CHAPITRE 1 Optimisation

CHAPITRE 1 OptimisationRAPPEL Inéquation et système d’équations

Page 9

1. a)�2 �1 0 2 31 4 5

b)�2 �1 0 2 31 4 5

c)�2 �1 0 2 31 4 5

d)�2 �1 0 2 31 4 5

e)�4 �3 �2 0 1�1 2 3

f )�2 �1 0 2 31 4 5

2. a) x 32, où x représente l’âge de Loïc. b) x 7, où x représente le pH de l’eau de la rivière.

c) x 87, où x représente la moyenne de Léa (en %). d) x 800, où x représente la hauteur de la tour (en m).

Page 11

3. a) 1) x : quantité d’eau (en ml ) y : quantité d’hydroxyde de sodium (en ml )

2) x y 250

b) 1) x : nombre de tables à 8 personnes y : nombre de tables à 12 personnes

2) 8x 12y 800

c) 1) x : quantité de charbon (en kg) y : quantité de pétrole (en L )

2) 30x 45y 500

4. a) y 2x 2 6 b) 26y 23x 12y 0,5x 2 2

c) 2y 0,5x 8y 0,25x 4

d) 0,5y 20,25x 9y 20,5x 18

e) 3x 2 9 2y y 23x 9

f ) 210y 28x 40y 0,8x 2 4

g) 20,4x 1,8 yy 20,4x 1,8

h) y3

5x 8

y 15x 24

i ) 24y 23x 2 9 y 0,75x 2,25

Page 12

5. a)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y b)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y

c)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y d)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y

© 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER CHAPITRE 1 611

609-683_PdM5_SN_Guide_CorrigeVrac_Cahier_P01_F.indd 611 18-06-26 1:48 PM

6. 15x 2 3y 9 023y 215x 2 9

y 5x 3

Réponse : Les maisons M3 et M4 sont situées dans le secteur touché.

2

�2

�2�4

�4

4

40 2 x

y

M4

M2M1

M3

Secteur touché par un feu de forêt

Page 13

7. a) a 2 2 41 2 23

224

20,5

b) a 2 2 1,23,9 2 1,5

0,82,4

13

c) a 25 2 11 2 9

2628

0,75

d) a 21 2 149 2 221

21530

20,5

e) a 20 2 510 2 6

154

3,75

f ) a 8 2 240 2 20,5

120,5

24

g) a 215,2 2 213,3

21,9 2 23,8

21,91,9

21

h)a

310

45

25

57

11101135

23,5

i )a

49

29

13

23

291

2 29

Page 14

8. a) y 22x 6y 20,5x 2 5

b) y 20,4x 2 3y 20,5x 3,5

c) y 0,75x 2 2y 22x 10

Page 15

9. a) 23x 2 10 4x 4 27x 14 x 22

y 23 22 2 10 24(22, 24)

b) x 5 22x 8 3x 3 x 1

y 1 5 6(1, 6)

c) x 2(x 4) 2 3x 26 x 22

y 22 4 2(22, 2)

d) 3x 2 2(4x 3) 5 25x 11 x 22,2

y 4 22,2 3 25,8(22,2, 25,8)

e) x 2y 3 2 (x y 4) y 21

x 21 4 x 5(5, 21)

f ) 2x 2 2y 6 2 (2x 3y 35) 25y 229 y 5,8

x 2 5,8 3 x 8,8(8,8, 5,8)

g) 22x 5 4x 2 9 26x 214 x 7

3

y 22 73

5

13

73

, 13( )

h) 2x 3(4x 2,5) 15 11x 7,5 15 11x 7,5 x 15

22 y 4 15

22 2,5

11522

1522

, 11522( )

i ) 2x 2 6y 7 0 2 (2x 12y 2 20 0) 218y 27 0 218y 227 y 1,5 2x 2 6 1,5 7 0 2x 2 2 0 x 1(1, 1,5)

2

2

2

2

PdM5 SN — CORRIGÉ DU CAHIER CHAPITRE 1 © 2018, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée612


10. a) 1) x : premier nombre y : deuxième nombre

2) x 2y 8 x 4y 2 12

3) 2y 8 4y 2 12 x 2 10 8 20 2y 28

y 10 Le premier nombre est 28 et le second est 10.

Page 16

b) 1) x : nombre d’abonnements pour enfants vendus y : nombre d’abonnements pour adultes vendus

2) x y 350 5x 10y 2500

3) 5x 5y 1750 x 150 350 2 (5x 10y 2500) x 200 abonnements pour enfants 25y 2750

y 150 abonnements pour adultesAu cours de la dernière année, 200 abonnements pour enfants et 150 abonnements pour adultes ont été vendus.

c) 1) x : quantité de chlore (en kg) y : quantité d’algicide (en kg)

2) x y 40 15x 12y 540

3) 15x 12(40 2 x) 540 20 y 40 3x 480 540 y 20 kg 3x 60 x 20 kg

Christian devra acheter 20 kg de chlore et 20 kg d’algicide.

11. Équation de la droite qui supporte le segment AB :

a 9 2 11 2 7

1 2 43

7 b

2 43

b 313

y 2 43

x 313

Équation de la droite qui supporte le segment CD :

a 6 2 28 2 1

2 47

1 b

47

b 107

y 47

x 107

Résolution du système d’équations :

2 43

x 313

47

x 107

x 4,675

y 2 43

4,675 313

4,1

Réponse : Les coordonnées du point représentant la pompe sont (4,675, 4,1).

SECTION 1.1 Système d’inéquations

Page 17

1. a) 0 24 00 24 est vrai.

0,3 0 0 6 0 6 est faux.Non.

b) 0 22 0 40 4 est vrai.

0 3 0 20 2 est vrai.Oui.

c) 0 2 0 4 0 4 0 est vrai.

0 0 0 0 0 est faux.Non.



Page 18

2. a)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y b)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y

c)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y d)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y

e)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y f )

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y

L’ensemble-solution est vide.

Page 19

3. a) Équation des droites frontières

Pente : a 2 2 00 2 2

Pente : a 21 2 021 2 1

21 0,5Ordonnée à l’origine : 2

y 2x 2

Ordonnée à l’origine :21 0,5 21 b21 20,5 bb 20,5

y 0,5x 2 0,5

y 2x 2y 0,5x 2 0,5

b) Équation des droites frontières

Pente : a 4 2 124 2 0

Pente : a 0 2 322 2 0

20,75 1,5Ordonnée à l’origine : 1

y 20,75x 1

Ordonnée à l’origine : 3

y 1,5x 3

y 20,75x 1y 1,5x 3



c) Équation des droites frontières

Pente : a 3 2 00 2 2

Pente : a 24 2 00 2 2

21,5 2Ordonnée à l’origine : 3

y 21,5x 3

Ordonnée à l’origine : 24

y 2x 2 4

y 21,5x 3y 2x 2 4

d) Équation des droites frontières

Pente : a 5 2 125 2 0

y 3

20,8Ordonnée à l’origine : 1

y 20,8x 1

y 20,8x 1y 3

Page 20

4. a) 0 ? 2 0 2 3

0 23

0 ? 23 0 4

0 4

y 2x 2 3y 23x 4

b) 0 0 ? 5

0 5

0 ? 22 0 2 4

0 24

x y 5y 22x 2 4

c) 0 ? 0 2 2

0 22

0 2 0 ? 3

0 3

0 4 0 5 ?

05 0

y x 2 2y 2x 3x 4y 5 0

5. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : A(2, 23), B(3, 0) et C(4, 21)

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : y 2x 5 et y 2x 2 2

6. a) B b) A et C. c) C d) D

7. a) 2

b) 4

Page 21

8. a) 1) x : quantité de fer (en kg) y : quantité de carbone (en kg)

2) x y 50 x 95y

b) 1) x : nombre de panneaux photovoltaïques y : nombre de panneaux thermiques

2) x y 500 x 2y 2 100

c) 1) x : nombre de conifères y : nombre de feuillus

2) x y 4000 x 3y 2 300

d) 1) x : largeur du complexe (en m) y : profondeur du complexe (en m)

2) 2x 2y 2500 x y x 0,5y

e) 1) x : nombre de nuits à l’hôtel y : nombre de nuits en camping

2) x 5 120x 65y 850 y 4

9. P1 2000t 40 000P2 6000t 24 000, où P1 et P2 représentent respectivement les quantités de protéines (en mg)par millilitre de sang dans le premier et le second projet et t, le temps écoulé (en h).

12 000

2 4 6 8 10

24 000

36 000

48 000

60 000

0 Tempsécoulé (h)

Quantité deprotéines

(mg)

Projet 2

Projet 1

Quantité de protéines dans le sang

Page 22

10. Variablesx : nombre de déclarations des sociétésy : nombre de déclarations des particuliers

Système d’inéquationsx 0y 0

x y 1250

y x y3

x 2y 2 300

Vérification800 0800 0

800 800 12501600 1250 est vrai.

800 800 8003

800 533,3 est vrai.

800 2 800 2 300

800 1300 est faux.

Réponse : Il est impossible pour la firme de réaliser 800 déclarations de chaque type.



11. Variablesx : nombre de pièces de 1 $y : nombre de pièces de 2 $

Système d’inéquationsx y 5000x 2y 6500

0 1600 3200 4800 6400 8000

1600

3200

4800

6400

8000

Production de pièces de monnaieNombre depièces de 2 $

Nombre de pièces de 1 $

Page 23

12. Les choix pour l’investisseur correspondent à tous les couples de coordonnées entières situées entre les deux droites et sur celles-ci. Les choix sont des solutions des inéquations x 0, y 0, x y 10 et x y 20, où x est le nombre de maisons individuelles et y, le nombre de maisons jumelées. Par exemple, l’investisseur peut construire 12 maisons individuelles et 8 maisons jumelées ou 13 maisons jumelées et 4 maisons individuelles.

04

4

8

12

16

20

8 12 16 20

Possibilités de constructionsNombre de maisonsjumelées

Nombre de maisonsindividuelles

13. Équations des droites formant chaque côté du trapèze

Droite qui passe par AB :

Pente : a 5 2 13 2 5

22

Ordonnée à l’origine :1 22 5 bb 11Équation : y 22x 11

Droite qui passe par BC :

Pente : a 8 2 59 2 3

0,5

Ordonnée à l’origine :5 0,5 3 bb 3,5Équation : y 0,5x 3,5

Droite qui passe par CD :

Pente : a 5 2 813 2 9

20,75

Ordonnée à l’origine :8 20,75 9 bb 14,75Équation : y 20,75x 14,75

Droite qui passe par AD :

Pente : a 5 2 113 2 5

0,5

Ordonnée à l’origine :5 0,5 13 bb 21,5Équation : y 0,5x 2 1,5

On déduit les quatre inéquations : y 22x 11, y 0,5x 3,5, y 20,75x 14,75 et y 0,5x 2 1,5

Réponse : y 22x 11, y 0,5x 3,5, y 20,75x 14,75 et y 0,5x 2 1,5.

0 42 6 10 14

4

6

2

A(5, 1)

C(9, 8)

Représentation d’un trapèze

D(13, 5)B(3, 5)

8

10

12

14

8 12

y

x



SECTION 1.2 Polygone de contraintes

Page 25

1. a) 1)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y

A

2) Le polygone est non borné.

3) A(22, 22)

b) 1)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4 0 x

y

A

2) Le polygone est non borné.

3) A(2, 2)

c) 1)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4A

C

B

0 x

y

2) Le polygone est borné.

3) A(0, 0), B(2, 4) et C(4, 2).

d) 1)

2

4

2 4�2

�2

�4

�4A

C

B

0 x

y

2) Le polygone est borné.

3) A(0, 21), B(4, 3) et C(1, 23).

Page 26

2. a) Coordonnées du sommet A : A(0, 0)

Coordonnées du sommet B : B(0, 9)

Coordonnées du sommet C : 2x 0,5x 9 y 0,5 3,6 2,5x 9 1,8 x 3,6 C(3,6, 1,8)

b) Coordonnées du sommet A :y 20,75 3 10

7,75A(3, 7,75)

Coordonnées du sommet B : 20,75x 10 2x 2 4 22,75x 214

x 5611

y 2 5611

2 4

6811

B( )5611

, 6811

Coordonnées du sommet C : C(3, 2)

c) Coordonnées du sommet A : A(0, 3)

Coordonnées du sommet B : 2x 2 6 0,4x 3 1,6x 9 x 5,625 y 2 5,625 2 6 5,25B(5,625, 5,25)

Coordonnées du sommet C : x 2(2x 2 6) 6 5x 2 12 6 x 3,6 y 2 3,6 2 6 1,2C(3,6, 1,2)



Page 27

3. a) y 2x 2y 22x 15y 20,5x 5

b) 3,56 2 2,87 23,56 7,74 est vrai.

3,56 22 2,87 153,56 9,26 est vrai.

3,56 20,5 2,87 53,56 3,565 est faux.Les coordonnées du point D ne vérifient pas l’inéquation y 20,5x 5. Ce point ne fait donc pas partie de la région-solution du système d’inéquations.

4. a) y 0,8x 4,6y 20,5x 10,54x 2 3y 23x 2 7y 29y 22x 7

b) Les sommets B, C et D font partie de la région-solution, car les droites qui les forment sont tracées d’un trait plein. Les sommets A et E ne font pas partie de la région-solution, car une des droites qui les forment est tracée d’un trait pointillé.

Page 28

5. a) A - 2 , B - 3 , C - 4 , D - 1 b) A - 3 , B - 1 , C - 4 , D - 2

6. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :y x 7y 20,5x 729x y 39

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :y 20,5x 7x 2 y 53x 2 7y 27

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple :y x 7x 2 y 5

Page 29

7. 2x 2 5 21,5x 6 y 2 227

2 5

3,5x 11 97

x 227

1,29

3,14

Les coordonnées du point qui se trouve le plus près du sommet C et appartenant à la région-solution sont (3, 2).

Vérification :2 2 3 2 5 2 1 est vrai.

2 21,5 3 6 2 1,5 est vrai.

2 20,5 3 5 2 3,5 est vrai.

8. a) Contraintesx 0y 0y x 3y 2x2x 2y 45

b) Pour la largeur, déterminer l’ordonnée du sommet B : 2x 2 2x 45 6x 45 x 7,5 hm

y 2 7,5 15 hm

Pour la longueur, déterminer l’abscisse du sommet C : 2x 2(x 3) 45 4x 6 45 x 9,75 hm

Réponse : La longueur maximale possible du terrain est de 9,75 hm et sa largeur maximale, de 15 hm.

x2

2

4

6

8

10

4 6 8 10

A

B

C

y � 2x � 2

y � �0,5x � 5y � �2x � 15

D(2,87, 3,56)

0

0

A

B

C

6

6

12

12

18

18

24

24

30

30

Largeurdu terrain (hm)

Longueurdu terrain (hm)

Dimensions possiblesd’un terrain rectangulaire



Page 30

9. Variablesx : température maximale (en °C)y : température minimale (en °C)

Contraintesx 0 y 0 x 2 y 4x 16y 7

Réponse : Plusieurs réponses possibles. Exemple : Trois combinaisons de températures maximales et minimales possibles pourraient être 14 oC et 8 oC, 14 oC et 9 oC ainsi que 15 oC et 8 oC.

0 Températuremaximale (°C)

Températureminimale (°C)

Températures requisespour une culture

A

B

C

4

8

12

16

20

4 8 12 16 20

10. Variablesx : quantité d’acide (en L )y : quantité d’eau (en L )

Contraintesx 0y 0x 0,5(x y) ⇔ x yx 0,84(x y) ⇔ x 5,25yx y 1,5x y 3

L’ordonnée du sommet C correspond à la quantité maximale d’acide nécessaire à la production. 5,25y y 3 6,25y 3 y 0,48

x 0,48 3 x 2,522,52 L 2520 ml2520 ml 100 ml/flacon 25,2 flacons, soit 26 flacons.

0

Quantitéd’eau (L)

Quantitéd’acide (L)

Solution acide

A

B

D

C

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

Réponse : Vingt-six flacons d’acide sont nécessaires.

SECTION 1.3 Résolution de problèmes

Page 33

1. a)Couple z 3x 2y

(5, 22)z 3 5 2 22

11

(22, 3)z 3 22 2 3

0

(4, 1)z 3 4 2 1

14

(22, 0)z 3 22 2 0

26

b)Couple z 5x 3y

(1, 6)z 5 1 2 3 6

213

(22, 23)z 5 22 2 3 23

21

(1, 1)z 5 1 2 3 1

2

(5, 2)z 5 5 2 3 2

19



c)Couple z 2x y 4

(23, 0,5)z 2 23 0,5 4

21,5

(21, 7)z 2 21 7 4

9

(5, 0)z 2 5 0 4

14

(2, 24)z 2 2 2 4 4

4

d)Couple z 24x 9y 2

(22, 5)z 24 22 9 5 2

55

(4, 3)z 24 4 9 3 2

13

(0, 7)z 24 0 9 7 2

65

(12, 29)z 24 12 9 29 2

2127

Page 34

2. a) zA 2 0 3 3 9

zB 2 2 3 8 28

zC 2 7 3 4 26

zD 2 4 3 0 8

1) D(4, 0)

2) B(2, 8)

b) zA 21 24 4 22 24

zB 21 21 4 3 13

zC 21 4 4 24 220

1) C(4, 24)

2) B(21, 3)

c) zA 2 1 2 4 9 5 229

zB 2 9 2 4 6 5 21

zC 2 0 2 4 0 5 5

1) A(1, 9)

2) C(0, 0)

3. a) 1) zA 2 2 4 7 zB 2 8 4 4 32 32

zD 2 4 4 6 zE 2 6 4 5 32 32

2) zA 4 2 4 5 zB 4 5 4 2 28 28

zF 4 4 4 3 zG 4 3 4 4 28 28

b) Lorsque la solution optimale peut être obtenue à l’aide des coordonnées de plusieurs points du polygone de contraintes, ces points forment généralement un côté du polygone.

Page 35

4. a) z 150x 190y b) z 220x 350y c) z 70x 160y

5. a) x : nombre de caisses de 3 m3 par wagony : nombre de caisses de 5 m3 par wagon

b) Maximiser le profit P par chargement (en $).

c) P 15x 20y

d) x 0 3x 5y 132y 0 x 2y

e) Coordonnées du sommet A : A(0, 0)

Coordonnées du sommet B : 3 2y 5y 132 x 2 12 11y 132 24 y 12 B(24, 12)

Coordonnées du sommet C : 3x 5 0 132 3x 132 x 44C(44, 0)

f ) Solution optimaleSommet du polygone

de contraintesP 15x 20y

A(0, 0)P 15 0 20 0

0 $

B(24, 12)P 15 24 20 12

600 $

C(44, 0)P 15 44 20 0

660 $

Réponse : Puisque les coordonnées du point C permettent de maximiser les profits, l’entreprise doit charger 44 caisses de 3 m3 et aucune caisse de 5 m3, ce qui générera un profit maximal de 660 $ par wagon, soit un total de 6600 $ pour les 10 wagons.

0 10 20 30A C

B

40 50

10

20

30

40

50

Volume maximalde chargement

Nombrede caissesde 3 m3

par wagon

Nombre de caissesde 5 m3 par wagon



Page 36

6. Variablesx : temps pour la conception des plans (en h)y : temps pour la surveillance du chantier (en h)

Objectif viséMaximiser le montant M de l’offre de service (en $).

Règle de la fonction à optimiserM 55x 45y

Contraintesx 0y 0x y 132x y 180y 2x

Coordonnées des sommets du polygone de contraintesCoordonnées du sommet A :0 y 180

y 180A(0, 180)

Coordonnées du sommet B :x 2x 180

3x 180x 60

60 y 180y 120

B(60, 120)Solution optimale

Sommet du polygone de contraintes

M 55x 45y

A(0, 180)M 55 0 45 180

8100 $

B(60, 120)M 55 60 45 120

8700 $

C(44, 88)M 55 44 45 88

6380 $

D(0, 132)M 55 0 45 132

5940 $

Coordonnées du sommet C :x 2x 132

3x 132x 44

44 y 132y 88

C(44, 88)

Coordonnées du sommet D :0 y 132

y 132D(0, 132)

Les coordonnées du sommet B permettent de maximiser la fonction à optimiser.

Réponse : L’architecte doit prévoir 60 h pour la conception des plans et 120 h pour la surveillance du chantier, pour un montant maximal de 8700 $.

Page 37

7. Variablesx : quantité de solvant A (en ml )y : quantité de solvant B (en ml )

Contraintes de la situationx 10x 20y 8y 25 x y 20x y 40

Coordonnées des sommets du polygone de contraintesCoordonnées du sommet A :A(10, 25)

0 40 80 120 160 200

40

80

120

160

200A

C

DB

Offre de serviced’architecture

Temps pourla surveillance

du chantier(h)

Temps pour la conception

des plans(h)

0 4 8 12 16 20 24 28

4

8

12

16

20

24

28

Contraintes de l’ingénieure

Région qui traduit l’ensemble des contraintes

B

C

DEF

A

Conception d’un litrede peinture

Quantitéde solvant B

(ml)

Quantité de solvant A

(ml)



Coordonnées du sommet B :x 25 40

x 15B(15, 25)

Coordonnées du sommet C :20 y 40

y 20C(20, 20)

Coordonnées du sommet D :D(20, 8)

Contraintes de l’ingénieure0,04x 0,03y 1,21,2x 1,1y 40

Coordonnées du sommet E : x 8 20 x 12E(12, 8)

Coordonnées du sommet F : 10 y 20 y 10F(10, 10)

Graphiquement, on constate qu’il existe une région qui traduit l’ensemble des contraintes.

Réponse : L’ingénieure a raison, il est possible de créer une peinture dont l’indice de résistance est supérieur à 1,2 et dont le coût du solvant par litre de peinture produite est inférieur à 40 $.

Page 38

8. Variablesx : superficie ensemencée de maïs (en km2)y : superficie ensemencée de soya (en km2)

Objectifs visésMaximiser les revenus R (en k$)Minimiser la quantité Q d’engrais (en kl )

Règle des fonctions à optimiserR 25x 50yQ 20x 25y

Contraintesx 0 x y 14y 0 140x 100y 1840x y 4x 8y 104

Coordonnées des sommets du polygone de contraintesCoordonnées du sommet A :4x 8(14 2 x) 104

24x 28x 2

y 14 2 2 12A(2, 12)Coordonnées du sommet C :140x 100x 1840

x 7,6y 7,6C(7,6, 7,6)Coordonnées du sommet D : D(7, 7)

Solution optimale relativement aux revenus


R 25x 50y

A(2, 12)R 25 2 50 12

650 k$

B(6, 10)R 25 6 50 10

650 k$

C(7,6, 7,6)R 25 7,6 50 7,6

575 k$

D(7, 7)R 25 7 50 7

525 k$

Solution optimale relativement à la quantité d’engrais


Q 20x 25y

A(2, 12)Q 20 2 25 12

340 kl

B(6, 10)Q 20 6 25 10

370 kl

Les coordonnées du point A minimisent la quantité d’engrais.

Les coordonnées des points A et B maximisent les revenus.

Réponse : L’agriculteur doit ensemencer 2 km2 de maïs et 12 km2 de soya.

0 4 8 12 16 20

4

8

12

16

20

D

A

C

B

Ensemencement de terres

Super�cieensemencée

de soya(km2)

Super�cie ensemencée

de maïs(km2)

Coordonnées du sommet B :140x 100y 184035(4x 8y 104) ⇔ 140x 280y 3640

140x 100y 1840 2 (140x 280y 3640) 2180y 21800 y 10

4x 8 10 104 x 6B(6, 10)



Documents

CHAPITRE 1 Optimisation