ( ) ( )( ) ( )xxHxHxy sin2/π−−=

( ) ( )21 xHxy +=

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

� CMR:

( )( )( ) ( ) ( ){ }bxaxba

bxax −+−−

=−− δδδ1

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

� CMR:

( )xdx

xdsgn=

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

� CMR:

( )xdx

xdδ2

2

2

=

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

� Tìm các đạo hàm của hàm suy rộng:

( )( )xC

xS

cos

sin

=

=

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

� CMR:

( ) ( )

==∫ ∫

+∞

∞−→

+∞

∞−εεε

δε

yxfyxthendxdyyxfIf ,

1lim,1,

20

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

VII. Bài Tập:

� CMR:

( )( )yx

yx,

2

1lim

2/32220δ

ε

ε

πε=

++→

VII. Bài Tập: