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5/13/2018 Cerchi di Mohr - slidepdf.com
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CERCHI DI MOHRnel caso di stati di tensione piani o spaziali con una
tensione principale nota a
a Autore: Fabrizio Barpi, Gennaio 2006 (http://ulisse.polito.it/matdid/1ing aer B4600 TO 0/).
1 Determinazione grafica e analitica delle tensioni principali
I dati iniziali (in modulo), nel riferimento(x,y,z), sono (Fig. 1, sinistra):
σxx = 10 N/mm2
σyy = 2 N/mm2
τ xy = 2 N/mm2
σzz = 1.5 N/mm2
xx= 10
yy = 2
xx
yy
xy = 2
x
y
z
zz
n t n
x
y zz
= 1.5
Figura 1: Stato di tensione iniziale (sinistra); vettori n e v (destra).
1.1 Trattazione grafica
La tensione σzz = 1.5 e principale in quanto, sul piano di normale z, non agiscono tensioni tangenziali. La costruzionegrafica (Fig. 2, in alto) e fatta seguendo le convenzioni di segno indicate:
• σxx, σyy : positive se di trazione,
• τ xy: positive se fanno ruotare in senso orario il cubetto elementare cui sono applicate,
• ϑ: positivo se antiorario,
da cui risultano σxx = +10N/mm2, σyy = −2N/mm2 e τ xy = +2N/mm2. Si posizionano i punti: P (σxx = +10, τ xy = +2)e P (σyy = −2,−τ xy = −2), si individua il polo P ∗ (tracciando la retta parallela all’asse delle σn da P e la parallela all’assedelle τ n da P ) e si trova (classificando, ad esempio, le tensioni principali in modo che σ1 > σ2 > σ3): σ1 ≈ 10.3, σ2 = 1.5 e
σ3 ≈ −2.3 (Fig. 2, in basso a sinistra).A questo punto e possibile calcolare le tensioni su una giacitura qualsiasi. Se, ad esempio, si desiderano le tensioni agentisulla faccia la cui normale n e inclinata di ϕ = 30◦ (Fig. 1, destra), si traccia una retta inclinata di 30◦ dalla fondamentaleP ∗P o di 2× 30◦ = 60◦ dalla fondamentale P P e si individua cosı il punto P 30 le cui coordinate danno σn e τ n. In manieraanaloga si procede per il punto P 120 (Fig. 2, in basso a destra).
1.2 Trattazione analitica
Le convenzioni di segno valide per la trattazione analitica dei cerchi di Mohr sono:
• σxx, σyy τ xy: positive se concordi con le direzioni (x,y,z),
• ϑ: positivo se antiorario,
quindi, con σxx = +10N/mm2
, σyy = −2N/mm2
e τ xy = −2N/mm2
:
ϑ =1
2atn
2 τ xyσxx − σyy
=1
2atn
2× (−2)
10− (−2)= −9.2◦, rotazione oraria,
σ1
σ3
=1
2(σxx + σyy) ±
1
2
(σyy − σxx)2 + 4 τ xy2 = σn(C ) ± R =
1
2(10 + (−2)) ±
1
2
(−2− 10)2 + 4 × (−2)2 =
= 4± 6.33 =
σ1 = 10.33 N/mm2
σ3 = −2.33 N/mm2 .
Se ϕ = 30◦, indicando con n il versore della direzione e con v il versore normale a n (Fig. 1, destra):
n =
nx
ny
=
cos ϕsin ϕ
=
cos(30◦)sin(30◦)
=
0.8660.500
,
v =
vxvy
=− sin ϕ
cos ϕ
=− sin(30◦)
cos(30◦)
=−0.5000.866
, da cui:
σn = nT tn = n
T σn =
nx ny
σxx τ yxτ xy σyy
nx
ny
= σxxnx
2 + 2τ xynxny + σyyny2 =
= 10× 0.8662 + 2 × (−2) × 0.866× 0.500 + (−2) × 0.5002 = 5.27N/mm2 = σ30.
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τ n = vT tn = v
T σn =
vx vy
σxx τ yxτ xy σyy
nx
ny
= σxxnxvx + τ xy(nxvy + nyvx) + σyynyvy =
= 10× 0.866× (−0.500) + (−2)[0.866× 0.866 + 0.500× (−0.500)] + (−2) × 0.500× 0.866 = −6.20N/mm2 = τ 30.
Se, invece, ϕ = 30◦ + 90◦ = 120◦:
n =
nx
ny
=
cos(ϕ + π
2)
sin(ϕ + π2
)
=
cos(30◦ + 90◦)sin(30◦ + 90◦)
=
−0.5000.866
,
v =vx
vy
=− sin(ϕ + π
2)
cos(ϕ + π2 )
=− sin(120◦)
cos(120◦)
=−0.866−0.500
, da cui:
σn = σxxnx2 + 2τ xynxny + σyyny
2 = 10× (−0.500)2 + 2 × (−2) × (−0.500)× 0.866+
+(−2) × 0.8662 = 2.73N/mm2 = σ120.
τ n = σxxnxvx + τ xy(nxvy + nyvx) + σyynyvy =
= 10× (−0.500) × (−0.866) + (−2)[(−0.500) × (−0.500) + 0.866× (−0.866)]+
+(−2) × 0.866× (−0.500) = +6.20N/mm2 = τ 120.
Va notato che i segni di σn e τ n risultano positivi o negativi a seconda siano concordi o discordi con i versori n e v.I valori trovati coincidono con quelli misurati sul cerchio di Mohr (Fig. 2) in corrispondenza dei punti P 30 e P 120.
Si puo risolvere per altra via il problema anche imponendo il parallelismo tra il vettore tensione tn e la normale n:
tn = σn = σnn, da cui si ottiene il sistema lineare ed omogeneo (σ − σnI )n = 0.
Per avere soluzioni diverse da n = 0 (la cosidetta soluzione banale, non accettabile in quanto nx2 + ny2 + nz2 = 1) deve
essere det(σ − σnI ) = 0:
det
σxx − σn τ yx τ zx
τ xy σyy − σn τ zyτ xz τ yz σzz − σn
= det
10− σn −2 0
−2 −2 − σn 00 0 1.5− σn
= 0.
Risolvendo rispetto a σn si ricavano le tre tensioni principali σ1, σ2 e σ3:
(1.5 − σn)(σn2 − 8σn − 24) = 0,
σ1 = 10.33 N/mm2
σ2 = 1.5 N/mm2
σ3 = −2.33 N/mm2
.
Risolvendo il sistema (σ − σnI )n = 0 in corrispondenza dei tre valori σ1, σ2 e σ3 si ottengono i tre autovettori del sistema.Ricordando che nx
2 + ny2 + nz
2 = 1, si ricava:σxx − σ1 τ yx τ zx
τ xy σyy − σ1 τ zyτ xz τ yz σzz − σ1
n1x
n1y
n1z
=
000
,
10− 10.33 −2 0
−2 −2 − 10.33 00 0 1.5 − 10.33
n1x
n1y
n1z
=
000
,
da cui: n1 =
n1x
n1y
n1z
=
±0.9870.1630.000
, ϑ1 = −9.4◦ ± 180◦;
σxx − σ2 τ yx τ zx
τ xy σyy − σ2 τ zyτ xz τ yz σzz − σ2
n2x
n2y
n2z
=
000
,
10− 1.5 −2 0
−2 −2− 1.5 00 0 1.5 − 1.5
n2x
n2y
n2z
=
000
,
da cui: n2 =
n2x
n2y
n2z
=
0.0000.000±1.000
,
e
σxx − σ3 τ yx τ zxτ xy σyy − σ3 τ zyτ xz τ yz σzz − σ3
n3x
n3y
n3z
=
000
,
10− (−2.33) −2 0−2 −2 − (−2.33) 00 0 1.5 − (−2.33)
n3x
n3y
n3z
=
000
,
da cui: n3 =
n3x
n3y
n3z
=
±0.163±0.9870.000
, ϑ3 = 80.6◦ ± 180◦.
Naturalmente n2 coincide con l’asse z. Inoltre, le tensioni e le direzioni principali coincidono con quelle trovate in Fig. 2. Si
puo verificare che che le tre direzioni principali sono ortogonali tra loro.
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La scelta del segno nelle componenti dei tre versori n1, n
2 e n3 puo essere fatta imponendo che la terna principale sia
destrorsa (n1 ×n2 ·n3 = +1).
2 OSSERVAZIONI
• Va ricordato che i cerchi di Mohr sono tre.
• La tensioni trovate con il cerchio di Mohr (trattazione grafica e analitica) sono agenti sulla faccia normale alla direzionein esame.
• Il polo P ∗ va scelto in modo tale che, tracciando le direzioni delle normali alle facce del cubetto dal polo, si ritrovino letensioni agenti su quelle stesse facce. Quindi, tracciando da P ∗ la retta parallela all’asse delle σn si devono ritrovare, inmodulo e segno, le tensioni agenti sulla faccia verticale (σxx e τ xy) mentre, tracciando da P ∗ la retta parallela all’assedelle τ n si devono ritrovare, in modulo e segno, le tensioni agenti sulla faccia orizzontale (σyy e τ yx).
• La massima tensione tangenziale τ max coincide con il raggio R del cerchio (6.33N/mm2 nell’esempio).
30 = 5.27
30 = 6.20
120
30
120 = 2.732
x
y
Tensioni agenti nel riferimento
ruotato di +30° (in senso antiorario)
120 = 6.20
1 = 10.33
3 = –2.33
1
3
2 =1.5
1
2 z
3
Tensioni agenti nel riferimento principale
x
y
2
2 =1.5
n3
n1
n2
n
n
P (10, 2)P*
O
1
3
2 N/mm2
n3
n1
120 = 2.73
3 = –2.33 1= 10.33
30 = 6.20
120 = –6.20P' (–2, –2)
2= zz=1.5
P120 (2.73, –6.20)
30 = 5.27 R = 6.33
C (4, 0)
= 9.2°
2 = 60°
= 18.4°
= 30°
P30 (5.27, 6.20)
max= 6.33
max= 6.33
Fondamentali per
la misura degli angoli
2 z
Figura 2: Costruzione grafica dei tre cerchi di Mohr (in alto); riferimento e tensioni principali (in basso a sinistra); riferimentoe tensioni nel sistema ruotato di +30◦(in basso a destra).
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NOTE
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