Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
《常用数学软件及应用》课程论文选题及要求
选题要求:
1、每位同学从以下选题中选择 1个选题完成课程论文(任何两个同学的选题不得相
同)。问题的解决过程必须使用 matlab软件,必须包含对问题的分析、软件求解的步骤、
代码和结果。选题目录于 2018年 1月 7日公布,2018年 1 月 8日每位同学确定选题任
务(随机方式确定)。
2、交卷要求:提交纸质版课程论文和电子版(word 文档)课程论文(以附件形式发
送至 [email protected]),纸质论文统一于 2018 年 1 月 12日下午 15 点在四合院 306收
取。电子版截止日期 2018 年元月 12 号 20点)。过时提交或不提交,课程论文成绩记 0
分。
3.论文格式要求: 包括标题,摘要,关键词,正文(包含题目引述、问题分析、matlab
求解过程或作图过程、计算结果或实验结果、小结),参考文献。论文(答卷)用白色
A4纸,上下左右各留出 2.5厘米的页边距。装订时加评分封面。论文题目用 3号黑体字、
一级标题用 4号黑体字,并居中。论文中其他汉字一律采用五号宋体字,行距用单倍行
距。数学公式必须用 word 公式编辑器编辑。
摘要部分简短陈述研究了什么问题,采用了什么方法或工具,得到了什么样的结论;
关键词 3至 5个;正文不能仅仅堆砌程序段和数据图,对过程和方法要有清晰充分的文
字叙述;将程序段放在正文中;需要作图和数据表格的部分要注意排版对齐。
4.评分标准:格式和排版规范(满分 10分);表达清晰程度(满分 30 分);过程完整
性和结论正确性(满分 60分)。
常用数学软件及应用论文选题目录
《常用数学软件及应用》课程论文选题及要求 ......................................................................................... 1
选题要求: ..................................................................................................................................... 1
题目 1 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ..................................................................................... 3
题目 2 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ................................................................................... 3
题目 3 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ................................................................................... 3
题目 4 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ................................................................................... 3
题目 5 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ..................................................................................... 4
题目 6 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ..................................................................................... 4
题目 7 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ..................................................................................... 4
题目 8 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ................................................................................... 4
题目 9 利用 MAT LAB 研究函数的性质 ................................................................................... 5
题目 10 利用 MAT LAB 解决线性代数问题 ............................................................................. 5
题目 11 利用 MAT LAB 解决线性代数问题 ............................................................................. 5
题目 12 利用 MAT LAB 研究一元函数 ..................................................................................... 5
题目 13 利用 MAT LAB 研究分段函数 ..................................................................................... 6
题目 14 MAT LAB 分析二元函数的性质 .................................................................................. 6
题目 15 利用 MAT LAB 进行矩阵分析 ..................................................................................... 6
题目 16 MATLAB 在概率论和数据统计中的应用 ................................................................. 6
题目 17 MATLAB 在概率论和数据统计中的应用 ................................................................... 7
题目 18 MATLAB 在数据作图中的应用 ................................................................................... 7
题目 19 MATLAB 在数据作图中的应用 ................................................................................... 7
题目 20 MATLAB 在数列研究中的应用 ................................................................................... 7
题目 21 MATLAB 在数列研究中的应用 ................................................................................... 8
题目 22 MATLAB 在方程求根中的应用 ................................................................................... 8
题目 23 MATLAB 在微积分中的应用 ....................................................................................... 8
题目 24 MATLAB 在作图中的应用 ........................................................................................... 8
题目 25 MATLAB 在空间解析几何中的应用 ........................................................................... 9
题目 26 MATLAB 随机模拟 ....................................................................................................... 9
题目 27 MATLAB 随机模拟 ....................................................................................................... 9
题目 28 利用 MAT LAB 求函数的极值 ..................................................................................... 9
题目 29 利用 MAT LAB 求函数的极值 ................................................................................... 10
题目 30 MATLAB 在微积分中的应用 ..................................................................................... 10
题目 31 MATLAB 在微积分中的应用 ..................................................................................... 10
题目 32 MATLAB 在微积分中的应用 ..................................................................................... 10
题目 33 MAT LAB 程序设计 .................................................................................................... 11
题目 34 MATLAB 在线性代数中的应用 ................................................................................. 11
题目 35 MATLAB 程序设计 ..................................................................................................... 11
题目 36 MAT LAB 求解最值问题 ............................................................................................ 12
题目 37 MAT LAB 计算积分 .................................................................................................... 12
题目 38 用 MAT LAB 研究二次曲线 ....................................................................................... 12
题目 1 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知函数5
42
)1x(
)x3(2xy
,
(1)指出该函数的单调区间,驻点、极值点和极值;
(2)作出该函数在[-10,10]上的图形;
(3)解方程找出使 y=2 的 x 值;
(4)计算该函数在区间[0,10]上的定积分(如果得不到解析解,给出近似值);
(5)将该函数在 0x 处作泰勒展开,展开至 x 的 6 次幂,并将该近似多项式的图形与原函数比较。
题目 2 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知函数8x5x
1xxy
4
2
,
(1)指出该函数的单调区间,驻点、极值点和极值;
(2)作出该函数在[-10,10]上的图形;
(3)解方程找出使 y=1.5 的 x 值;
(4)计算该函数在区间[0,10]上的定积分(如果得不到解析解,给出近似值);
(5)将该函数在 0x 处作泰勒展开,展开至 x 的 6 次幂,并将该近似多项式的图形与原函数比较。
题目 3 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知二元函数 by3ax3yxyx)y,x(f 22 ,(其中 a=1, b=2)
(1)指出该函数的驻点、极值点和极值;
(2)作出该函数在区域 D= ]}8,8[y],5,5[x|)y,x{( 上的曲面图形;
(3)计算该函数在区域 D 上的二重积分;
(4)作出方程 0)y,x(f 所确定的隐函数的曲线图。
(5)编写一个函数 M 文件,以 x, y, a, b 作输入参数,以 f 作输出参数,调用该函数计算 x=1.5678,
y=2.3456, a=3.25, b=5.60 时的函数值。
题目 4 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知函数2
23
)1x(
3x5xx)x(f
,
(1) 作出该函数在[-10,10]上的图形;
(2) 指出该函数的单调区间,驻点;指出该函数在 1x 时的极限
(3) 解方程找出使 y=2 的 x 值;
(4) 计算该函数在区间[0,10]上的定积分(如果得不到解析解,给出近似值);
(5) 将该函数在 0x 处作泰勒展开,展开至 x 的 6 次幂,并将该近似多项式的图形与原函数比较。
题目 5 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知函数3x5x
2x3)x(f
3
,
(1) 作出该函数在[0,10]上的图形;
(2) 指出该函数的单调区间,驻点、极值点
(3) 解方程找出使 y=2 的 x 值;
(4) 计算该函数在区间[0,10]上的定积分(如果得不到解析解,给出近似值);
(5) 将该函数在 0x 处作泰勒展开,展开至 x 的 6 次幂,并将该近似多项式的图形与原函数比较。
题目 6 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知函数x
2
e1
x5x)x(f
,
(1) 作出该函数在[-2, 2]上的图形;
(2) 指出该函数的单调区间,驻点、极值点和极值
(3) 解方程找出使 y=2 的 x 值(如果得不到解析解,给出近似值);
(4) 计算该函数在区间[-2,2]上的定积分(如果得不到解析解,给出近似值);
(5) 将该函数在 0x 处作泰勒展开,展开至 x 的 6 次幂,并将该近似多项式的图形与原函数比较。
题目 7 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知二元函数2222 yx+y4x-6xy-24xy)y,x(f ,
(1)指出该函数的驻点、极值点和极值;
(2)作出该函数在区域 D= ]}8,8[y],5,5[x|)y,x{( 上的曲面图形;
(3)计算该函数在区域 D 上的二重积分;
(4)作出方程 6)y,x(f 所确定的隐函数的曲线图。
题目 8 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知二元函数 x9y3x3y)y,x(f 223 3x ,
(1)指出该函数的驻点、极值点和极值;
(2)作出该函数在区域 D= ]}8,8[y],5,5[x|)y,x{( 上的曲面图形;
(3)计算该函数在区域 D 上的二重积分;
(4)作出方程 6)y,x(f 所确定的隐函数的曲线图。
题目 9 利用 MAT LAB 研究函数的性质
选题描述:已知二元函数1y)1x(
1)1yxln()y,x(f
22
22
,
(1)指出该函数的驻点、极值点和极值;
(2)作出该函数在区域 D= ]}8,8[y],5,5[x|)y,x{( 上的曲面图形;
(3)作出方程 1)y,x(f 所确定的隐函数的曲线图。
题目 10 利用 MAT LAB 解决线性代数问题
选题描述:已知矩阵
511112
34284
110117
A ,
18
15
12
b
(1)解线性方程组 AX=b,指出该方程组的通解。给出 2 个特解。
(2)指出 A 的各列向量的一个极大线性无关组,并用极大无关组表示其余向量。
(3)记矩阵 A 与其转置矩阵的乘积为矩阵 C,求矩阵 C 的行列式、逆矩阵。
题目 11 利用 MAT LAB 解决线性代数问题
选题描述:已知线性方程组
223
358114
52562
7423
54321
5321
5421
54321
xxxxx
xxxx
xxxx
xxxxx
(1)指出该方程组的通解。给出 2 个特解。
(2)若选取4x 作自由变量,用
4x 表示其余变量。
题目 12 利用 MAT LAB 研究一元函数
选题描述:已知曲线 y= )6
x3sin(e x5.0
,在区间[0,2 ]上取 100 个曲线上的点,坐标记为 )y,x( ii 。
(1)计算 100 个纵坐标的平均值,方差。
(2)找出 100 个纵坐标中的最大值,并与该区间上的函数的最大值进行比较。
(3)作出该函数在上述区间上的图形。给图形加标题。曲线用蓝色星号点绘制。
(4)计算该函数在上述区间上的定积分。
题目 13 利用 MAT LAB 研究分段函数
选题描述:已知函数 y=
]5,3[x,8x2
)3,1(x,x4x
]1,0[x,x1
2
2
,在区间[0,5]上取 100 个曲线上的点,坐标记为 )y,x( ii。
(1)计算 100 个纵坐标的平均值,方差。
(2)作出该函数在上述区间上的图形。给图形加标题。曲线用蓝色星号点绘制。
(3)计算该函数在上述区间上的定积分。
题目 14 MAT LAB 分析二元函数的性质
问题描述:已知函数 22 yx53 yx10z e
(1)求出函数的一阶偏导和二阶偏导函数。求出它的驻点。
(2)计算行列式 ''
yy
''
yx
''
xy
''
xx
zz
zz在该函数驻点处的值;
(3)计算该函数在矩形区域 ]4,4[x , ]4,4[y 上的二重积分。
题目 15 利用 MAT LAB 进行矩阵分析
问题描述:已知矩阵
36.016.024.0
31.048.012.0
25.018.057.0
A ,
8
6
5
B
(1)分别计算AB , BA3, BA5
, BA10
,指出 BAn
的变化趋势;
(2)解矩阵方程 BAXX ,求出 X;
(3)求出 A 的特征值;
(4)将向量 B 表示成 A 的各列的线性组合。
题目 16 MATLAB 在概率论和数据统计中的应用
问题描述:使用指令生成 100 个正态分布随机数,期望为 8,标准差为 0.6. 记该矩阵为 m。
(1)计算该样本均值和样本方差;
(2)统计样本数据落在[7, 9]内的频率;
(3)求出正态分布变量 )36.0,8(N~X 2落在[7, 9]内的概率。
(4)将样本数据分布范围等分成 9 段,作出样本数据频数直方图。
题目 17 MATLAB 在概率论和数据统计中的应用
问题描述:已知某变量 X 的概率密度函数
0x0
0xe27
x4
xf9
x22
,,
,)( ,
(1)作出该变量的概率密度曲线;
(2)求该变量的分布函数;
(3)求该变量的数学期望、方差;
(4)计算 )( 8X1P 。
题目 18 MATLAB 在数据作图中的应用
问题描述:
(1)作出函数 )3x2xsin(x)x(y 22 , 22 x 的图形;
(2)写出函数在 x=0 处的切线方程,并在原函数图形上叠加画出该点的切线;给图形加标题和注释。
(3)计算该函数在 22 x 上的定积分。
(4)分别画出当 2112k ,,, 时, kxyyxz22 的曲面图形,作图区域为 ],[],[ 3333 ,
以子图方式在一个窗口中呈现四幅图形,给图形加标题。
题目 19 MATLAB 在数据作图中的应用
问题描述:
(1)作出函数 x3eyx2 cos 在 ],[ 40 内的图形;
(2)分别将该函数在 x=0 处作泰勒展开至 x 的 3 次幂,5 次幂,8 次幂。分别记这三个多项式为 P1,P2,P3.
(3)作出 P1,P2,P3 的图形与 x3eyx2 cos 进行对比;
题目 20 MATLAB 在数列研究中的应用
问题描述:已知数列
)x1(Mxx
ax
kk1k
1,其中 a,M 为常数。
(1) 当 a=0.5, M=2.8 时,计算该数列的前 50 项,并画出该数列的前 50 项数据图。(提示:用序号 i 作
横坐标,对应的项值 ix 作纵坐标);观察此时数列是否有收敛趋势?
(2)从哪一项起,相邻两项之差小于 0.0001?
(3)求该数列前 50 项之和。
题目 21 MATLAB 在数列研究中的应用
问题描述:已知平面上的点列 ),( ii yx 满足以下关系:
2y6.0x3.0y
1y2.0x8.0x
ii1i
ii1i,其中初始点
0y
3x
1
1.
(1).画出该点列前 100 项的坐标位置图(用黑色星号显示);观察该点列是否有收敛趋势。
(2)指出当 i 至少为多少时相邻两点的距离小于6
10。
(3)将其中的系数 0.2 改为 3,给出修改后的点列的第 2,5,10,30,50 项。
题目 22 MATLAB 在方程求根中的应用
问题描述:
(1)求解方程 04x2x3e2x ,保留 8 位有效数字;
(2)解方程 012x6x2xx2456 ;
(3)解方程组
5xy4yx3
13
xy2
8
y
4
x
22
22
,并作出该方程组中每个方程所确定的隐函数的曲线图。
题目 23 MATLAB 在微积分中的应用
问题描述:
(1)求由参数方程2ln 1
arctan
x t
y t
所确定的函数的一阶导数dy
dx与二阶导数
2
2
d y
dx。并计算这两个导函数
在 t=1 处的值。
(2) 计算 xdxcose2
1
0
x2
。保留 8 位有效数字;
(3)将 xcosef2x 在 x=0 处作泰勒级数展开,用 x 的 6 次多项式 )x(p 近似 )x(f ,并计算 dx)x(p2
1
0 。
题目 24 MATLAB 在作图中的应用
问题描述:已知
2
2
( )
21
( ) ,2
x
f x e
(1) 1 , 0 1 1 时 = ,-, ,在同一坐标系里作出四个函数图形,添加标题,图例。
(2) 0 , 1 2 4 = 时 = ,,,在同一坐标系里作出四个函数图形,添加标题,图例。
(3) 计算 2,5 时的定积分 dx)x(f9
0 。
题目 25 MATLAB 在空间解析几何中的应用
问题描述:
(1)随机生成两个 5 维的列向量,计算它们的数量积、模长、向量夹角。
(2) 计算点(1.25, 3.68, 4.36)到直线 L: 3 1
1 0 2
x y z
的距离;
(3) 画出空间曲面图 xcos9y3x3yxz 2233 , ]4,4[x , ]4,4[y
题目 26 MATLAB 随机模拟
问题描述:按以下规则重复生成 100 个随机数据 100,...2,1i,yi ,并对数据结果进行分析。
(1)生成一个服从均值为 10,标准差为 2 的正态分布随机数ix
(2)若 )10,0[x i ,规定 1yi ;若 )12,10[x i ,规定 2yi ,若 )15,12[x i ,规定 3yi ,其
它情形规定 0yi ,记录每一个随机数ix 对应的
iy 。
(3)求 100 个随机数据 100,...2,1i,yi 的平均值。
(4)指出上述指定的各个区间内iy 取值的频数。
题目 27 MATLAB 随机模拟
问题描述:按以下规则重复生成 100 个随机坐标点 100,...2,1i),y,x( ii ,并对数据结果进行分析。
(1)生成一个在区间[0,2]上均匀分布的随机数ix ,同时生成一个在区间[-1,1]上均匀分布的随机数
iy ;
(2)若该坐标点 )y,x( ii 位于圆 1y)1x( 22 的内部,记随机数 1ci 。若该坐标点 )y,x( ii 位于
圆 1y)1x( 22 的外部,记随机数 0ci 。
(3)统计随机数 1ci 的频率。理论上,当实验次数充分大时,ic 取值为 1 的频率近似于
4
,把实验
次数改为 10000,再次统计随机数 1ci 的频率,并验证此结论。
题目 28 利用 MAT LAB 求函数的极值
问题描述:(1)求函数 8x6xxxf 23 在区间[1,5]上的最值和极值;
(2) 求函数 xyyxyxf 3, 33 的极值点和极值;
(3) 求空间曲线
1zyx
yxz 22
上的点到原点的最短距离和最长距离。
题目 29 利用 MAT LAB 求函数的极值
问题描述:
(1)求函数 3 2)1x()4x()x(f 的极值;
(2)求二元函数22 yxe
xyz
的极值和极值点;
(3) 求直线 x8.036y 到椭圆 19
)1y(
4
x 22
的最短距离。
题目 30 MATLAB 在微积分中的应用
问题描述:
(1) 求 sin lny x x x 在 x=2 处的导数值。
(2) 求由方程2 2ln
yarctg x y
x 确定的 y 关于 x 的隐函数的导数;
(3)计算积分
1
0 2
x
dxxsin1
ex,保留 8 位有效数字。
(4)将xsin1
exy
2
x
在 x=0 处作泰勒级数展开,用 x 的 5 次多项式 )x(p 近似 y,并计算 dx)x(p
1
0 。
与问题(3)的结果进行比较。
题目 31 MATLAB 在微积分中的应用
问题描述:已知函数 0.51
62.66
1 3274.15 ty
e
(1)做出该函数图形;
(2)求函数的二阶导数及拐点;
(3)计算积分 10
0ydx ,保留 8 位有效数字。
(4)在哪一点处函数的导数等于 2?
题目 32 MATLAB 在微积分中的应用
问题描述:
(1)求极限x
x xx)
1cos
1(sinlim
,
x
x x
x cos1
1
0
sinlim
;
(2)求 )1
1arcsin()(
2
2
x
xxf
在 x=1处的导数值;
(3)求二重积分 dxdyx
y2
1 x 2
2x2
。
(4) 将 2ln 5 6x x 在 x=0 处作幂级数展开至 x 的 8 次幂。做出该 8 次多项式的函数图形和
2ln 5 6x x 的图形进行比较。
题目 33 MAT LAB 程序设计
问题描述:
(1)找出 0~500 以内所有满足不等式组
8x1
15x
30xcosx2x 2
的整数解(提示:使用循环语句);
(2) 编写一个 M 函数文件,定义如下函数:
3x1,2/)3x4x(
1x1,1x
1x3,2/)3x4x(
y2
2
2
,画出在 3,3
上的曲线;
(3)从哪一项起,数列
1n2
2n3a n 的前 n 项和首次超过 200?
题目 34 MATLAB 在线性代数中的应用
问题描述:
511112
34584
110117
A
(1)对 A 做初等行变换,将第 2 行的4
7 倍加到第一行上去,结果记为 A1;将 A1 的第 3 行的
12
7 倍
加到第一行上去,结果记为 A2;
(2)求 A 中前三列的逆矩阵,将其记为矩阵 B1;求 A 中后三列的逆矩阵,将其记为矩阵 B2;
(3)解齐次线性方程组 AX=0。表示出它的通解;
(4)将 A 和 A 的转置矩阵的乘积记为矩阵 C,求 C 的特征值与特征向量。
题目 35 MATLAB 程序设计
问题描述:
(1)编写一个函数文件,定义分段函数
1,2
1,1)(
2
xx
xxxf ,并求 )1(),2( ff ;
(2)设某质点在 XOY 平面内的运动方程为
100t4t2y
tt3x
2
2
(t 表示时刻),定义一个函数 m 文件,
输出参数是质点在任一时刻的速率和速度的方向(相对 x 轴夹角,用弧度表示)。
(3)求数列
k
2
k1k
1
x3xx
7.2x的前 100 项之和。
题目 36 MAT LAB 求解最值问题
问题描述: (1) 求函数 2x4xy 35 在[0,8]上的最小值和最小值点。
(2) 求函数22 yxxey 的极值点。
(3) 求解以下线性规划问题的解:
6,2,1i,0x
3xx
4xxx
4xxxx
.t.s
xx3xfmin
i
63
531
4321
321
题目 37 MAT LAB 计算积分
问题描述:(1)作空间曲线
( ) sin(2 )
( ) cos( ) , [0,3 ]
( )
x t t
y t t t
z t t
的图形;
(2)计算该曲线的弧长,保留 8 位有效数字。(自行查阅弧长计算公式);
(3) 计算
D
yx de22 ,其中D是由直线 1y , xy 及 y 轴围成的闭区域.
题目 38 用 MAT LAB 研究二次曲线
问题描述:
(1)画出二次曲线 015y10x10yxyx 22 的图形,指出它是双曲线还是抛物线或者圆。找
出一个适当的坐标变换
ypxpy
ypxpx
2221
1211(或用矩阵表示
y
x
pp
pp
y
x
2221
1211),使得用 x和 y
表示的曲线为标准的双曲线方程(不含有 yx 项),若果是椭圆,指出其长半轴和短半轴;如果是双
曲线,指出其实轴和虚轴长度。
(2)画出二次曲线 01y3x2yxy3x 22 的图形,指出它是双曲线还是抛物线或者圆。找出
一个适当的坐标变换
ypxpy
ypxpx
2221
1211(或用矩阵表示
y
x
pp
pp
y
x
2221
1211),使得用 x和 y表
示的曲线为标准的双曲线方程(不含有 yx 项),若果是椭圆,指出其长半轴和短半轴;如果是双曲
线,指出其实轴和虚轴长度。