CG06RepresetacionCurvas

Mg. Johnny R. Avendao Q.

e-mail: [email protected]

Departamento Acadmico de Ciencias de la Computacin

Facultad de Ingeniera de Sistemas e Informtica

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Computacin Grfica

http://sites.google.com/site/unmsmcomputaciongrafica/

Representacin de Curvas



Objetivos:

Como modelar o representar los

diversos objetos reales?

El problema: no existe un modelo

matemtico del objeto

Solucin:

Aproximacin por trozos o pedazos:

planos, esferas, otras primitivas.

Se propone que los puntos del modelo

no sean parte del objeto, pero que

permitan controlar la forma.



Representacin de curvas

Existen tres formas de representar los

objetos:

Explcito: y=f(x)

Implcito: f(x,y)=0

Paramtrico:

(x(t),y(t))

Superficies cudricas



Representacin implcita

Superficie algebraica:

8x2 - xy2 + xz2 + y2 + z2 - 8 = 0 Singularidades



Representacin parmetrica

Mejor manipulacin de la estructura

almbrica.

Representacin matemtica precisa y bien

estudiada.

Forma general:

f(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )



Curvas parametrizadas

Consideraremos una curva P(t)

parametrizada (normalizada) en el

intervalo [0,1].

Esta se realiza en cada componente:

P(t)=(x(t),y(t),z(t))

El vector tangente a la curva P(t) en un

punto (sobre ella) es obtenida por P(t):

P(t)=(x(t),y(t),z(t))

La parametrizacin a considerar ser el

de un polinomio en la variable t con

caractersticas apropiadas:

Suavidad, continuidad hasta la segunda

derivada.

Flexibilidad para controlar la forma de la

curva.

Fcil manipulacin.

0 1

P(0)

P(1)

P( t)

t

P( t)



Estudiaremos:

Curva de Hermite.

Curva de Bzier.

Curva Spline, Bspline, Catmull-Rom.

Curvas Nurbs (Non Uniform Rational

Basis).

Haremos las extensiones respectivas

para el caso de superficies,

Algor (B.Spline)

Simulador de conduccin de

carreras (B.Spline)

Aplicacin (Bezier)



Hermite (1822-1901)

Se necesita 4 elementos:

P1 y P2, puntos extremos e la curva.

T1 y T2, tangentes a la curva en los

puntos extremos.

Usualmente se les denomina de factores de

control (de la curva).

Estos datos permiten un mayor control de la

curva, implcitamente el mdulo de los

vectores tangentes permite cambiar la

forma de la curva.

Se puede construir curvas suaves y que

tomen formas bruscas.

P1

P2

T1

T2



formulacin

Cada componente de la curva es parametrizada

por un polinomio:

P(t) = (x(t),y(t),z(t))

x(t) = axt3 +bxt

2 + cxt + dx

y(t) = ayt3 +byt

2 + cyt + dy

z(t) = azt3 +bzt

2 + czt + dz

Se considera una base de polinomios:

{t3 ,t2 ,t ,1}.

Se determinan los coeficientes, para finalmente

representar la curva de manera compacta:

P(t) = TH(t) H Gh , t en [0,1]

Obs: TH H = (2t3-3t2+1,-2t3+t2, t3-2t3+t, t3-t2)

H: matriz de coeficientes.

Gh: condiciones geomtricas.

P1

P2

T1

T2

P=(x,y,z)



Bzier (1822-1901)

Desarrollado en los aos 60 por Pierre

Bzier, para el diseo de automviles e

implementado en los programas CAD.

Tambin en diseo de fuentes tipogrficas y

generacin de curvas en las impresoras

PostScript.

Se las observa en mltiples programas de

diseo grfico como Corel Draw.

Simplicidad en cuanto a formulacin.

Se puede construir (como mnimo) con tres

puntos de control:

P0, P1 y P2.

Los puntos extremos pertenecen a la

curva.

Se puede formular de forma similar a la

curva de Hermite.

http://acg.cs.tau.ac.il/projects/internal-

projects/arrangements-of-bezier-curves



Formulacin(3 puntos)

Se presenta como:

P(t) = B2,0(t)P0+ B2,1(t)P1 +B2,2(t)P2

B2,0(t) = (1-t)2

B2,1(t) = 2t(1-t)

B2,2(t) = t2

Matricialmente:

P(t) = TB MB Gb

Para el caso de cuatro puntos es

anlogo.

En general se escribe como:

ini

inin

in uuuB

)1()(

)!(!!

,



Continuidad en la unin de curvas

Continuidad geomtrica:

El punto P final de una curva C1

coincide con el punto inicial de la otra

curva C2.

Las direcciones de los vectores

tangentes u y w en cada punto de

unin deben tener la misma direccin. P

w u

C1

C2



Continuidad entre curvas

G0: Continuidad Geomtrica de orden 0. Las

curvas se unen en un punto P.

G1: Continuidad Geomtrica de orden 1. La

direccin de los vectores tangente son iguales

en el punto P.

C1: Continuidad Paramtrica de orden 1. La

direccin de los vectores tangente son iguales

en P, adems de tener el mismo mdulo.

Gn: Las derivadas de orden n, de los vectores

tangentes tienen la misma direccin.

Cn: Adems de cumplir la condicin de Gn, los

mdulos deben ser iguales.

P

w u

C1

C2



Construccin de las curvas de Bzier

Donde los coeficientes de Bzier

son definidos como:

Dado n+1 puntos P0,P1,...,Pn de

control, la curva de Bzier se define

como:

Adems:

n

i

iin PuBuP0

, )()(

ini

inin

in uuuB

)1()(

)!(!!

,

),,( iiii zyxP



Propiedades de la curva de Bzier

El grado de la curva P(u) de Bzier construido con n+1

puntos de control es igual a n.

P(u) va desde P0 hasta Pn, es decir, solamente desde el

primer punto de control hasta el ltimo.

Todos los coeficientes de Bzier son no negativos.

Los coeficientes de Bzier cumplen la propiedad de la

Particin de la Unidad, es decir:

utodoparauBn

i

in ,1)(0

,




Se puede incrementar el grado de la curva de Bzier, es decir

mayor cantidad de puntos de control, pero esto no quiere

decir que la curva sea la ptima. En otras palabras, con un

nmero suficientemente pequeo se puede obtener la curva

deseada.

Esto es similar cuando se hace la subdivisin de la curva, las

propiedades no se alteran.




P(u) est definida en el intervalo [0,1].

Propiedad de la Cpsula Convexa: la curva de Bzier est

contenida en el mayor polgono convexo construido con los

puntos de control Pi.



Moviendo los puntos de control

Al mover los puntos de control, la

forma de la curva cambia de manera

global, es decir, si movemos slo un

punto de control, esta afectar a toda

la curva.

Si movemos un punto de control

verticalmente, entonces todos los

puntos sobre la curva se desplazan

verticalmente.



Algoritmo de Casteljau

La construccin del algoritmo de

Casteljau est basada

construccin geomtrica usando

una regla mtrica.

El concepto fundamental est

basado en la eleccin de un

punto C en el segmento AB.



Forma recursiva

Relacin de recurrencia (similar a la serie de Fibonacci):

function deCasteljau(i,j)

begin

if i = 0 then

return P0,j

else

return (1-u)* deCasteljau(i-1,j) +u*deCasteljau(i-1,j+1)

end

1,,1,0

,,2,1)1( 1,1,1,

nj

niPuPuP jijiji



B-Splines (J. Schoenberg )

Un Spline (regla de acero flexible) es una

herramienta de diseo de curvas:

Tcnica de interpolacin.

Polinomio cbico suave.

Vienen implementadas en herramientas de

modelado 3D como Blender, Rhino, etc.

Un B-Spline es una combinacin paramtrica de

splines bsicos:

n

i

ini PtNtP0

, )()(

)()()(

,0

,1)(

1,1

11

11,

1

,

1

0,

tNtt

tttN

tt

tttN

casosdems

ttttN

ki

iki

kiki

ii

iki

ii

i

Blender



Propiedades

Ni,k(t) posee grado igual k.

Las funciones Ni,k(t) son no

negativas.

Tienen soporte compacto.

Se cumple la relacin m=n+k+1, si se

tienes m+1 puntos de control, k es el

grado del la funcin base y n+1

funciones bases.

La curva B-Spline queda contenida

en la capsula convexa.

Algoritmos como Graham, fuerza

bruta entre otros. (uso de

argumentos de convexidad).



Una modificacin de algunos puntos de

control slo afectan a una regin circundante

de ellas.

Las curvas de Bzier son casos especiales

de una curva B-Spline.

Toda la curva es invariante bajo

transformaciones geomtricas (invariancia

afn).



Curva Splines del tipo Catmull-Rom

Curva de interpolacin: pasa a

travs de todos los puntos de

control.

Fue desarrollada para ser aplicada

en computacin grfica.

Se necesita conocer previamente

dos puntos de control sobre la

curva para obtener otro entre ellas.

Representacin (cuatro puntos):

Q(t)=TcMcGc

3

2

1

0

23

21

0020

0101

1452

1331

]1,,,[)(

P

P

P

P

ttttQ

Punto deseado



La curva es de clase C1, es

decir, no existe discontinuidad

en las tangentes.

El vector v tangente en Pi

siempre es paralelo a la

secante que une los puntos

Pi-1 y Pi+1.

La curva no necesariamente

est contenida en la

envolvente convexa (convex

hull). Pi-1

Pi+1

Pi



Ejemplo de uso de un Spline Catmull Rom con OpenGL

No se ha usado efectos

realista basado en la

fsica, por lo que la

velocidad puede parecer

poco realista

http://www.youtube.com/watch?v=WwLWwaMrIYM



Curvas racionales: NURBS

NURBS (Non Uniform Rational B-

Splines): modelo matemtico muy

utilizado en la computacin grfica para

generar y representar curvas y

superficies.

El desarrollo de NURBS empez en 1950

por ingenieros que necesitaban la

representacin matemtica exacta de

superficies de forma libre como las

usadas en carroceras de automviles y

cascos de barcos, que pudieran ser

reproducidos exacta y tcnicamente en

cualquier momento.

Las anteriores representaciones de este

tipo de diseos slo podan hacerse con

modelos fsicos o maquetas realizadas

por el diseador o ingeniero.



Las NURBS, B-splines, son representaciones

matemticas de geometra en 3D capaces de

describir cualquier forma con precisin, desde

simples objetos hasta los ms complejos slidos

o superficies de forma libre en 3D.

Gracias a su flexibilidad y precisin, se pueden

utilizar modelos NURBS en cualquier proceso,

desde la ilustracin y animacin hasta la

fabricacin.

La geometra NURBS tiene cualidades

esenciales que la convierten en la opcin ideal

para el modelado asistido por computadora.

Las NURBS pueden representar con precisin

objetos geomtricos estndar tales como lneas,

crculos, elipses, esferas y toroides, as como

formas geomtricas libres como carroceras de

coches y cuerpos humanos.



La cantidad de informacin que requiere

la representacin de una forma

geomtrica en NURBS es muy inferior a

la que necesitan por separado las

aproximaciones comunes.

La regla de clculo de las NURBS, que

se describe a continuacin, se puede

implementar en una computadora de

manera eficaz y precisa.

Las curvas y superficies NURBS se

comportan de maneras similares y

comparten mucha terminologa.

Proporcionaremos informacin ms

detallada sobre las curvas, porque son

ms fciles de describir.

Simulacin de la rbita de un cometa usando

Blender, para seguir la rbita, la cola siempre va

opuesta al sol porque usando una fuerza de

repulsin de tipo esfrica. La cola est hecha con

partculas y el haloSize y el Color RGB estn

ajustados con curvas IPO. La rbita es un crculo

NURBS deformado.



Referencias

Shene C.K. Introduction to Computing with Geometry Notes. Department

of Computer Science. Michigan Technological University 1997.

Foley, Van Dam, Feiner, Hughes. Computer Graphics: Principles and

Practice, second edition in C. Addison Wesley Publishing Company 1996.

Hoschek, Lasser. Fundamentals of Computer Aid Geometric Design. A.K.

Peters Wellesley Massachusetts 1993.

Pinto Carvalho P. Introduo Geometria Computacional. IMCA 2000.

http://es.wikipedia.org/wiki/NURBS

Animacin usando Blender y Nurbs:

http://www.youtube.com/watch?v=B5zuvZq0y5g

Animacin usando OpenGL y una curva del tipo Catmull-Rom:

http://www.youtube.com/watch?v=WwLWwaMrIYM&translated=1

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