組合せ剛性理論に基づく構造物列挙

加藤直樹

京都大学工学研究科

建築学専攻

2010年6月30日

経歴

１９７５年京都大学工学研究科数理工学専攻修了

１９８１年神戸商科大学（現在、兵庫県立大学）管理科学科 講師

１９９０年同 教授

１９９７年現職

組合せ最適化、計算幾何学、データマイニングなどの研究に従事

現在は、理論的な研究としては組合せ剛性理論、動的ネットワークフロー（避難計画）に関心がある。

最近の著書

「数理計画法」 コロナ社、２００８

「データマイニングとその応用」 朝倉書店 ２００９（羽室行信、矢田勝俊氏と共著）

趣味：テニス （最近、腰痛で動けない）

Questetra社外取締役 （BPMソフトを製作・販売, Gartner社からCool Vendorに認定）

今日の話題

組合せ剛性理論 (Combinatorial Rigidity)

Bar-and-joint frameworks

2次元非交差Bar-and-joint frameworkの列挙とその応用

共同研究者：David Avis, Ileana Streinu, 大崎純、木下拓也、谷川真一

構造物列挙問題

関連文献

David Avis, Naoki Katoh, Makoto Ohsaki, Ileana Streinu, Shin-ichi Tanigawa, Enumerating Non-crossing Minimally Rigid Frameworks, Graphs and Combinatorics, 2007

Ohsaki, Katoh, Kinoshita, Tanigawa, Avis and Streinu, Enumeration of Optimal Pin-Jointed Bistable Compliant Mechanisms with Non-Crossing Members, J. of Structural and Multidisciplinary Opt., 2009

Avis, Katoh, Ohsaki, Streinu, and Tanigawa, Enumerating constrained non-crossing minimally rigid frameworks, Discrete and Comp. Geometry, 2008

Katoh, Tanigawa, Fast enumeration algorithms for non-crossing geometric graphs, Discrete and Comp. Geometry, 2009.

Katoh, Tanigawa, A Proof of the Molecular Conjecture, Proc. 25th ACM Symp. on Computational Geometry, (SoCG 2009), 2009.

Katoh, Tanigawa: On the Infinitesimal Rigidity of Bar-and-Slider Frameworks, ISAAC 2009.

Katoh, Tanigawa: A Rooted-Forest Partition with Uniform Vertex Demand, WALCOM 2010.

組合せ剛性理論フレームワークの安定性を組合せ的に特徴付け

グラフの変形

辺の伸び縮みなくジョイントが平面上を移動.

安定なグラフ

同じ形(合同な図形)への変形 → 自明な変形

自明な変形のみが可能なとき、グラフは安定平行移動，回転

安定か？

組合せ剛性理論における様々な構造モデル

J.C.Maxwell 1864, 70 ~

Bar-and-joint framework

rigid bar + universal joint

Body-and-hinge frame.

Rigid body + hinge

Body-and-bar frame.

rigid body + rigid bar

Panel-and-hinge frame.

Rigid panel + hinge

応用

ロボティックス センサーネットワーク CAD

たんぱく質挙動解析 グラスネットワーク リンク機構の分類

2次元bar-joint frameworksの剛性

Bar-and-joint framework

d-dimensional bar-and-joint framework: (G,p)

G=(V,E): グラフ

p: 点配置; V→Rd

フレームワークの動き(motion)：各棒材の辺長制約化でのジョイントの連続的な動き

自明な動き(trivial motion)：合同なフレームワークへの動き

非自明な動き：自明でない動き

剛なフレームワーク(rigid framework)：自明な動きのみが可能なフレームワーク

Rigid Flexible

Rigidity

For a graph G=(V, E) and suppose that for each edge (i, j) its length

l(i, j) is given.

Realization: (G, p) such that vertices are mapped to p1, p2, ..., p|V| which realize edge lengths

Configuration space: space of of all the realizations which is algebraic variety in Rd|V|

Configuration space may consist of several components

same component

Dimension of the component

Suppose we factor out rigid (trivial or congruent) motions, i.e., pin down the endpoints of an edge

Zero the framework is RIGID (globally rigid)

Otherwise it is FLEXIBLE

k-dimensional k degree of freedom

bar-and-joint framework (G, p) is flexible if it can be transformed to a non-congruent framework by continuouslymoving each joint without changing the length of each bar

Hard problems

The existence of a realization (NP-hard even for d=1)

The dimension of a component containing a given realization

Determine whether a framework is rigid or not

フレームワークの動き:辺長制約化のジョイントの連続的動き

辺長制約：

(p(u) - p(v))2=lij∀uv ∈ E

⇒ 一次近似（微小変形に対する制約）

(p(u) - p(v))・(p’(u) - p’(v))=0 ∀uv ∈ E

微小変形(infinitesimal motion) p’ : 写像 v ∈ V ↦ p’(v) ∈R2 ( 2|V|次元ベクトル) s.t.

(p(u) - p(v))・(p’(u) - p’(v))=0 ∀uv ∈ E

p(u)

p(v)

p’(u)

p’(v)

Infinitesimal rigidity（微小変形に対して剛）

Rigidity Matrix

微小変形辺長制約条件： (p(u) - p(v))・(p’(u) - p’(v))=0 ∀uv ∈ E

剛性行列M(G,p): |E| ×2|V|

dim ker M(G,p) ≥ 3,

3つの独立な自明な微小変形 (x方向，y方向への平行移動，回転）

フレームワークが微小変形に対して剛(infinitesimally rigid) ⇔ rank

M(G,p)=2|V|-3

2|V|

=0・・・0 ・・・ px(u)-px(v) py(u)-py(v) ・・・0・・・ px(v)-px(u) py(v)-py(u) ・・・0・・・

P’x(u)

P’y(u)

P’x(v)

P’y(v)

|E|

剛なフレームワークの自明な変形

)01010101(xv

)( 44332211 yxyxyxyx PPPPPPPP

)( 44332211 xyxyxyxyr PPPPPPPPv

)10101010(yv

3.p)M(G,ker dim

0),(,,

の解となる

の線形結合も vpGMvvv ryx

微小変形の例

に垂直がに対し，すべての

は微小変形

)()()()(

: 2

vpupvpupEuv

Vp

R

剛性行列

0000

0000

0000

0000

0000

),(

13133131

14144141

34344343

23233232

12122121

31

14

43

32

21

yyxxyyxx

yyxxyyxx

yyxxyyxx

yyxxyyxx

yyxxyyxx

PPPPPPPP

PPPPPPPP

PPPPPPPP

PPPPPPPP

PPPPPPPP

PP

PP

PP

PP

PP

pGM

1P2P 3P

4P

),( 111 yx PPP ),( 222 yx PPP

),( 333 yx PPP ),( 4344 yPPP

Infinitesimally rigid ≠ rigid

しかし、点の配置が一般の場合、この二つの概念は一致する

グラフの剛性

n頂点グラフが剛であるための必要条件

頂点の自由度: 2n.

2n-3 本の棒を加えることで, 3つの自由度が残る → 自明な変形

グラフが剛であるための必要条件 m≧2n-3

Maxwellの法則

(J.C.Maxwell, 1870) 伸び縮みしないm本の棒部材がn個のジョイントで接続された平面トラス構造が剛であるための必要条件はm≧2n-3

Maxwellの法則 ---古典的かつ有名な事実

トラス構造の剛性がそのトポロジーで決定される事を示唆

Maxwell-Lamanの定理(Laman 1970)

殆ど全ての平面トラス構造において，その剛性はトポロジーの組合せ的性質によって一意に決定される

m=13

n=8

2n-3=13

組合せ的特徴付け

Lamanの定理 (1970)

殆どすべての点配置pに対し，2-d bar-and-joint framework (G,p)が(微小変形に対して) 剛であるための必要十分条件は以下を満たすF⊆Eが存在することである：

|F|=2|V|-3

任意のF’ ⊆ Fに対し|F’|≦2|V(F’)|-3

Open Problem: 3次元bar-and-joint frameworkの剛性(マトロイド)の組合せ的特徴付け

簡潔な特徴付けは難しい?

“Matroids from disc. geom.” by W. Whiteley, 1997.

“Combinatorial Rigidity” by Graver et al., 1993.

“On the Rank Function of the 3-D Rigidity Matroid” by Jackson and Jordan, 2005.

静定グラフ

静定グラフ

一般の点配置上において，最小数の辺(棒)で安定なグラフ (minimally rigid graph), を静定グラフ又はラーマングラフ (isostatic, or Laman) という．

外部拘束数3の静定トラスに対応

Laman counts 定理

定理 (Laman, 1970) グラフが静定グラフであるための必要十分条件

m =2n-3,

n’(>1) 頂点から成る任意の誘導部分グラフの辺数が2n’-3以下.

例 V=5の時 E=2x5-3=7

静定でない例 静定 無交差静定

静定グラフの構築

Theorem (Henneberg, 1911) 全ての静定グラフは K2

（線分）から以下の Henneberg 1 又は Henneberg 2 を繰り返し用いることで逐次的に構築することができる． (Hennebergconstruction)

Henneberg I

Theorem (Henneberg, 1911) 全ての静定グラフは K2 （線分）から以下の Henneberg 1 又は Henneberg 2 を繰り返し用いることで逐次的に構築することができる． (Henneberg construction)

Henneberg I:

新たな頂点を追加し,それとそれ以外の2頂点を新たな辺で繋ぐ．

Henneberg II

Theorem (Henneberg, 1911) 全ての静定グラフは K2 （線分）から以下の Henneberg 1 又は Henneberg 2 を繰り返し用いることで逐次的に構築することができる． (Hennebergconstruction)

Henneberg II:

辺を一つ取り除き, 新たな頂点を追加．新たに追加された頂点と取り除いた辺の両端点及びそれら以外の一頂点を新たな辺で結ぶ．

極小な剛グラフの例

極小でない剛グラフ

Maxwellの条件を満たすが剛でないグラフ

Maxwell-Lamanの定理

Genericな点配置: p ∊ argmaxq rank M(G,q)

殆どすべての点配置はgeneric

Mawell-Lamanの定理 [Laman, 1970],

点配置pがgenericならば， F⊆E がM(G,p)内で独立 ⇔ 任意のF’⊆F

に対し|F’|≦2|V(F’)|-3

⇒ 殆どすべての点配置pに対し，bar-and-joint framework (G,p)が微小変形に対して剛 ⇔ 以下を満たすF⊆Eが存在

|F|=2|V|-3

任意のF’⊆Fに対し|F’|≦2|V(F’)|-3

(G,p)が微小変形に対して剛 ⇒ (G,p)が剛

極小な剛グラフ(minimally rigid graph, Laman graph)

|E|=2|V|-3

任意のF⊆Eに対し|F|≦2|V(F)|-3

Open Problem: 3次元bar-and-joint frameworkの剛性の組合せ的特徴付け

6つの自明な微小変形（3つの平行移動，3つの回転） ⇒ dim ker M(G,p)≧6

Maxwellの必要条件

Eが独立⇒ |V(F)|≧3のF⊆Eに対し|F|≦3|V(F)|-6

Body-and-hinge frameworks

A 3-dimensional body-hinge framework is a pair (G,p);

G = (V,E) is a graph,

p is a mapping, e ∊ E ↦ a line in R3

(called a hinge-configuration)

a vertex ⇔ a 3-d body

an edge ⇔ a hinge (=a line)

Body-and-hinge frameworks

A 3-dimensional body-hinge framework is a pair (G,p);

G = (V,E) is a graph,

p is a mapping, e ∊ E ↦ a line in R3

Tay-Whiteley’s theorem (1984, 1988, 1989)

For a generic configuration p, a graph G=(V,E) can be realized as an infinitesimally rigid 3-d body-hinge framework (G,p) if and only if 5G contains six edge-disjoint spanning trees.

G5G

Body-and-hinge frameworks A 3-dimensional body-hinge framework is a pair (G,p);

G = (V,E) is a graph,

p is a mapping, e ∊ E ↦ a line in R3

Tay-Whiteley’s theorem (1984, 1988, 1989)

For a generic configuration p, a graph G=(V,E) can be realized as an infinitesimally rigid 3-d body-hinge framework (G,p) if and only if 5G contains six edge-disjoint spanning trees.

If (G,p) is rigid, then (G,q) is also rigid for almost all q. (If a hinge configuration q is not special (i.e., no geometric relation), then (G,q) is rigid.)

It cannot be applied to “special” hinge configurations

bar-and-joint body-and-hinge panel-and-hinge

Laman (1970)d=2

d≧3

|E|=2|V|-3

|F|≦2|V(F)|-3

Tay (1989)

Whiteley (1988)

(D-1)G contains

D edge-disjoint

spanning trees

2

1dD

Jackson and Jordán

(2006)

Molecular Conj.

(1984)

d=2⇒D=3

d=3⇒D=6

unknown

Reduction to “bar-joint”

Proved in 2009

by N.K and Tanigawa

無交差静定グラフの列挙アルゴリズムの開発と応用

幾何グラフ

幾何グラフ

平面上の頂点集合上に直線分を用いて描かれたグラフ

木グラフ, 三角形分割, 静定グラフ,…

木グラフ 木でないグラフ

静定グラフ静定トラス三角形分割

(幾何）グラフ理論的アプローチを用いた建築システム最適化

トラス構造最適化 [e.g. Kaveh04]

施設配置 [e.g. Koshizuka et al.93]

…

建築最適化問題における幾何的，組合せ的特徴の抽出

幾何的，組合せ的評価指標を用いた幾何グラフの生成問題

最適化問題

列挙問題

研究目的

なぜ列挙 ??

大規模なデータ，大規模な解空間の中から，何かしら面白いものを，有益なものを見つけたい

有益性を判断する事は難しい !?

判定法，数理モデルが非常に複雑... (善し悪しを判断するのに非常に計算時間がかかる)

有益なモノは１つに定まるとは限らない...

そもそも数理モデル化ができないかもしれない... (善し悪しの基準が定まらないかもしれない...)

おそらく良いと思われるモノ，絶対必要な条件を満たしているモノ，をできるだけ多く見つけてきたい !!

列挙がしたい !!

良く分からない部分には手を着けずに ....

得られた成果

[Enumerating Non-crossing Minimally Rigid Frameworks, Graph and Combinatorics, Vol. 23]

探索グラフは連結で逆探索手法を用いて列挙が可能

平面上の頂点集合P上の無交差静定グラフの集合を，一つ当たりO(n3)の計算時間で出力する

計算機実験

入力： n点頂点集合P, 辺制約 F

出力： P上のFを含む無交差静定グラフの個数，

．．．

計算機実験

入力： n点頂点集合P, 辺制約 F

出力： P上のFを含む無交差静定グラフの個数，

F 出力数 CPU時間(s)

なし 1027992 52165

{(0,1)} 942263 46683

凸包上の全ての辺 364464 17078

{(1,11),(3,11)} 5400 232

メカニズムの生成問題

マルチステイブルコンプライアントメカニズムの発見

複数の釣り合い状態を持ち，その釣り合い状態間を材料の弾性変形を利用して構造全体が可動する機構

コンプライアントメカニズムは静定トラス

非線形最適化問題を解くことで発見可能 [Ohsaki and Nishiwaki, 05]

コンプライアントメカニズムの例

実験例

H = 0.1 m

W = 0.2 m

実験例

(a) (b)

無交差静定グラフ 1027922 68072

計算時間(s) 34666.6 2138.0

実験結果

これまでの手法では得ることができなかった１５６個の大規模なメカニズムの生成に成功

取り組むテーマ

同型なグラフは同一とみなして、非同型な静定グラフを列挙する

自由度を指定して、非同型なメカニズム(静定グラフより自由度のあるもの）を列挙する

非同型なrigid circuitを列挙する

自由度1のメカニズム

静定グラフはmatroid(rigidity matroid)の基底

したがって、matroidの基底列挙アルゴリズムにより高速に求められる。 Uno (1998)

自由度kのメカニズムはrigidity matroidをtruncationしたものなのでmatroidの基底と見ることができる。よって高速に列挙できる

しかし、グラフ同型性の判定が必要

Rigidity circuitとはrigidity matroidにおける極小従属な集合

Circuit Axiom:

}{

such that , and , circuits for

213

32121

eCCC

CCCeCC

　異なる

,...},{set circuit 21 CCC is closed

No new circuit can be generated by the above operation

all circuits are generated

2-sum operation

Enumeration of rigidity circuits Edge split and 2-sum operationsだけですべてのrigidity

circuitが生成される

edge split

Mechanical Engineering に多くの応用がある

Kinematic chainやAssurグラフの列挙についてはこれまでに数多くの研究がおこなわれている

Kinematic chain については、自由度が指定された17点までのグラフについて列挙がおこなわれている

列挙された構造物をデータベースに保持し、新しい構造の機械を製作するときに参照するという利用方法が考えられる

Rigidity circuitの列挙はAssurグラフやTensegrity構造の列挙に応用がある。Rigidity circuitは、redundantly rigid frameworkと密接な関係がある。またglobally rigid graphとも関連があり、応用上も重要