时变网络中国邮路问题研究 · 时变网络中国邮路问题研究孙景昊著国家自然科学基金(No.61300194)资助河北省自然科学基金(No. F2013501048)资助

时变网络中国邮路问题研究

孙景昊著

国家自然科学基金(No.61300194)资助

河北省自然科学基金(No. F2013501048)资助

中央高校基本科研业务费专项资金项目(No.N130423007)资助

北京

科

学出版社

职教技术出版中心

www.abook.cn

内容简介

随着信息技术的发展，不同学科领域对网络中的时间约束和时变特性

日益关注，于是能够充分反映时间特性的时变网络优化应运而生。时变网络

优化突破了传统理论的局限性，产生了许多挑战性问题。这些问题有些已经

得到解决，有些虽然在应用中已经遇到，但是尚未解决。本书正是针对这些

尚未解决的网络优化问题开展研究：首先系统地提出了时变网络中国邮路问

题，并研究其计算复杂性、性质、模型、精确和启发式解法，进一步发展和

丰富了时变网络优化的理论体系；然后针对实时系统测试中的一个热点问题

开展应用研究，为解决实时系统测试序列生成和优化这一重要问题提供了新

的技术途径和新的方法。本书研究的问题是计算机科学、运筹学、通信工程等综合交叉学科研

究热点，不同学科的相互交叉、相互渗透、相互促进，极有可能产生新的理

论和新的方法。时间依赖网络中国邮路问题是时变网络优化领域的重要组成

部分，具有重要的理论意义和应用价值。

图书在版编目(CIP)数据时变网络中国邮路问题研究/孙景昊著. —北京：科学出版社，2014 ISBN 978-7-03-042682-6

Ⅰ.①时… Ⅱ.①孙… Ⅲ.①互联网络－研究－中国 Ⅳ. ①TP393.4

中国版本图书馆 CIP 数据核字（2014）第 285060 号

责任编辑：赵丽欣 / 责任校对：马英菊责任印制：吕春珉 / 封面设计：耕者设计工作室

出版北京东黄城根北街 16 号

邮政编码：100717 http://www.sciencep.com

双青印刷厂印刷科学出版社发行各地新华书店经销

* 2014 年 12 月第一版 2014 年 12 月第一次印刷

开本：B5（720×1000）印张：7 3/4

字数：170 000

定价：40.00 元

（如有印装质量问题，我社负责调换 ﹤ ﹥）销售部电话 010-62134988 编辑部电话 010-62134021

版权所有，侵权必究

举报电话：010-64030229；010-64034315；13501151303

前言

公元 18 世纪初，凡是到过东普鲁士小镇—— 哥尼斯堡的游客，都为当地的一

个数学谜题所困惑。原来，普雷格尔河流将哥尼斯堡分割成四块陆地，彼此由七

座小桥相连（如下图所示），这个数学难题是：游客能否从一块陆地出发，游览七

座桥一次且仅一次，赏遍这水上小镇的风光，最终回到出发地？经过众多游客的

无数次尝试，没有一个人能成功解答这个七桥问题。直到 1736 年，瑞士著名数学

家欧拉创造性地将陆地抽象为节点，将桥抽象为弧，把七桥问题归结为寻找一条

遍历图中每条弧一次且仅一次的回路（一笔画），从理论上证明了这类问题有解的

充要条件，进而判定七桥问题无解。这是人类有史以来第一次应用图论的思想解

决实际问题。后人为了纪念欧拉的杰出贡献，就将这类以遍历弧为目的“一笔画”

图称为欧拉图。欧拉图的研究，标志着现代图论的开端，同时也是弧路由理论的

奠基石。

19 世纪到 20 世纪上半叶，是图论科学平稳发展的时期。这一阶段发现了许

多重要的算法理论成果，形成了图论中诸多领域的雏形。例如，以欧拉图理论为

基础的弧路由理论，以哈密顿图理论为核心的点路由理论，以及英国著名数学家

凯利提出的四色问题和与之相关联的图的可平面性问题等。但是，这些领域真正

作为一门学科发展起来却是在 1950 年之后。这场图论戏剧性地源自新中国的另一

场社会革命。 20 世纪 60 年代，山东师范大学教授管梅谷开始了对邮递员投递路线的思考，

并提出了著名的“中国邮路问题”。这个问题具体描述为：邮递员从邮局出发，遍

历城市中每条街道至少一次，并最后回到邮局，使得总的耗费最小。这个问题属

于一类弧路由问题，但与欧拉图问题不同，欧拉图问题是图论中的一类回答“具

有某种特征的图是否存在”的存在性问题，而中国邮路问题属于图论中的另一类

问题，即“如何构造一个满足某一性质的最优图或子图”的最优化问题。管梅谷

敏锐地发现中国邮路问题的核心在于如何在原图中增加代价最小的重复弧，使得

原图变为欧拉图[1]。正是这个“增加问题”的发现，才引发了美国数学家 Edmond

科

学出版社


www.abook.cn

- i i 一

·ii· 时变网络中国邮路问题研究

的思考，进一步将这个“增加问题”归结为匹配问题，为匹配问题建立了一个整

数规划模型[2]，这个模型便是历史上第一个能够真正有效求解数学问题的整数规

划模型，它开启了数学规划多面体组合学的研究，成为组合优化领域的里程碑。中国邮路问题的提出开创了图论与其他学科结合的先河。在此后的几十年间，

计算复杂性、数学规划、动态规划、多面体组合学等诸多理论学科不断向图论科

学渗透，改变了图论科学的思考方式，带来了图论科学的空前繁荣，图论的诸多

领域均形成了独立的理论体系。其中，最能体现这场图论思维变革的，当属弧路

由理论体系的形成，在这个过程中，中国邮路问题起到了至关重要的作用。继管

梅谷教授提出中国邮路问题之后，众多学者为中国邮路问题的独特理论魅力和应

用价值所吸引，展开了更深入的研究，先后提出了 10 余类中国邮路问题的变体。

这些变体问题以欧拉图理论、匹配理论和网络流理论为理论基础，以计算复杂性

理论指导问题性质的研究，以多面体组合学和数学规划理论作为问题求解的方法

学，从而构成了弧路由理论的重要组成部分，使得弧路由理论在图论科学中独树

一帜，作为一门独立的学科呈现在世人面前。 2000 年，弧路由理论的第一本专著问世[3]。这部著作的主编是 2005 年中国科

学院国际合作奖获得者，美国亚利桑那大学著名教授 M.Dror 先生。当时他正致力

于带时间窗的容量中国邮路这一前沿问题的研究。在新问题的研究中，Dror 教授

充分感受到中国邮路问题提出后的 40 年间弧路由理论的迅猛发展，新的应用背景

催生新问题的出现，新问题考虑的因素越来越复杂，导致新问题的求解方法与传

统问题已经大相径庭，传统理论面临挑战。正是由于这个原因，Dror 教授组织全

世界 19 位教授出版了弧路由理论的专著，全面总结了弧路由问题的研究进展。尤

为重要的是，Dror 教授在书中鼓励年轻的学者要勇于研究更复杂的新的弧路由问

题的理论，尤其是新问题的多面体理论。本书正是针对这些尚未解决的复杂弧路由问题的理论、模型和算法开展研究

工作的，具体包括时变网络中国邮路问题的计算复杂性理论、动态规划理论，重

点是新问题的数学规划、多面体理论和算法的研究。本书的出版得到了国家自然科学基金“时间自动机上邮递员问题的理论、模

型、算法及应用研究”（No.61300194）、河北省自然科学基金“时间自动机上弧路

由问题模型及算法研究”（No.F2013501048）以及中央高校基本科研业务费专项资

金项目“时间自动机与时变随机网络优化及应用研究”（No.N130423007）的资助，

在此表示衷心的感谢。

目录

前言第 1 章问题的定义、研究背景及意义 ···························································· 1

1.1 时变网络研究的科学依据与理论意义 ················································· 1

1.2 时变网络中国邮路问题的定义及其应用背景与意义 ····························· 2

第 2 章问题的发展历史和现状分析 ································································ 4 2.1 中国邮路问题的研究现状和发展趋势 ················································· 4 2.2 时变网络优化理论的研究现状和发展趋势 ·········································· 9 2.3 问题的提出和本书的主要贡献 ···························································12

2.3.1 存在的问题 ··················································································12 2.3.2 本书的主要贡献 ············································································13 2.3.3 本书的组织结构 ············································································17

第 3 章时变网络中国邮路问题的基本性质和精确算法 ···································18 3.1 问题的提出 ·······················································································18 3.2 TDCPP 问题的计算复杂性理论研究 ··················································19

3.2.1 非 FIFO 网络 TDCPP 是 NP 困难问题 ················································19

3.2.2 FIFO 网络 TDCPP 是 NP 困难问题 ····················································21

3.2.3 TDCPP 问题的近似算法研究 ···························································24

3.3 传统算法不适用于时间依赖网络 ·······················································26 3.3.1 二阶段算法不适用于时间依赖网络 ···················································26 3.3.2 传统弧路由转换方法的局限性 ·························································28

3.4 FIFO 网络 TDCPP 最优解的性质 ·······················································30 3.5 FIFO 网络 TDCPP 的分支限界算法····················································31 3.6 FIFO 网络 TDCPP 问题的动态规划算法·············································33 3.7 实验结果 ··························································································35

3.7.1 支配关系 D 的剪枝效果 ·································································35 3.7.2 时间阶段数对算法计算时间无明显影响 ·············································37 3.7.3 问题的求解规模 ···········································································37

3.8 总结与展望 ·······················································································39 第 4 章时间依赖网络中国邮路问题的多面体理论 ··········································40

4.1 问题的提出 ·······················································································40 4.2 TDCPP 的圈变量整数规划模型 ·························································41

科

学出版社


www.abook.cn

- i v 一

·iv· 时变网络中国邮路问题研究

4.3 圈排列多面体 ···················································································43 4.3.1 CA 多面体中的仿射无关 TDCPP 邮路 ················································44 4.3.2 CA 多面体的维数 ·········································································45 4.3.3 CA 多面体中的极大诱导不等式 ·······················································45

4.4 TDCPP 的时间相关不等式 ································································47 4.4.1 时间相关不等式的线性松弛 ····························································47 4.4.2 更有效的时间相关不等式 ·······························································48

4.5 实验结果 ··························································································49 4.6 小结 ·································································································53

第 5 章时变网络中国邮路问题的其他几类整数规划模型 ·······························55 5.1 问题的提出 ·······················································································55 5.2 转换方法求解 TDCPP 的一般算例 ·····················································55

5.2.1 TDCPP 一般算例的转换算法 ···························································55

5.2.2 转换算法的实例说明及正确性证明 ···················································56

5.2.3 改进的圈变量整数规划模型 ····························································58

5.3 TDCPP 扩展的圈变量整数线性规划模型 ···········································59 5.3.1 交错圈变量整数规划模型 ·······························································60 5.3.2 改进的 K 值上界 ··········································································61 5.3.3 算例与正确性验证 ········································································62

5.4 TDCPP 的弧变量整数线性规划模型 ··················································63 5.4.1 模型描述 ····················································································63 5.4.2 实验结果 ····················································································66

5.5 小结 ·································································································67 第 6 章时间依赖网络乡村邮路问题的多面体理论 ··········································69

6.1 问题的提出 ·······················································································69 6.2 TDRPP 的交错弧-路径变量整数规划模型 ··········································69 6.3 弧-路径交错序列多面体 APAS ··························································72

6.3.1 X 中仿射无关的弧序 ·····································································72 6.3.2 Y(x)中仿射无关的衔接路径 ·····························································74 6.3.3 F 中仿射无关的 TDRPP 邮路及一些多面体结果 ···································77

6.4 TDRPP 的时间约束不等式 ································································78 6.4.1 时间约束不等式的线性化 ·······························································78 6.4.2 更有效的时间约束不等式 ·······························································80

6.5 实验结果 ··························································································80 6.6 小结 ·································································································84

- v 一

目录 ·v·

第 7 章时变网络中国邮路问题的时间自动机模型和统一求解框架 ·················85 7.1 问题的提出 ·······················································································85 7.2 时变网络中国邮路问题 ·····································································86 7.3 基于时间自动机理论的建模方法 ·······················································87

7.3.1 传统中国邮路问题的时间自动机模型 ················································88

7.3.2 时变网络中国邮路问题的时间自动机系统模型 ····································90

7.4 基于时间自动机系统模型的时变网络 CPP 问题的求解方法 ················92 7.5 TAS 模型中的时间自动机合并策略 ···················································96 7.6 实验结果 ··························································································99 7.7 结束语 ···························································································· 100

参考文献 ······································································································· 102

科

学出版社


www.abook.cn

第 1 章问题的定义、研究背景及意义

1.1 时变网络研究的科学依据与理论意义

从某种意义上说，现代社会是一个由物理网络和逻辑网络构成的复杂网络

系统。物理网络指的是由传输实体构成的网络系统，例如 Internet、通信网络、

交通网络等；逻辑网络存在于各个学科领域，是为了揭示某一研究对象的相互

作用、状态迁移的行为、规律、性质等抽象出来的网络，例如描述软件系统的

有穷自动机状态迁移图、任务资源调度分配网络等。网络优化理论的目的是研

究这些网络上优化问题的共性基础理论，为控制和管理这些网络系统提供有效

的方法。传统的网络优化理论不关心时间因素，但是，随着信息技术的发展，不同学

科领域的问题日益关注网络中的时间约束和时变特性。例如，计算机科学领域中

计算机网络通信协议、时间自动机理论等。传统网络优化理论远远不能满足实际

需要，于是能够充分反映具有时间约束和时变性的网络优化理论——时变网络优

化应运而生，并引起了计算机科学、通信工程、运筹学、交通工程、系统工程等

学科学者的普遍关注，并开始进行研究。时变网络优化理论使得传统的优化问题变成了全新问题。新的问题使得时变

网络优化变得非常困难。几十年来人们一直不懈地努力，先后研究了时变网络中

的最短路径问题、旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）及车路由问题

（Vehicle Routing Problem，VRP）等点路由问题。近年来，弧路由问题（主要是中

国邮路问题：Chinese Postman Problem，CPP），在传统网络优化领域备受关注。

2005 年的中国科学院国际合作奖获得者，美国亚利桑那大学著名教授 M. Dror 组织全世界范围内的 19 位教授于 2000 年出版了弧路由问题的专著[3]，全面总结了

CPP 的研究进展，并指出了带时间窗的 CPP（CPP with Time Windows，CPPTW）

建立精确求解模型面临的困难。本书研究的时变网络 CPP（CPP in Time－Varing Network，TVCPP）包括两类时间变量：一类是节点上的时间窗约束；另一类是

边/弧上的权值是随时间变化的函数，具体包括时间依赖的服务代价函数和时间依

赖的旅行时间函数（有文献称带有时间依赖旅行时间的这类网络叫时间依赖的网

络（Time Dependent Network）。据查，时间依赖网络的 CPP（CPP in Time Dependent Network，TDCPP）无研究报道，这正是本书要重点研究的问题。

·2· 时变网络中国邮路问题研究

1.2 时变网络中国邮路问题的定义及其应用背景与意义

不仅仅时变网络优化理论需要研究具有时变特征的中国邮路问题，许多学科

也提出了这样的需求，甚至可以说迫切需要在这个问题的研究上取得突破。美国国会 1991 年在智能交通系统（ITS）发展战略规划中指出：“ITS 的主要

目标是通过应用先进的技术和现代化算法方法学来提高运输效率”。ITS 中，交通

流往往受到交通事故、天气变化、上下班高峰期等众多因素的影响，因此是时变

的。具体表现为，车辆在交通网络中行驶所花费的旅行时间将不再是与距离成正

比的常量，而被处理成随着时间变化的函数。交通流分布的不均匀性和时空性，

是 ITS 研究的基础理论。在交通网络以及其他物理网络系统中，普遍存在时变中

国邮路问题的应用，诸如警察出巡安排、垃圾收集路线、扫雪车路线、邮件投递

路线等。ITS 导致了各种时变网络上的中国邮路问题。如上所述，在物理网络中，时变网络中国邮路问题的实际应用价值是显而易

见的。但是，逻辑网络中时变的中国邮路问题的应用却需要对原问题有深刻的理

解和创造性的发挥，只有这样才能发现它的应用价值。我们研究发现时变网络中

国邮路问题能够很好地解决实时系统测试序列优化和非传统调度这两类重要的实

际问题。近年来，混合控制系统和基于混合自动机模型的形式化测试的兴起给这个传

统的研究带来了新的转折——时间依赖。这具体表现为，在混合自动机模型[163]

中，迁移发生前允许等待的时间段依赖于到达状态的时刻（由于迁移在瞬时发生，

因此等待时间可看作是迁移弧上的旅行时间）。那么，混合自动机可处理成一类带

标号的时间依赖网络。所以，混合自动机上的最优测试序列即等价为时间依赖网

络中的最优中国邮路。时间依赖网络中国邮路问题定义如下。定义 1.1 给定一个有向图 ( , )D V A= ，其中 V 为节点集，A 为弧集。A 中的

每条 ( , )i j 弧关联一个时间依赖旅行时间 ( )ij id t ，其中 it 为遍历弧 ( , )i j 的起始时刻。

令 0v V∈ 为图 D 的原点， 0t 为邮路的起始时刻，则时变网络中国邮路问题（Time Dependent Chinese Postman Problem，TDCPP）的目标是在 D 上寻找一条在 0t 时刻

从 0v 出发的回路，遍历每条弧至少一次且总的遍历时间最少。另一个应用实例是时间依赖加工时间的工件调度问题。该问题又称恶化排序

问题，是一类重要的新型现代排序问题。在这类问题中，工件的加工时间不为常

数，而是开工时间的函数，且通常是开工时间的增函数[175,176]。这类问题模型在

维修工作方面、塑料工业及医疗等领域也有广泛的应用。例如，在钢铁企业中，

某些工件的加工有温度的要求，在满足温度要求的情况下，工件的加工时间是常

数；如果工件在加工前有等待时间，将引起温度的下降，这样一来，无论是重新

加温使其满足温度要求还是直接在低温下加工，都将导致加工时间的增加。

科

学出版社


www.abook.cn

第 1 章问题的定义、研究背景及意义 ·3·

另外，我们将机器加工工件的过程建模为一个有向图 ( , )D V A= ，其中机器

的每个状态 is 对应图 D 中的一个节点 iv V∈ ，从状态 is 到状态 js 的迁移对应图中

的一条弧 ( , )i j 。从这个角度看，任一工件 kJ 的加工过程可被看作在机器上的一条

状态迁移序列。若一条迁移序列的起始状态和结束状态分别为 ts 和 es ，则可向图

D 中加入一条弧 ( , )t e 表示工件 kJ 的执行。当然，弧 ( , )t e 关联一个旅行时间函数表

示时间依赖的加工时间。注意到在机器加工工件的过程中，当前工件的起始状态

并不一定是其紧前工件的结束状态。这意味着机器在加工完第 k 个工件 kJ 之后需

要经过一些额外的状态迁移到达下一工件的初始状态，然后继续加工第 1k + 个工

件 1kJ + 。综上所述，调度问题的目的是寻找一个合理的工具加工时间安排，使得

所有工件的加工时间以及额外迁移花费的时间之和最小。若将工件对应的弧看作

需求弧，则该调度问题即等价为时间依赖网络 D 上的乡村邮路问题，其定义如下。定义 1.2 在有向时间依赖网络 ( , )D V A= 中，V 是节点集，A 是弧集。我们

假设弧集 A 被划分为需求弧集 RA 和补充弧集 RA A\ 两部分。其中，需求弧集 RA 中

的每条弧必须被服务一次，因此它不仅关联旅行时间，而且还关联一个服务时间，

而补充弧集 RA A\ 中的弧只关联一个旅行时间。在本问题中，弧上的旅行时间和

服务时间均是时间依赖分段函数。对于任意的（需求）弧 ( , ) ( )Ri j A A∈ ，时间依

赖的旅行时间和服务时间函数分别定义为 ( )ij itt t 和 ( )ij ist t ，其中 it 是遍历或服务弧

( , )i j 的起始时刻。注意到，服务一条弧所花费的时间通常要多于单纯遍历弧的时

间，因此我们规定一条弧的服务时间要大于它自身的旅行时间。邮递员在给定的时刻 0t 之后，从给定的原点 0v 出发，服务 RA 中的每条弧一次

并最终回到原点。在这条回路中，邮递员允许在任意节点等待，以期获得弧上更

小的旅行（服务）时间。时间依赖乡村邮路问题（Time Dependent Rural Postman Problem，TDRPP）的目标是寻找一条以最小代价服务图 D 中所有需求弧的回路，

本问题中的代价与时间依赖旅行时间和服务时间有关。当 RA A= 时，TDRPP 即

退化为时间依赖中国邮路问题。在这样的背景下，本书系统地提出了一系列的时变网络中国邮路问题理论、

模型和算法的研究，进一步发展、丰富了时变网络优化的理论体系。

第 2 章问题的发展历史和现状分析

本文重点研究中国邮路问题，研究特色在时变网络优化。因此，我们首先介

绍中国邮路问题的研究现状和发展趋势，再介绍时变网络优化理论的研究现状，

分析时变网络优化给传统中国邮路问题带来的挑战。

2.1 中国邮路问题的研究现状和发展趋势

中国邮路问题属于一类重要的弧路由问题，并在各个领域都具有广泛的应用，

引起了国际学者的普遍关注。迄今为止，人们提出了六类主要的中国邮路问题。

这些问题以欧拉图理论、匹配理论和网络流理论为理论基础，以计算复杂性理论

指导问题性质的研究，以多面体组合学和数学规划理论作为问题求解的方法学，

在网络优化理论中占有重要地位。下面分别从理论基础、问题性质和求解方法三

个方面综述这六类的中国邮路问题。

1. 无向中国邮路问题

在 18 世纪初期，格尼斯堡的居民都被一个数学谜题所困扰。即能否走一条经

过普雷格尔河上七座桥一次且仅一次的回路？这个问题引发了瑞士著名数学家欧

拉的思考，并给出了解答：这样的回路并不存在。欧拉将这一理论成果发表在圣

彼得堡俄国科学院的快报中（Euler,1736）[8]。七桥问题可以被表示成无向图上的问题，陆地被抽象成节点，每座桥抽象为

边。注意到七桥问题中的每个节点均为奇数度，由于回路要求出入图中每个节点

的次数相等，很显然，七桥问题无解。实际上，欧拉通过研究七桥问题证明了无

向图中遍历所有边一次且仅一次回路的存在性，即图中所有节点的度必须为偶数。

满足这种性质的图称为一笔画图或欧拉图。如果为图中的每条边添加一条重复边，

则原图将成为欧拉图。因此，任何一个无向图上均存在一条遍历图中边两次且仅

两次的回路。欧拉并没有在真正意义上证明以上的结论，但该结论已经蕴含在七

桥问题之中。此外，欧拉还指出，这种遍历每条边两次且仅两次的回路必定从两

个不同的方向遍历每条边各一次。欧拉这篇论文最初的拉丁语版本见 Fleischner（1990）的报道[9]，英文版见《科学美国人》（Scientific American, Euler, 1953）[10]。

欧拉证明了欧拉回路的存在性，但他并未关注如何在欧拉图中得到一条这样

的回路。欧拉回路的寻径算法在相隔一个世纪后由 Hierholzer 首先给出（1873）[11]。

直到今天，Hierholzer 算法仍然是最有效的算法，而且这个算法不断地被后来的学

科

学出版社


www.abook.cn

- 5

第 2 章问题的发展历史和现状分析 ·5·

者重新研究，提出一些小的改进（例如，Edmonds 和 Johnson 给出的 End-Pairing算法，1973）[2]。该算法最初始的描述并不符合我们现在的表达习惯，一些学者

给出了现代版本的算法（Even,1979）[12]，表达如下。（1）从给定的任意一点 v 出发，顺次遍历那些未遍历过的边，构成圈。（2）若图中所有边均已遍历，则算法停止。（3）从已有圈关联的一条未遍历边开始，找到下一个由未遍历的边构成的圈；

将这两个圈合并为一个，转第二步。还有另外一个常用的寻找欧拉回路的算法，那就是由法国人 Fleury 提出的弗

莱罗算法（Lucas,1894）[13]。该算法形式简单，但在效率上逊于 Hierholzer 算法。（1）从给定的任意一点 iv 出发，若 ( , )i jv v 不是桥且不是悬挂边，则遍历并删

除 ( , )i jv v 。（2）如果所有的边均已删除，则算法停止；否则，令 i jv v:= ，转步骤（1）。这个算法的难点在于如何判断一条边是否是桥。其他的一些欧拉回路寻径算

法见 Fleischner（1991）[14]。中国邮路问题是 1962 年由管梅谷教授首次提出的（Guan Meigu 1962）[1]。该

问题是在一个连通无向图中，从给定源节点出发，遍历图中每条边至少一次，并

最终回到原点，使得总的耗费最小。七桥问题仅仅关注图中欧拉回路的存在性，

而中国邮路问题更倾向于在一个非欧拉图中寻找一条遍历所有边的代价最小的回

路。管梅谷首先给出了中国邮路问题的第一个算法——奇偶点图上作业法。该算

法基于以下两点： ① 欧拉图中包含的奇度节点个数一定是偶数； ② 中国邮路问题等价于添加最小代价重复边使得原图变为欧拉图的问题，而

且添加的重复边恰好构成了图中奇度节点对间的最短路径。然而奇偶点图上作业法并非多项式算法，直到 1973 年，Edmonds 和 Johnson

才发现匹配理论可以在多项式时间内解决以上最小代价添加图问题。这一成果尽

管在管梅谷的工作没有涉及，但它可以从管梅谷给出的结果中很容易地推导出来。

管梅谷首次证明了中国邮路问题最优解所满足的必要条件： ① 图中每条边至多重复一次； ② 在图中的每个圈上，重复边的代价不超过圈代价的一半。后来，管梅谷提出的第 2 条性质又被作为核心部分应用到旅行商问题的 3/2-

近似算法的证明中（Christofides,1976）[15]。管梅谷教授工作的重要性，不仅仅体

现在他提出了一类经典的图论问题，更因为他首次将中国邮路问题归结为“增加

问题”（最小代价添加图问题）。增加问题成为日后弧路由领域的核心问题。只要

解决了增加问题，原图添加成为最小代价的欧拉图，寻找一条欧拉回路是非常容

易的。 1973 年，Edmonds 和 Johnson 的论文 Matching, Euler Tours and the Chinese


Postman 堪称弧路由领域的奠基石。在这篇文章中，作者建立了无向图中增加问

题的整数规划模型。二元整数变量 ( )ijx i j< 表示边 ( , )i jv v 的重复次数。对于节点

集合 V 的任意非空子集 S，令 ( ) ( , ) :{ , \ or \ , }i j i i i jS v v v S v V S v V S v Sδ ∈ ∈ ∈ ∈= ，

原问题的形式化模型如下：

( , )

( , )

(UCPP) min

Subject

to 1, ,

0, ( , )

2.1

2.2

（）

包含奇数个偶度节点

≥

（）≥

i j

i j

ij ijv v E

ijv v E

ij i j

c x

x S V S

x v v E

∈

∈

⊂

∈

∑

∑ 2.3

( , ) 2.4是整（）数

（）

ij i jx v v E∈

Edmonds 和 Johnson 证明了不等式系统式（2.2）和式（2.3）的解集关联的多

面体等价于 UCPP 可行解的凸集。他们还指出，以上整数规划模型可以在多项式

时间内求解，首先计算出每个奇度节点时间的最短路径，然后再计算奇度节点集

上的最小权匹配问题。该问题可以应用Edmonds之前研究的最小权匹配算法求解。

2. 有向中国邮路问题

一个强连通有向图是欧拉图的充要条件是：每个节点的入度等于出度。这个

结论由 Ford 和 Fulkerson 在 1962 年正式给出（1962,p.60）[16]，但是在之前的很长

一段时间里，该结论就已经为众人所知（它已经出现在 Konig1936 年的书里）[17]。求解有向图中增加问题的算法由 Edmonds 和 Johnson（1973）[2]，Orloff（1974）

[18]以及 Beltrami 和 Bodin（1974）[19]等人同时提出。与无向图中寻找奇度节点集

上的匹配不同，在有向图中通过应用流算法使得节点的出度等于入度。换句话说，

令图中入度大于出度的节点集合为 I，I 中的任意一个节点 iv 的入度与出度之差设

为 is ，令图中出度大于入度的节点集合为 J，J 中的任意一个节点 jv 的入度与出度

之差设为 jd 。因此，可以认为 is 是供应， jd 是需求。有向图上的增加问题的形式

化模型如下： (UCPP) min

Subject to , ( ) 2.6

, ( ) 2.7

0,( , )

.

2 5

（）

（）

≥

（）i j

j

i

ij ijv I v J

ij i iv J

ij j jv I

ij i j

c x

x s v I

x d v J

x v I v J

∈ ∈

∈

∈

∈

∈

∈ ∈

∑∑

∑

∑

=

=

2.8（）

以上模型的最优解即最短邮路中每条弧的重复次数。只要按照最优解将原图

添成欧拉图，中国邮路可以由有向图欧拉回路的寻径算法求得，如 Hierholzer 算

法。有向图中另外一个常用的欧拉回路寻径算法是由 van Aardenne Ehrenfest 和 de Bruijn 在 1951 年提出的[20]。该算法的时间复杂度为 (| | | |)V AO + 。

科

学出版社


www.abook.cn

- 7


3. 混合中国邮路问题

Ford 和 Fulkerson（1962, p.60）于 1962 年首次提出了混合图满足欧拉性质的

充要条件[16]。首先，每个节点必须关联偶数条有向弧和无向边；另外，对于节点

集 V 任意的子集 S，从 S 到 \V S 的弧减去 \V S 到 S 弧的绝对值必须要小于或等于

S 和 \V S 到 S 之间的边数。但是，判定一个混合图是欧拉图以及混合图上的增加问题却是 NP 困难问题

（Papadimi-triou,1976）[21]，这一结论甚至当混合图是平面图以及图中所有边（弧）

的权值相等时也成立。目前，混合图上的增加问题一般采用整数规划的方法求解，

这些模型以边（弧）的重复次数为决策变量，根据模型最优解可以将原图添成欧

拉图。最具代表性的三个整数规划模型分别由 Christofides 等人（1984）[22]，

Grotschel 和 Win（1992）以及 Nobert 和 Picard（1996）[23]提出，其中，第一个模

型由分支限界算法求解，而另外两个模型均由分支切割算法求解。Nobert 和 Picard（1996）[23]给出了最为详尽的实验数据，他们计算了规模为16 | | 225,2 | |V A≤ ≤ ≤

5569,15 | | 4455E≤ ≤ ≤ 的 440 个算例，其中的 313 个算例在分支树的根节点处就

求得了最优解，并且在计算过程中生成的约束个数是 (| |)VO 的。当整数规划模型获得一个混合欧拉图时，很容易通过网络流技术确定欧拉图

中无向边的方向（见 Eiselt、Gendreau 和 Laporte, 1995 年的综述[24]）。然后，应用

有向图的欧拉回路算法可以得到混合图上的最优邮路。 Edmonds 和 Johnson 在 1973 年提出了混合中国邮路问题的启发式算法[2]。该

算法后来又分别由 Frederickson（1979）[25]和 Christofides 等人（1984）[22]所改进。

迄今最高效的启发式算法应是 Frederickson 提出的 MIXED1 和 MIXED2，这两个

算法的最坏情况近似度均为 2。若将两种算法一起应用于同一个算例，则最坏情

况下的近似度会降低到 5/3。

4. 风向中国邮路问题

风向中国邮路问题定义在无向图中，要求遍历每条边至少一次，但每条边均

关联两个不同的权值，代表顺风和逆风遍历该边所耗费的代价。该问题在 1979年由 Minieka 提出[26]，并分别由 Brucker（1981）[27]和管梅谷（1984）证明为 NP困难问题。但是，如果原图为欧拉图（Win,1989）[28]或者每个无向圈对应的两个

方向相反的有向圈的代价相等（Fleischner,1991）[14]，则该问题可在多项式时间内

求解。Win（1987, 1989）[28,29]以及 Grotschel 和 Win（1988,1992）[30,31]进行了一

系列分析风向邮路问题多面体结构的工作。这些作者提出了一个整数规划模型并

用分支切割算法求解了规模为52 | | 264 78 | | 489V E≤ ≤ ， ≤ ≤ 的 36 个算例，其中的

31 例子在分支树的根节点处就取得了最优解。


5. 层次中国邮路问题

层次中国邮路问题在 1987 年由 Dror、Stern 和 Trudeau（1987）[32]首次提出，

它能够为街道服务具有优先级的扫雪车路线设计问题（Stricker, 1970[33]; Lemieux和 Gampagna, 1984[34]; Alfa 和 Liu, 1988[35]; Haslam 和 Wright, 1991[36]）、垃圾收集

问题（Bodin 和 Kursh, 1978[19]）以及火焰切割问题（Manber 和 Israni, 1984[37]）提

供新的优化方法。层次邮路问题是 NP 困难问题。但 Dror 给出了该问题能够在多项式时间解决

的特例。该特例需要满足如下约束：①图 G 是无向图或者是有向图；②属于同一

有限集的边集或弧集 pC 中的次序关系是完全的；③属于同一优先级的边集或弧集

是连通的。Dror 提出了一个 5( | | )k VO 的算法求解这种特例，其中 k 是优先级数。

2000 年，Ghiani 和 Improta 发现以上层次邮路问题的特例可归结为辅助图上的匹

配问题求解，其中辅助图的规模是 ( | |)k VO [38]。Letchford 和 Eglese（1998）[39]

又提出了层次路由问题的一个变体，并用分支切割算法求解该类问题中小规模的

例子。

6. 乡村中国邮路问题

Orloff（1974）[18]首次提出了乡村邮路问题，Lenstra（1976）证明了 RPP 是

NP 完全问题[40]。Christofides（1981）[41]给出了 RPP 的整数规划模型，并基于拉

格朗日松弛法给出了 RPP 的分支限界算法；Corberan（1994）[42]改进了 Christofides的模型，提出了割平面算法；Frederickson（1979）[25]基于 TSP 的相关算法，给出

了 RPP 的启发式算法；Christofides 等（1981）[41]基于最小生成树给出了 RPP 的

近似算法；Hertz 等（1999）[43]根据 TSP 的“2-opt”思想，改进了 Frederickson（1979）的启发式算法；Ghiani（2006）[44]通过在算法的每步迭代中都插入需求边

的连通分量，同时进行局部邮路的再优化提出了新的启发式算法，其性能优于

Frederickson（1979）的算法。

7. 中国邮路问题的应用研究历史

总体上，CPP 问题应用主要分为两大类：①许多传统的理论问题可以归结为

CPP 问题，例如图论中的圈装箱问题；②现实应用，诸如投递路线、扫雪铺砂、垃

圾收集、校车设计以及 VLSI 超大规模集成电路设计等实际网络优化问题；③诸

如系统测试领域的硬件、软件和协议测试问题以及物理学中著名的自旋玻璃问题

等逻辑网络优化问题。传统 CPP 在通信协议测试领域模型检验技术的形式化验证中有着重要应用。

最初，Uyar 等人（1987）[45]和 A.V.Aho 等人（1991）[5]基于有穷自动机理论应用

传统的中国邮路和乡村中国邮路算法对协议的一致性测试序列进行优化。但是这

科

学出版社


www.abook.cn

- 9


些研究没有考虑通信协议中大量存在的时钟和协议对状态自循环的时钟约束。于

是 Uyar（1999）对自动机状态的连续自循环次数加以限制，利用乡村中国邮路算

法进行测试序列优化[46]。2006 年，贝尔实验室中国研究院的 Caixia Chi 应用中国

邮路问题给出了一种用于复杂通信系统中功能交互检测的测试序列生成方法[47]。

这些研究启发我们是否可以用时变网络优化方法来解决上述问题的思考。我们研

究表明与运行环境的交互存在时间约束的实时系统和通信系统来说，时变网络中

国邮路问题优化技术为实时系统的测试问题提供了新的技术途径。为此，我们提

出了基于时间自动机和时变网络中国邮路测试方法的研究内容。综上所述，时变

网络中国邮路问题的研究不仅仅进一步发展和丰富了时变网络优化的理论体系，

而且可以为其他领域，尤其是实时系统测试领域提供了解决问题的新方法。

2.2 时变网络优化理论的研究现状和发展趋势

时变网络优化理论起源于不同学科领域的问题对网络中的时间约束和时变特

性的日益关注，先后提出了时间依赖的网络的优化问题和带有时间窗的网络优化

问题，并经历了这样一个历史发展过程。从理论上，人们经历了传统的网络优化

理论完全适用、有条件地适用，到某些问题完全不适用的发展历程。从问题种类

上，人们经历了解决一类点路由问题到弧路由问题的过程；从问题的难度上，人

们经历了在传统网络优化问题是 P 问题，到时变网络中变成更加困难的 NP 困难

问题的认识过程。从计算方法上，人们经历了数学方法、计算机算法到计算智能

方法的历程。下面分别介绍 50 多年来，先后得到研究的三类重要的时变网络优化

问题。

1. 时变网络最短路问题

时变网络优化问题最早得到研究的问题是最短路径问题。早期，人们认为

传统最短路算法在时变网络中依然适用。图灵奖得主 Cooke 和 Halsey[48]是第一

个研究最短路径问题的学者，他们扩展了 Bellman 的最优化原理[49]以求解多源

点单目标节点的最短路径问题。加州大学伯克利分校 Dreyfus（1969）第一个给

出了改进 Dijkstra 算法求解 TDSPP[50]，并断言该算法会像静态最短路径问题一

样有效。对于给定的起始时刻，Dreyfus 算法与 Dijkstra 算法有着相同的复杂度。

这也就是说，Dreyfus 认为 TDSPP 属于 P 类问题。密西根大学 Kaufman 和 Smith（1993）[51]给出反例说明 Dijkstra 算法是不正确的，并给出了 FIFO 条件来限制

“病态”实例的出现，即对于网络上的每条弧(i, j)，较早离开节点 i 会较早到达

节点 j，Dreyfus 的算法能够正确应用于 FIFO 网络。2010 年，Giacomo 给出了

Dreyfus 算法的加速策略[52]。Kaufman 等人[51]探讨了传统 Dijkstra 算法在时间依

赖网络中的适用性，但并没有从理论上给出证明，并且对 Bellman 的最优化原理


在时变网络中是否成立的认识存在局限性。文献[54,55]证明了非 FIFO 的 TDSPP是 NP 困难问题。

时变网络最短路径问题的算法是通过修改传统问题的算法进行的。最初，有

两位著名教授 Cooke（1966）[48]和 Drefus（1969）[50]分别根据两位国际著名科学

家——动态优化原理的创始人 R.E.Bellman 和图灵奖获得者 Dijkstra 所研究的静态

网络最短路径问题求解方法，分别提出了时变网络的最短路径算法。其后，若干

学者（Ahn 和 Shin, 1991; Kaufman 和 Smith, 1993; Chabini,1998）发现 Dreyfus 算法只能在 FIFO 网络上才能求得最优解。根据 TDSPP 问题是否满足 FIFO 性质，

TDSPP 的算法研究进展可分为以下两类。（1）给出一些条件使得 TDSPP 满足 FIFO 性质，使得传统算法是可用的，代

表性的工作有 Lan[56]给出了 NPP（Non-Passing Property）条件，并提出基于流速

的最短路径算法。Grier 等[57]利用改进的 A*算法有效地改进了算法，求解了弧的

旅行时间满足先进先出（FIFO）特性的最小时间路径问题。（2）另一种研究思路是对“病态”实例的情况不加限制，直接研究非 FIFO

网络的 TDSPP，代表性的成功研究是 Ziliaskopoulos 和 Mahmassani [58]以及 Wardell和 Ziliaskopoulos[59]分别提出的修正的标号算法。Chabini[55]提出了时间变量集合上逆

向的标号设置算法，这些算法均不需要 TDSPP 满足 FIFO 特性。Halpern（1977）研究了非 FIFO 网络节点上允许有限时间等待的 TDSP 问题。Orda 和 Rom（1990）更深入地研究了等待策略对 TDSP 的影响。他们扩展了 Cooke 和 Halsey 的模型以

适应任意的旅行时间函数，包含那些不满足 FIFO 性质的函数。另外，根据时间依赖旅行时间函数是否连续，TDSPP 的算法研究也可划分为

以下两类。（1）对于连续的时间依赖函数，代表性的研究成果见 Orda 等人、Pall 等人以

及 Philpott 等人给出的 TDSPP 的一些研究结果[60～63]。（2）最近，又有学者针对非连续的时间依赖函数开展的 TDSPP 的研究，Iori

（2008）[64]则为分段连续的问题提出了一个新的类 Dijkstra 算法；Giacomo（2010）[52]

给出了分段线性旅行时间函数的非 FIFO 最短路径问题的混合整数规划模型，并

基于该模型给出了分支限界算法，他们将基于超平面的分支和基于单个变量的分

支混合起来，提出了一个新的分支策略。最后，为任意时间依赖函数的问题提出

了一个混合非线性整数规划模型，并提出了一个综合由 VNS、局部分支、NLP 局

部搜索和分支限界的高效的启发式算法。 TDSPP 的研究引起了众多学者的重视，还产生了许多 TDSPP 的变体问题。

他们包括多目标的 TDSPP[65～68]，最优不相接的 TDSPP[69]，带弧标号约束的最短

路问题 [70]，方法依赖旅行时间的标号约束最短路问题 [71,72]，带模糊约束的

TDSPP[73]，随机的 TDSPP[74]，逆向的 TDSPP[75]。

科

学出版社


www.abook.cn

- 1


2. 时变网络点路由问题

点路由问题包括 TSP 问题和 VRP 问题，VRP 问题是著名科学家线性规划鼻

祖 G.Dantzig 在 1959 年提出的，而 TSP 问题是 VRP 问题仅有单一车辆的一个特

例。由于传统的 VRP（TSP）问题是 NP 困难问题，其算法研究主要分为精确解

和近似解两部分。时变网络的 VRP 和 TSP 问题的算法研究也沿袭了传统问题的

求解方法，目前主要包括线性规划方法和一些计算智能算法。其中，线性规划方

法适合解决离散的时间依赖网络的 VRP 和 TSP 问题，代表性的工作有 Picard（1978）[76]、Fox（1980）[77]和 Malandraki（1992）[78]，这些工作都是针对无向图

的。2007 年，Jose Albiach[79]等人又在非对称 TDTSP 的精确解方面获得突破。另

外，线性整数规划方法在带时间窗的问题中也十分成熟，具体分为以下四类。（1）以弧-点流量为决策变量[80,81]。（2）以弧上流量为决策变量[82,83]。（3）以生成树中流量为决策变量[84]。（4）以路径中流量为决策变量[85～100]。其中，麻省理工学院的 Desrochers 等人[86]提出以路径流量为决策变量的线性

规划模型和列向量生成算法对 VRPTW 研究影响深远[101]，路径流量作为决策变量

的线性规划模型成为 VRPTW 精确解研究的主导。然而，生成树决策变量与之相

比不是主流方法，目前还没有研究能证明生成树决策变量的线性规划模型比路径

决策变量的线性规划模型更有效。另外，用多平面方法来解决的弧决策变量线性

规划模型（2007）是最近出现的比较有希望的方法[82,83]，但相关研究较少。计算

智能算法主要用来解决连续时间的时间依赖的 VRP 和 TSP 问题，代表性的工作有：

Malandraki 等人[102]、Byong-Hun[103]、Russ[104]给出启发式算法来求解该问题，而禁

忌采用搜索算法（2003）[105]、蚁群算法（2003,2008）[106,107]、遗传算法（2005）[108]

等人工智能算法也用来对 TDVRP 问题进行求解。而带时间窗的 VRP 和 TSP 问题

的计算智能算法研究更加广泛，VRPTW 的启发式算法可以分为结构启发式算法

（如文献[109～114]的插入启发式算法）、改进启发式算法（局部搜索）[115～123]、智能

算法。其中，智能算法是目前主流的解法。首先，模拟退火算法[124～127]和禁忌搜

索算法[128]最先用来解决 VRPTW 问题，后来禁忌搜索成为解决 VRPTW 的主要方

法[129～133]；然后，进化策略[134～138]和蚁群算法[139,140]几乎同时应用到 VRPTW 中；

最后，遗传算法[141～147]也有应用，但是，遗传算法得到的解没有禁忌搜索好，而

Prins 等人（2004）[144]给出的简单有效的混合遗传算法缩小了这种差距。另外，

其他的智能算法主要有：两阶段智能算法[148,149]和引导局部搜索算法[150,151]，以及

遗传算法、禁忌搜索和模拟退火相结合的方法[152]。可见，当前最流行的智能算法

几乎全应用到 VRPTW 中。然而，最近 VRPTW 的研究更贴近实际应用，比如大

规模的 VRPTW 问题（2005）[153]、多目标的 VRPTW 问题（2006）[91,138]和 VRPTW


的一般化问题（2004）[133]以及关联时间窗的 VRP 问题（2006）[123]等，VRPTW的变体都成为新的研究热点。

3. 时变网络中国邮路问题

目前，传统的中国邮路问题等价于在静态网络（权值是固定的）中添加最小

代价的边/弧集来构造最优欧拉图问题，而时变网络的中国邮路问题等价于在时变

网络中（节点具有时间约束，边/弧的权值随时间变化函数）添加最小时间代价的

边/弧集来构造最优欧拉图问题，这无疑增加了问题的复杂性。目前，人们研究了时间窗的中国邮路问题和时间依赖服务代价中国邮路问题。

Mullaseril（1996）[154]将时间窗 CPP 转化成车路由问题（VRP，著名的 NP 困难问

题）间接给出整数线性规划模型，Laporte（1997）[155]也给出了类似的转化方法。

Aminua（2006）[156]给出时间窗 CPP 的约束规划模型。另外，Tagmouti 等人[157～159]

的一系列工作也是利用弧转换方法将时间依赖服务代价 CPP 转换为相应的 VRP求解。由于点路由问题的研究要远远多于弧路由问题，因此，弧路由转换方法的

优点是可以直接利用点路由问题的已有算法求解复杂的弧路由问题。但是，在本

文中我们却证明了弧路由方法不能求解时间依赖旅行时间的中国邮路问题。而且，

VRP问题并不比CPP问题更容易，这种转化对于降低问题的求解难度也没有好处，

因此直接求解方法有待突破。2002 年，WangHsiao-Fan[160]提出了直接求解带时间

窗的中国邮路问题的整数线性规划模型。但是，我们研究发现该模型仅对某些特

例是有效的，对大部分网络不能正确求解，为此我们给出了一个能够求解适用于

所有网络情况的数学模型。

2.3 问题的提出和本书的主要贡献

2.3.1 存在的问题

综上所述，时间依赖网络中国邮路问题是国际上尚未见到研究报道的新问题，

该问题的研究不仅仅进一步发展和丰富了时变网络优化的理论体系，而且可以为

其他领域，尤其是实时系统测试领域和动态系统调度领域提供了解决问题的新方

法。目前，亟需解决的问题和有待进一步研究的工作主要包括以下几点。

1. 从三方面对时变网络中国邮路问题的基础性质和基础理论进行分析

（1）计算复杂性理论。TDCPP 是一个全新的问题，研究该问题的计算复杂性

理论能够为求解该问题提供正确的指导。若 TDCPP 属于 P 类问题，我们将致力

于寻求该问题的多项式解法；若 TDCPP 被证明为 NP 困难问题，则不再强调最优

解，而是研究该问题的启发式解法。

科

学出版社


www.abook.cn

- 1


（2）传统算法的适用性。自 CPP 问题提出后，至少有近百位科学家研究了

十余类 CPP 问题，并提出了许多优秀算法，研究这些算法是否在时变网络中依

然有效，将会为修正和改善已有算法并创造性地设计新算法奠定理论基础。（3）最优化原理。最优化原理在时变网络中往往是不正确的，探寻满足最优

化原理的时变网络特例，并研究此类网络中 TDCPP 问题最优解的性质，据此设

计出高效的算法。

2. 从两方面入手建立时变网络中国邮路问题的数学规划理论体系

（1）直接建立整数规划模型。Dror 在 2000 年指出了时间相关弧路由问题直

接建模的困难，目前仅有中国台湾国立清华大学的汪小帆教授给出了时间窗 CPP的直接建模工作[160]，但是该模型只能适用于网络中的圈全过原点的特例。

（2）多面体组合学。多面体组合学理论是数学规划理论研究的难点，对 TDCPP多面体进行研究可以为设计最有效的整数规划方法提供理论依据和指导。目前，

传统路由问题的多面体组合学的研究已取得了比较显著的成果，但是，在时变网

络优化领域尚未见到相关的理论成果。

3. 提出时变网络中国邮路问题的三类算法

（1）根据时变网络的某些特殊性质（例如，FIFO（First In First Out）性质），

设计分支限界、动态规划等精确求解时间依赖中国邮路问题的算法。（2）研究基于多面体组合学的割平面类算法求得时间依赖中国（乡村）邮路

问题的下界。（3）基于时间自动机理论，给出三类时变 CPP 问题：时间窗 CPP、时间依赖

旅行时间 CPP、时间依赖服务代价 CPP 的统一求解框架及智能算法。

2.3.2 本书的主要贡献

时间依赖中国邮路问题引入了时间变量，突破了七类传统 CPP 的局限性，符

合当今各个领域时变特性的需求，具有重要的理论和应用价值。但是，时变特性

使得新问题变得十分困难，传统理论的正确性在时变网络中被颠覆。TDCPP 的计

算复杂性需要重新认识并提出新的网络优化算法，TDCPP 的数学规划模型及多面

体理论体系亟需建立。为了建立时变网络 CPP 问题新的理论、模型和算法等完

整的体系，本书主要进行了五方面的研究工作：①时间依赖 CPP 的计算复杂性

理论研究；②传统算法在时间依赖网络中的适用性研究；③FIFO 网络 CPP 的优

化原理及精确算法研究；④时间依赖（乡村）CPP 问题的多面体理论及数学规划

方法研究；⑤基于时间自动机理论的三类时变网络 CPP 问题的统一模型和求解框

架研究。


1. TDCPP 计算复杂性理论研究

传统中国邮路问题是由中国数学家管梅谷首次提出的著名弧路由问题。无向

和有向的 CPP 均属于 P 问题，Edmonds 和 Johnson 在 20 世纪 70 年代给出这两类

CPP 问题的多项式算法，成为弧路由问题研究的里程碑。在时变网络中，旅行时间是随时间变化的函数，这使得弧路由问题的求解变

得十分困难。时变网络中的有向 CPP 是否仍然是 P 问题，这个问题是 TDCPP 的

优化原理和求解算法研究的理论基础，是本书要回答的首要问题，我们将 TDCPP多项式图灵规约为工件排序问题，证明了即使时间依赖网络满足欧拉性质，

Non-FIFO 网络的 TDCPP 也属于 NP 困难问题；更进一步地，我们又将 TDCPP 多

项式图灵规约为划分问题，证明了即使时间依赖网络满足欧拉性质，FIFO 网络的

TDCPP 也属于 NP 困难问题。这些结论对寻求 TDCPP 的多项式算法给予否定，为我们研究 TDCPP 的数学

规划方法和启发式算法提供了理论依据。

2. 传统 CPP 算法的局限性

1962 年，CPP 问题由管梅谷教授提出，在之后的 40 多年里，至少有近百位

科学家研究了十余类 CPP 问题，并提出了许多优秀算法。其中，代表性的研究包

括管梅谷提出的无向 CPP 问题（1962），Edmons 和 Johnson（1973）提出的有向

和混合 CPP，Minieka（1979）提出的风向 CPP 以及 Orloff（1974）提出的乡村

CPP 等。这些问题最具影响的算法主要分为两大类：①二阶段算法；②弧路由转

换方法。在时间依赖网络中，网络参数呈现出复杂的时变性，以往的两类 CPP 算

法是否还适用于 TDCPP 问题，回答这个问题是本书研究 TDCPP 求解算法的第一

步尝试。（1）我们建立了以往所有二阶段算法的形式化模型。然后，通过分析该模型

得出结论：在时间依赖网络中，算法的第一阶段不再独立于第二阶段，算法的两

阶段间存在互相依赖关系；因此，二阶段算法在时间依赖网络中不再适用。（2）我们研究发现，当前弧路由转换方法的核心是通过多次对静态的参数求

最短路径，从而在多项式时间内将弧路由转换为 TSP（Traveling Salesman Problem）

或 VRP（Vehicle Routing Problem）问题。但是在时间依赖网络中，弧路由转换方

法则变得不能在多项式内完成。例如，在 Non-FIFO 网络中，最短路问题本身就

属于 NP 困难问题。而且我们从理论上证明了，即使网络满足 FIFO 性质，弧路由

转换方法也是指数时间的。综上所述，当前所有用于求解弧路由问题的算法均不能有效地求解 TDCPP

问题。这使得我们将 TDCPP 求解的研究方向定为提出单阶段的创新性求解策略。

科

学出版社


www.abook.cn

- 1


3. FIFO 网络有向 CPP 分支限界算法和动态规划算法研究

通过我们的研究发现，传统算法不再适用于 TDCPP。因此，我们开展了 TDCPP问题新求解策略的研究。在以往时间依赖网络优化问题的研究中，人们发现 FIFO特性往往会使得问题求解简单。所以，我们首先研究了 FIFO 网络的 TDCPP 问题，

并发现了该问题的两个最优解性质。根据这两个性质，TDCPP 的最优解可以通过

多次求解最短路径问题而得到。我们提出了分支限界算法，将以上两个性质作为

支配关系，取得了很好的剪枝效果。实验表明，支配关系往往能在离分支树根节

点更近的高度剪枝，更有效地缩短求解时间。我们的分支限界算法可以在 Intel E4500 下在 1h 内求解 70 个节点规模的 TDCPP 问题。另外，具有 FIFO 性质的

TDCPP 满足最优化原理，因此，我们证明了 TDCPP 最优解满足的递推公式，并

给出一个动态规划算法。该算法的时间复杂度为 2( 2 )nmnO ，其中 m 为网络的弧

数，n 为节点数。实验表明，该动态规划算法的计算时间比上面提出的分支限界

算法快 10 倍左右。

4. TDCPP 的数学规划模型研究

时间相关的弧路由问题很难直接建模，以往的研究均采用弧路由转换方法间

接求解。通过我们的研究发现，时间相关弧路由问题直接建模的难点在于弧的遍

历次数难以确定，弧的服务时间难以确定。为了克服这两类困难，我们提出了时

间依赖中国（乡村）邮路问题四类整数线性规划模型：圈变量模型、交错圈变量

模型、弧变量模型和衔接路径变量模型。 2002 年，中国台湾国立清华大学的 Wang 和 Win 首次给出了 CPPTW 问题的

基于迭代（Iteration）变量的整数规划模型。我们在研究中发现，该模型中的迭代

实际就是网络中的圈，而且 Wang 和 Win 的模型中存在两个缺陷：①迭代次数上

界估计错误；②模型只能求解所有圈均过原点的特例。针对第一个缺陷，我们利用树形图理论证明了覆盖网络中所有弧的最大圈数

上界为 1m n− + ，进而借鉴 Wang 和 Win 的建模思路，提出了 TDCPP 问题的圈

变量整数线性规划模型。针对第二个缺陷，我们利用最小反馈弧集理论结合最大流算法将 TDCPP 的

一般算例转换为圈均过原点的特例，然后稍微修正圈变量模型即可正确求解转换

后的问题。然而，这种转换方法使得问题规模增大，因此，我们又在圈变量模型

的基础上，增加节点的前驱后继决策变量，提出了交错圈变量模型求解 TDCPP问题的一般算例。

另外，我们又以弧作为基本决策变量提出了弧变量的整数规划模型。与圈变

量模型的思路不同，圈变量模型通过确定邮路中圈数上界从而确定了弧的遍历次

数上界。而弧变量模型假设弧的遍历次数上界是一个合理的整数，根据不断调整


该上界的值，逐步逼近问题的最优解。最后，针对 TDCPP 的一般化问题——时间

依赖网络的乡村邮路问题，提出了以服务弧和路径交错向量为基本变量的弧-路径

变量线性整数规划模型。该模型适用于 TDRPP 的一般算例。

5. 时间依赖网络邮路问题的多面体理论分析

时间依赖网络的优化问题由于十分复杂而鲜有研究。迄今为止，时间依赖的

弧路由问题尚属我们首次研究。然而自 20 世纪 80 年代以来，TDTSP（时间依赖

旅行商问题）和 TDVRP（时间依赖车路由问题）被提出后，所有学者均致力于问

题的启发式近似求解或将问题转换为静态点路由问题求解，一直未见时间依赖路

由问题的多面体理论的研究。我们在圈变量模型和弧-路径变量模型的基础上，研

究了时间依赖中国（乡村）邮路问题的多面体结构。首先根据决策变量将模型中

的不等式集合分为两类：①时间无关约束；②时间相关约束。其中，时间无关约

束刻画了邮路中弧的遍历次数和遍历次序，具有良好的组合结构，有利于多面体

理论分析。在 TDCPP 问题的圈变量模型中，时间无关约束关联的部分多面体称为圈排列

多面体，我们通过构造圈空间中极大线性无关圈向量的排列得到线性无关的时间

依赖中国邮路问题可行解，由此证明了圈排列多面体的维数，并借鉴传统 CPP 的

奇割极大面的思想，找到并证明了圈排列多面体的一个极大诱导不等式。在 TDRPP 问题的弧-路径变量模型中，时间无关约束关联的部分多面体称为

弧-路径交错序列多面体，我们通过构造线性无关的需求弧序列以及向路径序列中

构造线性无关的圈向量得到仿射无关的时间依赖乡村邮路可行解。由此证明了弧-

路径交错序列多面体的维数，为了消除邮路中的孤立子回路，我们还提出并证明

了一类极大诱导不等式。其次，模型中的时间相关不等式是很弱的线性松弛，因此我们提出了两类强

有效的时间相关不等式，并设计了时间依赖网络邮路问题的割平面算法。

6. TDCPP 的时间自动机模型研究

以上的研究集中在时间依赖旅行时间 CPP 问题（TDCPP）。国际上，与 TDCPP同属于时变网络 CPP 问题的，还有时间窗 CPP 和时间依赖服务代价 CPP。这些问

题只是在时变参数上存在差异，但求解方法却不能兼容，问题稍加改变就需要寻

找新的不等式和新的算法。与运筹学的方法相比，时间自动机模型能够更直观地

表达问题的时变属性，能够为求解时变网络优化问题提供新的理论和方法。本文

基于时间自动机理论提出了时间窗、时间依赖服务代价以及时间依赖旅行时间三

类时变网络中国邮路问题的统一建模的语义模型和求解方法。首先，将中国邮路

问题可行解条件和时变参数与时间自动机联系起来，建立了三类问题的统一时间

自动机系统（TAS）模型；然后，将时变网络中国邮路问题归结为 TAS 模型上的

科

学出版社


www.abook.cn

- 1


一系列可达性判定问题，利用形式化验证算法给出了有效的求解方法。由于 TAS模型中存在 (| | | | 1)RO A A+ + 个时间自动机，限制了问题求解规模。为此，我们通

过扩展时间自动机语义，提出了 TAS 模型中的时间自动机合并策略，进而将 TAS模型转换成一个广义时间自动机（GTA）模型。基于 GTA 模型，我们利用 UPPAAL工具对 9 组共 54 个随机算例进行实验，实验表明本文方法在求解精度上明显优于

运筹学领域的方法。

2.3.3 本书的组织结构

本书的组织结构如下。第 3 章研究 TDCPP 问题的理论基础。首先证明了 TDCPP 问题是 NP 困难问

题，然后讨论了两类经典的传统 CPP 算法在时变网络中的适用性，最后给出了

FIFO 网络中 TDCPP 问题的最优解性质，提出了分支限界算法和动态规划算法两

类精确解法。之后的第 4 章到第 7 章建立了 TDCPP 问题的求解模型和方法体系，尤其是

数学规划理论方法体系。在数学规划理论中基于多面体组合学的割平面算法是求

解 NP 困难问题最有效的方法。第 4 章给出了 TDCPP 问题的圈决策变量整数规划模型，并对 TDCPP 的部分

多面体进行了分析，进而提出了割平面算法。但是第 4 章给出的整数规划模型只

能够求解图中所有圈均过原点的 TDCPP 问题特例。第 5 章给出能够将 TDCPP 问题的一般算例转换为圈过原点特例的方法，同

时也给出了能够求解 TDCPP 一般算例几种整数规划模型。第 6章从多面体组合学的角度研究了TDCPP的一般化问题——时间依赖网络

乡村邮路问题，提出了一个以弧-路径作为基本决策变量的整数规划模型，证明了

模型中部分多面体的维数和极大诱导不等式，并设计了割平面算法。第 7 章提出基于时间自动机理论给出了各类时变网络 CPP 问题的统一求解模

型和框架。最后给出了结论以及将来需要完成的工作。

第 3 章时变网络中国邮路问题的

基本性质和精确算法

3.1 问题的提出

不同于传统 CPP 问题，时间依赖网络中国邮路问题（TDCPP，见定义 1.1）属于时间敏感的中国邮路问题。根据我们的调查，这类问题很少有人研究，目前

仅有带时间窗的中国邮路问题（CPPTW）[154]和时间依赖服务代价的中国邮路问

题（CPPTDC）[157]。与以上两类问题相比，TDCPP 问题对时间更加敏感，具体表

现在：在 CPPTW 和 CPPTDC 问题中，旅行时间为常数，一旦源点和终点确定，

则两点间的短旅行时间就是一个固定的常值；然而在 TDCPP 问题中，旅行时

间随时间变化，两点间的短旅行时间也随着时间变化。因此，TDCPP 问题更难

求解。在给出 TDCPP 的求解方法之前，我们更关心如下问题：传统中国邮路问

题的性质和算法在时间依赖网络中是否依然适用？如果这个问题的答案是肯定

的，我们就可以利用传统性质，借鉴传统算法有效求解 TDCPP 问题；否则，我

们将给出新的求解思路和方法。本章主要围绕以下三方面开展研究。欧拉性质以及 FIFO 性质能否改变 TDCPP 问题的 NP 困难性质？欧拉性质是

传统 CPP 理论研究的核心。定义在欧拉图上的 CPP 问题更容易求解。例如，无向

和有向 CPP 问题若定义在欧拉图上，则两问题直接退化为寻找欧拉回路问题，可

以分别由 End-Paring 算法和 Spanning Arborescence 算法求解。再如，混合 CPP 和

风向 CPP，这些典型的 NP 困难问题，一旦定义在欧拉图上就变成了多项式可解

的 P 问题。另外，FIFO 性质对时变网络优化问题有着重要影响，例如，时变短

路问题是 NP 困难问题，若满足 FIFO 性质，则该问题就变成了 P 问题。很多学者

都致力于满足 FIFO 性质的时变网络问题的研究[105,164]。但是，无论时变网络是否

满足 FIFO 性质，我们均从理论上证明了：除非 P＝NP，TDCPP 是 NP 困难问题，

甚至原图是欧拉图的结论也同样成立。传统的二阶段算法是否仍然适用于 TDCPP 问题？二阶段算法广泛应用于各

类传统的中国邮路问题。其中，算法的第一阶段确定小代价欧拉图 G；该阶段

一般通过整数线性规划模型求解。例如，无向和有向 CPP 分别建立匹配问题和

小费用流问题的整数线性规划模型，通过这些模型可以在多项式时间内求得小

代价欧拉图；混合 CPP 和风向 CPP 等 NP 困难问题有效的精确算法是通过建立

整数线性规划模型并用分支切割算法求解[24]。第二阶段在小代价欧拉图 G 上寻

科

学出版社


www.abook.cn

- 1

第 3 章时变网络中国邮路问题的基本性质和精确算法 ·19·

找一条欧拉回路，这可以在多项式时间内解决[3]。二阶段算法已非常成功地应用

于求解传统 CPP，那么，我们是否可以借鉴二阶段算法的思想来求解 TDCPP 问

题？本章将通过理论分析，给出否定的答案。应用弧路由转换方法求解 TDCPP 存在哪些缺陷？弧路由转换方法是以往求

解时间敏感 CPP 问题的唯一精确算法。该方法将原 CPP 问题后转换为相应的点路

由问题后再求解[155, 165, 166]。尽管这种转换会使问题规模增加，但是弧路由转换方

法的主要优点是：点路由的良好的形式化模型和算法可以不经过修改而直接应用

于求解转换后的问题。弧路由转换方法通过多次调用短路径算法完成转换，由

于以往问题均基于常数旅行时间的假设，短路算法是多项式时间的，因此弧路

由转换方法是多项式时间的。但是，在时间依赖网络中，两点间的短路径是随

时间变化的[53]，我们从理论上证明了弧路由转换方法不能在多项式时间内完成。尽管以上三个问题的答案均是否定的，但是，我们也给出了有助于求解

TDCPP 问题的研究结果—— FIFO 性质能够使得 TDCPP 问题变得容易求解。我们

发现了 TDCPP 问题在 FIFO 网络中满足的两个优解性质，并据此提出了分支限

界算法和动态规划算法。实验结果表明，分支限界算法的求解效果和 FIFO 网络

的欧几里得性质有关，动态规划算法明显优于分支限界算法，在平均情况下，后

者的效率是前者的 10 倍左右。本章余下内容的安排如下：在第 3.2 节中对 TDCPP 问题的计算复杂性进行

分析；第 3.3 节探讨传统 CPP 问题的算法在时变网络中的适用性；第 3.4 节给出

FIFO 网络中 TDCPP 问题满足的优解性质；第 3.5 节和 3.6 节给出分支限界算法

和动态规划算法；后是实验结果和小结。

3.2 TDCPP 问题的计算复杂性理论研究

由定义 1.1 可知，TDCPP 与传统 CPP 问题不同，该问题中弧的旅行时间是起

始时刻的函数。这使得 TDCPP 与传统 CPP 问题的性质截然不同。众所周知，传

统的无向和有向 CPP 问题是 P 问题，而且定义在欧拉图上的混合和风向 CPP 也

具有多项式算法。但是本节将证明在时间依赖网络中，CPP 问题变为了 NP 困难

问题，即使问题满足欧拉性质，该结论也一样成立。

3.2.1 非 FIFO 网络 TDCPP 是 NP 困难问题

为证明 TDCPP 的 NP 困难性质，我们构造从区间排序问题到该问题的多项式

时间图灵归约，其中，区间排序问题是经典的 NP 完全问题[167]。定义 3.1 区间排序（Sequencing Within Intervals）已知： 1 2{ , , , }nJ J J…J = 是有限任务集合，每个任务 jJ ∈J 关联一个到达时

刻 0ja ≥ 、一个后期限 jd Z +∈ 以及一个加工时长 jp Z +∈ 。


问题：对于J ，是否存在一个可行的任务调度表，使得对于每个任务 jJ ∈J ，

其起始加工时刻为 jδ ，若 j jaδ ≥ ，则有 j j jp dδ ≤+ ；对于任意两个不同任务 jJ ，

lJ ∈J ，则有 l l jpδ δ≤+ 或者 l j jpδ δ≥ + 。定理 3.1 即使满足欧拉性质，TDCPP 也是 NP 困难问题。证明：首先，由于 TDCPP 问题是一类优化问题，因此，TDCPP 问题不属

于 NP 类[167]。然后，我们按如下方式构造区间排序问题Π ′到 TDCPP 问题Π 的

多项式图灵归约。如定义 3.1 所述，区间排序问题Π ′中，已知有限任务集合

1 2{ , , , }nJ J J…J = ，每个任务 jJ ∈J 都关联一个到达时间 0ia ≥ ，一个截止日期

id Z +∈ 和一个执行长度 ip Z +∈ 。下面构造与区间排序问题Π ′对应的 TDCPP 问

题实例 I。实例 I 定义在时间依赖网络 ( , )D V A= 上，如图 3.1 所示。其中， 0v V∈ 为源

节点，其他所有节点仅与 0v 相连，即 {(0, ),( ,0) | 1, , }A i i i n…= = 。D 中的每对弧 (0, )i和 ( ,0)i 对应区间排序问题Π ′中的任务 1,( ),iJ i n…= 。对于任意的 1, ,…i n= ，实

例 I 中弧对 (0, )i 和 ( ,0)i 的旅行时间函数定义如下：

0 0( ) ( )2 2 2 2max( ) max( )

i i i ii i i i

i i

i i

p p p pa t d a t dd t d t

d d

⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩否

≤

则

≤ ≤

否则

≤− += =

至此，区间排序问题Π ′对应的 TDCPP 问题实例 I ∈Π构造完毕。显然，这

个构造过程可在多项式时间内完成。

图 3.1 TDCPP 问题实例 I 的拓扑图

下面证明区间排序问题Π ′有解的充分必要条件是：I 存在优邮路 *fO ，且

优邮路 *fO 总的旅行时间 *( )fT O 满足 *

1

( )n

f ii

T O p=∑≤ 。

必要性：若Π ′有解，即 iJ∀ ∈J ，有 i i i ia d pδ≤ ≤ − ，且对于 , ,i jJ J∀ ∈J i j≠ ，有 (j j ipδ δ≤+ 或者 i j jpδ δ≥ + 成立。将任务集 J 中所有任务按 δ 值升序排序，不妨设排序为 1, , )nJ J… ，则 TDCPP 问题实例 I 的一个可行解

科

学出版社


www.abook.cn

- 2


为 101 1 10 1 0 0 0 0( ), , , ( ), , , ( ),

2 2 2… …i n

f i i i i n n n np ppO a a a a a aδ δ δ δ δ δ⎧ ⎫

⎨ ⎬⎩ ⎭

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + + 。

其中 0 ( )i ia δ 表示以 iδ 为起始时刻遍历弧 (0, )i ， 0 2i

i ipa δ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 表示以2

ii

pδ + 为起始

时刻遍历弧 ( ,0)i 。易得邮路 fO 总的旅行时间1

( )n

f ii

T O p=∑= 。由于 D 中的所有弧

均以小旅行时间被遍历，显然 I 中优解 *fO 总的旅行时间 *( )fT O 要小于或等于

( )fT O ，即 *

1

( )n

f ii

T O p=∑≤ 。

充分性：若 I 中优解 *fO 的旅行时间 *( )fT O 满足 *

1

( )n

f ii

T O p=∑≤ ，则 D 中任

意的一对弧 (0, )i 和 ( ,0)i 在邮路 *fO 中的旅行时间均为

2ip。易知 (0, )i 的起始时刻大

于或等于 ia ，(0, )i 的终止时刻小于或等于 id 。因此，可以找到区间排序问题Π ′的一个任务加工序列，其中 P 中的每个任务 iJ 均对应优邮路 *

fO 中的相应的弧对

(0, )i 和 ( ,0)i ，任务 iJ 的开始加工时间 iδ 等于弧 (0, )i 的起始时刻，易知

i i ia dδ≤ ≤ 。显然 P 是一个可行解。综上所述，若存在求解 I Π∈ 的一个算法 A 和求解Π ′的一个算法 A′，则 A′可

以通过调用一次 A 来得到Π ′的解，故 A′为从Π ′到Π 的多项式时间图灵规约，

即 TΠ Π′∝ 。所以，TDCPP 问题Π 是 NP 困难问题。

3.2.2 FIFO 网络 TDCPP 是 NP 困难问题

以上分析了一般时变网络的 NP 复杂性，下面证明，在满足 FIFO 性质的时变

网络中，以上结论仍然成立。首先给出 FIFO 网络的定义如下。定义 3.2 在 First-In-First-Out（FIFO）网络中，时变网络 D 是 FIFO 网络，

当且仅当 D 中的每条弧 ( )i j A, ∈ 满足 1 1 2 2( ) ( )ij ijt d t t d t≤+ + ，其中 1 2t t< 。在以往的时间依赖网络优化问题的研究中，对于非 FIFO 网络，可以选择适

当的等待时间来得到更小的旅行时间。另一方面，对于 FIFO 网络，优的决策

过程则并不包含任何等待时间，这意味着 FIFO 网络中的优化问题更容易求解。

比如，TDSSP 本身是 NP 困难问题，但是它在 FIFO 网络中是多项式可解的。因

此，在本节中我们将研究 FIFO 网络中的 TDCPP 的 NP 困难性质。下面的引理给

出了 FIFO 网络 TDCPP 中优解的一个性质。引理 3.1 FIFO 网络中国邮路问题优解的等待时间总和为 0。证明：令 TDCPP I 的一个优邮路为 0 1 1( ) [ ( ) ( )]f m mO t a t a t∗ , ,…= ，其中， it 是

遍历邮路 fO∗ 中第 i 条弧 ia 的起始时刻，特殊地， 1 0t t= 。假设邮路 fO∗ 中存在一

条弧 ia 满足 1 1 1( )i i i it t d t− − −> + ，其中 1 1( )i id t− − 是在 1it − 时刻遍历 1ia − 的旅行时间。若


弧 ia 上含有等待时间 1 1 1( )i i i it t d tε − − −= − − ，则优邮路 fO∗ 的结束时刻计算式为：

0 1( ) ( ) ( ) ( )m m

f j j i j j m m mj j iT O t d t t d t t d tε∗

= =∑ ∑= + + = + = + 。这种情况下，必定存

在一个非负数 i itt ε′ = − ，令 1 1 11( ) ( )i i i m m mi md dt t t t t t+ − −−, ,′ ′ ′ ′ ′ ′…= + = + ，则 I 的另一

个可行邮路 fO 构造为： 1 1[ ( ) ( ) ( )]i mi ma t a at t, , , ,′ ′… … 。 fO 的结束时刻为：1

0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i m m

j i j m mf j j j j mj j i j iT O t d t d d dt t t t t

−

= = =′ ′ ′ ′ ′∑ ∑ ∑= + + = + = + 。根据定义

FIFOTDN 可知，不等式 1 1i itt + +<′ 成立。同理，不等式 ( ) ( )f fT O T O∗< 成立，这与

fO∗ 为优解的假设矛盾。为了证明 FIFO 网络 TDCPP 问题的 NP 困难性质，我们将一个经典的 NP 完

全问题——划分问题[167]多项式时间图灵规约为 TDCPP 问题。下面给出划分问题

的定义。定义 3.3 [划分问题]例子：有限集 A 的任意元素 a A∈ 均关联一个权值

( )s a Z +∈ 。问题：是否存在一个 A 的子集 A A′ ⊆ ，使得 ( ) ( )

a A a A As a s a

′ ′∈ ∈∑ ∑= ？

定理 3.2 定义在满足欧拉性质以及 FIFO 性质的 TDCPP 是 NP 困难问题。证明：首先，根据定理 3.1 的证明可知，TDCPP 问题Π 不属于 NP 类。然后，

我们按如下方式构造划分问题Π ′到 TDCPP 问题Π 的多项式图灵归约。如定义 3.3 所述，设划分问题Π ′的有限集合为 1{ }nB b b, ,…= ，且 B 中的任意

一个元素 ib 关联一个权值 ( ) ( 1 )is b Z i n+∈ , ,…= ，令 ( )i

ib BS s b

∈∑= 。与划分问题Π ′

对应的 TDCPP 实例 I Π∈ 定义在如图 3.2（a）所示的 FIFO 网络 D 中。网络 D 中

每对弧 ( 0)i, 和 (0 )i, 关联的旅行时间函数如下 ( 1 )i n, ,…= ：

0 0

( ) 0 1( ) ( ) 2

i

i i

s b t Sd t d t

S

⎧⎪⎨⎪⎩

≤ ≤

其他

+= =

（a）FIFO 的时间依赖网络 D （b）加入了辅助节点 v 后的 FIFO 网络 D′

图 3.2 同时满足欧拉性质和 FIFO 性质的时间依赖网络中国邮路问题实例 I

另外，为了使 I 与Π ′完全对应，还需要在 D 中添加辅助节点 vν 以及辅助弧

科

学出版社


www.abook.cn

- 2


0( )vν , 和 0( )v ν, ，如图 3.2（b）所示。这两条辅助弧的旅行时间定义如下：

0 0

1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 1

S S S St td t d tν ν

⎧ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤< <⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩

≤ ≤

其他其他

+ += =

注意到对于任意的 1i n, ,…= ，弧 ( 0)i, 和 (0 )i, 的旅行时间函数 01( )d t 和 0 ( )id t 均

是非递减的函数，它们自然满足 FIFO 特性。另外，辅助弧上的旅行时间函数 0 ( )d tν

和 0 ( )d tν 的波动幅度均为 12。这意味着对于任意的两个时间点 t 和 t′ ( )t t′< ，均有

1 1( ) ( )t d t t d tν ν′ ′<+ + 和 1 1( ) ( )t d t t d tν ν′<+ + 。因此，这两个函数也满足 FIFO 特性。

所以 TDCPP 实例 I 满足 FIFO 特性，而且该实例可以在多项式时间内完成构造。接下来证明划分问题Π ′有解，当且仅当 TDCPP 实例 I 的优解 ( )fT O∗ 为

1S + 。关于 S 的取值有两种情况。第一种情况：S 是奇数，这种情况下有等式 1

2 2S S⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+= 成立。由辅助弧旅行时间函数的定义可知，两辅助弧的旅行时间之

和至少为 2。另外，D′中其他弧的旅行时间的总和至少为 S，故有 ( ) 2fT O S∗ ≥ + 成

立。易知当 S 为奇数时，划分问题Π ′无解。因此，若 S 为奇数，划分问题Π ′无解当且仅当 TDCPP 实例 I 中有不等式 ( ) 1fT O S∗ > + 成立。第二种情况，S 为偶数：

（1）若问题Π ′中存在一个解将集合 B 划分为两个子集合 { 1 }il

B b i k′ | , ,…= =

和 { 1 }il

B B b i k n′ | , ,…\ = = + ，使得 ( ) ( )b B b B B

s b s b′ ′∈ ∈∑ ∑ \

= 。则 TDCPP 实例 I 中

存在一个可行解 1 1 1 2 2( ) { ( ) ( )}f n nO t a t a t, ,…= ，其中，1 0t = 。对于任意的 1 2i n, ,…= ：

当1 i k≤ ≤ 时，弧 2 1 (0 )i ia l− ,= 的起始时刻为1

2 1 1( )

j

ii lj

t s b−

− =∑= 。显然该起始时刻小

于 S，则弧 2 1 (0 )i ia l− ,= 的旅行时间为( )2

ils b

。同理，弧 2 ( 0)i ia l ,= 的起始时刻为

12 1

( )( )

2i

j

i li lj

s bt s b S−

=∑ ≤= + ，则该弧的旅行时间为( )2

ils b

。当 1i k= + 时，弧

2 1 (0 )ka ν+ ,= 的起始时刻为 2 1 1

1( )2 2j

kk lj

S St s b+ =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

∑ ≤+

= = ，则该弧的旅行时间为

1/2。相应地，弧 2 2 ( 0)ka ν+ ,= 的起始时刻为 2 2 1

1 1 1( )2 2 2j

kk lj

S St s b+ =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

∑ ≤+ +

= = = ，

则该弧的旅行时间为 1/2。当 1k i n< ≤+ 时，弧 2 1 1(1 )i ia l− −,= 的起始时刻为 2 1it − =

2

1( ) 1

j

ilj

s b−

=∑ + ，则该弧的旅行时间为 1( )

2il

s b− ，因为 2 1 11 ( ) 1

2 i nS t S s b S− −≤ ≤ ≤+ − + 。

同理，弧 2 1( 1)i ia l − ,= 的起始时刻 112 1

( )( ) 1

2i

j

i li lj

s bt s b −

−

=∑= + + ，则该弧的旅行时间

为 1( )

2il

s b− ，因为 1

2( )1 1 1

2 2n

is bS t S S− <≤ ≤+ − + + 。综上，邮路 1( )fO t 中的每条弧


都以小的旅行时间遍历。根据引理 3.2， 1( )fO t 若为优邮路，则邮路中的等待

时间为 0。因此， 1( )fO t 的优解值为 ( ) 1fT O S= + 。

（2）若 TDCPP 实例 I 存在一条可行邮路 1 1 1 2 2( ) { ( ) ( )}f n nO t a t a t∗ , ,…= ，其中

( ) 1fT O S∗ = + 。则 D′中任意一条弧 ( )i j, 均被遍历一次且仅一次，且都在小旅

行时间的时段遍历。因此，辅助弧 (0 )ν, 和 ( 0)ν , 的起始时刻分别为2S⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

和1

2S +

。

否则，假设辅助弧 (0 )ν, 的起始时刻不等于2S⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

，则存在以下两种情况：①若弧

(0 )ν, 的起始时刻小于2S⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

，则弧 (0 )ν, 的旅行时间为 0 1d ν = 。因此，

3( )2f

ST O∗ ≥+

。②若弧 (0 )ν, 的起始时刻大于2S⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

，则弧 ( 0)ν , 的起始时刻大于

12

S +，该弧的旅行时间为 0 1dν = 。因此，

3( )2f

ST O∗ ≥+

。综上所述，不等式

3( )2f

ST O∗ ≥+

与 ( ) 1fT O S∗ = + 相矛盾。因此，辅助弧 (0 )ν, 和 ( 0)ν , 分别为邮路

1( )fO t∗ 中的第 2i 和第 2 1i+ 条弧。易知，邮路 1( )fO t∗ 的前 2 2i− 条弧的旅行时间为

2S，且邮路中的后 2 2i− 条弧的旅行时间为

2S。令 { 1 1} {

j jl lB b j i b| , , |∪…= = −

1 }j i n, ,…= + ，其中的每个元素jlb 均关联邮路 1( )fO t∗ 中第 2 1j− 和第 2 j 条弧的旅

行时间 ( 1 1 1 )j i i n, , , , ,… …= − + 。因此，对于所有的 1j k n, , ,…= 和j kl lb b≠ ，划分

问题Π ′的解为 1{ 1 1}jlB b j i−′ | , ,…= = − ，使得

11 11 1

( ) ( )j j

i nl lj j i

s b s b−

− −= = +∑ ∑= 。

综上所述， TΠ Π′∝ 成立。

3.2.3 TDCPP 问题的近似算法研究

下面我们将证明 TDCPP 不存在常系数的近似算法。定理 3.3 若 P NP≠ ，则对于任意的 0ε > ，不可能找到 TDCPP 的一个多项

式时间近似算法 Aε ，使得 ( ) ( ) ( ) 1AR I A I OPT Iε ε ε≤= + 对任意的 I DΠ∈ 成立。甚

至在时间依赖网络满足 FIFO 性质和欧拉性质时该结论也成立。证明：假设对于某个 0ε > ，TDCPP 有一个满足定理中要求的多项式时间算

法 Aε 。我们将证明：若以上假设成立，则必然存在一个多项式时间算法 PA 可以

解决划分问题。但划分问题是 NP 完全的，从而定理得证。算法 PA 构造如下。首先，给定任意一个划分问题Π ′：已知有限集合 2{ }nW w w, ,…= ， iw W∀ ∈ ，

对应权值 ( )is w Z +∈ ，令 ( )i

iw WB s w

∈∑= 。根据定义 3.3 构造Π ′对应的 FIFO 的

科

学出版社


www.abook.cn

- 2


TDCPP 问题 I Π∈ ，如图 3.1 所示，初始节点为 sv ，起始时刻为 0st = ， 2i∀ , ,…=

in v, 和 sv 由 ( ) ( )i s s iv v v v, ,、两条弧相连接，令： ( ) 0 12( ) ( )

( ) 22

i

is sii

s w t Bd t d t

s w Bε

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

≤ ≤

其他

+= =

+ +

另外，还需引入一个附加节点 vν 和两条附加弧 ( , ) ( , )s sv v v vν ν、，令： 1 1 1 1

( ) ( )2 2 2 2 2 21 1

s s

B B B Bt td t d tν ν

⎧ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤< <⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩

≤ ≤

其他其他

+ += =

显然，I 中的时间依赖网络是欧拉图且满足 FIFO 性质。然后，算法 PA 则应用算法 Aε 于 TDCPP 的实例 I。我们将证明 Aε 可找到旅行

时间为 1B+ 的中国邮路当且仅当划分问题 I ′有解，这将推出 PA 能在多项式时间

内正确地解决划分问题。一方面，若 Aε 给出了 I 的优解为 1 2 2( ) { (0) ( )f sO t a a t∗ , ,=

2 1 2 1 2 2 2 2( ) ( ) ( )}i i i i n na t a t a t− −, , , ,… … ，且旅行时间 ( ) 1fT O B∗ = + ；则 I 中每条弧被遍历

一次且仅一次，并且在各自的旅行时间小时被遍历，即 2j n∀ , ,…= , sjd 和 jsd 取

( )2js w , sd ν 和 sdν 取12；由此可知，弧 ( )sv vν, 和 ( )sv vν , 的开始遍历时刻为

2sBt ν = ，

12s

Btν⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

+= ；否则，若

2sBt ν⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

≠ ，那么有以下两点结论。

（1） /2st Bν < ，则 sd ν 取1，这种情况下 ( ) 3/2fT O B∗ ≥ + 。（2） /2st Bν < ，则 1/2st Bν > + ，此时 sd ν 取1，这种情况下 ( ) 3/2fT O B∗ ≥ + 。综合以上两种情况均有 ( ) 3/2fT O B∗ ≥ + ，这与假设 ( ) 1fT O B∗ = + 矛盾；不妨

设 2 1ia − 为弧 ( )sv vν, ，则 2 1 /2it B− = ，即 fO∗ 的前半段路径 1 1 2 2 2 2 2 2[ ( ) ( ) ( )]i ia t a t a t− −, , ,…

总的旅行时间恰好为 /2B ；同时易知 2ia 为弧 ( )sv vν , ， 2 1/2it B= + ；由于

( ) 1fT O B∗ = + ，则 fO∗ 的后半段路径 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2[ ( ) ( ) ( )]i i i i n na t a t a t+ + + +, , ,… 总的旅行时间恰

好为 ( ) /2 1 /2fT O B B∗ − − = ；又因为 { 1 1} { 1… …j jA a j i a j i| , , | , ,∪= = − = +

}n ∪ {( ) ( ))}s sv v v vν ν, , , ；对于 2 2j k fa a O∗∀ , ∈ ，令 2 2( ) ( )j kj l s k l sa v v a v v, , ,= = ，易知

j kl lv v≠ ；因此，{ 1 1}ja j i| , ,…= − 和{ 1 }ja j i n| , ,…= + 中的每两条弧各不相同，

且每条弧对应集合 W 中的唯一一个元素；故可以令 1{ 1 1}jlW w j i−′ | , ,…= = − 作为

Π ′ 的一个解，使得1

1 1( ) ( )

j j

i nl lj j i

s w s w−

= = +∑ ∑= ；因此，当 I 优解的值为

( ) 1fT O B= + 时，Π ′必有解。

反之，若划分问题 I ′有解，但 Aε 给出了旅行时间大于 1B+ 的中国邮路。则

该邮路的旅行时间至少是 1 2B Bε++ + ，因为 D 中至少有一条弧 ia ν 以非小旅


行时间 s(wi)/2＋εB＋2 遍历。因为划分问题 I'有解，易知 I'的优解的旅行时间为

B＋1。因此有 Aε(I)OPT(I)≥(1+ε)(B＋1)B＋1＞1+ε

这与定理中对算法 Aε 矛盾。故若划分问题 I'有解，则 Aε 必给出旅行时间为 B＋1 的中国邮路。算法 AP可以应用算法 Aε多项式时间求解属于 NP 完全的划分

问题，这与 P≠NP 的假设相矛盾。至此，定理得证。采用完全类似的证明方法还可以证明下面的定理。定理 3.4 若 P≠NP，则 TDCPP 不可能存在满足 AR∞ < ∞的多项式时间近似

算法。

3.3 传统算法不适用于时间依赖网络

尽管传统的二阶段算法和弧路由转换方法，是传统 CPP 和时间敏感 CPP 问题

有效的求解算法，但在求解 TDCPP 问题上存在一定的局限性。本节将分析并

证明在时间依赖网络中，二阶段算法不再适用，同时证明传统弧路由转换方法不

能在确定的多项式时间内完成。下面将给出严格的数学证明。

3.3.1 二阶段算法不适用于时间依赖网络

传统中国邮路问题的算法分为二阶段[24]。算法的第一阶段通过求解小费用

流问题确定原图小代价欧拉图，设代价为 C；算法的第二阶段在小代价欧拉

图上调用 Spanning Arborescence 算法求得一条代价为 C 的欧拉回路 P。但是，二

阶段算法却不适用于时间依赖网络中国邮路问题，且该结论在 FIFO 网络中也成

立。下面分别从非 FIFO 网络和 FIFO 网络两方面给出不能应用二阶段算法求解的

时间依赖网络中国邮路问题的反例，如图 3.3 所示。

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

图 3.3 二阶段算法不能正确求解的 TDCPP 的反例

科

学出版社


www.abook.cn

- 2


图 3.3（a）中的实例 D 具有 6 个节点、9 条弧。其中，弧(0,1)和(0,2)上的旅

行时间为依赖于起始时刻 0t 的函数，分别记为 01 0( )d t 和 02 0( )d t ，它们具体的数学

定义如图 3.3（a）所示，其中第一列是非 FIFO 的旅行时间函数，第二列时间依

赖函数满足 FIFO 性质；余下的弧的旅行时间均为固定常数 1。接下来应用二阶段

算法求解该实例。算法的第一阶段确定小代价欧拉图。在 TDCPP 问题中，

弧上的旅行时间即为代价，因此在本实例 D 中小代价欧拉图即为小旅行时

间欧拉图。在传统有向中国邮路问题中，每条弧上的旅行时间是算法第一阶段

程序的输入，输出则是小旅行时间 C 的欧拉图。而在 TDCPP 问题中，弧上

的旅行时间随时间变化，每条弧的旅行时间在整个时间域上通常对应多个取

值，因此，需要首先确定每条弧合适的旅行时间取值作为算法第一阶段的输入。

实例中弧旅行时间所有可能的四种取值组合如图 3.3（b1）～图 3.3（b4）所示，

经过小费用流算法的求解，四种旅行时间取值组合对应的邮路小旅行时间

分别为 10,23,20,37。因此，在算法的第二阶段，在以上四个小旅行时间欧拉

图上应用 Spanning Arborescence 算法求得的优邮路的旅行时间分别为

14,13,20,37。然而，对于非 FIFO 网络和 FIFO 网络两种情况，本实例优的邮

路均为 (0 2 5 4 3 0 1 2 3 0 1 2 4 3 0)− − − − − − − − − − − − − − ，优解的旅行时间为

11。实际优解的值与应用二阶段算法求得的四个值均不相符。另外，注意到

优解对应的优欧拉图与图 3.3（b3）中的欧拉图相同，而优解的旅行时间值却

与图 3.3（b3）的添边方案对应的旅行时间值相差了 81%，这说明传统算法第一阶

段求得的添边方案对于求解 TDCPP 没有任何意义。以上的反例说明，FIFO 网络

和非 FIFO 网络中的 TDCPP 都不能应用二阶段算法正确求解。接下来我们将从理论上证明以上结论，首先给出二阶段算法 P 的形式化定义。算法 P 的第一阶段： 1 ( )P C E σ, ,= ，其中， { 1 }iC c i m| , ,…= = 为时间依赖网

络 ( )D V A, 的边权集合， { 0}jE Eul j| >= 是图 D 的增广欧拉图的集合，σ 是计算

中国邮路问题优值的函数。对于任意的增广欧拉图 jEul E∈ 定义集合

( ) { 1 2 1}j i iEul D x i m x| , , , ∧… ≥= = ，其中 ix 为弧 ia A∈ 的遍历次数。算法 P 的第二阶段： 2 ( )P Eul ϕ∗,= ，其中

( )( )

ii ix Eul D

Eul C x cσ ∗∗

∈, ∗∑= 为优

欧拉回路 Eul∗的值， 1 2( ) ( )i MEul a a a aϕ ∗ , , , , ,… …=( )

( )i

ix Eul DM x∗∈∑= 为优欧拉

回路，其中， ia 为优欧拉回路中的第 i 条弧。算法 P 的计算过程是：首先，利用 1P 在 E 中通过计算弧的遍历次数，得到

优解 ( )Eul Cσ ∗, 和对应的弧遍历次数集合 ( )Eul D∗ ；然后，再利用 2P 在增广欧拉图

Eul∗中寻找一条欧拉回路 ( )Eulϕ ∗ 。定理 3.5 传统的二阶段算法不能正确求解 TDCPP。证明：假设传统的二阶段算法 P 可以正确求解 TDCPP，则 P 的第一阶段扩展为

1 { ( ) }P C t E σ, ,= 其中， ( ) { ( ) | 1 2 }iC t c t i m= , , ,…= 表示 D 中所有弧旅行时间函数的集合； 1P 通过σ


函数计算得到一个优解( ) 1

( ( )) ( ) i

ki i

xi i ix Eul D a A k

Eul C t x c t cσ ∗∗

∈ ∈ =, ∗∑ ∑ ∑= = ，其中

( )k ki i ic c t= 为弧 ia 的旅行时间，

kit 为第 k 次遍历弧 ia 的起始时刻。

算法 P 的第二阶段中首先需要解决一个判定问题：判断 1P 给出的优解

( ( ))Eul C tσ ∗, 是否合理。令 1{ 1 2 1 2 1}ˆk k k k

j ji i i i it t c i m k x jt −| , , , , ; , , , ;… … ≥= = = = ，其

中 1ki

c− 表示 ( )ki ic t 的反函数。上面的判定问题等价于是否存在这样一个起始时刻的

集合 { 1 2 1 2 }ˆkk k ii i iT t t i m k xt| ∈ , , , , ; , , ,… …= = = ，若将 T 的元素升序排列得

1 2{ }

Tk k kt t t| |

, , ,… ，其中( )i

ix Eul DT x∗∈| | ∑= ，则

1 21 2( ) ( ) ( )Tk k T ka t a t a t| || |, , ,｛ … ｝为一条合理的

欧拉回路。对于这个判定问题，存在以下两种情况：若存在这样的 T，则欧拉回

路即为 ( )Eulϕ ∗ 。因此，不需要算法的第二阶段 2P ，仅通过 1P 就可以直接求得

优解 ( )Eulϕ ∗ ，显然，这与二阶段算法的假设相矛盾。反之，则任意一条欧拉回路

1 21 2{ ( ) ( ) ( )}Tk k T ka t a t a t| || |, , ,… 中必存在某条弧 ia A∈ ，满足不等式

1( )

i i ik i k kt c t t+

>+ 。因

此，算法第二阶段 2P 求得的欧拉回路 ( )Eulϕ ∗ 中也存在这种弧。显然， 2P 无法给

出正确的欧拉回路，这与二阶段算法能够正确求解时间依赖中国邮路问题的假设

相矛盾。

3.3.2 传统弧路由转换方法的局限性

以往的弧路由转换方法均是通过多次求短路径的操作，将弧路由问题转换

成点路由问题，转换后的问题再应用已有的整数规划模型和算法求解。下面我们

将以 Laporte 的转换方法[155]为例，证明在时间依赖网络中，传统弧路由转换方法

不能在确定的多项式时间内完成。 Laporte 的弧路由转换方法初应用在传统的 CPP 问题中，其基本思想是：

将原图 D 转换为完全图 ( )H V A′ ′,= ，D 中每条弧均对应于 H 中的一个节点。如

图 3.4所示，D中的任意两条弧 ( )ia r l,= 和 ( )ja p q,= 分别与H中的两个节点 iv′ 和

jv′ 相对应，且 H 中弧 ( )i j, 的旅行时间等于 D 中从 lv 到 pv 的短路径 lps 的旅行时

间。经过 Laporte 弧路由转换后，图 D 上的弧转化为完全图 H 上的点。原来以遍

历图D中所有弧为目的的中国邮路问题等价为以遍历H上所有节点为目的的旅行

商问题。

图 3.4 Laporte 的弧路由转换方法示意图

Laporte的算法经过简单改进即能应用于CPPTW和CPPTDC这两类时间敏感

pv

lv

D H

[ ]rl rlE L, [ ]i iE L,iv′ jv′

( )j jC tij lpsd ′ =

( )pq pC tjarv

ia lps

科

学出版社


www.abook.cn

- 2


的中国邮路问题。 ① CPPTW 定义在带时间窗的网络 D 上，D 中每条弧 ( )r l, 关联一个时间窗

[ ]( )rl ij rl ijE L E L R+, , ∈ ，即服务弧 ( )r l, 的起始时刻 rt 需要落在闭区间 [ ]rl ijE L, 内。

Laporte 算法通过在静态图 D 上多次调用短路（Shortest Path，SP）算法求解弧

对之间的小旅行时间路径，将图 D 转换为带时间窗的完全图 H。H 上的节点 iv与 D 中弧 ( )r l, 相对应，且 iv 关联的时间窗 [ ]i iE L, 所包含的区域即为闭区间

[ ]rl rlE L, [154]，如图 3.4 所示。 ② CPPTDC 定义在时间依赖服务代价的网络 D 上，D 中每条弧 ( )p q, 关联一

个依赖于起始时刻 pt 的服务代价函数 ( )pq pC t 。Laporte 算法通过在图 D 上求解任

意弧对之间的小旅行时间路径，将图 D 转换为时间依赖服务代价的完全图 H。

H 上的节点 jv 与 D 中弧 ( )p q, 相对应，且 jv 关联的服务代价函数 ( )j jC t 与 D 中弧

( )p q, 的服务代价函数的定义完全相同[157]，如图 3.4 所示。综上所述，在 CPPTW 和 CPPTDC 中的 Laporte 算法的核心子程序仍然是求

解小旅行时间路径的 SP 算法。由于图 D 中弧上的旅行时间是恒定的常量，则

Laporte 算法中调用的 SP 算法即定义在静态图上，是多项式时间的。又因为转换

后点路由问题中时间窗和时间依赖服务代价函数的定义与原弧路由问题中的完全

相同，并没有花费额外的转换时间，因此，Laporte 算法在以上两类时间敏感 CPP中是多项式时间的。

然而，在 TDCPP 中，Laporte 算法的实施则变得十分困难，如何将一个时间

依赖网络 D 转换为一个时间依赖完全图 H，其中具体难点在于：时间依赖网络中

弧上的旅行时间不再是常量，而是依赖于起始时刻的函数，不能在确定的多项式

时间内获得完全图 H 中每条弧的时间依赖旅行时间函数，定理 3.6 给出了这一结

论。为了证明该定理，我们首先构造了一个时间依赖网络 D，然后应用 Laporte算法将网络 D 转换为时间依赖完全图 H。网络 D 中弧对间子拓扑的特殊构造，使

得 H 中弧上的旅行时间函数在指数时间才能完全计算出来，从而定理得证。定理 3.6 TDCPP 不能在确定的多项式时间内完成图转换。证明：应用 Laporte 的弧路由转换方法，将时间依赖网络 D 转换为时间依赖

完全图 H。如图 3.4 所示，H 中的任意一条弧 ( )i jv v,′ ′ 的旅行时间函数 ( )ij td ′ 可由 D中从 lv 到 pv 的时间依赖的短路径 ( )lps t 获得。

下面证明不能在确定的多项式时间内得到 ( )ij td ′ ，即对任意的 u wt t Z, ∈ 都有

( ) ( )lp u lp ws t s t≠ ，或者说，D 中 lv 到 pv 之间的短路径在任意不同的时刻各不相

同，且共有指数条。现构造一个时间依赖网络 D，D 中的弧 ( )r lv v, 和 ( )p qv v, 之间的子图拓扑如

图 3.5 所示。设到达节点 lv 的时刻为 0t Z∈ ，令 0t 的二进制形式为 1 2 0( )n n iA A A A− − … … ，

其中 {0 1}iA ,= ，即 1 2 00 1 2 02 2 2 2n n i

n n it A A A A− −− −× × × ×… …= + + + + + 。对于任

意的 0 1i n, ,…= − ，构造各弧的权值为


1i i i ia c b cd d= =

0 0

0 0

1 2 0 1 2 1( ) ( )

2 2 1 2 2 0i i

i ia b

i i

t t i A t t i Ad t d t

t t i A t t i A∧ ∧⎧ ⎧

=⎨ ⎨∧ ∧⎩ ⎩

= + = = + ==

= + = = + =

b0

c2

b1

ci

bi

an

bn

p q

0( )ad t

0( )bd t

1( )bd t ( )

ibd t

1( )ad t

( )nbd t

( )iad t 1

1

r

111

a0

l

a1 ai

111

c1

( )nad t

图 3.5 D 中弧 ( , )r lv v 和 ( , )p qv v 间的子图拓扑

下面证明随着起始时刻不同，从 lv 节点到 pv 的短路径也各不相同。当 0 0t = 时，从 lv 节点到 pv 的短路径 (0)lps 为： 0 1 1 1il a c a a −→ → → → →…

1i nc a p−→ → → →… ；当 0 1t = 时，从 lv 节点到 pv 的短路径 (1)lps 为：

0 1 1 1 1i i nl b c a a c a p− −→ → → → → → → → →… … ；当 0t k= 时 11 2n

nk A −− ×（ = +

2 02 02 2 2n i

n iA A A−− × × ×… … ）+ + + + ，从 lv 节点到 pv 的短路径 ( )lps k 为： 0l x→

1 1 1 1i i nc x x c x p− −→ → → → → → → →… … 。其中，对于任意的 0 1i n, ,…= − ，若

0iA = ，则 ix 表示 ia ；否则 ix 表示 ib 。这保证了 0( 2 ) 1ixd t i+ = ，即图 D 中每条弧

均能够以小旅行时间遍历。当 0 2 1nt = − 时，从 lv 节点到 pv 的短路径

(2 1)nlps − 为： 0 1 1 1 1i i nl b c b b c b p− −→ → → → → → → → →… … 。

因为节点 lv 的每个起始时刻 0 {0 2 1}nt ∈ , , − 的二进制形式都是唯一的，所以，

不同起始时刻的短路径也是不同的。从 lv 到 pv 共有 2n 条可能的短路径，因此，

不可能在确定的多项式时间内求得所有的短路径，即图 H 中任意一条弧 ( )i jv v,′ ′上的旅行时间函数不能在确定的多项式时间内获得。

定理 3.5 和定理 3.6 的证明过程，表明传统的二阶段算法和弧路由转换方法都

不适用于时间依赖网络。

3.4 FIFO 网络 TDCPP 优解的性质

由上节的定理3.5和定理3.6我们知道二阶段算法和弧路由转换方法均不适用

于 TDCPP 问题。这些否定的结论促使我们尝试去发现 TDCPP 的新性质，进而提

出合理的求解方法。以前的研究发现：如果时变网络具有 FIFO 特性，优化问题

则会变得易于求解，如时间依赖网络的短路径问题[53]。下面我们也将给出只有

网络满足 FIFO 特性时，TDCPP 的优解才会满足的某些性质，为方便描述这些

性质，我们首先给出可行解的另一种弧、链交替出现的表示形式：

1 1 1 1 1( ) { ( ) ( ) ( ) ( )}…f m m m mO t a t p a t pτ τ, , , ,= ，其中，m 是时间依赖网络 D 的弧数， ia 是

邮路中第 i 条首次遍历的弧， it 是它的起始遍历时刻， ip 是邮路中衔接弧 ia 和 1ia +

的路径， iτ 是它的起始遍历时刻。易知路径 ip 中的弧包含在弧集 1{ }ia a, ,… 中，也

科

学出版社


www.abook.cn

- 3


就是说，邮路中的衔接路径 ip 中的弧在 ip 之前均被遍历过。设弧集 1{ }ia a, ,… 诱导

成的子图为 iD ，以下定理给出了优解中衔接路径 ip 所满足的性质。定理 3.7 FIFO 网络上 TDCPP 的优邮路 1( )fO t∗ 中的每条衔接路径 ( )i ip τ 均

是诱导子图 iD 上的短路径。证明：设弧 ia 和路径 ip 的旅行时间分别为 ( )i id t 和 ( )p

i id τ ，则 TDCPP 的优

邮路 1( )fO t∗ 的结束遍历时刻为： 1 1( ) { ( ) ( )}m p

f i i f iiT O t d t d τ∗

=∑= + + 。假设诱导子图

iD 上存在一条路径 ( )i is τ ，它的旅行时间小于 ip 的旅行时间值，则我们可以通过

将路径 ( )i ip τ 替换为 ( )i is τ ，从而得到一条新的邮路 1( )fO t 。设路径 is 的旅行时间

为 ( )si id τ ，则邮路 1( )fO t 中弧 1ia + 新的起始时刻为 1 ( )s

i i i idt τ τ+′ = + ，且路径 1ip + 的

起始时刻应为 1 1 11( )i i iidt tτ + + ++′ ′ ′= + 。后，邮路 1( )fO t 的结束遍历时刻为1

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i m mp

j jf j j f jj j j i j iT O t d t d tτ τ

−

= = = + =′ ′∑ ∑ ∑ ∑= + + + + 。由于网络D的FIFO性质，且 i iττ <′ ，则有 ( ) ( )f fT O T O∗≤ ，这与假设矛盾。定理得证。

根据定理 3.7，容易证明以下定理成立。定理 3.8 若 TDCPP 邮路 1( )fO t 中的路径 ( )i ip τ 是诱导子图 iD 中的短路径

但不是诱导子图 1iD + 上的短路径，则 1( )fO t 不是优的。

3.5 FIFO 网络 TDCPP 的分支限界算法

分支限界算法是求解优解使用广泛的方法之一[168]。本节将基于 FIFO 网

络 TDCPP 优解的性质给出一个分支限界算法。分支限界包含八个要素 R, f ,O, g, G, s, h 和 D，其中有根树 R 根据定理 3.7 而构造，支配关系 D 由定理 3.8 给出。

分支限界算法求解优 TDCPP 邮路的过程可以由分支树 ( )R P E,= 刻画，其

中，P 是分支树的节点集合，每个节点 iP P∈ 代表问题的一个子问题，见定义 3.4；特别地， 0P P∈ 为根节点，代表原问题；E 是分支树的弧集，每条弧 ( )i jP P E, ∈ 刻

画了问题 iP 分解得到 jP 的过程，见定义 3.5。定义 3.4 对于任意的路径 1 1 1 1 1 1{ ( ) ( ) ( ) ( )}i r r r rL a t p p a tτ τ− −, , , ,…= ，其中 sa A∈

是 iL 中第 s 条首次出现的弧 ( 1 )s r, ,…= ，且 sp 是定理短中描述的短路径，子

问题 iP 即求一条以路径 iL 为前半部分的早结束的 TDCPP 邮路。令 1 1{ ( ) ( )}j i r r r rL L p a tτ + +, ,= ，显然， jL 为向路径 iL 中添加一条弧后得到的路

径。则与 jL 对应的子问题以及弧 ( )i jP P, 定义如下。定义 3.5 弧 ( )i jP P, 刻画了子问题 iP 分解得到 jP 的过程，其中， jP 的目的是

寻找一条以 jL 为前半部分的优 TDCPP 邮路。路径 ( )r rp τ 称为与弧 ( )i jP P, 对应

的短路径。接下来介绍另外的两个要素： ( )if P 为子问题（节点） iP 的优值， ( )iO P 为

子问题 iP 的优解集。 ( )R O f, , 称为原问题 0P 的分支结构。下界函数 ( )ig P 定义如下：


1( ) ( ) ( )i ig P t T L A r d| |= + + − 其中， ( )iT L 是路径 iL 总的旅行时间，d 是 D 中所有弧小的旅行时间。在分支限

界算法中 ( )ig P 在生成子问题 iP 时被计算出来。终止节点集合 G 定义那些在计算 g的过程中顺便被解决的或被证明肯定不是优解的局部问题（节点）集合。

现在设Π 为 P 中的独立①集族。如果对于 A Π∀ ∈ ，都有 ( )s A A∈ ，则 s PΠ: →

叫做搜索函数。s 决定了被选择检测局部问题的次序。若对于 A Π∀ ∈ ，都有： ( ( )) min{ ( ) }i ih s A h P P A∈｜=

则 s 是一个基于函数h P E: → 的启发式搜索函数。这种情况下，s 被定义为 hs 。

尤其是当 gs s= 时，s 叫做好界搜索函数。设： ( ) { ( ) max{ ( ) }}i i j jN A P A d P d P P A∈ | | ∈= =

则基于 h 的深度优先搜索函数 hs ，满足： ( ( )) min{ ( ) ( )} ( ) ( )h hi ih A h P P N A A N As s| ∈ , ∈=

后，若满足 ( ( )) min{ ( ) }h i id s A d P P A| ∈= ，则启发式搜索函数 hs 也叫做广度

优先的。这说明对于 i jP P P∀ , ∈ ，若 ( ) ( )i jd P d P< ，则 ( ) ( )i jh P h P< 。后介绍支配关系 D。如果局部问题的某些有用信息显示，一个局部问题 jP

不能比另一个局部问题 iP 得到更好的解，这种关系叫做支配关系，定义为 i jPDP 。

即如果局部问题 iP 已经被产生，而检测局部问题 jP ，并且有 i jPDP 成立，则 jP 将

被排除。根据定理 3.8，我们给出支配关系 D 的定义。定义 3.6 支配关系 D：若 R 中某弧 ( )i jP P, 所对应的短路径 ( )r rp τ 违反

定理 3.8，则有 i jPDP 。接下来，我们要将以上 FIFO 的 TDCPP 分支限界算法八要素嵌入到以下分支

限界算法的框架中。分支限界算法： (( ) ( ) )sA R O f G g D s, , , , , ,= 。标注：当前产生的局部问题集合被定义为 N P⊂ 。N 中未被检测和未被分解

的局部问题叫做活跃节点。容易证明活跃节点集合总是独立的。A 就定义当前活

跃节点集合。当前优可行解集合定义为 O，而 z 为它的目标函数值。直到被终

止，O 存储着 0( )O P ，z 存储着它的目标函数值。假设在 iP G∈ 的情况下， ( )iO P 在

检测 iP 的时候被计算出来。 A1（初始化）： 0A P← ， 0N P← ， z ←∞，O ←∅。 A2（搜索）：若 A ∅= ，转 A9；否则令 t ( )iP s A← 并转 A3。 A3（G 检验）：若 iP G∈ ，转 A7，否则转 A4。 A4（下界检验）：若 ( )ig P z≥ ，转 A8，否则转 A5。 A5（支配关系检验）：若存在 ( )i jP P E, ∈ 使得 i jPDP ，转 A8；否则转 A6。 A6（分支）：生成局部问题 iP 的子节点为

1 2 ki i iP P P, , ,… ；令1 2

{ }ki i iA A P P P← ∪ , , ,…

① 若 A 中没有节点 iP 是其他节点的严格子孙，便称 A P⊂ 是独立的。

科

学出版社


www.abook.cn

- 3


{ }iP− 和1 2

{ }ki i iN N P P P← ∪ , , ,… ，返回 A2。

A7（改进下界）：令 if ( )

min[ , ( )].( ), ,

ii

i

z f Pz z f P

x x O P⎧

← ←⎨ ∈⎩

≤

其他

OO 转 A8。

A8（ iP 剪枝）：令 { }iA A P← − ，返回 A2。 A9（终止）：终止 0( )O P ，令 0( )f P z= ；如果O ∅= 则说明 0P 无解。尽管分支限界算法的分支树的叶子节点数的上界为 ( )O A| | ! ，支配关系 D 能

够在分支树尽量高度分支上剪枝。第 2.7 节点实验结果表明支配关系 D 的减枝效

果要优于下界 g 的剪枝效果。另外，下节将给出动态规划算法，使得算法的复杂

度大为降低。

3.6 FIFO 网络 TDCPP 问题的动态规划算法

本节给出精确求解 FIFO 网络 TDCPP 的动态规划算法。为了表述简单，我们

为原图引入了一个辅加节点 sv 以及一条辅加弧 0( )sr v v,= ，且令该弧的旅行时间

为 0。可以将 r 看作是给定图 N 的“源弧”。以 1 1 1( )a x y,= 为起始弧，终止于 z 节点的动态路径记为 1( )P a z 。其中， 1 1( ) ( )a xτ τ= 为弧 1a 的离开时刻； 1 2( ) ( )a aα α=为弧 1a 的到达时刻；弧 1a 的旅行时间为 1 1 1( ) ( )b a t b x y t, , ,= 。

对于给定的弧集 M A⊂ ，令 M 的诱导子图为 [ ]N M ， ( [ ])V N M 为 [ ]N M 的节

点集。下面我们给出定义。定义 3.7 给定弧子集 M A⊂ ，且 r M∈ ，若诱导子图 [ ]N M 是强连通，满足

FIFO 性质，且存在一条以 r 为起始弧到 ( [ ])V N M 中节点 x 终止，遍历 M 中所有

弧的短动态中国邮路 ( )MP r x, ，则定义 ( )T M x, 为 ( )P r x, 的终止时刻。若这样的

中国邮路不存在，则令 ( )T M x, ∞= 。给定一个弧子集 M，且 ( [ ])x V N M∈ ，从 r 到 x 的动态中国邮路 ( )MP r x, 可由

组合下列两段路径获得：第一段路径是从 r 到 M 中弧 a，遍历 M 中所有弧的短

中国邮路；第二段路径是一条从弧 a 的终点 1y 出发，到 x 终止的短路径，其中 1y的离开时刻即 a 的到达时刻。据此，下面给出递归关系。

定理 3.9 对于任意的节点 ( [ ])x V N M∈ ，且 M A⊂ ，若 { }M r= ，且 0x v= ，

则有 0 0( { } )T M r v t,= = ；若 r M∈/ ，则令 ( )T M x, ∞= ；否则，若 r M∈ ，则有：

( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) min { ( { } ) ( ( ))}a y z M r a y z a a N MT M x T M a y d T P z xτ α τ α= , ∈ / , = , =, / , ,= + + 其中， ad 是弧 a 的旅行时间，开始遍历弧 a 的时刻为 ( )aτ ； [ ] ( )N MP z x, 为 [ ]N M

中节点 z 到 x的短路径，z 的起始时刻为 ( )zτ ， [ ]( ( ))N MT P z x, 为该短路径的旅

行时间。证明：当 { }M r= 时，很明显 0 0( )T M v t, = 。对于任意节点 ( [ ])x V N M∈ ，若

r M∈/ ，则有 ( )T M x, ∞= 成立。因为在 [ ]N M 中不存在从弧 r 到 x 的动态路径。


下面我们将重点考虑 r M∈ 的情况，并用数学归纳法证明递归式。当 2M| |= 时，我们定义 1{ }M r a,= 。若 ( )T M x, ∞= ，则递归式不再需要证

明。现假设 ( )T M x, < ∞。很明显， [ ]N M 必须是强连通的，换言之， 1a 必须和

r 邻接，设 1 ( )sa v y,= 。易知， ( [ ])V N M 中仅有三个节点 sv ， 0v ，y 。由于 [ ]N M中不存在 sv 到 0v 的路径，因此， ( )sT M v, ∞= ，且 0( )T M v, ∞= 。所以，唯一一

个 ( )T M x, < ∞的情况为 x y= 。很明显，通过依次遍历弧 r、 1a 可获得遍历 M中所有弧的短中国邮路，且该路径的终止时刻等于

1 10 ({ } )a s at d T r v d,+ = + +

[ ]( ( ))N MT P y y, ，其中， 0({ } )sT r v t, = ；1ad 为弧 1a 的旅行时间，弧 1a 的到达时刻为

1 0 0( ) ( )a v tτ α= = ；并且 [ ]( ( )) 0N MT P y y, = 。至此，我们已经证明递推式对于

2M| |= 的情况是正确的。假设定理对任何基数等于 k 的弧子集 M A′ ⊂ 都成立，其中 2 k A<| |≤ 。现考

虑基数等于 1k + 的弧子集 M A⊂ 的情况。若 ( )T M x, ∞= ，则递归式不再需要证

明。现假设 ( )T M x, < ∞。首先，我们证明在 [ ]N M 中有一条从弧 r 到节点 x，遍

历 M 中所有弧的动态中国邮路。由假设可知在 [ { ( )}]N M a y z/ ,= 中存在一条从弧

r 到 y，遍历 { ( )}M a y z/ ,= 中所有弧的动态中国邮路 { }( )M aP r y/ , 。而且，在 [ ]N M中存在一条从 z 到 x 的动态短路径 ( )MP z x, ，其中 z 的离开时刻 ( )zτ 等于弧 a 的

到达时刻。我们可以将路径 { }( )M aP r y/ , 、弧 ( )a y z,= 以及路径 ( )MP z x, 组合为新的

路径 ( )P r x, ，很明显该路径即 M 中的中国邮路。然后，我们再证明 ( )T M x, 是 M中短中国邮路的终止时刻。一方面，我们假设 ( )P r x∗ , 是 M 中的短中国邮路，

其终止时刻设为 ( )T P∗ ，有 ( ) ( )T P T M x∗ ,≤ 。另一方面，我们设路径 P∗上在节点

x 之前，满足如下条件的弧为 ( )h y z,= 。① { }M h/ 中的所有弧均在遍历 h 之前被

遍历过；②弧 h 首次被遍历。路径 P∗上从 r 到 y，以及从 z 到 x 的两条子路径分

别设为 ( )P r y∗ , 和 ( )P z x∗ , 。因此，根据递归假设有 ( ( )) ( { } )T P r y T M h y∗ , / ,≥ 。设

以 ( ) ( ( ))h T P r yτ ∗ ,= 为起始时刻的弧 h 的旅行时间为 hd 。另外，因为 [ ] ( )N MP z x, 是

[ ]N M 中的短路径，易知 [ ]( ( )) ( ( ))N MT P z x T P z x∗ , ,≥ ，其中 z的起始时刻为 ( )zτ = ( ) hh dτ + 。综上所述可得 [ ]( ( )) ( ) ( ( ))h N MT P r x T M y d T P z x∗ , , ,≥ + + 。设以 ( )hτ ′ = ( { } )T M h y/ , 为起始时刻的弧 h 的旅行时间为 hd ′ 。根据 FIFO 特性，有 ( ) ( )z hτ τ= +

( ) ( ) hhd z h dτ τ′ ′ ′≥ = + 和 [ ][ ]( ) ( ( )) ( ) ( ( ))N MN Mz T P z x z T z xPτ τ ′, ,′≥+ + 成立，其中，

[ ]( )N M z xP ,′ 是以为 ( )zτ ′ 起始时刻从 z 到 x 的短路径。至此，我们得出

[ ]( ( )) ( ) ( ( ))N MhT P r x T M y T z xd P∗ , , ,′ ′≥ + + 。综上所述，有 ( ( )) ( )T P r x T M x∗ , ,= 成

立，即递推式得证。设优中国邮路的终止时刻为 ( )sz T A v,= ，下面我们给出求解 z 的动态规划

算法。动态规划算法 TDCPP-DP 如下：

开始

0 0( { } )T M r v t,= = ；

科

学出版社


www.abook.cn

- 3


对于任意的 1 2 2l A, , ,| |…= − ：对于每个子集 { }M A r⊂ / |令| M l|= ： { }M M r:= + ；对于每个元素 ( [ ])x V N M∈ ： ( )T M x, : ∞= ；若 [ ]N M 是强连通的，对于每个元素 ( [ ])x V N M∈ ：

[ ]( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) min { ( { } ) ( ( ))}a N Ma y z N M a y z aT M x T M a y d T P z xτ α τ α= , ∈ , = , =, : / , ,= + + ；

令 ( )sz T A v∗ : ,= ；结束。定理 3.10 算法 TDCPP-DP 的时间复杂度为 2( 2 )mO mn 。证明：检查 { }A r/ 的所有子集 M 共需时间 (2 )mO 。对于每个子弧集

{ }M M r= + 而言，为 ( [ ])V N M 中的每个节点 x 初始化 ( )T M x, ， ( [ ])V N M 中所

有节点共需时间 ( )O n 。因为计算从每条弧 a 的终点 z 到每个节点 x 的短路径需

要时间 2( )O n ，所以，为 ( [ ])V N M 中的每个节点 x 计算 ( )T M x, 共需时间 2( )O n m 。因此，算法时间复杂度为 2( 2 )mO mn 。

3.7 实验结果

我们用 C++语言实现了带有深度优先搜索策略的分支限界算法，用 Java 语言

实现了动态规划算法，并配以 2.20GHz AMD Athlon(tm) 64 微处理器和 1GB 的

RAM 的运行环境做了实验。对于分支限界算法，我们主要关注支配关系的剪枝效

果、计算时间的影响参数等方面。另外，我们还比较了分支限界和动态规划两种

算法的计算规模。

3.7.1 支配关系 D 的剪枝效果

根据 g 计算的局部问题下界值剪枝和根据支配关系 D 剪枝分别对应算法 As的两

个剪枝步骤 A4 和 A5。通过实验我们发现：支配关系 D 是更有效的剪枝条件，且剪

枝条数和时间依赖网络 D 欧几里得性质（定义 3.8）有关。定义3.8 在D中存在三条弧 ( ),( ),( )i j j k i kv v v v v v, , , 恰好构

成三角形 ijk△ ，若在 t时刻，满足 ( ) ( ( )) ( )ij jk jk ikd t d t d t d t>+ + ，

则称 D 的子图 ijk△ 在 t 时刻满足欧几里得性质。实验所用的算例的拓扑如图 3.6 所示，D 中共包含四个定

义 3.8 中定义的三角形 1 2 3 4i△ ，　，，= ；通过构造弧的旅行时

间函数，使得在某时刻违背欧几里得性质的三角形个数分别为

0 1 2 3 4，，　，，，即违反欧几里得性质三角形的比例 tgP 分别为 0%，25%，75%，100%。

1△

2△3△

4△

图 3.6 实验算例


（a）

（b）

（c）

图 3.7 欧几里得性质对支配关系 D 剪枝效果的影响

n h

Ptg

nA4

nA5

Ptg

dA4-max dA5-max

dA4-min dA4-ave

dA5-min

dA5-ave

Ptg

t s/m

s

ues D1no use D1

科

学出版社


www.abook.cn

- 3


图 3.7（a）给出了算法 A4 步骤剪掉的分支数 4An 和 A5 步骤剪掉的分支数 5An与 tgP 的关系；可见，当 0tgP %= 时，A5 步剪掉的分支数为 0，即在任何时刻均满

足欧几里得性质的时间依赖网络中，D 不起作用。然而，实际中很多时间依赖网

络不一定满足欧几里得性质；通过图 3.7（a）也可以看出，支配关系 D 的剪枝效

果随着 tgP 增大而增强。图 3.7（b）给出了在 tP 各种取值的情况下，被步骤 A4 终止节点的高度 4Ad 与

被 A5 终止的节点高度 5Ad 对比，其中 Axd min− 、 Axd min− 、 Axd ave− 分别表示

被步骤 Ax 终止节点的小高度、大高度、平均高度；该图说明支配关系 D 往

往能在离根节点更近的高度剪枝，更能有效地缩短求解时间。图 3.7（c）给出了在 tP 各种取值的情况下，使用支配关系 D 和不使用 D 的算

法计算时间对比，可见使用支配关系使得计算时间减小。而两者相等的情况说明：

判断支配关系的时间开销与被 D 剪掉分支的计算开销相抵。

3.7.2 时间阶段数对算法计算时间无明显影响

在以往 TDVRP（TDTSP）的研究中，时间依赖网络优化问题的求解时间不仅

和网络的节点、弧的数量有关，而且还与弧上旅行时间阶段函数的时间段数有关[78]。本文算法的计算时间只与网络的节点和弧的数量有关，与时间段数无关；实

验用例的图 (10 20 )D T, , 由程序随机生成，模拟了城市交通网络从 8 点到 12 点道路

的旅行时间变化情况，其中，网络中所有弧所有时段的弧的大旅行时间为 30min（交通高峰期），小旅行时间为 1min，且满足 FIFO 性质；时间段分别取 6min、8min、12min 和 24min，分别对应 40、30、20 和 10 各时间阶段；计算时间和时

间阶段数的关系，如图 3.8 所示，可见时间阶段数对算法的计算时间无明显影响。

图 3.8 一天中的时间段数对计算时间没有影响

3.7.3 问题的求解规模

本章提出的分支限界和动态规划算法均是 TDCPP 问题的精确算法。本节将通

T

t s /m

s

ts


过在随机生成的 FIFO 网络算例进行实验来比较两种算法的计算规模。表 3.1 给出

了对于相同算例分支限界和动态规划算法的计算时间，其中各个量的含义如下。 Name：算例名称，定义在具有 T 个时间段的 FIFO 网络 ( )D V A, 上的算例为

TV AP − 。

Btime ：分支限界算法的运行时间。

Dtime ：动态规划算法的运行时间。 opt ：算例的优解。

表 3.1 分支限界算法与动态规划算法的计算时间比较

Name timeB/s timeD/s opt

510 20P − 20.687 13.156 1155

520 30P − 1255.734 23.047 5067 5

30 40P − 310.000 246.610 5525

540 50P − 37.921 336.625 5306 5

50 60P − 1391.406 870.078 8137

560 70P − 3741.812 504.652 8901 5

70 80P − 3576.813 485.547 11965

表 3.1 中的计算结果表明，在平均情况下，动态规划算法的计算时间被分支

限界算法快 10 倍左右。另外，动态规划的计算规模如表 3.2 所示。

表 3.2 动态规划算法的实验结果

Name time/s opt Name time/s opt Name time/s opt

312 201P − 1.97 1633 3

12 201P − 1.89 1198 312 203P − 1.89 1616

512 201P − 1.77 2305 5

12 202P − 1.77 2869 512 203P − 1.77 2318

312 251P − 407 2136 3

12 252P − 408 1985 312 253P − 416 2058

512 251P − 566 1822 5

12 252P − 566 1547 512 253P − 566 1399

315 251P − 19.3 2500 3

15 252P − 19.4 2184 315 253P − 19.4 3411

515 251P − 19.2 2464 5

15 252P − 19.3 2407 515 253P − 19.3 2323

317 251P − 4.25 1642 3

17 252P − 4.30 2127 317 253P − 4.30 2644

517 251P − 35.5 1741 5

17 252P − 5.8 2922 517 253P − 5.9 2515

317 301P − 397 4644 3

17 302P − 398 4266 317 303P − 398 3390

517 301P − 807 2716 5

17 302P − 811 2686 517 303P − 806 2638

322 351P − 931 3479 3

22 352P − 931 3047 322 353P − 930 3544

522 351P − 917 4009 5

22 352P − 899 3042 522 353P − 920 3972

表 3.2 中的算例均定义在平面图上，其规模从 (12 20)D , 扩展到 (22 35)D , ，旅

科

学出版社


www.abook.cn

- 3


行时间函数的时间段数为 3，4，5。表中算例的每种类型均包含三个随机生成的

算例，实验表明，同一类型的三个算例的计算时间相差不大，这是因为尽管同一

类型的算例的旅行时间函数定义不同，但拓扑是相同的。这说明动态规划算法的

计算时间并不受旅行时间函数的影响。

3.8 总结与展望

本章研究了时间依赖网络中国邮路问题（TDCPP）的基本性质和精确算法。

TDCPP 问题作为传统 CPP 问题的一个变体问题，人们更容易相信 CPP 问题的传

统欧拉性质和传统算法会同样适用于新问题。然而，我们证明了 TDCPP 问题为

NP 困难问题，即使时间依赖网络满足欧拉性质和 FIFO 性质，该结论依然成立。

另外，我们还发现传统的二阶段算法和弧路由转换方法均不适用于时间依赖网络。

尽管以上的结论均说明 TDCPP 是很困难的问题，但是我们还是发现了 FIFO 网络

中 TDCPP 的优解性质，并给出了 FIFO 网络 TDCPP 问题的分支限界算法，首

先我们给出了分支限界算法的八要素，尤其是基于 FIFO 网络的支配关系。实验

表明，当时间依赖网络满足欧几里得性质时，支配关系更加有效。但是，分支限

界算法的分支数的规模坏情况下为 ( )O A| | ! 。为了改善算法的上界，我们又提出

了动态规划算法，该算法坏情况下的复杂度为 2( 2 )mO n 。实验表明，在平均情

况下，动态规划算法比分支限界算法快 10 倍。

Documents

时变网络中国邮路问题研究 · 时变网络中国邮路问题研究 孙景昊 著 国家自然科学基金(No.61300194)资助 河北省自然科学基金(No. F2013501048)资助

时变网络中国邮路问题研究 · 时变网络中国邮路问题研究孙景昊著国家自然科学基金(No.61300194)资助河北省自然科学基金(No. F2013501048)资助