CERCETAREA EXISTENȚEI PRIMITIVELOR

8/17/2019 CERCETAREA EXISTENȚEI PRIMITIVELOR

1/4

CERCETAREA EXISTEN EI PRIMITIVELOR Ț

Abstract

This material is: a property is recalled that allowed primitive functions , research has shown the

existence of primitive conditions and exemplifies their application in particular cases.

Con inutul acestui material este următorul: se reaminte te o proprietate a func iilor care admitț ș ț primitive, se prezintă condi ii de cercetare a existen ei primitivelor i se exemplifică aplicareaț ț șlor pe cazuri particulare.

Proprietatea func iilor care admit primitiveț

Fie J un interval din R

i func ia F:Jș ț→ R

. Dacă există o func ie F:Jț→ R

astfel încât

1)F este derivailă,

!)F"#x)$f#x) , ∀ x ∈J , atunci F se nume teș primitivă a func iei f.ț

Cunoa terea proprietă ilor unei func ii care admite primitive ne a%ută să descoperim metodeș ț ț pentru a decide neexisten a primitivelor în diverse cazuri concrete. &ă ne amintim următoarea:ț

Teoremă Fie J un interval din R .

Dacă f:J→ R

este o func ie care admite primitive,ț

atunci f nu are discontinuită i de prima spe ă.ț ț

emon!tra ieț 'unctele de discontinuitate de prima spe ă sunt acele puncte x pentru carețexistă f#x(),f#x*) finite i diferite.'resupunem că f admite o primitivă F. Fie + la stâna luiș

x. -plicând teorema lui arane pentru F pe [ y , x ] o inem un punct cț + ∈( y , x) cu

F#+)(F#x)$F"#c+) #+(x). Dacă + parcure irul #+ș n) tinzând la x dinspre stâna, o inem irulț ș

#c+n) tinzând la x dinspre stâna astfel încât F"#x)$lim F ( y n)− F ( x)

y n− x $lim F"#c+n). Deci

dacă există F"#x(), atunci oliatoriu F"#x()$ F"#x).-nalo dacă există F"#x*), atunciF"#x*)$ F"#x). Deoarece F"#x)$f#x), ∀ x ∈J rezultă concluzia.

Con!ecin ăț Fie J un interval din R

. Dacă f:J→ R

admite o discontinuitate de prima

spe ă atunci f nu are primitivă.ț

E"emple


2/4

#$/tilizând consecin a precedentă, ăsim solu ia pentru următoarea prolemă cunoscută dinț ț

manuale.&ă se arate că: f a:[0,1 ] → R

, f a#x)$ {cos 1

x pentru x>0

a pentru x=0 admite primitivă

dacă i numai dacă a$.ș

Solu iaț : 'rocedăm prin reducere la asurd. 'resupunem că ar exista a ≠0 astfel încât f a să

aiă primitivă pe [0,1 ] . Deoarece diferen a a două func ii care au primitive are deț ț

asemenea primitivă, rezultă că f a(f are primitivă pe [0,1 ] . 0nsă f a#x)( f #x)$

{0 pentru x>0a pentru x=0 i oriinea este punct de discontinuitate de prima spe ă pentru f ș ț a(f , contrarconsecin ei de mai sus. ămâne a$.ț

%$Dacă f 1 sau f ! nu admite primitive i f$ f ș 1 * f ! ,atunci f nu admite primitive.

&$Dacă o func ie admite primitivă pe un interval J, atunci func ia care se o ine din fț ț țsc2imând valorile lui f doar într(un număr finit de puncte, nu are primitivă pe J.

Primitive elementare

&e tie că func iile elementare sunt acele func ii reale de o variailă reală, care se o in dinș ț ț ț

func iile de ază sau din restric ii ale acelora prin opera ii de adunare, înmul ire i compunereț ț ț ț șîn număr finit.

Func iile elementare sunt derivaile pe orice mul ime desc2isă inclusă în domeniul maxim deț ț

defini ie.Derivata unei func ii elementare este tot o func ie elementară. De reulă, func iileț ț ț ț

care se exprimă prin ,,acolade3 nu sunt func ii elementare. Func iile elementare admitț ț

primitive pe orice interval desc2is inclus în domeniul maximde defini ie .'rimitiva uneiț

func ii elementare poate să nu fie elementară, adică există func ii neelementare derivaile aț ț

căror derivată este elementară.

Condi'ii nece!are de e"i!ten'ă a primitivelor unei func'ii

Teorema (condi'ie nece!ară de e"i!ten'ă a primitivei

Fie R I ⊆ un interval de numere reale. Dacă func4ia R I f →: admite primitive pe I , atunci f are proprietatea lui Daroux pe I .Corolar(Teorema lui ar)ou"

Derivata oricărei func4ii derivaile pe un interval are proprietatea lui Daroux pe acel interval.

O)!* 'entru a arăta că o func4ie R I f →: admite primitive pe I, cu R I ⊆ interval, se poateaplica una din următoarele metode:


3/4

1. &e arată că func4ia este continuă.!. &e arată că func4ia este derivailă.5. &e construie6te efectiv primitiva #în cazul în care într(un punct de discontinuitate cel

pu4in o limită laterală nu există)7. &e arată că func4ia se poate scrie ca o sumă de func4ii primitivaile.

Aplica ia #ț

&ă se demonstreze că func4ia

=

≠=→

,

,1

sin)#,:

x

x x x f R R f

admite primitive pe R, dar nu este continuă pe R.

Rezolvare:

x x x

x x

1sin

1cos!)8

1cos# ! +=

=

≠−

=

≠=

,

,1

cos!

,

,)81

cos#)#

!

x

x x

x

x

x x

x x f

f este diferen4a a două func4ii primitivaile, deci f ∈'(R)

'entru 9−∈ R x f este continuă, dar)#lim

x f

x→ nu există ⇒ f ∉ C(R).

Aplica ia %ț ;: R R f →

{ }

=⋅

−∈⋅=,

,sin

)#

xdaca

R xdaca x

x

x f

nu admite primitive.

Rezolvare:

'resupunem că admite primitive. -tunci are proprietatea lui Daroux . 0nsă având

1sin

lim =→ x

x

x

, f#)$ si luând <∈

#,1), există o vecinatate = a lui astfel încât f#x)> f#). 0nsă

);# a x∈∀avem f#x)> < i deci înș

);# a

func ia nu iațvaloarea


4/4

@iliorafie

Documents

CERCETAREA EXISTENȚEI PRIMITIVELOR