Kurzlosungen
Zeitdiskrete Systeme
1. Fur (1, 3) ist der nichttriviale FP der log. Abb.
asymptotisch stabil.2. Henon-Abbildung (s. 3.2) mit a = 1,4 und b =
0,3.
(a)
(b) Fixpunkte: (3.1) xFP1,2 = b1
(b1)2+4a2a
(c)
Df =
[ 2ax 1b 0
]
(d) FP+ : 1/2 1, 9/ 0, 15, FP : 1/2 3, 2/0, 09 Beide Fixpunkte
sind insta-bil, da ein Eigenwert der Jacobi-matrix im Fixpunkt
auerhalb des Einheitskreisesliegt.
(e) Beide Fixpunkte sind nichtorientierte Sattel (ipping
saddle).
3. Zeitdiskretes System mit Periode-2-Orbit
(a)
Df =
[ 2x 01 2(y 0, 5)
]
(b)
M =
[0 01 1
]
m1 = 0, m2 = 1(c) Keine Aussage, da m2 genau auf dem
Einheitskreis liegt.
Analoge Systeme
4. Autonomes zeitkontinuierliches System mit 2periodischem
Orbit
(a) M = Y (t = 2) =
[1 00 e4
]
(b) Diese periodische Losung ist asymptotisch orbital stabil, da
die charakeristischenMultiplikatoren gleich 1 und e4 sind und somit
alle bis auf einen, der =1 ist, imEinheitskreis liegen (Satz
Andronov-Witt).
(c) Nein.
(d) Ja.
Elektrische Netzwerke
5. Tunneldioden-Oszillator-Schaltung: U0 R LDiodeC(s. u.a. in
5.2)(a)
(b)
(c)
(d)
[uCiL
] [1/rC 1/C1/L R/L
] [uCiL
]= A z
(e) In Abhangigkeit der Bauelementeparameter sind verschiedene
Falle moglich:
P () = 2 + (R/L 1/rC) a1
+ (1R/r)/CL a2
= 0
Routh-Hurwitz + Satz 5.2 AP asympt. stab. wenn a1 > 0 und a2
> 0 sonstinstabil.
i. Fall: 3 AP: R > r (da G < g) a2 = 1R/r < 0 mittlerer
FP instabilii. Fall: 1 AP: a2 > 0 Entscheidung asympt.
stabil/instabil fallt mit a1 > 0.
6. Chua-circuit (s. u.a. in 3.2) mit nichtlinearer
Widerstandskennlinie i = g(u) nur im 1.und 3. Quadranten
(a)
(b) Arbeitspunkt UC1 = UC2 = IL = 0
(c) Der triviale Fixpunkt ist asymptotisch stabil.
(d) Ja.
7. Tunneldioden-Oszillator-Schaltung mit Einganssignal
(a) {Hgn} = gn, n = 1, 2, 3(b)
(c) n=1:sCH1(s) = H
i1(s) g1H1(s)
sLH i1(s) = 1RH i1(s)H1(s) n=2: s = s1 + s2
sCH2(s1, s2) = Hi2(s1, s2) g2H1(s1)H1(s2) g1H2(s1, s2)
sLH i2(s1, s2) = 0RH i2(s1, s2)H2(s1, s2)
