ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZEk154.fsv.cvut.cz/~koska/publikace/soubory/studie_koska.pdfČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE . FAKULTA STAVEBNÍ . OBOR GEODÉZIE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ

OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE

KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE

doktorand Ing. Bronislav Koska

školitel Doc. Ing. Jiří Pospíšil, CSc.

Studie disertační práce na téma

Optoelektronické metody 3D zaměření povrchů předmětů

Praha, listopad 2005

0. Seznam často použitých akronymů Katedra speciální geodézie

OBSAH SEZNAM POUŽITÝCH AKRONYMŮ ..................................................................................... 3 1. ÚVOD..................................................................................................................................... 4 2. DEFINICE PROBLÉMU ..................................................................................................... 5 3. MOŽNOSTI VYUŽITÍ ORTOGONÁLNÍHO PROKLÁDÁNÍ ...................................... 6 4. HISTORICKÝ VÝVOJ METOD PROKLÁDÁNÍ............................................................ 8

4.1. DALŠÍ METODY PROKLÁDÁNÍ........................................................................................ 8 5. SOUČASNÝ STAV ORTOGONÁLNÍHO PROKLÁDÁNÍ............................................. 9

5.1. MOŽNOSTI KLASIFIKACE METOD ORTOGONÁLNÍHO PROKLÁDÁNÍ ............................... 9 5.1.1. Klasifikace podle tvaru funkce.................................................................................. 9 5.1.2. Klasifikace podle rozdělení modelových parametrů ............................................... 10

5.1.2.1. Transformace ................................................................................................................ 10 5.1.3. Klasifikace podle minimalizované funkce ............................................................... 10

5.1.3.1. Délkový algoritmus....................................................................................................... 10 5.1.3.2. Souřadnicový algoritmus .............................................................................................. 11

5.1.4. Klasifikace podle způsobu řešení............................................................................ 11 5.1.4.1. Metoda odděleného určení proměnných ....................................................................... 11 5.1.4.2. Metoda současného určení proměnných ....................................................................... 11

5.2. SOUČASNÉ POŽADAVKY NA METODU ORTOGONÁLNÍHO PROKLÁDÁNÍ ...................... 11 5.3. SKUPINY PRACUJÍCÍ NA VÝVOJI ALGORITMU ORTOGONÁLNÍHO PROKLÁDÁNÍ ........... 12

5.3.1. S. J. Ahn a kolektiv.................................................................................................. 12 5.3.2. A. Atieg a G.A. Watson ........................................................................................... 13

5.3.2.1. Nekompletní ortogonální prokládání ............................................................................ 13 5.3.3. P. Faber a R.B. Fisher ............................................................................................ 14 5.3.4. G. Lukács, A.D. Marshal a R.R. Martin.................................................................. 14

5.4. ALGORITMUS III .......................................................................................................... 14 5.4.1. Maticová formulace řešení ..................................................................................... 14 5.4.2. Hledání ortogonálního bodu v implicitním tvaru ................................................... 15

5.4.2.1. Newtonova metoda ....................................................................................................... 15 5.4.2.2. Metoda Lagrangeových multiplikátorů ......................................................................... 16

5.4.3. Algoritmus III v implicitním tvaru geometrického útvaru....................................... 16 5.4.4. Algoritmus III pro geometrický útvar v parametrickém tvaru ................................ 18

5.5. PŘIBLIŽNÉ HODNOTY PRO ORTOGONÁLNÍ PROKLÁDÁNÍ ............................................. 18 5.5.1. Metoda evoluce ....................................................................................................... 18 5.5.2. Metoda normál........................................................................................................ 19 5.5.3. Momentová metoda................................................................................................. 19 5.5.4. Metoda náhodného výběru...................................................................................... 19

5.6. VEŘEJNÉ SOFTWARY K ORTOGONÁLNÍMU PROKLÁDÁNÍ ............................................ 20 5.7. KOMERČNÍ SOFTWARE K ORTOGONÁLNÍMU PROKLÁDÁNÍ V OBLASTI GEODÉZIE....... 20 5.8. NORMA ČSN EN ISO 10360-6 .................................................................................... 21

6. MOTIVACE KE VZNIKU KNIHOVNY SPATFIG....................................................... 22 7. CÍLE DISERTAČNÍ PRÁCE ............................................................................................ 23 8. METODY A STAV ŘEŠENÍ CÍLŮ DISERTAČNÍ PRÁCE.......................................... 24

8.1. VÝBĚR NEJVHODNĚJŠÍ METODY .................................................................................. 24 8.2. KNIHOVNA SPATFIG.................................................................................................. 24

8.2.1. Použitá licence ........................................................................................................ 25 8.2.2. Použitý programovací jazyk a knihovny ................................................................. 25 8.2.3. Implementované geometrické útvary ...................................................................... 25

- 2 -

0. Seznam často použitých akronymů Katedra speciální geodézie

8.2.4. Implementace SPATFIGU v C++........................................................................... 25 8.2.5. Možnost rozšíření funkcí ......................................................................................... 27

8.3. TESTOVÁNÍ KNIHOVNY SPATFIG............................................................................... 27 8.3.1. Generátor měření.................................................................................................... 27 8.3.2. Srovnání s komerčními produkty ............................................................................ 27

9. OSTATNÍ PROJEKTY...................................................................................................... 31 9.1. LASEROVÝ A OPTICKÝ ROTAČNÍ SKENER – LORS ...................................................... 31 9.2. ZKOUMÁNÍ NEČEKANĚ VELKÝCH ODCHYLEK MODELOVÝCH PARAMETRŮ NĚKTERÝCH

GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ .......................................................................................... 32 9.3. VYŠETŘOVÁNÍ SMĚRODATNÝCH ODCHYLEK DÉLEK A SMĚRŮ U LASEROVÝCH

SKENOVACÍCH SYSTÉMŮ ............................................................................................. 32 10. ZÁVĚR................................................................................................................................. 34

10.1. DŮLEŽITÉ POZNÁMKY ................................................................................................. 34 11. VLASTNÍ PŘÍNOS AUTORA STUDIE........................................................................... 36

11.1. REALIZOVANÉ PROJEKTY ............................................................................................ 36 11.2. ČÁSTEČNĚ REALIZOVANÉ PROJEKTY .......................................................................... 36 11.3. BUDOUCÍ PROJEKTY REALIZOVANÉ V RÁMCI DISERTAČNÍ PRÁCE .............................. 36

12. POUŽITÁ LITERATURA................................................................................................. 37 13. VLASTNÍ PUBLIKACE .................................................................................................... 39

Seznam často použitých akronymů GÚ – geometrický útvar

LORS – laserový a optický rotační skener

LSS – laserové skenovací systémy

OP – ortogonální prokládání

- 3 -

1. Úvod Katedra speciální geodézie

1. Úvod V průběhu druhé poloviny devadesátých let se v geodézii objevila technologie laserového

skenování. Od začátku 21. století již můžeme hovořit o jejím běžném komerčním nasazení. Tato technologie ohromila obrovskou efektivností sběru dat. Laserové skenovací systémy (LSS) dokážou při využití pulsní dálkoměrné technologie měřit tisíce bodů a při využití fázové technologie desetitisíce bodů za vteřinu. Po čase používání LSS se však ukázalo, že jejich "úzkým hrdlem" je zpracování naměřené množiny bodů (tzv. mračna bodů). Existující projekty často obsahují stovky miliónů bodů a poměr mezi dobou sběru dat a jeho zpracováním se pro běžné aplikace uvádí 1/10 až 1/100.

Doposud nevyřešeným problémem LSS je jejich kalibrace. U klasických teodolitů se metodika kalibrace vyvíjela desetiletí a obsahuje značně sofistikované metody. Naproti tomu jsou kalibrační metody LSS teprve v počátcích vývoje. Existuje zde jistá podobnost LSS a totálních stanic s pasivním odrazem, u nichž je ale výhodou snazší manipulace. Problémem LSS je také neznalost jejich vnitřních principů, které výrobci z konkurenčních důvodů tají. Stejně tak jsou utajovány algoritmy ke zpracování naměřených dat. Z těchto a dalších důvodů výrobci u LSS neuvádějí běžné charakteristiky přesnosti zaměřených bodů.

Hardwarové řešení LSS nelze blíže studovat, protože se jedná o uzavřenou "černou skříňku". Oblastí, kde je možnost aspoň částečně poodhalit komerční řešení, je software. Ten je možno rozdělit do několika základních kategorií:

• nástroje k práci s mračnem bodů – registrace mračen z různých stanovisek, úpravy mračen z hlediska hustoty a členitosti bodů, segmentace mračna, …

• nástroje pro prokládání geometrických útvarů – použití pro matematicky jednoduše definovatelné křivky a plochy

• nástroje pro vytváření a práci s trojúhelníkovými sítěmi a non-uniform rational B-splines (NURBS) – pro nepravidelné křivky a plochy

• nástroje pro práci s texturami – obrázky ze skeneru nebo z externích zdrojů

V předkládané studii je přiblížena druhá uváděná skupina nástrojů, tedy problematika prokládání geometrických útvarů množinou bodů v souladu s metodou nejmenších čtverců.

Znalost a programové zpracování této problematiky může být využito k pokročilým účelům. Jedná se například o modelování procesu měření skenovacího sytému a vyhodnocení naměřených dat za účelem prognózy chyb nebo o analýzu přesnosti LSS založené na vyhodnocení zaměřených geometrických útvarů, u kterých jsou známy modelové parametry.

V práci je představena veřejná knihovna tříd a funkcí SPATFIG, která slouží k ortogonálnímu prokládání geometrických útvarů a kterou vytváří autor studie.

- 4 -

2. Definice problému Katedra speciální geodézie

- 5 -

2. Definice problému V prostoru Rn je dáno m bodů. Je dána funkce v implicitním tvaru:

( , ) 0F =a X

( , )uX a

2 T T0σ = d P Pd

2 T T0 ( ) ( )σ

, (1)

nebo parametrickém tvaru:

, (2)

kde a je sloupcový vektor neznámých modelových parametrů dimenze p, X je sloupcový vektor daných bodů dimenze (m×n, 1) a u je vektor parametrů (parametrického popisu geometrického útvaru). Úkolem algoritmu je určení hodnot parametrů a tak, aby byla minimalizována zadaná funkce. V případě prokládání geometrických útvarů (dále GÚ) se jedná o funkci:

, (3)

nebo o funkci:

′ ′= X - X P P X - X . (4)

d je sloupcový vektor ortogonálních (nejkratší vážená geometrická) vzdáleností mezi danými body Xi a odpovídajícími body na GÚ ′Xi

1 T

T T

T 1/2 T 1/2

=

=

-Q P PP P = V λV

(P P) V λ V = P

, PTP je váhová matice nebo matice váhových koeficientů (Q-1), P je nesingulární symetrická matice a X' je sloupcový vektor souřadnic bodů na útvaru odpovídajících bodům vektoru X. Funkce (σ0/√r), kde r značí počet stupňů volnosti, je tzv. směrodatná odchylka jednotková aposteriorní.

Matici P je možné získat odmocninou z matice váhových koeficientů. Odmocninu z pozitivně definitní matice lze vypočítat pomocí její diagonalizace, odmocnění diagonální matice vlastních čísel a zpětném roznásobení:

, (5)

kde V je matice vlastních vektorů a λ je diagonální matice vlastních čísel.

Uvedená problematika se v zahraniční literatuře nazývá například geometrické prokládání (geometrical fitting), Euklidovské prokládání (Euclidean fitting), regrese podle ortogonálních vzdáleností (orthogonal regression), obecněji nelineární regrese nebo prokládání podle ortogonálních vzdáleností (orthogonal distance fitting). V prácí bude užíván zkrácený poslední uvedený termín ve formě "ortogonální prokládání" (dále OP).

3. Možnosti využití ortogonálního prokládání Katedra speciální geodézie

3. Možnosti využití ortogonálního prokládání Možnosti využití OP jsou velmi široké a rozsah rozměrů jeho aplikování je od nanometrů

(trajektorie částic ve fyzice částic) po tisíce světelných let (trajektorie kosmických těles v astronomii).

OP je používáno všude tam, kde je nutné prokládat křivky nebo plochy nadbytečným počtem měření.

Podle [ 4] lze uvést například tyto aplikační oblasti a konkrétní využití:

• inženýrská geodézie, strojírenství: reverzní inženýrství a modelování

• souřadnicová metrologie: základní cíl je přesné určení modelových parametrů

• astronomie: určování trajektorie (orbitu) kosmického tělesa (první aplikace C. F. Gaussem na planetce Ceres)

• fyzika částic: OP křivek trajektorií částice oddělené z atomu v akcelerátoru

• počítačové a přístrojové vidění: rozpoznávání vzorů z 2D snímků nebo 3D mračna bodů, interpretace scén a rekonstrukce objektů

• robotika, sportovní a zábavní průmysl: analýza pohybu pomocí prokládání křivek skupinou zaměřených bodů

Pro úplnost lze uvést, že autor studie se poprvé k problematice OP dostal při vývoji LSS LORS (laserový a optický rotační skener, viz. kap. 9.1), kde bylo nutné při konfiguraci systému řešit OP roviny laseru a dále kružnice ve 3D při určování osy točny.

Vzhledem k zaměření autora studie je práce orientována zejména na první dvě uvedené aplikační oblasti. Z praktického hlediska to znamená, že není nutné brát ohled na zpracování v reálném čase. Dále je tím přibližně vymezen seznam útvarů nezbytně nutných k implementaci. V následné tabulce je uveden seznam útvarů implementovaných ve dvojici nejrozšířenějších softwarů pro zpracování mračna bodů. Jedná se o software Cyclone dodávaný firmou Leica k LSS HDS a 3Dipsos dodávaný firmou Trimble k LSS Mensi. Tabulka je doplněna útvary definovanými v normě ČSN EN ISO 10360-6, která slouží k posuzování vyhodnocovacího softwaru v souřadnicové metrologii (viz. kap. 5.8) a útvary implementovanými autorem studie v knihovně SPATFIG.

- 6 -

3. Možnosti využití ortogonálního prokládání Katedra speciální geodézie

Cyclone 5.1

(Leica)

3Dipsos 3.0.3

(Trimble)

ISO 10360-6

SPATFIG

2D útvar

přímka

úsečka

kružnice

část kružnice

elipsa

část elipsy

složená křivka

rovina

3D útvar

koule

válec

prstenec s kružnicovým průřezem

prstenec s obdélníkovým průřezem

kužel

excentrický kužel

elipsoid

kvádr

jehlan

extruze (protažení) 2D útvaru

kloub

roh

Tab. 1 – Útvary implementované v Cyclonu, 3Disposu, ISO 10360-6 a SPATFIGU

Pro útvary uvedené v tabulce jsou většinou implementovány proložení za různých doplňujících podmínek, takže celkový počet možných proložení je výrazně vyšší. Jako příklad doplňujících podmínek lze uvést daný poloměr pro všechny útvary s poloměrem (kružnice, koule, válec, kužel), proložení vodorovných, svislích nebo kolmých rovin, proložení přímek ležících v dané rovině a další.

- 7 -

4. Historický vývoj metod prokládání Katedra speciální geodézie

- 8 -

4. Historický vývoj metod prokládání Prvním předpokladem výpočtu OP bylo vymyšlení metody nejmenších čtverců. Tuto

matematickou metodu vytvořil roku 1795 německý matematik C. F. Gauss.

4.1. Další metody prokládání Před nástupem metody OP se většinou používaly různé náhradní funkce k prokládání. To

bylo způsobeno jednak nedostatečným výpočetním výkonem a jednak i teoretickou složitostí OP. Nejdůležitější je klasifikace podle metody prokládání, i když náhradní metody k OP pomalu ztrácejí své opodstatnění.

První a nejjednodušší náhradní funkcí je tzv. algebraické prokládání. Ta je založena na algebraické vzdálenosti, která je minimalizována:

. (6) 2

1min ( , )

m

ii

F=∑a

a X

Jak je vidět u algebraického prokládání, je minimalizována přímo implicitní funkce v základním tvaru (1).

Další možností je minimalizování upravené implicitní funkce ve tvaru:

2

1

( )min( )

mi

i i

FF=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟∇⎝ ⎠

∑a

a, Xa, X

, (7)

kde v znamená l2 normu vektoru v (někdy nazývána Euklidovská norma).

Tato metoda se nazývá normalizované algebraické prokládání nebo podle autora "Taubin’s fitting".

Pro úplnost je uvedena i funkce OP ve stejném tvaru:

1

2

,{ } 1min

mi i

m

i ii′ = =

′−∑a X

X X , (8)

což je jen jiná forma zápisu (3) nebo (4) bez uvedení vah.

Tyto metody jsou srovnány v několika pracích například [ 4], [ 10] a [ 11].

Hlavní výhodou metod algebraického prokládání a normalizovaného algebraického prokládání je snadná definice funkce vzdálenosti, která se v sumě čtverců minimalizuje. V případě algebraického prokládání je touto funkcí přímo implicitní rovnice útvaru a v případě normalizovaného algebraického prokládání je to implicitní funkce lomena l2 normou gradientu. Pro algebraické prokládání existuje vždy uzavřené analytického řešení pro výpočet definované vzdálenosti. V případě OP existuje uzavřené analytické řešení jen pro nejjednodušší útvary. V případě řešení OP při neexistenci uzavřeného řešení je výpočet ortogonální vzdálenosti nejvíce náročnou částí. Proto je v těchto případech OP mnohem náročnější na výpočetní výkon. Podle [ 11] je OP přibližně 2x-20x náročnější než normalizované algebraické prokládání.

Mezi zásadní nevýhody algebraického prokládání patří:

• definice chyb není v souladu s principem měření

• není zřejmá interpretace algebraické vzdálenosti

5. Současný stav ortogonálního prokládání Katedra speciální geodézie

- 9 -

• pro útvary vyššího než druhého stupně (kvadratické plochy, …) neexistuje efektivní metoda k získání fyzických parametrů (tvar, velikost, pozice, …) z algebraických parametrů

• parametry modelu nejsou nezávislé na souřadnicových transformacích

Z výše uvedeného srovnání různých prokládacích metod je zřejmé, že algebraické prokládání a normalizované algebraické prokládání téměř nemá v dnešní době opodstatnění. V některých případech může být pouze použito pro přibližné řešení některých parametrů pro OP.

5. Současný stav ortogonálního prokládání Zhruba před sto lety bylo vyřešeno K. Pearsonem OP roviny a přímky v uzavřeném

analytickém tvaru s použitím momentové metody. Tato metoda je dodnes používána, protože přímka a rovina často slouží jako vhodná aproximace před OP složitějšími GÚ.

Až na několik výjimek pro nejjednodušší útvary (koule, kružnice, elipsa) je nutné OP řešit iterativně. Proto byl další rozvoj těchto algoritmů možný až s nástupem osobních počítačů v 80. letech 20. století. V té době se objevuje několik obecných algoritmů pro OP, které mají z hlediska dnešních požadavků vždy nějaké nedostatky.

V současnosti probíhá v oblasti OP bouřlivý vývoj, který nastartoval nástup používání osobních počítačů. V souladu s růstem výkonnosti výpočetní techniky a možností vývojových prostředků (programovací jazyky, vývojové prostředí) rostou i možnosti a aplikace OP. Tento nárůst výpočetního výkonu ovlivňuje oblast OP přímo i nepřímo.

Přímým důsledkem je, že výpočetní výkon je na dostatečné úrovni, aby bylo možné počítat OP pro velké množiny bodů i pro velmi složité útvary bez uzavřeného analytického řešení pro výpočet ortogonální vzdálenosti. Pro menší počty bodů a jednodušší útvary s uzavřeným analytickým řešením pro řešení ortogonální vzdálenost je možné počítat OP v reálném čase.

Nepřímým důsledkem je výrazné navýšení počtu aplikací pro OP v dalších oblastech závislých na výpočetním výkonu a na možnostech technologií. Jedná se zejména o oblasti vývoje robotů, automatizace výroby, laserové skenovací systémy a další (viz. kap. 3).

5.1. Možnosti klasifikace metod ortogonálního prokládání Pro potřeby formálního rozdělení dále uváděných metod je nutná určitá forma

klasifikace.

5.1.1. Klasifikace podle tvaru funkce Většinu GÚ (jak ploch tak křivek) je možné vyjádřit ve třech různých tvarech:

• explicitní tvar: , )( ,Z F X Y=

(F

a

• implicitní tvar: , ) 0=a X

• parametrický tvar: ( , )X a u

Tvary GÚ lze mezi sebou snadno převádět.

Explicitní tvar je nejméně vhodný, protože může nabývat pouze jednu hodnotu pro explicitní souřadnici. Proto s jeho použitím nelze popisovat celé uzavřené GÚ.


- 10 -

Implicitní tvar je vhodný pro všechny typy GÚ kromě prostorových křivek. Prostorové křivky jsou totiž v implicitním tvaru definovány jako průsečík dvou implicitních ploch. Použitelných kombinací těchto ploch ale může být větší množství a obecně jsou přeparametrizovány. Proto musí být zavedeny doplňující podmínky, které ale mohou být v extrémních případech omezující. Některé užitečné křivky nemohou být vhodně implicitně popsány vůbec (šroubovice).

Nejobecnější popis geometrických útvarů umožňuje parametrický tvar. Pro některé plochy je ale méně vhodný než tvar implicitní.

5.1.2. Klasifikace podle rozdělení modelových parametrů Parametry popisující GÚ mohou souhrnně popisovat tvar a polohu. Potom vektor

parametrů značíme b.

Z hlediska další práce s proloženým GÚ je vhodnější rozdělení parametrů na parametry popisující tvar GÚ a polohu GÚ. V metodách, které pracují s parametry tímto způsobem, budeme vektor parametrů značit a. Parametry polohy budeme dále rozdělovat na parametry posunu a rotace (shodnostní transformace). Vektor parametrů a dimenze p tedy obsahuje parametry tvaru ag dimenze l, parametry posunu ap dimenze n a parametry rotace ar dimenze s. Platí tedy vztahy p=l+n+s a vektor a lze psát ve tvaru (ag

T, apT, ar

T)T.

5.1.2.1. Transformace Pokud je uvažováno dělení parametrů, potom je součástí metody OP transformace a

výpočet ortogonálních bodů se děje v transformovaném souřadnicovém systému. Implicitní a parametrické funkce GÚ získávají místo tvarů (1) a (2) tvary:

(9) -1( , ) ( , ) .u +

g g p r g

g 0X a R x a u X

( , ) ( , ) ( , ( , , ) ( , ) 0,F f f f= = =0a X a x a x a a X) a R(X - X

1

T -1 T, ,

T T0 0 0

)

( ) ,

( , , ) ( , , )

,

= X Y Z andω ϕ κ

ω ϕ κ

−+

= =

= =

0 0

x y z

p 0 r

X = X R x x = R(X - X

R = R r r r R R

a X a

2 T0σ =

Znak označuje shodnost plynoucí z definice.

A transformace mají tvar:

(10)

5.1.3. Klasifikace podle minimalizované funkce V kap. 2 byly uvedeny dvě funkce, jejichž minimalizace řeší hledané modelové

parametry. Funkce jsou totožné, pokud není uvedena kovarianční matice měření a nebo je jednotkovou maticí.

5.1.3.1. Délkový algoritmus

První algoritmus pracuje s funkcí (3) Td P Pd . Jak již bylo uvedeno v kap. 2 je d vektor ortogonálních vzdáleností a jeho dimenze je m. Matice PTP je matice váhových koeficientů pro jednotlivé body v tomto případě pochopitelně rozměru (m, m).

Je zřejmé, že váhy mohou být přiděleny pouze jednotlivým bodům a nikoliv souřadnicím. Stejně tak mohou být zavedeny korelace pouze mezi jednotlivými body a ne mezi souřadnicemi. Tento algoritmus budeme nazývat "délkový algoritmus"


- 11 -

5.1.3.2. Souřadnicový algoritmus

Tento algoritmus pracuje s funkcí (4) ( )2 T T0 ( )σ ′ ′X - X . V souladu s kap. = X - X P P 2 je

X' sloupcový vektor souřadnic bodů na útvaru, které odpovídají daným bodům vektoru X. Matice PTP je opět matice váhových koeficientů, v tomto případě pro jednotlivé souřadnice, má tedy rozměr (n·m, n·m). Tento algoritmus budeme nazývat "souřadnicový algoritmus".

Je zřejmé, že souřadnicový algoritmus je zobecněním délkového algoritmu. Jeho nevýhodou je vyšší paměťová náročnost a složitější implementace nových GÚ.

5.1.4. Klasifikace podle způsobu řešení Existují dva základní způsoby jak řešit nelineární problém formulovaný vzorcem (3) a

(4).

5.1.4.1. Metoda odděleného určení proměnných Název první metody můžeme přeložit jako "metoda odděleného určení proměnných".

Jedná se o dvoukrokové řešení.

Nejprve je v tzv. "vnitřní iteraci" nalezen ke každému zadanému bodu příslušný ortogonální (geometricky nejbližší) bod. Pokud neexistuje uzavřené analytické řešení, je nutné tyto body hledat iterativně. Potom je tato část metody nejnáročnější na výpočetní výkon.

V druhém kroku tzv. "vnější iteraci" jsou hledány modelové parametry a.

Vnitřní a vnější iterace se opakuje, dokud není splněno zadané kritérium pro přírůstek modelových parametrů.

Vnější iterace je analogií metody vyrovnání zprostředkujících měření z teorie vyrovnávacího počtu (viz. [ 17]). Zprostředkující měření jsou v této analogii ortogonální vzdálenosti a minimalizované neznámé jsou modelové parametry a. Matice normálních rovnic má dimenzi vektoru a, tedy (p, p).

5.1.4.2. Metoda současného určení proměnných Druhou metodu je možno přeložit jako " Metoda současného určení proměnných".

Tato metoda řeší nelineární problém v jediném kroku. Metoda je analogií metody podmínkového vyrovnání s neznámými (viz. [ 17]). Matice normálních rovnic má dimenzi rovnu počtu měření v součtu s počtem neznámých, tedy (m+p, m+p) pro rovnici (3) a (3m+p, 3m+p) pro rovnici (4). Z toho je zřejmé, že pokud není použit algoritmus pro práci s řídkými maticemi, je tato metoda velmi nevhodná z důvodu výpočetní a paměťové náročnosti. Při uvažování logického požadavku m>>p je výpočetní a paměťová náročnost řádu O(m3), zatímco u metody odděleného určení proměnných je řádu O(m).

5.2. Současné požadavky na metodu ortogonálního prokládání S přihlédnutím k faktům uvedeným v kap. 5.1 lze současné požadavky na metodu OP

shrnout:

• prokládání obecných GÚ v implicitním a parametrickém tvaru (viz. kap. 5.1.1)

• rozdělení modelových parametrů na tvarové a polohové parametry (viz. kap. 5.1.2)

• robustní a rychlá konvergence


- 12 -

• nízká výpočetní a paměťová náročnost

• snadná implementace nových GÚ

5.3. Skupiny pracující na vývoji algoritmu ortogonálního prokládání

V současné době se věnuje metodám OP několik skupin autorů. V následujícím přehledu budou uvedeny nejaktivnější skupiny pracující v oblasti OP a jejich přístupy. V závěru budou přístupy srovnány a bude zvolen nejvhodnější algoritmus, který bude implementován do knihovny SPATFIG.

5.3.1. S. J. Ahn a kolektiv Tato skupina z institutu IPA1 pří stuttgartské univerzitě se začala problematice věnovat

kolem roku 1999. Od tohoto roku jsou datovány jejich publikace týkající se OP. Některé zveřejněné publikace jsou [ 1], [ 2] a [ 3]. Práce této skupiny je shrnuta v disertační práci S. J. Ahna [ 4]. V této práci jsou uvedeny dvě prokládací metody pro GÚ v implicitním tvaru a tři pro GÚ v parametrickém tvaru. Uváděné metody jsou shrnuty v následující tabulce (S je označení GÚ):

délkový algoritmus souřadnicový algoritmus

Metoda současného určení proměnných

Algoritmus I

{ }( )T T ( )′ ′P P X - X

1,( )min

mpi iR S=∈ ′ ∈a X

X - X

Metoda odděleného určení proměnných

Algoritmus II

{ }( )T T

1

min min p m

i iR S=

∈ ′ ∈a Xd P Pd

{ }

Algoritmus III ( )T T

1

( ) ( )min min p m

i iR S=

∈ ′ ∈

′ ′a X

X - X P P X - X

Tab. 2 – Dělení algoritmů podle S. J. Ahna

Algoritmus II a III je definován jak pro implicitní, tak pro parametrické vyjádření GÚ. Algoritmus I pouze pro parametrické tvary.

Podle S. J. Ahna a kolektivu algoritmy II a III konvergují rychleji a jsou robustnější než algoritmus I. S algoritmem I je taky spojena vysoká výpočetní a paměťová náročnost, pokud není použit nástroj pro práci s řídkými maticemi (viz. kap. 5.1.4).

Pokud srovnáme algoritmy II a III, autoři uvádějí zhruba stejné vlastnosti z hlediska rychlosti konvergence a robustnosti. Výrazně lepší chování má algoritmus III při OP prostorových křivek (řešeno pouze pro parametrický tvar). Naopak jeho nevýhodou je složitější implementace nového GÚ.

V případě implicitních tvarů je potřeba u algoritmu II pouze první derivace implicitní funkce v základním tvaru podle modelových parametrů f∂ ∂ ga a gradient f∇ . V případě algoritmu III je nutná druhá derivace f∂∇ ∂x a smíšená druhá derivace f∂∇ ∂ ga

.

1 Fraunhofer Institute for Manufacturing Engineering and Automation


- 13 -

V případě parametrického vyjádření GÚ je situace podobná. I druhý algoritmus potřebuje pro implementaci nového GÚ první a druhou derivaci (∂ ∂x u ,∂ ∂ gx a , 22∂ ∂x u ). Algoritmus

III dále potřebuje druhou smíšenou derivaci ( 2∂ ∂ ∂ gx u a ).

Z důvodů uvedených výše a v odstavci 5.3.2 byl k implementaci v knihovně SPATFIG zvolen algoritmus III. Detaily tohoto algoritmu budou uvedeny v kap. 5.4.

5.3.2. A. Atieg a G. A. Watson Tito autoři z matematické katedry university v Dundee ve Skotsku1 uveřejnili několik

článků týkajících se OP. Jedná se například o publikace [ 5], [ 6], [ 7] a [ 8].

V publikaci [ 5] jsou shrnuty existující metody k OP. Dvě základní metody zde uvedené principiálně odpovídají dělení podle kap. 5.1.3 a v publikaci jsou označovány jako Gauss-Newtonovo řešení v Rm pro délkový algoritmus (kap. 5.1.3.1) a Gauss-Newtonovo řešení v Rn·m pro souřadnicový algoritmus (kap. 5.1.3.2). Dále podle výše uvedené klasifikace metod v kapitole 5.1 obě srovnávané metody pracují s implicitními i parametrickými tvary a obě používají odděleného určení proměnných (kap. 5.1.4.1)

Z hlediska rozdělení modelových parametrů (kap. 5.1.2) jsou parametry a odděleny na parametry tvarové ag a parametry transformace, i když oproti metodám v kap. 5.3.1 je definice problému trochu odlišná.

Při popisu metody řešení v Rm vychází autor z množství prací z komunity pracující v oblasti souřadnicové metrologie, např. [ 9]. Při popisu metod řešení v Rn·m vychází autoři zejména z práce skupiny S. J. Ahna (viz. kap. 5.3.1). S. J. Ahn ve své disertační prácí [ 4] nicméně uvádí obě metody řešení (v Rm i v Rn·m).

V závěru je uvedeno srovnání obou metod pro OP. Srovnání je v souladu se závěry v [ 4]. Řešení v Rn·m je posuzováno jako efektivnější pro křivky v prostoru. V ostatních případech jsou obě metody srovnatelné. Výhodou řešení v Rm je naopak snadnější implementace nových GÚ (není nutný výpočet druhých derivací v implicitním tvaru a smíšených druhých derivací v parametrickém tvaru) a nižší paměťová náročnost (dvakrát nižší v 2D a třikrát ve 3D).

5.3.2.1. Nekompletní ortogonální prokládání Z hlediska volby základního algoritmu pro knihovnu SPATFIG, vytvářenou autorem

studie, je velmi důležitá publikace [ 6], která se zabývá tzv. "nekompletním OP". Tímto termínem je myšleno OP GÚ, kde neexistuje ke každému zadanému bodu Xi odpovídající ortogonální bod na GÚ . Tato situace může nastat často v praxi, pokud je prokládán GÚ s určitým omezením (úsečka, válec dané délky atp.). V takovýchto případech je vybrána přirozená alternativa – geometricky nejbližší bod na GÚ. V závěru práce je prezentováno zjištění, že rozšířené řešení problému v Rn·m je mnohem vhodnější než rozšířené řešení v Rm. To je způsobeno zejména špatnou podmíněností druhého řešení v případě téměř ortogonální vzdálenosti (tato situace bude v praxi velmi častá). I v ostatních případech je první řešení rychlejší.

′Xi

Skutečnosti uvedené v předchozím odstavci jsou dalším důvodem k volbě metody řešení v Rn·m v knihovně SPATFIG. V současnosti sice není nekompletní OP v knihovně zpracováno, jeho implementace je logických zobecněním stávající metody.

1 Department of Mathematics, University of Dundee, Scotland


- 14 -

5.3.3. P. Faber a R. B. Fisher Tato skupina z katedry informatiky Edinburghské univerzity ve Skotsku1 uvedla několik

prací srovnávajících algebraické prokládání, normalizované algebraické prokládání a OP (viz. kap. 4.1, [ 10] a [ 11]).

Jejich další práce se zabývá přímou (neiterační) metodou OP elipsy [ 12].

5.3.4. G. Lukács, A. D. Marshal a R. R. Martin Tato skupina z katedry počítačových věd z Cardiffské univerzity ve Velké Británie2

publikovala několik prací týkajících se OP konkrétních kvadratických GÚ (viz. [ 13] a [ 14]). Jedná se o kouli, válec, kužel a torus. Nejedná se tedy o obecné metody OP GÚ jako v případě kap. 5.3.1 a 5.3.2.

Navržená originální metoda je založena na nahrazení původní ortogonální vzdálenosti pomocnou funkcí podobných vlastností (nulová hodnota pro body ležící na GÚ a stejná první derivace v bodech na povrchu GÚ). Dalším specifikem metody je eliminace nadbytečných parametrů pomocí podmínky, která je u některých tvarů GÚ nutná a slouží k odstranění nejednoznačnosti vyjádření GÚ. Vyjádření GÚ je tedy jednoznačné a k jeho výpočtu iterativní metodou je možné použít přímou metodu bez zavedení podmínek (například pomocí Lagrangeových multiplikátorů).

Tyto speciální metody nebyly v literatuře porovnány z hlediska robustnosti a rychlosti konvergence s obecnými metodami uvedenými v kapitolách 5.3.1 a 5.3.2. Proto by bylo vhodné v rámci disertační práce toto srovnání provést.

5.4. Algoritmus III V kapitole 5.3 byly představeny základní skupiny metod k OP rozdělené podle autorů a

vlastností. V kapitole 8.1 jsou tyto vlastnosti shrnuty a jako nejvhodnější je vybrána metoda, kterou její autor označil jako Algoritmus III. Tato metoda tedy byla vybrána k použití v knihovně SPATFIG. Proto si na dalších řádcích popíšeme podrobněji její matematické řešení.

5.4.1. Maticová formulace řešení Nejprve si znovu uveďme základní funkci, kterou je nutné minimalizovat: (4)

)′X . Základní nutnou podmínkou minimalizace této funkce je: 2 T0 ( )σ = X - X T (′ P P X -

T

2 T T0 2 ( )σ∂⎛ ⎞ ′= − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

J P P X - X 0a

, (11)

kde

′∂

∂XJ =a

(12)

je tzv. Jacobiho matice.

Tyto rovnice mohou být řešeny Gauss-Newtonovou iterační metodou (viz. [ 16]) ve tvaru normálních rovnic:

1 Division of Informatics, University of Edinburg, Scotland 2 Department of Computer Science, Cardiff University, UK


- 15 -

T T T T1( ) , k k +′Δ = = +J P PJ a J P P X - X a ak k α ⋅Δa , (13)

kde α je vhodně zvolené číslo menší nebo rovno jedné (ve SPATFIGU α = 1).

Pokud bude použita metoda singulární dekompozice (viz. [ 16] a [ 26]), je možné řešit přímo rovnice návrhu ve tvaru:

1( ) , k k kkα+′Δ = = + ⋅ΔPJ a P X - X a a a . (14)

Gauss-Newtonova iterace bude ukončena při dosažení podmínky:

kΔ ≤a , (15)

kde Δa

( )( )

je l2 norma vektoru, Δa a k je vhodně zvolené číslo (ve SPATFIGU k = 10-6).

Pokud je v algoritmu potřeba splnit určitou podmínku pro hledané parametry, je navržen způsob pomocí velkých vah (ve SPATFIGU 106). Potom se rovnice (14) změní na tvar:

( )

, const′⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂

Δ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠c

cc cc c

P X - X fa J =-W f a -W J a

( ) const

PJ, (16)

kde =cf a - 0 je vektor podmínek pro modelové parametry, Wc je matice druhých odmocnin vah jednotlivých podmínek (ve SPATFIGU 10-3).

5.4.2. Hledání ortogonálního bodu v implicitním tvaru Hledání ortogonálního bodu je nejvíce problematická část této metody. V knihovně

SPATFIG nebyl zatím implementován GÚ, u kterého nebylo známo uzavřené analytické řešení pro hledání ortogonálního bodu, takže tato část metody zatím není ve SPATFIGU zavedena. Z těchto důvodů bude popis této části stručnější.

S.J. Ahn uvádí dvě možnosti hledání ortogonálního bodu.

5.4.2.1. Newtonova metoda Nutnou podmínkou pro ortogonální bod xi' na povrchu implicitního GÚ je rovnoběžnost

normály v tomto bodě se spojnicí s bodem daným. To lze zapsat ve tvaru:

( ) 0f i∇ × − =x x , (17)

kde ∇ je gradient, × je vektorový součin, xi je daný bod a x je bod na f.

Hledaný ortogonální bod musí na povrchu GÚ tedy musí splňovat podmínku:

, , 0( )fi

i

f⎛ ⎞=⎜ ⎟∇ × −⎝ ⎠

gf(a x x) =x x

, (18)

Tato podmínka je řešená Newtonovou metodou:

1( ) , k k kkα+

∂Δ = = + ⋅Δ

∂f x -f x x x xx

(19)

Někdy je vhodné podmínku, že bod x leží na povrchu GÚ (podmínka f) zeslabit pomocí nižší váhy. Iterace začíná z daného bodu xi.


- 16 -

5.4.2.2. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Druhou možnou formulací problému je hledání minima funkce pro x:

, (20) T( ) ( )i ix - x x - x

) ( )f xλ+- x

za podmínky f (x) = 0.

Lagrangeova funkce má tvar:

(21) T( , ) ( ) (i iL λ x x - x x

Podmínka minima je:

2( )

( )i f

L f xλ

λ

+ ∇⎛ ⎞⎜ ⎟L∇⎛ ⎞

= =∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠∂⎝ ⎠

- x - x0 (22)

Kromě těchto základních metod jsou v [ 4] uvedeny postupy na ověření ortogonálního bodu (protože podmínky (18) a (22) z principu iterují k lokálnímu extrému) a metody pro zrychlení jeho hledání.

5.4.3. Algoritmus III v implicitním tvaru geometrického útvaru Vyjdeme z vyjádření Jacobiho matice (12) odvozené z rovnice transformace (10). Pro

jeden bod můžeme psát:

[ ]

[ ]

TT

,

T

ii i

i

i

J ′′ ′= =

′=

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂= = − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ′= + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

0X a

X X x x

x x r

XX x RR xa a a a

x RR 0 I xa a

T

. (23)

I označuje jednotkovou matici.∂ lze získat z podmínky pro ortogonální bod ∂x a (18). Ta po derivaci nabude tvaru:

i

i

⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

xf x f f-x a x a a

. (24)

i∂ ∂x a lze opět získat z rovnice transformace. Ostatní matice i a∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂f x, f x f a se získají derivací z (18) a z lineárních kombinací chybového vektoru (xi–x). Z důvodu jednoduššího zápisu autor této metody navrhl vytvoření matic FHG:

, , ,f f, fff f f

x y z⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟∇∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠g

F = H = G =x a

(25)

S pomocí těchto matic lze automaticky naplnit matice i a∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂f x, f x f a :


- 17 -

0 0 0( ) 0

( ) 00

0 ( )

0

0 0 0

0

0

0

1000

i i

i i

i i

i

0

f f fx y zf f

y y x x y xz z x x f f

z xz z y yf fz y

⎛ ⎞⎜ ⎟

f fy x

f fz x

f fz y

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟

⎛ ⎞ ∂ ∂−⎜ ⎟− − −∂ ∂ ∂⎜ ⎟=

⎜ ⎟− − −∂−⎜ ⎟

− − −⎝ ⎠∂ ∂⎜ ⎟−⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟−⎜ ∂ ∂ ⎟

∂ ⎜ ⎟= ∂ ∂⎜ ⎟∂ −⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟−⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∂=

∂

f H +x

fx

fa

( )

0 0 0( ) 0

( ) 00 ( )

i i

i i

i i

y y x xz z x x

z z y y

⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟

− − −⎝

G 0 0

.

(26)

Je vidět, že k implementaci nového GÚ v implicitním tvaru stačí vyjádřit derivace podle vztahů (25).

Schéma Algoritmu III pro OP GÚ v implicitním tvaru je zobrazeno níže:

obr. 1 – Schéma metody OP GÚ v implicitním tvaru


- 18 -

5.4.4. Algoritmus III pro geometrický útvar v parametrickém tvaru Z nedostatku prostoru v rámci studie nebude algoritmus hledání ortogonálního bodu ani

naplnění Jacobiho matice pro parametrický tvar GÚ podrobně rozepsán. Principielně se jedná o obdobu prokládání v implicitním tvaru. Pro hledání ortogonálního bodu jsou opět navrženy dvě metody: Newtonova metoda a Levenberg-Marquardtova metoda se širším konvergenčním rozsahem.

Jedinou povinností při implementaci nového GÚ v parametrickém tvaru je vyjádření matic XHG (obdoba FHG v implicitním tvaru):

( , ), ,uu uv u vvu vv

u

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠g

G x0x xxX = x x H = G = G x1x xu aG xv⎝ ⎠2

(27)

Pro pochopení je uvedeno schéma Algoritmu III pro OP GÚ v parametrickém tvaru:

obr. 2 – Schéma metody OP GÚ v parametrickém tvaru

5.5. Přibližné hodnoty pro ortogonální prokládání Jako pro každou iterativní metodu je nutné dodat pro OP přibližné počáteční hodnoty

modelových parametrů. V přehledu metod uvedených v kapitole 5.3 je určením přibližných hodnot modelových parametrů věnován jen malý prostor. Proto bude nutné další studium specializovaných materiálů.

5.5.1. Metoda evoluce V pracích skupiny S.J. Ahna (kap. 5.3.1) je navržena metoda tzv. "evoluce modelů". Tato

metoda je založena na postupném OP GÚ od nejjednoduššího v evoluční řadě až po požadovaný GÚ. Každý složitější GÚ přebírá z předcházejícího všechny společné parametry jako přibližné hodnoty. Typickým příkladem může být řada pro OP superelipsoidu:


poloměr a délka os: b,c; úhly rot.: ω,ϕ,κ

tvar: ε1,ε2

X0 koule elipsoid superelipsoid

Tab. 3 – Evoluční řada superelipsoidu

X0 je těžiště (průměrný bod). Dalším krokem pro většinu GÚ bývá průměrná vzdálenost. V [ 4] jsou uvedeny čtyři logické evoluční řady.

Nevýhodou evolučních řad je, že nejsou jednoznačné. Například pro podlouhlý válec je navržena řada "těžiště – přímka – válec" a pro úzký řez válcem evoluční řada " těžiště – rovina – kružnice – válec". Algoritmus rozhodnutí, zda je množina bodů spíše rovinná, a nebo spíše přímková, není v práci uveden a jeho vytvoření může být složité.

Na druhou stranu jsou metody uvedené v kap. 5.3.1 natolik robustní, že v provedených experimentech algoritmy konvergovaly i při zcela špatných odhadech některých parametrů.

5.5.2. Metoda normál V pracích [ 13] a [ 14] skupiny autorů prezentované v kapitole 5.3.4 je uvedena metoda

výpočtu přibližných hodnot parametrů pomocí normál k povrchu definovanému mračnem bodů.

Problém výpočtu vektoru osy rotačního útvaru ze čtyř bodů s normálami k povrchu je možné převést na řešení kvadratické rovnice. Dále je popsán přímý způsob výpočtu dalších parametrů.

Nevýhodou této metody je náhodný výběr čtyř bodů, které mohou být zatíženy hrubými chybami nebo mohou být v nevhodné prostorové konfiguraci.

5.5.3. Momentová metoda V úvodu kapitoly 5 je uvedena tzv. momentová metoda pro OP přímky a roviny. Tato

metoda je založena na výpočtu hlavních momentů setrvačnosti z tenzoru momentu setrvačnosti. V případě přímky je její vektor totožný s nejmenším hlavním momentem setrvačnosti a pro rovinu je normálový vektor roviny totožný s největším hlavním momentem setrvačnosti. V obou případech je určujícím bodem ležícím na útvaru těžiště.

Tato metoda je přesnou a přímou metodou. V knihovně SPATFIG je použita jen pro první určení modelových parametrů přímky a roviny, protože nepracuje s kovarianční maticí souřadnic daných bodů.

5.5.4. Metoda náhodného výběru Volba přibližných hodnot modelových parametrů má z hlediska OP dva důvody. Jedním

je zajištění konvergence metody a druhým je nižší počet iterací, a tedy vyšší rychlost výpočtu. První problém je zásadní a je částečně řešen volbou co nejrobustnější metody. Řešení druhého problému může být také velmi důležité.

V uskutečněných experimentech se ukázalo, že pro velké počty bodů (cca sto tisíc) trvá jedna iterace na výkonném počítači desítky vteřin (GÚ s uzavřeným analytickým řešením). V knihovně SPATFIG je maximální počet iterací omezen na sto. Řekněme, že průměrný počet iterací je deset. Je zřejmé, že výpočtem OP pouze z výběru z daných bodů, např. z tisíce

- 19 -


(výpočetní náročnost bude nižší úměrně nižšímu počtu bodů viz. kap. 5.1.4.2) a snížením počtu iterací s plným počtem bodů, dojde k výraznému zrychlení výpočtu.

Tento přístup bude autorem studie využit v knihovně SPATFIG.

5.6. Veřejné softwary k ortogonálnímu prokládání Za nejzajímavější metody z pohledu autora studie lze považovat metody, které byly

doplněny softwarem s veřejnou licencí. V [ 4] a [ 5] jsou uváděny práce P. T. Boggse a kolektivu [ 22] a D. Sourliera [ 23].

P.T. Boggs zveřejnil v roce 1989 softwarový balík ODRPACK. Metoda použitá v tomto softwaru popisuje útvary v explicitním tvaru, s čímž jsou spojeny nevýhody uvedené v kap. 5.1.1. Další nevýhodou je neoddělení modelových a pozičních parametrů (viz. kap. 5.1.2). Je rovněž použita metoda současného určení všech proměnných (viz. kap. 5.1.4). Posledním problémem je zdrojový kód v jazyce ANSI 77 Fortran, který autor studie neovládá.

Druhý softwarový balík FUNKE uveřejnil D. Sourlier v roce 1995 jako součást své disertační práce. Tento software je z hlediska dnešních požadavků pokročilejší než ODRPACK. Jeho hlavní nevýhodou je stejně jako u ODRPACKU metoda současného určení všech proměnných a podle [ 4] špatná konvergence v případě málo přesných přibližných hodnot určovaných parametrů. FUNKE dále pracuje pouze s parametrickým vyjádřením GÚ. Zdrojový kód je napsán v jazyce C. Přes intenzivní snahu se mi nepodařilo získat zdrojový kód softwaru FUNKE ani aktuální kontakt na jeho autora D. Sourliera, což považuji za největší nevýhodu tohoto softwaru.

5.7. Komerční software k ortogonálnímu prokládání v oblasti geodézie

Situace v soukromé sféře v oblasti OP je poněkud jiná než ve veřejné. Komerční softwarové aplikace k OP nepracují samostatně, ale tvoří skupinu nástrojů ke zpracování mračna bodů. Tento software pracuje v grafickém režimu a umožňuje interaktivní výběr části mračna bodů.

Základní skupiny nástrojů v softwaru mohou být:

• nástroje k práci s mračnem bodů – registrace mračen z různých stanovisek, úpravy mračen z hlediska hustoty a členitosti bodů, segmentace mračna, …

• nástroje pro prokládání geometrických útvarů – použití pro matematicky jednoduše definovatelné křivky a plochy

• nástroje pro vytváření a práci s trojúhelníkovými sítěmi a non-uniform rational B-splines (NURBS) – pro nepravidelné křivky a plochy

• nástroje pro práci s texturami – obrázky ze skeneru nebo z externích zdrojů

Nástroje k OP většinou obsahují základní GÚ, které se mohou vyskytnout v praxi (viz. tab. 1). Některé softwary umožňují i tzv. "nekompletní OP" (viz. kap. 5.3.2.1).

Hlavní nevýhody komerčního software jsou:

• není známa metoda ani algoritmus výpočtu (samozřejmě ani zdrojový kód), jedná se o tzv. "black box" (černá skříňka) software a to svým způsobem omezuje jeho kontrolu

• nepracuje s kovarianční maticí vstupních bodů

- 20 -


• nezobrazuje směrodatné odchylky a kovarianční matici vyrovnaných modelových parametrů

• neumožňuje implementovat další GÚ

• nemá variabilní rozhraní, které by umožňovalo automatizovat některé procesy OP nutné například pří hledání optimálních konfiguračních parametrů pomocí generování fiktivního měření

• vysoká pořizovací cena

Mezi nejznámější software použitelný k OP patří:

Název softwaru Vydavatel softwaru

Cyclone Leica Geosystems (Cyra Technologies)

Cloudworx Leica Geosystems

3Dipsos Trimble (Mensi)

Polyworks InnovMetric Software

Piper++ TU Delft

3D-Extractor CALLIDUS precision Systems

iQscene FARO (iQsun GmbH, iQvolution AG)

Tab. 4 – Nerozšířenější komerční software k OP

Autor studie se v krátkosti seznámil se softwary Cloudworx a 3D-Extractor. Hlubší zkušenost má se softwary Cyclone a 3Dipsos, které se řadí k nejpoužívanějším. K jejich rozšíření přispívá jednak fakt, že jsou distribuovány jako hlavní součást LSS (společně s hardwarem) a jednak to, že za jejich distribucí stojí největší firmy zabývající se geodetickou technikou (Trimble a Leica).

Z těchto důvodů požádal autor studie obě firmy o zaslání informací ohledně použité metody prokládání. V žádosti byla uvedena skutečnost, že autor pracuje na disertační práci zabývající se tímto tématem a dále byly doplněny reference na nejdůležitější publikace z oblasti OP. Obě firmy odpověděly ve shodě, že jejich software používá metodu nejmenších čtverců a že další informace považují za soukromé vlastnictví a nemohou je poskytnout.

Z těchto a dalších důvodů se autor rozhodl stručně otestovat uvedené softwary. "Překvapivé" výsledky jsou uvedeny v kap. 8.3.2.

5.8. Norma ČSN EN ISO 10360-6 Tato norma [ 19] vznikla podle [ 4] z důvodu významných rozdílů v softwaru

k vyhodnocení dat ze souřadnicových měřicích systémů (další informace viz. [ 20]). Tyto nesrovnalosti vedly v 80. letech k tzv. "softwarové krizi" v této oblasti. Jedním z příčin byla také neochota společností produkujících souřadnicové měřící systémy zveřejňovat použité algoritmy.

Z těchto důvodů vznikla na mezinárodní úrovni silná vůle k vytvoření metody k testování vyhodnocovacího softwaru souřadnicového měřícího systému bez požadavku na odkrytí použitého algoritmu. Tato snaha vyvrcholila právě vydáním normy ISO 10360-6 [ 18] v roce 2001 (v ČR 2002).

- 21 -

6. Motivace ke vzniku knihovny SPATFIG Katedra speciální geodézie

Tato norma stanovuje:

• metodu testování – je založena na srovnání parametrů GÚ určených testovaným softwarem a referenčních hodnot z referenčního softwaru

• parametrizaci základních GÚ ve 3D (viz. tab. 1) a útvary ve 2D (přímka, kružnice)

• metoda určení modelových parametrů – metoda nejmenších čtverců

• definice chybové funkce – z důvodů uvedených v kap. 4.1 je to ortogonální vzdálenost

• způsob tvorby testovacího datasetu

Informace týkající se generování datasetu k v souladu s normou ISO 10360-6 a s principy souřadnicových měřících systémů je možné najít např. v [ 21].

Důležitým faktem, který logicky souvisí s uvedenou normou, je podobnost souřadnicových měřících systémů a LSS. Oba systémy se sice liší kvalitou a kvantitou naměřených dat a principem jejich sběru, ale na druhou stranu jsou totožné z hlediska formy vstupních dat pro zpracování a z hlediska principu jejich zpracování. Lze předpokládat, že s postupem času se v oblasti zpracování dat pro LSS objeví stejné problémy jako v případě souřadnicových měřících systémů a že bude nutná určitá standardizace tohoto zpracování. Důkazem toho je, že ačkoli norma vznikla konkrétně pro oblast souřadnicových měřících systémů, tak se již dnes objevuje v pracích z oblasti LSS.

6. Motivace ke vzniku knihovny SPATFIG K myšlence vytvoření knihovny SPATFIG vedlo autora studie několik důvodů, z nichž je

většina uvedena v kapitole 5.7 v odstavci nevýhod komerčních softwarů. Pro běžného uživatele nemusí být některé tyto nevýhody podstatné, ale autor zamýšlí používání OP k analýzám přesnosti LSS na základě zaměření GÚ s přesně známými modelovými parametry, k modelování procesu měření a vyhodnocení za účelem nalezení optimální konfigurace a k dalším pokročilým účelům.

Dalším důvodem k realizaci SPATFIGU je skutečnost, že v současnosti není dostupné žádné vhodné softwarové řešení s veřejnou nebo volnou licencí (free software, open source dokonce ani freeware).

- 22 -

7. Cíle disertační práce Katedra speciální geodézie

7. Cíle disertační práce Bodové členění cílů disertační práce doplněné o odkazy na příslušné kapitoly:

1. Vybrání nejvhodnější metody k ortogonálnímu prokládání. Vhodnost metody je posuzována na základě robustnosti, výpočetní a paměťové náročnosti a obtížnosti implementace nových geometrických útvarů. Viz. kap. 8.1.

2. Vytvoření knihovny tříd a funkcí SPATFIG k ortogonálnímu prokládání s veřejnou licencí (viz. kap. 8.2)

• volba programovacího jazyka, volba vhodné knihovny pro práci s maticemi a dalších potřebných knihoven

• implementace základních geometrických útvarů (v souladu s tab. 1)

3. Důkladné testování vytvořené knihovny (viz. kap. 8.3)

• vytvoření generátoru měření z laserového skenovacího systému

• srovnání s veřejným a komerčním softwarem

4. Vývoj laserového a optického rotačního skeneru LORS (viz. kap. 9.1)

• vyvinutí původního systému k hromadnému sběru prostorových dat

• důkladné otestování tohoto systému a analýza jeho přesnosti

- 23 -

8. Metody a stav řešení cílů disertační práce Katedra speciální geodézie

- 24 -

8. Metody a stav řešení cílů disertační práce V této kapitole budou uvedeny metody a stav řešení jednotlivých cílů disertační práce

uvedených v kap. 7.

8.1. Výběr nejvhodnější metody V bodě tři je uveden výběr nejvhodnější metody a jsou dána kritéria výběru. Jedná se o:

• robustnost (posouzení četnosti případů kdy metoda nekonverguje)

• výpočetní a paměťovou náročnost jedné iterace

• rychlost konvergence – počet iterací

• obtížnost implementace GÚ

− možné formy GÚ, které jsou v metodě použitelné

− nutnost dalších úprav těchto tvarů

− derivace kterých řádů a podle kterých proměnných je nutno zavádět

Kritéria jsou v souladu s požadavky na metodu k OP uvedené v kap. 5.2.

Z těchto hledisek byly už jednotlivé metody posuzovány při jejich popisu v kapitole 5.3. Na základě tohoto posouzení se jeví jako nejvhodnější metoda uvedená v kap. 5.3.1 a v publikaci [ 4] jako "Algoritmus III". Jejím autorem deklarované a v [ 5] komentované vlastnosti jsou:

• možnost práce s implicitními a parametrickými tvary

• výpočetní a paměťová náročnost řádu O(m)

• rychlá konvergence v porovnání s ostatními metodami pro všechny požadované typy GÚ (implicitní a parametrické křivky ve 2D, implicitní a parametrické povrchy ve 3D, parametrické křivky ve 3D)

• středně náročná možnost implementace nových GÚ:

− implicitní: , , a f f f∂ ∂∇ ∂ ∇ ∂g ga a f∇ ∂ ∂ x

− parametrický: 22 2, , a ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ggx u x a x u ∂ ∂x u a

Výhodou této metody je její deklarovaná vhodnost pro další logické zobecnění – metodu "nekompletní OP" (viz. kap. 5.3.2.1).

Nevýhodou je vyšší paměťová náročnost než u obdobné metody založené na délkovém algoritmu (viz. kap. 5.1.3.2) a nutnost dodání druhých derivací k implementaci nového GÚ.

V první verzi knihovny SPATFIG je implementována tato metoda.

Důležitým faktem je, že všechny metody byly doposud hodnoceny pouze na základě zkušeností a závěrů uvedených autorů. Proto by bylo vhodné provést na základě uvedených kritérií vlastní porovnání alespoň těch nejzajímavějších metod.

8.2. Knihovna SPATFIG Základním výstupem disertační práce by měla být knihovna tříd a funkcí SPATFIG

(jedná se o zkratku ze spojení "spatial figure" – prostorový útvar). Tato knihovna by měla


- 25 -

sloužit k ortogonálnímu prokládání geometrických útvarů ve 3D. Základní požadavky na knihovnu jsou samozřejmě totožné s požadavky na metodu OP (viz. kap. 5.2).

8.2.1. Použitá licence Ve čtvrtém bodě cílů disertační práce je uvedeno, že použitá licence by měla být

veřejnou. Důvodem je snaha autora, aby knihovna mohla být bez obtíží používána co nejširším počtem uživatelů a přispěla tak jako prostředek k možnostem výzkumu v oblasti OP a LSS. Z veřejných licencí byla zvolena všeobecná veřejná licence GNU (GNU GPL1), protože v knihovně jsou používány jiné knihovny s touto licencí (a jelikož je tato licence typu "copyleft", je povinností ji zachovat).

8.2.2. Použitý programovací jazyk a knihovny Jako programovací jazyk k tvorbě knihovny SPATFIG byl použit objektově orientovaný

jazyk C++. Jedním z důvodů volby tohoto jazyka je existence velkého množství kvalitních knihoven s veřejnou licencí v potřebných zájmových oblastech (maticové výpočty, numerická matematika a další). Další důvod je obecně uznávaná rychlost sestaveného kódu.

Použitá byla kromě standardních knihoven C/C++, ještě knihovna pro práci s maticemi "gMatVec" (viz. [ 25]). Tato knihovna obsahuje základní operace s maticemi a vektory.

8.2.3. Implementované geometrické útvary Ve stávající verzi knihovny SPATFIG jsou implementovány pouze základní GÚ

(viz. tab. 1). Ve této tabulce jsou uvedeny GÚ implementované ve standardních softwarech pro zpracování mračna bodů. Ve verzi SPATFIGu, která bude předložena jako součást disertační práce, bude implementována většina GÚ v souladu se softwary Cyclone a 3Dipsos.

Důležitým faktem zůstává, že u všech doposud implementovaných GÚ bylo možno vypočítat ortogonální vzdálenost v uzavřeném analytickém tvaru.

8.2.4. Implementace SPATFIGU v C++ Maticově vyjádřený algoritmus k implementaci byl uveden podrobně pro implicitní

vyjádření GÚ a nastíněn pro parametrické vyjádření GÚ v kap. 5.4.

V současné první verzi knihovny založené na metodě "Algoritmus III" jsou zatím implementovány GÚ uvedené v tab. 1. (přímka, kružnice, rovina, koule, válec) a dále některé útvary v rovině (kružnice_2D a přímka_2D). Pro útvary koule, válec a kružnice_2D je možnost zavedení podmínky známého poloměru.

1 GNU’s Not Unix General public license


Všechny používané třídy jsou vloženy v hlavičkovém souboru spat_fig.h: #ifndef spat_fig_spat_fig_h_ #define spat_fig_spat_fig_h_ #include<time.h> #include<gmatvec\gmatvec.h> #include<gmatvec\svd.h> #include<gmatvec\symmat.h> #include<gmatvec\bandmat.h> #include<iostream> #include<spat_fig\spat_fig_base.h> #include<spat_fig\plane.h> #include<spat_fig\sphere.h> #include<spat_fig\circle_2d.h> #include<spat_fig\line_2d.h> #include<spat_fig\line_3d.h> #include<spat_fig\circle_3d.h> #include<spat_fig\cylinder.h> #include<spat_fig\cone.h> #include<spat_fig\torus.h> #endif

Implementace je v současné době tvořena bázovou abstraktní třídou "spat_fig_base". V této třídě jsou definované všechny společné datové členy a metody všech GÚ. Každý GÚ má vlastní třídu odvozenou od třídy spat_fig_base. V těchto třídách jsou naplněny matice FHG resp. XHG (viz. kap. 5.4.3 resp. 5.4.4), jsou řešeny přibližné hodnoty modelových parametrů většinou voláním GÚ níže položeného v evoluční řadě (viz. kap. 5.5.1) a ve pro vnitřní iteraci je vypočítán ortogonální bod (prozatím jen v uzavřeném řešení). Od těchto tříd jsou odvozeny třídy pro tyto GÚ s další podmínkou (poloměr atp.). Tyto třídy obsahují pouze doplnění Jacobiho matice o další řádky podmínek.

Jedná se o třídy:

spat_fig_base:

• circle_2d.

− circle_2d_radius

• circle_3d

• cylinder

− cylinder_radius

• line_2d

• line_3d

• plane

• sphere

− sphere_radius

• cone

• torus

Metody třídy spat_fig_base jsou:

- 26 -


public: ostream& report(ostream& out) const; void solve(); Vec<> get_solution() const; protected: spat_fig_base(const Mat<>& xx,int tel,int tn,int ts,bool param=false) spat_fig_base(const Mat<>& xx,const SymMat<>& ss,int tel,int tn,int ts,bool param=false) private: void outer_iteration(); void inner_iteration(); void fill_Rx(double); void fill_Ry(double); void fill_Rz(double); void fill_dR_byx(); void fill_dR_byy(); void fill_dR_byz(); void fill_R2d(double); void fill_dR2d(); void InitMat(); void solve_FindFinalSol(); bool verify_solution(); void OneOuterIteration(); void OneOuterIteration_parametric(); void adjustment(); virtual void inner_iteration_figure()=0; virtual ostream& report_constants(ostream& out) const=0; virtual void ApproxSolution()=0; virtual void FillMatFigure(int i)=0; virtual void ArrangeResults()=0;

8.2.5. Možnost rozšíření funkcí Knihovnu SPATFIG je možné propojit s CAD systémem například pomocí DLL

(dynamic link library) knihovny. Tím lze získat výhody interaktivního grafického prostředí srovnatelného s komerčními produkty. Omezením je nižší počet bodů, s kterým je možné v základním CAD systému "rozumně" pracovat. Zkušební propojení s CAD systémem Microstation V8 bylo autorem studie úspěšně testováno.

8.3. Testování knihovny SPATFIG

8.3.1. Generátor měření Pro důkladné testování je nutné vytvořit generátor měření LSS. Výhodou takového

systému je, že lze důkladně analyzovat působení jednotlivých složek měření. V průběhu projektu vyšetřování nečekaně velkých odchylek modelových parametrů (viz. kap. 9.2) byl vytvořen generátor měření ve 2D. Praktické zkušenosti s tímto generátorem prokázaly správnost použité metodiky díky výrazné shodě generovaných a naměřených dat.

8.3.2. Srovnání s komerčními produkty Protože neexistuje žádná použitelná nekomerční alternativa k OP (kap. 5.6), byly

k posouzení knihovny SPATFIG použity komerční softwary. Zde je potřeba zdůraznit, že během projektu vyšetřování nečekaně velkých odchylek modelových některých GÚ (kap. 9.2) byly náhodně odhaleny překvapivé nesrovnalosti mezi softwary Cyclone a 3Dipsos. Proto

- 27 -


- 28 -

bylo srovnání provedeno mezi těmito softwary ve verzích Cyclone v. 5.1, 3Dipsos v. 3.0.3 a SPATFIGem. Jednalo se o první v řadě testů knihovny SPATFIG a z časových důvodů se jednalo o test malého rozsahu.

Testování proběhlo na skutečných datech ze skeneru Leica HDS 2500. V tomto testu byl použit válec a koule s různými procenty pokrytí a v každém z použitých případů také se známým a neznámým poloměrem. Poloměr byl určen na základě měření souřadnicovým měřicím systémem FARO (směrodatná odchylka ve všech směrech jedna setina milimetru). Tabulka šestnácti testovaných GÚ:

Srovnání MP1: SPATFIG a 3Dipsos Úspěšnost

GÚ Označení výběru

Počet bodů

Kry-tí ΔX0 Δr Δ ∠ Δ

d_1m Δσ

[%] [mm] [mm] [gon] [mm] [mm] Cyc. 3Dip. SP.

Válec 1 127758 50 0,5 0,4 0,024 0,4 0,6 Válec 1 c 127758 50 0,0 0 0 0,6

Válec 1 l 95923 38 2,0 1,8 0 0 0,7

Válec 1 l c 95923 38 0,1 0 0 0,7

Válec 1 r 31835 12 12,7 12,0 0,28 4,4 0,4 " ?"

Válec 1 r c 31835 12 29060 99 1557 27,7

Válec 1 l2 77010 30 4,0 3,7 0,096 1,5 0,7

Válec 1 l2 c 77010 30 0,2 0,067 1,1 0,7

Válec 1 r2 50748 20 9,0 8,4 0,018 0,3 0,5 " ?"

Válec 1 r2 c 50748 20 5804 98,6 1548 28,6

Koule 1 11051 50 1,0 0,6 0,6

Koule 1 c 11051 50 0,4 0,5

Koule 1 l 3866 20 1,5 1,2 0,5

Koule 1 l c 3866 20 0,6 0,5

Koule 1 r m 4187 20 8,6 7,2 0,6 " ?"

Koule 1 r m c 4187 20 0,5 0,6

Tab. 5 – Srovnání výsledků OP Cyclonu, 3Dipsosu a SPATFIGU

Výběry se zakončením označení "_c" byly prokládány s daným poloměrem. Další znaky v označení výběru mají čistě rozlišovací charakter (l – left, r – right, m – middle, 1,2 – pořadové číslo výběru).

V tab. 5 v sekci úspěšnosti použitého algoritmu znamenají symboly správný, zcela nesprávný výsledek, nemožnost proložení a " ?" špatný výsledek způsobený nesprávnou funkcí použitou k prokládání.

1 Modelových parametrů


- 29 -

V sekci srovnání modelových parametrů ze SPATFIGU a 3Dipsosu jsou uvedeny rozdíly jednotlivých parametrů (ΔX0 transformační posun, Δr poloměr, Δ∠ úhel os, Δd_1m chyba na jeden metr způsobená ∠, Δσ směrodatná odchylka jednotková aposteriorní). Červeně jsou zvýrazněny nejvýznamnější rozdíly. Rozdíly mezi Cyclonem a 3Dipsosem resp. Cyclonem a SPATFIGEM nejsou uvedeny kvůli nedostatku prostoru ve studii. nicméně z důvodů uvedených níže vyplývá, že největší vypovídací hodnotu má provedené srovnání.

Z uvedených a dalších výsledků lze konstatovat, že rozdíly mezi výsledky SPATFIGU a Cyclonu jsou zanedbatelné. Cyclone kromě jediného případu vypočítal správné anebo žádné modelové parametry. Naopak 3Dipsos vypočítal modelové parametry vždy, ale ve dvou případech dosáhl zcela špatných výsledků. I v dalších případech rozdíly výrazně přesahují chyby očekávané (pouze zaokrouhlovací).

Autor studie na základě překvapivých výsledků získal podezření na špatně zvolenou funkci k hledání modelových parametrů (viz. kap. 4.1). Proto byla ve SPATFIGU zkušebně nahrazena metoda OP za algebraické prokládání. Získané výsledky potvrdily správnost uvedené myšlenky. Toto překvapivé zjištění bylo předneseno autorem studie na konferenci Optical 3-D Measurement Techniques ve Vídni a vyvolalo znepokojení uživatelů softwaru 3Dipsos. Softwarový ředitel společnosti Mensi (vlastníkem společnosti je Trimble), který se konference také zúčastnil, uznal uvedené skutečnosti a prohlásil, že se na jejich odstranění pracuje. Je možné předpokládat, že tato chyba se týká i dalších rotačních ploch druhého stupně. Význam uvedené chyby lze zřetelně vidět na obrázku (případ označený v tab. 5 jako "1_r_m" pro kouli a "1_r2" pro válec):

obr. 3 – Rozdíly v proložení koule a válce testovanými softwary

Červeně jsou označeny vybrané body (v obou případech 20% z původního padesáti procentního pokrytí). Pro objasnění rozdílnosti algebraického prokládání a OP v nejjednodušším případě koule jsou uvedeny funkce použité v minimalizaci v obou případech (první algebraické prokládání):

2 2 2 2

0 0 0( ) ( ) ( ) X X Y Y Z Z r− + − + − − =2 2 2

0 0 0

0

( ) ( ) ( ) 0 X X Y Y Z Z r− + − + − − =. (28)


Je nutné uvést, že tyto chyby se projeví výrazněji pouze ve speciálních, ale přesto reálných případech. Obecně lze konstatovat, že čím je menší procentuální pokrytí GÚ, tím je chyba způsobená algebraickým prokládání větší. Dalším faktorem je neznalost poloměru. Jak je vidět z tab. 5, ve stejných případech se známým poloměrem jsou chyby v poloze řádově menší.

Určité systematické chyby jsou pozorovány i u OP. Tomuto jevu je věnována kap. 9.2.

- 30 -

9. Ostatní projekty Katedra speciální geodézie

9. Ostatní projekty Autor studie se vedle nosného projektu knihovny SPATFIG věnuje také dalším

souvisejícím projektům. Jejich popis ale bude z důvodu omezeného rozsahu studie velmi stručný.

9.1. Laserový a optický rotační skener – LORS První rok po svém nástupu do doktorského studia se autor věnoval zejména vývoji

LORSu. LORS je akronym pro laserový a optický rotační skener. Na tomto projektu spolupracuje autor se svým školitelem Doc. Ing. Jiřím Pospíšilem, CSc. a Ing. M. Štronerem, Ph.D.

LSS LORS je ve fázi funkčního prototypu. Byly vytvořeny algoritmy pro měření a jeho zpracování. Dále bylo vytvořeno softwarové zabezpečení pro měření a vyhodnocení naměřených dat. Prokázala se funkčnost a vyhovující přesnost zařízení na příkladech dokumentace drobných předmětů (do velikosti max. 0,5 m, směrodatná odchylka v jedné souřadnici do 0,5 mm). Výhodou systému je také možnost využití více různých kamer a to i současně, jejich kalibrace se realizuje na základě provedeného měření.

obr. 4 – Model LSS LORS

Systému LORS byly věnovány publikace [* 2], [* 3], [* 4], [* 5], [* 7], [* 8], [* 9], [* 10] a [* 11]. Aktuální stav vývoje lze najít v posledních dvou uvedených publikacích.

V nejbližší době je plánován další zdokonalení systému LORS pomocí točny s krokovým motorkem a kamery s vyšším rozlišením (8 Mpixelů). Kamera i motorek budou řízeny a synchronizovány vytvořeným programem.

- 31 -


- 32 -

9.2. Zkoumání nečekaně velkých odchylek modelových parametrů některých geometrických útvarů

Během své doktorandské stáže v institutu i3mainz1 se autor zúčastnil projektu na zjištění příčin nepřesností při určování poloměrů koulí, válců a dalších GÚ. Organizátorem projektu byl Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Böhler z tohoto institutu. Dalším účastníkem byl významný odborník v oblasti LSS Dr. Derek Lichti2 z univerzity v Perthu (Austrálie). Dr. Lichti je předsedou třetí pracovní skupiny3, komise V4 organizace ISPRS5, jejímž členem je také auto

í efekt ještě výraznější než při OP. Ale i při správném použití OP lze tyto

pouze geometrie náhodného rozm

registraci mračen se někdy používají libovolné GÚ nacházející se v zaměřovaném prostoru).

dchylek délek a směrů u

etrů do 50m. To je v případě přesného geod

etoda je založena na zaměření a proložení přesné roviny umís

ylek vertikálních a horizontálních směrů (pro

ělení oprav roviny zaměřené velkým počt

r.

Při praktickém měření s LSS byla vypozorována systematická chyba při odhadu poloměru některých GÚ. Pro krátké vzdálenosti byl vypočtený poloměr vždy menší než správný a pro velké vzdálenosti naopak větší. Jak bylo ukázáno v kap. 8.3.2, je při použití algebraického prokládán

efekty pozorovat.

Příčina nebyla během zhruba desetidenní spolupráce zjištěna. Nicméně bylo prokázáno pomocí generátoru fiktivních měření, že efekt způsobuje

ístění měřených bodů a nikoliv nespecifické vlivy měření.

Autor studie i další účastníci projektu pokračují v jeho řešení, protože se jedná o důležitý problém i z hlediska praxe (k vzájemné

9.3. Vyšetřování směrodatných olaserových skenovacích systémů

Dalším problémem, kterému se autor studie věnuje a k jehož řešení bude používána knihovna SPATFIG, je zjišťování směrodatných odchylek měření LSS. Tyto údaje autor potřebuje k analýze přesnosti LSS. Údajem udávaným výrobcem LSS je většinou pouze jedno číslo charakterizující přesnost systému v prostoru v nějakém rozsahu. Například Leica u svého LSS HDS 2500 uvádí přesnost šest milim

etického přístroje podle autora nedostačující.

V literatuře existují jednoduché způsoby jak odhadnout směrodatnou odchylku měřené délky jednoho bodu (dále σd). M

těné kolmo ke směru měření.

Naopak metoda pro určení směrodatných odch zaměření jednoho bodu) není doposud známa.

I v prvním případě určení σd není situace tak jednoduchá, jak uvádějí někteří autoři. Při vlastním testování bylo autorem studie zjištěno, že rozd

em bodů (cca deset tisíc) nemá normální rozdělení.

1 Institute for Spatial Information and Surveying Technology, Department of Geoinformatics and

Surveying, Fachhochschule Mainz - University of Applied Science, Německo 2 Assoc. Prof. at Department of Spatial Science, Curtin University of Technology, Australia 3 Terrestrial Laser Scanning 4 Close-Range Sensing: Analysis and Applications 5 International Society for Photogrammetry and Remote Sensing


- 33 -

Autor studie se chce dále věnovat uvedenému problému a vytvořit metodu, která na ámých GÚ umožní určení směrodatných odchylek směrů. základě měření zn

10. Závěr Katedra speciální geodézie

- 34 -

10. Závěr Ve studii je přiblížena problematika prokládání geometrických útvarů v prostoru

mno

hlavní metody – algebraické prokládání, normalizované algebraické prokládání a ortogonální prokládání a jsou srovnány jejich vlastnosti.

Další kapitola č. 5 se již věnuje pouze nejdůležitějšímu ortogonálnímu prokládání. Jsou uvedeny jeho možné klasifikace podle různých kritérií a souběžně jsou tyto klasifikované skupiny komentovány. Jsou uvedeny soudobé požadavky na tyto metody. Dále je uvedeno a porovnáno řešení několika z nejvýznamnějších skupin pracujících v současnosti v této oblasti. Poté je podrobně popsána metoda, která je z našeho hlediska nejzajímavější. Následuje stručné seznámení s metodami pro výpočet přibližných hodnot modelových parametrů, je představena norma pro testování softwaru k OP v oblasti souřadnicové metrologie a jsou komentovány vlastnosti veřejných a komerčních softwarových produktů.

V kap. 7 jsou vytyčeny hlavní cíle zpracovávané disertační práce a v kap. 8 jsou tyto cíle komentovány z hlediska stavu zpracování.

V kap. 8.1 je zdůvodněn výběr metody implementované v knihovně SPATFIG z hlediska robustnosti, výpočetní a paměťové náročnosti, rychlosti konvergence a obtížnosti implementace nových geometrických útvarů.

Následují informace o implementaci vybrané metody v jazyce C++ a je prezentováno první testování a srovnání SPATFIGu s komerčními softwarovými produkty.

V poslední kapitole jsou představeny další důležité projekty, na kterých autor studie pracuje.

10.1. Důležité poznámky Jak je vidět ze seznamu použité literatury, ani jedna odborná publikace nevznikla na

pracovišti přímo spojeném s oborem geodézie. To je způsobeno jednak tím, že aplikace OP v geodézii jsou spojeny zejména s LSS a ty se objevily na trhu zhruba před pěti lety a taky proto, že oblast geodézie je jen jednou z mnoha aplikačních oblastí pro OP a to oblastí téměř nejméně propojenou s oborem informatiky (viz. kap. 3). Většina použité literatury pochází buď z oborů spojených s informatikou (robotika, počítačové vidění), a nebo přímo z matematických kruhů.

Další skutečností je, že veškerá použitá odborná literatura vznikla mimo Českou republiku. To může být způsobeno tím, že vědecký trh v ČR je v globálním měřítku malý, ale možná také tím, že čeští autoři nepublikují často v mezinárodních (elektronických) nakladatelstvích, jako je Springer a Elsevier. Ty byly hlavními zdroji literatury pro tuto práci, zejména z důvodu rychlé a bezplatné dostupnosti (ČVUT má pro své zaměstnance a studenty zaplacené členství v těchto a dalších mezinárodních nakladatelstvích).

Autor studie pracuje na uvedeném tématu přibližně dva roky, ale vhodnou literaturu získal až zhruba před půl rokem. Důvodem byly právě obě výše uvedené skutečnosti, tedy téměř nulový podíl oboru geodézie ve vývoji v oblasti OP, jednak nedostupnost informací

žinou bodů v souladu s metodou nejmenších čtverců.

Nejprve je v kap. 2 matematicky definován problém prokládání.

V kap. 3 jsou uvedeny některé ze širokých aplikačních oblastí metod prokládání a jsou zdůrazněny zájmové oblasti geodézie a souřadnicové metrologie.

Dále je v kap. 4 představen vývoj metod prokládání. Nejprve jsou uvedeny

10. Závěr Katedra speciální geodézie

- 35 -

v českém jazyce. V prvním roce autor vytvářel a algoritmizoval vlastní metody k OP na nižší ím autor omlouvá počáteční stav vývoje

ůzných algoritmů).

le z předpokladu ověřeného vlastní zkušeností lze

neviditelná.Lichtiho, že bude jedním z oponentů jeho disertační práce. Z toho logicky vyplývá, že v

studia, a v p ní práce napsána anglicky.

úrovni, než je současný stav vědění v této oblasti. Tknihovny SPATFIG (množství implementovaných GÚ a r

Ze dvou prvních poznámek a dákonstatovat, že práce publikovaná v jiném než anglickém jazyce je z globálního měřítka téměř

Autor taky dostal příslib významného odborníka v oblasti LSS Dr. Dereka

případě úspěšného realizování knihovny SPATFIG, jako hlavního výstupu doktorského řípadě oponentury Dr. D. Lichtiho bude disertač

11. Vlastní přínos autora studie Katedra speciální geodézie

- 36 -

11. Vlastní přínos autora studie

hodnější metody k ortogonálnímu prokládání na základě daných

die se podílel zejména na:

11.2

ylek modelových parametrů při

ylek délek a směrů u LSS založených na polární

11.3 doucí projekty realizované v rámci disertační práce

RS použitím digitálního fotoaparátu s vysokým

em studie v C/C++ (výrazné zvýšení automatizace procesu měření)

11.1. Realizované projekty • Výběr nejv

kritérií (viz. kap. 8.1.)

• Vytvoření knihovny tříd a funkcí SPATFIG s veřejnou licencí (viz. kap. 8.2) a implementace vhodných geometrických útvarů

− Rovinné: circle_2d (circle_2d_radius), line_2d

− Prostorové: plane, sphere (sphere_radius), line_3d, circle_3d, cylinder (cylinder_radius), cone, torus

• Základní testování knihovny a srovnání s komerčními softwary (viz. kap. 8.3)

• Vývoj funkčního prototypu laserového a rotačního skeneru LORS (Na vývoji LORSu se podílel autor studie společně se svým školitelem Doc. Ing. Jiřím Pospíšilem, CSc. a Ing. M. Štronerem, Ph.D.). Autor stu

− kalibraci systému (přesné určení parametrů roviny laseru a točny) [* 2] a [* 4]

− původním matematickém a softwarovém řešení výpočtu souřadnic (dnes nahrazeno metodou DLT)

− teoretickém rozboru přesnosti systému viz. [* 7]

− praktickém ověření přesnosti sytému viz. [* 10]

− použití komerční digitální kamery v systému [* 8]

. Částečně realizované projekty • Vytvoření generátoru měření z LSS (viz. kap. 8.3.1)

• Zkoumání neočekávaně velkých odchortogonálním prokládání některých geometrických útvarů (viz. kap. 9.2)

• Vyšetřování směrodatných odchmetodě (viz. kap. 9.3)

. Bu• Doplnění knihovny SPATFIG o další vhodné geometrické útvary (elipsoid,

řetězovka a další)

• Rozšíření knihovny SPATFIG o další obecnější metody prokládání jako je nekompletní ortogonální prokládání [ 6] a prokládání složených geometrických útvarů

• Důkladné testování knihovny SPATFIG s využitím generátoru měření

• Další inovace systému LOrozlišením a krokového motoru. Obě zařízení budou ovládána z řídícího programu vytvořeného autor

12. Použitá literatura Katedra speciální geodézie

- 37 -

12. Použitá literatura

[ 2] . – Westkämper, E.: Fitting of Parametric Space Curves and

[ 3] Unordered and Incomplete Point Cloud. In:

[ 4] ce, vol. 3151, p. 1-125, doctoral thesis, 2004.

[ 7] ing curves and surfaces to data. In:

[ 8] mplicit Surface Fitting Using

11] Faber, P. – Fisher, R. B.: Euclidean Fitting Revisited. In: Lecture Notes in Computer Science, vol. 2059, p. 165-175, 2001.

12] Fitzgibbon, A. – Pilu, M. – Fisher, R. B.: Direct Least Square Fitting of Ellipses. In: IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 21(5), p. 476-480, 1999.

[ 13] Lukács, G. – Marshal, A. D. – Martin, R. R.: Geometric least-squares fitting of spheres, cylinders, cones and tori. In: Geometric Modelling Laboratory Studies, vol. 5, 1997.

[ 14] Lukács, G. – Martin, R. R. – Marshal, A. D.: Faithful Least-Squares Fitting of Spheres, Cylinders, Cones and Tori for Reliable Segmentation. In: Lecture Notes in Computer Science, vol. 1406, p. 671-686, 1998.

[ 15] Rektrorys, K. a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I. Sedmé vydání: Nakladatelství Prometheus, 1995.

[ 16] Rektrorys, K. a spolupracovníci: Přehled užité matematiky II. Sedmé vydání: Nakladatelství Prometheus, 1995.

[ 1] Ahn, S. J. – Rauh,W. – Recknagel, M.: Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Implicite Curves and Surfaces. In: Lecture Notes in Computer Science, vol. 2191, p. 398–405, 2001.

Ahn, S. J. – Rauh, WSurfaces by Using the Geometric Error Measure. In: Proc. 24th DAGM Symp. Pattern Recognition. Lecture Notes in Computer Science, vol. 2449, p. 548–556, 2002.

Ahn, S. J. – Effenberger, I. – Roth-Koch, S. – Westkämper, E.: Geometric Segmentation and Object Recognition in Lecture Notes in Computer Science, vol. 2781, p. 450–457, 2003.

Ahn, S. J.: Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Curves and Surfaces in Space. In: Lecture Notes in Computer Scien

[ 5] Atieg, A. – Watson, G. A.: A class of methods for fitting a curve or surface to data by minimizing the sum of squares of orthogonal distances. In: Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 158, no. 2, p. 277-296, 2003.

[ 6] Atieg, A. – Watson, G. A.: Incomplete Orthogonal Distance Regression. In: BIT Numerical Mathematics, vol. 44, p. 619-629, 2004.

Atieg, A. – Watson, G. A.: Use of lp norms in fittANZIAM J, vol. 45, p. C187-C200, 2004.

Gulliksson, M. – Söderkvist, I. – Watson, G. A.: IDirectional Constraints. In: BIT Numerical Mathematics, vol. 41, no. 2, p. 308-321, 2001.

[ 9] Helfrich, H. P. – Zwick, D.: A trust region algorithm for parametric curve and surface fitting. In: Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 73, p. 119-134, 1996.

[ 10] Faber, P. – Fisher, R. B.: Pros and Cons of Euclidean Fitting. In: Lecture Notes in Computer Science, vol. 2191, p. 414-420, 2001.

[

[

12. Použitá literatura Katedra speciální geodézie

- 38 -

[ 17] Böhm, J. – Radouch, V. – Hampacher, M.: Teorie chyb a vyrovnávací počet. Praha:

neva,

[ 19] GPS) – Přejímací a

e, 1993.

9-830,

[ 22] .B.: Algorithm 676 –

[ 24] .11.2005].

[ 25] /~cepek/matvec/doc/>.

. Cambridge

GKP, 1990.

[ 18] ISO 13060-6: Geometrical Product Specifications (GPS) – Acceptance and reverification test for coordinate measuring machines (CMM) – Part 6: Estimation of errors in computing Gaussian associated features. In: Standard ISO 10360-6, GeSwitzerland, 2001.

ČSN EN ISO 13060-6: Geometrické požadavky na výrobky (periodické zkoušky souřadnicových měřících strojů (CMM) – Část 6: Odhad chyb při výpočtu prvků přiřazených metodou nejmenších čtverců. In: Český normalizační institut, 2002.

[ 20] Diaz, C. – Hopp, T. H.: Testing of Coordinate Measuring System Software. In: Proceedings of the 1993 American Society for Quality Control Measurement Quality Conferenc

[ 21] Lin, Y.-J. – Damodharan, K. – Shakarji, C.: Standardised Reference Data Sets Generation for Coordinate Measuring Machine (CMM) Software Assessment. In: The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, vol. 18, p. 812001.

Boggs, P.T. – Donaldson, J.R. – Byrd, R.H. – Schnabel, RODRPACK: Software for Weighted Orthogonal Distance Regression. In: ACM Trans. Mathematical Software, vol. 15, p. 348-364, 1989.

[ 23] Sourlier, D.: Three Dimensional Feature Independent Bestfit in Coordinate Metrology. Doctoral thesis 11319, ETH Zurich, Switzerland, 1995.

GNU General Public Licence [online]. Verze 2, červen 1991 [cit. 11Dostupné z: <http://www.gnu.org/licenses/gpl.html>.

Čepek, A.: gMatVec – C++ matrix/vector template library [online]. Verze 0.15, 4.2.2004 [cit. 11.11.2005]. Dostupné z: <http://gama.fsv.cvut.cz

[ 26] Press, W. H. – Teukolsky, S. A. – Vetterling, W. T. – Flandery, B. P.: Numerical Recipes in C – The Art of Scientific Computing – Second EditionUniversity Press, 1992.

13. Vlastní publikace Katedra speciální geodézie

- 39 -

13. Vlastní publikace [* 1] Koska, B.: Měřická fotodokumentace objektu metodou průsekové fotogrammetrie

včetně vizualizace a animace. In: Aktuální problémy fotogrammetrie a DPZ. Praha: ČVUT, Fakulta stavební, Katedra mapování a kartografie, vol. 1, p. 24-31, 2003.

[* 2] Koska, B. – Štroner, M. - Pospíšil, J.: Algoritmus určování rovnice roviny pro laserové skenování. In: Stavební obzor. Vol. 12, no. 10, p. 309-313, 2003.

[* 3] Koska, B.: Laserový a optický rotační skener. In: JUNIORSTAV 2004 [CD-ROM]. Brno: VUT Brno, Fakulta stavební, 2004.

[* 4] Koska, B. – Štroner, M. – Pospíšil, J.: Algoritmus určování rovnice obecné roviny pro laserové skenování včetně rozborů přesnosti. In: Stavební obzor. Vol. 13, no. 2, p. 55-60, 2004.

[* 5] Koska, B. – Kašpar, M. – Pospíšil, J. – Štroner, M. – Křemen, T.: Development of Rotation Scanner, Testing of Laser Scanners. In: INGEO 2004 [CD-ROM]. Bratislava: Slovak University of Technology, Faculty of Civil Engineering, 2004. (English)

[* 6] Koska, B.: Veřejná knihovna tříd a funkcí SPATFIG a její aplikace. In: Proceedings of JUNIORSTAV 2005. Brno: VUT Brno, Fakulta stavební, 2005.

[* 7] Koska, B.: Odhad přesnosti rotačního laserového skeneru a optimalizace jeho konfigurace. In: Geodetický a kartografický obzor. Vol. 51, no. 2, p. 27-39, 2005.

[* 8] Koska, B.: Testing Possibilities of Using a Standard Digital Camera at Laser and Optic Rotating Scanner. Investigating Method to Evaluate Accuracy of 3D Scanning Systems. In: Proceedings of Workshop 2005. Prague: CTU, 2005. (English)

[* 9] Pospíšil, J. – Štroner, M. – Koska, B. – Křemen, T. – Kašpar, M.: Development of the Laserscanner, Testing of the Influence of the Materials and the Configuration. In: Proceedings of Workshop 2005. Prague: CTU, 2005. (English)

[* 10] Koska, B. – Štroner, M. – Pospíšil, J.: Laserový skenovací systém LORS - vývoj a ověřování přesnosti. In: Stavební obzor. Vol. 14, no. 4, p. 123-126, 2005.

[* 11] Koska, B. – Štroner, M. – Pospíšil, J.: The Result Presentation of the Development of Laser and Optic Rotating Scanner LORS and Introduction of Public Library of Classes and Functions SPATFIG. In: Optical 3-D Measurement Techniques. Wien: Vienna University of Technology, 2005. (English)

Documents

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZEk154.fsv.cvut.cz/~koska/publikace/soubory/studie_koska.pdfČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE . FAKULTA STAVEBNÍ . OBOR GEODÉZIE