Upload
mouna-souissi
View
1.047
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
Campus centre
Chapitre 4
Caractéristiques géométriques de la
surface plane :
05/04/2013 1
plan
Centre de gravité,
Moment statique,
Moments quadratiques
05/04/2013 2
Campus centre
Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy.
Centre de gravité
Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par :
S
y.dSY
S
x.dSX S
G
S
G
Si la section S peut être décomposée en sous-sections
simples, d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi
et yGi) alors :
S
.
Y S
.
X 1G
1G
n
i
Gii
n
i
Gii ySxS
Campus centre
05/04/2013 3
Calcul du Centre de gravité
1
2
50 mm
10 mm
10 mm
50 mm
O
y
x
xG
G20
Campus centre
05/04/2013 4
Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique
élémentaire par rapport à l’axe Ox est la quantité :
Moment statique
Y.dSd x
De même :
Pour l’ensemble de la section :
S.Ysoit y.dS GS
xx
S.Xsoit x.dS GS
yy
Campus centre
05/04/2013 5
Moment statique
Le moment statique d’une section par rapport à un axe est égal
au produit de l’aire de la section par la distance entre son
centre de gravité et l’axe.
si la section S peut être décomposée n en sous-sections
simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors :
n
1i
Giiy
n
1i
Giix
.xS
.yS
Campus centre
05/04/2013 6
05/04/2013 7
Moment statique
Campus centre
Axe A
G
S
d
Axe A
G
d
Moment quadratique par rapport à un axe
Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment
quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par
définition, la quantité :
Moments quadratiques
Y².dSdIOx
De même :
Ce qui donne pour l’ensemble de la section :
y².dSIS
Ox
Sx².dSIOy
Campus centre
05/04/2013 8
Moments quadratiques
• Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Δ est égalau moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe ΔGparallèle à Δ passant par le centre de gravité augmenté duproduit
Campus centre
•Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie dela section
05/04/2013 9
Moments quadratiques
Remarque:
Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments
quadratiques connus IOxiet IOyi
, alors:
n
i 1
OxOx iII
n
i 1
OyOy iII
Campus centre
1005/04/2013
Moments quadratiques
n
i 1
GGiixGGx ² YY.SIIi
n
i 1
GGiiyGGy ² XX.SIIi
Remarque :
La section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre
de gravité Gi et de moment quadratique IGixou IGiy
connus:
Campus centre
1105/04/2013
Moment quadratique par rapport à un couple d’axe
Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit.
Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport
aux axes Ox et Oy est par définition la quantité:
Moments quadratiques
X.Y.dSdIOxy
Ce qui donne pour l’ensemble de la section: x.y.dSIS
Oxy
Théorème de Huygens:GGGxyOxy .YS.XII
Campus centre
05/04/2013 12
Moments quadratiques
Calculs pratiques :
Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de
moments produits connus IOxyi, alors:
n
i 1
OxyOxy iII
Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à
son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n
sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par
rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors:
n
i 1
GGiGGiixyGGxy YY.XX.SIIi
Campus centre
05/04/2013 13
Moment quadratique par rapport à un point
Pour un élément dS, à une distance de O,le moment quadratique
polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la
quantité:
Moments quadratiques
².dS dIo ρ
Ce qui donne pour l’ensemble de la section:
².dSIS
o
Remarque: on peut écrire
OyOx IIIo
²y²x ²SS
o ².dS².dSI yxsoit:
Finalement, on obtient:
Campus centre
05/04/2013 14
III.3 Moment quadratique par rapport à un point
Changement d’origine (Théorème de Huygens)
Moments quadratiques
Soit:
²S.XI²S.YII GGyGGxo
ou:
Finalement, on obtient:
²Y²XS.III GGGyGxo
² OGS.II Go
OyOx IIIo
Campus centre
05/04/2013 15
Remarques
Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permet
une détermination aisée dans le cas de surfaces composées d’éléments simples.
Moments quadratiques
1 1 1
2 2 2
[1]+[2] [1]+[2] [1]-[2]
Campus centre
05/04/2013 16
Moments quadratiques d’axes concourants
Rotations d’axes
Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par
une rotation d’angle .
Moments quadratiques
Ox
y
dS
(S)
x
y
XY
Les relations liant les coordonnées dans les
deux repères sont:
Calculons le moment quadratique / OX :
y.cosθx.sinθY y.sinθx.cosθX
SSOX ².dS y.cosθx.sinθ- Y².dSI
SOX .dS y².cos²θcosθ2.xy.sinθ.x².sin²θI
Campus centre
05/04/2013 17
Rotations d’axes
Moments quadratiques
Ce qui nous donne :
En passant à l’angle double :
OX Oy Ox OxyI =sin²θ.I +cos²θ.I -2.sinθ.cosθ.I
1 cos2 1 cos2 sin 2cos ² ; sin ² ; sin .cos
2 2 2On obtient :
Ox Oy Ox Oy
OX Oxy
I +I I -II = + .cos2θ-I .sin2θ
2 2
SS SOX xy.dScosθ2sinθy².dScos²θx².dSsin²θI
Campus centre
05/04/2013 18
Rotations d’axes
Moments quadratiques
De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient :
Calcul du moment produit :
OXYS S
I = XY.dS x.cos +y.sin . -x.sin +y.cos .dS
Ox Oy Ox Oy
OY Oxy
I +I I -II = - .cos2θ+I .sin2θ
2 2
OXYS S S
I =sin .cos . y².dS- x².dS (cos² sin ² ) x.y.dS
Soit :
Ox Oy
OXY Oxy
I -II = .sin2θ+I .cos2θ
2
Campus centre
05/04/2013 19
Recherche des directions principales
Moments quadratiques
Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes
(maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / et
annulons ces dérivées:
Ces deux expressions s’annulent pour :
Ox OyOXOxy
I -IdI=-2. .sin2θ-2.I .cos2θ=0
dθ 2
Ox OyOYOxy
I -IdI=2. .sin2θ+2.I .cos2θ=0
dθ 2
Oxy
Ox Oy
-2Itan(2θ)=
I -I
Campus centre
05/04/2013 20
Recherche des directions principales
Moments quadratiques
Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies parles angles:
Les directions ainsi déterminéess’appellent les directions principales(ou axes principaux), elles sontorthogonales et définies par larelation:
1 2 1 et = +2
Oxy
Ox Oy
-2Itan(2θ)=
I -I
Remarques:
Pour les directions principales, IOXY est nul.
Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie.
Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axeprincipal d’inertie.
Ox
y(A)
Campus centre
05/04/2013 21
Expression des moments quadratiques principaux
III. Moments quadratiques
Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux(Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY etIOXY, la valeur de par les solutions de l’équation:
Oxy
Ox Oy
-2Itan(2θ)=
I -I
On obtient ainsi:
2
Ox Oy Ox Oy 2
maxi Oxy
2
Ox Oy Ox Oy 2
mini Oxy
I +I I -II = + +I
2 2
I +I I -II = - +I
2 2
Campus centre
05/04/2013 22
Représentation graphique – Cercle de Mohr
Moments quadratiques
Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY
Effectuons la somme des carrés, on obtient:
Ox Oy Ox Oy
OX Oxy
I +I I -II - = .cos2θ-I .sin2θ
2 2
Ox Oy
OXY Oxy
I -II = .sin2θ+I .cos2θ
2
2 2
Ox Oy Ox Oy2 2
OX OXY Oxy
I +I I -II - +I = +I
2 2
Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R
2
Ox Oy Ox Oy 2
c Oxy
I +I I -Ix = et R= +I
2 2
Campus centre
05/04/2013 23
Représentation graphique – Cercle de Mohr
III. Moments quadratiques
Iaxes
Icouples d’axes
O
ImaxiImini
C
IOx
IOxy
IOy
-IOxy
-2
2
Ox Oy Ox Oy 2
c Oxy
I +I I -Ix = et R= +I
2 2
Campus centre
05/04/2013 24
Application
05/04/2013 25
x
y
200
100
12
12
Calculer le centre de gravité Les moments en O Les moments on G Les axes principaux