Chap1 Slides Rom

Introducere n modelarea sistemelor

Paula RaicaDepartmentul de Automatica

Str. Dorobantilor, sala C21, tel: 0264 - 401267Str. Baritiu, sala C14, tel: 0264 - 202368

email: [email protected]

http://rrg.utcluj.ro/ts

Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca



Introducere

Un model matematic este o ecuatie sau un set de ecuatii caredescrie comportamentul unui sistem.Doua abordari pentru determinarea unui model:

Modele cu parametri concentrati: pentru fiecare element alunui sistem se determina un model din legile fizicii.

Identificarea sistemelor: se poate realiza un experiment simodelul se determina din rezultate..

Relatia importanta este ntre intrarea si iesirea sistemului.

Dynamic Systeminput

u(t)output

y(t)



Modele cu parametri concentrati

Sistemele studiate n acest curs sunt:

Liniare - respecta principiul superpozitiei

Stationare (sau invariabile n timp) - parametrii nuvariaza n timp

Deterministe - Iesirea sistemului se poate determinadin intrarea sistemului la orice moment de timp

Exemple.

Rezistenta: i(t) = 1Rv(t)

Bobina: i(t) = 1L

v(t)dt or v(t) = Ldi(t)

dt

Condensatorul: i(t) = C dv(t)dt



Exemple

Spring-mass-damper

k

disp

lace

men

t

Frictionf

Force

y(t)

r(t)

MassM

Md2y(t)

dt2+ f

dy(t)

dt+ ky(t) = r(t)

unde: f -coeficientul de frecare, M - masa, k - constanta elastica aresortului.



Sisteme liniare

Un sistem se defineste ca fiind liniar n termenii intrarii si iesirii.

Principiul superpozitieix1(t) y1(t)x2(t) y2(t)

x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)Omogen

x(t) y(t)mx(t) my(t)



Liniarizare

Sistem neliniar:y = x2

Sistem neliniar !y = mx + b

Liniarizare n jurul unui punct de functionare x0, y0 pentru variatiimicix si y . Daca x = x0 +x si y = y0 +y :

y0 +y = mx0 +mx + b

rezulta:y = mx



Liniarizare

Intrare x(t) si raspuns y(t): y(t) = g(x(t))Seria Taylor n jurul punctului de functionare x0:

y = g(x) = g(x0) +dg

dx|x=x0

x x01!

+d2g

dx2|x=x0

(x x0)22!

+ ...

Panta la punctul de functionare:

m =dg

dx|x=x0,

y = g(x0) +dg

dx|x=x0(x x0) = y0 +m(x x0),

Ecuatia poate fi rescrisa ca una liniara:

(y y0) = m(x x0) sau y = mxUniversitatea Tehnica din Cluj-Napoca


Liniarizare

Daca variabila y depinde de mai multe intrari: x1, x2, ..., xn:

y = g(x1, x2, ..., xn).

seria Taylor n jurul punctului de functionare x10, x20, ..., xn0 (dupaneglijarea termenilor de ordin mai mare ca 1):

y = g(x10, x20, ..., xn0) +dg

dx1|x=x0(x1 x10) +

+dg

dx2|x=x0(x2 x20) + ...+

dg

dxn|x=x0(xn xn0)



Exemplu - Pendulul

Mass M

Length Langle x

Cuplul:T = MgLsin(x)Conditia de echilibru pentru masaeste: x0 = 0

o .

T T0 = MgLsinxx

|x=x0(x x0),

unde T0 = 0.

T = MgL(cos0o )(x 0o) = MgLx

Aproximarea este suficient de precisa pentru pi/4 x pi/4.



Transformata Laplace

F (s) = L[f (t)] =

0f (t)estdt

Table : Proprietatile transformatei Laplace

1 Liniara f1(t) f2(t) F1(s) F2(s)2 Inmultirea cu o constanta af(t) aF(s)

3 Deplasare complexa eat f (t) F(sa)4 Deplasare reala f(t-T) eTsF (s), T05 Scalare f( t

a) aF(as)

6 Prima derivata ddtf(t) sF(s) - f(0)

7 Integrala t0 f (t)dt

1sF (s)



Transformata Laplace

Table : Transformata Laplace a unor functii

f(t) F(s)

1 Impuls Dirac (t) 12 Treapta unitara u(t)=1 1

s

3 Rampa unitara v(t)=t 1s2

4 eat 1sa

5 cost ss2+2

6 sint s2+2



Semnale

1. Treapta unitara:

u(t) =

{0, t < 01, t 0

Transformata Laplace a functiei treapta:

L[u(t)] = 1s



Semnale

2. Rampa unitara

v(t) =

{0, t < 0t, t 0

Transformata Laplace a functiei rampa:

L[v(t)] = 1s2



Semnale

3. Impulsul ideal (Dirac)

(t) =

{0, t < and t > +A, t + , lim0

+

(t)dt = 1

Transformata Laplace a impulsului:

L[(t)] = 1



Functia de transfer

= Raportul dintre transformata Laplace a semnalului de iesire sitransformata Laplace a semnalului de intrare n conditii initialenule.

a0r(t)+a1dr(t)

dt+...+am

dmr(t)

dtm= b0y(t)+b1

dy(t)

dt+...+bn

dny(t)

dtn

unde r(t) si y(t) sunt semnalele de intrare si iesire.Se aplica transformata Laplace n conditii initiale nule:

(a0 + a1s + ...+ amsm)R(s) = (b0 + b1s + ...+ bns

n)Y (s)

si functia de transfer este:

H(s) =Y (s)

R(s)=

a0 + a1s + ...+ amsm

b0 + b1s + ...+ bnsn



Exemplu

k

disp

lace

men

t

Frictionf

Force

y(t)

r(t)

MassM

Md2y(t)

dt2+ f

dy(t)

dt+ ky(t) = r(t)

Ms2Y (s) + fsY (s) + kY (s) = R(s)

H(s) =Y (s)

R(s)=

1

Ms2 + fs + k

iesire = continut x intrare

O functie de transfer H(s) arata cum intrarea este transferata laiesire.



Exemplu. Sistem electric

L

C Rvinv

out

iL

iC

iRN

Bobina:diL

dt=

1

LvL

Condensatorul:dvC

dt=

1

CiC

Rezistenta: vR = RiR

Legile lui Kirchhoff:

iL = iC + iR

vin = vL + vC

vC = vR = vout

Se presupun conditii initiale zero,se aplica transformata Laplace, seelimina toate variabilele n afara de in-trare si iesire.

H(s) =Vout(s)

Vin(s)=

1

LCs2 + LRs + 1

=R

RLCs2 + Ls + R(1)



Functia de transfer

Pentru un sistem fizic realizabil functia de transfer H(s) este unraport de doua polinoame n s:

H(s) =N(s)

D(s)

ordinul lui D(s) ordinul lui N(s).Ecuatia caracteristica

D(s) = 0

Radacinile lui D(s) : poli

Radacinile lui N(s) : zerourile

Ordinul sistemului: gradul polinomului de la numitor, D(s)Polii si zerourile lui H(s) pot fi variabile complexe, s = + j.



Functia de transfer

H(s) =k(s z1)(s z2)...(s zm)sr (s p1)(s p2)...(s pn)

unde m n, pi si zi sunt polii si zerourile functiei de transfer, r -numarul polilor la origine, n + r - ordinul sistemului.

H(s) =k

sr

m1j=1(Tjs + 1)

m2j=1(

12nj

s2 +2jnj

s + 1)

n1j=1(Tjs + 1)

n2j=1(

12nj

s2 +2jnj

s + 1)

unde k - factorul de proportionalitate (sau de castig), nj -frecvente naturale, Tj - constante de timp, j - factori deamortizare.



Raspunsul sistemelor

H(s)R(s) Y(s)

Figure : Schema bloc a unui sistem

Din definitia funtiei de transfer:

Y (s) = H(s) R(s)

Aplicand transformata Laplace inversa:

y(t) = L1[H(s) R(s)].



Exemplu

H(s) =Y (s)

R(s)=

1

Ms2 + fs + k, R(s) = L[(t)], y(t) = L1[H(s)1]

M = 1, f = 3, k = 2

Y (s) =1

(s + 1)(s + 2)

y(t) = et e2t

M = 1, f = 1, k = 3

H(s) =K

12ns2 + 2n s + 1

y(t) =211

et/2sin(

11

2t)



Exemplu

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12

Figure : Raspunsul sistemului. (Stanga) Raspuns supra-amortizat.(Dreapta) Raspuns subamortizat



Scheme bloc

Schemele bloc sunt formate din blocuri unidirectionale conectatecare reprezinta functii de transfer.Conexiuni de baza: serie, paralel, cu reactie.

Y2(s)

Y(s)Y1(s)R2(s)

R1(s)R(s)

H1(s) H2(s)

Y1(s)

Y(s)

Y2(s)

R(s)H1(s)

H2(s)

`

Y(s)Hd(s)

Hr(s)

R(s) E(s)



Functii de transfer echivalente

Conexiunea serie

H(s) =Y (s)

R(s)=

Y2(s)

R1(s)=

Y2(s) Y1(s)R1(s) R2(s) = H1(s) H2(s)

Conexiunea paralel

Y (s) = Y1(s) Y2(s), H(s) = Y (s)R(s)

= H1(s) H2(s)

Conexiunea cu reactie

H(s) =Y (s)

R(s)=

Hd (s)

1 Hd (s) Hr (s)



Transformarea schemelor bloc

X2

X1 X3GX1

G

X2

X3

G

Figure : Sumator n fata unui bloc

X2

X1 X2G

X2

X1 X2G

G

Figure : Mutarea unui punct n fata unui bloc



Transformarea schemelor bloc

X1

X1 X2GX1

X1 X2G

1/G

Figure : Mutarea unui punct n spatele unui bloc

X1 G

X2

X3

X2

X1 X3G

1/G

Figure : Mutarea unui sumator n fata unui bloc



Suprapunerea semnalelor

R1 YR2

H1 H2

H3

H01

H02

Y

R2

R1

Y (s) = R1(s) H01(s)|R2(s)=0 + R2(s) H02(s)|R1(s)=0

Y (s) =H1H2

1 + H1H2H3 R1(s) + H2

1 + H1H2H3 R2(s)



Matricea de transfer

...

linear multipleinput multiple

output (MIMO)system

...

r1(t)r2(t)

rm(t)

y1(t)y2(t)

yn(t)

...

...

R1(s)R2(s)

Rm(s)

Y1(s)Y2(s)

Yn(s)

...

H11

H22

Hnm

Hn1Hn2

H12

Figure : Sistem MIMO




Y1 = H11R1 + H12R2 + . . .H1mRmY2 = H21R1 + H22R2 + . . .H2mRm

...Yn = Hn1R1 + Hn2R2 + . . .HnmRm

unde functia de transfer de la intrarea k la iesirea j :

Hjk =Yj

Rk




Forma matriciala:Y = H R

Vectorii de intrare si iesire:

R = [R1(s) R2(s) ... Rm(s)]T , Y = [Y1(s) Y2(s) ... Yn(s)]

T

Matricea de transfer:

H =

H11 H12 . . . H1mH21 H22 . . . H2m. . . . . . . . . . . .Hn1 Hn2 . . . Hnm



Conexiunile sistemelor MIMO

Conexiunea serie

H = H2 H1, for n systems H =1

j=n

Hj

Conexiunea paralelaH = H1 H2

Conexiunea cu reatie

H = (1Hd Hr )1 Hd



Documents

Chap1 Slides Rom