Kurzlosungen

Zeitdiskrete Systeme

1. Fur (1, 3) ist der nichttriviale FP der log. Abb. asymptotisch stabil.2. Henon-Abbildung (s. 3.2) mit a = 1,4 und b = 0,3.

(a)

(b) Fixpunkte: (3.1) xFP1,2 = b1

(b1)2+4a2a

(c)

Df =

[ 2ax 1b 0

]

(d) FP+ : 1/2 1, 9/ 0, 15, FP : 1/2 3, 2/0, 09 Beide Fixpunkte sind insta-bil, da ein Eigenwert der Jacobi-matrix im Fixpunkt auerhalb des Einheitskreisesliegt.

(e) Beide Fixpunkte sind nichtorientierte Sattel (ipping saddle).

3. Zeitdiskretes System mit Periode-2-Orbit

(a)

Df =

[ 2x 01 2(y 0, 5)

]

(b)

M =

[0 01 1

]

m1 = 0, m2 = 1(c) Keine Aussage, da m2 genau auf dem Einheitskreis liegt.

Analoge Systeme

4. Autonomes zeitkontinuierliches System mit 2periodischem Orbit

(a) M = Y (t = 2) =

[1 00 e4

]

(b) Diese periodische Losung ist asymptotisch orbital stabil, da die charakeristischenMultiplikatoren gleich 1 und e4 sind und somit alle bis auf einen, der =1 ist, imEinheitskreis liegen (Satz Andronov-Witt).

(c) Nein.

(d) Ja.

Elektrische Netzwerke

5. Tunneldioden-Oszillator-Schaltung: U0 R LDiodeC(s. u.a. in 5.2)(a)

(b)

(c)

(d)

[uCiL

] [1/rC 1/C1/L R/L

] [uCiL

]= A z

(e) In Abhangigkeit der Bauelementeparameter sind verschiedene Falle moglich:

P () = 2 + (R/L 1/rC) a1

+ (1R/r)/CL a2

= 0

Routh-Hurwitz + Satz 5.2 AP asympt. stab. wenn a1 > 0 und a2 > 0 sonstinstabil.

i. Fall: 3 AP: R > r (da G < g) a2 = 1R/r < 0 mittlerer FP instabilii. Fall: 1 AP: a2 > 0 Entscheidung asympt. stabil/instabil fallt mit a1 > 0.

6. Chua-circuit (s. u.a. in 3.2) mit nichtlinearer Widerstandskennlinie i = g(u) nur im 1.und 3. Quadranten

(a)

(b) Arbeitspunkt UC1 = UC2 = IL = 0

(c) Der triviale Fixpunkt ist asymptotisch stabil.

(d) Ja.

7. Tunneldioden-Oszillator-Schaltung mit Einganssignal

(a) {Hgn} = gn, n = 1, 2, 3(b)

(c) n=1:sCH1(s) = H

i1(s) g1H1(s)

sLH i1(s) = 1RH i1(s)H1(s) n=2: s = s1 + s2

sCH2(s1, s2) = Hi2(s1, s2) g2H1(s1)H1(s2) g1H2(s1, s2)

sLH i2(s1, s2) = 0RH i2(s1, s2)H2(s1, s2)