学员专用请勿外泄 - jsbexam.com减法）；外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）．考点·整式的运算

学员专用请勿外泄

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2018 年山东教师招聘考试寒假作业学科版-提分练习册

（数学学科）

第一部分考点点拨

考点·比与比例

1．比的意义：两个数相除又叫做两个数的比．同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比

值相当于商．

2．比例尺：（1）数值比例尺：图上距离：实际距离=比例尺；（2）线段比例尺：在图上附有一条注有数目

的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离．

3．比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．

组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．

4．正比例和反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个

数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．用字母表示 y/x=k（一

定）；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．用

字母表示 x×y=k（一定）．

考点·常见的计量单位及进率

1．长度

（1）常用单位

千米（km），米（m），分米（dm），厘米（cm），毫米（mm），微米（μm）．

（2）换算

1 毫米=1000 微米；1 厘米=10 毫米；1 分米=10 厘米；1 米=1000 毫米；1 千米=1000 米．

2．面积

（1）常用单位

平方毫米（mm2），平方厘米（cm2），平方分米，平方米（m2），平方千米，公顷．

（2）换算

1 平方厘米=100 平方毫米；1 平方分米=100 平方厘米；1 平方米=100 平方分米；1 公顷=10000 平方米；1 平

方千米=100 公顷．

3．体积和容积

（1）常用单位

体积：立方米，立方分米，立方厘米．

容积：升，毫升．

（2）换算


2

体积：1 立方米=1000 立方分米；1 立方分米=1000 立方厘米．

容积：1 升=1000 毫升；1 升=1 立方分米；1 毫升=1 立方厘米．

4．质量

（1）常用单位

吨（t），千克（kg），克（g）．

（2）换算

1 吨=1000 千克；1 千克=1000 克．

5．时间

（1）常用单位

世纪，年，月，日，时，分，秒．

（2）换算

1 世纪=100 年；1 年=365 天（平年）；1 年=366 天（闰年）．

一、三、五、七、八、十、十二月是大月，大月有 31 天；四、六、九、十一是小月，小月有 30 天；平年 2

月有 28 天，闰年 2 月有 29 天．

1，2，3 月为第一季度；4，5，6 月为第二季度；7，8，9 月为第三季度；10，11，12 月为第四季度．

1 星期=7 天；1 天=24 小时；1 小时=60 分；1 分=60 秒．

（3）判断平年、闰年的方法

公历年份是 4 的倍数一般都是闰年；如果公历年份是整百数的，必须是 400 的倍数才是闰年．

6．货币

（1）常用单位

元，角，分．

（2）换算

1 元=10 角；1 角=10 分．

考点·面积和体积

1．平面图形

（1）长方形：S=ab．

（2）正方形：S=a²．

（3）三角形：2ahS ．

（4）平行四边形：S=ah．

（5）梯形：

2a b h

S

．

（6）圆：S=πr2．

（7）扇形：2π

360n rS ．

（8）环形：S=π（R²-r²）．

（9）弓形：一般来说，弓形面积扇形面积－三角形面积（除了半圆）．


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（10）“弯角”：如图：弯角的面积正方形面积－扇形面积．

（11）“谷子”：如图： “谷子”的面积弓形面积×2．

2．立体图形

（1）长方体：S=2（ab+ah+bh），V=Sh=abh．

（2）正方体：S 表=6a²，V=a³．

（3）圆柱：S 侧=ch，S 表=S 侧+S 底×2，V=Sh．

（4）圆锥：3ShV ．

3．常用的思想方法

转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）；等积变形（割补、平移、旋转等）；借来还去（加

减法）；外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）．

考点·整式的运算

1．幂的运算性质： m n m na a a ； ( )m n mna a ； m n m na a a ； ( )n n nab a b ．

2．乘法公式

（1） 2( )( ) ( )x p x q x p q x pq ．

（2） 2 2( )( )a b a b a b ．

（3） 2 2 2( ) 2a b a ab b ．

（4） 2 2 2( ) 2a b a ab b ．

3．整式的除法

（1）单项式除以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字

母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

（2）多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

考点·因式分解

1．因式分解的方法：（1）提取公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．

2．提公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）．

3．公式法

（1）a2－b2=（a+b）（a－b）．

（2）a2+2ab+b2=（a+b）2．

（3）a2－2ab+b2=（a－b）2．

4．十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．


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考点·二次根式

1．二次根式的有关概念

（1）二次根式：式子 ( 0)a a 叫做二次根式．注意被开方数 a 只能是非负数．并且根式 a 也是非负数．

（2）最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次

根式．

（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质

（1） 0( 0)a a ．

（2） 2( ) ( 0)a a a ．

（3） 2 ( 0)( 0)

a aa a

a a

．

（4） ( 0, 0)ab a b a b ．

（5） ( 0, 0)a a a bb b ．

3．二次根式的运算

（1）二次根式的加减：先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．

（2）二次根式的乘除： ( 0, 0)a b ab a b ； ( 0, 0)a a a bbb

．

（3）二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算．二次根式的运算结果一定要

化成最简二次根式．

考点·一元二次方程

1．一般形式： 2 0( 0)ax bx c a ．

2．解法：直接开平方法；配方法；公式法 2

24 4 02

b b acx b aca

；因式分解法．

3．根的判别式：通常用“ ”来表示，即 2 4b ac ．

4．根与系数的关系：如果方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是 1x ， 2x ，那么 1 2bx xa

， 1 2cx xa

．

考点·分式

1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示

是 ,A A M A A MB B M B B M

（其中M是不等于 0 的整式）．

2．分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即a b a bc c c

．异分母的分式相加

减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即a c ad bcb d bd

．


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3．分式的乘除法：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即a c acb d bd

．分式除以

分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a c a d adb d b c bc ．

4．分式的混合运算：在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇

到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．

考点·函数

1．一次函数 y kx b 的图象与性质

2．反比例函数kyx

的图象与性质

3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与性质

a的符号 a＞0 a＜0

图象

开口方向开口向上开口向下

对称轴直线2bxa

直线2bxa

k、b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0

图象的大致位置

经过象限第一、二、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、三、四象限

性质 y随 x的增大而增大 y随 x的增大而减小

k的符号 k＞0 k＜0

图象的大致位置

经过象限第一、第三象限第二、第四象限

性质在每一象限内 y随 x的增大而减小在每一象限内 y随 x的增大而增大


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顶点坐标24,

2 4b ac ba a

24,2 4b ac ba a

增减性

当2bxa

时，y随 x的增大而减小；

当2bxa

时，y随 x的增大而增大

当2bxa

时，y随 x的增大而增大；

当2bxa

时，y随 x的增大而减小

最值当2bxa

时，y有最小值24

4ac ba

当2bxa

时，y有最大值24

4ac ba

考点·平行线的性质与判定

1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

2．性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

3．判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面

内垂直于同一直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．

考点·等腰三角形

1．等腰三角形的性质与判定

（1）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）．

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）．

③等腰三角形是轴对称图形．

（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等

边”）．

2．等边三角形的性质与判定

（1）等边三角形的性质

①等边三角形的内角相等，且都等于 60°．

②等边三角形的三条边都相等．

③等边三角形同样具有“三线合一”的性质．

④等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴．

（2）等边三角形的判定

①三条边相等的三角形是等边三角形．

②三个角相等的三角形是等边三角形．

③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形．

考点·直角三角形

1．直角三角形性质


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�

b

�

a

�

c

�

h

�

E

�

D

�

B

�

A

�

C

（1）角的关系： A B 90°．

（2）边的关系： 2 2 2a b c （勾股定理）．

（3）边角关系：90 130 2

CBC AB

A

（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）（另外还有

三角函数关系）．

（4）90 1

2C

CE ABAE BE

（直角三角形斜边上的中线 CE等于斜边 AB的一半）．

（5） 2ch ab S （如图， S是 Rt△ABC的面积， h 是斜边上的高）．

（6）外接圆半径2cR ；内切圆半径

2a b cr

．

2．直角三角形的判定

（1）有一个角等于 90°的三角形是直角三角形．

（2）有两角互余的三角形是直角三角形．

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．

（4）勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角

形．

考点·三角形全等的判定

1．边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．

2．角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）．

3．角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）．

4．边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）．

5．斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”

或“HL”）．

考点·平行四边形

1．平行四边形

（1）性质

①平行四边形对边平行且相等，对角相等；邻角互补；对角线互相平分．

②平行四边形两个邻角的平分线互相垂直，邻边不相等的平行四边形的两个对角的平分线互相平行．


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（2）判定

①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

②边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

③角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

④对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

2．矩形

（1）性质

①矩形的四个角都是直角．

②矩形的对角线相等．

③矩形具有平行四边形的所有性质．

（2）判定

①有三个角是直角的四边形是矩形．

②对角线相等的平行四边形是矩形．

3．菱形

（1）性质

①菱形的四条边都相等．

②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角．

③菱形具有平行四边形的所有性质．

（2）判定

①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

②四条边都相等的四边形是菱形．

4．正方形

（1）性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角．

②正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．

③正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中

心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

（2）判定

①一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．

②一组邻边相等的矩形是正方形．

③对角线互相垂直的矩形是正方形．

④有一个角是直角的菱形是正方形．

⑤对角线相等的菱形是正方形．

考点·圆

1．在同圆或等圆中，圆心角、圆心角对的弧、弦、弦心距有一组相等则其他几组对应相等．

2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．


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3．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

切线的判定：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

考点·视图

1．视图

主视图：从正面看到的图；左视图：从左面看到的图；俯视图：从上面看到的图．

2．画三视图的原则

长对正，高平齐，宽相等；在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见的轮廓线通常画成虚线．

3．由三视图还原几何体

观察三视图时，可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置；从俯视图上分清物体各部分的左右和前后

位置；从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置．

考点·常见统计图的特点

名称特点

条形图能清楚地表示每个项目的具体数据

扇形图能直观地反映部分占总体的百分比

折线图能清楚地反映数据的变化趋势

考点·数据的分析

1．描述数据集中趋势和平均水平特征的数

（1）平均数： 1 2 nx x xxn

．

（2）加权平均数： 1 1 2 2

1 2

n n

n

f x f x f xxf f f

．

（3）中位数：将一组数据按大小（或小大）顺序排列后，处在最中间的一个数（奇数个）（偶数个求最中间

的两个数的平均数）是中位数．

（4）众数：一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数．

（5）众数、中位数和平均数，从不同角度描述一组数据的“一般水平”．平均数的大小与一组数据中的每个

数据都有关系，容易受极端值的影响．众数仅仅关注一组数据中出现次数最多的数据．中位数是一个位置数，不

受极端值影响．一组数据的平均数、中位数是唯一的，而众数可以有多个．

2．描述数据波动大小（离散程度）特征的数

（1）方差的计算公式： 2 2 2 21 2

1 ( ) ( ) ( )ns x x x x x xn ．

（2）标准差的计算公式： 2 2 21 2

1 ( ) ( ) ( )ns x x x x x xn ．


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（3）极差：一组数据的最大值减去最小值所得的差．它是反映数据变化范围的．

（4）极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小的量，方差（或标准差）越大，数据的波动越

大，方差（或标准差）越小，数据的波动越小．

考点·集合

1．集合的运算

（1）交集：A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}．

（2）并集：A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}．

（3）补集：∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}．

2．集合的运算性质

（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．

（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．

（3）补集的性质：A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；∁U（∁UA）＝A．

（4）摩根定律：∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB）；∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）．

考点·简易逻辑

1．四种命题及相互关系

2．四种命题的真假关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

（1）如果 p⇒q，则 p是 q的充分条件，q是 p的必要条件．

（2）如果 p⇒q，q⇒p，则 p是 q的充要条件．

4．简单复合命题的真值表

p q 非 p 非 q p或 q p且 q

真真假假真真

真假假真真假

假真真假真假

假假真真假假


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5．命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或 q的否定：非 p且非 q；p且 q的否定：非 p或非 q．

考点·对数的性质与运算法则

1．对数的运算法则

如果 0a 且 1a ， 0, 0M N ，那么

（1） log log loga a aMN M N ．

（2） log log loga a aM M NN

．

（3） log logna aM n M n R ．

（4） log logmn

aa

nM Mm

．

2．对数的性质

（1） loga Na N ．

（2） log 0 1Na a N a a 且．

3．对数的重要公式

（1）换底公式： loglog , 1log

ab

a

NN a bb

均大于零且不等于．

（2） 1logloga

b

ba

，推广 log log log loga b c ab c d d ．

考点·函数的零点

1．函数零点的定义

对于函数 y f x x D ，把使 0f x 成立的实数 x 叫做函数 y f x x D 的零点．

2．几个等价关系

方程 0f x 有实数根函数 y f x 的图象与 x 轴有交点函数 y f x 有零点．

3．函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数 y f x 在区间 ,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0f a f b ，那么函数 y f x

在区间 ,a b 内有零点，即存在 ,c a b ，使得 0f c ，这个 c 也就是 0f x 的根．


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考点·指对幂函数

1．指数函数的图象与性质

y＝ax a＞1 0＜a＜1

图象

定义域 R

值域（0，＋∞）

性质

过定点（0，1）

当 x＞0 时，y＞1；当 x＜0 时，0＜y＜1 当 x＞0 时，0＜y＜1；当 x＜0 时，y＞1

在（－∞，＋∞）上是增函数在（－∞，＋∞）上是减函数

2．对数函数的图象与性质

y=logax a＞1 0＜a＜1

图象

定义域（0，＋∞）

值域 R

性质

过定点（1，0）

当 x＞1 时，y＞0；当 0＜x＜1 时，y＜0 当 x＞1 时，y＜0；当 0＜x＜1 时，y＞0

在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数

3．幂函数的图象与性质

y＝xα α＝1 α＝2 α＝3 α＝ 12

α＝－1

定义域 R R R [0，＋∞） {x|x∈R 且 x≠0}

值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y|y∈R 且 y≠0}


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奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

单调性增x∈[0，＋∞）时，增；

x∈（－∞，0]时，减增增

x∈（0，＋∞）时，减；

x∈（－∞，0）时，减

考点·三角函数的图象与变换

1．三角函数的图象和性质

函数性质 siny cosy tany

定义域 R R ,2

k k Z

在一个周

期内的图

象

值域 1,1 1,1 R

对称性

对称轴：

2

x k k Z

对称中心：

,0k k Z

对称轴：

x k k Z

对称中心： ,02

k k Z

对称中心：

,02k k Z

周期 2 2

单调性

单调增区间

2 , 22 2

k k

，

单调减区间

32 , 22 2

k k

k Z

单调增区间

2 ,2k k

单调减区间

2 , 2k k

k Z

单调增区间

,2 2

k k

k Z

奇偶性奇函数偶函数奇函数

2．函数 siny x 的图象经变换得到 siny A x 的图象的步骤如下


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考点·三角函数恒等变换

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1．

（2）商数关系：sin αcos α

＝tanα．

2．六组诱导公式

组数一二三四五六

角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－απ2－α π

2＋α

正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα

余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα

正切 tanα tanα －tanα －tanα

口诀奇变偶不变，符号看象限

3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1） sin sin cos cos sin ＝．

（2） cos cos cos sin sin ＝．

（3）tan tantan( )

1 tan tan

．

4．二倍角的正弦、余弦、正切公式

（1） sin 2 2sin cos ＝．

（2） 2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin ＝－＝－＝－．

（3） 2

2 tantan 21 tan

．

5．辅助角公式


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函数 sin cosf a b （ ,a b为常数），可以化为 2 2 sinf a b ，其中可由 ,a b的值唯一

确定．

常见的有 sin cos 2 sin4

； sin 3 cos 2sin3

； 3sin cos 2sin6

．

考点·正余弦定理

1．正弦定理：a

sin A＝

bsin B

＝c

sin C＝2R，其中 R是三角形外接圆的半径．

由正弦定理可以变形：（1）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；（2）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（3）sinA

＝a

2R，sinB＝ b

2R，sinC＝ c

2R等形式，以解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．余弦定理可以变形：cosA

＝b2＋c2－a2

2bc，cosB＝a2＋c2－b2

2ac，cosC＝a2＋b2－c2

2ab．

3．S△ABC＝12absinC＝1

2bcsinA＝1

2acsinB＝abc

4R＝

12（a＋b＋c）·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算 R、

r．

4．在△ABC中，已知 a、b和 A时，解的情况如下

A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式 sina b A＝ sinb A a b a b a b

解的个数一解两解一解一解

考点·平面向量的数量积

1．平面向量数量积的重要性质

（1）e·a＝a·e＝|a|cosθ．

（2）非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0．

（3）当 a与 b同向时，a·b＝|a||b|；当 a与 b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝ a·a．

（4）cosθ＝ a·b|a||b|

．

（5）|a·b|≤|a||b|．

2．平面向量数量积满足的运算律


16

（1）a·b＝b·a（交换律）．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（λ为实数）．

（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

3．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

（1）若 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ x2＋y2．

（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、B两点间的距离|AB|＝|AB→

|＝ x1－x22＋y1－y22．

（3）设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．

考点·数列

1．等差数列： 1 ( 1)na a n d＝＋； 11

( ) ( 1)2 2

nn

n a a n nS na d ．

2．等比数列：1

1n

na a q （ 0q ）；1 1(1 )1 1

nn

na q a a qS

q q

（ 1q ）； 1 nS n a （ 1q ）．

3．数列求和方法：（1）分组转化法；（2）错位相减法；（3）倒序相加法；（4）裂项相消法．

考点·导数与定积分

1．导数的几何意义

函数 f x 在点 0x 处的导数 '0f x 的几何意义是在曲线 y f x 上点 0 0,x f x 处的切线的斜率．相应地，

切线方程为 '0 0 0y f x f x x x ．

2．基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f（x）＝c（c为常数） f′（x）＝0

f（x）＝xα（α为实数） f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx f′（x）＝cosx

f（x）＝cosx f′（x）＝－sinx

f（x）＝ax（a>0，a≠1） f′（x）＝axlna

f（x）＝ex f′（x）＝ex

f（x）＝logax（a>0，a≠1） f′（x）＝1lnx a

f（x）＝lnx f′（x）＝1x

f（x）＝tanx f′（x）＝ 2

1cos x


17

f（x）＝cotx f′（x）＝－ 2

1sin x

3．导数的运算法则

（1） ' ' 'f x g x f x g x ．

（2） ' ' 'f x g x f x g x f x g x ．

（3）

' ' '

2 0f x f x g x f x g x

g xg x g x

．

4．复合函数的导数

复合函数 y f g x 的导数和函数 ,y f u u g x 的导数间的关系为' ' 'x u xy y u ，即 y对 x 的导数等于

y对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．

5．导数与函数的单调性

在某个区间 ,a b 内，如果 ' 0f x ，那么函数 y f x 在这个区间内是增加的；如果 ' 0f x ，那么函数

y f x 在这个区间内是减少的．

6．导数与函数的极值与最值

（1）判断 0f x 是极值的方法

一般地，当函数 f x 在点 0x 处连续时，①如果在 0x 附近的左侧 ' 0f x ，右侧 ' 0f x ，那么 0f x 是

极大值；②如果在 0x 附近的左侧 ' 0f x ，右侧 ' 0f x ，那么 0f x 是极小值．

（2）求可导函数极值的步骤

①求 'f x ；②求方程 ' 0f x 的根；③检查 'f x 在方程 ' 0f x 的根的左右两侧导数值的符号．如果左

正右负，那么 f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f x 在这个根处取得极小值．

（3）函数的最值

①在闭区间 ,a b 上连续的函数 f x 在 ,a b 上必有最大值与最小值．

②若函数 f x 在 ,a b 上是增加的，则 f a 为函数的最小值， f b 为函数的最大值；若函数 f x 在 ,a b

上是减少的，则 f a 为函数的最大值， f b 为函数的最小值．


18

③设函数 f x 在 ,a b 上连续，在 ,a b 内可导，求 f x 在 ,a b 上的最大值和最小值的步骤如下：a．求 f x

在 ,a b 内的极值；b．将 f x 的各极值与 f a ， f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最

小值．

7．定积分的运算性质

（1） ( ) ( )b b

a akf x dx k f x dx （k为常数）．

（2） [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx ．

（3） ( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx （ a c b ）．

8．微积分基本定理

一般地，如果 f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且 F x f x（）＝（），那么 ( ) ( ) ( )b

af x dx F b F a ．这个结

论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式．可以把 F（ b）－F（a）记为 ( ) |baF x ，即

( ) ( ) | ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a ．

考点·不等式

1．几种不等式的解法

（1）一元二次不等式的解法

一化：化二次项前的系数为正数．

二判：判断对应方程的根的情况．

三求：求对应方程的根．

四画：画出对应函数的图象．

五解集：根据图象写出不等式的解集．

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．

（2）高次不等式的解法：穿根法

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解

集．

（3）分式不等式的解法

先移项通分标准化，则( ) 0 ( ) ( ) 0( )f x f x g xg x

，( ) ( ) 0( ) 0( ) 0( )f x g xf xg xg x

（ “ ”或“ ”时同理）．

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解．

2．几个重要不等式

（1） 2 2 2a b ab a b R ，（当且仅当 a b 时取 " " 号）．变形公式：2 2

2a bab

．


19

（2）（基本不等式）2

a b ab a b R，（当且仅当 a b 时取到等号）．

变形公式： 2a b ab ，

2

2a bab

．

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．

（3）（三个正数的算术—几何平均不等式） 3

3a b c abc

( )a b c R, , （当且仅当 a b c 时取到等号）．

（4）绝对值三角不等式： a b a b a b ．

（5）二维形式的三角不等式： 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x y x y x x y y 1 1 2 2( , , , )x y x y R ．

（6）一般形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2 21 2 1 2( )( )n na a a b b b 2

1 1 2 2( )n na b a b a b ．

（7）排序不等式（排序原理）：设 1 2 1 2,n na a a b b b 为两组实数． 1 2, , , nc c c 是 1 2, , , nb b b 的任

一排列，则 1 2 1 1 1 1 2 2n n n n na b a b a b a c a c a c 1 1 2 2 .n na b a b a b （反序和乱序和顺序和）．

当且仅当 1 2 na a a 或 1 2 nb b b 时，反序和等于顺序和．

3．简单的线性规划

（1）一般地，二元一次不等式 0Ax By C 在平面直角坐标系中表示直线 0Ax By C 某一侧所有点组

成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式 0Ax By C 所

表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

（2）由于对直线 0Ax By C 同一侧的所有点 ,x y ，把它的坐标 ,x y 代入 Ax By C 所得到实数的符

号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 0 0,x y ，由 0 0Ax By C 的符号即可判断 0Ax By C 表

示直线 0Ax By C 哪一侧的平面区域．

（3）利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是

①在平面直角坐标系内作出可行域．

②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．

③确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．

④求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

考点·常用的距离公式

1．两点间距离公式：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y 是平面直角坐标系中的两个点，则 2 21 2 1 2( ) ( )AB x x y y ．

2．点到直线距离公式：一点 0 0( , )P x y 到直线 : 0l Ax By C 的距离 0 0

2 2

Ax By Cd

A B

．

3．两平行线间的距离：设直线 1l ， 2l 的方程分别为 1 0Ax By C ， 2 0Ax By C ，则两直线之间的距

离 1 2

2 2

C Cd

A B

．


20

考点·直线、圆的位置关系

1．两直线位置关系

（1）当 1 1 1:l y k x b ， 2 2 2:l y k x b 时，

1 2 1 2l l k k ， 1 2b b ； 1 2 1 2 1l l k k ．

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否．

（2）当 1 1 1 1: 0l A x B y C ， 2 2 2 2: 0l A x B y C 时，

1 1 11 2

2 2 2

A B Cl lA B C

； 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B ．

2．直线与圆的位置关系

设直线 : 0l Ax By C ，圆 2 2 2: ( ) ( )C x a y b r ，圆心 ( , )C a b 到 l 的距离为2 2

Aa Bb Cd

A B

，则有

d r l 与C 相离； d r l 与C 相切； d r l 与C 相交．

3．圆与圆的位置关系

设圆 2 2 21 1 1: ( ) ( )C x a y b r ， 2 2 2

2 2 2: ( ) ( )C x a y b R ．

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）与圆心距（ d ）之间的大小比较来确定．

当 d R r 时两圆外离；当 d R r 时两圆外切；当 R r d R r 时两圆相交；当 d R r 时两圆内切；

当 d R r 时两圆内含．

考点·圆锥曲线

1．椭圆

标准方程2 2

2 2 1x ya b

（ 0a b ）2 2

2 2 1y xa b

（ 0a b ）

范围 a x a －， b y b － b x b －， a y a －

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

焦点（±c，0）（0，±c）

离心率cea

∈（0，1）

a，b，c的关系 c2＝a2－b2

2．双曲线

标准方程2 2

2 2 1x ya b

（ 0a ， 0b ）2 2

2 2 1y xa b

（ 0a ， 0b ）

范围 x a 或 x a－，y∈R x∈R， y a－或 y a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

焦点（±c，0）（0，±c）


21

渐近线 y＝±bax y＝±a

bx

离心率cea

∈（1，＋∞）

a，b，c的关系 c2＝a2＋b2

3．抛物线

标准方程 y2＝2px（ 0p ） y2＝－2px（ 0p ） x2＝2py（ 0p ） x2＝－2py（ 0p ）

范围 0x ，y∈R 0x ，y∈R 0y ，x∈R 0y ，x∈R

对称轴 y＝0 x＝0

焦点 Fp2，0

F－p2，0

F0，p

2 F0，－

p2

离心率 e＝1

准线方程 x＝－p2

x＝p2

y＝－p2

y＝p2

考点·直线、平面的平行与垂直

1．线面平行

（1）判定：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平

行．

2．面面平行

（1）判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

（2）性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

3．线面垂直

（1）判定：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．

（2）性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两平面平行．

4．面面垂直

（1）判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

（2）性质：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．

考点·推理

1．归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．

归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一

般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）．

2．类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为


22

类比推理（简称类比）．

类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对

象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想．

3．合情推理

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．

4．演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．

演绎推理的一般模式———“三段论”，包括

（1）大前提——已知的一般原理．

（2）小前提——所研究的特殊情况．

（3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

考点·数学证明

1．直接证明

（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证

明的结论成立．

要点：顺推证法；由因导果．

（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判

定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．

要点：逆推证法；执果索因．

2．间接证明

反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原

命题成立的证明方法．它是一种间接的证明方法．

反证法法证明一个命题的一般步骤

（1）（反设）假设命题的结论不成立．

（2）（推理）根据假设进行推理，直到导出矛盾为止．

（3）（归谬）断言假设不成立．

（4）（结论）肯定原命题的结论成立．

3．数学归纳法

数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学

中常用来证明等式成立和数列通项公式成立．

一般地，证明一个与自然数 n有关的命题 P n（），有如下步骤

（1）证明当 n取第一个值 0n 时命题成立． 0n 对于一般数列取值为 0 或 1，但也有特殊情况．

（2）假设当 n k （ 0k n ， k 为自然数）时命题成立，证明当 1n k 时命题也成立．

综合（1）（2），对一切自然数 n（ 0n n ），命题 P n（）都成立．


23

考点·古典概型与几何概型

1．基本事件的特点

（1）任何两个基本事件是互斥的．

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

（1）具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．

②每一个试验结果出现的可能性相等．

（2）如果一次试验中可能出现的结果有 n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的

概率都是1n；如果某个事件 A包括的结果有 m个，那么事件 A的概率 ( ) mP A

n ．

3．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概

率模型，简称为几何概型．

（1）要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点

①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个．

②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

（2）几何概型中，事件 A的概率计算公式

( ) AP A 构成事件的区域测度（长度、面积、体积等）

试验全部结果构成的区域测度（长度、面积、体积等）．

考点·离散型随机变量的均值与方差

1．若离散型随机变量 X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

（1）称 EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值

的平均水平．

（2）称 DX＝E（X－EX）2为随机变量 X的方差，它刻画了随机变量 X与其均值 EX的平均偏离程度．

2．均值与方差的性质

（1）E（aX＋b）＝aEX＋b．

（2）D（aX＋b）＝a2DX．（a，b为常数）

3．二项分布的均值、方差

若 X～B（n，p），则 EX＝np，DX＝np（1－p）．

考点·二项式定理

1．二项式定理0 1 1 1 *( ) ( )n n n r n r r n nn n n na b C a C a b C a b C b n N ．


24

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 ( )na b 的二项展开式，其中的系数

0,1,2, ,rnC r n 叫做二项式系数．式中的

r n r rnC a b

叫做二项展开式的通项，用 1rT 表示，即展开式的第 1r 项

1r n r r

r nT C a b ．

2．二项展开式形式上的特点

（1）项数为 1n ．

（2）各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a与b的指数的和为 n．

（3）字母 a按降幂排列，从第一项开始，次数由 n逐项减 1 直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数

由零逐项增 1 直到 n．（4）二项式系数从 0 1,n nC C ，一直到 1,n n

n nC C ．

3．二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即m n mn nC C ．

（2）增减性与最大值：二项式系数rnC ，当

12nr

时，二项式系数是递增的；当1

2nr

时，二项式系数是

递减的．

当 n是偶数时，中间的一项 2n

nC 取得最大值．

当 n是奇数时，中间两项1

2n

nC

和1

2n

nC

相等，且同时取得最大值．

（3）各二项式系数的和

( )na b 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即0 1 2 2r n nn n n n nC C C C C ．二项展开式中，偶数

项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1 3 5 0 2 4 12nn n n n n nC C C C C C ．

考点·极限

1．洛必达法则

（1）概念：在分子与分母导数都存在的情况下，分别对分子分母进行求导运算，直到该极限的类型为可以

直接代入求解即可．

（2）适用类型：通常情况下适用于00型或者是

型极限．

2．求00或

型极限的方法

（1）通过恒等变形约去分子、分母中极限为零或无穷的因子，然后利用四则运算法则．

（2）利用洛必达法则．

（3）变量替换与重要极限．

（4）等价无穷小因子替换．

3．求 0 型极限的方法

求 0 型的方法和上述方法基本相同，必须注意的是：为使用洛必达法则需根据函数的特点先将 0 型化为

00或

型．注意，一般将较复杂的因子取作分子，特别地含有对数因子时，将该因子取作分子．


25

4．求型极限的方法

求型，一般通过适当的方法将其化为00或

型．若是两个分式函数之差，则通分转化，若是与根式函

数之和、差有关的，则需用分子有理化方法转化．

5．利用两个重要极限

0

sinlim 1x

xx

，1lim 1 e

x

x x

（或 1

0lim 1 exx

x

）．

考点·行列式的基本性质

1．行列式的值等于其转置行列式的值，即 TDD ．

2．行列式中任意两行（列）位置互换，行列式的值反号．

3．若行列式中两行（列）对应元素相同，行列式值为零．

4．若行列式中某一行（列）有公因子 k，则公因子 k可提取到行列式符号外，即

nnnn

snss

n

aaa

kakaka

aaa

21

21

11211

nnnn

snss

n

aaa

aaa

aaa

k

21

21

11211

．

5．行列式中若一行（列）均为零元素，则此行列式值为零．

6．行列式中若两行（列）元素对应成比例，则行列式值为零．

考点·矩阵

1．矩阵的概念

定义 1 矩阵：由数域 F中 mn个数 ija （ 1,2, , ; 1,2,i m j n ）排成的 m行 n列的矩形数表

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

称为数域 F上的一个 m×n矩阵，可以写作 .)( nmijaA 在不需要表示出矩阵的元素时，也可以写作 nmA ．

定义 2 相等矩阵：设 ( )s na ijA 与 ( )s nb ijB 是两个同型矩阵．如果对应的元素都相等，即

( 1,2,..., ; 1,2,..., )a b i s j n ij ij ，

则称矩阵 A与矩阵 B相等，记为 A=B．

定义 3 n阶方阵：对 nmijaA )( ，当 nm 时，则称 A为 n阶矩阵，或叫 n阶方阵．

定义 4 零矩阵：如果一个矩阵的所有元素都是 0，则矩阵称为零矩阵，记为 O．

定义 5 对称矩阵：对 ( )ij n nA a ，当 ),,2,1,( njiaa jiij 时，称 A为对称矩阵．

定义 6 反对称矩阵：对 ( )ij n nA a ，当 ( , 1,2, , )ij jia a i j n 时，称 A为反对称矩阵．对于对角线元素，


26

( 1,2, , )ii iia a i n ，所以 0( 1,2, , )iia i n ，即反对称矩阵的对角线元素为零．

定义 7 三角矩阵：主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵．例如 n×n矩阵

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

a a aa a

a

为 n阶上三角矩阵．又例如 n×n矩阵

11

21 22

1 2

0 00

n n nn

aa a

a a a

为 n阶下三角矩阵．

定义 8 对角矩阵：主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵．例如 n×n矩阵

11

22

0 00 0

0 0 nn

aa

a

为 n 阶对角矩阵，通常简记为 11 22( , , , )nndiag a a a A

定义 9 数量矩阵：主对角线元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵．例如 n×n矩阵

0 00 0

0 0

aa

a

为 n阶数量矩阵．

定义 10 单位矩阵：主对角线上元素全为 1 的数量矩阵称为单位矩阵．例如 n×n矩阵

1 0 00 1 0

0 0 1

为 n阶单位矩阵，记为 nE ．在不会引起混淆的情况下，常简记为E．

2．矩阵的线性运算

（1）矩阵的加法

定义：设 ( )s na ijA 与 ( )s nb ijB 是两个同型矩阵，称 s×n矩阵 ( )ij s na b ijC 为矩阵 A与矩阵 B的和，

记为 A+B．

运算规律：设 A，B，C，0 都是 s×n矩阵，则矩阵的加法满足下面的运算规律

① A B B A．

② ( ) ( ) A B C A B C ．

③ 0 0A A A．


27

④ ( ) 0A A ．

（2）矩阵的数乘

定义：设 ( )s na ijA 是数域 F上的矩阵，k是数域 F上的一个数，称 s×n矩阵 ( )ij s nka 为数 k与矩阵 A的数

量乘积，简称数乘，记为 kA．

运算规律：设 ( )s na ijA ， ( )s nb ijB 为数域 F上的矩阵，k和 l皆为数域 F上的任意数．由定义可知，矩

阵的加法与数乘满足下列运算规律

① ( )k l k l A A A．

② ( )k k k A B A B．

③ ( ) ( ) ( )k l kl l k A A A ．

④1 A A．

（3）矩阵的乘法

定义：设 ( ) , ( )ik s m kj m na b A B 都是数域 F上的矩阵．记 s×n矩阵 ( )ij s nc C ，

其中 1 1 2 21

m

ij i j i j im mj ik kjk

c a b a b a b a b

，称矩阵 C为矩阵 A与矩阵 B的乘积，记作 =C AB．

运算规律：若 A，B，C满足可乘条件，则

①结合律： ( ) ( )AB C A BC ．

②分配律： ( ) A B C AC BC ， ( ) C A B CA CB．

③ ( ) = ( ) = ( )k k kAB A B A B ．

④ = ( ) = ( )k k kA E A A E ．

第二部分习题演练

1．10：12=x：30，则 x 的值是（）．

A．24 B．25 C．26 D．27

2．下列计算正确的是（）．

A．2x2－4x2=－2 B．3x＋x=3x2 C．3x∙x=3x2 D．4x6÷2x2=2x3

3．定义[a，b，c]为函数 y=ax2＋bx＋c 的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结

论：

①当 m=－3 时，函数图象的顶点坐标是（13，－

83）；②当 m＞0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于

32；③当 m＜0 时，函数在 x＞1

4时，y 随 x 的增大而减小；④当 m≠0 时，函数图象经过同一个点．

其中正确的结论有（）．

A．②③④ B．①②④ C．③④ D．②④

4．如图，m∥n，直线 l 分别交 m，n 于点 A，B，AC⊥AB，AC 交直线 n 于点 C，若∠2=55°，∠1 等于（）．


28

A．35° B．45° C．55° D．65°

5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，ED 垂直平分 AB 于 D，若 AC=9，则 AE 的值是（）．

A． 6 3 B． 4 3 C．6 D．46．下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是（）．

A． B． C． D．

7．要统计一瓶饮料里各营养成分的占比情况，应选用（）．

A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．其他统计图

8．小红四次数学模考的成绩分别为 96、104、104、116，下列错误的是（）．

A．平均数是 105 B．众数是 104 C．中位数是 104 D．方差是 50

9．a>b 成立的充分不必要条件是（）．

A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3

10．已知幂函数22 2 2( ( 1) m mf x m m x ）在 (0, ) 上单调递减，则实数 m 的值为（）．

A．2 B．－1 C．2 或－1 D．1


29

11．为得到函数1sin( )2 3

y x 的图象，只需将

1sin2

y x 图象上的每一个点纵坐标不变，横坐标向（）．

A．左平移3

个单位 B．右平移3

个单位

C．左平移23

个单位 D．右平移23

个单位

12．函数 ( ) 3sin( 10 ) 5sin( 70 )f x x x 的最大值为（）．

A．7 B． 34 C．4 D．8

13．z＝x－y在2x－y＋1≥0，

x－2y－1≤0，

x＋y≤1

的线性约束条件下，取得最大值的可行解为（）．

A．（0，1） B．（－1，－1） C．（1，0） D．

12，

12

14．已知 C1：x2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋（y－4）2＝16，两圆位置关系是（）．

A．相交 B．外切 C．内含 D．内切

15．若 ( )na b 的展开式中第 20 项和第 22 项的系数之差为 0，则其展开式中最大的系数为（）．

A． 2140C B． 20

40C C． 2041C D． 20

42C

16．若 f（x）是定义在 R 上的连续函数，

2lim 2

2x

f xx

，则 f（2）等于（）．

A．2 B．1 C．0 D．－1

17．若 2 1 1

1 2

xf x x x x

x

，则 3x 的系数为（）．

A．3 B．2 C．－2 D．－3

18．时钟原来表示的时间是 7 点整，时针转了 82.5°后，现在的时刻是_________．

19．分解因式 a2－6a＋9－b2＝____________．

20．方程 x ＋ y = 18 的整数解有_________组．

21．如图，已知图中四边形两条边的长度和三个角的度数，四边形 ABCD 的面积是_________cm2．

22．如图，边长为 a 的正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，点 P 在 EC 上，PM⊥BD

于 M，PN⊥BC 于 N，则 PM＋PN=_________．


30

23．已知集合 02

xA xx

， 2log ( 1) 1B x x ，则 ( )RC A ∩B=___________．

24．已知函数 f（x）为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于_________．

25．已知向量 a＝（1，n），b＝（－1，n），a·b＝2，则|a|＝________．

26．一个圆柱形容器，从里面量，底面直径为 4dm，高 5dm．容器中装有一些水，深 27cm，现在在容器中

放入一个底面半径为 1dm，高 4dm 的圆柱体铁棒，把铁棒垂直于容器底面，竖直放在容器中，容器中水面上升多

少 cm？

27．已知关于 x 的方程 x2－2（k－1）＋k2=0 有两个实数根 x1，x2．

（1）求 k 的取值范围；

（2）若│x1－x2│=x1x2－1，求 k 的值．

28．先化简再求值： 2

6 4 3 21 1

xx x x x

，其中 x=2．

29．如图，已知△ABC为等边三角形，点 D，E分别在 BC，AC边上，且 AE＝CD，AD与 BE相交于点 F．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD的度数．


31

30．如图，已知圆⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是圆⊙O 的直径，且 BD=BC，延长 AD 到 E，且有∠EBD=

∠CAB．

（1）求证：BE 是⊙O 的切线；

（2）若 BC= 5 ，AC=3，求圆的直径 AD 及切线 BE 的长．

31．设{an}是首项为 1 的正项数列，且（n＋1）an＋12－nan2＋an＋1·an＝0（n＝1，2，3，…），求通项公式 an．

32．盒中装有 5 节同品牌的五号电池，其中混有 2 节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到

好电池为止．求：

（1）抽取次数 X的分布列；

（2）抽取次数 X的均值．

33．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 cosC＝45，c＝2bcosA．

（1）求证：A＝B；

（2）若△ABC的面积 S＝152，求 c的值．


32

34．已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面 BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是 AC，AD

上的动点，且AEAC

＝AFAD

＝λ（0<λ<1），如图．

（1）求证：不论λ为何值，恒有平面 BEF⊥平面 ABC；

（2）当λ为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD？

35．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为3

2，长轴长为 4 5，直线 l：y＝x＋m交椭圆于不同

的两点 A，B．

（1）求椭圆的方程；

（2）求 m的取值范围；

（3）若直线 l不经过椭圆上的点 M（4，1），求证：直线MA，MB的斜率互为相反数．

36．已知函数 f（x）＝x3＋ax2＋bx在 x＝－23与 x＝1 处都取得极值．

（1）求函数 f（x）的解析式；

（2）求函数 f（x）在区间[－2，2]的最大值与最小值．

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学员专用请勿外泄 - jsbexam.com减法）；外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）． 考点·整式的运算

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