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Outline
1. 実験結果と理論との対応
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Introduction
金属の磁性のモデル■ 遍歴電子磁性: 遷移金属 (d電子)，遷移金属を含む合金，化合物■ 重いフェルミ粒子系: 4f 電子を含む系
1970年代の初め頃
■ 弱い遍歴電子強磁性体の発見ZrZn2, MnSi, Ni3Al, Sc3In
■ バンド理論に基づく理論とスピンゆらぎの影響□ Stoner-Wohlfarth 理論□ Moriya-Kawabata 理論 (1973)
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Properties of Weak Itinerant Ferromagnets
磁気的な性質■ 微小な原子当たりの磁気モーメント ps■ 低い臨界温度 Tc
■ Arrott プロット (M2 vs H/M) のよい直線性■ 磁化率の Curie-Weiss 則■ ps に比べて比較的大きな有効磁気モーメント peff
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Heisenberg Model
局在電子磁性のモデル
H =∑<i ,j>
JijSi · Sj
■ S = (Sx .Sy ,Sz)
■ S2 = S(S + 1): 保存量■ S は整数又は半整数: 角運動量の量子化■ 自発磁化 M = gµB
∑i ⟨Sz
i ⟩
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A Magnetic Moment in the Magnetic Field
磁場中の磁気モーメント■ ゼーマン (Zeeman) エネルギー
Hz = −µ ·H = −µzH, µ = gµBJ
■ 分配関数と自由エネルギー
Z =J∑
m=−J
egµBmH/kBT = e−gµBJH/kBT [1 + egµBH/kBT + · · ·+ e2gµBJH/kBT ]
=e−gµBJH/kBT [1− egµB(2J+1)H/kBT ]
1− egµBJH/kBT=
sinh[(2J + 1)gµBH/2kBT ]
sinh(gµBH/2kBT )
■ 自由エネルギーF = −kBT logZ (H,T )
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Curie Law of Magnetic Susceptibility
■ 磁場によって誘起される磁気モーメント
m = gµB ⟨Jz⟩ = −∂F
∂H= gµBJBJ(x), x = gµBJH/kBT
BJ(x) = {(1 + 1/2J) coth[(1 + 1/2J)x ]− (1/2J) coth(x/2J)} ,
≃ J + 1
3Jx , (x ≪ 1)
■ 磁化率 χ(T )
χ(T ) =m
H=
(gµB)2J(J + 1)
3kBT=
(µB)2p2eff
3kBT
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Molecular Field Approximation
分子場近似: 相互作用を時間変化のない磁場と見なす
■ 相互作用に起因する磁場
Hm =∑i
J ⟨Jzj ⟩
■ 実効磁場
Heff = H+JgµB
∑j
′ ⟨Jzj ⟩ = H+ζJ
N(gµB)2M, M = gµB
∑i
⟨Jzi ⟩
■ 発生する磁気モーメント
M ≃ N(gµB)2J(J + 1)
3kBTHm =
J(J + 1)
3kBT[N(gµB)
2H + ζJM]
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Magnetic Properties of Localized Moment Systems
■ Curie-Weiss 則
χ(T ) =N(gµB)
2J(J + 1)
3kB(T − TC ), TC =
J(J + 1)ζJ3kB
■ 自発磁化
M(T ) = NgµBJBJ(xeff),
xeff = gµBJHeff/kBT = gµBJ(H + ζJM/[N(gµB)2])
M(0) ≡ NµBps = NgµBJ, (T → 0)
■ 磁気モーメントの比
peffps
=
√J(J + 1)
J=
√1 +
1
J
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Magnetic Free Energy
ルジャンドル変換
F (M,T ) = F (H,T ) +MH, M = −∂F (H,T )
∂H
■ 自由エネルギーと磁化曲線
F (M,T ) = F (0,T ) +1
2a(T )M2 +
1
4b(T )M4 + · · ·
H =∂F
∂M= a(T )M + b(T )M3 + · · ·
■ 磁気モーメント M
■ 磁化率 χ(T ) の温度変化，臨界温度 Tc
■ キュリー定数 C と有効磁気モーメント peff10 / 26
Weak Itinerant Ferromagnets
化合物 Tc(K) ps peff peff/ps
MnSi 30 0.4 2.25 5.6Ni3Al 41.5 0.075 1.3 16.9
Sc0.7575In0.2425 5.5 0.045 0.7 15.6ZrZn2 21.3 0.12 1.44 12.0
Zr0.92Ti0.08Zn2 40 0.233 1.33 5.7Zr0.8Hf0.2Zn2 49.4 0.278 1.38 4.96
Table: キュリー温度と磁気モーメント
M0(0) = NµBps : 基底状態 (T = 0)の自発磁化
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Rhodes-Wohlfarth プロット
局在電子磁性と遍歴電子磁性
14
12
10
8
6
4
2
0
Pc/Ps
10008006004002000Tc(K)
(FeCo)Si
Pd-Fe
(FeCo)Si
(FeCo)Si
Pd-Fe Pd-Fe
Pd-Co
Pd-Co
Pd-FePd-Co
Ni-Cu
Pd-CuNi-Pd NiCoB
Fe
Pd-Ni
Pd-Ni
Sc-InPd-Rh-Fe
CrBr3 EuO Gd MnB MnSb FeB
Figure: Rhodes-Wohlfarth プロット
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Arrott Plot of Magnetization Curve
磁化曲線の非線形性の解析
H = a(T )M + b(T )M3 + · · · = b(T )M[M2 −M20 (T )] + · · ·
M2 = −a(T )
b(T )+
1
b(T )
H
M,
H
M= b(T )[M2 −M2
0 (T )] + · · ·
特徴■ 係数 a(T ) の温度依存性: a(T ) ∝ (T 2
c − T 2)
■ 温度変化の無い b(T )
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Observed Magnetization Curves
ZrZn2 の磁化曲線
Figure: ZrZn2 の Arrott プロット
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Observed Magnetization Curves
Sc3In の磁化曲線
Figure: Sc3In の Arrott プロット14 / 26
Temperature Dependence of Magnetization
ZrZn2 の自発磁化の温度変化
Figure: M2 vs T 2
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Temperature Dependence of b(T )
4次の展開係数 b(T ) ∝ 1/F (T ) の温度変化
45
50
55
60
F(T
)(arbitrary
units)
0 500 1000 1500 2000 2500
T2(K
2)
T2
c
Figure: F (T ) vs T 2 for (ZrTi)Zn2
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Temperature Dependence of b(T )
4次の展開係数 b(T ) ∝ 1/F (T ) の温度変化
35
40
45
50
55
F(T
)(arbitrary
units)
0 500 1000 1500 2000
T2(K
2)
T2
c
Figure: F (T ) vs T 2 for ZrZn1.9
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Localized vs Itinerant Magnets
局在電子磁性に対する遍歴磁性の特徴
磁気的性質 局在電子磁性 遍歴磁性
M/(N0µB) 整数 | 半整数 ≪ 1低温での磁化曲線 飽和 不飽和Arrott プロット 非線型 直線
低温磁化の温度依存性 T 3/2 T 2
χ(T ) キュリー・ワイス則 キュリー・ワイス則peff/ps ∼ 1 ≫ 1
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Stoner-Wohlfarth Theory
Stoner-Wohlfarth 理論
■ 電子相関の重要性: 電子間のクーロン反発力■ 伝導電子のエネルギーバンドのスピン分極
N↑ ̸= N↓
■ フェルミ分布関数の温度変化が温度依存性の原因多くの磁気的性質に，T 2 に比例する温度変化が現れる
■ 自由エネルギーの磁化による展開 (特に弱強磁性体の場合)
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Stoner-Wohlfarth Theory
Model of Itinerant Electron Magnetism■ Hubbard Model: 金属磁性の数学的モデル
H =∑kσ
tijc†iσcjσ + U
∑i
ni↑ni↓ −MzB,
=∑kσ
εkc†kσckσ + U
∑i
ni↑ni↓ −MzB
Mz = −2µBSz , Sz =
∑i
szi
■ 全電子数、一様磁化 (2µB の単位)の平均値
M =1
2
∑k
⟨nk↑ − nk↓⟩ =N0
2⟨n↑ − n↓⟩
N =∑k
⟨nk↑ − nk↓⟩ = N0 ⟨n↑ + n↓⟩
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Hartree-Fock Approximation
■ 相互作用について分子場近似
U∑i
ni↑ni↓ =⇒ U∑iσ
(ni↑ ⟨n↓⟩+ ni↓ ⟨n↑⟩ − ⟨n↓⟩ ⟨n↑⟩)
= U∑kσ
nkσ ⟨n−σ⟩ − N0U ⟨n↓⟩ ⟨n↑⟩
■ 近似ハミルトニアン
H =∑kσ
(εkσ − µ)c†kσckσ − I
(N2
4−M2
), (I = U/N0)
εkσ =εk + IN/2− σ∆, ∆ = IM + h/2
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Free Energy and Thermodynamic Relations
■ 自由エネルギー
F (h, µ,T ) = IM2 + F0, F0 = −kT∑kσ
ln(1 + e−β(εkσ−µ))
■ 温度、磁場依存性 (熱力学の関係式)
N(h, µ,T ) = −∂F
∂µ=
∑kσ
f (εkσ) =∑σ
∫dερ(ε)f (ε+ σ∆)
M(h, µ,T ) = −∂F
∂h= −1
2
∑kσ
σf (εkσ)
= −1
2
∫dερ(ε)[f (ε+∆)− f (ε−∆)]
ただし状態密度 ρ(ε) は次のように定義した。
ρ(ε) =∑k
δ(ε− εk)
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Basis of Stoner-Wohlfarth Theory
Stoner-Wohlfarth 理論の基本的な考え方
∆Eband + ECoulomb が極小になるようにバンドが分裂する
1. バンド分裂 – 電子間相互作用の効果
εkσ = εk − σ∆, ∆ = µBH + IM, (I = U/N)
2. 温度依存性: Fermi 分布の Sommerfeld 展開∫ ∞
−∞dερ(ε)f (ε) =
∫ µ
−∞dερ(ε) +
∑n=1
an(kT )2nρ(2n−1)(µ)
3. 分裂 ∆ (or M) による展開
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Free Energy as a Function of Magnetization
■ 自由エネルギーの変数変換 (Legendre 変換)
F (M,N,T ) = F (h, µ,T ) + hM + µN
µ(M,N,T ), h(M,N,T ) の関係を用い、N, M の関数として表す。
■ 新たな熱力学の関係式
∂F (M,N,T )
∂N= µ+
(∂F (h, µ,T )
∂µ+ N
)∂µ
∂N+
(∂F (h, µ,T )
∂h+M
)∂h
∂N
= µ
∂F (M,N,T )
∂M= h +
(∂F (h, µ,T )
∂µ+ N
)∂µ
∂M+
(∂F (h, µ,T )
∂h+M
)∂h
∂M
= h
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Stoner-Wohlfarth Free Energy
Stoner-Wohlfarth 理論の自由エネルギー
F (M,T ) = F (0, 0) +1
2a(T )M2 +
1
4b(T )M4 + · · ·
a(T ) =1
ρ− I +
π2R
6ρ(kT )2 + · · · , b(T ) =
F12ρ3
R = ρ′2/ρ2 − ρ′′/ρ+ · · · , F1 = ρ′2/ρ2 − ρ′′/3ρ
磁気的性質: 状態密度 ρ の εF 近傍のエネルギー依存性が影響する
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Summary of Stoner-Wohlfarth Theory
■ 自由エネルギー
F (M,T ) = F (0,T ) +1
2a(T )M2 +
1
4b(T )M4 + · · ·
H = a(T )M + b(T )M3 + · · ·a(T ) = a0 + a2T
2 + · · · , b(T ) = b0 + b2T2 + · · ·
■ 磁化曲線と自発磁化
H = M[a(T ) + b(T )M2 + · · · ] = 0, (H = 0)
M20 (0) = −a0
b0, M2
0 (T ) ≃ M20 (0)−
a2b0
T 2 + · · ·
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Difficulties of the Theory
常磁性相で観測される磁化率の温度依存性
■ Magnetic susceptibility
χ(T ) =1
a(T )∝ 1
T 2 − T 2c
■ 観測される磁化率
χ(T ) ≃ C
T − Tc
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