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una vaina rara
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Zuly Caldern Carrillo
TRANSFORMACIN DEESFUERZOS
2D
TENSOR DE ESFUERZOS
Zuly Caldern Carrillo
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
xx
zz
yy
xy
xz
zx
yz
yx
zy
y
x
z
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Cada plano del cubo:
Dos componentes de cizalla
Un componente normal
Cada plano del cubo. Esfuerzo de corte: doscomponentes perpendiculares los cuales deben estar
alineados con los ejes de los bordes, de cada cara del
cubo
DESCOMPOSICIN DEL ESFUERZO DE CIZALLA
Zuly Caldern Carrillo
x xyxz
x
y
x
z
y
x
zy
xzy
xz
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Nueve componentes deesfuerzos:
tres esfuerzos normales
seis esfuerzos de corte
Nueve componentesindependientes - valores
requeridos para definir
completamente el esfuerzo
en un punto
TENSOR DE ESFUERZOS
Zuly Caldern Carrillo
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
TENSOR DE ESFUERZOS
Zuly Caldern Carrillo
xx
zz
yy
xy
xz
zx
yz
yx
zy
y
x
z xy
Primer subndice:
Plano sobre el cual acta
Segundo subndice:
Direccin del componente
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
TENSOR DE ESFUERZOS
Zuly Caldern Carrillo
Esfuerzos xy y xycapaces de provocaruna rotacin segn eleje Z
Para anular losmomentos de estosvectores se requiere
xy = yx
xy
yx
z
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Equilibrio rotacional
Equilibrio rotacional, todas las fuerzas sobre los lados del cubo, deben estar balanceadas, no hay movimiento rotacional. Esto significa que:
xy = yx ; xz = zx ; yz = zy
TENSOR DE ESFUERZOS
Zuly Caldern Carrillo
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
MATRIZ SIMETRICA
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
TRANSFORMACIN DE ESFUERZOS
EN DOS DIMENSIONES
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Si el plano va cambiando de posicin, varan los esfuerzos
,
Zuly Caldern Carrillo
x
y
yx
xy
Y
plano
Y
xy
x
X
X
a
bo
X
Y
xyxx
yy
xx
yy
yx
xy
yx
Componentes del esfuerzo
en dos dimensiones
Esfuerzos actuando en un
plano inclinado un ngulo
ESFUERZOS EN DOS DIMENSIONES
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Muchos problemas geolgicos pueden
ser resueltos considerando el esfuerzo
en dos dimensiones, para lo cual se
considera que la fuerza acta paralela
a uno de los ejes, por ejemplo al eje Z.
ESFUERZOS EN DOS DIMENSIONES
Zuly Caldern CarrilloZuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
Transformacin del tensor de
esfuerzos
Esfuerzo normal y de cizalla
a travs de un plano
Esfuerzos en dos dimensiones.
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
CONSIDERACIONES Tomar un corte e del
pequeo cubo
Cubo en equilibrio
Equilibrio de fuerzas y demomentos en todos los
puntos del cuerpo
ESFUERZOS EN DOS DIMENSIONES
Zuly Caldern Carrillo
X
Y
xy
xx
yy
xx
yy
yx
xy
yx
Equilibrio rotacional del cuadrado alrededor del eje z
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Ejes z y z coinciden
Elemento en estudio rota unngulo con relacin al
sistema de coordenadas
original
Dos esquinas (a, b) del cuborotado tocan dos lados del
cubo original
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
Y
X
a
ob
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Base = el tringuloresultante aob
Se deben conocer losesfuerzos x, y y xy en el
sistema de coordenadas
dado (x,y)
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
x
y
yx
xy
Y
plano
Y
xy
x
X
X
a
bo
ab
oaCosy
ab
obSen
l,
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
ab
oaCosy
ab
obSen
ab es igual a l
CosloaySenlob **
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
l,
Fx
Fy
Fyx
Fxy
Y
plano
Y
xy
x
X
X
a
bo
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Cuerpo en equilibrio
esttico:
sumatoria de fuerzas
igual a cero
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
Y
Y
xy
x
X
X
CosleX **
SenleY **
CosleXY **
SenleYX **
o b
a
CosloaySenlob **
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
0' Fx
0'
le
xCosSenle
yxSenCosle
xySenSenle
yCosCosle
x
CosSenSenCos XYYXX 222
'
x
y
yx
xy
Y
plano
Y
xy
x
X
X
a
bo
Esfuerzo en x
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
x
y
yx
xy
Y
plano
Y
xy
x
X
X
a
bo
Esfuerzo en y
0' Fy
0'' leYXSenSenleYXCosCosleXYCosSenleYSenCosleX
22'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Zuly Caldern Carrillo
por 2
CosSenSenCos XYYXX 222
'
222
22
22'
CosSenSenCos XYYXy
PARA Y (ngulo)
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Zuly Caldern Carrillo
222
22
22'
CosSenSenCos XYYXy
PARA Y (ngulo)
CosSen
2
SenCos
2
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
'y
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQBSDxht65FO7byH22HHGJVeYgus69KoHkSFKVNti0y1xuJnuYIXw
Zuly Caldern Carrillo
SenCosCosSen XYYXY 222
'
222
22
22'
CosSenSenCos XYYXy
PARA Y (ngulo)
2CosSen SenSenCosCosCos
CosCos CosSen
2
SenCos
2
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
CosSenSenCos XYYXX 222
'
SenCosCosSen XYYXY 222
'
22'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
XY
Y
X
YX
y
X
CosSenSen
SenCosSen
SenSenCos
222
12
2
1
2
2
22
22
''
'
'
CosSenSen 22 222 SenCosCos
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
EJEMPLOS
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Dado x = 40 Mpa , y = 30 Mpa y xy = 15 Mpa,
Calcule x , y y xy , para igual a 300
EJEMPLO 2-2
Zuly Caldern Carrillo
X
Y
40 40
30
30
15
15
15
15Y
X
= 300
X
Y
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
EJEMPLO 2-2
Zuly Caldern Carrillo
CosSenSenCos XYYXX 222
'
866.05.015*25.030866.040 22' X
MPaX
49.50'
22'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
)5.0866.0(15)866.0()5.0(30)5.0()866.0(40 22'' YX
MPaYX
17.3''
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
Para el estado de esfuerzos dado en el Ejemplo 2-2,
calcule x y xy y dibuje las direcciones de los
esfuerzos para los siguientes ngulos (recuerde que el
ngulo es medido desde el eje x hasta la normal del plano.
= 00
= 300
= 450
= 900
EJEMPLO 2-3
Zuly Caldern Carrillo
X
Y
40 40
30
30
15
15
15
15
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
EJEMPLO 2-3
Zuly Caldern Carrillo
Caso ngulo
(grados)
Esfuerzo
normal
x (Mpa)
Esfuerzo
de cizalla
xy (Mpa)
(a) 00 40.0 15.0
(b) 300 50.5 3.1
(c) 450 50.0 -5.0
(d) 900 30.0 -15.0
Resultados obtenidos x y xy , para los cuatro ngulos
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
EJEMPLO 2-3
Zuly Caldern Carrillo
Caso ngulo x (Mpa) xy (Mpa)
(a) 00 40.0 15.0
y
x
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
EJEMPLO 2-3
Zuly Caldern Carrillo
Caso ngulo x (Mpa) xy (Mpa)
(b) 300 50.5 3.1
y
x
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
EJEMPLO 2-3
Zuly Caldern Carrillo
Caso ngulo x (Mpa) xy (Mpa)
(c) 450 50.0 -5.0
y
x
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
EJEMPLO 2-3
Zuly Caldern Carrillo
Caso ngulo x (Mpa) xy (Mpa)
(d) 900 30.0 -15.0
y
x
Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO
CIRCULO DEMOHR
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Christian_Otto_Mohr.jpg
2
2
)( 31 R
2
31 a
P (x, xy)
r
(a,0)
b0
A = 3 B = 1
max
Esfuerzos principales
Estado de esfuerzos CM
Ecuaciones del CM
Propiedades del CM
Ejemplos
CIRCULO DE MOHR
Zuly Caldern Carrillo
Tcnica usada ingeniera representar tensorsimtrico (2x2 o 3x3) calcular momentos de
inercia, esfuerzos y deformaciones,
adaptndolos caractersticas circunferencia
(radio, centro, etc)
Crculo de Mohr proporciona solucionesgrficas fciles de usar, para determinar la
magnitud y orientacin de los esfuerzos
principales, as como de esfuerzos normales y
de cizalla, para planos de cualquier orientacin
CIRCULO DE MOHR
Zuly Caldern Carrillo
Crculo de Mohr es siempre atribuido a ChristianOtto Mohr - fuentes bibliogrficas a Karl
Culmann el primer cientfico en concebir este
medio grfico para representar esfuerzos.
El profesor Mohr realiz mltiplescontribuciones pioneras a la teora de
estructuras, as como al crculo de esfuerzos,
aplicaciones en 2D y 3D.
Industria del petrleo, aplicaciones ej., el criteriode falla de Mohr-Coulomb
CIRCULO DE MOHR
Zuly Caldern Carrillo
LOS ESFUERZOS PRINCIPALES
Zuly Caldern Carrillo
plano
y
x
a
bo
Cuando el cuerpo essometido a esfuerzo,existen dos planos donde=0 (nulo), estos planos secortan en ngulo recto(planos principales)
Los esfuerzos que actan en losplanos principales sedenominan esfuerzosprincipales.
1, 3
Cualquier anlisis de falla (dctil o frgil) requiere
esfuerzos principales ya que ellos representan los
esfuerzos mximo y mnimo, o el valor del mximo
diferencial de esfuerzos.
Zuly Caldern Carrillo
LOS ESFUERZOS PRINCIPALES
3
2
1
00
00
00
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
H
h
Fractura P
R
Esfuerzos
In-situ
h
H
Invasin de
filtrado
Fluido de
leakoff
CIRCULO DEMOHR
2
2
)( 31 R
2
31 a
P (x, xy)
r
(a,0)
b0
A = 3 B = 1
max
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/Otto_Mohr.JPG
Componentes de un esfuerzo normal ejercido sobre un
plano en el que =0
LOS ESFUERZOS PRINCIPALES
Zuly Caldern Carrillo
plano
y
x
a
bo
Esfuerzos principales: 1 y 3 (=0)
13
a
Max
r
(x, xy)
(y, yx)Esfuerzo
principal
mximo
Esfuerzo
principal
mnimo
Compresin uniaxial
Compresin general
Zuly Caldern Carrillo
1
3
1
3=0
Estado de esfuerzos en C. Mohr
1
13
Tensin uniaxial
Tensin general
Estado de esfuerzos en C. Mohr
Zuly Caldern Carrillo
1
3=0
1
3
1
13
Tensin y compresin
Esfuerzo de cizalla puro
Zuly Caldern Carrillo
Estado de esfuerzos en C. Mohr
1
3
1
3 = - 1
Zuly Caldern Carrillo
CIRCUNFERENCIA!!!
Ecuacin de una circunferencia:
y
r
(x,y)
.
. x
(xc, yc)
222 ryyxx cc
Coordenadas cartesianas
Centro (xc, yc)
Radio r
Si, centro de la circunferencia coincide con el origen (0,0)
222 ryx
Zuly Caldern Carrillo
Circunferencia:
centro (a,0)
radio r
Reemplazando:
13
a
Max
r
(x, xy)
(y, yx)
222 ryyxx cc
CIRCUNFERENCIA!!!
Reemplazar a y r !
f (1 y 3 )
Zuly Caldern Carrillo
Circunferencia:
centro (a,0)
radio r
Reemplazando:
222 ''' ra YXX
2
312
2
31
22''
'
YX
X
13
a
Max
r
(x, xy)
(y, yx) 222 ryyxx cc
CIRCUNFERENCIA!!!
1. Calcular esfuerzos principales y mximo esfuerzo
de corte(conocido estado de esfuerzos)
13
a
Max
r
(x, xy)
(y, yx)Esfuerzo
principal
mximo
Esfuerzo
principal
mnimo
Mximo
esfuerzo
de corte
Zuly Caldern Carrillo
Radio del crculo:(Pitgoras)
Centro del crculo:
22 22
1XYYXr
YXa 2
1
ECUACIONES C. M. f(, )
a
r
(x, xy)
(y, yx)
222 22 XYYXr
Zuly Caldern Carrillo
f( a, r)
Esfuerzo principal mximo
Esfuerzo principal mnimo
Mximo esfuerzo de corte
PROPIEDADES DE C. M.
13
a
Max
r
(x, xy)
(y, yx)
Zuly Caldern Carrillo
Esfuerzos principales y
mximo esfuerzo de corte:
Esfuerzo principal mximo
1 = a + r
Esfuerzo principal mnimo 3 = a - r
Mximo esfuerzo de corte max = r
PROPIEDADES DE C. M.
13
a
Max
r
(x, xy)
(y, yx)
EJEMPLO-1
Conocido el estado de esfuerzos,
determinar los esfuerzos principales y
sus orientaciones
Zuly Caldern Carrillo
EJEMPLO-1
Calcule los esfuerzosprincipales, el mximo
esfuerzo de corte y el
ngulo de rotacin para
los datos mostrados en la
figura.
Dibuje los esfuerzosprincipales en la direccin
correcta.
X
Y
40 40
30
30
15
15
15
15
i,j , i,j = MPa
Zuly Caldern Carrillo
Radio del crculo:
Centro del crculo:
c
r
(x , xy) = (40, 15)
(y , yx) = (30, 15).
.
1
3
22 22
1XYYXr
YXa 2
1
EJEMPLO-1
1 = a + r
3 = a - r
max = r
Zuly Caldern Carrillo
x = 40 Mpay = 30 Mpaxy = 15 Mpa
Radio del crculo:
Centro del crculo:
c
r
(x , xy) = (40, 15)
(y , yx) = (30, 15).
.
1
3
22 22
1XYYXr
22 15230402
1r MPar 81.15
YXa 2
1 3040
2
1a
MPaa 00.35
EJEMPLO-1
Zuly Caldern Carrillo
Esfuerzos principales y mximo esfuerzo de corte:
Esfuerzo principal mximo 1 = a + r1 = 35 + 15.81 1 = 50.81 Mpa
Esfuerzo principal mnimo 3 = a - r
3 = 35 - 15.81 3 = 19.19 Mpa
Mximo esfuerzo de corte max = r = 15.81 Mpa
EJEMPLO-1
DIRECCIN DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES
ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y
Zuly Caldern Carrillo
CosSenSenCos XYYXX 222
'
SenCosCosSen XYYXY 222
'
22'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
XY
Y
X
YX
y
X
CosSenSen
SenCosSen
SenSenCos
222
12
2
1
2
2
22
22
''
'
'
CosSenSen 22 222 SenCosCos
Zuly Caldern Carrillo
Direccin de los esfuerzos principales:
PROPIEDADES DE C. M.
022'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
22 SenCosCosSen XYYX
222 SenCosCos
CosSenSen 22
Zuly Caldern Carrillo
Direccin de los esfuerzos principales:
PROPIEDADES DE C. M.
022'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
222
1CosSen XYYX
YXXYTan
Cos
Sen
22
2
2
YXXYTan
2
2
1 1
Zuly Caldern Carrillo
ngulo de rotacin (Planos principales):
078.35
y
x
= 35.780
y
y
1= 50.81 MPa
= 19.19 MPa3
EJEMPLO-1
YXXYTan
2
2
1 1
Zuly Caldern Carrillo
ngulo de rotacin (Planos principales):
YXXYTan
21
3040152
1
Tan
056.71
078.35
EJEMPLO-1
22
)( 31 R
P (x, xy)
r
(a,0) b0
3 1
max
2
Construccin del
Crculo de Mohr
2
2
)( 31 R
2
31 a
P (x, xy)
r
(a,0)
b0
A = 3 B = 1
max
X
Y
40
30
15
15
Zuly Caldern Carrillo
CONSTRUCCIN DEL CM
Construya sistema de ejes ortogonales x y y,utilizando la misma escala. Haga coincidir eleje con el eje x; y el eje con el eje y.
Grafique los esfuerzos normales x y ysobre el eje .
Dibuje el esfuerzo de corte xy actuando en elborde derecho del elemento de la figura,directamente debajo o encima del punto querepresenta x sobre el eje normal .
Zuly Caldern Carrillo
CONSTRUCCIN DEL CM
Si el esfuerzo de corte xy acta en direccincontraria a las manecillas del reloj con relacin
al centro del elemento, grafique el punto por
encima del eje normal ; pero si el esfuerzo de
corte xy acta en direccin a las manecillas del
reloj el punto se grafica por debajo del eje
normal
Esta convencin de signos solo se utiliza para graficar losesfuerzos de corte en el crculo de Mohr ya que estos signosson solo vlidos para la representacin grfica
Zuly Caldern Carrillo
CONSTRUCCIN DEL CM
Dibuje el esfuerzo de corte yx actuando en elsistema, por encima o por debajo del punto y,pero en el lado opuesto al eje del esfuerzo normaldibujado en el paso anterior, de manera que lospuntos sean diametralmente opuestos.
Ahora, una los puntos, (x, xy) y (y , xy)mediante una lnea recta, la cual constituye eldimetro del crculo. La lnea dibujada corta el ejede esfuerzo normal en el punto (x + y).
Dibuje el crculo con centro en el eje normaligual a (x + y).
2. Calcular el esfuerzo normal () y el esfuerzo de cizalla ()
conocidos el ngulo de inclinacin y los esfuerzos
principales
Zuly Caldern Carrillo
CosSenSenCos XYYXX 222
'
22'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
ECUACIONES CM
Retomando:
Utilizando identidades trigonomtricas:
2
212 Cos
Cos
2
212 Cos
Sen
Haciendo coincidir los ejes cartesianos con lasdirecciones principales:
CosSenSen 22
Zuly Caldern Carrillo
CosSenSenCos XYYXX 222
'
ECUACIONES CM
2
212 Cos
Cos
2
212 Cos
Sen
2
21
2
21'
CosCosYXX
222
3131' CosX
Zuly Caldern Carrillo
ECUACIONES CM
22'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
2
2
2
231''
SenSenYX
22
31'' SenYX
CosSenSen 22
Zuly Caldern Carrillo
ECUACIONES CM
222
3131' CosX
Definiendo los trminos a y r:
22
31'' SenYX
f( a, r)
Zuly Caldern Carrillo
ECUACIONES CM
222
3131' CosX
Definiendo los trminos a y r:
2
31 a
2
31 r
2' CosraX
22
31'' SenYX
2'' SenrYX
EJEMPLO-2
Conocidos los esfuerzos principales y el ngulode inclinacin, determinar el esfuerzo normal() y el esfuerzo de cizalla ()
3
1
Zuly Caldern Carrillo
Determine el esfuerzo normal y el esfuerzo de cizalla,
para los siguientes datos:
1 = 200 Mpa3 = 50 Mpa
EJEMPLO-2
o25
Ragan, Daniel. Structural geology, an introduction to geometrical techniques. Third edition. 1985
Zuly Caldern Carrillo
222
3131' CosX
22
31'' SenYX
EJEMPLO-2
)25(22
50200
2
50200' CosX
MPa
X2.173'
22
31'' SenYX
MPaYX
45.57''
MTODO ANALTICO:
Zuly Caldern Carrillo
MTODO GRFICO:Centro del crculo:
Radio del crculo:
312
1 a MPaa 125
EJEMPLO-2
312
1 r
502002
1a
502002
1r MPar 75
Construir el crculo
2
22
3131' CosX
22
31'' SenYX
Zuly Caldern Carrillo
MPaa 125
EJEMPLO-2
MPar 75
TAREA!!!Construir el crculo
222
3131' CosX
22
31'' SenYX
2' CosraX
2'' SenrYX
2
Zuly Caldern Carrillo
Crculo de Mohr
'X ''YX
2' CosraX 2'' SenrYX
0
90
180
270
360
312
1 a 31
2
1 r
Zuly Caldern Carrillo
Crculo de Mohr
'X ''YX
2' CosraX 2'' SenrYX
0 200 0
90 125 -75
180 50 0
270 125 75
360 200 0
312
1 a 31
2
1 r
Propiedades delCrculo de Mohr
Zuly Caldern Carrillo
Direccin de los esfuerzos principales:
PROPIEDADES DE C. M.
022'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX
22 SenCosCosSen XYYX
222 SenCosCos CosSenSen 22
222
1CosSen XYYX
YXXYTan
Cos
Sen
22
2
2
YXXYTan
2
2
1 1
Zuly Caldern Carrillo
Angulo representado en el CM:
Comparando las dos ecuaciones
PROPIEDADES DE C. M.
2
2
)( 31 R
2
31 a
P (x, xy)
r
(a,0)
b0
A = 3 B = 1
max
Cosraboaob
2
31
2
31 r
CosobX
22
3131'
222
3131' CosX
2
CM Realidad
Zuly Caldern Carrillo
Relacin diametral de puntos para planosperpendiculares. Cualquier par de planos perpendiculares serepresentan como dos puntos diametralmente opuestos en elcrculo de Mohr.
PROPIEDADES DE C. M.
r = max
13=450
A
B
AB
450 =900
Zuly Caldern Carrillo
Mximo esfuerzo de corte
Est representado por la longitud del radio Ocurre cuando = 900 o = 450, de manera que los
planos del mximo esfuerzo de corte estn orientados a450.
PROPIEDADES DE C. M.
r = max
13=450
A
B
A B
450 =900
Zuly Caldern Carrillo
Mximo esfuerzo de cortePrueba de tensin (dctil, frgil) - falla resultante tieneforma de cono en un ngulo cercano a 45 grados (Losplanos del mximo esfuerzo de corte estn orientados a450 )
PROPIEDADES DE C. M.
AADNOY, B.S. y LOOYEH, R. Petroleum rock mechanics: drilling operations and well design. First edition.USA: Elsevier. 2011.
Zuly Caldern Carrillo
FALLA vs. DIACLASA
H
Fractura P
R
H
Zuly Caldern Carrillo
FALLA vs. DIACLASA
Falla
Discontinuidad que se formapor fractura en las rocas
Movimiento de uno de los lados respecto del otro
Se forman esfuerzos tectnicoso gravitatorios
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/
3/34/Fault_limestone.jpg/220px-Fault_limestone.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Falla
H = 2
h = 3
v = 1
Zuly Caldern Carrillo
FALLA vs. DIACLASA
Diaclasa
Fractura en las rocas No hay deslizamiento de los
bloques
Desplazamiento correspondemnima separacin transversal
http://es.wikipedia.org/wiki/Diaclasa
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Diaclasas_en_dolom%C3%ADas_Cuenca.jpg/290px-Diaclasas_en_dolom%C3%ADas_Cuenca.jpg
Diaclasas conjugadas
No existe un mtodosencillo para dibujar elcrculo de Mohr querepresente el caso msgeneral, donde actan elesfuerzo normal y elesfuerzo de corte, en lasseis caras de un cubo
Su construccin es mscomplicada, que en el casode dos dimensiones
CIRCULO DE MOHR - 3D
Zuly Caldern Carrillo
xx
y
zz
yy
xy
xz
zx
yz
yx
zy
x
z
Elemento cbico y Diagramas de Mohr
CIRCULO DE MOHR - 3D
Zuly Caldern Carrillo
3
2
1
3 2 1
Existe un caso simple en el cual se pueden representar
tres crculos en el espacio (, ), cuando en el elemento
cbico actan solo esfuerzos normales (es decir esfuerzos
principales) sobre las seis caras del cubo.
CIRCULO DEMOHR
2
2
)( 31 R
2
31 a
P (x, xy)
r
(a,0)
b0
A = 3 B = 1
max