平成 27 年 7 月 1 日

多粒子系の量子論の基礎

千葉　敏 (原子炉工学研究所)

1 第二量子化

粒子 i (i = 1 · · ·N)が状態 αi, (i = 1 · · ·N)にあるN 粒子系の状態を

|α(1)1 α

(2)2 · · ·α(N)

N ⟩ ≡ |α(1)1 ⟩|α(2)

2 ⟩ · · · |α(N)N ⟩ (1.1)

で表す。上付きの添え字 (i)は粒子 iの状態であることを示す。1粒子状態 |αi⟩の添え字 iは 1

粒子状態を区別するための添え字で、粒子の番号とは無関係である。上では単に粒子 iがある状態を (i)と書いただけである。ま た、|α(i)

i ⟩ は規格直交系とする：

⟨αi|αj⟩ = δij (1.2)

1.1 スレーター行列式

N 個の同種粒子系では、個々の粒子は量子力学的には区別できない。簡単のためN = 2の場合を考える。2粒子系の波動関数の粒子を交換する 演算子を P12 とする。これを波動関数|α(1)

1 α(2)2 ⟩に作用させると

P12|α(1)1 α

(2)2 ⟩ = |α(1)

2 α(2)1 ⟩ (1.3)

となる。もう一度作用させると、

P12|α(1)2 α

(2)1 ⟩ = P 2

12|α(1)1 α

(2)2 ⟩ = |α(1)

1 α(2)2 ⟩ (1.4)

すなわち、|α(1)1 α

(2)2 ⟩は P 2

12の固有関数であり、固有値は、P212 = 1より

P12 = ±1 (1.5)

であることがわかる。このうち

P12 = 1 → P12|α(1)1 α

(2)2 ⟩ = |α(1)

2 α(2)1 ⟩ = |α(1)

1 α(2)2 ⟩ (1.6)

P12 = −1 → P12|α(1)1 α

(2)2 ⟩ = |α(1)

2 α(2)1 ⟩ = −|α(1)

1 α(2)2 ⟩ (1.7)

となる。つまり、同種二粒子系の波動関数は、二つの粒子が交換する時に符号が変わらない場合（これを対称な波動関数と言う）と変わる場合（これを 反対称と言う）の二種類がある。量子力学ではこの事実を取り入れ、かつ同種粒子の非識別性を正しく取り入れるために、多粒子系の状態として次の要請を満たす（パウリの仮定）：

• フェルミ粒子（スピンが半整数の粒子）の場合、任意の二つの粒子の状態を交換すると波動関数の符号が変わる反対称の状態

• ボーズ粒子（スピンが整数の粒子）の場合、任意の二つの粒子の状態を交換しても不変な対称の状態

1

重要なことは、これまでこの仮定に反する粒子は見つかっていないことである。そこで、以下ではフェルミ粒子系の多体系を考え る。|α(1)

1 ⟩と |α(2)2 ⟩から粒子 1と粒子 2の状態を交換して

符号が変わる組み合わせを考えると

|α1α2⟩a = C(|α(1)

1 α(2)2 ⟩ − |α(2)

1 α(1)2 ⟩)

(1.8)

である。C は規格化定数で、

a⟨α1α2|α1α2⟩a = |C|2(⟨α(1)

1 α(2)2 |α(1)

1 α(2)2 ⟩+ ⟨α(2)

1 α(1)2 |α(2)

1 α(1)2 ⟩)= 2|C|2 = 1 (1.9)

の条件より C = 1/√2と取れば良い。この時、(1.8)は行列式により

|α1α2⟩a =1√2

∣∣∣∣∣|α(1)1 ⟩ |α(2)

1 ⟩|α(1)

2 ⟩ |α(2)2 ⟩

∣∣∣∣∣ (1.10)

と表すことができる。一般にN フェルミ粒子系の状態は

|α1α2 · · ·αN ⟩a =1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|α(1)

1 ⟩ |α(2)1 ⟩ · · · |α(N)

1 ⟩|α(1)

2 ⟩ |α(2)2 ⟩ · · · |α(N)

2 ⟩...

. . ....

|α(1)N ⟩ |α(2)

N ⟩ · · · |α(N)N ⟩

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(1.11)

である。これをスレーター行列式と言う。スレーター行列式の性質として、

• 粒子 iと jの状態を交換することは添え字 (i)と (j)を交換することで、これは行列式のi列と j列を入れ替えることであり、行列式の性質から符号が変わる。

• α1、α2、· · ·、αN の中に一組でも同じ物がある場合、行列式の性質からゼロになるか ら、これらの状態は全て異なる状態で無ければならない。つまり同種フェルミ粒子系では、二つの粒子が同じ状態を占めることは許されない（パウリの排他率、またはパウリ原理）。言葉を変えると、一つの状態を占めることのできる粒子は、最大で 1個である。

1.2 生成 ·消滅演算子

状態 |α⟩のフェルミ粒子を生成する演算子 a†αが反交換関係{aα, a

†α′

}≡ aαa

†α′ + a†α′aα = δαα′ (1.12)

{aα, aα′} ≡ aαaα′ + aα′aα = 0 (1.13){a†α, a

†α′

}≡ a†αa

†α′ + a†α′a

†α = 0 (1.14)

を満たすとする。これより直ちに

aαaα = a†αa†α = 0 (1.15)

が成り立つ。また、これらより演算子NαをNα ≡ a†αaαと定義し、その固有値が nαである固有状態を |nα⟩とする：

Nα|nα⟩ = nα|nα⟩ (1.16)

である。反交換関係を使うと

Nαa†β|nα⟩ = a†αaαa

†β|nα⟩ = a†α(δαβ − a†βaα)|nα⟩ = (a†βa

†αaα + a†αδαβ)|nα⟩

= (nα + δαβ)a†β|nα⟩ (1.17)

Nαaβ|nα⟩ = a†αaαaβ|nα⟩ = −a†αaβaα|nα⟩ = −(δαβ − aβa†α)aα|nα⟩ = (aβa

†αaα − δαβaβ)|nα⟩

= (nα − δαβ)aβ|nα⟩ (1.18)

2

つまり、a†α は Nα の固有値を 1つだけ増やし、aα は 1つ減らす。従って反交換関係を満たすa†α、aαはそれぞれ生成、消滅演算子であり、Nαはその固有値が 1粒子状態 |α⟩にある粒子数を表す演算子と解釈できる。

N2α = a†αaαa

†αaα = a†α(1− a†αaα)aα = a†αaα − a†α

2aα

2 = a†αaα = Nα (1.19)

である。ただし a†α2= aα

2 = 0を用いた。これより固有値に対しても n2α = nαの関係が成り立つので、nα = 0または nα = 1だけである。従ってパウリの排他率を自動的に満たしている。また (1.18)で nα = 0とすると、

Nαaα|nα = 0⟩ = −aα|nα = 0⟩ (1.20)

なのでNαの固有値が-1になってしまうがそれは許されないから

aα|nα = 0⟩ = 0 (1.21)

となる。全てのNαの固有値が 0である規格化された状態を |0⟩とする。|0⟩はどの 1粒子状態にも粒子が存在しないから真空と呼ばれる。この時、任意の αに対して

aα|0⟩ = 0 (1.22)

である。この真空を用いて、粒子がN 個ある状態

|α1α2 · · ·αN ⟩a ≡ a†α1a†α2

· · · a†αN|0⟩ (1.23)

を考える。この状態は

• i = jに対して a†αia†αj = −a†αja

†αi であるから、二つの粒子の状態を交換すると符号を変

える。すなわち同種フェルミ粒子系の反対称性を正しく示す。

• a†αa†α = 0であるから、同一の状態を二つ（以上）の粒子が占めることはできない。すな

わちパウリの排他率を満たしている。

• さらには、規格化条件a⟨α1α2 · · ·αN |α1α2 · · ·αN ⟩a = 1 (1.24)

となることを示すこともできる。このために αi (i = 1, 2, · · · , N)が全て異なるとする。

a⟨α1α2 · · ·αN |α1α2 · · ·αN ⟩a = ⟨0|aN · · · aα2aα1 · a†α1a†α2

· · · a†αN|0⟩

= ⟨0|aN · · · aα2(1− a†α1aα1)a

†α2

· · · a†αN|0⟩ (1.25)

となるが、aα1 は a†α2 , · · · , a†αN とは単に反交換するだけ であるから、二行目で aα1 を含

む項はaα1a

†α2

· · · a†αN|0⟩ = (−1)N−1a†α2

· · · a†αNaα1 |0⟩ = 0 (1.26)

である。これを繰り返していくと、

a⟨α1α2 · · ·αN |α1α2 · · ·αN ⟩a = ⟨0|aN · · · aα2a†α2

· · · a†αN|0⟩

= ⟨0|aN · · · aα3a†α3

· · · a†αN|0⟩

= ⟨0|0⟩ = 1 (1.27)

• 従って |α1α2 · · ·αN ⟩aはスレーター行列式と同じ性質を有する状態を表す。

3

1.3 生成 ·消滅演算子を用いる演算子の表現

フェルミ粒子のN 粒子系を扱うとき、二つの方法がある。

1. 状態をスレーター行列式Ψで表して、通常の演算子を用いる。一体、及び二体の演算子をそれぞれ

F1 =

N∑i=1

fi, V2 =1

2

N∑i,j=1,i =j

v(i, j) (1.28)

とする。v(i, j)は粒子 iと jの相互作用を表し、対称性 v(i, j) = v(j, i)を有する。ここでi、jは粒子を表す指標である。

2. 状態と演算子を生成 ·消滅演算子で表す。この場合、粒子 1や 2などの区別はそもそも無くなる。

Ψ → |α1α2 · · ·αN ⟩a = a†α1a†α2

· · · a†αN|0⟩,

F1 → F =∑αβ

fαβa†αaβ, fαβ ≡ ⟨α|f |β⟩, (1.29)

V2 → V =1

4

∑αβα′β′

vαβα′β′a†αa†βaβ′aα′

vαβα′β′ ≡ ⟨α(1)β(2)|v(1, 2)|α′(1)β′(2)⟩ − ⟨α(1)β(2)|v(1, 2)|β′(1)α′(2)⟩ (1.30)

ここで α、β等は状態を表す指標で、和は完全系をなす無限個の状態に渡って取る。

ところで vαβα′β′ は添え字 αβと α′β′に関して反対称である。このうち後者の半対称性は上の定義からすぐにわかるが、前者については、vの対称性 v(1, 2) = v(2, 1)を用いて

vβαα′β′ = ⟨β(1)α(2)|v(1, 2)|α′(1)β′(2)⟩ − ⟨β(1)α(2)|v(1, 2)|β′(1)α′(2)⟩= ⟨β(1)α(2)|v(2, 1)|α′(1)β′(2)⟩ − ⟨β(1)α(2)|v(2, 1)|β′(1)α′(2)⟩

(1↔2)= −⟨β(2)α(1)|v(1, 2)|β′(2)α′(1)⟩+ ⟨β(2)α(1)|v(1, 2)|α′(2)β′(1)⟩= −⟨α(1)β(2)|v(1, 2)|α′(1)β′(2)⟩+ ⟨α(1)β(2)|v(1, 2)|β′(1)α′(2)⟩= −vαβα′β′ (1.31)

1体演算子が (1.29)式のように対応することを示す。まず波動関数を用いると、|⟩aをスレーター行列式として

a⟨|F1|⟩a = a⟨|N∑i=1

fi|⟩a (1.32)

左側の a⟨|にも右側の |⟩aにも粒子 iを含む項がN !個あるが、そのうちゼロにならないのは演算子が作用しない粒子 i以外の状態が全て等しい場合だけである。その時、左右の粒子 iの状態も等しくなるので、上式は

a⟨|F1|⟩a =1

N !

N∑i,j=1

(N − 1)!⟨α(i)j |fi|α(i)

j ⟩ = 1

N !

N∑j=1

N(N − 1)!⟨αj |f |αj⟩

=

N∑i=1

⟨αi|f |αi⟩ (1.33)

となる。和を取ることで全ての一粒子状態の和になっている。一方、N 粒子系の基底状態を

|⟩ ≡ a†1a†2 · · · a

†N |0⟩ (1.34)

4

として、

⟨|F1|⟩ = ⟨|∑αβ

fαβa†αaβ|⟩ =

∑αβ

fαβ⟨|a†αaβ|⟩ =N∑

β=1

fαβδαβ =

N∑α=1

fαα

=

N∑i=1

⟨αi|f |αi⟩ (1.35)

これより

a⟨|F1|⟩a = ⟨|F1|⟩ (1.36)

が証明できた。2体演算子についてはもう少し複雑であるが、同様に証明できる。

2 ハートリー ·フォック近似N フェルミオン多体型のハミルトニアンが

H =N∑i=1

t(i) +1

2

∑i=j

v(i, j) (2.1)

で与えられるとする。t(i)は粒子 iの運動エネルギーを、v(i, j)は粒子 iと jの間の相互作用を表す。適当な 1粒子状態の完全規格化直交系を用いてN 粒子系のスレーター行列式 |α1α2 · · ·αN ⟩を考える。N 個の状態として可能な全ての組み合わせを考えて、それらから作ったスレーター行列式の集合を作れば、それはN 粒子系の完全系になる。従ってそのようなスレーター行列式の集合でH の固有状態を展開して固有状態を求めれば良いわけだがそれは実際上不可能である。そこで系の基底状態を求めるために一つのスレーター行列式だけを考えて、その模型空間内でエネルギーが最小になるように 1粒子状態を求めることにする。これがハートリー ·フォック近似である。

2.1 エネルギー期待値

真空を |0⟩として、N 粒子系の基底状態を

|⟩ ≡ a†1a†2 · · · a

†N |0⟩ (2.2)

とする。生成 ·消滅演算子を用いると、ハミルトニアンは

H = T + V, T =∑αα′

tαα′a†αaα′ , V =1

4

∑αβα′β′

vαβα′β′a†αa†βaβ′aα′ (2.3)

と書ける。ハートリー ·フォック法は、⟨|H|⟩を最小にするような状態 αi, (i = 1, 2, ·, N)を求める方法である。そこでEHF = ⟨|H|⟩を求める。まず運動エネルギーの期待値を求める：

⟨|T |⟩ =∑αα′

tαα′⟨|a†αaα′ |⟩ =∑αα′

tαα′⟨|a†αaα′ · a†1a†2 · · · a

†N |0⟩ (2.4)

1粒子状態 |α′⟩が |⟩において占められていない場合、つまり α′ = i(i = 1, 2, · · · , N)ならば aα′

と a†i は反交換する (aα′a†i = −a†iaα′)だけであるから

aα′ |⟩ = aα′a†1a†2 · · · a

†N |0⟩ = (−1)Na†1a

†2 · · · a

†Naα′ |0⟩ = 0 (2.5)

5

である。次に α′ = iの場合、a†αai|⟩は状態 iにある粒子を消して、状態 αに粒子を作り出す。この場合、

⟨|a†αai|⟩ =

0, α = i

1, α = i(2.6)

これより

⟨|a†αaα′ |⟩ = δαα′θα, θα =

1, α = i (i = 1, 2, · · · , N)の時

0, その他(2.7)

と表せる。これから

⟨|T |⟩ =N∑i=1

tii =

N∑i=1

⟨αi|t|αi⟩ (2.8)

になる。次に ⟨|V |⟩を求める。T の時と同様に i, j = 1, 2, · · · , N とすると、α′ = i、β′ = j ならば

aβ′aα′ |⟩ = 0であるから

⟨|V |⟩ = 1

4

N∑i,j=1

∑αβ

vαβij⟨|a†αa†βajai|⟩ (2.9)

このうちa†αa†βajai|⟩が符号を除いて元の状態 |⟩に戻るためにはα = i, β = jまたはα = j, β = i

でなければならない。従って

⟨|V |⟩ = 1

4

N∑i,j=1

(vijij⟨|a†ia

†jajai|⟩+ vjiij⟨|a†ja

†iajai|⟩

)=

1

4

N∑i,j=1

(vijij − vjiij) ⟨|a†ia†jajai|⟩

(2.10)

ところで⟨|a†ia

†jajai|⟩ = ⟨a†i (1− aja

†j)ai|⟩ = ⟨|a†iai|⟩ − ⟨|a†iaj(δij − aia

†j)|⟩ (2.11)

で、⟨|a†iaj |⟩ = δij と a†j |⟩ = 0を使うと

⟨|a†ia†jajai|⟩ = 1− δij (2.12)

になる。これと vの反対称性から

⟨|V |⟩ =1

4

N∑i,j=1

(vijij − vjiij) (1− δij) =1

4

N∑i,j=1,i =j

(vijij − vjiij)

=1

2

N∑i,j=1

vijij (2.13)

従ってH の期待値は

EHF = ⟨|H|⟩ =N∑i=1

tii +1

2

N∑i,j=1

vijij (2.14)

EHF は未知関数 |αi⟩, (i = 1, 2, · · · , N)の関数である。EHF を最小にする関数の組 {|αi⟩}, (i =1, 2, · · · , N)を見つけよう、というのがハートリー ·フォック近似である。そのために変分法を用いる。

6

2.2 変分法

あるエルミート演算子 F の期待値

f [ϕ] =⟨ϕ|F |ϕ⟩⟨ϕ|ϕ⟩

(2.15)

を最小にする波動関数 |ϕ⟩を求めることを考える。ただし |ϕ⟩は規格化されている必要は無い。ϕが微小変化 δϕした時の f の変化量を δf とする。f が停留値をとる、すなわち任意の δϕに対して δf = 0であるとする。⟨ϕ|ϕ⟩f = ⟨ϕ|F |ϕ⟩の変分を求めると

(⟨δϕ|ϕ⟩+ ⟨ϕ|δϕ⟩) f + ⟨ϕ|ϕ⟩δf = ⟨δϕ|F |ϕ⟩+ ⟨ϕ|F |δϕ⟩ (2.16)

整理すると⟨ϕ|ϕ⟩δf = ⟨δϕ|(F − f)|ϕ⟩+ ⟨ϕ|(F − f)|δϕ⟩ (2.17)

δf = 0になるためには⟨δϕ|(F − f)|ϕ⟩+ ⟨ϕ|(F − f)|δϕ⟩ = 0 (2.18)

が必要である。ここで |δϕ⟩を i|δϕ⟩に置き換えると ⟨δϕ|は−i⟨δϕ|に置き換わるから

−⟨δϕ|(F − f)|ϕ⟩+ ⟨ϕ|(F − f)|δϕ⟩ = 0 (2.19)

この 2式から⟨δϕ|(F − f)|ϕ⟩ = 0, ⟨ϕ|(F − f)|δϕ⟩ (2.20)

を得る。F がエルミートならば f は実数になるから、2番目の式の複素共役は 1 番目の式になる。従ってどちらか一つの式を考えればよい、つまり、ケットの変分 |δϕ⟩とブラの変分 ⟨δϕ|は本来は独立ではないが、停留値を与える ϕを求める時には |δϕ⟩と ⟨δϕ|はあたかも独立なものとみなしてどちらかの変分だけを考えればよい。そこで最初の式を考えると、任意の δϕに対して成り立つためには

(F − f)|ϕ⟩ = 0 (2.21)

になる。任意の変分に対して f が停留値になる状態は F の固有状態である。従って F の固有状態を求めるためには変分条件を用いればよい。

2.3 ハートリー ·フォック方程式

(2.14)の変分を考えて、多粒子系の波動関数を 1個のスレーター行列式で近似した場合のエネルギーの停留値を求める。各一粒子状態は規格化されている必要があるから、⟨k|k⟩ = 1, (k =

1, 2, · · · , N)の条件を課して変分をとる必要がある。これを行うためにラグランジュの未定乗数法により、

δ(EHF − ϵk⟨k|k⟩) = 0 (2.22)

の条件を課せば良い。ブラとケットの変分は独立とみなしてよいのでブラの変分を考える。ある一つのブラ ⟨k|の変分を取ると、これが粒子 1の場合と粒子 2の場合を考えて、(2.14)から、

δEHF = ⟨δk|t|k⟩+ 1

2

N∑j=1

⟨δkj|v|kj⟩+ 1

2

N∑i=1

⟨iδk|v|ik⟩ = ⟨δk|t|k⟩+N∑i=1

⟨δki|v|ki⟩ (2.23)

従って (2.22)は

⟨δk|t|k⟩+N∑i=1

⟨δki|v|ki⟩ = ϵk⟨δk|k⟩ (2.24)

7

h

particle p

εF

図 1: 粒子状態、空孔状態、フェルミエネルギー

uHF ≡N∑i=1

⟨i(2)|v(1, 2)|i(2)⟩ (2.25)

hHF ≡ t+ uHF (2.26)

とすると、これは粒子 1についての演算子であり、(2.24)は

⟨δk|hHF |k⟩ = ϵk⟨δk|k⟩ (2.27)

と書くことができる。これより

hHF |k⟩ = ϵk|k⟩ (2.28)

が状態 |k⟩を決める方程式となる。これをハートリー ·フォック方程式と言う。また、この近似法をハートリー ·フォック近似と言う。ハートリー ·フォック（HF)近似では、粒子は一体ポテンシャル uHF の中をあたかも独立に運動している。しかし、このポテンシャルは 1粒子状態の基底系 {|k⟩}が分かっていなければ決まらない。一方、{|k⟩}を求めるには uHF が求まっている必要がある。従って実際にハートリー ·フォック方程式を解くためには反復法を行う。まず、uHF として適当なポテンシャルを仮定して hHF の固有状態を求める。この固有状態のうちエネルギーの低いN 個の状態を用いて uHF を計算し、再度 hHF の固有状態を求める。これを一粒子状態、あるいは uHF が変化しなくなるまで繰り返す。このようなやり方を自己無撞着 (self-consistent)の方法と言う。HF近似の基底状態で、占められている一粒子状態のエネルギーの中で最大のものをフェルミエネルギーと言う。フェルミエネルギーより下の状態をフェルミの海 (Fermi sea)と言う。フェルミエネルギーを ϵF とすると、ϵk⟨ϵF の時、akはフェルミの海の中の粒子を消滅させるので、海の中に正孔（ホール）を生成することになる。ϵF をエネルギーの基準にすると、これはϵk − ϵF のエネルギーが無くなっていることに対応するので、

ϵh = −(ϵk − ϵF )⟩0 (2.29)

の正エネルギーの粒子とみなすことができる。HF基底状態 |⟩で占有されていない一粒子状態を粒子状態 (particle state)、占有されている一粒子状態を空孔状態 (hole state)と言う。粒子状態のエネルギーは ϵF より上、空孔状態は以下ということになる（図 2.3）。生成演算子 b†kを

b†k =

a†k, ϵk > ϵFの時 (θk = 0)

ak, ϵk ≤ ϵFの時 (θk = 1)(2.30)

8

で定義すれば、b†kは粒子または空孔を生成し、全ての kに対して bk|⟩ = 0になる。HF基底状態は粒子も空孔もない状態、つまり粒子-空孔真空である。以下では、粒子状態を p、p′、空孔状態を h、h′ などで表し、区別しない時はギリシャ文字

α、βなどを使う。こうするとN∑i=1

→∑h

(2.31)

などと書ける。ハートリー ·フォック方程式

hHF |k⟩ = t|k⟩+N∑i=1

⟨i(2)|v(1, 2)|i(2)⟩|k(1)⟩ (2.32)

は

hHF |h⟩ = t|h⟩+∑h′

⟨h′(2)|v(1, 2)|h′(2)⟩|h(1)⟩

= t|h⟩+∑h′

⟨h′(2)|v(1, 2)|h(1)h′(2)⟩ −∑h′

⟨h′(2)|v(1, 2)|h′(1)h(2)⟩ (2.33)

となるので、これを波動関数を用いて書き換えると

hHFψh(r) = tψh(r) +∑h′

∫d3r′ψ†

h′(r′)v(r, r′)

(ψh(r)ψh′(r′)− ψh′(r)ψh(r

′))

(2.34)

ここで

uH(r) ≡∑h′

∫d3r′ψ†

h′(r′)v(r, r′)ψh′(r′) (2.35)

とすると、最終的にハートリー ·フォック方程式の微分型(− h2

2m∇2 + uH

)ψh(r)−

∑h′

∫d3r′ψ†

h′(r′)v(r, r′)ψh′(r)ψh(r

′) = ϵhψh(r) (2.36)

となる。uH(r)は空間の一点 rだけに依存する通常の（局所的な）ポテンシャルであり、求めようとする全ての状態に共通である。これをハートリーポテンシャルと言う。一方、左辺の第三項をフォック項、あるいは交換項と言う。フォック項の積分は h毎に異なるため、ハートリー·フォック方程式を実際に解く場合、複雑になる。また (2.24)より

ϵα = ⟨α|hHF |α⟩ = tαα +∑h

vαhαh (2.37)

であるから

EHF = ⟨|H|⟩ =∑h

thh +1

2

∑hh′

vhh′hh′ =∑h

ϵh −1

2

∑hh′

vhh′hh′ (2.38)

となる。EHF は基底状態で占められている一粒子状態のエネルギー ϵhの単純な和ではない。

3 ウィックの定理

第二量子化によりフェルミ粒子の多体問題を扱う際に頻繁に現れる生成演算子と消滅演算子の任意個の積ABC . . . Zを考える。このうちすべての消滅演算子がすべての生成演算子の右に

9

くるように並べ替えた積を作る。この積が最初の並びから奇置換で得られる場合は −1、偶置換ならば+1の符号をつけることにする。これを正規積 (normal product)と言って

: ABC . . . Z :またはN(ABC . . . Z) (3.1)

で表す。二つの演算子 A、Bが両方とも生成演算子（または消滅演算子の場合は）、演算子の積に反交換関係

AB = −BA (3.2)

があるので、: AB := − : BA :が成り立つ。生成演算子と消滅演算子の順序を変える時は、状態の指標を α、α′として

c†αcα′ = δαα′ − cα′c†α (3.3)

の δαα′ の部分を無視して、単に並び替えをして−を付ければ良い。つまり、全ての組み合わせにおいて、正規積の中の隣り合う演算子の順序を交換するときは

: ABC . . . Z := − : BAC . . . Z : (3.4)

の性質がある。ところで、生成 ·消滅演算子はどのような真空を考えるかで変わりうる。本来の真空 |0⟩の時は、全ての状態 αに対して aαが消滅演算子である。従って、たとえば、pを粒子状態 (フェルミエネルギーより上の一粒子状態)、hをホール状態（フェルミエネルギーより下の位置粒子状態）として

: a†pa†hah′ap′ := a†pa

†hah′ap′ (3.5)

である。一方ハートリーフォック (HF)基底状態 |⟩を真空として採用した場合は、ホール状態に対しては “ホールを作る演算子”b†hは粒子を消滅させる演算子 ahであり、

b†h = ah, bh = a†h (3.6)

一方粒子状態に対してはb†p = a†p, bp = ap (3.7)

となる b†、bを用いると b†が生成演算子、bが消滅演算子になるので

: a†pa†hah′ap′ :=: b†pbhb

†h′bp′ := −b†pb

†h′bhbp′ = −a†pah′a†hap′ (3.8)

である。一般に真空を |vac⟩、消滅演算子を cとする時、正規積が消滅演算子を 1つでも含むならば

. . . c|vac⟩ = 0である。また全く含まない場合は ⟨vac|c† = 0である。いずれにしろ、

正規積の真空期待値は 0 (3.9)

である。

次に縮約 (contraction)ABを

AB =: AB : +AB (3.10)

で定義する。AB と : AB :の差は定数であるから縮約は c数である。上式の真空期待値を取ると

< AB >=<: AB :> +AB⟨vac|vac⟩ = AB (3.11)

となるので、縮約は真空期待値と等しい (3.12)

10

ことがわかる。ウィックの定理 任意の生成 ·消滅演算子の積ABC . . . Zは、可能な全ての縮約を含む正規積の和に展開できる。すなわち

ABC . . . Z = : AB . . . Z : + : ABC . . . Z : + : ABC . . . Z : + . . .

+ : ABCDE . . . Z : + : ABCDE . . . Z : + . . .

+ : ABCDEFG . . . Z : + . . . (3.13)

となる。縮約は c数であるから正規積から取り出すことができるが、縮約する 2つの演算子の間に奇数個の演算子がある場合は−の符号を付けると約束する。たとえば

: ABC . . . Z := −AC : B . . . Z := − < AC >: B . . . Z :,

: ABCD . . . Z := AD : BC . . . Z :=< AD >: BC . . . Z :

: ABCDE . . . Z := −AC BD : E . . . Z := − < AC >< BD >: E . . . Z : (3.14)

等となる。ウィックの定理の証明 2つの積の場合は縮約の定義であるから、3つの積を考える。

ABC = : ABC : + : ABC : + : ABC : + : ABC :

= : ABC : + < AB > C− < AC > B+ < BC > A (3.15)

が成り立つことを言えれば良い。そこで 2つの演算子の積に消滅演算子 cを乗ずる場合、任意の演算子Aに対して< Ac >= 0であるから、

ABc = (: AB : + < AB >) c =: ABc : + < AB > c

= : ABc : + < AB > c− < Ac > B+ < Bc > A (3.16)

ただし最後の二項はいずれもゼロである。従って (3.15)式は成り立つ。次に c†を乗ずる場合は

Ac† = : Ac† : + < Ac† >= −c†A+ < Ac† >

Bc† = : Bc† : + < Bc† >= −c†B+ < Bc† > (3.17)

であるから（これはA、Bが生成演算子でも消滅演算子でも成り立つ）、

ABc† = −Ac†B +A < Bc† >= −(−c†A+ < Ac† >

)B +A < Bc† >

= c†AB− < Ac† > B +A < Bc† > (3.18)

これに AB =: AB : + < AB >、c† : AB :=: ABc† :を代入すると、c†AB =: ABc† : + <

AB > c†なので

ABc† =: ABc† : + < AB > c†− < Ac† > B +A < Bc† > (3.19)

となって、(3.15)式が成り立つ。以下同様にして n個の積の場合もWickの定理が成り立つことを示せる。ウィックの定理を使うとき、最初から同一の正規積にある演算子の縮約は寄与しないので考慮しなくて良い。例えば

A : BC : = A(BC− < BC >)

= : ABC : + : ABC : + : ABC : + : ABC : −A < BC >

= : ABC : + < AB > C− < AC > B +A < BC > −A < BC >

= : ABC : + < AB > C− < AC > B (3.20)

11

であり、BC は寄与しない。また、この全体の真空期待値を取る場合は、正規積が残っている項はゼロになるため、全ての因子の縮約の組み合わせを取った項の和となる。

4 ハミルトニアンの変形

ウィックの定理を使ってハミルトニアンを変形する。真空として HF基底状態 |⟩を考える。ウィックの定理によって

a†αa†βaβ′aα′ = : a†αa

†βaβ′aα′ : + : a†αa

†βaβ′aα′ : + : a†αa

†βaβ′aα′ : + : a†αa

†βaβ′aα′ :

+ : a†αa†βaβ′aα′ : + : a†αa

†βaβ′aα′ : + : a†αa

†βaβ′aα′ :

+ : a†αa†βaβ′aα′ : + : a†αa

†βaβ′aα′ : + : a†αa

†βaβ′aα′ : (4.1)

ただし a†αa†β =< |a†αa†β|⟩ = 0、aαaβ =< |aαaβ|⟩ = 0なので、上で生き残るのは生成演算子と

消滅演算子の縮約を取る部分だけであり、

a†αa†βaβ′aα′ =: a†αa

†βaβ′aα′ : − ⟨|a†αaβ′ |⟩ : a†βaα′ : +⟨|a†αaα′ |⟩ : a†βaβ′ :

+ ⟨|a†βaβ′ |⟩ : a†αaα′ : −⟨|a†βaα′ |⟩ : a†αaβ′ :

− ⟨|a†αaβ′ |⟩⟨|a†βaα′ |⟩+ ⟨|a†αaα′ |⟩⟨|a†βaβ′ |⟩ (4.2)

となる。ただし ⟨|a†αaα′ |⟩は α = α′以外はゼロであり、その時は ⟨|a†αaα|⟩ = ⟨|1 − aαa†α|⟩、ま

た、a†α|⟩がゼロになるのは αがホール状態の時だけなので、

⟨|a†αaα′ |⟩ = δαα′δαh、(hはホール状態のいずれか） (4.3)

である。ポテンシャル vαβα′β′ の反対称性

vαβα′β′ = −vβαα′β′ = −vαββ′α′ = vβαβ′α′ (4.4)

を用いると、

1

4

∑αβα′β′

vαβα′β′a†αa†βaβ′aα′ =

1

4

∑αβα′β′

vαβα′β′

×(: a†αa

†βaβ′aα′ : −⟨|a†αaβ′ |⟩ : a†βaα′ : +⟨|a†αaα′ |⟩ : a†βaβ′ :

+ ⟨|a†βaβ′ |⟩ : a†αaα′ : −⟨|a†βaα′ |⟩ : a†αaβ′ :

− ⟨|a†αaβ′ |⟩⟨|a†βaα′ |⟩+ ⟨|a†αaα′ |⟩⟨|a†βaβ′ |⟩)

=∑

αβα′β′

vαβα′β′

(⟨|a†βaβ′ |⟩ : a†αaα′ : +

1

2⟨|a†βaβ′ |⟩⟨|a†αaα′ |⟩

)+ Vres

=∑

αβα′β′

vαβα′β′

(⟨|a†βaβ′ |⟩a†αaα′ − 1

2⟨|a†βaβ′ |⟩⟨|a†αaα′ |⟩

)+ Vres

=∑αα′h

vαhα′ha†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′hh′ + Vres (4.5)

となる。ただし

Vres ≡1

4

∑αβα′β′

vαβα′β′ : a†αa†βaβ′aα′ : (4.6)

12

を残留相互作用と呼ぶ。全ハミルトニアンはこれに運動エネルギーの項を加えて

H =∑αα′

tαα′a†αaα′ +1

4

∑αβα′β′

vαβα′β′a†αa†βaβ′aα′

=∑αα′

(tαα′ + vαhα′h) a†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′hh′ + Vres

=∑αα′

⟨α|hHF |α′⟩a†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′hh′ + Vres (4.7)

ただし⟨α|hHF |α′⟩ ≡ tαα′ + vαhα′h (4.8)

はハートリーフォックの 1粒子ハミルトニアンの行列要素である。1粒子状態を hHF の固有状態に取ると、⟨α|hHF |α′⟩ = ϵαδαα′ なので、

H =∑α

ϵαa†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′hh′ + Vres

=∑α

ϵα

(: a†αaα′ : +⟨|a†αaα′ |⟩

)− 1

2

∑hh′

vhh′hh′ + Vres

=∑α

ϵα : a†αaα′ : +∑h

ϵh −1

2

∑hh′

vhh′hh′ + Vres

=∑α

ϵα : a†αaα′ : +Vres + EHF (4.9)

ただし

EHF =∑h

ϵh −1

2

∑hh′

vhh′hh′ (4.10)

となる。また (4.3)式を用いた。(3.6)、(3.7)式の bを使うと、∑α

ϵα : a†αaα′ :=∑p

ϵp : b†pbp : +

∑h

ϵ:hbhb†h :=

∑p

ϵpb†pbp −

∑h

ϵhb†hbh (4.11)

なので、 ∑α

ϵα : a†αaα′ : |⟩ = 0 (4.12)

となる。一方、Vresには : a†pa†p′ahah′ := b†pb

†p′b

†hb

†h′という項があるため Vres|⟩ = 0である。ハー

トリーフォック法は、残留相互作用 Vresを無視して

H0|⟩ = EHF |⟩ (4.13)

H0 ≡∑α

ϵαa†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′hh′ (4.14)

を解く方法である。

4.1 基底状態相関

HF基底状態 |⟩に対する Vresの効果を摂動論で扱う。全ハミルトニアンは

H = H0 + Vres, H0 ≡∑α

ϵαa†αaα′ − 1

2

∑hh′

vhh′hh′ (4.15)

13

である。|⟩はH0|⟩ = E|⟩ (4.16)

を満たす。Vresを加え、(H0 + Vres)|a⟩ = E|a⟩ (4.17)

となる解は、形式的に

|a⟩ = |⟩+ 1

E −H0Vres|a⟩ (4.18)

と書くことができる。実際、上式の両辺にE −H0を作用させると

(E −H0)|a⟩ = Vres|a⟩ (4.19)

となる。これは (4.17)式と等価である。(4.18)式を摂動展開により求めると

|a⟩ = |⟩+ 1

E −H0Vres

(|⟩+ 1

E −H0Vres

)|a⟩

= |⟩+ 1

E −H0Vres|⟩+

1

E −H0Vres

1

E −H0Vres|⟩+ . . .

=

(1 +

1

E −H0Vres + . . .

)|⟩ (4.20)

となる。 この Vresを含む (...)内の第二項以降が基底状態に対する残留相互作用の効果（基底状態相関）を表していて、真の基底状態のハートリーフォック状態からのずれをもたらす。

5 密度行列の方法

多体系の状態を |Ψ⟩として、

ρµν = ⟨µ|ρ|ν⟩ ≡ ⟨Ψ|c†νcµ|Ψ⟩ (5.1)

を密度行列 (density matrix)と言う。ここで |µ⟩、|ν⟩は適当な 1粒子状態の完全系、c†は対応する生成演算子である。密度行列を用いると、一体演算子

F =∑µν

fµνc†µcν (5.2)

の期待値は ∑µν

fµν⟨Ψ|c†µcν |Ψ⟩＝∑µν

fµνρν　µ = Tr(fρ) (5.3)

と表せる。Trは行列の対角要素の和、トレースである。|Ψ⟩としてHFの基底状態 |⟩を考える。ここではHF基底系の 1粒子状態を α、β、特に粒子状態は p, p′、空孔状態は h, h′で表し、HF基底系以外の一般の状態は µ、νで示すことにする。HF基底系は完全系を作るので

|µ⟩ =∑α

|α⟩⟨α|µ⟩ (5.4)

であり、c†µ =

∑α

⟨α|µ⟩a†α (5.5)

である。HF基底系に対しては、任意の hに対して

⟨|a†αaβ|⟩ = δαβδαh (5.6)

14

なので、⟨µ|ρ|ν⟩ =

∑αβ

⟨α|ν⟩⟨µ|β⟩⟨|a†αaβ|⟩ =∑h

⟨µ|h⟩⟨h|ν⟩ (5.7)

となる。つまりρ =

∑h

|h⟩⟨h| (5.8)

と書ける。これより

ρ2 =∑

hh′|h⟩⟨h|h′⟩⟨h′| =∑

hh′|h⟩δhh′⟨h′| =∑h

|h⟩⟨h| = ρ (5.9)

を満たす。従って ρの固有値は 0か 1である。また ρは射影演算子としての性質を有する。ただしこれは状態 |Ψ⟩がHF状態の時にのみ成り立つ。固有値を確かめると

ρ|α⟩ =∑h

|h⟩⟨h|α⟩ = θα|α⟩, θα =

1, αが空孔状態の時

0, αが粒子状態の時(5.10)

であり、HF基底系の 1粒子状態は ρの固有状態であることがわかる。ハミルトニアンを c†、cで表してウィックの定理を使うと

H =∑µν

tµνc†µcν

+∑

µνµ′ν′

vµνµ′ν′

(1

4: c†µc

†νcν′cµ′ : +⟨|c†νcν′ |⟩ : c†µcµ′ : +

1

2⟨|c†νcν′ |⟩⟨|c†µcµ′ |⟩

)(5.11)

である。従って

EHF = ⟨|H|⟩ =∑µν

tµν⟨|c†µcν |⟩+1

2

∑µνµ′ν′

vµνµ′ν′⟨|c†νcν′ |⟩⟨|c†µcµ′ |⟩

=∑µν

tµνρνµ +1

2

∑µνµ′ν′

vµνµ′ν′ρν′νρµ′µ

= Tr(tρ) +1

2Tr1Tr2(vρ(1)ρ(2)) (5.12)

と書ける。最後の項の意味は、粒子 1、2の添え字についてそれぞれトレースを取ることを意味する。この結果は 1粒子状態の基底系の取り方によらない。基底としてHF基底系を用いると、ραβ = θαδαβ から、

EHF =∑h

thh +1

2

∑hh′

vhh′hh′ (5.13)

が成り立つ。HF方程式を密度汎関数法的に求める。そのために HF基底状態を、エネルギー (5.12)式を最小にする ρを与える状態として定義する。|⟩を変分すれば ρも変化する。そこで、ρが ρ = ρ0から ρ = ρ0 + δρになった時のEHF の変化を求める。以下では基底系としてHF基底系を用いる。まず、ρ0 + δρも密度演算子であるから

(ρ0 + δρ)2 = ρ0 + δρ (5.14)

が成り立つ。左辺を展開して δρの 1次まで取ると、

δρ = ρ0δρ+ δρρ0 (5.15)

15

あるいはδραβ = ⟨α|δρ|β⟩ = (θα + θβ)δραβ (5.16)

となる。これは δαβ = 0であるためには θα + θβ = 1、すなわち、θα = 1(α = h)かつ θβ =

0(β = p)であるか、θα = 0(α = p)かつ θβ = 1(β = h)でなければいけないことを意味する。つまり、δρは、粒子-空孔成分 δρph、δρhp以外はゼロである。これを用いると

δE = EHF (ρ0 + δρ)− EHF (ρ0) =∑αβ

∂EHF

∂ρβαδρβα + . . . (5.17)

となる。ここで

h[ρ]αβ ≡ ∂EHF

∂ρβα(5.18)

= tαβ +∑α′β′

vαα′ββ′ρβ′α′ (5.19)

である。(5.18)式を用いて (5.17)式を書き直すと、δρ に (ph)または (hp)成分しかないことを考慮して、

δE =∑

αβ=(ph)or(hp)

h[ρ]αβδρβα + · · ·+ · · · =∑ph

(h[ρ]phδρhp + h[ρ]hpδρph) + . . . (5.20)

であり、ρ = ρ0の時 ρβα = θαδαβ だから

h[ρ0]αβ = tαβ +∑h

vαhβhρβ′α′ =< α|hHF |β⟩ (5.21)

となる。任意の δρhp、δρphに対して δE = 0になるためには、

h[ρ]ph = h[ρ]hp = 0 (5.22)

でなければならない。すなわち

⟨p|hHF |h⟩ = ⟨h|hHF |p >= 0 (5.23)

が要求される。これが成り立つ時、

⟨α|[hHF , ρ0]|β⟩ = ⟨α|hHF ρ0 − ρ0hHF |β⟩ = (θβ − θα)⟨α|hHF |β⟩ (5.24)

なので、(5.23)が成り立てば、任意の |α⟩、|β⟩に対して ⟨α|[hHF , ρ0]|β⟩ = 0である。従って(5.23)の条件は

[hHF , ρ0] = 0 (5.25)

と同等である。ところで、(5.23)式は、hHF の (pp)成分と (hh)成分には何の条件も与えないから、これだけでは 1粒子状態の基底系を一意に決定できない。そこでこれに矛盾しない条件として、

⟨α|hHF |β⟩ = ϵαδαβ (5.26)

を要請する。これはハートリー ·フォック方程式に他ならない。

16

6 残留相互作用

(4.6)式で表される残留相互作用は正規積を含んでいる。これはHF基底状態を真空とした場合であるから、(3.6)、(3.7)式で表される b†が生成演算子になる。これを用いて Vresを表して分類を行う。vαβα′β′ の添え字を粒子と空孔に分け、空孔を k個 (k = 0 ∼ 4)個含む部分にまとめると 5項の和となる。

Vres = V0 + V1 + V2 + V3 + V4 (6.1)

ただし

V0 =1

4

∑p1p2p′1p

′2

vp1p2p′1p′2 : a†p1a†p2ap′2ap′1 :=

1

4

∑p1p2p′1p

′2

vp1p2p′1p′2b†p1b

†p2bp′2bp′1

≡ Vpp (6.2)

V4 =1

4

∑h1h2h′

1h′2

vh1h2h′1h

′2: a†h1

a†h2ah′

2a′1:=

1

4

∑h1h2h′

1h′2

vh1h2h′1h

′2b†h′2b†h′1bh1bh2

≡ Vhh (6.3)

等である。

7 タム ·ダンコフ近似（TDA）と乱雑位相近似（RPA）

ハートリーフォック (HF)法は残留相互作用 Vresを無視して系の基底状態を求める方法である。残留相互作用の効果を取り入れて励起状態を求める方法としてタム ·ダンコフ近似（TDA）と乱雑位相近似（RPA、Random Phase Approximation）の方法がある。前者は基底状態としてはHF状態を用いるが、後者では基底状態に対する残留相互作用の効果を考慮する。ここではそれらを一緒に説明する。多粒子系のハミルトニアンH の正確な基底状態を |gs⟩、これから求める励起状態を |λ⟩とする。これらは

H|gs⟩ = E0|gs⟩, H|λ⟩ = E|λ⟩ (7.1)

を満たす。この時次の性質|λ⟩ = O†

λ|gs⟩, Oλ|gs⟩ = 0 (7.2)

を満たす演算子O†λ、Oλを定義する。形式的には

O†λ = |λ⟩⟨gs| (7.3)

である。(7.1)式は

[H,O†λ]|gs⟩ = (HO†

λ −O†λH)|gs⟩ = (E − E0)O

†λ|gs⟩ ≡ hωO†

λ|gs⟩ (7.4)

と書き直すことができる。これに任意の状態 ⟨gs|δOを作用させると

⟨gs|[δO, [H,O†

λ]]|gs⟩ = hω⟨gs|[δO,O†

λ]|gs⟩ (7.5)

となる。ただし ⟨gs|O†λ = 0、⟨gs|HO†

λ = E0⟨gs|O†λ = 0を用いた。今後、シュレーディンガー

方程式 (7.1)式そのものではなく、(7.5)式を元に考えていく。

17

7.1 タム ·ダンコフ近似

基底状態をHF真空 |⟩で近似し、O†を ph励起だけに近似する。すなわち

O†λ =

∑ph

Xpha†pah, δO† = a†pah (7.6)

として (7.5)式に代入すると、∑p′h′

⟨|[a†hap, [H, a

†p′ , ah′ ]

]|⟩Xp′h′ = hω

∑p′h′

⟨|[a†hapa†p′ , ah′ ]|⟩Xp′h′ (7.7)

となる。ハミルトニアン (4.9)式のうち、定数項EHF は交換関係には寄与しないから、上式のH はそれを除いた部分である。ところで

a†hapa†p′ah′ = δpp′a

†hah′ − a†p′a

†hah′ap = δpp′δhh′ − δpp′ah′a†h − a†p′a

†hah′ap (7.8)

であるが、⟨|ah = ⟨|a†p′ = 0より

⟨|a†hapa†p′ah′ = δpp′δhh′⟨| (7.9)

この結果と ap|⟩ = 0より、

⟨|[a†hap, [H, a

†p′ah′ ]

]|⟩ = ⟨|a†hap[H, a

†p′ , ah′ ]|⟩

= ⟨|a†hapHa†p′ah′ |⟩ − ⟨|a†hapa

†p′ah′H|⟩

= ⟨|a†hapHa†p′ah′ |⟩ − δpp′δhh′⟨|H|⟩ (7.10)

となる。ところでH は正規積のみ含むからその真空期待値は 0である ((3.9)式)。従って

⟨|[a†hap, [H, a

†p′ , ah′ ]

]|⟩ = ⟨|a†hapHa

†p′ah′ |⟩ (7.11)

である。これと⟨|[a†hap, a

†p′ah′ ]|⟩ = δhh′δpp′ (7.12)

より、(7.7)式は ∑p′h′

Aphp′h′Xp′h′ = hωXph (7.13)

Aphp′h′ ≡ ⟨|a†hapHa†p′ah′ | (7.14)

となる。これがタム ·ダンコフ方程式である。今の場合、H は (4.9)式のうちEHF を除いた部分であるから

H =∑α

ϵα : a†αaα′ : +Vres =∑α

ϵα : a†αaα′ : +1

4

∑αβα′β′

vαβα′β′ : a†αa†βaβ′aα′ : (7.15)

である。これを用いてAphp′h′ を計算する。簡単のためにHF基底状態での期待値 ⟨| . . . |⟩を ⟨. . . ⟩で表すと、生成消滅演算子の性質から

⟨a†αa†β⟩ = ⟨aαaβ⟩ = 0, (α, βは任意), ⟨a†hap⟩ = 0, (pは粒子状態、hはホール状態) (7.16)

であるから、ウィックの定理を使うと

⟨a†hapa†p′ah′⟩ =< a†hapa

†p′ah′ >=< a†h′ah >< apa

†p′ >= δhh′δpp′ (7.17)

18

である。正規積の真空期待値はゼロなので全ての項の縮約を取った項のみが残る。また正規積中の演算子の縮約は寄与しない ((3.20式)から、

< a†hap : a†αaα : a†p′ah′ > = < a†hap :a

†αaα :a†p′ah′ > + < a†hap :a

†αaα :a†p′ah′ >

= −δhαδpp′δh′α + δhh′δpαδp′α = δhh′δpp′(δαp − δαh) (7.18)

従って⟨|a†hapH0a

†p′ah′ |⟩ = δhh′δpp′ϵph, ϵph ≡ ϵp − ϵh (7.19)

同様にして

< a†hap : a†αa

†βaβ′aα′ : a†p′ah′ > = < a†hap :a

†αa

†βaβ′aα′ :a†p′ah′ > + < a†hap :a

†αa

†βaβ′aα′ :a†p′ah′ >

+ < a†hap :a†αa

†βaβ′aα′ :a†p′ah′ > + < a†hap :a

†αa

†βaβ′aα′ :a†p′ah′ >

= (δαpδβh′ − δαh′δβp)(δα′hδβ′p′ − δβ′hδα′p′) (7.20)

であるが、vの反対称性を考慮すると、上は 4になる。従って

⟨|a†hapVresa†p′ah′ |⟩ = vph′hp′ (7.21)

(7.19)および (7.21)式より、

Aphp′h′ ≡ ⟨|a†hapHa†p′ah′ |⟩ = ϵphδhh′δpp′ + vph′hp′ (7.22)

これはエルミート行列である。これを用いて (7.14)式を解くことによりタム ·ダンコフ解Xph

が得られる。タム ·ダンコフ方程式は形式的には AX = hωX と書けるが、これはエルミート行列の固有値問題である。タム ·ダンコフ近似は、励起状態を記述するために 1粒子 1空孔状態を含めるように拡張した模型である。

7.1.1 簡単な模型

相互作用の行列要素が一体のエルミート演算子 f を用いて

vαβα′β′ = κfαα′fββ′ , fαβ =< α|f |β⟩ (7.23)

のように分離できるとする。この時タム ·ダンコフ方程式は∑p′h′

Aphp′h′Xp′h′ = ϵphXph + κfph∑p′h′

f∗p′h′Xp′h′ = hωXph (7.24)

である。C ≡ κ∑

p′h′ f∗p′h′Xp′h′ とすると、上式は

ϵphXph + fphC = hωXph (7.25)

となり、これを解くと

Xph = Cfph

hω − ϵph(7.26)

19

~ω

D(~ω)

O

1

κ> 0

1

κ< 0

図 2: (7.27)式の図形による解法

となるが、これを C の定義式に入れると

1

κ=∑p′h′

|fph|2

hω − ϵph≡ D(hω) (7.27)

となる。この条件から固有値 ωが決まる。グラフィカルに解くには、D(hω)を hωの関数として描いて、この関数と直線 y = 1/κの交点を求めれば良い。解としては、図 2のように、ϵphに挟まれたものとそうでないものがある。挟まれた解は特定の ϵphに近いからXphはその成分が大きくなり、近似的に

|λ⟩ ≈ a†pah|⟩ (7.28)

である。これは相互作用により生じた、励起した 1粒子 1空孔状態である。一方、挟まれない解は、κ > 0の場合は ϵphよりも高いところに現れる。この状態は多数の ph状態の重ね合わせになる。このような状態を集団状態 (collective state)と言う。集団状態に対しては、傾き

dD(hω)

dhω(7.29)

の絶対値が小さいことが分かる。F =

∑αβ fαβa

†αaβ の遷移行列要素は

< λ|F |⟩ =∑ph

∑αβ

X∗phfαβ < |a†hapa

†αaβ| >=

∑ph

∑αβ

X∗phfαβ <: a

†hapa

†αaβ :>

=∑ph

∑αβ

X∗phfαβδαpδβh =

∑ph

X∗phfph = C∗

∑ph

|fph|2

hω − ϵph=C∗

κ(7.30)

で与えられる。C は、規格化条件

⟨λ|λ⟩ =∑php′h′

X∗phXp′h′ < |a†hapa

†p′ah′ | >=

∑ph

|Xph|2 = 1 (7.31)

20

から、

|C|−2 =∑ph

|fph|2

(hω − ϵph)2= −dD(hω)

dhω(7.32)

である。従って

|⟨λ|F |⟩|2 = |C|2

κ2=

(1

κdD(hω)dhω

)2

(7.33)

となる。集団状態は dD(hω)dhω の絶対値が小さいから、特に遷移強度が強いことが分かる。

7.2 RPA

タム ·ダンコフ近似 (TDA)では、HF近似で無視した残留相互作用の効果を励起状態については一部取り入れた。しかしHF基底状態を用いているので、基底状態に対する残留相互作用の影響（基底状態相関）は考慮していない。この効果を取り入れてTDAを改善したRPA(Random

Phase Approximation: 乱雑位相近似）を導出する。真の基底状態 |gs >は基底状態相関のためHF真空とは異なるである。従って a†hap| >= 0であるが、a†hap|gs > = 0である。これから (7.6)式を拡張して

O†λ =

∑ph

(Xpha

†pah − Ypha

†hap

), δO† = a†pah, a

†hap (7.34)

とする。これがRPAである。RPAにおける真空 |0⟩は

Oλ|0⟩ = 0 (7.35)

で定義される。(7.5)式は（|gs⟩を |0⟩と書き直して）、2通りの δO†に対応して

⟨0|[a†hap, [H,O

†λ]]|0⟩ = hω⟨0|[a†hap, O

†λ]|0⟩

⟨0|[a†pah, [H,O

†λ]]|0⟩ = hω⟨0|[a†pah, O

†λ]|0⟩ (7.36)

となる。RPAの真空 |0⟩は未知であるため、上のような交換子の行列要素の計算を行うことはできない。そこでこの計算において、RPA真空はHF真空と大きくは変わらないと仮定してHF真空|⟩を用いて近似的に計算する。例えば

⟨0|[[a†hap, a

†p′ah′

]|0⟩ ≈ ⟨|[

[a†hap, a

†p′ah′

]|⟩ = ⟨|(a†hapa

†p′ah′ − a†p′ah′a†hap)|⟩

= ⟨|a†hapa†p′ah′ | >= δpp′δhh′ (7.37)

（ただし ap|⟩ = 0を用いた）。である。この置き換えを行うと、(7.36)の二式は∑p′h′

(⟨|[a†hap, [H, a

†p′ah′ ]

]|⟩Xp′h′ − ⟨|

[a†hap, [H, a

†h′ap′ ]

]|⟩Yp′h′

)= hωXph

∑p′h′

(⟨|[a†pah, [H, a

†p′ah′ ]

]|⟩Xp′h′ − ⟨|

[a†pah, [H, a

†h′ap′ ]

]|⟩Yp′h′

)= hωYph (7.38)

となる。ap′ |⟩ = ap|⟩ = 0, ⟨|a†p = ⟨|a†p′ = 0を考慮して

⟨|[a†hap,O†λ]|⟩ = ⟨|[a†hap,

∑p′h′

(Xp′h′a†p′ah′ − Yp′h′a†h′ap′

)]|⟩ = ⟨|a†hap

∑p′h′

Xp′h′a†p′ah′ |⟩

=∑p′h′

Xp′h′δpp′δhh′ = Xph (7.39)

21

同様に

⟨|[a†pah,O†λ]|⟩ = ⟨|[a†pah,

∑p′h′

(Xp′h′a†p′ah′ − Yp′h′a†h′ap′

)]|⟩ = ⟨|

∑p′h′

Yp′h′a†h′ap′a†pah|⟩

=∑p′h′

Yp′h′δpp′δhh′ = Yph (7.40)

を用いた。さらに

Aphp′h′ ≡ ⟨|[a†hap, [H, a

†p′ah′ ]

]|⟩ = ⟨|a†hapHa

†p′ah′ |⟩

Bphp′h′ ≡ −⟨|[a†hap, [H, a

†h′ap′ ]

]|⟩ = ⟨|a†hapa

†h′ap′H|⟩ (7.41)

と定義すると、[P,Q]† = [Q†, P †]なので

⟨|[a†pah, [H, a

†p′ah′ ]

]|⟩ = ⟨|

[[a†p′ah′ ,H], a†pah

]|⟩ = ⟨|

[a†hap, [H, a

†h′ap′ ]

]†|⟩ = B∗

php′h′ (7.42)

⟨|[a†pah, [H, a

†h′ap′ ]

]|⟩ = ⟨|

[[a†h′ap′ ,H], a†pah

]|⟩ = ⟨|

[a†hap, [H, a

†p′ah′ ]

]†|⟩ = A∗

php′h′ (7.43)

である。従って (7.38)式は∑p′h′

Aphp′h′Xp′h′ +Bphp′h′Yp′h′ = hωXph∑p′h′

B∗php′h′Xp′h′ +A∗

php′h′Yp′h′ = −hωYph (7.44)

になる。これをRPA方程式と言う。この方程式は行列形式で表すと(A B

B∗ A∗

)(X

Y

)= hω

(X

−Y

)(7.45)

と書ける。A、Bは正方行列、X、Y は縦ベクトルである。RPA方程式に現れるA、Bのうち、Aは TDAの時に (7.22)式で計算したとおり、

Aphp′h′ ≡ ⟨|a†hapHa†p′ah′ |⟩ = ϵphδhh′δpp′ + vph′hp′ (7.46)

である。一方、Bphp′h′ は TDAには無い項なので、ここで計算する。

Bphp′h′ ≡ −⟨|[a†hap, [H, a

†h′ap′ ]

]|⟩ = ⟨|a†hapa

†h′ap′H|⟩ (7.47)

H は (4.9)式で与えられるが、交換子に定数項は寄与しないのでEHF は無視すると、

⟨|a†hapa†h′ap′H0|⟩ =

∑α

ϵα⟨|a†hapa†h′ap : a

†αaα : |⟩ = 0 (7.48)

である。また Vresの演算子部分は

⟨|a†hapa†h′ap′ : a

†αa

†βaβ′aα′ : |⟩ = < a†hapa

†h′ap′ :a

†αa

†βaβ′aα′ : > + < a†hapa

†h′ap′ :a

†αa

†βaβ′aα′ : >

+ < a†hapa†h′ap′ :a

†αa

†βaβ′aα′ : > + < a†hapa

†h′ap′ :a

†αa

†βaβ′aα′ : >

= (δαpδβp′ − δαp′δβp)(δα′hδβ′h′ − δβ′hδα′h′) (7.49)

22

になるので

Bphp′h′ = ⟨|a†hapa†h′ap′

1

4

∑αβα′β′

vαβα′β′ : a†αa†βaβ′aα′ : |⟩ = vpp′hh′ (7.50)

である。Bphp′h′ は残留相互作用のうち 2p-2h状態を励起する。同様に計算すると、

B∗php′h′ = ⟨|a†hapa

†h′ap′H|⟩∗ = v∗pp′hh′ = vhh′pp′ (7.51)

となる。これらを用いてRPA方程式を解いてX、Y を求めればOλ、O†λが決まり、RPAの基

底状態はOλ|0 >= 0を満たす状態として、励起状態はO†λを作用させることにより求まる。

展開係数X、Y は、⟨0|O†λ = 0を用いると

⟨0|a†hap|λ⟩ = ⟨0|[a†hap, O†λ]|0⟩ ≈ ⟨|[a†hap, O

†λ]|⟩ = Xph

⟨0|a†pah|λ⟩ = ⟨0|[a†pah, O†λ]|0⟩ ≈ ⟨|[a†pah, O

†λ]|⟩ = Yph (7.52)

であるから、X、Y は ρλαβ =< 0|a†βaα|λ⟩で定義される遷移密度行列の粒子 ·空孔成分である。RPAでは、遷移密度行列 ρλαβ の粒子 ·粒子成分および空孔 ·空孔成分は０である。

7.3 RPAの性質

複数の RPA解を区別するために固有値と係数に λを付けて hωλ、Xλph、Y

λphのように表す。

この時以下の性質が成り立つ。

1. 一体演算子 F =∑

αβ fαβa†αaβ の遷移行列要素は

⟨λ|F |0⟩ = ⟨0|OλF |0⟩ = ⟨0|[Oλ, F ]|0⟩ ≈ ⟨|[Oλ, F ]|⟩ (7.53)

である。

[a†α′aβ′ , a†αaβ] = a†α′aβ′a†αaβ − a†αaβa†α′aβ′ = a†α′(δβ′α − a†αaβ′)aβ − a†α(δβα′ − a†α′aβ)aβ′

= δβ′αa†α′aβ − δβα′a†αaβ′ − a†α′a

†αaβ′aβ + a†αa

†α′aβaβ′

= δβ′αa†α′aβ − δβα′a†αaβ′ (7.54)

より

⟨|[O,λF ]|⟩ =

∑ph

∑αβ

fαβ

(Xλ∗

ph ⟨|[a†hap, a

†αaβ]|⟩ − Y λ∗

ph ⟨|[a†pah, a†αaβ]|⟩)

=∑ph

(Xλ∗phfph + Y λ∗

ph fhp) = (Xλ∗ Y λ∗)

(f

f

)(7.55)

ただし fph ≡ fhpである。従って

⟨λ|F |0⟩ ≈ ⟨|[Oλ, F ]|⟩ = (Xλ∗ph Y λ∗

ph )

(f

f

)(7.56)

RPAでは一体演算子の空孔-空孔、粒子-粒子成分はゼロになるから、結局 F は

F =∑αβ

fαβa†αaβ =

∑ph

(fpha†pah + fhpa

†hap) (7.57)

と等価である。

23

2. 負の固有値 : ωλは実数であると仮定する。(7.45)の複素共役を取ると

A∗Xλ∗+B∗Y λ∗

= hωXλ∗

BXλ∗+AY λ∗

= −hωY λ∗(7.58)

であるから、 (A B

B∗ A∗

)(Y λ∗

Xλ∗

)= −hω

(Y λ∗

−Xλ∗

)(7.59)

になる。O†λが正の固有値 ωλを与える時、

−Oλ =∑ph

(Y λ∗ph a

†pah −Xλ∗

pha†hap

)(7.60)

が負の固有値−hωの解になることを示している。

3. 規格直交性 (7.45)から

(Xλ∗ Y λ∗)

(A B

B∗ A∗

)(Xρ

Y ρ

)= hωρ(X

λ∗ Y λ∗)

(Xρ

−Y ρ

)(7.61)

λと ρを入れ替えてエルミート共役を取ると

(Xλ∗ Y λ∗)

(A† B∗†

B† A∗†

)(Xρ

Y ρ

)= hωλ(X

λ∗ Y λ∗)

(Xρ

−Y ρ

)(7.62)

ところで

(A†)php′h′ = A∗p′h′ph = (ϵp − ϵh)δpp′δhh′ + v∗p′hh′p = (ϵp − ϵh)δpp′δhh′ + vh′pp′h = Aphp′h′

(B†)php′h′ = B∗p′h′ph = v∗p′ph′h = v∗pp′hh′ = B∗

php′h′ (7.63)

つまりA† = A, B† = B∗ (7.64)

であるから、(7.62)は

(Xλ∗Y λ∗)

(A B

B∗ A∗

)(Xρ

Y ρ

)= hωρ(X

λ∗Y λ∗)

(Xρ

−Y ρ

)(7.65)

これと (7.61)より

(hωλ − hωρ)(Xλ∗Y λ∗)

(Xρ

−Y ρ

)= 0 (7.66)

が成り立つので、ωλ = ωρならば

(Xλ∗Y λ∗)

(Xρ

−Y ρ

)= Xλ∗Xρ − Y λ∗Y ρ =

∑ph

(Xλ∗phX

ρph − Y λ∗

ph Yρph) = 0 (λ = ω) (7.67)

RPAの固有状態は

⟨λ|ρ⟩ = ⟨0|OλO†ρ|0⟩ = ⟨0|[Oλ,O†

ρ]|0⟩ ≈ ⟨|[Oλ,O†ρ]|⟩

=∑ph

(Xλ∗

phXρph − Y λ∗

ph Yρph

)(7.68)

24

従って ωλ = ωρならば ⟨λ|ρ⟩ = 0になり直交する。一方、規格化は ⟨λ|λ⟩ = 1であるから、規格直交条件を

⟨λ|ρ⟩ = ⟨|[Oλ,O†ρ]|⟩ =

∑ph

(Xλ∗

phXρph − Y λ∗

ph Yρph

)= XλXρ − Y λY ρ = δλρ (7.69)

のように決める。

次に (7.7)のエルミート共役を取ると、

(Y λ Xλ)

(A B

B∗ A∗

)= −hωλ(Y

λ −Xλ) (7.70)

であるから

(Y λ Xλ)

(A B

B∗ A∗

)(Xρ

Y ρ

)= −hωλ(Y

λ −Xλ)

(Xρ

Y ρ

)

= −hωλ(Yλ Xλ)

(Xρ

−Y ρ

)(7.71)

一方、RPA方程式より

(Y λ Xλ)

(A B

B∗ A∗

)(Xρ

Y ρ

)= hωρ(Y

λ∗ Xλ∗)

(Xρ

−Y ρ

)(7.72)

であるから、この 2式より

(hωλ + hωω)(YλXλ)

(Xρ

−Y ρ

)= 0 (7.73)

従って、hωλ + hωω > 0 = 0より

(Y λXλ)

(Xρ

−Y ρ

)=∑ph

(Y λphX

ρph −Xλ

phYρph

)= 0 (7.74)

になる。これは

⟨|[Oλ,Oρ]|0⟩ = ⟨|[O†λ,O

†ρ]|0⟩ = 0 (7.75)

を意味する。(7.69)と (7.75)より、OとO†は、期待値としてボゾンの交換関係を満たすことが分かる。

4. 完備性

RPAでの一体演算子F =

∑ph

(fpha

†pah + fhpa

†hap

)(7.76)

をO†λとOλを用いて、

F =∑λ

(uλO†

λ − vλOλ

)(7.77)

と表すと、O†λとOλの規格直交性 (7.69), (7.75)式より

uλ = ⟨|[Oλ, F ]|⟩, vλ = ⟨|[O†λ, F ]|⟩ = −⟨|[Oλ, F

†]|⟩∗ (7.78)

25

(7.56)を用いると、

uλ = (Xλ∗ Y λ∗)

(f

f

)(7.79)

また、(f †αβ

)∗= fβαだからvλ = −(Xλ Y λ)

(f∗

f∗

)= −(Xλ Y λ)

(f

f

)= −(Y λ Xλ)

(f

f

)(7.80)(7.77)

にO†

λ =∑ph

(Xλ

pha†pah − Y λ

pha†hap

)(7.81)

を代入すると

F =∑λ

∑ph

((Xλ

phuλ + Y λ∗ph vλ)a

†pah − (Y λ

phuλ +Xλ∗phvλ)a

†hap

)(7.82)

であるから

fph =∑λ

(Xλphuλ + Y λ∗

ph vλ)

fhp = −∑λ

(Y λphuλ +Xλ∗

phvλ) = fph (7.83)

これより (f

f

)=

∑λ

((Xλ

−Y λ

)uλ +

(Y λ∗

−Xλ∗

)vλ

)

=∑λ

((Xλ

−Y λ

)(Xλ∗ Y λ∗)−

(Y λ∗

−Xλ∗

)(Y λ Xλ)

)(f

f

)(7.84)

従って、次の関係式

∑λ

((Xλ

−Y λ

)(Xλ∗ Y λ∗)−

(Y λ∗

−Xλ∗

)(Y λ∗ Xλ∗)

)=

(1 0

0 1

)= 1 (7.85)

を得る。これをRPAの完備性と言う。成分で表せば∑λ

(XλphX

λp′h′ − Y λ∗

ph Yλp′h′) = δpp′δhh′∑

λ

(XλphY

λ∗p′h′ − Y λ∗

ph Xλp′h′) = 0 (7.86)

になる。

8 線形応答とRPA

8.1 時間依存の摂動論

系のハミルトニアンに時間に依存するポテンシャルが加わってH +V (t)となったとする。ただし

V (t) = eϵt(F exp(−iωt) + F † exp(iωt)

), F =

∑αβ

fαβa†αaβ, ϵ→ +0 (8.1)

26

で与えられるとする。時刻 t = −∞で系がH|0⟩ = E0|0⟨であるH の固有状態 |0⟨にある時、時刻 tにおける状態 |ψ(t)⟨を求める。断熱因子 eϵtは

eϵt =

1 tが有限の場合

0 t→ −∞(8.2)

なので t→ −∞で系がH の固有状態であることを示す。

|ψ(t)⟩ = e−iHt/h|ϕ(t)⟩ (8.3)

として時間に依存するシュレーディンガー方程式

ih∂

∂t|ψ(t)⟩ = (H + V (t)) |ψ(t)⟩ (8.4)

に代入すると、

ih∂

∂t|ϕ(t)⟩ = VI(t), VI(t) = eiHt/hV (T )e−iHt/h (8.5)

である。上式を形式的に積分すると、

|ϕ(t)⟩ = |0⟩+ 1

ih

∫ t

−∞dt1VI(t1)|ϕ(t1)⟩ (8.6)

となるが、これを逐次展開すると

|ϕ(t)⟨ = |0⟨+ 1

ih

∫ t

−∞dt1VI(t1)|0⟨+

1

(ih)2

∫ t

−∞dt1

∫ t1

−∞dt2VI(t1)VI(t2)|ϕ(t2)⟩+ · · ·

≡ (1 + U(t)) |0⟩ (8.7)

ただし

U(t) =1

ih

∫ t

−∞dt1VI(t1) + · · ·+ 1

(ih)n

∫ t

−∞dt1 · · ·

∫ tn−1

−∞dtnVI(t1) · · ·VI(tn) + · · · (8.8)

である。1次の摂動では

U(t)|0⟩ =1

ih

∫ t

−∞dt1e

iHt1/hV (t1)e−iHt1/h|0⟩

=1

ih

∫ t

−∞dt1e

i(H−E0−iϵt1)/h(F exp(−iωt1) + F † exp(iωt1)

)|0⟩

= ei(H−E0)/h

(e−iωt

hω − (H − E0) + iϵF − eiωt

hω +H − E0 − iϵF †)|0⟩

≡ ei(H−E0)/hW (t)|0⟩

W (t) ≡ e−iωt

hω − (H − E0) + iϵF − eiωt

hω +H − E0 − iϵF † (8.9)

であるから、

|ψ(t)⟩ = e−iHt/h|ϕ(t)⟩= e−iHt/h (1 + U(t)) |0⟩ = e−iE0t/h (1 +W (t)) |0⟩ (8.10)

となる。この近似と、W (t)の一次までの範囲で、密度行列は

⟨ψ(t)|a†βaα|ψ(t)⟩ = ⟨0|a†βaα|0⟩+ ⟨0|a†βaαW +W †a†βaα|0⟩

= ⟨0|a†βaα|0⟩+ ρ1αβe−iωt + ρ∗1βαe

iωt (8.11)

27

ただし

ρ1αβ ≡ ⟨0|(a†βaα

1

hω − (H − E0) + iϵF − F

1

hω + (H − E0) + iϵa†βaα

)|0⟩ (8.12)

である。

Rαβα′β′(ω) ≡ ⟨0|(a†βaα

1

hω − (H −E0) + iϵa†α′aβ′ − a†α′aβ′

1

hω + (H − E0) + iϵa†βaα

)|0⟩

(8.13)

とすると、ρ1αβ =

∑α′β′

Rαβα′β′(ω)fα′β′ (8.14)

と表せる。このRαβα′β′(ω)を応答関数 (response function)と言う。H をハミルトニアン、|λ⟩をその固有関数（H|λ⟩ = (E0 + hωλ)|λ⟩）として、|λ⟩の完全系を用いて展開すると、

Rαβα′β′(ω) =1

h

∑λ

(⟨0|a†βaα|λ⟩⟨λ|a

†α′aβ′ |0⟩

ω − ωλ + iϵ−

⟨0|a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†βaα|0⟩hω + ωλ + iϵ

)(8.15)

になる。λ = 0の項は第一項と第二項がキャンセルするから寄与しない。また、HをRPAのハミルトニアン、|λ⟩を固有関数（H|λ⟩ = (E0 + hωλ)|λ⟩）とすると、RPAの固有値 ωλはRPA

の応答関数Rの極であることがわかる。HFの応答関数は、真空状態をHF真空 |⟩として、

H =∑α

ϵαa†αaα (8.16)

としたものである。そうすると (8.15)は

R0αβα′β′(ω) =

1

h

∑ph

(⟨|a†βaα|ph

−1⟩⟨ph−1|a†α′aβ′ |⟩ω − ϵph + iϵ

−⟨|a†α′aβ′ |ph−1⟩⟨ph−1|a†βaα|⟩

hω + ϵph + iϵ

)(8.17)

ただし |ph−1⟩ = a†pah|⟩である。

⟨|a†βaα|ph−1⟩ = ⟨|a†βaαa

†pah|⟩ = ⟨| : a†βaαa

†pah : |⟩ = δαpδβh

⟨ph−1|a†α′aβ′ |⟩ = ⟨|a†hapa†α′aβ′ |⟩ = ⟨| : a†hapa

†α′aβ′ : |⟩ = δβ′hδα′p (8.18)

等より

R0αβα′β′(ω) = δαα′δββ′

∑ph

(δαpδβh

ω − ϵph + iϵ−

δαhδβphω + ϵph + iϵ

)=

δαα′δββ′

hω − ϵαβ + iϵ(1− θα)θβ − θα(1− θβ))

=δαα′δββ′

hω − ϵαβ + iϵ(θβ − θα) (8.19)

と簡単な構造をしている。

28

8.2 強度関数

実験との比較において、遷移確率の分布を表す量

Sf (ω) =∑n

|⟨n|F |0⟩|2δ(hω − hωn) =1

h

∑n

|⟨n|F |0⟩|2δ(ω − ωn), ω > 0 (8.20)

がよく登場する。これが強度関数 (strength function)である。|0⟩は基底状態である。

Rf = f∗Rf =∑

f∗αβRαβα′β′fα′β′

=1

h

∑n

(⟨0|F †|n⟩⟨n|F |0⟩ω − ωn + iϵ

− ⟨0|F |n⟩⟨n|F †|0⟩ω + ωn + iϵ

)=

1

h

∑n

(|⟨n|F |0⟩|2

ω − ωn + iϵ− |⟨n|F †|0⟩|2

ω + ωn + iϵ

)(8.21)

とすると、ϵ→ 0の時、Weierstrasseの公式

1

x± iϵ= P

1

x∓ iπδ(x) (8.22)

を用いて、

ImRf (ω) = −πh

∑n

(|⟨n|F |0⟩|2δ(ω − ωn)− |⟨n|F †|0⟩|2δ(ω + ωn)

)(8.23)

|0⟩は基底状態なので ω > 0ならば ω + ωn > 0になり、δ(ω + ωn) = 0である。従って強度関数を

Sf (ω) = − 1

πImRf (ω) (8.24)

のように、応答関数を用いて計算することができる。

8.3 Bethe-Salpeter方程式

RPA方程式 ((7.44)及び (7.52)式から

hωλXλph =

∑p′h′

Aphp′h′Xλp′h′ +Bphp′h′Y λ

p′h′

= ϵphXλph +

∑p′h′

(vph′hp′X

λp′h′ + vpp′hh′Y λ

p′h′

)= ϵphX

λph +

∑p′h′

(vph′hp′ < 0|a†h′ap′ |λ⟩+ vpp′hh′ < 0|a†p′ah′ |λ⟩

)(8.25)

(7.52)式の後で述べたように、RPAでは 2粒子、または 2空孔の行列要素はゼロ、すなわち⟨0|a†pap′ |λ⟩ = ⟨0|a†hah′ |λ⟩ = 0であるから、上式は

hωλXλph = ϵphX

λph + ⟨0|

∑α′β′

vpα′hβ′a†h′ap′ |λ⟩ (8.26)

と書ける。従ってXλph = ⟨0|a†hap|λ を用いて

⟨0|∑α′β′

vpα′hβ′a†h′ap′ |λ⟩ = (hωλ − ϵph)⟨0|a†hap|λ⟩ (8.27)

29

となる。同様にしてもう一つのRPA方程式B∗Xλ +A∗Y λ = −hωλYλより

−⟨0|∑α′β′

vhα′pβ′a†α′aβ′ |λ⟩ = (hωλ − ϵph)⟨0|a†pah|λ⟩ (8.28)

上の 2式をまとめると

(θβ − θα)⟨0|∑α′β′

vαα′ββ′a†α′aβ′ |λ⟩ = (hωλ − ϵαβ)⟨0|a†βaα|λ⟩ (8.29)

となる。これの複素共役を取り添え字を入れ替えれば、ϵβα = −ϵαβ に注意して

(θβ − θα)⟨0|∑α′β′

vαα′ββ′a†α′aβ′ |λ⟩ = −(hωλ + ϵαβ)⟨0|a†βaα|λ⟩ (8.30)

である。これらを用いて以下の量を計算する：∑µνµ′ν′

R0αβµν vµν′νµ′Rµ′ν′α′β′

=θβ − θα

hω − ϵαβ + iϵ

∑µ′ν′λ

vαν′βµ′

(⟨0|a†ν′aµ′ |λ⟩⟨λ|a†α′aβ′ |0⟩

hω − hωλ + iϵ−

⟨0|a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†ν′aµ′ |0⟩hω + hωλ + iϵ

)

=1

hω − ϵαβ + iϵ

∑λ

(⟨0|a†βaα|λ⟩⟨λ|a

†α′β

′|0⟩hωλ − ϵαβ

hω + hωλ + iϵ

+ ⟨0|a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†βaα|0⟩hωλ + ϵαβ

hω + hωλ + iϵ

)=

∑λ

[⟨0|a†βaα|λ⟩⟨λ|a

†α′aβ′ |0⟩

(1

hω − hωλ + iϵ− 1

hω − ϵαβ+ iϵ

)− ⟨0|a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†βaα|0⟩

(1

hω + hωλ + iϵ− 1

hω − ϵαβ + iϵ

)]= Rαβα′β′ −

Sαβα′β′

hω − ϵαβ + iϵ(8.31)

ただしSαβα′β′ =

∑λ

(⟨0|a†βaα|λ⟩⟨λ|a

†α′aβ′ |0⟩ − ⟨0|a†α′aβ′ |λ⟩⟨λ|a†βaα|0⟩

)(8.32)

であるが、RPAの完備性より

Sphp′h′ =∑λ

(XλphX

λ∗p′h′ − Y λ∗

ph Yλp′h′) = δpp′δhh′

Sphh′p′ =∑λ

(XλphY

λ∗p′h′ − Y λ∗

ph Xλp′h′) = 0 (8.33)

であり、また Sの定義から

S∗αβα′β′ =

∑λ

(⟨0|a†β′aα′ |λ⟩⟨λ|a†αaβ|0⟩ − ⟨0|a†αaβ|λ⟩⟨λ|a†β′aα′ |0⟩)

= −Sβαβ′α′ (8.34)

となるから、まとめるとSαβα′β′ = δαα′δββ′(θβ − θα) (8.35)

である。これからSαβα′β′

hω − ϵαβ + iϵ= R0

αβα′β′ (8.36)

30

となることがわかるので、結局Rは

Rαβα′β′ = R0αβα′β′ +

∑µνµ′ν′

R0αβµν vµν′νµ′Rµ′ν′α′β′ (8.37)

を満たす。この方程式をベーテ ·サルピーター方程式 (Bethe-Salpeter equation)と言う。これを使えばRPA方程式を解かずに応答関数Rを決定でき、さらにそれを用いて強度関数を決定できる。Vµνµ′ν′ = vµν′νµ′ とすると、上式は形式的には

R = R0 +R0V R = (1−R0V )−1R0 = R0 +R0V R0 +R0V R0V R0 + · · · (8.38)

と書ける。RPAの固有値はRの極であるから、

det(1−R0(ω)V ) = 0 (8.39)

から求まる。

8.3.1 簡単な模型

vαβα′β′ = κfαα′fββ′ = Vαα′ββ′ (8.40)

の場合にベーテ ·サルピーター方程式を解いてRPAの励起エネルギーを求める。ベーテ ·サルピーター方程式の両側を f で挟んで

R0f (ω) =

∑αβα′β′

f∗αβR0αβα′β′(ω)fα′β′

Rf (ω) =∑

αβα′β′

f∗αβRαβα′β′(ω)fα′β′ (8.41)

とすると、ベーテ ·サルピーター方程式より

Rf (ω) = R0f (ω) + κR0

f (ω)Rf (ω) =R0

f (ω)

1− κR0f (ω)

(8.42)

となる。R0の定義より

R0f (ω) =

∑αβ

|fαβ |2θβ − θα

hω − ϵαβ + iϵ=∑ph

|fph|2(

1

hω − ϵph + iϵ− 1

hω + ϵph + iϵ

)(8.43)

hω = ±ϵphなら ϵ = 0としてよいから、

R0f (ω) =

∑ph

2ϵph|fph|2

(hω)2 − ϵ2ph(8.44)

RPA方程式の固有値は 1− κR0f (ω) = 0である。これは

R0f (ω) =

∑ph

2ϵph|fph|2

(hω)2 − ϵ2ph=

1

κ(8.45)

この方程式を満たす ωがRPAの固有値である。また、Rの定義より

Rf (ω) =1

h

∑λ>0

(|⟨λ|F |0⟩|2

ω − ωλ + iϵ− |⟨λ|F |0⟩|2

ω + ωλ + iϵ

)(8.46)

31

なので、lim

ω→ωλ

(hω − hωλ)Rf (ω) = |⟨λ|F |0⟩|2 (8.47)

のように遷移強度が求められる。1− κR0f (ωλ) = 0を満たす ω = ωλの近傍では

1− κR0f (ω) = 1− κR0

f (ωλ + (ω − ωλ) = −κdR0

f (ωλ)

dωλ(ω − ωλ) + · · · (8.48)

と展開できる。従って

|⟨λ|F |0⟩|2 = limω→ωλ

(hω − hωλ)Rf (ω) = limω→ωλ

(hω − hωλ)R0

f

1− κR0f

= limω→ωλ

(hω − hωλ)R0f

−κdR0f (ωλ)

dωλ(ω − ωλ) + · · ·

= − 1

κ2dR0

f (ωλ)

dωλ

(8.49)

となり、やはり交点における傾きが小さいほど遷移強度が大きくなることがわかる。これが集団状態への遷移であり、TDAと同じ性質である。

8.4 線形応答とRPA

時間的な変化をする一体の外場

F (t) = fe−iωt + f †eiωt (8.50)

を考える。ただし f は時間に依存しないものとする。ここで外場 F は弱いとして、その一次の効果までを考える。これを線形応答の理論と呼ぶ。一粒子状態 |i(t)⟩の時間発展は、時間依存のハートリー ·フォック方程式 (TDHF)に従うとする：

ih∂

∂t|i(t)⟩ = (hHF + F (t))|i(t)⟩ (8.51)

この時、密度行列 ρ(t) =∑N

i=1 |i(t)⟩⟨i(t)|の時間発展は

ih∂

∂tρ(t) =

N∑i=1

ih∂⟨i(t)|∂t

⟨i(t)|+N∑i=1

|i(t)⟩ih∂⟨i(t)|∂t

=

N∑i=1

(hHF + F (t)) |i(t)⟩⟨i(t)| −N∑i=1

|i(t)⟩⟨i(t)| (hHF + F (t))

= [hHF + F (t), ρ(t)] (8.52)

である。F (t) = 0の時の密度行列を ρ0とする。HF条件 (5.25)式より

[h0, ρ0] = 0, ただし h0 ≡ hHF [ρ0] (8.53)

外場 F が小さい場合は、ρは ρ0とそれほど変わらないとして

ρ = ρ0 + δρ (8.54)

として δρを求めることにする。また、ここでは h0と ρ0が対角的になるHF基底で考える。つまり一粒子状態は

⟨α|h0|β⟩ = ϵαδαβ

⟨α|ρ0|β⟩ = θαδαβ

θα =

1 空孔状態 (ϵα ≤ ϵF )

0 粒子状態 (ϵα > ϵF )(8.55)

32

を満たす。密度演算子の性質として ρ2 = ρであるから

(ρ0 + δρ)2 = ρ20 + ρ0δρ+ δρ+ (δρ)2 ≈ ρ0 + ρ0δρ+ δρρ0 = ρ0 + δρ (8.56)

従ってδρ = ρ0δρ+ δρρ0 (8.57)

これの空孔 ·、粒子 ·粒子行列要素はゼロになる：

⟨h|δρ|h⟩ = ⟨h|ρ0δρ+ δρρ0|h⟩ = 2⟨h|δρ|h⟩ → ⟨h|δρ|h⟩ = 0

⟨p|δρ|p⟩ = ⟨p|ρ0δρ+ δρρ0|p⟩ = 0 (8.58)

したがって δρの ph（または hp）成分のみを考えればよい。hHF を ρ = ρ0の周りで展開すると

hHF [ρ] = h0 + δh+ · · · (8.59)

ただし

δh =∑αβ

∂hHF

δραβ

∣∣∣∣rho=ρ0

=∑p′h′

(∂hHF

∂ρp′h′δρp′h′ +

∂hHF

∂ρh′p′δρh′p′

)(8.60)

また (8.53)、(8.59)から (8.52)は一次の範囲で

ih∂

∂tδρ = [h0, δρ] + [δh+ F, ρ0] (8.61)

となる。これの ph成分は、ρ0|p⟩ = 0、ρ0|h⟩ = |h⟩などに注意すると

ih∂

∂tδρph = ϵphδρph + δhph + Fph (8.62)

となる。δρも F (t)と同じ時間依存性を持つと仮定し

δρ(t) = ρ1e−iωt + ρ†1e

iωt (8.63)

とする。この時δραβ = ρ1αβe

−iωt + ρ∗1βαeiωt (8.64)

だから、(8.62)の右辺の ϵphδρph + δhphは

ϵphδρph + δhph =∑p′h′

(Aphp′h′ρ1p′h′ +Bphp′h′ρ1h′p′

)e−iωt

+∑p′h′

(Aphp′h′ρ∗1h′p′ +Bphp′h′ρ∗1p′h′

)eiωt (8.65)

ただし

Aphp′h′ = ϵph +∂(hHF )phδρp′h′

∣∣∣∣rho=ρ0

Bphp′h′ =∂(hHF )phδρh′p′

∣∣∣∣rho=ρ0

(8.66)

である。(8.62)において e±iωtの係数は両辺で一致すべきであるから

hωρ1ph =∑p′h′

(Aphp′h′ρ1p′h′ +Bphp′h′ρ1h′p′

)+ fph

−hωρ∗1hp =∑p′h′

(Aphp′h′ρ∗1h′p′ +Bphp′h′ρ∗1p′h′

)+ fhp (8.67)

33

つまり [(A B

B∗ A

)− hω

(1 0

0 1

)](ρ1

ρ1

)= −

(f

f

)(8.68)

である。これを解いて ρ1を求めて、ρ = ρ0 + δρ = ρ0 + ρ1e−iωt + ρ†1e

iωtに代入すれば、任意の時間における密度行列と固有値 ωを求めることができる。外場が無限小の極限では、上式の右辺がゼロになるため、方程式は[(

A B

B∗ A

)− hω

(1 0

0 1

)](ρ1

ρ1

)= 0 (8.69)

となる。この方程式には ρ1 = ρ1 = 0という解があるが、これは系が何も応答せず HFの基底状態にあることを意味する。しかし、外場の周波数 ωが RPAの固有振動数 ωλ に等しい時はρ1 = Xλ、ρ1 = Y λという、ゼロでない解が存在する。つまり、ω = ωλである無限小の外場に対しては系は共鳴し、RPA状態が励起される。言い換えるとRPAは微小振動という近似の元で系の固有振動数を求めることと等価である。つまり、我々は RPA方程式 (7.45)を別の方法で導いたことなる。ここで行ったRPA方程式の導出は以前の方法よりも一般的である。

(hHF )αβ =∂EHF

∂ρβα(8.70)

であるから

vαα′ββ′ =∂(hHF )αβ∂ρβ′α′

=∂2EHF

∂ρβα∂ρbeta′α′(8.71)

とすると,(8.66)で与えられるAとBは

Aphp′h′ = ϵphδpp′δhh′ + vph′hp′ , Bphp′h′ = vpp′hh′ (8.72)

となる。vが ρに依存しないならば v = vであり、AとBは (7.46)、(7.47)に一致する。一方、vが ρに依存する場合、v = vであり、RPAにおいては vを用いなければならない。以前、(7.52)式で導いた通り、交換子の期待値を HF真空の期待値で置き換え、その複素共役まで考えると

Xph = ⟨0|a†hap|λ⟩ → X∗ph = ⟨λ|a†pah|0⟩

Yph = ⟨0|a†pah|λ⟩ → Y ∗ph = ⟨λ|a†hap|0⟩ (8.73)

以前、(8.12)で定義した ρ1αβ が、(8.13)式で定義した応答関数

Rαβα′β′(ω) ≡< 0|(a†βaα

1

hω − (H − E0) + iϵa†α′aβ′ − a†α′aβ′

1

hω + (H −E0) + iϵa†βaα

)|0⟩

(8.74)

を用いて、(8.14)式のように書かれることを導いた。ここでは、F を外場と考えて RPAの元で ρ1を計算する。RPAでは p− p、h− hの行列要素はゼロなので、

ρ1αβ =∑α′β′

Rαβα′β′(ω)fα′β′ =∑p′h′

(Rαβp′h′(ω)fp′h′ +Rαβh′p′(ω)fh′p′

)(8.75)

34

従って

ρ1ph =∑λ

Xλph

hω − hωλ + iϵ

∑p′h′

(Xλ∗

p′h′fp′h′ + Y λ∗p′h′fh′p′

)−

∑λ

Y λ∗ph

hω + hωλ + iϵ

∑p′h′

∑p′h′

(Y λp′h′fp′h′ +Xp′h′fh′p′

)=

∑λ

(Z1λ

hω − hωλ + iϵXλ

ph −Z2λ

hω + hωλ + iϵY λph

)(8.76)

ただし

Z1λ =∑ph

(Xλ∗

phfph + Y λ∗ph fhp

)= (Xλ∗Y λ∗)

(f

f

)

Z2λ =∑ph

(Y λphfph + Y λ

phfhp

)= (Y λXλ)

(f

f

)(8.77)

同様にして

ρ1hp =∑λ

(Z1λ

hω − hωλ + iϵY λph −

Z2λ

hω + hωλ + iϵXλ∗

ph

)(8.78)

これらをまとめると(ρ1

ρ1

)=∑λ

(Z1λ

hω − hωλ + iϵ

(Xλ

Y λ

)− Z2λ

hω + hωλ + iϵ

(Y λ∗

Xλ∗

))(8.79)

である。RPA方程式より

M =

(A B

B∗ A∗

)− hω

(1 0

0 1

)(8.80)

とおくと

M

(Xλ

Y λ

)= (hωλ − hω)

(Xλ

−Y λ

),

M

(Y λ∗

Xλ∗

)= −(hωλ + hω)

(Y λ∗

Xλ∗

)(8.81)

であるから

M

(ρ1

ρ1

)=

∑λ

(Z1λ

hω − hωλ + iϵM

(Xλ

Y λ

)− Z2λ

hω + hωλ + iϵM

(Y λ∗

Xλ∗

))

= −∑λ

[(Xλ

−Y λ

)Z1λ −

(Y λ∗

−Xλ∗

)Z2λ

]

= −∑λ

[(Xλ

−Y λ

)(Xλ∗Y λ∗ −

(Y λ∗

−Xλ∗

)(Y λXλ)

](f

f

)= −

(f

f

)(8.82)

ただし最後に完備性 (7.85)を使った。従って、ここで定義した ρ1、ρ1が外場のある場合の密度行列のずれ (8.68)式を満たすことがわかった。

35

ρ1ph =∑p′h′

(Rphp′h′(ω)fp′h′ +Rphh′p′(ω)fh′p′

)=

∑p′h′

1

h

∑λ

(⟨0|a†hap|λ⟩⟨λ|a

†p′ah′fp′h′ |0⟩

ω − ωλ + iϵ−

⟨0|a†p′ah′ |λ⟩⟨λ|a†hap|0⟩hω + ωλ + iϵ

)fp′h′+(8.83)

8.5 Sum Rule

Energy-weighted sum rule:

S ≡∑n

hωn|⟨n|F |0⟩|2 =h2

2m

∫d3rρ(r) (∇f(r))2 (8.84)

36