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BE Optimisation

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  • Timothe QUERE Mohammed DJABRI Master 1 SMI SIR 22/03/14

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    Bureau dtudes dOptimisation Non Linaire

    RAPPORT

    Introduction

    Ce Bureau dtudes a pour objectif dappliquer les mthodes vues en cours. Nous avons t confront auparavant un problme doptimisation linaire, abordons maintenant des problmes doptimisation non linaires. Ce travail a t divis en deux parties, la premire comprenant 2 exercices le premier exercice centr sur la commande dun systme discret, le second sintressant aux mthodes permettant de rechercher un minimum local et la seconde partie focalise sur le problme du berger. Loptimisation et les techniques associes vont permettre de rpondre ces divers problmes en trouvant la ou les solutions optimales.

    I. Partie 1

    Exercice 1

    On souhaite commander le systme discret suivant : + 1 = 0 1 0,25 1 + 1 0 0 1 () Tout en minimisant lnergie dpense pour la commande, soit le critre

    = ! ()!!!! . Ltat initial du systme est connu 0 = 1 2 et ltat final dsir est 4 = 6 4 . Les limitations sur la commande sont : ! 0 , (pas de limitation sur !).

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    (1) crire les conditions du premier ordre de ce problme doptimisation. Montrer que ce problme peut tre considr de deux faons diffrentes suivant lcriture des contraintes.

    Le problme nonc peut scrire sous deux formes, la premire ayant 4 contraintes et la seconde en nen ayant quune.

    1re forme : sous contraintes 1 = 0 + (0) 2 = 1 + (1) 3 = 2 + (2) 4 = 3 + (3)

    1 = 0 + 0 1 2 = 1 + 1 2 3 = 2 + 2 3 4 = 3 + 3 4

    2me forme : sous contrainte 4 = ! 0 + ! 0 + ! 1 + 2 + (3)

    = ! 0 + ! 0 + ! 1 + 2 + 3 (4)

    (2) Comment peut-on rsoudre ces conditions du premier ordre ?

    Il est possible de rsoudre ces conditions du premier ordre en utilisant le Lagrangien : , = + !

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    (3) Rsoudre ces conditions (vous pouvez vous aider de Matlab)

    Cf. annexe 1

    (4) A-t-on bien la valeur minimale du critre ?

    Cf. annexe 2

    Exercice 2

    On cherche optimiser la fonction non linaire

    min = ! 2 ! + ! ! 1 + 3 ! + 1 + !!! !!!" Lobjectif est ici dimplmenter une ou plusieurs mthodes de recherche dun optimum local.

    (1) noncer les conditions doptimalit du premier ordre pour la fonction f

    Cf. annexe 3

    Questions suivantes : annexes

    Cf. scripts

    (2) Observation

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    (4) Observation

    (5) Observation

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    II. Partie 2

    Le problme du berger Un berger souhaite mettre en place une clture dans son champ pour y installer son cheptel de moutons. Un mangeoir est dj place sur le terrain et les moutons ne doivent jamais se trouver plus de 100m du mangeoir. De plus, les limites du champ sont telles que la clture ne peut pas tre situe plus de 90m au dessus du mangeoir et plus de 80m droite du mangeoir. Le berger ne dispose que de 450m de grillage et d e 3 poteaux. Son objectif est de concevoir un enclos le plus vaste possible pour ces moutons.

    (1) Quelles sont les variables du problme ?

    Les variables du problme sont les coordonnes des 3 poteaux :

    Poteaun : !! , {1,2,3}

    Schma du problme

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    Questions suivantes

    Cf. scripts

    Observations :

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    Conclusion

    En dfinitive, ce Bureau dtudes nous aura permis de faire face diffrents problmes, et, grce aux outils doptimisation, des solutions optimales ont t trouves. La premire partie nous a montr comment aborder un problme de commande de systme discret, par diffrents moyens, et comment le rsoudre par le calcul en saidant de Matlab. Diffrentes techniques, la mthode du gradient et la mthode de Newton, ont t implmentes et des rsultats positifs se sont rvls.

    La seconde partie de ce Bureau dtudes aura t, grce la toolbox Optimization de Matlab, de rsoudre le problme du berger. Cette toolbox contenant des fonctions pertinentes, et aprs caractrisation du problme de long en large fonctions minimiser, contraintes dgalit/ dingalits, nous avons pu trouver une solution optimale, parmi les nombreuses existantes.

    Ce Bureau dtudes a t utile de part lapplication des concepts gnraux vu en cours, mais aussi de la logique adopter face un problme. En effet, quitte avoir une solution rpondant un problme, autant optimiser celle-ci afin dobtenir la meilleure rponse possible, et de ce fait gagner soit en temps, en cot ou en espace mmoire par exemple.

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