Ch. 11 연립방정식모형elearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/Pusan/YoonSeongmin/12.pdf• 첫번째구조방정식이다음과같고식별된다고하자. (first stage)

윤성민

Ch. 11 연립방정식 모형

2013년 1학기

Principles of Econometrics (3e)

11.0 서론

• 연립방정식 모형

- 둘 이상의 종속변수가 있는 일련의 방정식들로 구성

• OLS로 추정하면 부적절함

• 새로운 추정방법 필요

- 연립방정식 추정법은 계량경제학이 통계학의 회귀분석

기법을 넘어서는 학문이라는 것을 보여주는 분야이기도 함

Ch. 11 연립방정식 모형 2

11.1 공급 및 수요 모형

• 내생변수: P(가격), Q(수량)

- 모형 내에서 동시에 결정

• 외생변수: X(소득)

- 주어진 값, 모형 밖에서 결정됨

• 가정:


2

2

( ) 0, var( )( ) 0, var( )

cov( , ) 0

d d d

s s s

d s

E e eE e e

e e

= = σ

= = σ=

1 2Demand: dQ P X e= α +α +

1Supply: sQ P e= β +

3

영향력 도해

• 수요-공급 모형을 개별 방정식으로 이해한 경우

- 수요량과 공급량이일치하지 않음

- 가격은 외생변수 역할

• 수요-공급 모형을 연립방정식으로 이해한 경우

- 가격은 내생변수

- 가격-수량 사이의피드백 존재함



4

공급 및 수요 모형을 OLS로 추정할 수 없는 이유

• 두 식에서 P(가격)는 오차항과

관련되어 있음

- P는 확률적 설명변수, 즉

- 따라서 OLS를 적용할 수 있는 기본가정에 위배됨


( , ) 0dCov P e ≠



( , ) 0sCov P e ≠


5

11.2 유도형태식

구조방정식 체계 (structural equation system)

• 이 식을 풀어 내생변수를 외생변수의 함수로 나타낼 수 있음

를 가격에 대해 풀어 정리하면




1 1 2s dP e P X eβ + = α + α +

( ) ( )2

1 1 1 1

1 1

d se eP X

X v

α −= +

β −α β −α

= π + ( ) ( )

( ) ( )

1

21

1 1 1 1

1 2 1 1

1 1 1 1

2 2

s

d ss

d s

Q P e

e eX e

e eX

X v

= β +

α −= β + + β −α β −α

β α β −α= +

β −α β −α

= π + 6

유도형태 (reduced form)

• 내생변수를 외생변수만의 함수로 재구성한 연립방정식 모형

: 유도형태 모수

: 유도형태 오차, or 교란항

• , 이므로,

유도형태식은 OLS로 추정할 수 있음 ⇒ BLUE, 일치추정량

- : 소득(X)이 증가한 경우, 시장조정을 통해

새로운 균형이 달성된 이후 기대되는 가격상승을 의미함

- : 소득(X)이 증가한 경우, 균형 수량의 증가를 의미


11.2 유도형태식

1 1P X v= π +

2 2Q X v= π +1 2,π π

21,vv

1π

2π

1( , ) 0Cov X v = 2( , ) 0Cov X v =

7

11.3 구조방정식 체계를 OLS로 추정할 때의 문제점

• 구조방정식 체계의 개별 방정식에 대한 OLS 추정량은

불편추정량이 아니고 일치추정량도 아님 (연립방정식 편의)

(이유) 설명변수와 오차항이 상관되어 있기 때문

<예> (simultaneous equation bias)

• es가 증가하면, 균형 P가 감소하므로 (-) 상관됨, 즉

(이유) 공급곡선 우측 이동으로 균형가격이 하락

- 아래 유도형태식에서도 확인 가능

, 이므로, es 증가 ⇒ P 감소


1 0β > 1 0α <



( , ) 0sCov P e ≠

( ) ( )2

1 1 1 1

1 1

d se eP X

X v

−α= +

β −α β −α

= π +

8

11.4 식별문제 (Identification Problem)

• 소득을 변화시키면 (여러 소득수준에 대응되는)

근처에 산재해 있는 가격-수량 통계자료를 얻게 됨

⇒ 공급곡선을 추정할 수 있음 (식별됨)

• 공급곡선을 이동시킬 변수가 없으므로

⇒ 수요곡선은 추정할 수 없음 (식별 안됨, 비식별, 과소식별)

• 공급곡선에 새로운 변수가 추가되지 않으면

수요곡선의 기울기와 절편을 추정할 수 없음


cba ,,



9

식별문제의 원리

<구조모형> <유도형모형>

• 유도형모형의 추정치( : 6개)를 구했을 때,

그것으로부터 구조모형 추정치( : 6개 )를

구할 수 있는가(복원시킬 수 있는가)? ⇒ 간접최소자승법(ILS)

• 만약 이라면, 가능한가?

유도형모형의 추정치는 4개( )

구조모형 추정치는 5개( ) ⇒ 연립방정식 추정 불가


1 2 3 dQ P X e= α +α +α +

1 2 3 sQ P W e= β +β +β +

11 12 13 1Q X W error= π + π + π +

21 22 23 2P X W error= π + π + π +

22

1111 βα

αβπ−−

=22

312 βα

απ−

−=

22

313 βα

βπ−

=22

122121 βα

βαβαπ−+−

=22

3222 βα

ααπ−

−=

22

3223 βα

βαπ−

=

11π̂ 12π̂ 13π̂ 21π̂ 22π̂ 23π̂

1α̂ 2α̂ 3α̂ 1̂β 2β̂ 3β̂

03 =β

11π̂ 12π̂ 21π̂ 22π̂

1α̂ 2α̂ 3α̂ 1̂β 2β̂

11.4 식별문제

10

식별조건: 위수조건(order condition, 필요조건)

Cf. 계수조건 (rank condition, 필요충분조건), 곽상경 8장

• 해당 방정식에서는 제외되고 다른 방정식에는 포함된 변수(내생 및

외생변수)의 수가 (총내생변수의 수-1)보다 같거나 많아야 한다

• 모형에서 G개의 내생변수, K개의 외생변수가 있다고 할 때

위수조건은

: 특정 방정식에서 제외된 내생변수의 수

: 특정 방정식에서 제외된 외생변수의 수

0+0 < (2-1) ⇒ 과소식별 (비식별)

0+1 = (2-1) ⇒ 적도식별 (식별)


)1(** −≥+∆∆ GKG∆∆G

**K

11.4 식별문제



11

식별조건: 위수조건(order condition, 필요조건)

• ⇒ 과소식별 (비식별), 연립방정식 추정 불가

• ⇒ 적도식별 (식별), ILS로도 추정 가능

- ILS는 소표본에서는 불편추정량 못되지만, 일치추정량

• ⇒ 과도식별 (식별), 2SLS (ILS 적용 불가능)

- 3SLS, LIML, FIML 등도 적용 가능 (곽상경, 8장 참고)

일반적으로 연립방정식은 과도식별되는 경우가 많음


)1(** −>+∆∆ GKG

11.4 식별문제

)1(** −<+∆∆ GKG

)1(** −=+∆∆ GKG

12

• 위수조건은 다음과 같이 표현될 수도 있음

: 특정 방정식에서 제외된 외생변수의 수

: 특정 방정식에 포함된 내생변수의 수

: 특정 방정식의 우변에 포함된 내생변수의 수

(under identification)

0 < (2-1) ⇒ 과소식별 (비식별)

1 = (2-1) ⇒ 적도식별 (식별)

(just or exact identification)


∆G

**K

)1(** −−≥ ∆∆GGK

)1(** −≥ ∆GK

)1( −∆G

11.4 식별문제



13

식별조건의 검토

• 연립방정식의 경우, 추정을 하기 전에 식별조건을 먼저 검토

해야만 함

• 식별조건을 만족시키기 위해

중요한 변수(내생변수 혹은 외생변수)를 제거해서는 안됨

• 식별되지 않는 방정식이 있을 경우,

모형을 변화시켜 식별되도록 만들어 주어야 함

1=(2-1) ⇒ 적도식별 (식별)

1=(2-1) ⇒ 적도식별 (식별)


)1(** −≥ ∆GK

1 2 3 dQ P X e= α +α +α +

1 2 3 sQ P W e= β +β +β +

11.4 식별문제

14

11.5 2단계 최소제곱추정법 (two-stage least squares : 2SLS)

• 식별된 공급함수를 추정하는 방법을 생각해 보자.

• 내생변수 P는 확률적이며, es와 상관되어 있음

⇒ OLS로 추정할 수 없음 (연립방정식 편의 때문)

•

- 연립방정식 편의를 유발하는 요소는 P의 확률적 부분인 v1임

• • E(P)는 확률변수 아님(상수)

⇒ E(P)와 e*는 상관되지 않음

⇒ OLS로 추정 가능


1β


1 1 1( )P E P v X v= + = π +

( )( ) ( )( )

1 1

1 1 1

1 *

s

s

Q E P v e

E P v e

E P e

= β + +

= β + β +

= β +

15


• ⇒ OLS 적용할 수 없음(연립방정식 편의 때문)

• ⇒ OLS 적용 가능, E(P)만 알면 됨

• ⇒ 을 모르므로 E(P) 모름, OLS 적용 불가

• 2SLS 추정절차 적용

(1) P에 대한 유도방정식 을 OLS로 추정하여

예측치 을 계산,

(2) 를 E(P) 대신 사용하여

구조방정식 을 OLS로 추정 ⇒ 추정

1π

1β

11.5 2SLS

1 sQ P e= β +

( )1 *Q E P e= β +

1( )E P X= π

( , ) 0sCov P e ≠

1 1P X v= π +

1ˆ ˆP X= πP̂

P̂

1 *ˆQ P e= β +

16

일반적인 2SLS 추정절차

• M개의 연립방정식 체계를 2SLS로 추정하는 절차

- 내생변수(M개) : 외생변수(K개) :

• 첫 번째 구조방정식이 다음과 같고 식별된다고 하자.

(first stage)

유도방정식의 모수를 OLS로 추정하여, 내생변수 예측치 계산

(second stage)

구조방정식 우변의 내생변수를 예측치로 대체, OLS로 모수 추정


Myyy ,,, 21 Kxxx ,,, 21

1221133221 exxyyy ++++= ββαα

11.5 2SLS

KK xxxy 22221122 ˆˆˆˆ πππ +++=

KK xxxy 32231133 ˆˆˆˆ πππ +++=

*1221133221 ˆˆ exxyyy ++++= ββαα

17

2SLS 추정량의 특성

• 2SLS 추정량은 불편추정량은 아니지만 일치추정량임

• 소표본에서는 2SLS 추정량의 분산과 공분산의 분포가 알려져

있지 않음

- 소표본에서는 2SLS 사용이 적절치 않음

• 대표본에서 2SLS 추정량은 대략적으로 정규분포를 함

- 통계패키지에서는 OLS와 유사한 표준오차 및 t-값을 알려줌


11.5 2SLS

18

11.6 2SLS 추정법 사용 예

• 송로버섯 수요공급모형 (수요)

(공급)

Q : 송로 거래량, P : 송로 가격, PS : 송로대체품 가격

DI : 가처분소득, PF : 생산요소가격

• 식별 (수요) 0+1 = (2-1) ⇒ (적도)식별

(공급) 0+2 > (2-1) ⇒ (과도)식별

• 유도방정식

⇒ OLS로 추정하면 됨 (우변의 외생변수는 오차항과 독립이므로)


)1(** −≥+∆∆ GKG

1 2 3 4

1 2 3

di i i i i

si i i i

Q P PS DI e

Q P PF e

= α + α + α + α +

= β +β +β +

11 21 31 41 1

12 22 32 42 2

i i i i i

i i i i i

Q PS DI PF v

P PS DI PF v

= π + π + π + π +

= π + π + π + π +

19

통계자료 (표본수는 30)



20

SAS program

data truffles ; * create dataset;infile 'c:\tmp\table14-1.dat‘ ; * open data file;input p q ps di pf ; * input variables;

proc syslin 2sls first ; * estimate by 2sls and show reduced form;endogenous p q ; * specify endogenous variables;instruments ps di pf ; * specify exogenous variables;demand: model q = p ps di ; * demand model;supply: model q = p pf ; * supply model;



21

유도방정식 추정결과 (first stage)



22

내생변수(가격) 예측치 계산

구조방정식 추정결과 (second stage)


12 22 32 42ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

32.512 1.708 7.602 1.354

i i i i

i i i

P PS DI PF

PS DI PF

= π + π + π + π

= − + + +


23

Eviews output : 송로 수요식 추정결과 (OLS)

/ 불편추정량, 일치추정량 아님



Dependent Variable: QMethod: Least SquaresDate: 10/06/11 Time: 14:40Sample: 1 30Included observations: 30

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 1.091045 3.711580 0.293957 0.7711P 0.023295 0.076842 0.303159 0.7642

PS 0.710039 0.214325 3.312916 0.0027DI 0.076444 1.190855 0.064193 0.9493

R-squared 0.495720 Mean dependent var 18.45833Adjusted R-squared 0.437534 S.D. dependent var 4.613088S.E. of regression 3.459711 Akaike info criterion 5.443813Sum squared resid 311.2096 Schwarz criterion 5.630639Log likelihood -77.65720 Hannan-Quinn criter. 5.503580F-statistic 8.519560 Durbin-Watson stat 2.365947Prob(F-statistic) 0.000416

24

Eviews output : 송로 수요식 추정결과 (2SLS / 일치추정량)



Dependent Variable: QMethod: Two-Stage Least SquaresDate: 10/06/11 Time: 14:27Sample: 1 30Included observations: 30Instrument list: PS DI PF


C -4.279471 5.543884 -0.771926 0.4471P -0.374459 0.164752 -2.272869 0.0315

PS 1.296033 0.355193 3.648812 0.0012DI 5.013977 2.283556 2.195688 0.0372

R-squared -0.023950 Mean dependent var 18.45833Adjusted R-squared -0.142098 S.D. dependent var 4.613088S.E. of regression 4.929960 Sum squared resid 631.9171F-statistic 5.902645 Durbin-Watson stat 1.962370Prob(F-statistic) 0.003266 Second-Stage SSR 186.7542

25

Eviews output : 송로 공급식 추정결과 (OLS)

/ 불편추정량, 일치추정량 아님



Dependent Variable: QMethod: Least SquaresDate: 10/06/11 Time: 14:42Sample: 1 30Included observations: 30


C 20.03278 1.221972 16.39381 0.0000P 0.337987 0.021745 15.54355 0.0000

PF -1.000925 0.076390 -13.10279 0.0000

R-squared 0.901878 Mean dependent var 18.45833Adjusted R-squared 0.894610 S.D. dependent var 4.613088S.E. of regression 1.497585 Akaike info criterion 3.740225Sum squared resid 60.55457 Schwarz criterion 3.880344Log likelihood -53.10337 Hannan-Quinn criter. 3.785050F-statistic 124.0841 Durbin-Watson stat 2.322709Prob(F-statistic) 0.000000

26

Eviews output : 송로 공급식 추정결과 (2SLS / 일치추정량)



Dependent Variable: QMethod: Two-Stage Least SquaresDate: 10/06/11 Time: 14:31Sample: 1 30Included observations: 30Instrument list: PS DI PF


C 20.03280 1.223115 16.37851 0.0000P 0.337982 0.024920 13.56290 0.0000

PF -1.000909 0.082528 -12.12813 0.0000

R-squared 0.901878 Mean dependent var 18.45833Adjusted R-squared 0.894610 S.D. dependent var 4.613088S.E. of regression 1.497585 Sum squared resid 60.55457F-statistic 95.25929 Durbin-Watson stat 2.322730Prob(F-statistic) 0.000000 Second-Stage SSR 189.8491

27

11.7 2SLS 사용 예: 풀턴 어시장의 수요-공급

• 대구 수요

대구 공급

QUAN : 대구 거래량, PRICE : 대구 가격,

MON, TUE, WED, THU : 요일 더미, STORMY : 폭풍우 더미

• 식별 (수요) 0+1 = (2-1) ⇒ (적도)식별

(공급) 0+4 > (2-1) ⇒ (과도)식별

• 유도방정식

⇒ OLS로 추정하면 됨 (우변의 외생변수는 오차항과 독립이므로)


)1(** −≥+∆∆ GKG

( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 4 5 6

t 1 2 3

ln ln

ln ln

dt t t t t t t

st t t

QUAN PRICE MON TUE WED THU e

QUAN PRICE STORMY e

= α + α + α + α + α + α +

= β +β +β +

( )

( )

11 21 31 41 51 61 1

12 22 32 42 52 62 2

ln

ln

t t t t t t t

t t t t t t t

QUAN MON TUE WED THU STORMY v

PRICE MON TUE WED THU STORMY v

= π + π + π + π + π + π +

= π + π + π + π + π + π +

28

유도방정식 추정결과 (first stage)


11.7 2SLS 사용 예: 풀턴 어시장

29

내생변수(가격) 예측치 계산

- Table 11.4b로부터 계산

구조방정식 추정결과 (second stage)


11.7 2SLS 사용 예: 풀턴 어시장

30

11.8 3SLS• 구조모형의 오차항에 이분산이 존재하거나,

오차항 사이에 상관관계가 있는 경우에 사용

• 2SLS는 구조모형을 하나씩 OLS로 추정하므로,

연립방정식의 각 구조방정식 오차항의 이분산이나 오차항 사이의

상관관계를 고려할 수 없음

• 3SLS는 2SLS 추정 이후 구한 분산-공분산 행렬을 이용하여 GLS로

다시 추정하는 방법

• 구조식의 내역이 확실하지 못하거나,

이분산이 없거나, 오차항 사이의 상호의존성이 약하면

⇒ 굳이 3SLS를 사용할 필요 없음, 2SLS로 충분함


SAS program

data truffles ; * create dataset;infile 'c:\tmp\table14-1.dat‘ ; * open data file;input p q ps di pf ; * input variables;

proc syslin 3sls ; * estimate by 3sls;endogenous p q ; * specify endogenous variables;instruments ps di pf ; * specify exogenous variables;demand: model q = p ps di ; * demand model;supply: model q = p pf ; * supply model;


11.8 3SLS

32

Three-Stage Least Squares Estimation

System Weighted MSE 1.5973

Degrees of freedom 53

System Weighted R-Square 0.6924

Model DEMAND Dependent Variable q

Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|

Intercept 1 -4.01188 5.539202 -0.72 0.4754

p 1 -1.20125 0.489789 -2.45 0.0212

ps 1 1.263878 0.354137 3.57 0.0014

di 1 0.560051 0.222830 2.51 0.0185

Model SUPPLY Dependent Variable q

Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|

Intercept 1 20.03280 1.223115 16.38 <.0001

p 1 1.013945 0.074759 13.56 <.0001

pf 1 -1.00091 0.082528 -12.13 <.0001


11.8 3SLS

33

<과제>

11.7

- data는 사이버강의실에 올려져 있는 truffles_40 을

이용할 것


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