Chapitre IV: Le deuxième principe de la thermodynamiqueaamouche.e-monsite.com/medias/files/chapitre4deuxiemeprincipe... · Résultat : la température dans B a augmenté tandis que

Chapitre IV:

Le deuxième principe de la thermodynamique

Ahmed Aamouche

CP1, Semestre 2, Module Thermodynamique

ENSA Marrakech

Université Cadi Ayyad

Mai 2017

Ahmed Aamouche (ENSA, UCA) Chapitre IV: Le deuxième principe de la thermodynamique Mai 2017 1 / 47

Sommaire

1 I. Introduction : La nécessité du second principe

2 II. Le second principe de la thermodynamique

3 III. Identités Thermodynamiques

4 IV. Transformations du Gaz Parfait

5 V. Exemples de phénomènes irréversibles

6 VI. Machines thermiques


La nécessité du second principe

L’irréversibilitéUne évolution est réversible s’il est possible de passer par les mêmes étatsintermédiaires dans un sens et dans l’autre de l’évolution. En fait, lestransformations réversibles ne sont qu’un cas idéal, la réalité de cestransformations fait apparaître des processus irréversibles. Les principales causesd’irréversibilité sont les suivantes :

• Le contact thermique entre deux objets : La transmission de chaleur entre lescorps se fait toujours du corps chaud vers le corps froid. Le premier principede la thermodynamique n’interdit pas la transformation inverse. Latransformation inverse est toutefois possible si on apporte de l’énergie.

• La diffusion de particules : La diffusion de deux gaz conduisant à leurmélange gazeux, se fait dans le sens de l’homogénéisation dans le volumetotal. Un mélange gazeux ne peut pas naturellement retrouver son état degaz séparés. De la même façon, un mélange d’eau chaude et d’eau froidedonne de l’eau tiède mais l’eau tiède ne peut pas se séparer spontanément enune partie froide et une partie chaude.



L’irréversibilité• Les réactions chimiques : Le 1er principe permet de prédire quelle quantité

d’énergie sera absorbée ou libérée. Par contre il ne permet pas de prédirel’état d’équilibre du système dans des conditions de température et depression données.

Non réversible ne signifie pas qu’il est impossible, une fois l’état final atteint, derevenir à l’état initial. Il faut pour que l’évolution soit réversible que le chemininverse soit plausible. Une condition nécessaire pour que le phénomène soitréversible est que l’évolution soit effectuée de manière quasi-statique, c’est à diretrès lentement.On pourrait multiplier les exemples à l’infini. Pour permettre de prévoir dans quelsens se fera l’évolution d’un système thermodynamique, il est donc nécessaire dedisposer d’un principe d’évolution : c’est le deuxième principe de lathermodynamique.



Historique :Le 1er principe fournit le bilan énergétique d’une transformation sans fournird’information sur le genre de processus qui a lieu. Il ne permet pas non plus deprédire quel sera l’état du système dans des conditions données.Le 2eme principe permet de répondre à toutes ces questions. Il est énoncé sous 2versions, une microscopique et l’autre macroscopique.Le besoin historique d’un second principe de la thermodynamique s’est faitressentir lors de la conception de moteurs thermiques. En effet, l’air qui nousentoure contient beaucoup d’énergie (énergie cinétique des particules) qui seraitsuffisante pour faire fonctionner une machine ou permettre le déplacement d’unvéhicule. Or il n’est pas possible de récupérer directement cette énergie de l’airambiant, il faut pour cela deux "sources" (c’est à dire deux milieux extérieurs) detempératures différentes (par exemple l’air extérieur et le gaz chaud issu de lacombustion).C’est ce constat qui a amené Lord Kelvin (aussi William Thomson, 1851) etClausius (1850), chacun séparément, à énoncér le second principe au départ desanciens travaux de Watt, Joule, Carnot et Hirn.



Historique :La mixture de leur formulation donne l’énoncé suivant (selon l’approche macroscopique) :"il n’existe pas de moteur fonctionnant de manière cyclique à partir d’une seule source dechaleur." Selon cet énoncé, il est donc impossible d’obtenir un travail d’un cycle sansextraire de la chaleur d’une source et d’en transférer une partie vers une source plusfroide.Un tel moteur (appelé moteur perpétuel) permettrait pourtant de résoudre bien desproblèmes de la société moderne en faisant avancer les voitures avec l’air ambiant ou lesbateaux avec l’énergie de la mer !Le démon de Maxwell est une expériencede pensée imaginée par James Clerk Maxwellen 1871 : on considère une boîte contenantun gaz, à deux compartiments (A et B) séparéspar une porte P à l’échelle moléculaire ; un"démon" commande la porte.Le fonctionnement de la porte ne dépense pas d’énergie. Maxwell suppose, comme oncommençait à l’admettre à l’époque, que le gaz est constitué de molécules enmouvement. Le démon est capable de déterminer la vitesse des molécules, et commandel’ouverture ou la fermeture de la porte en fonction de l’état des molécules.



Historique :La température est supérieure dans le compartiment B à ce qu’elle est dans le compartiment A. Or la température estproportionnelle à la vitesse quadratique moyenne des molécules. Le démon laisse passer du compartiment B au compartiment Ales molécules de B plus lentes que la vitesse moyenne des molécules du compartiment A, et laisse passer de A à B les moléculesde A plus rapides que la vitesse moyenne des molécules dans B.

Résultat : la température dans B a augmenté tandis que celle de A est réduite : ona donc refroidi une source froide à partir d’une source chaude ! ! ! (Paradoxe levéepar Léon Brillouin).Prenons l’exemple d’une balle de tennis : La balle de tennis lâchée d’une certainehauteur, après quelques rebonds, va s’immobiliser au sol. Elle ne peut pas spontanémentrepartir d’une position d’équilibre au sol pour se mettre à rebondir de plus en plus hautet revenir dans la main. Les frottements de l’air sur la balle rendent le phénomèneirréversible. Pour le rendre réversible, il suffit de se pencher pour ramasser la balle et laramener à sa position initiale mais cela se fait au prix d’une dépense d’énergie mécanique.Le mouvement de la balle de tennis est un mouvement ordonné, et l’énergiecorrespondante se transmet progressivement en énergie cinétique des particules qui estun mouvement désordonné. Les termes "ordonné" et "désordonné" ne sont pasrigoureux, mais sont utilisés ici car ils sont imagés. On parlera plutôt dans ce cas demanque d’information.


Le second principe de la thermodynamique

Enoncé selon l’approche microscopiqueTout système est caractérisé par une fonction d’état S appelée entropie. Cettefonction entropie ne peut qu’augmenter pour un système isolè et fermé. Lafonction S tend vers une valeur maximum.L’entropie ne se définit de façon complète que dans le cadre de laphysique statistique : les systèmes thermodynamiques ont tendance à évoluer àpartir de configurations très ordonnées et statistiquement improbables vers desconfigurations désordonnées plus probables. Les systèmes tendent donc vers desétats de désordre moléculaire maximum, vers le chaos.Comme l’énergie interne, l’éntropie S d’un système est une fonction qui ne dépendque de l’état du système et non de la manière dont on a atteint cet état.L’entropie vient du grec "⌫⌧⇢o⇡⌘, "cause d’évolution", qu’on peut comparer àl’étymologie du mot énergie qui provient du grec "⌫"⇢�o⇣ ; "cause de travail".L’entropie S s’exprime en J/K.Supposons qu’on apporte, une quantité de chaleur Q à un système se trouvant àla température absolue T. La variation d’entropie du système (par rapport àl’extérieur) est : dS = dS

int

+ dSext



Pour une transformation réversible d’un système isolé[•]dS

int

est la variation d’entropie interne : elle traduit la création d’entropie àl’intérieur du système. Elle ne dépend pas des échanges avec le milieu extérieur etne varie qu’avec le degré d’irréversibilité de la transformation et le désordre quis’ensuit à l’intérieur du système.[•]dS

ext

est la variation d’entropie externe due aux échanges de chaleur dQ avec lemilieu extérieur.

dSext

= �QT

et �Sext

= Q

T

dS = dSint

+�Q

T(1)

Quand on a affaire à une transformation irréversible, l’évaluation de la variationd’entropie d’un système isolé peut se faire en considérant des processus réversiblesqui amèneraient le système au même état final. Du point de vue microscopique, ledésordre moléculaire d’un système et de son environnement reste constant si latransformation est réversible et qu’il augmente si la transformation est irréversible.



La fonction thermodynamique S• S est une fonction d’état alors :

� �S ne dépend pas du chemin suivi.� vérifie le théorème de Schwartz (f.d.t.e)

• S est une grandeur extensive (additive)• Si le système évolue de façon réversible (dS

int

= 0) de l’état initial i à l’étatfinal f : �S =

Rf

i

dS = Sf

� Si

=Rf

i

�QT

= Q

T

• Dans le cas d’une transformation irréversible ou spontanée à T (dSint

> 0) :dS = dS

int

+ dSext

= �QT

+ dSint

> 0 =) dS > �QT

) �S =Rf

i

dS>Rf

i

�QT

Conclusion �S � 0 (2)

• Pour une transformation adiabatique réversible dS = 0 c’est unetransformation isentropique

• S augmente avec le désordre interne.• Lorsque un système physique isolé évolue d’une manière spontanée vers

l’équilibre thermodynamique, cela se fait toujours dans le sens d’uneaugmentation de son entropie, jusqu’à l’équilibre ou elle sera maximale.



Cas d’un système en différentes situations de réversibilité• Un litre d’eau à 98�C est mis en contact brutal avec l’atmosphère à 20�C(chemin irréversible).• Cette même quantité d’eau est mise en contact avec l’extérieur de manière lenteet progressive (chemin réversible).

Calculer �Sint

S est une fonction d’état ) �Srev = �Sirrev

�Srev =R 293�K

371�Km.C .dT

T +�Sint = �236, 029cal/mol avec

�Sint(rev) = 0

Par ailleurs,

�Sirrev =m.C .(T

f

�Ti

)Text

+�Sint = �266, 21cal/mol +�Sint

)) �Sint(irrev) = 266, 21 � 236, 029 = 30, 18cal/mol > 0


Identités Thermodynamiques

Retour sur l’équilibre ThermodynamiqueL’état thermodynamique d’un système est stationnaire si les paramètres macroscopiquesqui définissent sont état (V,U,S,T,P,...) n’évoluent pas au cours du temps, malgré uneproduction d’entropie �S

int

> 0 et �S = 0 (production compensée par échange avec lemilieu extérieur).Un système est en équilibre thermodynamique lorsqu’il est stationnaire en l’absenced’échange avec l’extérieur, ce qui implique que sa production d’entropie soit nulle :

�Sint

= 0L’évolution d’un système est réversible si la production d’entropie est nulle, ce qui permetde considérer cette évolution comme une suite d’états d’équilibre thermodynamique.Pour une évolution réversible, les bilans entropique et énergétique s’écrivent :

�Sint

= dS � �QT

= 0 soit �Q = TdS

Réecriture de la différentielle de l’énergie internePour un systéme fermé, il y a deux variables thermodynamique indépendantes à choisir :parmi n,T,P,V,U,S,H,.....Toutes les fonctions thermodynamique peuvent s’exprimer dedeux variables indépendantes,pour l’énergie interne les variables naturelles sont S et V ;c’est à dire U = U(S, V) et par conséquent :

dU =

✓@U@S

◆

V

dS +

✓@U@V

◆

S

dV (3)


Identités Thermodynamiques

Réecriture de la différentielle de l’énergie interneD’aprés le 1er principe on a : dU = �Q � PdV = TdS � PdV (4)

Par identification : T =

✓@U

@S

◆

V

;P = �✓@U

@V

◆

S

(5)

On admet que : la température thermodynamique est égale à la températurecinétique et la pression thermodynamique est égale à la pression cinétique.

dU = TdS � PdV (6)

C’est l’identité thermodynamique fondamentale du système fermé : elle estapplicable pour une transformation quelconque, réversible, irréversible,quasi-statique, non quasi-statique.De même pour l’enthalpie H = U + PV :

dH = dU + PdV + VdP = TdS � PdV + PdV + VdP (7)dH = TdS + VdP

Donc : T =

✓@H

@S

◆

P

;V =

✓@H

@P

◆

S

(8)


Transformations du Gaz Parfait

Cas d’une adiabatique réversibleAdiabatique : �Q = TdS = 0 et dU = TdS �PdV puis dH = TdS +VdP ce qui donne :

dU = �PdV , et dH = VdP (9)

dH

dU= �V

P

dP

dV=

CP

dT

CV

dT= � (10)

On suppose que CV

et CP

sont constantes alors :

dP

P+ �

dV

V= 0 d(PV �) = 0 (11)

Les lois de Laplace pour une transformation isentropique :

PV � = Cte, TV ��1 = Cte, T �P��1 = Cte. (12)

Le travail réçu par le gaz pendant cette transformation (entre les températures Ti

et Tf

)se calcule par application du 1er principe : W = �U � Q = �U = nC

V

(Tf

� Ti

) et onpeut aussi retrouver le même résultat par intégration :

W = �Z

f

i

PdV = �Z

f

i

CtedV

V �= �P

i

V �i

1 � �

1

� � 1

�f

i

=Pf

Vf

� Pi

Vi

� � 1= n

R

� � 1(T

f

� Ti

)


Transformations du Gaz Parfait

Transformation quelconquePour un gaz parfait :

dS =dU

T+

PdV

T=

dH

T� VdP

T(13)

dS = CV

dT

T+

P

TdV = C

V

dT

T+ nR

dV

V(14)

�S = CV

lnT

T0

+ nR lnV

V0

(15)

S = S0

+ CV

lnT + nR lnV (16)où S

0

= �CV

lnT0

� nR lnV0

= �CP

lnT0

+ nR lnP0

Autre expression de l’entropie d’un gaz parfait : S = S0

+ CP

lnT � nR lnP

Remarque :En physique statistique, on démontre la relation de Boltzmann (k ln⌦) qui prouveque l’entropie d’un système est proportionnelle au nombre d’états microscopiques⌦ qui constituent un système.


Exemples de phénomènes irréversibles

Détente de Joule Gay-LussacDétente dans le vide d’un fluide calorifugé et sans pièce mobile (transformationirréversible) ; Que vaut �S entre l’état initial (P

0

, T0

, V0

) et l’état final (P , T ,V = 2V

0

) ?• Bilan d’énergie : Appliquons le premier principe : dU = �Q + �W = 0.

La détente de Joule Gay-Lussac est isoénergetique U = cte. Pour un gaz parfait :

dU = CV

dT = 0 ) T = Cte (17)

On conclut pour un gaz parfait la détente de Joule Gay-Lussac est isotherme.• Bilan entropique : Appliquons le deuxième principe :

�S = CV

lnT

T0

+ nR lnV

V0

(18)

comme T = T0

et V = 2V0

alors :�S = S � S

0

= nR ln 2 > 0 (19)

On conclue que la variation d’entropie pour une détente de Joule Gay-Lussac estbien positive (puisque V > V

0

).Ahmed Aamouche (ENSA, UCA) Chapitre IV: Le deuxième principe de la thermodynamique Mai 2017 16 / 47


Mélange de deux gaz parfaits à la même températureSoit deux gaz parfaits diatomiques différents occupant initialement les deuxcompartiments de même volume, d’un réservoir isolé. Les nombres de moles degaz et les températures sont les mêmes (n, T

i

). On enlève la cloison qui les sépareet on attend le nouvel état d’équilibre.

[•] Bilan énergétique : �U = �U1

+�U2

= 0avec �U

1

= �U2

= 5nR

2

(Tf

� Ti

). On en déduit : Tf

= Ti

[•] Bilan entropique : �S = �S1

+�S2

> 0Comme la température de chaque gaz n’a pas varié et que le volume occupé parchacun d’eux a doublé, l’expression générale de la variation d’entropie d’un gazparfait donne :

�S1

= nR ln V

f

V

i

= nR ln 2 , de même �S2

= nR ln V

f

V

i

= nR ln 2

Finalement, la variation d’entropie de l’ensemble est : �S = 2nR ln 2Elle est bien positive, ce que l’on interprète par le caractère irréversible dumélange des deux gaz.



Chauffage d’une masse d’eau sur une cuisinièreOn chauffe, sur une cuisinière, un litre d’eau de 290�K à 363�K . Pour calculer lavariation d’entropie de cette masse au cours de cette transformation irréversible,on imagine un chemin réversible entre les états extrêmes (V

i

= 1L, Ti

= 290�K )et (V

f

= 1L, Tf

= 363�K ), les variations de volume étant supposées négligeables.Il vient :

�S =R

�QT

=RMc dT

T

= Mc ln T

f

T

i

.

Si l’on suppose la chaleur massique constante (c = 4, 18kJ/kg), on trouve :�S = 4, 18. ln 363

290

⇠ 0, 938kJ/K

Quant à l’entropie reçue, de la part de la source qui fournit la chaleur à latempérature T

s

= 1000�K , elle vaut :S recue =

R�QT

s

= Q

T

s

= Mc T

f

�T

i

T

s

= 4, 18. 73

1000

= 0, 305kJ/K

On en déduit l’entropie produite : �Sint

= �S � S recue = 0, 633kJ/K et le degréd’irréversibilité :

�S

int

�S

= 1 � S

recue

�S

= 1 � T

f

�T

i

T

s

ln

T

f

T

i

= 0, 675



Mélange de glace et d’eau à température ambianteUn récipient, contenant un mélange de 0, 5kg de glace avec 0, 5kg d’eau liquide,est placé dans l’air ambiant, de température T

0

= 293�K et de pression 1 bar. Onconstate que 0, 2kg de glace a fondu au bout d’une certaine durée.Le bilan entropique s’écrit �S = S recue +�S

int

avec :S

recue =R

�QT0

= Q

T0= 0,2⇥334000

293 = 228J/K

puisque la chaleur de fusion de la glace est 334kJ/kg . Quant à la variationd’entropie, on obtient en considérant le chemin réversible de fusion de la glace à latempérature constante égale à T

f

= 273, 15�K :�S =

R�QT

f

= Q

T

f

= 0,2⇥334000273,15 = 244, 5J/K

La production d’entropie est donc : �Sint

= �S � S recue = 19, 5J/K , d’où ledegré d’irréversibilité :

�S

int

�S

= 1 � S

recue

�S

= 1 � T

f

T0= 0, 068



Détente de Joule ThomsonTransformation réversible

• Bilan énergétique : L’application du premier principe donnedU = �Q + �W = �PdV , ce qui implique :

dU + PdV = 0 (20)

Dans un compartiment, on peut écrire : dH = 0. On tire que H=Cte.Pour un gaz parfait : dH = C

P

dT = 0) T = Cte.

• Bilan entropique : Appliquons le 2ième principe

�S = CP

lnT

2

T1

� nR lnP

2

P1

(21)

Comme T1

= T2

et P1

> P2

alors :�S = �nR ln

P2

P1

> 0 (22)

Remarquons que dans ce cas : �Sint

= 0 et �S = S recue


Machines thermiques

Source de ChaleurThermostat : C’est un système fermé, n’échangeant aucun travail, et capabled’échanger de la chaleur sans que sa température T

th

varie. Donc dTth

= �Qth

/Cth

; unsystème réel s’approche d’autant mieux d’une source de chaleur que sa capacitéthermique est élevée.Lorsqu’un thermostat reçoit une quantité de chaleur Q

th

son entropie varie d’unequantité : �S

th

= Qth

/Tth

. Cela se voit en décomposant en une infinité detransformations infinitésimales avec pour chacune dU

th

= �Qth

= Tth

dSth

(c’est lepremier principe appliqué au thermostat).Lorsqu’un système évolue en échangeant de la chaleur avec un seul thermostat, on ditque la transformation est monotherme. Si il y a échange avec plusieurs sources dechaleur, la transformation est polytherme.Pour une transformation monotherme au cours de laquelle un système reçoit un travailW de l’extérieur, et une quantité de chaleur Q de la part du thermostat dont latempérature est T

th

.En appliquent à l’ensemble système+thermostat (considéré fermé),on obtient (si la transformation est réversible) :

�S � Q

Tth

(23)


Machines thermiques

Transformations cycliques�S � Q

T

th

est l’inégalité de Clausius qui traduit le fait que l’entropie de l’universne peut qu’augmenter. Dans ce cas, le système devant être en équilibre avecl’extérieur, on a T = T

th

à l’étape de la transformation où le système échange dela chaleur avec la source.En cas de transformation polytherme (N sources de chaleur) :

�S �NX

i=0

Qi

Tth,i

(24)

Les machines thermiques fonctionnent généralement grâce à un fluide auquel onfait subir des transformations cycliques au cours desquelles il y a échanged’énergie avec le milieu extérieur : le système reçoit (algébriquement) du travail etde la chaleur. D’après le 2ième principe de la thermodynamique, on sait qu’unemachine thermique en relation avec une seule source thermique ne peut, après uncycle de son évolution, fournir du travail au milieu extérieur.


Machines thermiques

Machines monothermesOn considère un système échangeant du travail avec l’extérieur (W à chaquecycle) et de la chaleur avec une source unique dont la température est T

1

(Q1

parcycle). En utilisant le premier et le second principe (sous la forme de l’inégalité deClausius) on obtient :

(W + Q

1

= 0 1er principe puisque �U = 0Q

1

/T1

0 2ieme principe puisque �S = 0

Il est alors clair que W � 0 : le système reçoit du travail de l’extérieur, ce n’estdonc pas un moteur. Cela correspond à l’énoncé de Kelvin du second principe :Une transformation dont le seul résultat est de transformer en travail de la chaleurextraite d’une seule source de chaleur est impossible.Il est donc nécessaire, si l’on veut éviter le cas sans grand intérêt d’une machinequi reçoit du travail et fournit de la chaleur, de considérer au moins deux sourcesthermiques : machines polythermiques.


Machines thermiques

Machines dithermesNotons T

1

la température de la source froide et T2

celle de la source chaude. Onapplique les deux principes de la thermodynamique :

(W + Q

1

+ Q2

= 0 1er principe sur un cycleQ

1

/T1

+ Q2

/T2

0 2ieme principe sur un cycle

Dans le cas où W = 0 on voit que Q2

� 0 : la source chaude a fourni de lachaleur (et la source froide en a reçue car Q

1

= �Q2

). Cela correspond à l’énoncéde Clausius du second principe : Il n’existe pas de processus dont le seul effetserait de faire passer de la chaleur d’une source froide vers une source chaude.On est naturellement conduit à distinguer deux types de machines thermiquescycliques :

• Les moteurs thermiques qui, après un cycle, fournissent effectivement dutravail au milieu extérieur (W < 0) en recevant de la chaleur (Q > 0).

• Les récepteurs thermiques qui, après un cycle, reçoivent effectivement dutravail du milieu extérieur (W > 0) en fournissant de la chaleur (Q < 0).


Machines thermiques

L’efficacité d’une machineOn définit l’efficacité ⌘ (souvent appelée abusivement "rendement") par :

⌘ =ce qui nous intéresse

ce que cela nous coûte

(25)

Dans le cas d’un moteur cela correspond à :

⌘ =�W

Q2

T2

� T1

T2

(26)

L’égalité est réalisée dans le cas d’un fonctionnement réversible.Dans le cas d’un récepteur :

I Pour un réfrigérateur ou climatiseur (Chaleur Q1 positive) :

⌘ =Q1

W T1

T2 � T1(27)

I Pour une pompe à chaleur (Chaleur Q2 négative) :⌘ =

�Q2

W T2

T2 � T1(28)


Machines thermiques

Cycle de Carnot (1824)On appelle cycle de Carnot le cycle réversible décrit par une machine ditherme : ce cycleest constitué de deux portions d’isothermes, de températures égales aux températuresdes sources, et deux portions d’adiabatiques séparant les deux isothermes.C’est le seul cycle moteur ditherme réversible. Pour être réversible, il faut en effet être(au moment de chaque échange) à la même température que la source avec laquelle onéchange de la chaleur, et lorsqu’on n’est pas en contact avec les thermostats (c.à.d.adiabatique), la réversibilité entraîne l’isentropie.D’où l’allure sur les diagrammes ci-dessous (diagramme de Clapeyron P,V)et (diagramme T,S).

Il est à noter que lesystème considéré n’estpas nécessairement ungaz parfait.Ahmed Aamouche (ENSA, UCA) Chapitre IV: Le deuxième principe de la thermodynamique Mai 2017 26 / 47

Machines thermiques

Cycle de Carnot (1824)S’il s’agit d’un moteur, le cycle est décrit dans le sens des aiguilles d’une montre,puisque :Q =

Rcycle

TdS > 0et �W =

Rcycle

PdV > 0Lorsqu’il est décrit dans le senstrigonométrique, c’est l’opposé.On le qualifie de cycle inversé.

Bilan dans le cas d’égalité de la formule de Clausius (23).

A ! B Détente monotherme à la température T2

; le système absorbe de lachaleur Q

2

= QAB

= T2

(SB

� SA

) cédée par un réservoir de chaleur à T2

.C ! D Compression monotherme à la température T

1

<T2

pendant laquelleune quantité de chaleur Q

1

= QCD

= T1

(SD

� SC

) = �T1

(SB

� SA

) quitte lesystème.(B ! C ; Détente et D ! A ; Compression) adiabatiques (isentropiques)Q

BC

= QDA

= 0Ahmed Aamouche (ENSA, UCA) Chapitre IV: Le deuxième principe de la thermodynamique Mai 2017 27 / 47

Machines thermiques

Cycle de Carnot (1824)

Le travail net fourni par le système (W ) pendant un cycle complet est égal à l’airede la surface délimitée par le chemin ABCDA : Travail effectué pendant la détentedu chemin ABC moins le travail reçu pendant la compression du chemin CDA.Pour le cycle �U = W + Q2 + Q1 = 0 ! W = �Q2 � Q1Aussi �S = 0 = �S1 +�S2 avec �S1 = Q1

T1de la source à T1 et �S2 = Q2

T2de la

source à T2 ! Soit Q2T2

+ Q1T1

= 0 et Q1Q2

= �T1T2

L’éfficacité du moteur thermique est le rapport du travail cédé par le moteur et de lachaleur absorbée Q2 par le système : ⌘ = �W

Q2= Q2+Q1

Q2= T2�T1

T2= 1 � T1

T2toujours

inférieur à 1 (avec T1 < T2) sauf si T1 = 0.


Machines thermiques

Conséquences du cycle de CarnotL’éfficacité du cycle de Carnot est indépendant de la substance constituant lesystème ! ⌘ ne peut être augmenté en changeant la substance de travail.Les pertes éventuelles par frottement rendrait irréversible la transformation etréduiraient encore plus cette efficacité.Les moteurs des automobiles à hautes performances ont des taux de compressionélevés afin d’obtenir des rapports de température plus élevés (le taux de compression

a = V

D

V

A

= V

C

V

B

=hT1T2

i 11�� , Voir TD ; application des lois de Laplace (12)).

Les centrales modernes à combustible fossile (charbon, mazout, gaz naturel) ontdes éfficacités plus faible (de l’ordre de 40%) comparativement à l’éfficacité deCarnot théorique (qui est de 52%) ! Problème d’excédent de chaleur cédéependant la condensation de la vapeur qui est envoyé soit dans un lac ou une rivièresoit dans l’atmosphère ! réchauffement climatique.Quel que soit le type de la centrale, la température T2 de fonctionnement esttoujours limitée par la nature des matériaux utilisés et par les problèmes deconstruction.

La température T1 est déterminée par celle des eaux de refroidissement enprovenance des lacs et des rivières.


Machines thermiques

Diagramme de Raveau

On représente Q1 en fonction de Q2en tenant compte des deux relationsW = �Q1 � Q2 (1er principe, droite en rouge)

etQ1

T1+

Q2

T2 0 (2ième principe, droite en vert).

Les cadres en amont de la courbe verte se rapportentà des cas impossibles d’après l’inégalité de Clausius (23).

Zone 1 : W < 0, Q1 < 0 et Q2 > 0, le système fournit du travail en prenant de la chaleur à la source chaude pour ladonner à la source froide. Il s’agit simplement du cycle moteur, appliqué aux moteurs thermiques.

Zone 2 : W > 0, Q1 > 0 et Q2 < 0, même configuration que précédemment mais il faut fournir du travail à ce systèmeafin qu’il accomplisse ce transfert de chaleur ; ce cas n’est donc pas intéressant car on fournit du travail pour réaliser unetransformation naturelle !

Zone 3 : W > 0, Q1 < 0 et Q2 < 0, sans grand intérêt puisque cette situation correspond au cas d’un cycle monotherme.

Zone 4 : W > 0, Q1 > 0 et Q2 < 0, le système prend de la chaleur à la source froide (et la maintient donc froide) pourla redonner à la source chaude. Il s’agit d’un cycle récepteur, relatif aux réfrigérateurs ou aux pompes à chaleur.

Remarque : pour les deux cycles dithermes "intéressants”, i.e. les cycles moteur(zone 1) et récepteur (zone 4), on remarquera que W et Q

1

sont de même signe.


Machines thermiques

Schémas illustratifs

Schéma d’un moteur (à droite)et d’un récepteur (à gauche) Schéma de deux machines de Carnot

moteur (à gauche) et un réfrigérateur (à droite).Elles sont réversibles, les flux de chaleurs

sont compensés : la première alimente la seconde

Machine Hypothétique

Schéma d’une machine hypothétique

Un moteur de grande efficacité (à gauche) qui pourrait alimenter un réfrigérateurréversible (à droite). Flux net spontané de chaleur positif depuis la source froidevers la source chaude sans apport net de travail d’après le second principe, c’est

simplement impossible.


Machines thermiques

Schémas illustratifs

Schéma d’un moteur (à droite)et d’un récepteur (à gauche) Schéma de deux machines de Carnot

moteur (à gauche) et un réfrigérateur (à droite).Elles sont réversibles, les flux de chaleurs

sont compensés : la première alimente la seconde

Machine Hypothétique

Schéma d’une machine hypothétique

Un moteur de grande efficacité (à gauche) qui pourrait alimenter un réfrigérateurréversible (à droite). Flux net spontané de chaleur positif depuis la source froidevers la source chaude sans apport net de travail d’après le second principe, c’est

simplement impossible.


Machines thermiques

Théorème de CarnotSachant que le signe des échanges d’énergie dans un moteur ditherme : W < 0,Q

2

> 0 et Q1

< 0Dans un tel moteur, en tenant compte du bilan entropique (avec l’entropieproduite en interne du système en cas d’irréversibilité),On a : Q

1

/T1

+ Q2

/T2

+�Sint

= 0 soit Q1Q2

= �T1T2

� T1�S

int

Q2avec �S

int

> 0

⌘ =�W

Q2

= 1 � T1

T2

� T1

�Sint

Q2

1 � T1

T2

(29)

Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Carnot :

Tous les moteurs dithermes réversibles ont une efficacité maximale qui ne dépendque des températures des sources. Ainsi, l’éfficacité ⌘ est limitée supérieurementpar une valeur maximale qui ne dépend que de la température des deux sources.


Machines thermiques

Rendement d’un moteur dithermeLa valeur maximale de l’éfficacité ⌘ est :

⌘max

= 1 � T1

T2

=T

2

� T1

T2

(30)

Ordre de grandeur : Si T1

= 300�K et T2

= 400�K , alors ⌘ 0, 25

Soulignons bien que cette limitation supérieure de l’éfficacité motrice de lamachine est due à la nécessité fondamentale d’avoir deux sources entre lesquellesil y a transfert thermique et que seule la différence des transferts effectifsQ

1

+ Q2

= |Q1

|� |Q2

| importe.On désigne par rendement du moteur ditherme, le rapport de l’éfficacité surl’éfficacité maximale (toujours inférieur ou égal à 1) :

r =⌘

⌘max

= 1 � T1

�Sint

Q2

(1 � T1T2)

(31)


Machines thermiques

Machines Frigorifiques

De telles machines inversées (par rapport au moteur),sont caractérisées par les échanges suivants : W > 0,Q

2

< 0 et Q1

> 0. Elles sont frigorifiques lorsqu’ons’intéresse à la chaleur qu’on enlève à la source froide ou pompes à chaleurlorsqu’on s’intéresse à la chaleur qu’on fournit à la source chaude.Le rôle d’une machine frigorifique (ex. réfrigérateur, congélateur) est d’enlever dela chaleur Q

1

à une source de basse température (le compartiment derefroidissement) et de libérer une chaleur Q

2

à un réservoir de température plusélevée T

2

(l’ambiance ou la pièce où se trouve la machine).


Machines thermiques

L’éfficacité FrigorifiqueOn définit l’éfficacité (ou coefficient de performance) d’un réfrigérateur par lerapport : ⌘

ref

= Q1W

= Q1�Q1�Q2

= 1

�1� Q2Q1

Sachant que, en fonction de l’entropie produite �Sint

> 0, le rapport :Q2Q1

= �T2T1

� T2�S

int

Q1avec Q

1

> 0.

⌘ref

=1

T2

/T1

� 1 + T2�S

int

Q1

1T2T1

� 1(32)

Comme dans le cas du moteur, l’éfficacité du réfrigérateur ⌘ref

est limitée par unevaleur maximale dépendente seulement des deux températures :

(⌘ref

)max

=1

T2T1

� 1=

T1

T2

� T1

(33)


= 260�K et T2

= 340�K , alors ⌘ 3, 25


Machines thermiques

Pompe à ChaleurOn définit l’éfficacité (ou coefficient de performance) d’une pompe à chaleur parle rapport : ⌘

pac

= �Q2W

= �Q2�Q1�Q2

= 1

1+ Q1Q2

Sachant que, en fonction de l’entropie produite �Sint

> 0, le rapport :Q1Q2

= �T1T2

� T1�S

int

Q2avec Q

2

< 0.

⌘pac

=1

1 � T1

/T2

� T1�S

int

Q2

11 � T1

T2

(34)

Comme dans le cas du moteur, l’éfficacité d’une pompe à chaleur ⌘pac

est limitéepar une valeur maximale dépendente seulement des deux températures :

(⌘pac

)max

=1

1 � T1T2

=T

2

T2

� T1

(35)


= 263�K et T2

= 293�K , alors ⌘ 9, 77


Machines thermiques

Les éléments de la détente et de la compressionOn distingue principalement deux types de machines thermiques :

Les machines dans lesquelles une masse déterminée d’un mélange gazeuxmonophasé subit un cycle.Les machines dans lesquelles la masse de fluide qui subit le cycle estconstituée de deux phases, l’une gazeuse et l’autre liquide.

Bien que le cycle de Carnot ne soit pas le cycle idéal d’une machine fonctionnantentre deux sources, il permet de comprendre le fonctionnement de tous les cyclesréels.Le cycle Carnot moteur fait apparaitre la Turbine qui, en fournissant au milieuextérieur un travail important (�W

t

> 0), fait passer le fluide de la source chaudeà la source froide. Parfois, on utilise un petit compresseur qui, en fournissant unfaible travail (W

c

<<Wt

), fait passer le fluide de la source froide à la sourcechaude.En inversant le sens d’évolution du fluide, on retrouve les mêmes éléments, mais lecompresseur fournit, dans ce cas, un travail W

c

important, alors que la turbine estremplacée par un détendeur qui fournit au milieu extérieur un travail faible :W

d

< 0 et �Wd

<<Wc

.Ahmed Aamouche (ENSA, UCA) Chapitre IV: Le deuxième principe de la thermodynamique Mai 2017 37 / 47

Machines thermiques

Moteur à explosion : Cycle de Otto (ou de Beau de Rochas)C’est un moteur à combustion interne dont l’allumage est effectué grâce à deséclateurs appelées bougies. En pratique, on fait subir à une masse d’air et decarburant (essence) un cycle constitué de deux isentropiques et de deux isochores.Un tel cycle a été proposé par le français Beau de Rochas (1862) et réalisé parl’allemand Otto (1878).

Un cylindre formant unechambre de combustionadmet, par une soupaped’admission, le mélangecombustible et le comprimejusqu’à la mise à feu, ce quiproduit la réaction chimiquede combustion ; les produitsgazeux de la réaction fournissent du travail au milieu extérieur puis sont expulsés àtravers une soupape d’échappement sous forme de gaz brûlés.


Machines thermiques

Moteur à explosion : Cycle de Otto (ou de Beau de Rochas)Le cycle est décrit en quatre temps :

a Le cylindre admet le mélange àtravers la soupape d’admissiondans un volume V1 (portionI �! 1).

b-c Les soupapes étant fermées,le mélange est compriméisentropiquement jusqu’au volumeV2 (portion 1 �! 2) jusqu’à l’explosion du mélange qui augmente la pression(portion 2 �! 3).

d Les soupapes étant toujours fermées, les produits de la combustion se détendentisentropiquement en repoussant fortement le piston (portion 3 �! 4) jusqu’à uneposition extrême.

e La soupape d’échappement s’ouvre, ce qui diminue brutalement la pression(4 �! 1) et les gaz brûlés sont évacués.

Dans la pratique, les moteurs à explosion fonctionnent généralement avec quatrecylindres, ce qui permet de réaliser une rotation quasi uniforme du moteur.


Machines thermiques

Moteur à explosion : Cycle de Otto (ou de Beau de Rochas)Il faut aussi noter que le moteur à explosion est un système ouvert, l’étudethermodynamique qu’on effectuera ici est relative à un système fermé constituépar une masse déterminée de fluide au cours d’un cycle.L’efficacité ⌘

mae

du moteur à explosion est obtenue en faisant le rapport del’opposé �W du travail reçu sur la chaleur Q

2

que le moteur reçoit de la sourcechaude, le long de la portion 2 �! 3 :

⌘mae

=�W

Q2

=Q

1

+ Q2

Q2

= 1 +Q

1

Q2

(36)

Puisque Q1

étant la chaleur provenant de la source froide le long de la portion4 �! 1, on a : La variation énergétique est nulle le long du cycle�U = W + Q

1

+ Q2

= 0 avec Q1

< 0, Q2

> 0 et W < 0.On exprime généralement ⌘

mae

en fonction du taux de compression a = V1

/V2

.On a, puisque le gaz évolue à volume constant le long des portions 2 �! 3 et4 �! 1 (sans changement des énergies cinétique et potentielle) :Q

2

= �U2!3

= CV

(T3

� T2

) et Q1

= �U4!1

= CV

(T1

� T4

)


Machines thermiques

Moteur à explosion : Cycle de Otto (ou de Beau de Rochas)D’autre part, les portions 1 �! 2 et 3 �! 4 étant des isentropiques d’un fluideassimilable à un gaz parfait, on a les relations suivantes les températures et lesvolumes (à partir des lois de Laplace (12)) :

T2

T1= (

V1

V2)��1

etT3

T4= (

V4

V3)��1

= (V1

V2)��1

(37)

d’où T2T1

= T3T4

= T3�T2T4�T1

= a��1

On en déduit : ⌘mae

= 1 � T4

� T1

T3

� T2

= 1 � 1a��1

(38)

Ainsi l’éfficacité de ce moteur ne dépend que du taux de compression a.Ordre de grandeur : Comme le mélange est pratiquement de l’air assimilable à un gazparfait diatomique, � ⇠ 1, 4 et que a ⇠ 9, on trouve ⌘

mae

⇠ 0, 58.Remarques :

Un moteur de Carnot idéal fonctionnant entre deux sources aux températuresextrêmes T3 ⇠ 1220�K et T1 ⇠ 293�K aurait une éfficacité de 1 � T1/T3 = 0, 76

Le cycle réel du moteur à explosion a l’allure du cycle théorique précédent mais endiffère sensiblement, au voisinage des points extrêmes 1, 2, 3 et 4. (Voir TD)


Machines thermiques

Moteur d’allumage par compression : Cycle DieselLe moteur Diesel est un moteur à combustioninterne dont l’allumage n’est pas assuré par unebougie mais par une compression élevée, ce quel’on réalise sans risque d’inflammation encomprimant l’air seul et en injectant le carburantau point 2 du diagramme.

Ce moteur a été mis au point par l’allemand Diesel(1893), motivé par la recherche d’un moteur thermiquefonctionnant avec un combustible rudimentaire. Le cycleressemble à celui du moteur à explosion, mais la portionisochore 2 �! 3 est maintenant remplacée par uneisobare car le combustible est injecté dans le moteur Diesel sous pression en 2, de façonassez progressive.Le cycle a six étapes et le piston fait deux montées et deux descentes, comme dans le casprécédant on parle aussi d’un moteur à quatre temps :

I �! 1 Le cylindre admet l’air seul à travers une soupape d’admission dans unvolume V1.


Machines thermiques

Moteur d’allumage par compression : Cycle Diesel1 �! 2 Les soupapes étant fermées, l’air est comprimé isentropiquement jusqu’auvolume V2.

2 �! 3 Les soupapes étant toujours fermées, on introduit le combustible en 2 et lacombustion a lieu.

3 �! 4 Les produits de la réaction se détendent isentropiquement en repoussantfortement le piston jusqu’à la position extrême.

4 �! 1 La soupape d’échappement s’ouvre, ce qui diminue brutalement la pression.

1 �! I Les gaz brulés sont évacués.

Comme pour le moteur à explosion, on considère un système fermé. L’efficacité ⌘mac

dumoteur Diesel est obtenue en faisant le rapport de l’opposé �W du travail reçu sur lachaleur Q2 que le moteur reçoit le long de la portion 2 �! 3 : ⌘

mac

= �W

Q2= 1 + Q1

Q2avec Q2 > 0, Q1 < 0 et W < 0.Exprimons ⌘

mac

en fonction du taux de compression a = V1/V2 et du rapport de détenteb = V1/V3On a, puisque Q2 est reçue le long de la portion 2 �! 3 à pression constante :Q2 = �H2!3 = C

P

(T3 � T2) et Q1 est fournie le long de la portion 4 �! 1 à volumeconstant : Q1 = �U4!1 = C

V

(T1 � T4)


Machines thermiques

Moteur d’allumage par compression : Cycle Dieseld’où :

⌘mac

= 1 +CV

(T1 � T4)CP

(T3 � T2)= 1 +

T1 � T4

�(T3 � T2)= 1 � T4/T3 � T1/T3

�(1 � T2/T3)(39)

En outre, les portions 1 �! 2 et 3 �! 4 sont des isentropiques réversibles, on trouveradonc les relations suivantes entre les températures et les volumes :

T2

T1= (

V1

V2)��1

etT3

T4= (

V4

V3)��1

= (V1

V3)��1

(40)

Soit T1T2

= a��+1 et T4T3

= ( 1b

)��1

Comme, le long de la portion 2 �! 3 la pression est constante, l’équation d’état des gazparfait donne : P2V2

T2= P3V3

T3= P2V3

T3d’où T2/T3 = V2/V3 = b/a et

T1T3

= T1T2

⇥ T2T3

= a��+1b

a

= a��bOn en déduit l’expression de l’éfficacité du moteur Diesel :

⌘mac

= 1 � b��1 � b.a��

�(1 � b/a)= 1 � b� � a��

�(b�1 � a�1)(41)

Ordre de grandeur : Pour � ⇠ 1, 4, a ⇠ 14 et b ⇠ 9, on trouve ⌘mac

⇠ 0, 62. (Voir TD)


Machines thermiques

Autres cyclesDans le cas des propulsions à grande vitesse (en atmosphère raréfiée), les moteursprécédents sont remplacés par les moteurs à réaction dont le mode defonctionnement est l’éjection à grande vitesse de gaz de combustion. Ce cycle, ditde Joule ou Brayton, ressemble aux précédents : il est constitué de deuxisentropiques et de deux isobares. Les quantités de chaleur sont donc reçues àpressions constantes, ce qui présente un avantage technique intéressant. On utilisece cycle dans les moteurs de fusées et les turbines à gaz. Dans ce dernier cas, letravail fourni au milieu extérieur sert à la mise en rotation d’une machinetournante, par exemple un alternateur pour la production d’électricité. C’est aussile cas des statoréacteurs ou des turboréacteurs ou des turbopropulseurs.


Machines thermiques

Autres cyclesLe moteur de Stirling (1816) forme un système fermé (comme un réfrigérateur) oùle fluide (de l’air) est contenu dans une enceinte fermée et chauffée par une sourcethermique extérieure. La combustion est donc externe, ce qui autorise tous lestypes de combustibles. On comprend, dès lors, l’engouement actuel pour ce moteurconsidère le plus écologique. Le cycle comporte deux isothermes et deux isochores.Ce moteur utilise deux pistons. Le piston déplaceur met alternativement le gaz encontact avec la source chaude et la source froide. Le piston de travail opère ladétente et la compression. Le gaz se déplace à travers une grille métallique. Lerôle de cette dernière étant de récupérer la chaleur fournie par le système lors durefroidissement isochore et de restituer cette énergie au gaz lors du réchauffementisochore (l’énergie est ”stockée” dans la grille).


Machines thermiques

Autres cycles : Moteurs à vapeurLes centrales thermiques classiques et nucléaires utilisent souvent de l’eau commefluide caloporteur. Elles ne différent que par la nature du combustible utilisé pourfaire fonctionner la bouilloire : dans le premier cas, le combustible est du charbon,du fuel ou du gaz, alors que dans le second, la chaleur est fournie par les neutrons(résultants de la fission de l’uranium).Ces centrales utilisent principalement deux cycles similaires, dite de Rankine ou deHirn :


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Chapitre IV: Le deuxième principe de la thermodynamiqueaamouche.e-monsite.com/medias/files/chapitre4deuxiemeprincipe... · Résultat : la température dans B a augmenté tandis que