일반함수모형의 비교정태분석 - KOCWelearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/Konkuk/...제8장 일반함수모형의 비교정태분석 l일반함수모형의비교정태분석

8장

일 함 모 의비교 태분

8장

일 함 모 의비교 태분

l 일 함 모 의 비교 태분l 일 함 모 의 비교 태분

u일 함 모u일 함 모

è개요(introduction)

- 편도함 의 의는 독립변 들 간에 어떤 함 계도

존재하지 않는 것을 로 함(즉, 상 독립 ).

- 그러나일 함 태가 모 에포함 어어떤명시

축약 의 해를 얻을 없을 경우에는 그 게 편리한

법 할 없음.

- 를 들어 단 한 국민소득모 에

Y=C+I0+G0

C=C(Y, T0) [여 T0는 외생변 로 의 조 ]

è개요(introduction)

- 편도함 의 의는 독립변 들 간에 어떤 함 계도

존재하지 않는 것을 로 함(즉, 상 독립 ).

- 그러나일 함 태가 모 에포함 어어떤명시

축약 의 해를 얻을 없을 경우에는 그 게 편리한

법 할 없음.

- 를 들어 단 한 국민소득모 에

Y=C+I0+G0

C=C(Y, T0) [여 T0는 외생변 로 의 조 ]



- 앞의 두 모 Y*를 구하 해 하나의 단일 식

(하나의 균 조건) 로 다음과 같이 축약할 있음.

Y=C(Y, T0)+I0+G0

- 그러나 소비함 C가 일 함 태로 주어 있어

명시 인 해를 얻는 것 불가능함.

- 어떤 균 해 Y*가 존재할 때 일 조건 하에 Y*를

외생변 I0, G0, T0의 미분가능함 라면

Y*=Y*(I0, G0, T0)

- 다음의 항등식이 립함 : Y*ºC(Y*, T0)+I0+G0

- 앞의 두 모 Y*를 구하 해 하나의 단일 식

(하나의 균 조건) 로 다음과 같이 축약할 있음.

Y=C(Y, T0)+I0+G0

- 그러나 소비함 C가 일 함 태로 주어 있어

명시 인 해를 얻는 것 불가능함.

- 어떤 균 해 Y*가 존재할 때 일 조건 하에 Y*를

외생변 I0, G0, T0의 미분가능함 라면

Y*=Y*(I0, G0, T0)

- 다음의 항등식이 립함 : Y*ºC(Y*, T0)+I0+G0



- 만약 앞의 식에 ∂Y*/∂T0를 구하고자 한다면 함

C에 포함 두 변 는 로 독립 이지 않음.

- 왜냐하면 이 경우 T0는 직 로 C에 향을 미칠

뿐만 아니라 Y*에 해 도 간 로 향을 미침.

- 라 편미분 이러한 를 해결할 없음.

- 결과 로 이러한 를 해결하 하여 미분

(total differentiation)이라는 편미분의 비 개념이

필요함.

- 만약 앞의 식에 ∂Y*/∂T0를 구하고자 한다면 함

C에 포함 두 변 는 로 독립 이지 않음.

- 왜냐하면 이 경우 T0는 직 로 C에 향을 미칠

뿐만 아니라 Y*에 해 도 간 로 향을 미침.

- 라 편미분 이러한 를 해결할 없음.

- 결과 로 이러한 를 해결하 하여 미분

(total differentiation)이라는 편미분의 비 개념이

필요함.



- 미분의 과 도함 (total derivative)의 개념과

.

- 도함 는 C(Y*, T0) 같 함 에 독립변 T0가

다른 독립변 Y*에 향을 때 변 T0에 한

그 함 의 변화 의 도를 나타냄.

- 미분의 과 도함 (total derivative)의 개념과

.

- 도함 는 C(Y*, T0) 같 함 에 독립변 T0가

다른 독립변 Y*에 향을 때 변 T0에 한

그 함 의 변화 의 도를 나타냄.


u미분(differentials)u미분(differentials)

è미분과 도함 (differentials and derivatives)

- 도함 dy/dx=f¢(x)는 차분몫의 극한임.

=f¢(x)=

- 라 ⊿y/⊿x 그 자체는 (⊿x®0의 규 없이) dy/dx

동일하지 않음.

- 여 이 두 몫의 불일치를 δ로 나타내면

- =δ 는 = +δ [단, ⊿x®0에 라δ®0]

- ⊿x가 0에 한 근하면 불일치항 δ도 0에 한 근


- 도함 dy/dx=f¢(x)는 차분몫의 극한임.

=f¢(x)=

- 라 ⊿y/⊿x 그 자체는 (⊿x®0의 규 없이) dy/dx

동일하지 않음.

- 여 이 두 몫의 불일치를 δ로 나타내면

- =δ 는 = +δ [단, ⊿x®0에 라δ®0]

- ⊿x가 0에 한 근하면 불일치항 δ도 0에 한 근

dy

dx

⊿y

⊿x

lim⊿x®0

⊿y

⊿x

dy

dx

⊿y

⊿x

dy

dx




- 앞의 식을 양변에 ⊿x를 곱하면 다음과 같음.

⊿y= ⊿x+δ⊿x 는 ⊿y=f¢(x)⊿x+δ⊿x

- 이 식 ⊿x의특 변화로인한 y의변화(⊿y)를나타냄.

- 여 ⊿x가충분히작 이면 δ도충분히작 가

고, δ⊿x는 더욱 작 가 .

- 라 f¢(x)⊿x는 y의증분 ⊿y의 근사값 로 사용할

있음.


- 앞의 식을 양변에 ⊿x를 곱하면 다음과 같음.

⊿y= ⊿x+δ⊿x 는 ⊿y=f¢(x)⊿x+δ⊿x

- 이 식 ⊿x의특 변화로인한 y의변화(⊿y)를나타냄.

- 여 ⊿x가충분히작 이면 δ도충분히작 가

고, δ⊿x는 더욱 작 가 .

- 라 f¢(x)⊿x는 y의증분 ⊿y의 근사값 로 사용할

있음.

dy

dx



è미분과 도함 (differentials and derivatives)è미분과 도함 (differentials and derivatives)




- [그림 8.1]의 x0에 x0+⊿x로 변하면 y=f(x) graph에

A에 B로 이동함.

- 이 때 ⊿y는 CB이고, 두거리의비 (= 울 ) CB/AC=

⊿y/⊿x임.

- 이를 식 로 다시 리하면

⊿y= ⊿x= AC=CB

dy= dx= AC=CD


- [그림 8.1]의 x0에 x0+⊿x로 변하면 y=f(x) graph에

A에 B로 이동함.

- 이 때 ⊿y는 CB이고, 두거리의비 (= 울 ) CB/AC=

⊿y/⊿x임.

- 이를 식 로 다시 리하면

⊿y= ⊿x= AC=CB

dy= dx= AC=CD

⊿y

⊿x

CB

ACdy

dx

CD

AC




- 여 A를 지나는 을 그리고, CB 신 CD를

⊿y의근사값 로사용하면불일치 는근사값 차는

DB가 .

- AD의 울 는 f¢(x0)이므로⊿x가감소함에 라(⊿x®0)

B에 A로 이동함. 이에 라 불일치를 이고

f¢(x0), 즉 dy/dx를 ⊿y/⊿x에더가까운근사값 로만듬.

- 라 ⊿x가 감소함에 라 dy ⊿y의 차이도 0에

근


- 여 A를 지나는 을 그리고, CB 신 CD를

⊿y의근사값 로사용하면불일치 는근사값 차는

DB가 .

- AD의 울 는 f¢(x0)이므로⊿x가감소함에 라(⊿x®0)

B에 A로 이동함. 이에 라 불일치를 이고

f¢(x0), 즉 dy/dx를 ⊿y/⊿x에더가까운근사값 로만듬.

- 라 ⊿x가 감소함에 라 dy ⊿y의 차이도 0에

근




- [그림 8.1]에 AD의 울 는 dy/dx가 .

- 라 다음과 같이 리할 있음.

= AD의 울 =f¢(x)

- 식의 양변에 dx를 곱하면dy=f¢(x)dx

라 dx의어떤특 값이주어지면, 그것에 f¢(x)를

곱함 로써 ⊿y의근사값 로 의 dy를구할 있음.

- 변화량 dy dx를각각 x y의미분이라함.


- [그림 8.1]에 AD의 울 는 dy/dx가 .

- 라 다음과 같이 리할 있음.

= AD의 울 =f¢(x)

- 식의 양변에 dx를 곱하면dy=f¢(x)dx

라 dx의어떤특 값이주어지면, 그것에 f¢(x)를

곱함 로써 ⊿y의근사값 로 의 dy를구할 있음.

- 변화량 dy dx를각각 x y의미분이라함.

dy

dx



è미분과 탄 (differentials and point elasticity)

- 요함 Q=f(P)의 가격탄 (⊿Q/Q)/(⊿P/P)로

의 .

- 식에 근사값을사용하면독립 변화⊿P 종속

변화 ⊿Q는 dP dQ로 꿀 있음.

- 라 εd(elasticity를 나타내는그리스 자 epsilon)

로 표 는 요의 탄 (point elasticity)이라는

근사값 로 의 탄 척도를 얻음.


- 요함 Q=f(P)의 가격탄 (⊿Q/Q)/(⊿P/P)로

의 .

- 식에 근사값을사용하면독립 변화⊿P 종속

변화 ⊿Q는 dP dQ로 꿀 있음.

- 라 εd(elasticity를 나타내는그리스 자 epsilon)

로 표 는 요의 탄 (point elasticity)이라는

근사값 로 의 탄 척도를 얻음.




- 요의 탄 다음과 같이 리할 있음.

εd= = =

- 요의 탄 평균함 에 한한계함 의 비

- 식에

|εd| 일때 요는


- 요의 탄 다음과 같이 리할 있음.

εd= = =

- 요의 탄 평균함 에 한한계함 의 비

- 식에

|εd| 일때 요는

dQ/Q

dP/P

dQ/dP

Q/P

한계함 (marginal function)

평균함 (average function)

=¥>1=1<1=0

완 탄 (perfectly elastic)탄 (elastic)단 탄 (unitary elastic)비탄 (inelastic)완 비탄 (perfectly inelastic)




- 요함 Q=100-2P일 때 요의 탄 (εd)?

=-2 =

- 평균함 에 한 한계함 의 비 인 탄

εd= =-2/ =

- 이처럼 탄 P의 함 로 주어짐. 라 특

가격이 주어지면 탄 의 크 가 결 .


- 요함 Q=100-2P일 때 요의 탄 (εd)?

=-2 =


εd= =-2/ =

- 이처럼 탄 P의 함 로 주어짐. 라 특

가격이 주어지면 탄 의 크 가 결 .

dQ

dP

Q

P

100-2P

P

dQ/dP

Q/P

100-2P

P

-P

50-P




- 를들어 P=25일때 εd=-1 는 |εd|=1이므로 요는

이 가격( )에 단 탄 임.

- P=30일때 |εd|=1.5이므로 요는이가격에 탄 임.

- 만약 25<P<50일 때 |εd|>1이므로 요는 탄 이고,

0<P<25일 때 |εd|<1이므로 요는 비탄 임.

- 여 만약 P=50이라면 |εd|=¥(완 탄 )가 고,

P=0라면 |εd|=0(완 비탄 )이 .


- 를들어 P=25일때 εd=-1 는 |εd|=1이므로 요는

이 가격( )에 단 탄 임.

- P=30일때 |εd|=1.5이므로 요는이가격에 탄 임.

- 만약 25<P<50일 때 |εd|>1이므로 요는 탄 이고,

0<P<25일 때 |εd|<1이므로 요는 비탄 임.

- 여 만약 P=50이라면 |εd|=¥(완 탄 )가 고,

P=0라면 |εd|=0(완 비탄 )이 .




- 공 함 Q=P2+7P일 때 공 의 탄 (εs)?

=2P+7 = =P+7


εs= =

- 여 P=2일 때 공 탄 의 값 11/9(>1)임.

라 공 P=2에 탄 (elastic)임.


- 공 함 Q=P2+7P일 때 공 의 탄 (εs)?

=2P+7 = =P+7


εs= =

- 여 P=2일 때 공 탄 의 값 11/9(>1)임.

라 공 P=2에 탄 (elastic)임.

dQ

dP

Q

P

dQ/dP

Q/P

2P+7

P+7

P2+7P

P



è미분과 탄 (differentials and point elasticity)è미분과 탄 (differentials and point elasticity)




- 앞의 [그림 8.2]에 두 경우 모두 곡 상의 A에

( 는 의역 x=x0에 ) 한계함 의 값 AB의

울 로 .

- 한편, 평균함 의 값 직 OA(원 에 곡 상의

A를 연결한 직 )의 울 로 .

- 라 A에 탄 평균함 한계함 의

울 치의 비교로 알 있음.

- A에 ⒜의 경우 비탄 , ⒝의 경우 탄 임.


- 앞의 [그림 8.2]에 두 경우 모두 곡 상의 A에

( 는 의역 x=x0에 ) 한계함 의 값 AB의

울 로 .

- 한편, 평균함 의 값 직 OA(원 에 곡 상의

A를 연결한 직 )의 울 로 .

- 라 A에 탄 평균함 한계함 의

울 치의 비교로 알 있음.

- A에 ⒜의 경우 비탄 , ⒝의 경우 탄 임.



è미분과 탄 (differentials and point elasticity)è미분과 탄 (differentials and point elasticity)




- 탄 두 울 치의 비교로 할 있

때 에 비교 는 두 울 는 두 각(θm과 θa; 하첨자

m과 a는 한계 평균을 의미)의 크 에 의존함.

- 라 두 울 를 비교하는 신에 이에 상응하는

두 각을 비교해도 함.

- [그림 8.2] ⒜는 (θm<θa) 비탄 , ⒝는 (θm>θa) 탄

- [그림 8.3]에 는 ⒜ ⒝ 울 의 두 각이 모두 같음

(θm=θa). 즉, 주어진곡 상의 C에 단 탄 임.


- 탄 두 울 치의 비교로 할 있

때 에 비교 는 두 울 는 두 각(θm과 θa; 하첨자

m과 a는 한계 평균을 의미)의 크 에 의존함.

- 라 두 울 를 비교하는 신에 이에 상응하는

두 각을 비교해도 함.

- [그림 8.2] ⒜는 (θm<θa) 비탄 , ⒝는 (θm>θa) 탄

- [그림 8.3]에 는 ⒜ ⒝ 울 의 두 각이 모두 같음

(θm=θa). 즉, 주어진곡 상의 C에 단 탄 임.




- 지 까지 살펴본 하학 법 함 y=f(x)의 종속

변 y가 로축에 표시 고 있음을 의해야 함

(왜냐하면 경 학에 는 로 표시하 때 ).

- 라 요 공 의 탄 을 구하고자 할 때

종속변 인 요(Qd) 공 (Qs)이가로축에 치하면

탄 을 구하는 법 로 어야 함.


- 지 까지 살펴본 하학 법 함 y=f(x)의 종속

변 y가 로축에 표시 고 있음을 의해야 함

(왜냐하면 경 학에 는 로 표시하 때 ).

- 라 요 공 의 탄 을 구하고자 할 때

종속변 인 요(Qd) 공 (Qs)이가로축에 치하면

탄 을 구하는 법 로 어야 함.



è 미분(total differentials)의 개요

- 미분의 개념 독립변 가 둘 이상인 다변 함 에

해 도 확장할 있음.

- 함 z=f(x, y)에 x y의 증분을 각각 ⊿x, ⊿y라면

⊿z=f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y)

- 식의 우변에 f(x, y+⊿y)를 빼고 더하면

⊿z=[f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y)]+[f(x, y+⊿y)-f(x, y)]

- 첫 번째 안에 x는변하고 y는고 어있고,

두 번째 안에 y는변하고 x는고 어있음.


- 미분의 개념 독립변 가 둘 이상인 다변 함 에

해 도 확장할 있음.

- 함 z=f(x, y)에 x y의 증분을 각각 ⊿x, ⊿y라면

⊿z=f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y)

- 식의 우변에 f(x, y+⊿y)를 빼고 더하면

⊿z=[f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y)]+[f(x, y+⊿y)-f(x, y)]

- 첫 번째 안에 x는변하고 y는고 어있고,

두 번째 안에 y는변하고 x는고 어있음.


u 미분(total differentials)u 미분(total differentials)


- 한편, 앞의 식 다음과 같 식이 립함.

=fx(x, y)+δ1

=fy(x, y)+δ2

- 여 각각 ⊿x, ⊿y를 양변에 곱하고 다시 리하면

다음과 같음.⊿z=fx(x, y)⊿x+fy(x, y)⊿y+δ1⊿x+δ2⊿y

- 에 fx fy는각각의편도함 (partial derivatives)임.


- 한편, 앞의 식 다음과 같 식이 립함.

=fx(x, y)+δ1

=fy(x, y)+δ2

- 여 각각 ⊿x, ⊿y를 양변에 곱하고 다시 리하면

다음과 같음.⊿z=fx(x, y)⊿x+fy(x, y)⊿y+δ1⊿x+δ2⊿y

- 에 fx fy는각각의편도함 (partial derivatives)임.

f(x+⊿x, y+⊿y)-f(x, y+⊿y)

⊿xf(x, y+⊿y)-f(x, y)

⊿y




- 한편, 앞의 식에 ⊿x ⊿y가 각각 0에 한 근하면

각각의 불일치항인 δ1과 δ2도 0에 한 근함.

- 라 δ1⊿x δ2⊿y도 더욱 더 작 가 므로 z의

변화(dz)는 근사값 로 다음과 같이 미분 .

dz= dx+ dy 는 dz=fx(x, y)dx+fy(x, y)dy

- 식에 dz는 두 원천 로부 생하는 변화의 합

이 때 에 이것을 dz의 미분이라 함.


- 한편, 앞의 식에 ⊿x ⊿y가 각각 0에 한 근하면

각각의 불일치항인 δ1과 δ2도 0에 한 근함.

- 라 δ1⊿x δ2⊿y도 더욱 더 작 가 므로 z의

변화(dz)는 근사값 로 다음과 같이 미분 .

dz= dx+ dy 는 dz=fx(x, y)dx+fy(x, y)dy

- 식에 dz는 두 원천 로부 생하는 변화의 합

이 때 에 이것을 dz의 미분이라 함.

∂z

∂x

∂z

∂y



è 미분(total differentials)

- 를 들어 축함 S=S(Y, i); 여 S는 축, Y는

국민소득, i는 이자 임.

- 여 각각의편도함 ∂S/∂Y는 한계 축 향(MPS),

∂S/∂i는 이자 변화에 한 축 변화 도를 나타냄.

- 라 Y의 미 변화 dy에 른 S의 변화는 근사값

(∂S/∂Y)dy로 i의 미 변화 di에 인하는 S의 변화는

근사값 (∂S/∂i)di로 나타낼 있음.


- 를 들어 축함 S=S(Y, i); 여 S는 축, Y는

국민소득, i는 이자 임.

- 여 각각의편도함 ∂S/∂Y는 한계 축 향(MPS),

∂S/∂i는 이자 변화에 한 축 변화 도를 나타냄.

- 라 Y의 미 변화 dy에 른 S의 변화는 근사값

(∂S/∂Y)dy로 i의 미 변화 di에 인하는 S의 변화는

근사값 (∂S/∂i)di로 나타낼 있음.




- 그러면 축 S의 변화는다음과같이미분 로근사

할 있음.

dS= dY+ di 는 dS=SYdY+Sidi

- 만약 i는일 한데 Y만 변한다면이경우 di=0이 고,

미분 dS=(∂S/∂Y)dY로 고, 양변을 dY로 나 면

=

- 라 편도함 ∂S/∂Y는독립변 i가일 하다는

하에 두 미분 dS dY의 비 과 같음.


- 그러면 축 S의 변화는다음과같이미분 로근사

할 있음.

dS= dY+ di 는 dS=SYdY+Sidi

- 만약 i는일 한데 Y만 변한다면이경우 di=0이 고,

미분 dS=(∂S/∂Y)dY로 고, 양변을 dY로 나 면

=

- 라 편도함 ∂S/∂Y는독립변 i가일 하다는

하에 두 미분 dS dY의 비 과 같음.

∂S

∂Y

∂S

∂i

∂S

∂Y

dS

dY




- n개의 독립변 로 구 일 함 태의 효용함

U=U(x1, x2,L, xn)

- 함 의 미분 다음과 같이 표 할 있음.

dU= dx1+ dx2+L+ dxn

는 dU=U1dx1+U2dx2+L+Undxn=∑Uidxi

- 식에 우변의 각 항 어떤 하나의 독립변 가

미 변화할때 래 는 효용변화의근사값임.


- n개의 독립변 로 구 일 함 태의 효용함

U=U(x1, x2,L, xn)

- 함 의 미분 다음과 같이 표 할 있음.

dU= dx1+ dx2+L+ dxn

는 dU=U1dx1+U2dx2+L+Undxn=∑Uidxi

- 식에 우변의 각 항 어떤 하나의 독립변 가

미 변화할때 래 는 효용변화의근사값임.

∂U

∂x1

∂U

∂x2

∂U

∂xn




- 다른 함 마찬가지로 탄 을 구할 있음.

- 그러나 각 탄 여러 개의 독립변 직 어떤

하나의독립변 변화에 한종속변 변화로 의 .

- 라 앞 축함 는 두 개의 탄 이 의

있고, 효용함 는 n개의 탄 이 의 있음.

- 이때 각각의 독립변 변화에 한 종속변 변화는

편도함 가 고, 이들의 탄 을 편탄 (partial

elasticity)이라 함.


- 다른 함 마찬가지로 탄 을 구할 있음.

- 그러나 각 탄 여러 개의 독립변 직 어떤

하나의독립변 변화에 한종속변 변화로 의 .

- 라 앞 축함 는 두 개의 탄 이 의

있고, 효용함 는 n개의 탄 이 의 있음.

- 이때 각각의 독립변 변화에 한 종속변 변화는

편도함 가 고, 이들의 탄 을 편탄 (partial

elasticity)이라 함.




- 앞에 의 축함 에 한 편탄 다음과 같음.

εSY= = εSi= =

- 효용함 에 한 n개의 편탄 다음과 같음.

εUxi= = (i=1, 2,L, n)


- 앞에 의 축함 에 한 편탄 다음과 같음.

εSY= = εSi= =

- 효용함 에 한 n개의 편탄 다음과 같음.

εUxi= = (i=1, 2,L, n)

∂S/∂Y

S/Y

∂S

∂Y

Y

S

∂S/∂i

S/i

∂S

∂i

i

S

∂U/∂xi

U/xi

∂U

∂xi

xi

U




- 1 : U(x1, x2)=ax1+bx2 (여 a, b>0)

=U1=a =U2=b

dU=U1dx1+U2dx2=adx1+bdx2

- 2 : U(x1, x2)=x12+x2

3+x1x2

=U1=2x1+x2 =U2=3x22+x1

dU=U1dx1+U2dx2=(2x1+x2)dx1+(3x22+x1)dx2


- 1 : U(x1, x2)=ax1+bx2 (여 a, b>0)

=U1=a =U2=b

dU=U1dx1+U2dx2=adx1+bdx2

- 2 : U(x1, x2)=x12+x2

3+x1x2

=U1=2x1+x2 =U2=3x22+x1

dU=U1dx1+U2dx2=(2x1+x2)dx1+(3x22+x1)dx2

∂U

∂x1

∂U

∂x2

∂U

∂x1

∂U

∂x2




- 3 : U(x1, x2)=x1ax2

b (여 a, b>0)

=U1=ax1a-1x2

b=

=U2=bx1ax2

b-1=

dU=U1dx1+U2dx2=( )dx1+( )dx2


- 3 : U(x1, x2)=x1ax2

b (여 a, b>0)

=U1=ax1a-1x2

b=

=U2=bx1ax2

b-1=

dU=U1dx1+U2dx2=( )dx1+( )dx2

∂U

∂x1

∂U

∂x2

ax1ax2

b

x1

bx1ax2

b

x2

ax1ax2

b

x1

bx1ax2

b

x2




- 4 : z=2x+5xy+y

=z1=2+5y =z2=5x+1

dz=z1dx+z2dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy

- 5 : z=2x2+y2

=z1=4x =z2=2y

dz=z1dx+z2dy=4xdx+2ydy


- 4 : z=2x+5xy+y

=z1=2+5y =z2=5x+1

dz=z1dx+z2dy=(2+5y)dx+(5x+1)dy

- 5 : z=2x2+y2

=z1=4x =z2=2y

dz=z1dx+z2dy=4xdx+2ydy

∂z

∂x

∂z

∂y

∂z

∂x

∂z

∂y




- 6 : u=xy2z3

=u1=y2z3 =u2=2xyz3 =u3=3xy2z2

du=u1dx+u2dy+u3dz=y2z3dx+2xyz3dy+3xy2z2dz

- 7 : y=

=y1= =y2=

dy=y1dx1+y2dx2= dx1+ dx2


- 6 : u=xy2z3

=u1=y2z3 =u2=2xyz3 =u3=3xy2z2

du=u1dx+u2dy+u3dz=y2z3dx+2xyz3dy+3xy2z2dz

- 7 : y=

=y1= =y2=

dy=y1dx1+y2dx2= dx1+ dx2

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

x1

x1+x2∂y

∂x1

x2

(x1+x2)2

∂y

∂x2

-x1

(x1+x2)2

x2

(x1+x2)2

-x1

(x1+x2)2


u미분연산법칙(rules of differentials)u미분연산법칙(rules of differentials)

è함 y=f(x1, x2)의 미분 dy를 구하는 간단한 법

편도함 f1과 f2를 구하고 다음 식에 입하는 것임.

dy=f1dx1+f2dx2

- 그러나 다음과같 미분법칙을 용하는것이편리함.

- 여 k는 상 이고, u, v는 변 x1, x2의 함 임.

è [법칙 1] dk=0 (상 함 의 미분법칙)

è [법칙 2] d(cun)=cnun-1du (멱함 의 미분법칙)

è [법칙 3] d(u±v)=du±dv (합과 차의 미분법칙)

è [법칙 4] d(uv)=vdu+udv (곱의 미분법칙)

è함 y=f(x1, x2)의 미분 dy를 구하는 간단한 법

편도함 f1과 f2를 구하고 다음 식에 입하는 것임.

dy=f1dx1+f2dx2

- 그러나 다음과같 미분법칙을 용하는것이편리함.

- 여 k는 상 이고, u, v는 변 x1, x2의 함 임.

è [법칙 1] dk=0 (상 함 의 미분법칙)

è [법칙 2] d(cun)=cnun-1du (멱함 의 미분법칙)

è [법칙 3] d(u±v)=du±dv (합과 차의 미분법칙)

è [법칙 4] d(uv)=vdu+udv (곱의 미분법칙)



è [법칙 5] d( )= (vdu-udv) (몫의 미분법칙)

è [법칙 6] d(u±v±w)=du±dv±dw

è [법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw

è이상의 법칙들이 응용 는 실 를 살펴보 로 함.

- 1 : y=5x12+3x2

이 함 의 편도함 f1=10x1 f2=3이므로 구하고자

하는 미분 dy=f1dx1+f2dx2=10x1dx1+3dx2

그러나 u=5x12과 v=3x2로 놓고, 미분법칙을 용하면

dy=d(5x12)+d(3x2)=10x1dx1+3dx2

è [법칙 5] d( )= (vdu-udv) (몫의 미분법칙)

è [법칙 6] d(u±v±w)=du±dv±dw

è [법칙 7] d(uvw)=vwdu+uwdv+uvdw

è이상의 법칙들이 응용 는 실 를 살펴보 로 함.

- 1 : y=5x12+3x2

이 함 의 편도함 f1=10x1 f2=3이므로 구하고자

하는 미분 dy=f1dx1+f2dx2=10x1dx1+3dx2

그러나 u=5x12과 v=3x2로 놓고, 미분법칙을 용하면

dy=d(5x12)+d(3x2)=10x1dx1+3dx2

uv

1v2



- 2 : y=3x12+x1x2

2

편도함 f1=6x1+x22 f2=2x1x2이므로 구하고자 하는

미분 dy=f1dx1+f2dx2=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2

u=3x12과 v=x1x2

2로 놓고, 미분법칙을 용하면

dy=d(3x12)+d(x1x2

2)=6x1dx1+x22dx1+x1d(x2

2)

=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2

- 2 : y=3x12+x1x2

2

편도함 f1=6x1+x22 f2=2x1x2이므로 구하고자 하는

미분 dy=f1dx1+f2dx2=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2

u=3x12과 v=x1x2

2로 놓고, 미분법칙을 용하면

dy=d(3x12)+d(x1x2

2)=6x1dx1+x22dx1+x1d(x2

2)

=(6x1+x22)dx1+2x1x2dx2



- 3 : y=

편도함 f1= f2= 이므로 구하고자

하는 미분 dy=f1dx1+f2dx2= dx1+ dx2

u=x1+x2 v=2x12 로 놓고, 미분법칙을 용하면

dy=(1/4x14)[2x1

2d(x1+x2)-(x1+x2)d(2x12)]

=(1/4x14)[2x1

2(dx1+dx2)-(x1+x2)4x1dx1]

=(1/4x14)[-2x1(x1+2x2)dx1+2x1

2dx2]

= dx1+ dx2

- 3 : y=

편도함 f1= f2= 이므로 구하고자

하는 미분 dy=f1dx1+f2dx2= dx1+ dx2

u=x1+x2 v=2x12 로 놓고, 미분법칙을 용하면

dy=(1/4x14)[2x1

2d(x1+x2)-(x1+x2)d(2x12)]

=(1/4x14)[2x1

2(dx1+dx2)-(x1+x2)4x1dx1]

=(1/4x14)[-2x1(x1+2x2)dx1+2x1

2dx2]

= dx1+ dx2

x1+x2

2x12

-(x1+2x2)

2x13

1

2x12

-(x1+2x2)

2x13

1

2x12

-(x1+2x2)

2x13

1

2x12



- 4 : y=3x1(2x2-1)(x3+5)

식의 편도함 f1=3(2x2-1)(x3+5), f2=2(3x1)(x3+5),

f3=3x1(2x2-1)이므로 구하고자 하는 미분

dy=f1dx1+f2dx2+f3dx3=3(2x2-1)(x3+5)dx1

+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3

u=3x1, v=2x2-1, w=x3+5 로 놓고, 미분법칙을 용

dy=(2x2-1)(x3+5)d(3x1)+3x1(x3+5)d(2x2-1)

+3x1(2x2-1)d(x3+5)

=3(2x2-1)(x3+5)dx1+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3

- 4 : y=3x1(2x2-1)(x3+5)

식의 편도함 f1=3(2x2-1)(x3+5), f2=2(3x1)(x3+5),

f3=3x1(2x2-1)이므로 구하고자 하는 미분

dy=f1dx1+f2dx2+f3dx3=3(2x2-1)(x3+5)dx1

+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3

u=3x1, v=2x2-1, w=x3+5 로 놓고, 미분법칙을 용

dy=(2x2-1)(x3+5)d(3x1)+3x1(x3+5)d(2x2-1)

+3x1(2x2-1)d(x3+5)

=3(2x2-1)(x3+5)dx1+2(3x1)(x3+5)dx2+3x1(2x2-1)dx3


u 도함 (total derivatives)u 도함 (total derivatives)

è합 함 의 미분(total differentials of composite function)

- 합 함 의 일 함 태가 다음과 같음.

y=f(x, w), 여 x=g(w)

- 함 f g는 다음과 같이 합 함 로 결합 있음.

y=f[g(w), w]

- 여 변 y, x, w간의 상 계는 [그림 8.4]의

경로도(channel map)에 나타내고 있음.

- 이 그림에 알 있듯이 변화를 일 키는 궁극 인

원인변 인 w는 두 경로를 통해 y에 향을 .


- 합 함 의 일 함 태가 다음과 같음.

y=f(x, w), 여 x=g(w)

- 함 f g는 다음과 같이 합 함 로 결합 있음.

y=f[g(w), w]

- 여 변 y, x, w간의 상 계는 [그림 8.4]의

경로도(channel map)에 나타내고 있음.

- 이 그림에 알 있듯이 변화를 일 키는 궁극 인

원인변 인 w는 두 경로를 통해 y에 향을 .




- 우 , 간 로 함 g를 거친 후, 함 f를 통하여

y에 향을 주고(직 의 화살표), 그리고직 로

함 f를 통하여 y에 향을 (곡 의 화살표).


- 우 , 간 로 함 g를 거친 후, 함 f를 통하여

y에 향을 주고(직 의 화살표), 그리고직 로

함 f를 통하여 y에 향을 (곡 의 화살표).




- y에 한 w의 직 효과는 편도함 인 fw(=∂y/∂w)로

나타낼 있음.

- y에 한 w의 간 효과는 합 함 의 연쇄법칙인

두 도함 의 곱, 즉 fx (= )로 표 .

- 이 두 효과를 합하면 w에 한 y의 도함 를 얻음.

=fx +fw= +


- y에 한 w의 직 효과는 편도함 인 fw(=∂y/∂w)로

나타낼 있음.

- y에 한 w의 간 효과는 합 함 의 연쇄법칙인

두 도함 의 곱, 즉 fx (= )로 표 .

- 이 두 효과를 합하면 w에 한 y의 도함 를 얻음.

=fx +fw= +

dx

dw

∂y

∂x

dx

dw

dy

dw

dx

dw

∂y

∂x

dx

dw

∂y

∂w




- 앞의 도함 는 다른 법 로도 얻을 있음.

- 우 , 함 y=f(x, w)를 미분하면

dy=fxdx+fwdw

- 이 양변을 dw로 나 면 다음의 결과를 얻음.

=fx +fw= +

- 어떤 법이든 도함 dy/dw를 구하는 과 을 w에

한 y의 미분연산이라 함.

- 여 dy/dw는 도함 이고, ∂y/∂w는 편도함 임.


- 앞의 도함 는 다른 법 로도 얻을 있음.

- 우 , 함 y=f(x, w)를 미분하면

dy=fxdx+fwdw

- 이 양변을 dw로 나 면 다음의 결과를 얻음.

=fx +fw= +

- 어떤 법이든 도함 dy/dw를 구하는 과 을 w에

한 y의 미분연산이라 함.

- 여 dy/dw는 도함 이고, ∂y/∂w는 편도함 임.

dy

dw

dx

dw

∂y

∂x

dx

dw

∂y

∂w




- 1 : y=f(x, w)=3x-w2이고, 단 x=g(w)=2w2+w+4일 때

도함 dy/dw

fx=3, fw=-2w, =4w+1이므로

=fx +fw=3(4w+1)+(-2w)=10w+3

- 함 g를 함 f에 입하면 y=3(2w2+w+4)-w2이고,

이를 다시 리하면 y=5w2+3w+12이므로

dy/dw=10w+3


- 1 : y=f(x, w)=3x-w2이고, 단 x=g(w)=2w2+w+4일 때

도함 dy/dw

fx=3, fw=-2w, =4w+1이므로

=fx +fw=3(4w+1)+(-2w)=10w+3

- 함 g를 함 f에 입하면 y=3(2w2+w+4)-w2이고,

이를 다시 리하면 y=5w2+3w+12이므로

dy/dw=10w+3

dx

dwdy

dw

dx

dw




- 2 : 효용함 가 U=U(c, s)이고(여 c는 커 소

비량, s는 탕 소비량), 다른 식 s=g(c)임.

이 두 재화가 보완 계라면 효용함 는 다음과 같

합 함 로 나타낼 있음.

U=U[c, g(c)]

식 로부 다음과 같 도함 dU/dc를 얻음.

= + g¢(c)


- 2 : 효용함 가 U=U(c, s)이고(여 c는 커 소

비량, s는 탕 소비량), 다른 식 s=g(c)임.

이 두 재화가 보완 계라면 효용함 는 다음과 같

합 함 로 나타낼 있음.

U=U[c, g(c)]

식 로부 다음과 같 도함 dU/dc를 얻음.

= + g¢(c)∂U

∂c

dU

dc

∂U

∂g(c)



è논 의 한 변환(a variation on the theme)

- 함 y=f(x1, x2, w), 여 x1=g(w), x2=h(w)임.

- 이 경우 변 w는 경로를 통하여 y에 향을 :

⑴ 간 로 함 g를 거친 후 함 f를 통해,

⑵ 한 간 로 함 h를 거치고 함 f를 통해,

⑶ 직 로 함 f를 통해 y에 향을 .

- 이 효과는 각각 , , 로 나타낼

있음.


- 함 y=f(x1, x2, w), 여 x1=g(w), x2=h(w)임.

- 이 경우 변 w는 경로를 통하여 y에 향을 :

⑴ 간 로 함 g를 거친 후 함 f를 통해,

⑵ 한 간 로 함 h를 거치고 함 f를 통해,

⑶ 직 로 함 f를 통해 y에 향을 .

- 이 효과는 각각 , , 로 나타낼

있음.

∂y

∂x1

dx1

dw

∂y

∂x2

∂y

∂w

dx2

dw




- 이들 가지효과를합하면, 다음의 도함 를 얻음.

= + +

=f1 +f2 +fw


- 이들 가지효과를합하면, 다음의 도함 를 얻음.

= + +

=f1 +f2 +fw

∂y

∂x1

dx1

dw

∂y

∂x2

∂y

∂w

dx2

dw

dy

dwdx1

dw

dx2

dw




- 생산함 Q=Q(K, L, t), 여 t는 시간변 임.

- 이 경우 시간 t의 경과에 라 의 변화를 할

있음. 라 동태 생산함 라고 할 있음.

- 시간의 경과에 라 자본량과 노동량도 변화하므로

K=K(t), L=L(t) ® Q=Q[K(t), L(t), t]

- 그러면시간에 한산출량변화 도함 공식에

라 = + +

=QKK¢(t)+QLL¢(t)+Qt


- 생산함 Q=Q(K, L, t), 여 t는 시간변 임.

- 이 경우 시간 t의 경과에 라 의 변화를 할

있음. 라 동태 생산함 라고 할 있음.

- 시간의 경과에 라 자본량과 노동량도 변화하므로

K=K(t), L=L(t) ® Q=Q[K(t), L(t), t]

- 그러면시간에 한산출량변화 도함 공식에

라 = + +

=QKK¢(t)+QLL¢(t)+Qt

∂Q

∂K

dK

dt

∂Q

∂L

∂Q

∂t

dL

dt

dQ

dt


u음함 의 도함 (derivatives of implicit function)u음함 의 도함 (derivatives of implicit function)

è음함 (implicit function)

- 지 까지 함 는 부분 y=f(x)의 태로 나타냈음.

여 x는 독립변 , y는 종속변 로 명확하게 표

할 있음. 즉, 변 y가 x의 함 로 명시 로 표시

때 에 이러한 함 를 양함 (explicit function)

라고 함( : y=f(x)=3x4).

- 그러나 이 함 가 동일한 의미를 갖는 다른 태, 즉

y-3x4=0

여 변 x, y는독립변 종속변 가뚜 하지않음.


- 지 까지 함 는 부분 y=f(x)의 태로 나타냈음.

여 x는 독립변 , y는 종속변 로 명확하게 표

할 있음. 즉, 변 y가 x의 함 로 명시 로 표시

때 에 이러한 함 를 양함 (explicit function)

라고 함( : y=f(x)=3x4).

- 그러나 이 함 가 동일한 의미를 갖는 다른 태, 즉

y-3x4=0

여 변 x, y는독립변 종속변 가뚜 하지않음.




- 이 같이 x, y의 계가 명확하지 않고 포 로

나타난 함 를 음함 (implicit function)라고 함

( : y-3x4=0).

- 일 로 음함 는 F(y, x)=0 로 나타냄(y는 x의

음함 라고 함).

여 음함 는 함 f 구별하 해 자 F를

사용함.


- 이 같이 x, y의 계가 명확하지 않고 포 로

나타난 함 를 음함 (implicit function)라고 함

( : y-3x4=0).

- 일 로 음함 는 F(y, x)=0 로 나타냄(y는 x의

음함 라고 함).

여 음함 는 함 f 구별하 해 자 F를

사용함.




- 앞의 에 함 F는 두 독립변 y x를 가지는

면, 양함 f는 직 하나의 독립변 x만 가짐.

- 함 F는 둘 이상의 독립변 가 존재할 있음.

- 한편, 양함 y=f(x)는 f(x)식을 등 의 좌변 로 이항

하면 식 F(y, x)=0 태로 항상 변환이 가능함.

그러나 그 역의 변환 항상 가능한 것이 아님.

즉, 음함 를 의하지 못할 도 있음.


- 앞의 에 함 F는 두 독립변 y x를 가지는

면, 양함 f는 직 하나의 독립변 x만 가짐.

- 함 F는 둘 이상의 독립변 가 존재할 있음.

- 한편, 양함 y=f(x)는 f(x)식을 등 의 좌변 로 이항

하면 식 F(y, x)=0 태로 항상 변환이 가능함.

그러나 그 역의 변환 항상 가능한 것이 아님.

즉, 음함 를 의하지 못할 도 있음.




- : 식F(y, x)=x2+y2-32=0는원 심 로 지름이

3인원이고, y를 x에 하여풀어쓰면 y=±(32-x2)1/2임.


- : 식F(y, x)=x2+y2-32=0는원 심 로 지름이

3인원이고, y를 x에 하여풀어쓰면 y=±(32-x2)1/2임.




- 식 F(y, x)=x2+y2-32=0는 함 가 아니라 하나의

계에 불과함.

- 왜냐하면 하나의 원을 나타내 때 에 x의 각 값에

응하는 y값이 일하게 존재하지 않음.

- 그러나 y값이 비음(양)이면 y=+(32-x2)1/2(원의 상 분),

y값이 비양(음)이면 y=-(32-x2)1/2(원의 하 분)을 구

- 한편, 원의왼쪽이나 른쪽 분 그어느것도함 가

없음.


- 식 F(y, x)=x2+y2-32=0는 함 가 아니라 하나의

계에 불과함.

- 왜냐하면 하나의 원을 나타내 때 에 x의 각 값에

응하는 y값이 일하게 존재하지 않음.

- 그러나 y값이 비음(양)이면 y=+(32-x2)1/2(원의 상 분),

y값이 비양(음)이면 y=-(32-x2)1/2(원의 하 분)을 구

- 한편, 원의왼쪽이나 른쪽 분 그어느것도함 가

없음.




- y=+(32-x2)1/2 [원의 상 분]

y=-(32-x2)1/2 [원의 하 분]

- 즉, F(y, x)=0가 y=f(x)를 의해 때 y는 x의 음함

(implicit function)라고 함.


- y=+(32-x2)1/2 [원의 상 분]

y=-(32-x2)1/2 [원의 하 분]

- 즉, F(y, x)=0가 y=f(x)를 의해 때 y는 x의 음함

(implicit function)라고 함.



è음함 의 도함 (derivative of implicit function)

- 음함 F(y, x)=0에 하여 x에 한 y의 도함 (dy/dx)

는 우 양변을 x에 하여 미분하면

Fx+Fy =0 라 =- (Fy¹0)

- 앞의 F(y, x)=x2+y2-32=0에

Fx=2x, Fy=2y이므로 =- =- 임.

- 결국, 음함 의 구체 태를 알지 못해도 음함 의

도함 는 F함 의 한 의 편도함 들의 비 에 음(-)

의 부 를 붙인 것이 .


- 음함 F(y, x)=0에 하여 x에 한 y의 도함 (dy/dx)

는 우 양변을 x에 하여 미분하면

Fx+Fy =0 라 =- (Fy¹0)

- 앞의 F(y, x)=x2+y2-32=0에

Fx=2x, Fy=2y이므로 =- =- 임.

- 결국, 음함 의 구체 태를 알지 못해도 음함 의

도함 는 F함 의 한 의 편도함 들의 비 에 음(-)

의 부 를 붙인 것이 .

dy

dx

dy

dx

Fx

Fy

dy

dx

2x

2y

x

y




- 1 : 식 F(y, x)=y-3x4=0의 도함 (dy/dx)

=- =- =12x3

한편, 주어진 식을 y에 해 풀면 y=3x4임.

라 의 도함 동일함.

- 2 : 식 F(y, x, w)=y3x2+w3+yxw-3=0의 도함

=- =-

만약 (1, 1, 1)에 이 도함 의 값 -3/4임.


- 1 : 식 F(y, x)=y-3x4=0의 도함 (dy/dx)

=- =- =12x3

한편, 주어진 식을 y에 해 풀면 y=3x4임.

라 의 도함 동일함.

- 2 : 식 F(y, x, w)=y3x2+w3+yxw-3=0의 도함

=- =-

만약 (1, 1, 1)에 이 도함 의 값 -3/4임.

dy

dx

Fx

Fy

-12x3

1

∂y

∂x

Fx

Fy

2y3x+yw

3y2x2+xw




- 3 : 식 F(Q, K, L)=0 시 로 생산함

Q=f(K, L)로 의하면한계실 생산 MPPK MPPL?

MPPKº =- MPPLº =-

이 에도 식 F(Q, K, L)=0에 다음과 같 편도

함 를 얻을 있음.

=-


- 3 : 식 F(Q, K, L)=0 시 로 생산함

Q=f(K, L)로 의하면한계실 생산 MPPK MPPL?

MPPKº =- MPPLº =-

이 에도 식 F(Q, K, L)=0에 다음과 같 편도

함 를 얻을 있음.

=-∂K

∂L

FL

FK

∂Q

∂K

FK

FQ

∂Q

∂L

FL

FQ




- 앞에 다룬 ∂K/∂L의 경 의미는 엇인가?

편미분 는다른변 Q가고 어있음을의미함.

- 그러므로 이것 등량곡 (isoquant curve)을 라

이동하는 변화의 태를 갖게 .

- 라 도함 ∂K/∂L는 등량곡 의 의 울

( 울 값 보통 음(-)의 값을 가짐.)

- 한편, ∂K/∂L의 값 한계 체 (marginal

rate of technical substitution : MRTSLK)임.


- 앞에 다룬 ∂K/∂L의 경 의미는 엇인가?

편미분 는다른변 Q가고 어있음을의미함.

- 그러므로 이것 등량곡 (isoquant curve)을 라

이동하는 변화의 태를 갖게 .

- 라 도함 ∂K/∂L는 등량곡 의 의 울

( 울 값 보통 음(-)의 값을 가짐.)

- 한편, ∂K/∂L의 값 한계 체 (marginal

rate of technical substitution : MRTSLK)임.



è등량곡 (isoquant curve)è등량곡 (isoquant curve)

Q=Q1

K

∂K

∂L

0 L



è연립 식 로의 확장(extension to the simultaneous-equation)

- 연립 식의 집합이 다음과 같음.

F1(y1, y2,L, yn; x1, x2,L, xm)=0F2(y1, y2,L, yn; x1, x2,L, xm)=0LLLLLLLLLLLLLFn(y1, y2,L, yn; x1, x2,L, xm)=0

- 식에 응하는 음함 들의 집합 다음과 같음.

y1=f1(x1, x2,L, xm)y2=f2(x1, x2,L, xm)LLLLLLLLyn=fn(x1, x2,L, xm)


- 연립 식의 집합이 다음과 같음.

F1(y1, y2,L, yn; x1, x2,L, xm)=0F2(y1, y2,L, yn; x1, x2,L, xm)=0LLLLLLLLLLLLLFn(y1, y2,L, yn; x1, x2,L, xm)=0

- 식에 응하는 음함 들의 집합 다음과 같음.

y1=f1(x1, x2,L, xm)y2=f2(x1, x2,L, xm)LLLLLLLLyn=fn(x1, x2,L, xm)




- 앞의 연립 식과 이에 응하는 음함 의 존재를

보장하 면 다음의 음함 계가 립해야 함.

⑴ F1, F2,L, Fn 모두 y x에 하여 연속 인 편도

함 를 가 야 하며,

⑵ 한 (y10, y20,L, yn0; x10, x20,L, xm0)에 음함 의

연립 식을 만족한다면 다음의야코비행 식

0이 아님.


- 앞의 연립 식과 이에 응하는 음함 의 존재를

보장하 면 다음의 음함 계가 립해야 함.

⑴ F1, F2,L, Fn 모두 y x에 하여 연속 인 편도

함 를 가 야 하며,

⑵ 한 (y10, y20,L, yn0; x10, x20,L, xm0)에 음함 의

연립 식을 만족한다면 다음의야코비행 식

0이 아님.




- 야코비행 식(Jacobian determinant)이 0이 아니면, 즉

|J|º º ¹0

이때 한 에 변 y1, y2,L, yn 변 x1, x2,L, xn의

함 가 (즉, 음함 가 존재함).

y10=f1(x10, x20,L, xm0)y20=f2(x10, x20,L, xm0)LLLLLLLLLyn0=fn(x10, x20,L, xm0)


- 야코비행 식(Jacobian determinant)이 0이 아니면, 즉

|J|º º ¹0

이때 한 에 변 y1, y2,L, yn 변 x1, x2,L, xn의

함 가 (즉, 음함 가 존재함).

y10=f1(x10, x20,L, xm0)y20=f2(x10, x20,L, xm0)LLLLLLLLLyn0=fn(x10, x20,L, xm0)

∂(F1,L,Fn)∂(y1,L,yn)

∂F1/∂y1 ∂F1/∂y2 L ∂F1/∂yn

∂F2/∂y1 ∂F2/∂y2 L ∂F2/∂yn

LLLLLLLLLLLL∂Fn/∂y1 ∂Fn/∂y2 L ∂Fn/∂yn




- 단일 식의경우 같이각항등식의양변을 미분

하면다음과 같음.

dy1+L+ dyn+ dx1+L+ dxm=0


LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL



- 단일 식의경우 같이각항등식의양변을 미분

하면다음과 같음.





∂F1

∂y1

∂F1

∂x1

∂F1

∂yn

∂F1

∂xm

∂F2

∂y1

∂F2

∂yn

∂F2

∂x1

∂F2

∂xm

∂Fn

∂y1

∂Fn

∂yn

∂Fn

∂x1

∂Fn

∂xm




- 앞의 식 dxi항들을 등 의 우변 로 이항하면 다음과

같음.

dy1+L+ dyn=- dx1+L+ dxm





- 앞의 식 dxi항들을 등 의 우변 로 이항하면 다음과

같음.





∂F1

∂y1

∂F1

∂x1

∂F1

∂yn

∂F1

∂xm

∂F2

∂y1

∂F2

∂yn

∂F2

∂x1

∂F2

∂xm

∂Fn

∂y1

∂Fn

∂yn

∂Fn

∂x1

∂Fn

∂xm




- 여 변 x1만 변화한다면(dx1¹0; dx2=L=dxm=0),

그리고 양변을 dx1 로 나 면 다음과 같음.

+L+ =-

+L+ =-

LLLLLLLLLLLLL

+L+ =-


- 여 변 x1만 변화한다면(dx1¹0; dx2=L=dxm=0),

그리고 양변을 dx1 로 나 면 다음과 같음.

+L+ =-

+L+ =-

LLLLLLLLLLLLL

+L+ =-

∂F1

∂y1

∂F1

∂x1

∂F1

∂yn

∂F2

∂y1

∂F2

∂yn

∂F2

∂x1

∂Fn

∂y1

∂Fn

∂yn

∂Fn

∂x1

∂y1

∂x1

∂yn

∂x1

∂y1

∂x1

∂y1

∂x1

∂yn

∂x1

∂yn

∂x1




- 여 는변 x1만변 y1, y2, L, yn에 향을미치는

것이므로 미분몫 모두 편도함 로 어야 함.

이를 행 로 나타내면 다음과 같음.

L -

L -

LLLLLLLL L L

L -


- 여 는변 x1만변 y1, y2, L, yn에 향을미치는

것이므로 미분몫 모두 편도함 로 어야 함.

이를 행 로 나타내면 다음과 같음.

L -

L -

LLLLLLLL L L

L -

=

∂F1

∂x1

∂F2

∂y1

∂F1

∂y2

∂F2

∂x1

∂Fn

∂y1

∂Fn

∂yn

∂Fn

∂x1

∂y2

∂x1

∂y1

∂x1

∂yn

∂x1

∂F1

∂y1

∂F1

∂yn

∂F2

∂y2

∂F2

∂yn

∂Fn

∂y2




- 앞에 의 식을행 과벡 로규 하면연립 식의

표 Jx=d로 간단히 표 할 있음.

- 여 계 행 의 행 식 음함 리의 조건에

0이 아니라고 했던 것 야코비행 식 |J|이며

비동차 식체계이므로 일한 해가 존재함.


- 앞에 의 식을행 과벡 로규 하면연립 식의

표 Jx=d로 간단히 표 할 있음.

- 여 계 행 의 행 식 음함 리의 조건에

0이 아니라고 했던 것 야코비행 식 |J|이며

비동차 식체계이므로 일한 해가 존재함.




- 이 해는 크래 의 공식(Cramer’s rule)을 이용하여

다음과 같이 나타낼 있음.

= (j=1, 2,L, n)

- 이과 을 히조 하면 그음함 의다른변 , 즉

x2,L, xm들의 변화에 한편도함 들도 구할 있음.


- 이 해는 크래 의 공식(Cramer’s rule)을 이용하여

다음과 같이 나타낼 있음.

= (j=1, 2,L, n)

- 이과 을 히조 하면 그음함 의다른변 , 즉

x2,L, xm들의 변화에 한편도함 들도 구할 있음.

∂yj

∂x1

|Jj||J|




- 1 : 개의 식이 다음과 같음.

xy-w=0 F1=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변 임.)

y-w3-3z=0 F2=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변 임.)

w3+z3-2zw=0 F3=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변 임.)

- 식 P에 립함. 즉, (x, y, w; z)=(1/4, 4, 1, 1)

- 야코비행 식 |J|가 P에 0이아니면음함 리를

이용하여 비교 태도함 ∂x/∂z를 구할 있음.


- 1 : 개의 식이 다음과 같음.

xy-w=0 F1=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변 임.)

y-w3-3z=0 F2=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변 임.)

w3+z3-2zw=0 F3=(x, y, w; z)=0 (z는 외생변 임.)

- 식 P에 립함. 즉, (x, y, w; z)=(1/4, 4, 1, 1)

- 야코비행 식 |J|가 P에 0이아니면음함 리를

이용하여 비교 태도함 ∂x/∂z를 구할 있음.




- 이 도함 를 구하 해 식체계를 미분하면

ydx+xdy-dw=0 [®ydx+xdy-dw=0]

dy-3w2dw-3dz=0 [®dy-3w2dw=3dz]

(3w2-2z)dw+(3z2-2w)dz=0 [®(3w2-2z)dw=(2w-3z2)dz]

- 외생변 의 미분항을우변 로 이항, 행 로나타내면


- 이 도함 를 구하 해 식체계를 미분하면

ydx+xdy-dw=0 [®ydx+xdy-dw=0]

dy-3w2dw-3dz=0 [®dy-3w2dw=3dz]

(3w2-2z)dw+(3z2-2w)dz=0 [®(3w2-2z)dw=(2w-3z2)dz]

- 외생변 의 미분항을우변 로 이항, 행 로나타내면

dxdydw

y x -10 1 -3w2

0 0 (3w2-2z)

03

(2w-3z2)

= dz




- 여 좌변의계 행 야코비행 식 다음과같음.

|J|= = =y(3w2-2z)

P에 야코비행 식의 값 |J|=4(¹0)임.

- 라 음함 리를 용하면 다음과 같음.


- 여 좌변의계 행 야코비행 식 다음과같음.

|J|= = =y(3w2-2z)

P에 야코비행 식의 값 |J|=4(¹0)임.

- 라 음함 리를 용하면 다음과 같음.∂x/∂z∂y/∂z∂w/∂z

y x -10 1 -3w2

0 0 (3w2-2z)

03

(2w-3z2)

=

y x -10 1 -3w2

0 0 (3w2-2z)

Fx1 Fy

1 Fw1

Fx2 Fy

2 Fw2

Fx3 Fy

3 Fw3




- 이 크래 의 공식을 용하면 다음과 같 ∂x/∂z를

구할 있음.

= =

=0+(-3) +(-1)

= + =-


- 이 크래 의 공식을 용하면 다음과 같 ∂x/∂z를

구할 있음.

= =

=0+(-3) +(-1)

= + =-

∂x∂z

0 x -13 1 -3w2

(2w-3z2) 0 (3w2-2z)

|J|

0 1/4 -13 1 -3

-1 0 1

41/4 -1

0 1

4

1/4 -11 -3

4-316

-116

14




- 2 : 국민소득모 이 다음과 같음.

Y-C-I0-G0=0

C-α-β(Y-T)=0

T-γ-δY=0

- 여 내생변 (Y, C, T)를 (y1, y2, y3), 외생변

라미 (I0, G0, α, β, γ, δ)를 (x1, x2, x3, x4, x5, x6)라

하면 각 식의 좌변 Fj(Y, C, T; I0, G0, α, β, γ, δ)

태로 n=3이고, m=6인 경우가 .


- 2 : 국민소득모 이 다음과 같음.

Y-C-I0-G0=0

C-α-β(Y-T)=0

T-γ-δY=0

- 여 내생변 (Y, C, T)를 (y1, y2, y3), 외생변

라미 (I0, G0, α, β, γ, δ)를 (x1, x2, x3, x4, x5, x6)라

하면 각 식의 좌변 Fj(Y, C, T; I0, G0, α, β, γ, δ)

태로 n=3이고, m=6인 경우가 .




- 야코비행 식(내생변 의 도함 들로만 이루어진

행 식) 다음과 같음.

|J|= = =1-β+βδ¹0

- 라 내생변 들의균 값을다음같이외생변 들과

라미 들로 이루어진 음함 를 나타낼 있음.


- 야코비행 식(내생변 의 도함 들로만 이루어진

행 식) 다음과 같음.

|J|= = =1-β+βδ¹0

- 라 내생변 들의균 값을다음같이외생변 들과

라미 들로 이루어진 음함 를 나타낼 있음.

1 -1 0-β 1 β-δ 0 1

∂F1/∂Y ∂F1/∂C ∂F1/∂T∂F2/∂Y ∂F2/∂C ∂F2/∂T∂F3/∂Y ∂F3/∂C ∂F3/∂T




- 즉,

Y*=f1(I0, G0, α, β, γ, δ)

C*=f2(I0, G0, α, β, γ, δ)T*=f3(I0, G0, α, β, γ, δ)

- 이 G0를 외한 모든 외생변 라미 는 고 .

그러면 다음과 같 식을 얻음.


- 즉,

Y*=f1(I0, G0, α, β, γ, δ)

C*=f2(I0, G0, α, β, γ, δ)T*=f3(I0, G0, α, β, γ, δ)

- 이 G0를 외한 모든 외생변 라미 는 고 .

그러면 다음과 같 식을 얻음.

100

∂Y*/∂G0

∂C*/∂G0

∂T*/∂G0

=1 -1 0

-β 1 β-δ 0 1




- 크래 의 공식을 용하면 다음과 같 ∂Y*/∂G0를

구할 있음.

= = [ 부지출승 ]


- 크래 의 공식을 용하면 다음과 같 ∂Y*/∂G0를

구할 있음.

= = [ 부지출승 ]∂Y*∂G0

1 -1 00 1 β0 0 1

|J|

11-β+βδ



è분 차의 요약(summary the procedure)

⑴ 연립 식을 구 하고 있는 각 균 식에 해

미분 실시

⑵ 내생변 에 한 미분 등 좌변, 외생변 에

한 미분 우변에 놓음.

⑶ 내생변 로 구 편도함 를 행 (matrix)로 나타

내고, 야코비행 식(Jacobian determinant)을 구함.

여 |J|¹0이면 함 로 독립이므로 비교 태

분 이 가능하고, 일한 해가 존재함.


⑴ 연립 식을 구 하고 있는 각 균 식에 해

미분 실시

⑵ 내생변 에 한 미분 등 좌변, 외생변 에

한 미분 우변에 놓음.

⑶ 내생변 로 구 편도함 를 행 (matrix)로 나타

내고, 야코비행 식(Jacobian determinant)을 구함.

여 |J|¹0이면 함 로 독립이므로 비교 태

분 이 가능하고, 일한 해가 존재함.




⑷ 특 외생변 의 변화가 내생변 에 미치는 효과를

보 해 다른 외생변 들 상 로 가 하고(미분

을 0 로 놓고), 특 변 의 미분(이를테면 dxi) 로

등 양변에 있는 미분을 나 .

⑸ 크래 의공식(Cramer’s rule)을 이용하여 외생변 가

내생변 에 미치는 효과를 도출함. 외생변 가 내생

변 에 미치는 효과는 다음과 같이 구함.

= (i, j=1, 2, L, n)


⑷ 특 외생변 의 변화가 내생변 에 미치는 효과를

보 해 다른 외생변 들 상 로 가 하고(미분

을 0 로 놓고), 특 변 의 미분(이를테면 dxi) 로

등 양변에 있는 미분을 나 .

⑸ 크래 의공식(Cramer’s rule)을 이용하여 외생변 가

내생변 에 미치는 효과를 도출함. 외생변 가 내생

변 에 미치는 효과는 다음과 같이 구함.

= (i, j=1, 2, L, n)∂yj

∂xi

|Jj||J|



è비교 태분 에의 용

- 비교 태분 (comparative static analysis) 최 의

균 상태에 외생변 는 라미 가 변할 때

새로운 균 상태의 변화 향을 분

- 비교 태분 의 본 단 도함 가 본이며,

연립 식체계에 야코비행 식, 크래 법칙을

이용하여 쉽게 분 가능

- 음함 의 경우도음함 리에 요구 는조건들이

충족 면 도함 가 도출 어 비교 태분 이 가능

è비교 태분 에의 용

- 비교 태분 (comparative static analysis) 최 의

균 상태에 외생변 는 라미 가 변할 때

새로운 균 상태의 변화 향을 분

- 비교 태분 의 본 단 도함 가 본이며,

연립 식체계에 야코비행 식, 크래 법칙을

이용하여 쉽게 분 가능

- 음함 의 경우도음함 리에 요구 는조건들이

충족 면 도함 가 도출 어 비교 태분 이 가능


u비교 태분 의 한계u비교 태분 의 한계

è비교 태분 본질 로 원래의 균 에 새로운

균 로 가는 조 과 과 그 조 과 에 필요한

시간요소를 시함.

è결과 로 비교 태분 모 에내재하는불안

로 인해 새로운 균 이 달 없을 도 있는데

이를 시함.

è조 과 그 자체에 한 연구는 동태분 (dynamic

analysis)의 역에 속함.

è비교 태분 본질 로 원래의 균 에 새로운

균 로 가는 조 과 과 그 조 과 에 필요한

시간요소를 시함.

è결과 로 비교 태분 모 에내재하는불안

로 인해 새로운 균 이 달 없을 도 있는데

이를 시함.

è조 과 그 자체에 한 연구는 동태분 (dynamic

analysis)의 역에 속함.

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일반함수모형의 비교정태분석 - KOCWelearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/Konkuk/...제8장 일반함수모형의 비교정태분석 l일반함수모형의비교정태분석