CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀMNên suy ra: 1 1 3 1 J cos7x cosx sin2x sin6x dx 2 2 4 4 · ¨¸ ©¹ ³ 1 1 3 1 sin7x sinx cos2x cos6x C 14 2 8 24 . Ví dụ 6.1.5 Tìm nguyên hàm: 2 11

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

NGUYÊN HÀM A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên

hàm của f trên K nếu ( ) ( )F' x f x x K= .

2. Các tính chất:

Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm

của f trên K đều có dạng ( )F x C, C+ . Do vậy ( )F x C+ gọi là họ nguyên

hàm của hàm f trên K và được kí hiệu: ( ) ( )f x dx F x C= + .

Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Định lí 3. Nếu f,g là hai hàm liên tục trên K thì:

+ ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx = .

+ ( ) ( )k.f x dx k f x dx= với mọi số thực k 0 .

Định lí 4. Nếu ( ) ( )f x dx F x C= + thì

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f u x .u' x dx f u x .d u x F u x C= = + . 2. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm mở rộng

+ ( )1x

x dx C 11

+ = + −

+

+ dx

ln x Cx= +

+ x xe dx e C= +

+ x

x aa dx Clna

= +

+ sin xdx cos x C= − +

+ cos xdx sin x C= +

+ dx 1

ln ax b Cax b a

= + ++

+ ( ) ( )1

sin ax b dx .cos ax b Ca

+ = − + +

+ ( ) ( )1

cos ax b dx .sin ax b Ca

+ = + +

+( )

( )2

dx 1tan ax b C

acos ax b= + +

+

+( )

( )2

dx 1cot ax b C

asin ax b= − + +

+

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



+ 2

dxtan x C

cos x= +

+ 2

dxcot x C

sin x= − +

+dx 2

ax b Caax b

= + ++

+ ax b ax b1

e dx e Ca

+ += +

Chú ý: ( )( )

ax bdx

cx dx

+

− −

• Tách phân thức trong tích phân trở thành: 1 1

p qcx dx

+

− −

• Lấy nghiệm của cx− thay vào ax b

dx

+

− ta được p

• Lấy nghiệm của dx − thay vào ax b

cx

+

− ta được q

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích Phương pháp:

Để tìm nguyên hàm f(x)dx , ta phân tích

1 1 2 2 n nf(x) k .f (x) k .f (x) ... k .f (x)= + + +

Trong đó: 1 2 nf (x), f (x),...,f (x) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm

được nguyên hàm

Khi đó: 1 1 2 2 n nf(x)dx k f (x)dx k f (x)dx ... k f (x)dx= + + + .

Ví dụ 1.1.5 Tìm nguyên hàm:

22x x 1I dx

x 1

+ +=

−

3x 1J dx

x 1

−=

+

31

K x dxx

= −

Lời giải.

1. Ta có: 22x x 1 4

2x 3x 1 x 1

+ += + +

− −

Suy ra 24

I (2x 3 )dx x 3x 4ln x 1 Cx 1

= + + = + + − +−

2. Ta có: 3 3

2x 1 x 1 2 2x x 1x 1 x 1 x 1

− + −= = − + −

+ + +




Suy ra 3 2

2 2 x xJ x x 1 dx x 2ln x 1 Cx 1 3 2

= − + − = − + − + +

+

3. Ta có : 3

3

3

1 3 1x x 3x

x x x

− = − + −

Suy ra 4 2

3

3 2

3 1 x 3x 1K x 3x dx 3ln x C

x 4 2x 2x

= − + − = − + + +

.


2 2

dxI

(x 1)=

−

3

2

x 2x 1J dx

x 2x 1

+ +=

+ +

2

5

2x 1K dx

(x 1)

+=

+

Lời giải.

1. Ta có:

2

2 2 2

(x 1) (x 1)1 1

4(x 1) (x 1)(x 1)

+ − − =

− − +

2 2 2 2

1 1 2 1 1 1 1 1 1

4 (x 1)(x 1) 4 x 1 x 1(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)

= − + = − + +

− + − +− + − +

Suy ra 1 1 x 1 1

I ln C4 x 1 x 1 x 1

+= − + − +

− − + .

2. Ta có: 3 3 2x 2x 1 (x 1) 3(x 1) 5(x 1) 2+ + = + − + + + −

Suy ra 2

5 2I (x 2 )dx

x 1 (x 1)= − + −

+ +

2x 2

2x 5ln x 1 C2 x 1

= − + + + ++

.

3. Ta phân tích 2 22x 1 2(x 1) 4(x 1) 3+ = + − + +

Suy ra: 3 4 5

2 4 3K dx

(x 1) (x 1) (x 1)

= − +

+ + +

2 3 4

1 4 3C

(x 1) 3(x 1) 4(x 1)= − + − +

+ + +.

Ví dụ 3.1.5 Tìm nguyên hàm: x x 2I (e 2e ) dx−= + x x

x

3 4.5J dx

7

+=

Lời giải.




1. Ta có: x x 2 2x 2x(e 2e ) e 4 4.e− −+ = + +

Suy ra: 2x 2x 2x 2x1

I (e 4 4e )dx e 4x 2e C2

− −= + + = + − +

2. x x x x

3 5 1 3 4 5J 4. dx . . C

3 57 7 7 7ln ln

7 7

= + = + +

Ví dụ 4.1.5 Tìm nguyên hàm: 4

2

sin xI dx

cos x=

Lời giải.

2

2

1I cos x 2 dx

cos x

= + −

( )dx 1 3 1

I tanx 2x cos2xd 2x tanx x sin2x C2 4 2 4

= − + + = − + +

Ví dụ 5.1.5 Tìm nguyên hàm: 4I cos 2xdx=

3J (cos3x.cos4x sin 2x)dx= +

Lời giải.

1. Ta có: ( ) ( )24 21 1cos 2x 1 cos4x 1 2cos4x cos 4x4 4

= + = + +

( )1 1 cos8x 1

1 2cos 4x 3 4cos4x cos8x4 2 8

+ = + + = + +

1 1 1I (3 4cos4x cos8x)dx 3x sin 4x sin8x C

8 8 8

= + + = + + +

2. Ta có : 1

cos3x.cos4x cos7x cosx2

= +

33 1

sin 2x sin2x sin6x4 4

= −

Nên suy ra: 1 1 3 1

J cos7x cosx sin 2x sin 6x dx2 2 4 4

= + + −

1 1 3 1

sin7x sinx cos2x cos6x C14 2 8 24

= + − + + .


1 1I dx

ln xln x

= −

x

x 2

xe 1J dx

(x e )

+=

+




Lời giải.

1. Ta có : 2 2 2

1 1 1 ln x x(ln x)' (x)' ln x x'

ln x ln xln x ln x ln x

− − − = = =

Vậy x x

I 'dx Cln x ln x

= = +

.

2. Ta có : x x x

x 2 x 2 x

xe 1 (x 1)'(x e ) (x e )'(x 1) x 1'

(x e ) (x e ) x e

+ + + − + + += − = −

+ + +

Suy ra '

x x

x 1 x 1I dx C

x e x e

+ += − = − +

+ + .

Ví dụ 7.1.5 Tìm nguyên hàm:2

2

x dxI

(xsinx cosx)=

+

Lời giải. 2

2 2

x (sinx xcosx)'(xsinx cosx) (xsinx cosx)'(sin x xcosx)

(xsinx cosx) (xsinx cosx)

− + − + −==

+ +

s inx xcosx sin x xcosx' I C

xsin x cosx xsin x cosx

− −= = +

+ +

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1:

1. Tìm nguyên hàm của hàm số ( )F x , biết ( ) 2f x sin 2x= và F8 16

=

2. Gọi ( )F x là nguyên hàm của hàm số ( )f x sin2x.tanx= thỏa mãn

3F

3 4

=

. Tính F

4

.

3. Xác định a,b,c sao cho ( ) ( )2F x ax bx c 2x 4= + + − là 1 nguyên hàm của

hàm số ( )220x 29x 7

f x2x 4

− +=

− trong ( )2;+ .

Bài 2: Tìm nguyên hàm : 2

13

I x dxx

= −

3

2x 1

I dxx 1

−=

+

( )3 5

xI dx

x 1=

+

Bài 3: Tìm nguyên hàm :




3

1x

I dxx 1

=−

2 x1

I dx1 e

=+

3 32x 1

I dxx 3x 2

+=

− +


( )x 11I 3cosx 3 dx−= − x

2 x

eI dx

e 1=

−

2x 2x x x

3 3x

e 2 .3 .5I dx

e

−+=


( )1I sin 3x 1 dx= − 2I sin3xcos5xdx= 4

3I cos 2xdx=


1cos x

I dx1 sinx

=−

4

2 2

sin xI dx

cos x=

23

1I sin x dx

1 cos 2x

= +

+


1 3 2

2x x 6I dx

x 5x 6x

+ +=

+ + 2 3

5x 1I dx

x 3x 2

+=

− +

3

3 4 3 2

x 3x 2I dx

x x x x

+ −=

+ − −

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp:

“ Nếu ( ) ( )f x dx F x C= + thì ( )( ) ( ) ( )( )f u x .u' x dx F u x C= + ”.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( )I f x dx= , trong đó ta có thể phân tích

( ) ( )( ) ( )f x g u x u' x dx= thì ta thức hiện phép đổi biến số ( )t u x=

( )dt u' x dx = . Khi đó: ( ) ( ) ( )( )I g t dt G t C G u x C= = + = +

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ( )t u x=


3I (x 1) 3 2xdx= + − 3xdx

J2x 2

=+

xdx

Kx 3 5x 3

=+ + +

Lời giải.

1. Đặt 3

23 3 t 3t 3 2x x dx t dt2 2

−= − = = −

32 3 63 3 t 3I 1 t.t dt (5t t )dt

2 2 4

− = − + = − −




7 43 34 7 (3 2x) 5 (3 2x)3 5t t 3C C

4 4 7 4 7 4

− − = − − + = − +

2. Đặt 3

3 2t 2 3t 2x 2 x dx t dt2 2

−= + = =

Suy ra

32

54 2

t 2 3t dt

3 3 t2 2J (t 2t)dt t Ct 4 4 5

−

= = − = − +

53

23(2x 2)3 (2x 2) C4 5

+ = − + +

.

3. Ta có: x( 5x 3 x 3)dx 1

I ( 5x 3 x 3)dx5x 3 x 3 4

+ − += = + − +

+ − −

3 31 1

(5x 3) (x 3) C6 5

= + − + +

.

Ví dụ 2.2.5 Tìm nguyên hàm: 3 5I sin x.cos xdx= 3cos xdx

J(sin x 2cos x)

=+

Lời giải.

1. Đặt t cosx dt sinxdx= = −

Ta có: 2 5 2 5I (1 cos x)cos xsinxdx (1 t )t dt= − = − −

8 6 8 6

7 5 t t sin x sin x(t t )dt C C8 6 8 6

= − = − + = − + .

2. 3 3 2 3

cosxdx dxI

cos x(tan x 2) cos x(tan x 2)= =

+ +

Đặt 2

1t tan x dt dx

cos x= = . Do đó:

2

1 1J C

2 (tan x 2)= − +

+


x x

dxI

e 2e 3−=

+ −

2x

x

eJ dx

1 e 2=

+ +

x

x

e 4K dx

4e 1

+=

+

Lời giải.

1. Ta có: x

2x x

e dxI

e 3e 2=

− + . Đặt

x xt e dt e dx= =




Suy ra: x

2 x

dt dt t 2 e 2I ln C ln C

(t 1)(t 2) t 1t 3t 2 e 1

− −= = = + = +

− − −− + −

2. Đặt x x 2 xt e 2 e t 2 e dx 2tdt= + = − = 2

2(t 2)2tdt 1J 2 t t 1 dt1 t t 1

− = = − − +

+ +

3 2t t2 t ln t 1 C

3 2

= − − + + +

x 3 xx x(e 2) e 22 e 2 ln e 2 1 C

3 2

+ + = − − + + + + +

3. Đặt x 2

x x

x 2 2 2

e 4 t 4 30tt e e dx dt

4e 1 4t 1 (4t 1)

+ −= = − = −

+ − −

2 2

30tdx dt

(t 4)(4t 1) =

− −

2

2 2 2 2

t dt 1 4K 30 2 dt

(t 4)(4t 1) t 4 4t 1

= = −

− − − −

1 t 2 2t 1ln ln C

2 t 2 2t 1

− −= − +

+ +,

với x

x

e 4t

4e 1

+=

+.


2ln x 1I dx

x

+=

ln x.dxJ

x(1 3ln x 2)=

+ +

3 2lnx 2 ln xK dx

x

+=

Lời giải.

1. Đặt dx

t lnx dtx

= =

Suy ra 3 3

2 t ln xI (t 1)dt t C lnx C3 3

= + = + + = + +

.

2. Đặt 2t 2 dx 2

t 3lnx 2 lnx tdt3 x 3

−= + = =

Suy ra

2

3 22

t 2 2. tdt

2 1 2 t t3 3J t t 1 dt t ln(t 1) C1 t 9 t 1 9 3 2

−

= = − − + = − − + + + + +

với t 3lnx 2= + .




3. Đặt 3 2 2 3 2lnxdx 3t ln x 2 ln x t 2 t dt

x 2= + = − =

Suy ra 3 4 433 3 3

I t dt t C . (3lnx 2) C2 8 8

= = + = + +


2

dxI

2sin x 3sin 2x 2=

− +

dxJ

2cosx sinx 1=

− +

Lời giải.

1. Ta có: 2 2 2 2

1 dx 1 dxI

2 22sin x 3sin xcosx cos x cos x(2 tan x 3tan x 1)= =

− + − +

Đặt 2

dtt tan x dx

1 t= =

+

Ta được: 2

1 dt 1 (2t 1) 2(t 1)I dt

2 2 (2t 1)(t 1)2t 3t 1

− − −= =

− −− +

1 1 2 1 t 1 1 tan x 1

dt ln C ln C2 t 1 2t 1 2 2t 1 2 2 tan x 1

− −= − = + = +

− − − −

2. Đặt 2

x 2dtt tan dx

2 1 t= =

+ và

2

2 2

2t 1 tsinx ,cosx

1 t 1 t

−= =

+ +

Suy ra :2

2

t 2t 32cosx sinx 1

1 t

− − +− + =

+

2

xtan 3

dt 1 (t 3) (t 1) 1 t 3 1 2J 2 dt ln C ln Cx2 (t 1)(t 3) 2 t 1 2t 2t 3 tan 12

++ − − +

= − = − = + = +− + −+ − −

Ví dụ 6.2.5 Tìm nguyên hàm:4 3sin 2x.cos x

I dx

tan x tan x4 4

=

+ −

Lời giải.

Ta có: tan x 1 tan x 1

tan x tan x . 14 4 1 tan x 1 tan x

− ++ − = = −

+ −

Suy ra: 4 6I 16 sin x.cos xcosxdx= −




Đặt t sinx dt sinxdx= = nên ta có: 4 2 3 4 6 4 2I 16 t (1 t ) dt 16 t (t 3t 3t 1)dt= − − = − + −

11 9 7 5 11 9 7 5t t 3t t sin x sin x 3sin x sin x

16 C 16 C11 3 7 5 11 3 7 5

= − + − + = − + − +

Ví dụ 7.2.5 Tìm nguyên hàm: x

x x

e dxI

e 4e−=

+ 3

(ln x 1)ln xJ dx

(ln x x 1)

+=

+ +

Lời giải.

1. Cách 1: với cách đặt xt e= bạn đọc làm tương tự trên

Cách 2: Xét x

x x

e dxJ

e 4e

−

−=

+

Ta xét hệ :

x x

1x x

x xx x

2x x

e 4eI 4J dx dx x C

e 4e

e 4eI 4J dx ln e 4e C

e 4e

−

−

−−

−

++ = = = +

+

−− = = + +

+

x x1 22I x ln e 4e C C

− = + + + + hay x x1 1

I x ln e 4e C2 2

−= + + +

2. Ta có : 3 2

ln x 1 ln xdxJ .

xln x 1x 1

x

+=

+ +

Đặt 2

ln x 1 ln xt dt dx

x x

+= = −

Suy ra 3 3 2

tdt 1 1J dt

(t 1) (t 1) (t 1)

= − = −

+ + + 2

1 1C

t 12(t 1)= − + +

++

2

2

x xC

lnx x 12(lnx 1 x)= − + +

+ ++ +


6 3

x 1I dx

x(x 3x 2)

−=

+ + 6 2

dxJ

x(x 1)=

+

Lời giải.

1. Đặt 32

1 t 1 1 t 1t x I dt dt

3 3 t(t 1)(t 2)t(t 3t 2)

− −= = =

+ ++ +




3 1t 1 t(t 1) (t 1)(t 2) 2t(t 2)

2 2− = − + − + + + +

Suy ra 3 3 31 1 2

I ln x 2 ln x ln x 1 C2 6 3

= − + − + + + .

2. Đặt 62 2

1 dt 1 1 1 1t x I dt

6 6 t t 1t(t 1) (t 1)

= = = − −

++ +

Suy ra 6

6 6

1 x 1I ln C

6 x 1 x 1= + +

+ +.


tan xdxI

sin x 3=

+

Lời giải.

Đặt t cosx dt sinxdx= = − . Suy ra 2

dtI

t 4 t= −

−

• t 0 22

2

dydt 1I

24 y 1t 1t

= − =

−−

(với 2

yt

= )

2

2

1 1 2 4I ln y y 1 ln 1 C

2 2 cosx cos x = + − = + − +

• t 0 2

22

dt 1 2 4I ln 1 C

2 cosx4 cos xt 1

t

= = − + − +

−

.


Bài 1: Tìm nguyên hàm:

1I x x 1dx= + ( )

2

2 10

x dx I

x 3=

+

( )

( )

2010

3 2012

x 1I dx

3x 1

+=

+


( )

3

1 32

x 3xI dx

x 1

+=

+

21J x x 4dx= −

22I x 2x 4.dx= + +

3

22

xJ dx

x 3=

+

2

3 4 2

1 xI dx,x 0

x x 1

−=

+ +

2

32

xJ dx

x 4=

+





1 3

dxI

1 x 1 x=

+ + +

2 22I x . x 9dx= +

32

dxI

x x 1=

+

( )4

32 2

xdxI .

1 x 1 x

=

+ + +


2 3

xI dx

2x 1=

+

22

dxJ

1 x x 1=

+ + +

32

dxI

x 4=

+

4 3

xdxJ

x 1 x 1=

+ − +

1x

J dx1 2x 1

=+ +

3 35J 3x x dx= −

62

xJ dx

3x 9x 1=

+ −


21I tan xdx= 2 4

1I dx

cos x= 3

1I dx

1 sinx=

+

31J tan xdx= 2

5sinx 2sin2xJ dx

cos2x 6cosx 5

+=

+ + 3 3

tan xJ dx

cos x=

Bài 6: Tìm nguyên hàm: 5 3

1I sin xcos xdx= ( )

2 3

cosxI dx

sin x 2cosx=

+

4

3tan x

I dxcos2x

=


1 2

1I dx

cos xsin x= 2 2

cos xI dx

sin x 5sin x 6=

− + 3

2ln x 3I dx

x

+=


( )1ln x

I dxx ln x 1

=+

( )

2

2ln x

I dxx 1 lnx 1

=+ +

( )

( )

2

3

ln lnxI dx

xlnx ln lnx 1=

+


sin2xdxI

1 4sinx=

+

dxJ

sinx.sin x3

=

+

3dx

Kcos x

=





3

sin2x 3cosxI dx

1 1 2sinx

+=

+ +

3 3

3

sin x sinxJ cot x.dx

sin x

−=

24sin 3x sin 4xK dx

tan x cot 2x

+=

+


2x 1I dx

2 x 1

+=

+ −

2

x 1J dx

x 2

+=

+

x 1K dx

x 2

−=

+


2009

2013

(x 3)I dx

(2x 1)

+=

−

( ) 2dx

Kx 1 x 3x 2

=

− + +


1. 3I x x 1dx= + 2. 4x

I dxx 1

=+

3. (x 1)dx

I1 4x 1

+=

+ + 4.

5 2

3

x xI dx

x 2

−=

+

5. sin 2x cosx

I dx3sin x 1

+=

+ 6. 3

tanx.dxI

1 ln(cosx) 1=

+ +

7. ( )

ln xI dx

1 ln x 2 x=

+ + 8.

2x x xI e 4e 5.e dx= + +

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Phương pháp:

Cho hai hàm số u và v liên tục trên a; b và có đạo hàm liên tục trên a; b .

Khi đó : ( )udv uv vdu= −

Để tính tích phân ( )b

a

I f x dx= bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn u,v sao cho ( )f x dx udv= (chú ý: ( ) dv v' x dx= ).

Tính v dv= và du u'.dx= .

Bước 2: Thay vào công thức ( ) và tính vdu .




Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

vdu dễ tính hơn udv . Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1 : ( )sin x

I P x dxcosx

=

, trong đó ( )P x là đa thức

Với dạng này, ta đặt ( )sin x

u P x , dv dxcosx

= =

.

Dạng 2 : ( ) ax bI x e dx+=

Với dạng này, ta đặt ( )ax b

u P x

dv e dx+

=

=

, trong đó ( )P x là đa thức

Dạng 3 : ( ) ( )I P x ln mx n dx= +

Với dạng này, ta đặt ( )

( )

u ln mx n

dv P x dx

= +

=

.

Dạng 4 : xsin x

I e dxcosx

=

Với dạng này, ta đặt x

sin xu

cos x

dv e dx

=

=

để tính vdu ta đặt x

sin xu

cos x

dv e dx

=

=

.

Ví dụ 1.3.5 Tìm nguyên hàm: I sin x.ln(cos x)dx= x 1

J xln dxx 1

−=

+

Lời giải.

1. Đặt u ln(cos x)

dv sin xdx

=

= ta chọn

sin xdu dx

cosxv cosx

−=

= −

Suy ra I cos xln(cos x) sin xdx cos xln(cos x) cos x C= − + = − − +

2. Đặt

x 1u ln

x 1dv xdx

−=

+ =

ta chọn 2

2

2du dx

(x 1)

1v x

2

=

+

=




Suy ra 2

2

2

1 x 1 xI x ln dx

2 x 1 (x 1)

−= +

+ +

2

2

1 x 1 2 1x ln 1 dx

2 x 1 x 1 (x 1)

−= + − +

+ + +

21 x 1 1x ln x 2ln x 1 C2 x 1 x 1

−= + − + − +

+ +

Ví dụ 2.3.5 Tìm nguyên hàm: 3xI sin2x.e dx=

Lời giải.

Cách 1 : Dùng từng phần, bạn đọc làm tương tự trên.

Cách 2 : Ta có : 3x 3x 3x 3x1 2

sin2x.e [sin2x(e )' (sin2x)'.e ] cos2xe3 3

= + −

3x 3x 3x 3x1 2 4(sin2x.e )' cos2x.(e )' (cos2x)'e sin2x.e3 9 9

= − + −

3x 3x 3x 3x 3x13 1 2 1 2sin 2x.e (sin 2x.e )' (cos2x.e )' sin 2x.e cos2xe '9 3 9 3 9

= − = −

Suy ra : 3x 3x 3x3 2

sin 2xe dx sin 2xe cos2xe '13 13

= −

3x1I e (3sin2x 2cos2x) C13

= − + .

Cách 3 : Ta giả sử : 3x 3x 3xsin2x.e dx a.sin2x.e b.cos2x.e C= + +

Lấy đạo hàm hai vế ta có : 3x 3x 3x 3x 3xsin2x.e a(2cos2xe 3sin2x.e ) b(3cos2x.e 2sin2x.e )= + + −

3a 2b 1 3 2a ,b

2a 3b 0 13 13

− = = = −

+ =

Vậy 3x1

I e (3sin2x 2cos2x) C13

= − + .


2 2

x dxI

(x 1)=

−

Lời giải.

Đặt

3

2 2

u x

xdxdv

(x 1)

=

=−

ta chọn

2

2

du 3x dx

1v

2(x 1)

=

= −−




3

2 2

x 3 1I 1 dx

22(x 1) x 1

= − + +

− −

3

2

x 3 1 x 1x ln C

2 2 x 12(x 1)

−= − + + +

+−



1x

I dx1 cos2x

=−

3x2I cos2x.e dx= ( )2

3I 2x 1 ln xdx= +


( )1I 2x 1 cos xdx= −

( )

4

4 34

xI dx

x 1

=

−

( )2I x 1 sin xdx= +

( )

8

5 34

xI dx

x 1

=

−

2

32

xln x x 1

I dx.x 1

+ +

=

+

( )x x6I e ln e 1 dx= + Bài 3: Tìm nguyên hàm:

1I xsin 2xdx=

( ) x2I 2x 1 e dx−= +

( )2 x1J x x 1 e dx= + + ( ) ( )2J 2x 1 ln x 2 dx= + +

21K ln x x 1 dx

= + +

( ) ( )2 K 2x 1 ln x 2 dx= + +

Bài 4: Tìm nguyên hàm: 2

1I (x 5)sinxdx= + 2I (x 2x 3)cosxdx= + +

x3I (3x 1).e dx= −

4ln xdx

Ix

=

2

52

xln(x x 1)I dx

x 1

+ +=

+

3

6 3

cos x 1I dx

x 1

+=

+

TÍCH PHÂN A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1.Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên K ; a,b là hai phần tử bất kì

thuộc K , ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên K . Hiệu số ( ) ( )F b F a− gọi

là tích phân của của ( )f x từ a đến b và được kí hiệu:

( ) ( ) ( ) ( )b

ba

a

f x dx F x F b F a= = − .




2. Các tính chất của tích phân:

+ ( )a

a

f x dx 0=

+ ( ) ( )a b

b a

f x dx f x dx= −

+ ( ) ( )b b

a a

k.f x dx k. f x dx=

+ ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx =

+ ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +

+ Nếu ( ) ( )f x g x x a;b thì ( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx .

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Dạng 1. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích Phương pháp:

Để tính tích phân b

a

I f(x)dx= ta phân tích 1 1 m mf(x) k f (x) ... k f (x)= + +

Trong đó các hàm if (x) (i 1,2,3,...,n)= có trong bảng nguyên hàm.

Ví dụ 1.1.6 Tính các tích phân sau: 1

0

xdxI

3x 1 2x 1=

+ + +

7

2

xdxJ

x 2 x 2=

+ + −

Lời giải.

1. Ta có: x (3x 1) (2x 1) ( 3x 1 2x 1)( 3x 1 2x 1)= + − + = + − + + + +

Nên

113 3

00

2 1 17 9 3I ( 3x 1 2x 1)dx (3x 1) (2x 1)

9 3 9

−= + − + = + − + =

2. Ta có 1

x ( x 2 x 2)( x 2 x 2)4

= + + − + − −

Nên ( )7

2

1 19 5 5J x 2 x 2 dx

4 6

−= + − − = .





2

I sin 2x.sin 3x

−

= 4

4

0

J cos 2xdx

=

Lời giải.

1. Ta có: 2

2

22

1 1 1 4I (cos x cos 5x)dx (sin x sin 5x)

2 2 5 5

−

−

= − = − = .

2. Ta có: 4 21 1

cos 2x (1 2cos4x cos 4x) (3 4cos4x cos8x)2 4

= + + = + +

Nên 4 4

00

1 1 1 3I (3 4cos4x cos8x)dx 3x sin 4x sin 8x

4 4 8 16

= + + = + + =

Ví dụ 3.1.6 Tính các tích phân sau: 4 2

23

x dxI

x 3x 2=

− +

3

32

2x 3J dx

x 3x 2

+=

− +

Lời giải.

1. Ta có: 2

2 2 2

x 3 2x 3 5 11

2 2x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2

−= + +

− + − + − +

2

3 2x 3 5 1 11

2 2 x 2 x 1x 3x 2

− = + + −

− − − +

Suy ra

4

2

3

3 5 x 2 3 5 4I x ln x 3x 2 ln 1 ln 3 ln

2 2 x 1 2 2 3

−= + − + + = + +

−

2. Ta có: 3 2x 3x 2 (x 1) (x 2)− + = − +

22x 3 a(x 1) b(x 2)(x 1) c(x 2)+ = − + + − + +

22x 3 (a b)x (c 2a b)x a 2b 2c + = + + − + + − +

a b 01 1 5

2a b c 2 a ,b ,c9 9 3

a 2b 2c 3

+ =

− + + = = − = = − + =

.

3

22

1 1 1 1 5 1J dx

9 x 2 9 x 1 3 (x 1)

= − + +

+ − −

3

2

1 x 1 5 1 8 5ln ln

9 x 2 3(x 1) 9 5 6

−= − = +

+ −





0

I x x a dx,a 0= −

Lời giải.

Xét hai trường hợp

• 1

0

3a 2a 1 I x(a x)dx

6

− = − =

• a 1 3

0 a

2a 3a 20 a 1 I x(a x)dx x(x a)dx

6

− + = − + − = .


Bài 1:

1. Tìm các hằng số A và B để hàm số ( )f x Asin x B= + thỏa mãn đồng thời

các điều kiện ( )f ' 1 2= và ( )2

0

f x dx 4=

2. Cho ( ) ( ) ( )2 5 5

1 1 1

f x dx 4, f x dx 6, g x dx 8= − = = .

Hãy tính : ( ) ( ) ( )5 5

2 1

f x dx, 4f x g x dx −

3. Cho ( )3

1

f x dx 2= − và ( )3

1

g x dx 3= .

Hãy tính ( ) ( ) ( )3 3

1 1

3f x g x dx, 5 4f x dx − − .

Bài 2: Tính tích phân: 1

20

dxA

x 3x 2=

+ +

1

20

5x 13B dx

x 5x 6

−=

− +

1 2

20

x x 2C dx

x 4x 4

+ +=

− +

Bài 3: Tính tích phân:

( )1

21

0

I 2x 1 dx= + 3

10

dxJ

25 3x=

−

5

42

1 xJ dx

1 x

+=

−




( )2

22

0

I x x 1 dx= +

( )1 3

230

I 1 3x dx= +

7

43

I x 3dx= −

1

2 20

2x 1J dx

x x 1

+=

+ +

( )

1

2

3 320

5xdxJ

1 x

=

−

( )( )

1

4 20

1 xJ dx

x 1 x 1

−=

+ +

( )

1

1 30

2xK dx

x 1=

+

1

2 20

1K dx

x 5x 6=

− +

5

3 24

3x 7K dx

x 5x 6

−=

− +


( )( )

1

20

4x 2I dx

x 1 x 2

−=

+ +

1 2

60

x dxJ

x 9=

−


( )21 2

1

5 x 1I dx

x x 6

−=

− −

2

2 21

dxI

7x 4x 3=

− +

( )

2

3 21

2x 1I dx

x x 1

−=

+

( )

4

4 21

dxI

x x 1=

+

1 2

5 20

5x 3x 20I dx

x 2x 3

− −=

− −

( )

1

6 220

dxI

x 3x 2

=

+ +


22

0

I cos xcos 2xdx

= 2

0

1J sin x sin x 1 dx

1 sin x

= − + − +


22

1

4

I cot xdx

=

3 2

2 2

4

3 cot xI dx

cos x

−=

3

1 2 2

6

dxJ

sin xcos x

=

4

2

4

J tan xdx

−

=

22

10

K sin xdx

=

2

2

2

K sin2x.sin7xdx

−

=





22

10

I x 3x 2 dx= − + ( )2

21

I x x 1 dx−

= − − 2

x3

0

I min 3 , 4 x dx= −


0

I x x a dx,a 0= − 20

I cosx sin xdx

= 2

30

I 1 sin xdx

= +

Bài 11:

1. Tìm x 0;2

thỏa mãn : ( )x

2

0

12sin t 1 dt

4− = − .

2. Giải bất phương trình ( ) 026 tsin dt

2

x 2f ' x

+

. ới ( )f ' x đạo hàm của hàm số

( )( )

1ln

3 x3

f x−

=

3. Tìm 3

x ;4 4

−

thỏa x

4

cos2tdt cos2x 2

sin t cos t

= −+

.


1 21

Idx

x 4x 3−=

− +

1

2 20

2xdxI

x 4=

−

4

1 23

dxK

x 3x 2=

− +

( )

2

10,5

1J dx

x x 1=

+

0,5 3

2 20

x 1J dx

x 1

−=

−

1

2 20

3x 2K dx

x 5x 6

+=

− −


( )211 4

0

x 1 dxL

x 1

−=

+

1

2 4 20

dxL .

x 4x 3=

+ +

1

1 20

dxM

x x 1=

+ +


12

I x 1 dx−

= + 2

20

I 1 x dx= − 2

23

0

I x 1dx= −




42

40

I x x 6 dx= − − 25

51

1 2x xI dx

1 x

−

−

− +=

−

33 2

60

I x 2x xdx= − +


( )2

2 2 2 20

sin xcoxI dx, a 0,b 0

a cos x b sin x

=

+

3

4

4

M sin 2xdx

=

10

I cos x dx

= 2

30

I 1 cos 2xdx

= − 40

1 cos 2xI dx

2

+

=

Bài 16: Tính tích phân: 3 2

1 32

x 3x 5I dx

x 3x 2

+ +=

− +

1

2 30

1I dx

1 x=

+

1 6 5 4

3 60

x x x 2I dx

x 1

+ + +=

+

3

4 6 21

1I dx

x (1 x )=

+

Dạng 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp:

1. Phương pháp đổi biến số loại 1

Giả sử cần tính ( )b

a

I f x dx= ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Đặt ( )x u t= (với ( )u t là hàm có đạo hàm liên tục trên ; , ( )( )f u t xác

định trên ; và ( ) ( )u a, u b = = ) và xác định , .

Bước 2: Thay vào ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I f u t .u' t dt g t dt G t G G

= = = = − .

Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2a b x− ta thường đặt a

x sintb

=

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2b x a− ta thường đặt a

xbsint

=

* Hàm số dưới dấu tích phân chứa 2 2 2a b x+ ta thường đặt a

x tan tb

=




* Hàm số dưới dấu tích phân chứa ( )x a bx− ta thường đặt 2a

x sin tb

=

2. Phương pháp đổi biến số loại 2

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi

biến số (ta gọi là loại 2) như sau.

Để tính tích phân ( )b

a

I f x dx= , nếu ( ) ( ) ( )f x g u x .u' x = , ta có thể thực hiện

phép đổi biến như sau

Bước 1: Đặt ( ) ( )t u x dt u' x dx= = .

Đổi cận ( ) ( )x a t u a , x b t u b= = = =

Bước 2: Thay vào ta có ( ) ( )u(b)

ba

u(a)

I g t dt G t= = .


31

2

xdxI

2x 2−

=+

2

1

xJ dx

1 x 1=

+ −

Lời giải.

1. Đặt 3

3 3 2t 2 3t 2x 2 t 2x 2 x dx t dt2 2

−= + = + = =

Đổi cận : 1

x t 12

= − = ; x 3 t 2= = .

Ta có :

22 232 4 5 2

11 1

(t 2) 3 3 3 3 3I . t dt t t dt t t

2t 2 4 2 20 4

− = = − = −

24 3 3 123

5 20 4 5

= − − − =

.

2. Đặt 2t 1 x 1 x 1 (t 1) dx 2(t 1)dt= + − = + − = −

Đổi cận: x 1 t 1; x 2 t 2= = = =




2 222

1 1

(t 2t 2)(t 1) 2J 2 dt 2 (t 3t 4 )dt

t t

− + −= = − + −

23 2

1

t 3t 112 4t 2ln t 4ln 2

3 2 3

= − + − = −

.

Ví dụ 2.2.6 Tính các tích phân sau: 2 2 2

3

1 xI dx

x

+=

2 3

25

dxJ

x x 4=

+

Lời giải.

1. 2 2 2

23

x 1.xdxI

x

+=

Đặt 2 2 2t 1 x x t 1 xdx tdt= + = − =

Đổi cận: x 3 t 2; x 2 2 t 3= = = = 33 3

22 2 2

t.tdt 1 1 t 1I (1 )dt t ln

(t 1)(t 1) 2 t 1t 1

−= = + = +

− + +−

1 1 1 1 1 33 ln 2 ln 1 ln .

2 2 2 3 2 2= + − − = +

2. 2 3

2 25

xdxJ

x x 4=

+

Đặt 2 2 2t x 4 x t 4 xdx tdt= + = − =

Đổi cận: x 5 t 3; x 2 3 t 4= = = = 44 4

2 233 3

tdt dt 1 t 2 1 5J ln ln

4 t 2 4 3(t 4)t t 4

−= = = =

+− −

Ví dụ 3.2.6 Tính các tích phân sau: ln 5 2x

xln 2

e dxI

e 1=

−

Lời giải.

1. ln 5 x x

xln 2

e .e dxI

e 1=

−

Đặt x x 2 xt e 1 e t 1 e dx 2t.dt= − = + =




Đổi cận: x ln2 t 1; x ln5 t 2= = = = 2

2 22 32

1 1 1

(t 1)tdt t 20I 2 2 (t 1)dt 2 t

t 3 3

+= = + = + =

.


5

0

I sin xdx

=

Lời giải.

1. Ta có: 2

2 2

0

I (1 cos x) sin xdx

= − .

Đặt t sinx dt cosxdx= =

Đổi cận : x 0 t 0; x t 12

= = = =

1 12 2 2 4

0 0

8I (1 t ) dt (1 2t t )dt

15= − = − + = .



1 20

xdxI

x 1=

+

2

21

xI dx

1 x 1=

+ −

10

35

dxI

x 2 x 1=

− −

3

48

1I dx

x 1 x

−

−

=−

6

52

dxI

2x 1 4x 1=

+ + +

1 3

62

0

x dxI

x x 1=

+ +

4

70

4x 1I dx

2x 1 2

−=

+ + Đề thi Đại học Khối D – năm 2011

Bài 2:Tính tích phân:

( )1 6

10

I 2x x 1 x dx= −

15 2

40

I x 1 x dx= −

13 2

20

I x . x 3dx= +

13 4

50

I x x 1 dx= +

33 5

30

I x 1.x dx= +

18 3

60

I x 1 x dx= −





2

11

x x 1I dx

x 5

−=

−

7 3

4 3 20

x dxI

1 x=

+

2

71

x x 1I dx

x 5

−=

−

6

102

dxI

2x 1 4x 1=

+ + +

( )

4

21

dxI

x 1 x=

+

7

5 30

x 2I dx

x 1

+=

+

1

80

4x 3I dx

2 3x 1

−=

+ +

1

11 30

xI dx

x 1=

+

2

32

1

x 1I dx

x x 1

+=

+ −

7

3

6 30

x 1I dx

3x 1

+=

+

3

91

x 3I dx

3 x 1 x 3−

−=

+ + +

3 2

121

4 xI dx

x

−=

Bài 4Tính tích phân:

3

10

x 3I dx

3. x 1 x 3

−=

+ + +

( )

2 5

22 2

2

xdxI

x 1 x 5=

+ +

3

3 31

dxI

x x=

+

2 2 3 3

4 41

x x 2011xI dx

x

− +=

52

52

3

xI x 9 1 dx

x 9

= − +

−

Bài 5Tính tích phân:

( )( )221

20

x x 2x 1I dx

x x 1

− −=

− +

2

43

3 3

dxI

x 1 x=

+

2 3 2

72

0

2x 3x xI dx

x x 1

− +=

− +

( )

1

10 220

dxI

1 3x

=

+

1

22

1

dxI

1 x x 1−=

+ + +

4

50

4x 1I dx

2x 1 2

−=

+ +

6

82

1I dx

2x 1 4x 1=

+ + +

12 2

110

I x 4 3x dx= −

( )

4 3

3 32

x dxI

x x 1=

+

3

61

x x 1dxI

x 7

−=

−

2 2

91

x 1I dx

x

−=

e

121/e

ln x 4ln x 5I dx

x

+=

Bài 6 Tính tích phân:

3ln 2

1 23 x0

dxI

e 2

=

+

2 3

22

5

dxI

x x 4=

+




2 3 2

31

x xI dx

x 4−

+=

+

e

41

1 3ln x ln xI dx

x

+=

tan x 14

5 20

eI dx

cos x

+

=


3

2

12

0,5

dxI

x 1 x=

−

0

4 21

dxI

x 2x 4−=

+ +

4

22

7

dxI

x x 9=

+

4 2

50

x dxI

1 x x=

+

2 3 2

3 20

x 2x 4x 9I dx

x 4

+ + +=

+

6

62

x 2I dx

x 2

−=

+

( )

1

2 20,5

1 xI dx

x 3x 3x 1

−=

− +

( )

2

33 31

1J dx

x 1 x 1=

+ +

Bài 8 Tính tích phân: ln 2 3x

1 2x0

eI dx

e 9=

−

ln 2 x

4 x0

1 eI dx

1 e

−=

+

e

72

1

dxI

x 1 ln x=

−

ln12x

10ln 4

I e 3dx= −

ln 5

2 x xln 3

dxI

e 2e 3−=

+ −

( )

ln 3 x

5 3x0

eI dx

e 2

=

+

( )

e

8 21

dxI

x 1 ln x=

+

e 2x11 1

1I e .ln x ln x dx

x

= +

ln 5 x x

3 x0

e e 1I dx

e 3

−=

+

( )

( )

x xln 2

6 3x0

e 1 eI dx

e 1

−=

+

e

91

3 2ln xI dx

x 1 2ln x

−=

+

( )

e

111

ln xdxI

x 2 ln x 2 ln x=

+ + −


( )

2

1 20

sin 2xI dx

2 sin x

=

+

2

20

sin 2x sin xI dx

1 3cos x

+=

+

3

3 4 3 5

4

dxI

sin x.cos x

= 2

40

dxI

3cosx 4sin x 5

=− +




( )22 2

2

x cos x dxI

4cos x 3sin x

−

+=

+

( )4

0

xsin x x 1 cos xJ dx

xsin x cos x

+ +=

+

Đề thi Đại học Khối A – năm 2011


4

10

cos2xI dx

1 2sin 2x

=+

2

4

4

sin x cos xI dx

1 sin 2x

−=

+

( )

2

7 30

cos2xI dx

sin x cosx 3

=

− +

2

100

cos x I dx

sin x 2cos x

=+

2

20

cos 3xI dx

sin x 1

=+

6 3

50

sin 3x sin 3xI dx

1 cos 3x

−=

+

3

80

cos xI dx

2 cos 2x

=+

2

112 2

0

sin 2xI dx

cos x 4sin x

=

+

2

30

cos xI dx

5 2sin x

=−

2

62 20

sin xdxI

xsin x 2cosx.cos

2

=

+

2

9

4

sin x cos xI dx

1 sin 2x

−=

+

12 20

xsin x I dx

4 sin x

=+


( )2 3

21

0

I sin 2x 1 sin x dx

= +

2

40

cosx sin xcosxI dx

2 sin x

+=

+

2

70

1I dx

4sin x 3cos x 5

=+ +

3

10

6

cotxI dx

sinx.sin x4

=

+

2

20

I sin xsin 2xdx

=

( )

2

5 40

cosxdxI

sin x 1

=

+

2

80

dxI

4 5sin x

=+

6

110

tan x4

I dxcos2x

−

=

3 2

3 20

xsin xdxI

sin 2xcos x

=

2

62 2

0

sin 2xI dx

cos x 4sin x

=

+

3 32

9 3

3

cot x. sin x sin xdxI

sin x

−=

12cos 2x

I dxcos x 3 sin x

=−





3 3

10

sin xI dx

cosx 2

=+

( )

0

1 2

2

sin 2xJ dx.

2 sin x−

=

+

4

10

xK dx

1 cos2x sin2x

=+ +

6 4

10

tan xL dx

cos 2x

=

4

20

cos x sin xI dx

3 s in2x

+=

+

42

2 4 40

sin xJ dx

sin x cos x

=+

3

2

6

tan xK dx

tan x cot x

=+

6

20

sin xL dx

sin x3

=

+

4

30

dxI

cosx.sin x4

=

+

3

3

6

dxJ ,

1 tan x

+

= +

1 x x

3 x0

3xe e 2K dx

xe 1

+ +=

+

6

30

sin x4

L dxsin x 3 cos x

−

=

+

Bài 13 Giải phương trình:

1. ( )x

2

0

sin 2t 1 cos tdt 0 x 0+ = 2. x

1

e

1 ln tdt 18

t

+=


46

10

I tan xdx

= ( )

2

2 20

1 sin xI 1 dx

1 cosx 1 cosx

= + + +

Bài 15: Tính tích phân: ln 2 2x

1x

0

eI dx

e 1=

+

1 5

2 20

xI dx

x 1=

+

4

32

7

dxI

x x 9=

+

12

10

J x 1 x dx= −

1 2

22

0

xJ dx

4 3x=

−

1

32

0

xJ dx

3 2x x=

+ −

Bài 16 Tính tích phân: 3

2x1

0

I x.e dx−= 2e

1e

dxJ

xlnx=

2 2

41

x 1K

x

−=




2 x

2 x1

e dxI

2 e−=

+

4e

21

Jln x

dxx

=

8

32

3

dxJ

x x 1=

+

( )

3

2

51

x 1K dx

x 2 x

+=

−

Bài 17 Tính tích phân: 1

1 20

dxI

1 x=

+

1

2 20

dxI

x x 1=

+ +

( )

0

1 221

dxJ

x 2x 2−=

+ +

2 32

22

J x x 4dx= +

1

1 30

xK dx

1 x=

+

1 2

2 60

xK dx

x 1=

+

Dạng 3. Tính tích phân bằng phương pháp từng phần Phương pháp:

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên a; b .Khi

đó :b b

ba

a a

udv uv vdu= −

Ví dụ 1.3.6 Tính tích phân: 3

21

3 ln xI dx

(x 1)

+=

+

Lời giải.

1. Đặt 2

u 3 ln x

dxdv

(x 1)

= +

=

+

ta chọn

dxdu

x1

vx 1

=

− =

+

33 3

1 11

3 lnx dx 3 ln3 3 xI ln

x 1 x(x 1) 4 2 x 1

+ += − + = − + +

+ + +3 ln3 3

ln4 2

−= +

Ví dụ 2.3.6 Tính tích phân:2

2x 1

0

I (x 2)e dx+= − 0

2

1

J (2x x 1)ln(x 2)dx−

= + + +

Lời giải.




1. Đặt 2x 1

u x 2

dv e +

= −

=

ta chọn 2x 1

du dx

1v e

2+

=

=

2 2 322x 1 2x 1 2x 1

00 0

1 1 1 5e eI (x 2)e e dx e e

2 2 4 4+ + + −= − − = − =

2. Đặt 2

u ln(x 2)

dv (2x x 1)dx

= +

= + +

chọn 3 2

1du dx

x 22 1

v x x x3 2

= +

= + +

0 3 23 2 0

11

2 1 1 4x 3x 6xJ ( x x x)ln(x 2) dx

3 2 6 x 2−−

+ += + + + −

+

02

1

1 32(4x 5x 16 )dx

6 x 2−

= − − + −+

03 2

1

1 4 5x x 16x 32ln(x 2)

6 3 2−

= − − + − +

16 119ln2

3 396= −



x ln x

21

1A e e dx

x

= +

30 5 x

1B x .e dx−

−=

( )e

5

1

C x ln x x dx= + 0 3 x 3x

3xln 3

x e eD dx

e−

+ −=

( )1

2

0

E xln x x 1 dx= + +

23

31

ln x 1 x

F dxx

+ +

=


( )1

32x1

0

I x e x 1 dx= + −

e 3

41

x 1I ln xdx

x

+=

( )1

32

0

I x cos x sin xdx= +

( )2

51

I 4x 1 ln xdx= −

( )1

23

0

I x ln 1 x dx= +

e3 2

61

I x ln xdx=





( )

e

21

e

ln xA dx

x 1=

+

8

3

ln xB dx

x 1=

+

e2

1

ln xC 3x ln x dx

x 1 ln x

= +

+

( )2

0

D sin 2xln 1 sin x dx

= + ( ) 34

21

ln 5 x x . 5 xE dx

x

− + −=

3

20

1 xsin xI dx

cos x

+= Đề thi Đại học Khối B – năm 2011

Bài 4: Tính tích phân: 9e

1e

1lnx dx

2 lnxI

+

=

ln 8 x

4x

ln 3

x.eI dx

e 1=

+

21

72

0

xln x 1 x

I dx1 x

+ +

=

+

( )32

4

ln tan xI dx

sin 2x

=

( )

( )

1

5 20

ln x 1I dx

x 2

+=

+

( )2e

8e

lnx ln lnxI dx

x

+=

2

30

I x.sinxcos2xdx

=

( )06

21

xln x 2I dx

4 x−

+=

−

( )2

90

I sin 2xln 1 sin x dx

= +


12

0

1I dx

1 x=

+

1 2

22

0

xI dx

1 x=

+

12

30

I 1 x dx= +


2

10

I xsin 2xdx

=

( )2

2x 12

0

I x 2 e dx+= −

22x

30

I cos x.e dx

=

( ) ( )

02

11

J 2x x 1 ln x 2 dx−

= + + +

( )2

20

J sin x.ln 1 sin x dx

= +

( )1

23

0

J x ln x 1 dx= +





( )3

21

2

I ln x x dx= −

e3 2

21

I x ln xdx=

4

10

xJ dx

1 cos2x

=+

( )

3

2 21

3 lnxJ dx

x 1

+=

+

Bài 8: Tính tích phân: e

21

1

I x ln xdx=

12 x

20

I x e dx=

44

11

J x ln xdx=

2

20

J xsin xdx

=

ln 2x

10

K xe dx−=

( )1

22

0

K xln 1 x dx= +

Dạng 4. Tính tích phân đặc biệt Đây là dạng toán hiếm xuất hiện trong kì thi tuyển sinh Đại học, tác giả giới

thiệu đến bạn đọc bài toán cơ bản.

Ví dụ 1.4.6 Tính các tích phân sau :

x2

0

e .sin xI dx

1 sin 2x

=+

2

2

0

J ln sin x 1 sin x dx

= + +

Lời giải.

1. Đặt x2

0

e cos xJ dx

1 sin 2x

=+

.




Ta xét hệ:

x2

0

x x x2 22

20 00

eI J dx

sin x cosx

e (sin x cosx) e eI J dx dx

sin x cosx sin x cosx(sin x cosx)

+ =

+

−− = = − + ++

2 212I e 1 I e 12

= − = −

2. Đặt x t= − ta có: 2J ln sin t 1 sin t dt

−

= + +

02 2

0

J ln sin t 1 sin t dt ln sin t 1 sin t dt

−

= + + + + +

Đặt t u= − ta có: 0

2 2

0

ln sin t 1 sin t dt ln sin u 1 sin u du

−

+ + = − + +

2 2

0 0

ln sin u 1 sin u du ln sin t 1 sin t dt

= − + + = − + +

Do vậy J 0= .

Ví dụ 2.4.6 Tính các tích phân sau : 6

0

I ln(1 3 tan x)dx

= +

4

2

ln(9 x)J dx

ln(x 3) ln(9 x)

−=

+ + −

1 cos x2

0

(1 sin x)K ln dx

1 cos x

++=

+

Lời giải.

1. Đặt x t3

= −

Suy ra 0 3

0

3

3 tan tI ln 1 3 tan( t) dt ln 1 3 dt

3 1 3 tan t

−= − + − = + +




3 3 3

0 0 0

4ln dt ln 4dt ln(1 3 tan t)dt

1 3 tan t

= = − ++

ln2

ln4 I I3 3

= − = .

2. Đặt x 6 t= −

Suy ra 2 4

4 2

ln(3 t) ln(3 x)J dt dx

ln(9 t) ln(3 t) ln(9 x) ln(3 x)

+ += − =

− + + − + +

4 4

2 2

ln(3 x) ln(9 x)J J dx dx

ln(9 x) ln(3 x) ln(9 x) ln(3 x)

+ −+ = +

− + + − + +

4

2

dx 2 J 1= = =

3. Ta có 2 2

0 0

K (1 cosx)ln(1 sin x)dx ln(1 cosx)dx

= + + − +

Đặt 2 2

0 0

x t (1 cosx)ln(1 sin x)dx (1 sin t)ln(1 cos t)dt2

= − + + = + +

2 2

0 0

(1 sin x)ln(1 cosx)dx K sin xln(1 cosx)dx

= + + = +

Đặt u ln(1 cos x)

dv sin xdx

= +

= ta chọn

sin xdu dx

1 cosxv cosx

−=

+ = −

220

0

cos xd(cos x)K cos xln(1 cos x) 2 ln 2 1

1 cos x

= − + + = −+


Bài 1: Chứng minh rằng nếu ( )f x là hàm lẻ và liên tục trên đoạn a;a− thì :

( )a

a

I f x dx 0−

= = . Từ đó tính 1

1

1 2xJ ln .dx

1 2x−

− =

+

Bài 2: Tính tích phân: ln 2 2x 1

1 x0

e 1I dx

e

+ +=

2 2

2 x2

2x 1I dx

2 1−

+=

+

1 4

3 x1

x dxI

1 2−=

+




1 7

4 101

xI dx

x 1−=

+

( )( )

1

7 x 21

dxI

e 1 x 1−=

+ +

4 44

5 x

4

sin x cos xI dx

3 1

−

+=

+

26

0

I xsin xcos xdx

=

Bài 3:Cho hàm số ( )f x liên tục trên 0;1 . Chứng minh rằng:

( ) ( )0 0

x.f sin x dx f sin x dx2

=

Bài 4:

1. Cho f liên tục trên a; b . Chứng minh rằng:

b 1

a 0

f(x)dx (b a) f a (b a)x dx= − + − .

2. Cho hàm f liên tục trên a; b thỏa f(a b x) f(x), x a;b+ − =

Chứng minh: b b

a a

a bxf(x)dx f(x)dx

2

+= .

Documents

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀMNên suy ra: 1 1 3 1 J cos7x cosx sin2x sin6x dx 2 2 4 4 · ¨¸ ©¹ ³ 1 1 3 1 sin7x sinx cos2x cos6x C 14 2 8 24 . Ví dụ 6.1.5 Tìm nguyên hàm: 2 11