Chapitre2 Géodesie cartographie

GODSIE, CARTOGRAPHIE

GODSIE,

CARTOGRAPHIE

GNRALITS ET DFINITIONSLa godsie est une des sciences de base ncessaires au topographe. Sa matrise nest pasindispensable : elle relve du domaine du spcialiste mais un aperu centr sur lesincidences de la forme et des caractristiques de la terre sur la topographie est indispen-sable. Ceci permet dintroduire et de justifier les problmes de projection plane et leursincidences sur la carte de base, les choix de points et de surfaces de rfrence pour unsystme de coordonnes gnral, etc. Mais, dfinissons dans un premier temps, levocabulaire de base.

Topomtrie : du grec topos signifiant le lieu et mtrie signifiant lopration de mesurer.Cest donc lensemble des techniques permettant dobtenir les lments mtriquesindispensables la ralisation d'un plan grande ou trs grande chelle (voir Lever dedtail, chap. 8).Ces lments ncessitent diffrentes mesures sur le terrain suivies de nombreux calculs,schmas et croquis. Cest un domaine vaste qui demande de nombreuses comptencesauxquelles loutil informatique est aujourdhui indispensable.Topographie : association de topos et de graphein qui, en grec, signifie dcrire. Cestdonc la science qui donne les moyens de reprsentation graphique ou numrique dunesurface terrestre.

La nuance entre ces deux techniques rside dans le fait quen topographie le terrain estreprsent in situ alors quen topomtrie les calculs et reports sont des phases ultrieuresau travail sur le site.

Topologie : cest la science qui analyse les lois gnrales de la formation du relief par lesdformations lentes des aires continentales appeles mouvements pirogniques,


attnus ultrieurement par les actions externes : rosion due la mer, au vent, la glace, leau et la neige.

Godsie : cest la science qui tudie la forme de la terre. Par extension, elle regroupelensemble des techniques ayant pour but de dterminer les positions planimtriques etaltimtriques dun certain nombre de points godsiques et repres de nivellement.

Cartographie : cest lensemble des tudes et oprations scientifiques, artistiques ettechniques intervenant partir dobservations directes ou de lexploitation dun docu-ment en vue dlaborer des cartes, plans et autres moyens dexpression. Ci-aprs, estdonne une classification des cartes en fonction de leur chelle et de leur finalit :

Canevas : cest lensemble des points connus en planimtrie et/ou en altimtrie avec uneprcision absolue homogne.

FORMES ET DIMENSIONS DE LA TERRE

Gode

En apparence la Terre a la forme dune sphre. En fait, elle est lgrement dforme parla force centrifuge induite par sa rotation autour de laxe des ples : la Terre nest pas uncorps rigide. Cette dformation est relativement faible : tassement de 11 km au niveaudes ples par rapport un rayon moyen de 6 367 km et renflement de 11 km au niveaude lquateur. Elle a donc laspect dun ellipsode de rvolution dont le petit axe est laxede rotation : laxe des ples (fig. 2.2.).

chelles Finalit

1/1 000 000 1/500 000 Cartes gographiques

1/250 000 1/100 000 Cartes topographiques petite chelle

1/50 000, 1/25 000 (base), 1/20 000 Cartes topographiques moyenne chelle (IGN)

1/10 000 Cartes topographiques grande chelle

1/5 000Plans topographiques dtude, plans durbanisme

1/2 000Plans doccupation des sols (POS), descriptifs parcellaires

1/1 000, 1/500 Plans parcellaires, cadastraux urbains

1/200Plans de voirie, dimplantation, de lotissement

1/100 Plans de proprit, plans de masse

1/50 Plans darchitecture, de coffrage, etc.


La Terre est une surface en quilibre. La surface du niveau moyen des mers et ocansau repos na pourtant pas une forme rgulire et ne concide ainsi pas avec un ellipsodede rvolution : elle nest pas rgulire mais ondule, prsente des creux et des bosses(fig. 2.1.). Par exemple, la surface de la mer se bombe au-dessus dun volcan et se creuseau-dessus des grandes fosses ocaniques parce que les reliefs crent des excs ou desdficits de matire produisant ainsi des variations locales du champ de pesanteur. Or lasurface dun fluide en quilibre est en tout point normale aux forces de pesanteur : on ditquelle est quipotentielle du champ de pesanteur. La Terre, non rigide, peut treconsidre comme un fluide ; la direction des forces de pesanteur varie dun endroit unautre en raison de la rpartition htrogne de la matire composant la Terre ; sa surfacenest donc pas rgulire.

La surface des mers et ocans au repos recouvrant toute la Terre est appele gode(fig. 2.1.) ; voir aussi le paragraphe 6.1.

Le gode, niveau des mers prolong sous les continents, est donc une surface gauche laquelle on ne saurait appliquer des relations mathmatiques de transformation. Il est lasurface de rfrence pour la dtermination des altitudes, autrement dit la surface deniveau zro. En ralit, la rfrence en altitude dpend du choix du repre fondamentalet du systme daltitude. Il sensuit que la surface de niveau zro est lgrement diff-rente du gode ; lcart est constant et reprsente laltitude du point fondamental au-dessus du gode (se reporter au paragraphe 6.3.).

Remarque

Lorsque le topographe (ou le maon) cale la bulle de son niveau, il matrialise un plantangent au gode qui correspond la surface dquilibre des eaux (pente dcoulementdes eaux nulle). On obtient ainsi partout lorientation de la verticale physique dunlieu. Il est intressant de noter quaucune autre rfrence noffre de telles facilits.

Fig. 2.1. : Ellipsode et gode


Ellipsode de rvolution

Dfinitions

La surface la plus proche du gode est un ellipsode de rvolution, cest--dire unvolume engendr par la rotation dune ellipse autour dun de ses deux axes. La terretournant autour de laxe des ples (de demi-longueur b, fig. 2.2.), cette rotation engendreun cercle quatorial de rayon a.

Les dimensions de lellipsode sont dtermines en comparant la distance par mesuresgodsiques et la diffrence de latitude par mesures astronomiques entre deux pointsdun mme mridien.

Un mridien est lintersection dela surface de lellipsode avec unplan contenant laxe des ples :cest donc une ellipse.

Un parallle est lintersection dela surface de lellipsode avec unplan perpendiculaire laxe desples : cest donc un cercle.

Tous les mridiens sont gauxentre eux ( quelques carts prs).Leur rayon de courbure diminuedes ples vers lquateur, doncleur courbure (inverse du rayon)augmente.

Il nexiste pas un ellipsode global unique mais plusieurs ellipsodes locaux dfinis pourchaque pays, chacun adoptant un ellipsode le plus proche possible du gode local. Ceciexplique que les ellipsodes diffrent dun pays lautre. Pour la godsie franaise, onutilise lellipsode dfini en 1880 par Clarke et dont les caractristiques, trs lgrementmodifies par lIGN par rapport lellipsode initial, sont les suivantes :

l Demi-grand axe : a = 6 378 249,20 ml Demi-petit axe : b = 6 356 515,00 m

l Aplatissement : 1

l Excentricit e :

1 f vient de flattening en anglais.

Fig. 2.2. : Ellipsode de rvolution

f a ba

------------

1293 466 021 3,-----------------------------------= =

e2 a

2 b2a

2---------------- 0 006 803 487 646,= =


Cest lellipsode de rfrence actuellement utilis comme surface de projection pourltablissement de cartes et plans assez tendus.

Il a t choisi le plus proche possible du gode, cest pourquoi :

l il est tangent au gode au Panthon, Paris ;l les carts entre gode et ellipsode ne dpassent pas 14 m en France (voir 6.1).

Ces caractristiques sont en cours de modification afin de mettre en place un systmeinternational, de plus en plus ncessaire. Le dveloppement du GPS et des travaux degodsie raliss au niveau europen imposent ces modifications (voir 5.3).

Autres ellipsodes

Comme nous lavons dit au paragraphe prcdent, dautres ellipsodes ont t ou sontutiliss. Leurs caractristiques sont les suivantes :

Lellipsode Clarke 1880 (IGN) est associ au systme national appel Nouvelle Trian-gulation Franaise utilisant la projection Lambert (voir 3.4).Le systme WGS 84 (World Gnral System 1984) sert de base au systme gocentriquede rfrence utilis en GPS (chap. 7 1). Son ellipsode IAGRS 80 est trs proche deGRS 80 (Geodetic Reference System 1980).Le systme European Datum 1950 utilise la projection Universal Transverse Mercator(voir 3.5).

Le tableau suivant donne les dcalages dorigine tx, ty et tz connus quelques mtres prsdans un repre gocentrique dfini au paragraphe 2.2.3.1. pour les couples IAGRS 80 -Clarke 80 et Hayford 09 - Clarke 80. Pour le premier couple, sont galement donns lefacteur dhomothtie k et les rotations daxes rx, ry, et rz.

Ellipsode grand axe a (m)

petit axe b (m)

Excentricit e1/aplat. 1/f

Syst. godsiquePoint fondamental

ProjectionMridien origine

Clarke 1880

6 378 249,200

6 356 515,000

0,082 483 256 763

293,466 021 3

NTF

Panthon

Lambert

Paris

Hayford 1909

6 378 388,000

6 356 911,946

0,081 991 890 22

297,000 000 0

ED 50

Potsdam

UTM

Greenwich

GRS 19806 378 137,000

6 356 752,300

0,081 819 218 06

298,257 025International

IAGRS 1980

6 378 137,000

6 356 752,314

0,081 819 191 31

298,257 222 101WGS 84


Ces paramtres permettent detransformer les coordonnes depoints dun systme un autre parune similitude euclidienne (adap-tation du type Helmert dfinie autome 2, chapitre 1, 10.3) troisou sept paramtres selon la pr-cision cherche (voir aussi tome 2chap. 5 8.2.8). Pour la cartogra-phie petite chelle, la prcisionde quelques mtres est suffisanteet on peut ainsi se contenter decette similitude trois paramtres.Pour plus de prcision (dcimtri-que), on utilise une similitude sept paramtres dtermins localement par observationde points connus dans deux systmes diffrents. Par exemple, dans les prochaines di-tions de ses fiches de points godsiques, lIGN proposera les paramtres de la transfor-mation trois ou sept paramtres la mieux adapte chaque lieu pour passer du systmeWGS 84 (ellipsode IAGRS 80) au systme NTF (ellipsode Clarke 80) puis au systmeRGF 93 (voir 5.3).

Systmes de coordonnes

Systme gocentrique

Un systme de rfrence gocen-trique est un repre (O, X, Y, Z)(fig. 2.3-a.) tel que :l O est proche du centre des

masses de la terre (au mieux quelques dizaines de mtresprs pour les systmes ralisspar godsie spatiale) ;

l laxe OZ est proche de laxe derotation terrestre ;

l le plan OXZ est proche du plandu mridien origine.

Dans un systme de rfrence godsique, un point de la crote terrestre est considrfixe bien quil soit soumis de faibles mouvements, dus aux mares terrestres, duneamplitude infrieure 30 cm et aux mouvements tectoniques, provoquant des dplace-ments infrieurs 10 cm par an.

De :Vers :

IAGRS 80 Clarke 80

Hayford 09 Clarke 80

tx (m) 168 84

ty (m) 60 37

tz (m) 320 437

rx (gon) 0

ry (gon) 0

rz (gon) 0,554

k = 1 + d 1 21,98 . 108

Fig. 2.3-a. : Coordonnes gocentriques


Systme Gographique

Laxe de rotation de la terre estlaxe des ples PP. Le cercle per-pendiculaire laxe des ples estlquateur. La demi-ellipse mri-dienne passant par les ples et parun point A est la mridienne de A(fig. 2.3-b.).Un point sur lellipsode estrepr par sa longitude et sa lati-tude (rapportes la normale (na) lellipsode en A).Elles sont dfinies ci-aprs.

l Longitude () : la longitude dun lieu A est langle didreform par le mridien du lieuavec le mridien origine. Elleest comprise entre 0 et 180 Est ou Ouest. Le mridien origine international est celuide Greenwich (observatoire de la banlieue de Londres).

l Latitude () : la latitude de A est langle que fait la verticale (na) de A avec le plande lquateur. Elle est comprise entre 0 90 Nord ou Sud. Les cercles perpendicu-laires la ligne des ples PP sont appels parallles : ils sont parallles au plan delquateur.

Hauteur ellipsodale (h) : un point A situ sur la surface de la terre et sur la mmeverticale que A, on associera une troisime coordonne correspondant la hauteur au-dessus de lellipsode, note h, mesure suivant la normale (na).

RemarquePar la suite, nous parlerons plus volontiers de coordonnes godsiques puisquellessont associes un ellipsode donc un systme godsique donn.

Systmes godsiques

Un systme godsique est dfini par :

l un ellipsode, choisi le plus proche possible du gode local ;l un systme de reprsentation plane ;l un point fondamental (sauf dans le cas dun systme gocentrique o il ny a pas de

point fondamental) dont les coordonnes sont dtermines par des mesuresastronomiques ; en ce point, la normale lellipsode est confondue avec la verticalecest--dire la normale au gode.

Fig. 2.3-b. : Coordonnes gographiques


La ralisation dun systme godsique est concrtise sur le terrain par un rseau depoints connus en coordonnes dans ce systme. Cette ralisation tant fonction destechniques de mesure, de calcul et de leurs volutions, il peut exister plusieurs ralisa-tions dun mme systme godsiques.

Calculs sur lellipsode

Courbes sur une surface

Normale, plan tangent et courbure

Toutes les tangentes (Mt, Mt) aux courbes tracesau point M sur une surface () sont dans un mmeplan appel plan tangent au point M ().La perpendiculaire au point M au plan tangent estappele normale la surface.

La courbure est linverse du rayon .

Section normale

Un plan contenant la normale( ) coupe la surface () selonune courbe plane appele sectionnormale. Quand le plan normal(P) pivote autour de la normale( ), la courbure de la sectionvarie entre deux valeurs extrmes et (fig. 2.5.).Ces deux valeurs correspondent deux sections normales perpen-diculaires (S) et (S) appelessections normales principales.

La courbure totale de la surface en M est le produit .. On note que cette courburetotale, produit de deux courbures, nest pas homogne une courbure.

Appliquons ces proprits lellipsode de rvolution.

Fig. 2.4. : Normale une surface ( )

n

1R---=

Fig. 2.5. : Section normale

n

n


Les sections normales principales en M(fig 2.6.) sont les suivantes :l lellipse mridienne, qui est la trace de

lellipsode de rvolution autour de laxedes ples sur le plan de cet axe ; son rayonde courbure est CM ; on le note ;

l la section normale perpendiculaire derayon de courbure JM not ; ce rayon estappel grande normale et parfois not ( ).J est lintersection de la normale et du petitaxe.

La courbure totale est : .

Si le point M est sur lquateur, la sectionnormale lellipse mridienne est lquateur etle rayon de courbure est : JM = a ; J est situ au point O.

Si le point M est aux ples, la section perpendiculaire lellipse mridienne est aussi uneellipse mridienne : alors = .

En dfinissant lexcentricit e telle que : ; on dmontre que :

dune part avec ;

dautre part (e2 = 6,803 487 646 . 103, ellipsode de Clarke).

On retrouve alors que :

l pour un angle , tel que = 0 gon lquateur, on obtient : = a 6 378,25 km :cest le rayon du cercle correspondant lquateur ; le point J se situe au point O ; = b2/a 6 334,85 km : cest le rayon de courbure lquateur de lellipse mri-dienne.

l pour un angle tel que = 100 gon au ple, J et C sont confondus ; = = a2/b 6 400,06 km : cest le rayon de courbure des ellipses mridiennes aux ples.

ExempleSur le parallle = 49 gon, on a :

l le rayon de courbure de lellipse mridienne 6 366,29 km.l le rayon de courbure de lellipse normale principale 6 388,78 km.

Fig. 2.6. : Section normale de lellipsode

N

1 ----------=

e2 a

2 b2a

2----------------=

a 1 e2

( )w

3----------------------= w 1 e2 sin2=

aw----=


Courbe quelconque sur une surface

Considrons une courbe gauche sur laquelle est dfinie en M une tangente Mt. Le planlimite P de deux tangentes infiniment voisines est appel plan osculateur et la perpendi-culaire la courbe situe dans ce plan est la normale principale ( ).En gnral, la normale principale est diffrente de la normale la surface ( ).

Les courbes telles que ( ) confondue avec ( ) sont appeles godsiques ; elles ont desproprits intressantes puisque :

l entre deux points, la godsique est la ligne de longueur minimale ;l la courbure dune godsique est la courbure de la section normale qui lui est

tangente.

Godsiques

Godsiques de la sphre

Les godsiques de la sphre sont des grands cercles. En tous points de ces cercles, lanormale principale passe par le centre de la sphre ; elle est donc confondue avec lanormale la sphre. Les angles compris entre une godsique et les mridiens sont tousdiffrents.

Pour aller du point M au point M, le plus court chemin est la godsique ; ces grandscercles, trajectoires de longueur minimale, sont appels orthodromie (fig. 2.9.).

N

n

Fig. 2.7. : (P) plan osculateur Fig. 2.8. : Godsique

N n


On dfinit la loxodromie comme une courbe qui coupe tous les mridiens sous un azimutconstant Z (voir la dfinition dun azimut au 4.2) ; entre les deux points A et B, lechemin le plus court est la godsique ; la loxodromie, plus facile suivre, oblige parcourir un trajet plus long (fig. 2.10.).

Godsiques de lellipsode

Entre deux points A et B de lellipsode passe une godsique (G) qui reprsente latrajectoire la plus courte de A B. (G) est une courbe gauche, trs voisine des sectionsnormales (naB) et (nbA).Les angles mesurs depuis les points A et Bsont les angles didres entre les plans verticauxcontenant chacun des points viss A et B,larte tant la verticale de chaque station ; onassimile les verticales de chaque station auxnormales la surface et les traces des plansverticaux aux godsiques joignant les points.Le point B est repr depuis le point A parlazimut Az (fig. 2.11.). Langle est comptpositif en sens horaire depuis le mridien de Avers la vise AB, et la distance AB est la lon-gueur de la godsique.

Fig. 2.9. : Orthodromie Fig. 2.10. : Loxodromie

Fig. 2.11. : Godsique de lellipsode


Conclusion

Il nexiste pas de calculs trigonomtriques sur lellipsode. On est donc amen utiliserla trigonomtrie sphrique (tome 2 chap. 5 4.4) et adopter la sphre se rapprochantle plus de lellipsode dans la rgion considre.

Son rayon RN est gal :

Au voisinage du parallle 49 gon pour lellipsode Clarke 1880, on a RN = 6 377,53 km.

En reprenant les expressions de et , rayons de courbure dessections normales principales, ( 2.3.1.2), on obtient :

avec : a, longueur du demi grand axe de lellipsode en mtre;e, excentricit ( 2.2.2) ;, latitude de la rgion considre.

a) Calculez le rayon RN de la sphre au voisinage des parallles 52 gon et 55 gon.b) Calculez le rayon de la sphre RN aux latitudes extrmes de la France mtropolitaine(environ 47 et 57 gon).

a) 6 379,58 et 6 381,62 km.b) 6 376,16 et 6 382,96 km. On peut donc prendre comme valeur moyenne de RN enFrance : RN 6 380 km. On trouve aussi comme valeur moyenne du rayon terrestre

.

REPRSENTATION PLANE DE LELLIPSODE

Introduction

Tous les systmes de projection de la surface dun ellipsode sur un plan dformentles longueurs.

RN =

RNa 1 e2

1 e2 sin2-------------------------------=

Application

Rponse

R a b+2

------------= 6 367 km


Par suite, la reprsentation plane de lellipsode nest quune correspondance ponc-tuelle entre points de lellipsode M (, ) et points du plan m (E, N), E pour coordonneEst (ou x) et N pour Nord (ou y) (fig. 2.12.).Les figures traces sur lellipsode seront donc dformes quelle que soit la reprsenta-tion adopte.

Dformations des figures

Calcul du module linaire

Soit un arc de courbe sur lellipsodeauquel correspond un arc de courbe sur le plan (fig. 2.13.). On appelle modulelinaire m le rapport :

On remarque que le module linaire mvarie avec la position de I et la direction deIJ.

m est aussi appel module de rduction la projection : cest le rapport de la longueurde limage sur un plan de projection dune courbe la longueur de la courbe sur lellip-sode.

Fig. 2.12. : Reprsentation plane

Fig. 2.13. : Dformation dun arc

IJ

)

ij)

mijIJ------

dsdS------= =

))


Indicatrice de tissot

En un point I, llment darc de longueur dS a pour image de longueur m . dS= ds. Lorsque J dcrit le cercle de centre I de rayon dS, j dcrit autour de i une ellipse derayon vecteur ds = m . dS. Limage du cercle de rayon dS = 1 est une ellipse de demi-axesa et b, appele indicatrice de Tissot (fig. 2.14.). Lindicatrice de Tissot reprsente localement les variations de m ; elle change de dimen-sions en tout point.

Altrations linaire et angulaire

Le coefficient daltration linaire est dfini par :

Laltration angulaire est la diffrence des angles entre les arcs lmentaires correspon-dants, soit .

Classification des reprsentations

Toutes les reprsentations dforment les distances. Il est toutefois possible de calculerdes correspondances.

l Si les angles entre courbes correspondantes sont gaux, on dit que la reprsenta-tion est conforme. m est uniquement fonction du point I et indpendant de la directionIJ ; lindicatrice de Tissot est un cercle (fig. 2.15.).

On utilise principalement deux types de reprsentation :

l le systme de projection conique o lellipsode est projet sur le cne tangent un parallle ; donc seule la rgion proche de celui-ci est correctement reprsente ;

IJ

)

ij)Fig. 2.14. : Indicatrice de Tissot

k ds dSdS

------------------ m 1= =

ij , ik( ) IJ , IK( )


le systme de projection cylindrique o lellipsode est projet sur un cylindre circons-crit le long de lquateur ou dun mridien ; dans ce dernier cas, la reprsentation est ditecylindrique transverse (fig. 2.16.) ; le dveloppement du cylindre permet de ne repr-senter correctement que les seules rgions voisines du mridien de tangence.

l Si les surfaces des figures lmentaires sont gales, on dit alors que la reprsenta-tion est quivalente.

Par exemple, la projection de Bonne, utilise par F. Bonne au XVIIIe sicle pour tablir lacarte dtat-major au 1/80 000, est dduite de la projection conique dont le parallleorigine et le mridien origine sont conservs. On trace les parallles concentriques auparallle origine aprs avoir report leurs espacements le long du mridien origine. Ontrace ensuite les mridiens aprs avoir report leurs espacements sur chaque parallle ;on obtient alors des quadrilatres dont les dimensions (espacements des parallles et desmridiens) sont conserves, donc la superficie lest galement. Mais les angles et lesdistances tant dforms, ces altrations sont aujourdhui inacceptables pour dresser lesnouvelles cartes de base au 1/20 000.

Fig. 2.15. : Reprsentation conforme

Fig. 2.16. : Diffrentes projections planes


Reprsentation conique, directe, tangente et conforme : reprsentation de lambert

Gnralits sur les reprsentations planes conformes

Module linaire m

Le module linaire m garde une valeur constante le long de lignes appeles isomtres ;il est toujours positif, jamais nul. La ligne sur laquelle m est son minimum sappellelisomtre centrale.

Lisomtre sur laquelle m = 1 (sansdformation), est le parallle de tan-gence du cne.

m est fonction de la distance d (dansle plan, fig. 2.17.) entre le point i etlisomtre centrale ; cette fonctionest du type m = 1 + c d 2 o c estune constante, d en m ou km et c enm2 ou km2 (voir dmonstration auparagraphe 3.4.2.1.).

Aussi, le coefficient altration linaire est :

Image dune godsique (G) de lellipsode

Limage plane (g) de la godsique (G) nest pas une droite mais une courbe quelconque(g) (ab, fig. 2.18.). La courbure de (g) est nulle dans la direction perpendiculaire auxisomtres ainsi que sur lisomtre centrale. Limage dun arc lmentaire de (g) est unsegment de droite (ab ou ac, fig. 2.19.).

Fig. 2.17. : Distance dune isomtre lisomtre centrale

k m 1=

Fig. 2.18. : Image dune godsique


La concavit de limage plane (g) est tournevers lisomtre centrale. Exemple : arcs ab et cd,fig. 2.20-a. Lorsque la transforme (g) de la go-dsique (G) coupe lisomtre centrale, leur pointdintersection est pour limage plane (g) un pointdinflexion.

Reprsentation conique directe

Dans une telle reprsentation (fig. 2.20-b.) :l les mridiens ont pour image des droites

concourantes au point p, image du ple P ;

l les parallles ont pour image des cercles concentriques de centre p et de rayon 5.Lespacement irrgulier des parallles permet dassurer la conformit de laprojection ;

Fig. 2.19. : Image de deux godsiques particulires

Fig. 2.20-a. : Concavit dune godsique

Fig. 2.20-b. : Reprsentation conique directe


l le point A de lellipsode de coordonnes gographiques (, ) a pour image sur leplan le point a de coordonnes polaires (5, ) telles que : 5 = f () et = g(). Cesrelations sont indpendantes (fig. 2.21.).

Reprsentation conforme

Dans une reprsentation conforme, il y a galit du module linaire en un point danstoutes les directions autour de ce mme point, et en particulier en direction du parallleet du mridien. Donc, m = m (m est le module dans la direction du parallle de latitude et m le module dans la direction du mridien de longitude ). Ils sont dfinis par :

Fig. 2.21. : Reprsentation conique directe


et

o r est le rayon du parallle de latitude ,5 est le rayon du cercle image sur le plan du parallle de latitude , est le rayon de courbure de lellipse mridienne.

Do on dtermine la convergence des mridiens par intgration :

[1]

Ces deux drives sont indpendantes donc gales une constante K.

On en dduit [2], do

est la convergence des mridiens ;o est la longitude du mridien origine ; dans la reprsentation Lambert, le mri-dien origine est le mridien de Paris.

Par ailleurs, de [1] et [2] on dduit que : [3]

Par intgration de [3], on obtient la latitude isomtrique :

est exprim en radians ;e est lexcentricit dfinie au paragraphe 2.2.1.

En intgrant [3], on obtient : On remarque que C = 5 pour = 0. La constante C est donc gale au rayon du cercle-image de lquateur 5E.

Reprsentation tangente

Une reprsentation tangente admet pour isomtre centrale un parallle de latitude o

(fig. 2.22.). Sur lisomtre centrale, le module linaire est ;

donc ; or ; on en dduit :

maa1

AA1-----------=

5 dr d--------------- m

aa2AA2-----------

d5 d--------------=

dd------

d55

--------

r

d--------------=

dd------ K= K o( ).=

d55

-------- K dr

----------- K d cos-------------------- K d= = =

d cos-------------------- pi4--- 2---+ tanln e2--- . 1 e sin+1 e sin----------------------------ln= =

5 C K( )exp=

m5o

ro------- K 1==

Kro

5o

-------

o ocos5o

---------------------= = sin oro

5o

-------= K o o( )sin o5o o ocot=

=

sin=


partir de [3], par intgration entre lisomtre centrale o et un parallle , on obtient :

do

donc

et

Calculer le rayon 5

et la convergence des mri-diens pour le point ayant pour caractristiques = 54,273 618 gon, = 2,607 614 3 gon, origineGreenwich, ces coordonnes gographiques tantdonnes sur lellipsode Clarke 80. Le paralllede tangence est situ o = 55 gon. Le mridiende Paris est o = 2,596 921 296 gon (2 2014,024 999) lEst de Greenwich.

= 0,008 131024 gon ; = 0,974 594 822 rad, o = 0,991 996 665 rad, 5o = 5 458 286,187 m ;5 = 5 530 992,755 m.

Module linaire et altration linaire

Calcul de la valeur du module linaire ou module de rduction la projection

Dans une zone voisine de lisomtre centrale de latitude o , le module linaire m est

dfini par m = 1 + o R2 = . et d est la distance du point lisomtre centrale o.

Dmontrons ce rsultat en nous reportant la figure 2.21. du paragraphe 3.4.1.3. ci-avant.

Les points A et A2 tant trs proches, on assimile larc AA2 la tangente en A (ou en A2) ;ainsi, dans le triangle rectangle AHA2, AH = dr (dr ngatif), langle A2 est gal . Ona : dr = AA2 . sin ; or AA2 = . d ;

do .

Fig. 2.22. : Isomtre centrale

d55

--------

o

K do=

5 5olnln K o( )=5

5o

-------ln K o( )=

5 5o exp o( ) osin[ ]=

Application

Rponse

d2

2R2---------

drd------ sin=


En reprenant lquation [3] du paragraphe 3.4.1.4,on obtient : .

Le module linaire m = peut sexprimer en

fonction de , parallle voisin de lisomtre cen-trale o, et se dvelopper comme suit :m(o) = 1 le long de om() = m(o)

+ ;

or car m = 1 sur lisomtre centrale de

latitude o ;

do m() = 1 + .

Pour dterminer on sait que m =

donc :

en drivant nouveau par rapport , on obtient suivi

de trois termes dans lesquels (K sino) est en facteur ; or K = sino.

Nous savons que et ro = o coso donc

do avec et o en radian.

o ( o ) reprsente la longueur de larc sur lellipse mridienne entre les latitudes et ; cest donc la distance entre lisomtre centrale et le parallle . Soit d cettedistance, on obtient alors :

en assimilant o . o = R2.

Fig. 2.23-a. : Calcul du module linaire

d5d-------- K 5

r------------=

5

r----- K

dmd------- 0

o( ) d2m

d2---------

0

o( )22

---------------------- ( )+ +

dmd------- 0

0=

d2md2---------

0

o( )22

---------------------- ( )+

d2md2---------

5

r-----K

dmd------- K

rd5d-------- 5

drd------

r2

-------------------------------

Kr

2---- K 5 5 sin ( ) K 5

r2

--------------------- K sin( )= = =

d2md2---------

0

K 5o o ro

2------------------------- ocos=

5o o ocot=d2md2---------

0

oo-----=

m ( ) 1 o2o-------- o( )2 ( )+ +=

m ( ) 1 o2o-------- o( )2+ 1

o2o--------

do-----

21 d

2

2R2---------++=


Laltration linaire sexprime alors comme suit :

Afin de rduire la grandeur de cette altration, le module linaire est multipli par unfacteur mL appel module de rduction dchelle, choisi de manire obtenir un modulelinaire gal 1 sur deux parallles 1 et 2, distants de 1 grade de latitude (soit100 km environ) de lisomtre centrale o (fig. 2.23-b.). On ralise donc pour chaqueparallle une homothtie par rapport son centre, ce qui revient rendre le cne scant lellipsode. Le rapport dhomothtie est mL = 1/m(1) = 1/m(2). Cette homothtieest pratiquement quivalente une translation du cne de projection vers le bas (fig. 2.23-b.). En effet, le nouveau module a pour valeur :

mr = mL . m() = m() / m(1 ou 2) =

Or, les termes et sont trs petits devant 1, donc on

peut crire que mr .

Donc mr 1+ soit .

Le terme vaut environ 0,999 877 = 1 12,3 . 105 quelle que soit

la zone Lambert.

Si les infiniment petits dordre suprieurs () ne sont pas ngligs, on obtient exacte-ment (1 12,258 . 105) pour la zone Lambert II, (1 12,25 . 105) pour la zone LambertIII et (1 12,266 . 105) pour la zone Lambert I.Le coefficient daltration linaire ( 106 prs) devient kr = (1 + d 2 / 2 R2) . (1 12,3. 105) 1 soit kr d2 / 2R2 12,3 . 105 quelle que soit la zone Lambert.

Remarque

Lisomtre centrale, sur laquelle le module linaire est minimum, reste limage duparallle o bien que le module linaire y soit diffrent de 1 (voir les valeurs de 1 et2 au 3.4.4.2.).

Dans lhomothtie dfinie prcdemment, le rayon de limage dun parallle est :

k m 1 d2

2R2---------=

1 o2o-------- o( )2+ / 1

o2o-------- 1 o( )2+

o2o-------- o( )2

o2o-------- 1 o( )2

1 o2o-------- o( )2+ 1

o2o-------- 1 o( )2

o2o-------- o( )2

o2o-------- 1 o( )2 mr m ( )

o2o-------- 1 o( )2

1 o2o-------- 1 o( )2

5 mL .5o o( ) osin[ ]exp=


Calcul de laltration linaire

Il est possible de calculer le coefficient daltration linaire sur un parallle distant de dde lisomtre centrale.

Exemple

d = 50 km de o kr 12,3 . 105 (3,1 12,3) . 105 = 9,2 cm/km

d = 150 km kr (27,6 12,3) . 105 = + 15,3 cm/km, etc.Il suffit donc de connatre la latitude dun point pour en connatre laltration linaire.

Soit un point la latitude = 48,42 gon. Il se situe 0,58 gon au sud de lisomtrecentrale 49 gon. Donc d 0,58 100 = 58 km, 1 gon en latitude donnant environ 100km sur la surface de lellipsode. En ce point, kr = 12,3 + 582 / (2 6 380)2 = 12,3+ 4,1 = 8,2 cm/km.

Sur des documents sappliquant aux feuilles au 1/50 000, lIGN propose un moyengraphique de calcul de kr : par exemple, pour la feuille de Grasse, kr est dtermin sur ungraphique quivalent celui de la figure 2.23-c.

La feuille est limite par deux mridiens de 0,2 gon de diffrence de longitude et par deuxparallles de diffrence de latitude 0,2 gon. Pour un point A de latitude 48,42 gon(exemple prcdent), on retrouve une altration kr gale 82 mm/km.

Fig. 2.23-b. : Artifice du cne de projection scant lellipsode

d2

2R2---------


Si le point est donn en coordonnes planes Lambert (E, N), il faut calculer ses coordon-nes gographiques et, dans ce cas, la latitude suffit puisque laltration est fonction dela distance lisomtre centrale. On peut aussi utiliser des abaques donnant kr en fonc-tion des coordonnes (chap. 4 7.1.6).

Le tableau COORDON.XLS du cdrom de louvrage permet de calculer lecoefficient daltration linaire kr pour un point donn en coordonnes gogra-phiques ou Lambert ; le tableau ALTERAT.XLS permet dobtenir divers aba-ques donnant le coefficient kr pour toutes les zones Lambert.

Limage dune godsique

Limage de la godsique de lellipsode

Fig. 2.23-c. : Calcul de laltration linaire daprs la feuille IGN

AB

)

Fig. 2.24. : Image dune godsique


Limage dune godsique est une courbe dont la concavit est toujours tournevers lisomtre centrale de latitude o.

Pour effectuer des calculs dans le plan (rsoudre des triangles par exemple) partir desmesures angulaires ralises sur le terrain, les rductions faire sur sont (fig. 2.24.) :l connaissant le module linaire m, la rduction de la distance sur lellipsode la

distance plane de la corde , trs peu diffrente de larc ;

l la rduction des observations angulaires de larc la corde .

Il y a conformit dans la reprsentation, cest--dire que les angles sont gaux :

(fig. 2.24.).Les calculs sont effectus sur les triangles plans abc ; les angles du triangle sont ceuxdfinis par les cordes alors que les angles observs sont ceux dfinis par les arcs. Il fautdonc les corriger de la quantit dv (fig. 2.24.).

Rduction de larc la corde

On appelle cette rduction la correction de dv.

Cette correction sapplique soit aux gisements observs, soit aux directions observesafin dobtenir les gisements rels introduire dans les calculs.

Cette correction est accompagne dun signe : pour le connatre, il suffit de savoir,comme indiqu au paragraphe 3.4.1.2., que la transforme dune ligne godsique tournesa concavit vers le parallle origine (isomtre centrale) sur le plan (fig. 2.25-a.).

AB

)

ab)

AB

)

AB

)

ab ab)

ab) ab

AB, AC( ) ab, ac( )=

Fig. 2.25-a. : Signe des corrections de dv


On dmontre que cette correction est gale :

1/3 tant la courbure de au tiers de ab compter de a.

Remarquel La transforme de la godsiquentant pas un arc de cercle, on a

; cest pourquoi la cor-rection fait intervenir un point T, situ autiers de la courbe, qui correspond lacourbure moyenne (fig. 2.25-b.).l dv est nulle pour une vise perpendi-culaire aux isomtres car est nul.l est trs faible, par consquent larduction de dv est de lordre de quel-ques dmgon au maximum ; elle est sou-vent ngligeable, en particulier pour desvises de porte infrieure au kilomtre.

Cette rduction est galement note rC , qui signifie rduction la corde .

Calcul pratique de dv

On peut dterminer la valeur de dv au moyen de trois mthodes.

l Premire mthode : sur des documents sappliquant aux feuilles au 1/50 000, lIGNpropose un moyen graphique de calcul de dv : par exemple, pour la feuille de Grasse,on dtermine dv gale K . dM (fig. 2.26.), o dv est note c, dM tant la valeur (enkilomtres 0,5 km prs) en projection de la vise ab sur la direction des paralllesgographiques et K un coefficient donn en seconde centsimale par kilomtre, cest--dire en dmgon par km (K peut aussi tre extrapol sur une carte des altrations au1/500 000).Par exemple, on obtient pour la vise AB (fig. 2.26.) :l station en A (982 165,63 ; 154 744,35)l vise sur B (985 198,63 ; 165 754,74)On place ces points sur la carte : leurs coordonnes gographiques sont proches de5,27 gon Est de Paris et 48,44 gon Nord pour A, et 5,31 gon Est de Paris et 48,55 gonNord pour B. Au point T, situ au tiers de AB partir de A, la valeur de K est 0,41dmgon/km (fig. 2.26.).

vd ab12--- 1/3 ab=

ab)

Fig. 2.25-b. : Correction de dv

dvab dvba


l Pour AB, dM = 3 km, (cest la diffrence XA XB) on a dv = 3 . 0,41 = 1,2dmgon alors que la vise a une porte de 11 km.

l Deuxime mthode : partir de lexpression : dv = 0,1. 1/3 . km dans laquelle 1/3est une expression complexe tabule par lIGN en fonction de la latitude et ladiffrence de longitude entre les deux points.

l Troisime mthode : par la formule simplifie,

E (km): diffrence dabscisse entre les deux points ;N1/3 (km): ordonne du point situ au tiers de ab ;s : signe de la correction de dv fonction de la position de ab par rapport lisomtrecentrale et au mridien de la station (fig. 2.25-a.).

Calculez au moyen de la dernire formule de la correction de dv pour la vise ABdonne prcdemment.

dv = 1. 3,03 / 128 . (158,4 200) = 1 dmgon (pour une vise de 11 km).Voir dautres exemples de calcul, chap. 3 4.4.2 et 6.8.2

Le tableau ALTERAT.XLS du cdrom permet de calculer dv pour une visedonne. La fonction dv (Xstation, Ystation, Xvise, Yvis) ajoute aux fonc-tions dExcel par le tableau MENUTOPO.XLS effectue un calcul automatiquede dv (le numro de zone Lambert doit figurer dans les ordonnes en milliers dekilomtre).

Fig. 2.26. : Dtermination du coefficient K sur une feuille IGN

dvab sE

128--------- N1/3 de ab 200( ) dmgon.=

Application

Rponse


Emploi en France de la reprsentation Lambert

La reprsentation plane de lellipsode de Clarke est utilise en godsie et cartographiesous forme de zones champ restreint ( 3.4.4.2) dans le but de limiter les dformationsde rduction la projection.

Mridien origine oLe mridien origine ( = o ) est le mridien de Paris situ lObservatoire de Paris. Ilest une longitude o = 2,596 921 296 gon lEst du mridien de Greenwich. En France,le mridien de Greenwich passe proximit des villes de Tarbes, Angoulme, Le Manset Le Havre et celui de Paris prs de Carcassonne, Bourges et Amiens.

Isomtres centrales o

La France mtropolitaine est divise en quatre zones tages du Nord au Sud dont lalatitude des isomtres centrales est : 55 gon pour la zone Nord dite Lambert I ;

52 gon pour la zone centre dite Lambert II ;49 gon pour la zone Sud dite Lambert III ;46,85 gon pour la Corse dite zone Lambert IV.

Pour rduire laltration linaire enlimite des zones, on limite ces der-nires o 1,5 gon, soit 150 km depart et dautre de lisomtre centraleet on multiplie lellipsode modlepar un module de rduction dchellemL dont la valeur par zone est donnedans le tableau ci-contre.

Le coefficient daltration linairedevient alors kr 12 cm/kmsur lisomtre centrale o et lecoefficient daltration devient kr + 16 cm/km en limite de zone.

Les valeurs exactes du module derduction linaire mL = 1 + kr parzone sont donnes au paragraphe3.4.2.1. Nous les rappelons ci-contre.

A la limite de deux zones Lambert, sur une bande de recouvrement de 20 km de large,les coordonnes des points sont calcules dans les deux zones. En effet, les coordonneset la valeur de kr sont diffrentes pour le mme point exprim dans deux zones adjacentesdu fait de la diffrence des cnes de projection.

Latitude (gon) Module mL kr mL 1

o + 1,5 1,00016 + 16 cm/km

1 1 0

o 112.10

5 12 cm/km

2 1 0

o 1,5 1,00016 + 16 cm/km

Zone mL

I 0,999877 34 = 1 12,266.105

II 0,99987742 = 1 12,258.105

III 0,99987750 = 1 12,25.105

IV 0,999 944 71 = 1 5,529.105


Cest pourquoi une zone appele Lambert II tendue a t cre de manire obtenirun systme de projection valable sur tout le territoire ; elle consiste tendre le qua-drillage Lambert de la zone II (centrale) toute la France.Un chiffre prcdant directement lordonne prcise la zone dans laquelle se situe lepoint : 1 dans la zone I, 2 dans la zone II et 3 dans la zone III. Par exemple, le point decoordonnes 982 152,25 m et 3 154 989,65 m est un point de la zone Lambert III ; sonordonne dans cette zone est 154 989,65 m.

Le tableau COORDON.XLS du cdrom de louvrage permet de transformerdes coordonnes exprimes en Lambert I, III ou IV en Lambert II tendu (voiraussi lexemple de calcul au paragraphe 3.4.5.2.).

Pour viter des coordonnes ngatives louest du mridien de Paris et au sud desisomtres centrales, on dcale les coordonnes du point origine de chaque zone (E0 ,N0) :

l E0 = Constante Est = 600 km louest ;l N0 = Constante Nord = 200 km au sud.

Ces constantes sont diffrentes pour la zone IV (Corse) ; elles sont donnes dans letableau ci-aprs.

La dernire ligne du tableau (IIt.) reprsente la zone Lambert II tendue tout leterritoire.

La carte (fig. 2.28.) montre le quadrillage Lam-bert par rapport aux mridiens et parallles.Chaque mridien devrait tre constitu en projec-tion de quatre lignes brises correspondant auxquatre zones Lambert, invisible cette chelle.En effet, les mridiens sont perpendiculaires auximages des parallles origines (isomtres cen-trales) et ces parallles ne sont pas rigoureuse-ment concentriques (fig. 2.27.).Reportez-vous au paragraphe 4. pour observerles rpercussions sur la carte de base au 1/25 000.

Zoneo

(gon)C ste Est(km)

Cste Nord(km)

5o

(m)m

L.5

o

(m)1

(gon)2

(gon)

I 55 600 200 5 458 286,187 5 457 616,674 53,998 358 72 55,995 457 37

II 52 600 200 6 000 431,301 5 999 695,768 50,998 798 84 52,995 571 67

III 49 600 200 6 592 712,692 6 591 905,085 47,999 212 53 49,995 659 79

IV 46,85 234,358 185,861 369 7 053 690,172 7 053 300,173 46,178 208 71 47,519 626 08

IIt. 52 600 2 200 6 000 431,301 5 999 695,768 50,998 798 84 52,995 571 67

Fig. 2.27. : Trois cnes de projection


Transformation de coordonnes

Les formules suivantes transforment des coordonnes gographiques en coordonnesLambert sur lellipsode Clarke 80. Les rsultats des paragraphes 3.4.1. et 3.4.2. sontutiliss pour calculer les coordonnes polaires (5, ) en fonction de (, ).

Transformation des coordonnes gographiques (, ) en coordonnes lambert (E, N)

l Transformation des coordonnes gographiques (, ) en coordonnes polaires (5, )On a : = ( o) sino

aprs avoir calcul 5o , et o.l Transformation des coordonnes polaires (5 , ) en coordonnes gographiques

(E , N)

Fig. 2.28. : Quadrillage du systme Lambert national

5 mL 5o o( ) osin[ ]exp =


On voit sur la figure 2.29-a. quepour un point A du plan de coor-donnes polaires (5 , ), lescoordonnes cartsiennes Lam-bert sont les suivantes :

Transformation des coordonnes lambert (E, N) en coordonnes gographiques (, )

On a (fig. 2.29-a.) : tan = do : = o + .

On calcule 5o et o et on en dduit ;

Ensuite, on calcule = exprim en radian.

l Enfin, est calcul par approximations successives laide de :

Exprimez en Lambert II tendu le point suivant donn en Lambert III :(EIII = 982 058,965 m ; NIII = 3 155 944,160 m), situ au LTGC dAntibes.

1) Transformation en coordonnes gographiques sur lellipsode Clarke 80 :0 = 0,854 591 098 rad = 0,842 641 708 rad 5 = 6 646 950,161 m = 3,661 234 312 gon = 7,857 974 592 gon = 48,449 472 529 gonkr = 8,5 cm/km2) Transformation en Lambert II :5 = 6 354 961,193 m = 3,835 142 8 gon.(EII = 982 605,846 m ; NII = 1 856 262,586 m) kr = 140 cm/km.

Fig. 2.29-a. : Transformation des coordonnespolaires en coordonnes cartsiennes

EA E0 5 NA

sin+N0 mL 50 5 cos+

=

=

EA EoNo mL 5o NA+--------------------------------------------

osin

-------------

5mL 5o NA No+

cos--------------------------------------------=

o1osin

-------------

mL 5o

5------------------ ln+

pi4---

2---+ tanln e2---

1 e sin+1 e sin( )--------------------------------ln=

Application

Rponse


RemarqueOn remarque, partir de lexemple prcdent, que la valeur du coefficient daltrationlinaire kr serait trs importante sil nexistait en France quune seule zone (1,40 m aukm Antibes en Lambert II tendu) et quen raison du fait des diffrents cnes deprojection, les projections des mridiens ne sont pas parallles (environ 0,17 gondcart sur la convergence des mridiens Antibes).Pour trouver la correspondance entre lordonne 1 856 km en Lambert II tendu et3 156 km en Lambert III, on doit considrer une translation de repre de 1 300 km enordonne (1 000 km pour le changement de zone et 300 km entre les deux axes desabscisses).

Changement dellipsode

Si les coordonnes godsiques de dpartsont exprimes sur un ellipsode autre queClarke 80 (par exemple IAGRS 80 pour lesdonnes brutes GPS, chap. 7 1.), il fautles convertir en coordonnes godsiquessur Clarke 80 avant deffectuer les calculsdtaills au paragraphe 3.4.5. prcdent.Pour cela, on doit dabord exprimer cescoordonnes dans un repre gocentrique(fig. 2.29-b.) dfini au paragraphe 2.2.3.1Le point O est alors le centre de lellipsodeutilis. Les coordonnes dun point sont (,, h), h tant la hauteur exprime en mtresdu point au-dessus de lellipsode.

Pour la suite, reportez-vous la figure2.29-c.

Transformation des Coordonnes godsiques en coordonnes gocentriques sur lellipsode 1

Pour transformer des coordonnes godsiques(1, 1, h1) en coordonnes gocentriques (X1, Y1 ,Z1), on applique les formules suivantes : e et sont respectivement dfinis aux paragraphes2.2.1. et 2.3.1.2.

Fig. 2.29-b. : Coordonnes gocentriques sur la sphre

X1 v1 h1+( ) 1 1Y1

coscos

v1 h1+( ) 1 1Z1

sincosv1 1 e1

2( ) h1+( ) 1sin

=

=

=


Changement dellipsode : ellipsode 1 vers ellipsode 2

Pour changer dellipsode, il suffit defaire intervenir les dcalages dorigine(tx, ty et tz) entre les deux ellipsodesainsi quun ventuel angle entre lesaxes des X dans les deux repres (dca-lage de lorigine des longitudes,fig. 2.29-c.).Ce changement de repre peut aussi treeffectu par transformation trois ousept paramtres. Dans ce dernier cas,on introduit trois translations, trois rota-tions et une homothtie ou mise lchelle. Ces paramtres sont calculspour une zone donne partir de plu-sieurs points dtermins sur les deuxellipsodes (voir tome 2 chap. 1 10.3).Par exemple, pour passer de lellipsode IAGRS 80 (systme WGS 84) lellipsodeClarke 80, on effectue un dcalage dorigine de (tx = 168 m, ty = 60 m, tz = 320 m),mais pas de rotation autour de Z ( = 0) puisque les origines des longitudes (Greenwich)sont identiques. Donc :

RemarqueCes dcalages dorigine sont ajouter aux coordonnes dans le premier systme. Ilsreprsentent donc les coordonnes de lancienne origine dans le nouveau repre ouencore les opposes des composantes du vecteur de translation.

Transformation des Coordonnes gocentriques en coordonnes godsiques sur lellipsode 2

On effectue le calcul inverse du calcul prsent au paragraphe 3.4.6.1. ; 2, 2 et h2 sontdonns par :

avec

Fig. 2.29-c. : Changement dellipsode

X2 X1 cos Y1 sin txY2

++

X1 sin Y1 cos tyZ2

++

Z1 tz+

=

=

=

2tanY2X2-----

Re 2tan Z2 v2 e 22 2

h2

sin+Re

2cos-------------- v2

=

=

=

Re X22 Y2

2+ v2 h2+( ) 2cos= =


La latitude 2 sobtient par approximations successives (2 est aussi fonction de 2).

Dterminez les coordonnes Lambert du point A de coordonnes godsiques surlellipsode IAGRS 80 : ( = 74 23,472 12; = 43 36 17,141 70; h = 157,450 m).

X1 = 4 590 781,336 ; Y1 = 569 630,443 ; Z1 = 4 376 505,933X2 = 4 590 949,336 ; Y2 = 569 690,443 ; Z2 = 4 376 185,9332 = 7,073 667 94 (7 4 25,20459) ; 2 = 43,604 736 78 (43 3617,05240)h2 = 116,582m.Finalement : E = 982 177,774 m ; N = 3 155 974,537 m ; H = 108,08 m.Laltitude par rapport au gode vaut H = h ; est la distance entre lellipsode etle gode ; elle vaut environ 8,5 m Antibes (voir 6.1). Laltitude H nest ici quindi-cative.

Ces calculs peuvent tre effectus automatiquement partir du tableauCOORDON.XLS du cdrom de louvrage.

Remarque

Le calcul effectu laide dun tableur permet facilement de voir que la prcision dehuit neuf chiffres aprs la virgule sur les angles (en dcimal) est ncessaire pourobtenir le millimtre sur les coordonnes. Un ordre de grandeur intressant mmo-riser est que sur la terre, un angle au centre de 1 correspond environ 30 m la surfacede la terre (104 correspondent donc environ 3 mm) et que 1 correspond environ 1,8 km.

Reprsentation cylindrique transverse conforme de lellipsode universal tranverse mercator utm

Reprsentation cylindrique conforme

En reprsentation de Mercator, la terre est considre sphrique. La projection seffectuesur un cylindre daxe passant par les ples et tangent lquateur (fig. 2.30-a.).En projection, lquateur est reprsent par une droite non dforme (avant homothtie) :cest lisomtre centrale. Les mridiens sont des droites parallles, quidistantes etperpendiculaires lquateur. Les parallles sont des droites perpendiculaires aux mri-diens et leur cartement est calcul en fonction de la latitude de sorte que la repr-sentation soit conforme.

Application

Rponse


Coordonnes en projection dun point M ( , )

l Pour une sphre de rayon R, nous avons : et N =

Pour un ellipsode de demi grand axe a, de demi petit axe b et dexcentricit e :

E = a. ; N = a .

Dans ces formules, la latitude et la longitude sont exprimes en radian.

Altration linaire

l Le module linaire m = vaut 1 lquateur et est infini aux ples.

Ceci montre que ce type de reprsentation est plus adapt aux rgions quatoriales. Onse limitera gnralement des latitudes de 3 de part et dautre de lquateur.

Pour des valeurs faibles de la latitude : m 1 + 1 + en un point de

coordonnes (E, N). Le coefficient daltration linaire vaut donc : kr .

kr est donc une fonction parabolique de N prs de lquateur.

Aprs homothtie de module mL = 0,999 33, on obtient les valeurs extrmes suivantes delaltration linaire :

l kr = 67 cm/km sur lquateur ;l kr = 0 cm/km pour + 2 (ou 2) ;l kr = + 71 cm/km pour = + 3 (ou = 3).

Fig. 2.30-a. : Projection cylindrique conforme de Mercator

E R = R pi4---

2---+ tanln

pi4---

2---+ tan e2---ln

1 e sin+1 e sin-----------------------ln

1cos------------

22-----

N2

2R2---------

N2

2R2---------


Avantage de cette reprsentation

tant des droites parallles, les mridiens sont coups sous un angle constant par unedroite (voir la dfinition de la loxodromie au paragraphe 2.3.2.1.). Ceci permet en navi-gation de fixer facilement le cap. Mais la route la plus courte (ou orthodromie) tant unegodsique projete suivant une courbe sur le plan, on adopte un compromis entrelorthodromie (cap modifi en permanence mais chemin le plus court) et la loxodromie(cap constant mais chemin plus long). Ainsi les cartes marines sont une projection UTM.

Reprsentation cylindrique transverse

Cette reprsentation consiste circonscrire lellipsode dans uncylindre le long dun mridien ;le cylindre est dans ce cas daxeperpendiculaire la ligne desples (fig. 2.30-b.). On repr-sente un seul fuseau (fig. 2.31.).Les autres fuseaux sont identi-ques. Les calculs dans un seulfuseau sont donc suffisants, cequi est le principal avantage decette reprsentation, la plus uti-lise dans le monde.

Le systme international ED 50 (European Datum 1950) utilise la projection plane UTMassocie lellipsode Hayford 1909. Son point godsique fondamental est Potsdam.l le mridien origine de longitude o a pour image une droite (axe des ordonnes Y) sur

laquelle les longueurs sont conserves avant homothtie ( un facteur 0,9996 prs) ;l lquateur a pour image une droite perpendiculaire au mridien origine de longitude

o qui est laxe E (axe des abscisses X, fig. 2.31.) ;l le point M de coordonnes gographiques (, ) a pour image le point m de coordon-

nes rectangulaires (E, N) ;l les mridiens ont pour image des courbes concaves vers lisomtre o ;l les parallles ont pour image des courbes convexes vers lquateur.

Ce systme divise la terre en 60 fuseaux de 6 damplitude en longitude (fig. 2.32-a.) demanire limiter laltration linaire en limite de fuseau. La numrotation commence aumridien 180 ; elle est croissante dOuest vers lEst. Le mridien de Greenwich spareles fuseaux 30 et 31. Lensemble des fuseaux est identique.

Dans chaque fuseau :l sur lisomtre o , le module linaire est pris gal 0,9996 ;l lisomtre centrale est limage du mridien origine o ;

Fig. 2.30-b. : Projection UTM


l pour viter les abscisses ngatives, le point O de coordonnes gographiques = oet = 0 , origine des axes E et N (X et Y), a pour coordonnes :

E0 = 500 000 m (500 km),N0 = 0 dans lhmisphre Nord, 10 000 000 m (10 000 km) dans lhmisphre Sud.

Dans un tel repre, les abscisses de points dun mme mridien ne sont pas gales.

Fig. 2.31. : Projection UTM

Fig. 2.32-a. : Diffrents fuseaux du systme UTM


Coordonnes rectangulaires

Par principe, elles sont pratique-ment identiques celles de lareprsentation cylindrique nontransverse. Pour un point P, il fautdans les formules du paragraphe3.5.1. :

l inverser le rle de E et N ;l remplacer la latitude par langle

au centre interceptant larc HP(fig. 2.32-b.) ; cet angle varie dela valeur si P est sur lqua-teur 0 si P est au ple ;

l remplacer la longitude par lan-gle interceptant larc HoH.

Ces calculs font appel la thorie des nombres complexes. Le calcul completest dtaill dans le tableau COORDON.XLS du cdrom de louvrage.

a) Dterminez les coordonnes UTM du point suivant donn en coordonnes gogra-phiques sur lellipsode Hayford 09 : M ( = 6 50 16 ; = 43 33 40)b) Dterminez les coordonnes UTM du point suivant donn en coordonnes gogra-phiques sur lellipsode Clarke 80 : M ( = 5 30 0 ; = 34 45 0)

a) M (325 362,802 m ; 4 825 487,350 m), fuseau 32.b) M (271 145,459 m ; 3 847 883,647 m), fuseau 30.

Altration linaire

En un point de longitude compte partir du mridien origine du fuseau, le modulelinaire vaut m = . En un point de coordonnes (E, N) proche du mridienorigine (3 de part et dautre), le coefficient daltration linaire vaut donc kr .

Aprs homothtie de facteur 0,999 6 1 40 . 105 , laltration linaire vaut :

l 40 cm/km sur lisomtre centrale ;l 0 cm/km 180 km de lisomtre centrale (E = 320 km ou E = 680 km) ;

Fig. 2.32-b.: Coordonnes planes UTM

Applications avec utilisation du tableau de calcul

Rponses

1cos------------ E2

2R2---------


l + 98 cm/km 3 de lisomtre centrale (sur lquateur), soit E = 167 km ouE = 833 km.

Rduction la corde ou correction de dv

La courbe ab a sa concavit dirige vers lemridien origine ; le signe de la correctionest donc tudi de la mme manire quauparagraphe 3.4.3.2. La correction de dv vaut(fig. 2.32-c.) :

Par exemple, prs de lquateur, en limite defuseau (E = 333 km, N = 500 km), pour unevise vers le nord de 5 km de porte, onobtient : dv = 13 dmgon (en valeur absolue).

Convergence des mridiens

La convergence dun mridien en un point donn M varie tout le long du mridien dela valeur 0 lquateur jusqu une valeur infinie au ple. Pour la calculer, il suffit de raisonner dans le triangle sphrique PMH (fig. 2.32-d.) : cos(pi/2 ) = cot . cot(pi/2 ) ; sin = cot . tan.

Donc :

La longitude estcompte partir du m-ridien origine de chaquefuseau.

Par exemple, un pointM situ une longitude = 7,07 par rapport Greenwich et une lati-tude = 43,60 est dansle fuseau 32. La longi-tude par rapport au m-ridien origine de cefuseau est donc de 1,93Ouest (97,07), donc 1,33.

Fig. 2.32-c. : Correction de dv

dvdmgonE1/3km128

-------------- dNkm=

tan tan sin=

Fig. 2.32-d. : Convergence des mridiens


Le point de coordonnes gographiques = 6 50 lest de Greenwich et = 43 33nord est situ environ 325 km en abscisse UTM (voir carte fig. 2.36.). Commentretrouver lordre de grandeur de cette valeur ?

La longitude suprieure 6 est de Greenwich montre que nous sommes dans le fuseaun 32, cest--dire 9 6 50 soit 2 30 louest de lorigine du fuseau 32 dabscisse500 km. En notant que le rayon dun parallle est peu prs gal Rmoyen . cos, onobtient : (9 650)(pi / 180) 6380 cos(4333) 175 km. Labscisse sera denviron 500 175 325 km.

LECTURE DE CARTES

Carte de base

On a tabli au paragraphe 2.que le systme de reprsen-tation Lambert est une pro-jection de la France auvoisinage dune isomtrecentrale sur un cne tangent cette isomtre. Les mri-diens sont donc des droitesconvergentes vers limage pdu ple P et les paralllesdes arcs de cercles concen-triques de rayon 5.

Les feuilles de la carte deFrance au 1/25 000 sontdcoupes le long de mri-diens et parallles (ceciexplique quune carte IGNse lit toujours face au nordgographique) ; les cts Estet Ouest de la carte sontdonc convergents et lescts Nord et Sud sont des

arcs de cercles (fig. 2.33.). Si la convergence et la courbure sont difficilement dcelables,on constate quune carte du Nord est plus troite quune carte du Sud de la France.

Application

Rponse

Fig. 2.33. : Dcoupage de la carte de base


a) Calculez la diffrence de largeur de deux cartes situes aux 49 et 55 gon de latitudesachant quune carte au 1/25 000 a une diffrence de longitude de 0,2 gon.b) Calculez et vrifiez graphiquement la convergence des mridiens en un point dunecarte.

a) 1,374 km = [0,2 . sin55 . mL .5o55 0,2 sin49 . mL .5o49] pi /200. Les valeurs demL .5o donnes au paragraphe 3.4.4.2. On peut retrouver un ordre de grandeur enconsidrant que le rayon approch dun parallle de latitude est gal Rmoy . cosavec Rmoy 6 380 km ; on obtient ici 0,2 (pi /200) . 6 380 . (cos49 cos55) = 1,377 km.b) Par exemple, Antibes, 3,66 gon.

Dfinition du nord

Sur une carte IGN, on remarque en lgende le croquisci-contre (fig. 2.34.). Il est mentionn : La dclinaisonmagntique correspond au centre de la feuille, au 1erJanvier 1993. Elle diminue chaque anne de 0,16 gon(0 08) .Le nord gographique et le nord magntique sont dis-tincts.

Le nord gographique est la direction du mridien dupoint (ici le centre de la carte) vers le ple Nord.Le nord magntique est la direction de laiguilleaimante, cest--dire du champ magntique terrestredu moment et du lieu. Le champ magntique terrestre,plus intense aux ples que dans les rgions quato-riales, est tel que ses lignes de champ ne suivent pas ladirection des mridiens mais laxe des ples gomagntiques est inclin de 11 30 surlaxe terrestre. Il est en outre sujet de lentes variations dorientation.Langle entre le nord gographique et le nord magntique est la dclinaison magntiqued : elle varie dans le temps et dans lespace (actuellement elle diminue denviron0,16 gon par an). Actuellement, la dclinaison est occidentale.Le Nord du quadrillage du systme de projection est la direction des ordonnes Ypositifs en ce point (fig. 2.35.) ; il est encore appel Nord Lambert.

Application

Rponse

Fig. 2.34. : Nord magntique


Dans le systme de projection Lambert, langle entre leNord gographique et la direction des ordonnes Ypositifs en un point est la convergence des mridiens ( 3.4.1.4).On appelle Azimut Az langle compt positivement ensens horaire depuis le nord gographique, Gisement Glangle compt positivement en sens horaire depuis lenord Lambert.

Implantez le nord magntique en un point du lycedu gnie civil dAntibes.

Cela revient calculer langle ( + d) que lon doit ouvrir depuis le nord Lambert(accessible sur le terrain partir de la connaissance de deux points du rseau IGN).1) Convergence des mridiens : elle est soit mesure graphiquement sur une carte(angle entre les limites de la carte et le quadrillage Lambert), soit calcule comme auparagraphe 3.4.5.2. 3,66 gon Antibes.2) Dclinaison magntique : de lordre de 1,02 gon au 1er janvier 1993, elle diminue de0,16 gon par an et vaudrait donc environ 0,22 gon au 1er janvier 1998 (dclinaisonoccidentale).Langle ouvrir depuis le nord Lambert pour obtenir le nord magntique est donc delordre de 3,88 gon vers lOuest Antibes.

Renseignements ports en marge de la carte

Les numros des repres dfinis ci-aprs correspondent ceux de la figure 2.36.

a) Repre 1 : numrotation des feuilles adjacentes.b) Repre 2 : en gnral, le dcoupage dune feuille au 1/25 000 se fait suivant lesmridiens et les parallles de 0,20 gon en 0,20 gon , reprsentant une superficie de lordrede 20 13 15 km. Le mridien origine est le mridien de Paris.

La longitude et la latitude des mridiens et parallles limitant la carte sont aussi donnesen degrs sur lellipsode Hayford 09 ; les longitudes sont exprimes par rapport aumridien international de Greenwich.

Fig. 2.35. : Les trois nords

Application

Rponse


c) Repre 3 : lchelle extrieure permet de dterminer les coordonnes gographiquesen degrs dans le systme europen (ellipsode de Hayford), le mridien 0 tant lemridien de Greenwich. Elles sont indiques toutes les cinq minutes sexagsimales.

Lchelle extrieure (12) est gradue toutes les minutes sexagsimales.d) Repre 4 : lchelle intrieure sert dterminer les coordonnes gographiques engons rapportes au systme godsique franais, le mridien origine tant le mridien deParis. Elles sont indiques tous les 0,10 gon.

Lchelle intrieure (11) est gradue tous les 0,01 gon.e) Repres 5 et 6 : lintrieur du cadre sont portes les amorces du quadrillage kilom-trique de la reprsentation conique conforme Lambert.

Un chiffre prcdant lordonne prcise la zone dans laquelle se situe la carte : 3 151indique que le point est situ en zone Lambert III, lordonne lire tant 151 km.

Fig. 2.36. : Extrait de carte au 1/25 000


a) Comment retrouver lordre de grandeur des coordonnes indiques connaissant lescoordonnes gographiques ?Remarquez que, contrairement ce que lon trouve dans beaucoup de logiciels detopographie, le carroyage est constitu par les intersections des mridiens et des paral-lles alors que le quadrillage est lintersection de parallles aux axes X et Y descoordonnes Lambert.

b) Comment retrouver X = 963 km environ pour = 5 gon Est ?

a) Langle Sud-Est a pour coordonnes gographiques = 48,40 gon et = 5 gon. Surle mridien origine de Paris, le parallle 48,40 gon est 0,60 gon (donc 60 km) ausud du parallle origine de la zone III qui est 49 gon : son ordonne est donc 200 60= 140 km ; tant ici situ 5 gon lest du mridien de Paris, lordonne du parallle48,40 gon sera donc lgrement suprieure 140 km (fig. 2.37.) : 5 48,4 = 6 652,71 km ;la diffrence dordonne entre la droite Y = 140 km et la droite passant par le point = 48,4 gon et = 5 gon Est vaut : 5 48,4(1 cos) = 9,9 km avec = 5 . sin49= 3,479 6 gon. On obtiendrait donc une ordonne de 149,9 km.

b) cette latitude, = 6 388,58 km et r = 4 629,50 km,donc 5 gon de longitude quivaut 363,6 km (fig. 2.38-a);sachant que labscisse de lorigine est 600 km, nous obte-nons ici 963,6 km qui est lordre de grandeur cherche.

Remarquez que, dans les zones proches du mridien ori-gine de Paris, les mridiens et les parallles sont pratique-ment confondus avec le quadrillage.

f) Repres 7 et 8 : afin davoir un systme unique dereprage pour la France, la chiffraison de la zone IItendue est dite en bleu. Le premier chiffre, ici 1, ne

reprsente pas un numro de zone mais lordonne calcule par rapport lordonneorigine vaut 2 200 m en zone II.

Application

Fig. 2.37. : volution du carroyage et du quadrillage Lambert

Rponse

Fig. 2.38-a. : r v . cos


Aux altrations prs, pourquoi lordonne 3 151 (Lambert III) correspond 1 851(Lambert II tendu) ?

Il y a 300 km entre laxe des X de la zone II dordonne 2 200 et celui de la zone IIIdordonne 3 200 (fig. 2.38-b.) ; donc il y a 349 km jusquau point M : son ordonne,en zone Lambert II tendue est : 2 200 349 = 1 851 km.

g) Repres 9 et 10 : lextrieur du cadre, les amorces sont celles du quadrillagekilomtrique Universal Transverse Mercator (UTM). Gnralement, les fuseaux 29 et 31sont chiffrs en noir, le fuseau 30 est chiffr en bleu.

h) Repre 11 : chelle intrieure (voir le repre 4) dintervalle 0,01 gon.i) Repre 12 : chelle extrieure (voir le repre 3) dintervalle 1 minute.

RSEAUX GODSIQUESComme nous lavons soulign en introduction de ce chapitre, un rseau de points connusen planimtrie est ncessaire pour effectuer la majorit des travaux de topographie. Cenest pas indispensable dans le cas o le travail sera effectu en repre local (petitschantiers ou chantiers isols). LInstitut Gographique National (IGN) a donc implanten France un rseau de points dits godsiques (voir la carte figure 2.39. sur laquelleon distingue la triangulation du 1er ordre acheve en 1958).

Application

Rponse

Fig. 2.38-b. : Lambert II tendu


La dtermination des points godsiques sest faite par la mthode de triangulation, quiconsiste mesurer les angles et quelques cts des triangles accols dont les sommetssont les points godsiques.

La rsolution de ces triangles donne les positions relatives des sommets. Le problmetant dimplanter sur le territoire un ensemble plus ou moins dense de points, on procdepar triangulations embotes (voir 5.2) ou ordres godsiques hirarchiss, respectantainsi le principe aller de lensemble au dtail . Cela permet dassurer une prcisionhomogne entre les diffrents ordres de rseaux.

Fig. 2.39. : Triangulation de 1er ordre


Historique de la triangulation 1

Le but initial de la triangulation consiste connatre la forme et les dimensions delellipsode terrestre, puis dautres objectifs sont venus sy ajouter ; ainsi elle a servi :l dossature la carte de France petite chelle ;l de base ltablissement des plans cadastraux moyenne chelle ;l de canevas pour les plans grande chelle tablis pour les grands travaux ;l aux besoins militaires.

Lvolution a impos des plans des chelles de plus en plus grandes et donc des canevasde plus en plus prcis :l en 1792, Mchain (1744 1804) et Delambre (17491822) ont mesur larc de mri-

dien de Dunkerque Barcelone en vue de la dtermination de lunit de longueur.Cette chane mridienne fut le point de dpart de la triangulation qui a servi de base la carte dtat-major au 1/80 000 ;

l en 1873 dbutent les travaux de la Nouvelle Triangulation Franaise (NTF). Maisil na pas t possible dutiliser les points de lancienne car la prcision sest avreinsuffisante, de nombreux points tant des pins, htres, rochers gravs, tours, duneconservation douteuse. On a donc cherch constituer plusieurs ordres de triangula-tion avec des vises suffisamment nombreuses situes dans les diffrents quadrants etde longueur homogne. Les points ont t matrialiss par des bornes dimportanceplus ou moins grande selon lordre ;

l en 1991, anne de la dernire campagne de godsie classique de lIGN, la NTF a tdclare acheve : elle stait rgulirement enrichie au fil des annes par densifica-tion partir du rseau de 1er ordre jusqu atteindre une densit dun point pour 9km2 environ avec le 4e ordre. Ses 70 000 sites godsiques (sans compter les pointsde 5e ordre) sont uniformment rpartis sur le territoire national avec une prcisionrelative moyenne de lordre de 105 (cest--dire plusieurs centimtres au mieux parrapport au point le plus proche).

l le nouveau systme godsique RGF 93 est en prparation (voir 5.3).

La nouvelle triangulation franaise (NTF)

Un sicle aura donc t ncessaire llaboration de ce rseau (de 1873 1991). Il estconstitu :l dun point fixe, le point godsique fondamental, qui est la croix du dme du

Panthon Paris dont on a dtermin avec le maximum de prcision les coordonnesgographiques dduites de lobservatoire de Paris de coordonnes gographiques :

= 0,0106 93 gon ; = 54,273 618 gon

1 Consulter Mesurer la terre, J.-J. Levallois et al., Presses ENPC, 1988.


On y a aussi mesur lazimut astronomique du ct de dpart de la triangulation.En ce point, la normale lellipsode et la verticale qui est la normale au gode sontconfondues ; lellipsode Clarke 80 y est tangent au gode. Laltitude et la hauteurellipsodale sont gales.

l de 15 bases godsiques dune dizaine de km mesures au fil Invar (prcision 1 cm)rparties tous les 250 300 km ; elles sont destines rajuster les dimensions destriangles ;

l des stations de Laplace, servant rorienter les cts des triangles chaque base ;par des vises astronomiques, on dtermine en ces points lazimut dun ct dutriangle.

Rseau de premier ordre

Il comprend les lments suivants :

l le 1er ordre de chane : trois chanes mridiennes ont t tablies (celle de Bordeaux,celle de Lyon et celle de France qui passe par Paris) et trois chanes parallles, deParis, Lyon et Toulouse (voir carte figure 2.39.). Ce sont des chanes de triangles de30 60 km de cts et, dans chaque quadrilatre form par deux triangles accols, ondtermine lorientation de la deuxime diagonale ; ainsi, les mesures sont en sur-nombre (huit angles par quadrilatre). Les angles sont mesurs avec seize ritrations.Le 1er ordre de chane a t calcul sur lellipsode en coordonnes gographiques parfractions insres entre deux bases (fig. 2.41.).

l le 1er ordre complmentaire, constitu par les points de 1er ordre compris dans lesmailles formes par les chanes mridiennes et parallles. Il est calcul dans le plande projection en coordonnes rectangulaires par blocs insrs entre les points prc-demment dtermins. Les angles ont t mesurs au thodolite T3 (Leica) avec seize

Fig. 2.40. : Rattachement du Panthon et de la base de Paris la mridienne de France


ritrations ; pour les rduire au plan de projection, on applique la correction de dv(voir 3.4.3.2).

Les triangulations de 1er ordre sont orientes par des azimuts astronomiques (stations deLaplace) et mises lchelle par des mesures de longueur. Les compensations ont tfaites par la mthode des moindres carrs (calculs en bloc).Il y a environ 860 points, formant 1 700 triangles de 30 40 km de cts ; 5 000 directionsont t observes. La prcision moyenne dune observation est de 2 dmgon, soit environ13 cm 40 km. En rgle gnrale, on considre que les points de 1er ordre sont dter-mins 10 cm prs, soit une prcision relative denviron 1/400 000 sur les cts.

Son manque de prcision tient plus la qualit non optimale des calculs : en effet lerseau sappuie sur un calcul de la mridienne de France datant des annes 1930 et sur lecalcul du 1er ordre termin vers les annes soixante ; il ntait pas possible cette poquede traiter la totalit des observations de 1er ordre, alors quaujourdhui il suffit de quel-ques minutes pour traiter les observations des 6 200 points de 1er et 2e ordre de la NTFgrce linformatique.

Fig. 2.41. : Imbrication du 1er ordre et du 1er ordre complmentaire


Rseaux de dtail

Pour atteindre la densit requise tout en maintenant le prcision relative du 1er ordre, ontablit successivement les rseaux embots suivants (fig. 2.42.) :l triangles de 2e ordre dont les cts mesurent 12 15 km environ : appuys sur les

points du 1er ordre, ils sont calculs par blocs dune dizaine de points ;l triangles de 3e ordre dont les cts mesurent 8 12 km environ : appuys sur les ordres

suprieurs, ils sont calculs comme ceux du 2e ordre ;l triangles de 4e ordre dont les cts mesurent 3 4 km environ : ces points sont

gnralement calculs en points isols partir de vises de 3 6 km.

Dans chaque triangle dun ordre donn, il y a environ trois points de lordre immdiate-ment infrieur.

Les angles ont t mesurs au thodolite T3 (Wild) avec huit ritrations pour le 2e ordreet au thodolite T2 (Wild) avec quatre ritrations pour les 3e et 4e ordres. Pour les 2e et3e ordres, les vises ont gnralement t observes dans les deux sens, ce qui permet defermer les triangles et de dceler ainsi les anomalies. Les compensations sont faites parla mthode des moindres carrs par groupe de deux dix points.

Rseau de cinquime ordre ou triangulation complmentaire

La densit du 4e ordre est insuffisante pour rattacher directement les cheminementstopographiques. Dans certaines zones, on a donc tabli une triangulation complmen-taire. Chaque dtermination a t faite en gnral par relvement (voir tome 2 chap. 1 6 et 7) avec deux ritrations au thodolite T2. Le Tableau suivant rcapitule les ordresde triangulation.

Fig. 2.42. : Imbrication des rseaux


Matrialisation des points godsiques

Borne godsique

Une borne est un bloc solide en granit dont la partie mergeant du sol est un cube de 15cm darte. La face suprieure horizontale porte une croix grave matrialisant le represuprieur.

La borne repose sur une dalle. Laborne et la dalle sont prises dansun bloc de bton. Sous celui-ci,spar de lui par une couche deterre meuble, est coul un blocde bton dans lequel est mnagun orifice circulaire au fondduquel se trouve un repremtallique infrieur recouvert decharbon de bois. La borne estplace de sorte que le represuprieur et le repre infrieursoient laplomb lun de lautre.

La profondeur de lensemble est environ 0,80 m, et le poids du bloc de granit est delordre dune tonne.

Mire godsique

Cest un ensemble de panneaux de forme gomtrique, en bois ou en mtal, ayant un axevertical centr au-dessus dune borne ou dun rivet (en montagne). Les mires godsi-ques permettent lobservation loigne de ces points. Les mires mtalliques sont dmon-tables. La hauteur des panneaux et la disposition des montants permettent de mettre unappareil en station sous la mire (fig. 2.44-a.).

Structure Ordre Espacement Nombre Prcision

Rseau principal1er 30 km 800 105

2e 10 km 5 000 105

3e et 4e 3 km 60 000 105

Rseau complmentaire 5e 20 000 diverse

Fig. 2.43. : Borne godsique


Signal

Le signal est une construction ayant un axe de symtrie vertical situ au-dessus dunrepre et permettant lobservation loigne de celui-ci. Le signal est en gnral god-sique : chemine, pylne etc. ; il est souvent prenne alors que les mires godsiques sontprovisoires.

Par extension est englob sous ce terme toute construction pouvant tre observe :chemines, pylnes, mires godsiques, balises.

Rpertoires de lIGN

LInstitut gographique national publie pour chaque feuille au 1/50 000 un rpertoirecomprenant :

l une rduction de cette feuille sur format A4 avec lemplacement de chaque pointgodsique et son numro dordre dans la feuille ;

l la fiche signaltique de chaque point : cest un document darchives et de diffusionqui contient :

l des renseignements dordre administratif : nom du point, nom et numro de la feuilleau 1/50 000, dpartement, numro de larrt de servitude, renseignementscadastraux ;

l des renseignements dordre technique : dsignation du type de borne et des represauxiliaires, indication dun point naturel connu pouvant servir dorientation sur unpoint inconnu, situation topographique, plan des environs, croquis de reprage, natureet date de la mission et les coordonnes planimtriques X, Y (E, N) centimtriques.

Laltitude H est dtermine par nivellement indirect godsique (chap. 6, 2) avec uneprcision dcimtrique.

Fig. 2.44-a. : Mires godsiques


Les fiches signaltiques sont stockes sur microfiches X, Y, Z vendues par lIGN (unemicrofiche contient 60 points). Depuis fin 1997, tous les points du RBF (voir 5.3) et dela NTF de 30 dpartements sont accessibles par minitel (08 36 29 01 29; 9,21F par minuteau 1/1/98)

Le nouveau rseau godsique franais

De nombreux points sont difficilement accessibles, souvent inexploitables car non entre-tenus, et leur localisation nest pas toujours celle souhaite par lutilisateur.La prcision de la NTF est estime 105 en relatif (1 cm par km) ; elle est insuffisantecompte tenu des techniques modernes de positionnement, en particulier le positionne-ment satellitaire par GPS qui donne une prcision relative de 106 voire de 107 108.

Dj le niveau de prcision de la NTF avait t mis en question par ses utilisateurs dslapparition des distancemtres optolectroniques prcis dans les annes 70.

Un rseau godsique moderne doit donc tre constitu de points :

l accessibles,l dune prcision suffisante, l exploitables par lutilisateur en fonction des moyens dont il dispose : thodolites,

distancemtres, rcepteurs GPS .

Donc la NTF ne rpond plus aux besoins des utilisateurs ; de plus, il est maintenantncessaire de disposer dun systme de rfrence au niveau europen. Il a donc tenvisag :

l de mettre en place un nouveau canevas national appel Rseau Godsique Franais(RGF), qui matrialisera un nouveau systme de rfrence nomm RGF 93, tridi-mensionnel et gocentrique, constituant une ralisation prcise du systme WGS 84 ;

Fig. 2.44-b. : Extrait de rpertoire de points godsiques


il est organis en trois niveaux principaux : le RRF, le RBF et le RDF cest--direrseau respectivement de rfrence, de base et de dtails franais ;

l de maintenir ce rseau par des observations GPS.

Le but est dobtenir un rseau dont les coordonnes tridimensionnelles dans un systmede rfrence gocentrique (voir 2.2.3.1) sont connues avec une prcision de qualitspatiale. La NTF continuera dexister au sein du RGF, qui intgrera la quasi totalit desanciens points godsiques (de cinq ordres).

Dfinition du rseau godsique franais (RGF 93)

Systme de rfrence

Ce systme godsique, appel Rseau Godsique Franais 1993 (RGF 93) est spatial,tridimensionnel et gocentrique ; il sert de base la cration dun rseau godsiquemoderne franais par densification des points europens du rseau mondial associETRS 89 (European Terrestrial Reference System 1989). Le systme ETRS 89 est dfini partir de lITRS (International Terrestrial Reference System) et concide avec lui lpoque 1989. LITRS, systme mondial de rfrence terrestre de lIERS (InternationalEarth Rotation Service), prend en compte les dformations de la crote terrestre et enparticulier celles dues la tectonique des plaques ; il est matrialis par un rseaumondial denviron 200 points obtenus avec des prcisions centimtriques par des techni-ques spatiales trs prcises comme VLBI (voir 5.3.2.1), Laser ou GPS trs prcis. Cesystme volue et ses diffrentes ralisations sont appeles ITRF nn, o nn signifielanne de la ralisation, ITRF 96 tant la plus rcente.

De mme, lETRF nn, ralisation de lETRS utilise des points ITRF nn europens et despoints de densification par GPS. LETRS est rattach la partie stable de la plaqueEurasie ; il prsente lavantage de rendre ngligeables presque partout en Europe lesdplacements des stations dus la tectonique des plaques. Ce systme est de typetridimensionnel, mais laltitude est fournie dans le systme altimtrique actuellement envigueur (IGN 69).

La technique dobservation des points du RGF 93 est celle de la mesure satellitaire GPSassurant une cohrence de niveau centimtrique aux coordonnes publies des diffrentspoints. Les coordonnes sont fournies, soit sous forme de longitude , latitude ethauteur ellipsodale h sur lellipsode IAGRS 80, soit sous forme bi-dimensionnelle,selon la projection Lambert 93.

Structure hirarchique

En France, le rseau Godsique Franais (RGF) matrialise ce nouveau systme derfrence RGF 93. Ce rseau est structur en trois parties (fig. 2.45.) :


le Rseau de Rfrence Franais (RRF) : cest la partie franaise du rseau europendont la premire ralisation date de 1989. Cest aussi le premier niveau hirarchique duRGF, constitu de 23 sites rpartis sur lensemble de la France mtropolitaine ;

le Rseau de Base Franais (RBF) : il comprend environ 6 000 points (1 009 sitesobservs par GPS et nouvelle compensation des observations de 1er et 2e ordre de laNTF) ;

le Rseau de Dtails Franais (RDF) : cest par densification du RBF que sera ralisle rseau de dtail (environ 80 000 points). Dans un premier temps, le RDF sera constitudes points de la NTF. Ci-dessous est donn un tableau rcapitulatif des diffrentsrseaux :

Ralisation du rseau gnral franais (RGF)

La ralisation d'un systme de rfrence est l'ensemble des repres qui le matrialisent(voir 2.2.4).

Nom Structure Espacement Nombre Prcision

RRF Rseau spatial 200 km 23 107

RBF Les 1 000 GPS plus 1e et 2e ordres de la NTF 12 km 6 000 106

RDF Nouveaux points implants sur les lignes de nivellement des 1er, 2e et 3e ordres

3 km 30 000 quelque 106

Fig. 2.45. : Le RGF en trois niveaux


tablissement du rseau RRF

Le Rseau de Rfrence Franais (RRF) possde 23 points (fig. 2.46.). Il se caractrisecomme suit :

l une prcision relative de 0,1 ppm (107, soit 0,1 mm/km) ; la prcision entre deuxsites du RRF est centimtrique, et sa cohrence vis--vis du rseau europen estgalement centimtrique ;

l une campagne Very Long Base Interferometry (VLBI) ; cest la technique la plusprcise de positionnement ; elle fait appel des mesures astronomiques. Cette cam-pagne a permis de dterminer six points en Europe dont deux en France : Brest etGrasse. Les coordonnes de ces points sont connues avec une prcision relative de0,01 ppm (1 cm sur 1 000 km ; remarquons qu ce niveau de prcision, la drive descontinents nest plus ngligeable !) ;

l ces points ont servi dappui 93 points observs la mme anne par une campagneGPS, dont six nouveaux points en France : Saint-Mand, Longeville, Nanay, Saint-Gilles et Toulouse. Ils sont en quelque sorte le rseau de base du RRF ;

l puis trois campagnes pour les 15 autres sites reprsentant le rseau complmentairedu RRF.

Fig. 2.46. : Rseau de Rfrence Franais (23 sites)


Le RRF participant llaboration des rseaux europens et intercontinentaux, il permetau RGF dtre cohrent avec les rfrences mondiales.

tablissement du rseau de base franais (RBF)

Le Rseau de Base Franais (RBF) possde 1 009 points (y compris le rseau RRF).Il est le deuxime niveau hirarchique du RGF et comprend un millier de sites godsi-ques uniformment rpartis tous les 25 km en moyenne ; leurs coordonnes sont dter-mines partir de celles du RRF par des mthodes GPS permettant de conserver laprcision centimtrique (prcision relative 4 . 107).Il est plus particulirement destin aux utilisateurs de GPS qui pourront, grce au RBF,se positionner au centimtre prs, partout en France, en utilisant des mthodes GPSmonofrquence, ou GPS statique-rapide. 63 % des sites sont entirement nouveaux et37 % sont des sites anciens NTF repris et complts. Ces points sont dj disponiblessous forme de fiches imprimes (comme les points godsiques de la NTF).Les principales caractristiques du RBF sont les suivantes :

l la prsence dau moins deux repres par site, de dfinition millimtrique ;l laccessibilit tout vhicule, par tout temps ( moins de 30 m) ;l son adaptabilit tout type dexploitation, aussi bien traditionnelle que par GPS : il y

a possibilit de mise en station et absence de masque en direction du Sud ; l des coordonnes de prcision centimtrique dans le nouveau systme RGF 93 ;l les coordonnes NTF (Lambert) et les altitudes NGF seront disponibles.La plupart de ces sites tant rattachs directement des points NTF et des repres NPF,le RBF fournira de nombreux points dans les diffrents systmes (NTF et WGS 84).Ltude des diffrents jeux de coordonnes ainsi disponibles permettra lIGN de dfinirdes procds de transformation permettant de passer aisment dun systme godsique lautre ; ces paramtres de transformation seront vraisemblablement fournis pourchaque feuille au 1/25 000.

tablissement du rseau de dtails franais (RDF)

Le Rseau de Dtails Franais (RDF) sera constitu dun nouveau canevas de points lelong des 75 000 km lignes des 1er, 2e et 3e ordre du NPF (Nivellement de Prcision de laFrance, voir 6). Les caractristiques gnrales sont les suivantes :l les points seront situs le long des itinraires du NPF : un point RDF tous les trois

kilomtres soit 25 000 points et 5 000 points complmentaires choisis entre les lignesdes trois ordres du NPF ;

l coordonnes RGF 93 dtermines par GPS (statique rapide) en sappuyant sur leRBF ;

l dterminations altimtriques subcentimtriques (altitudes normales).


Matrialisation

Pour garantir une prcision relative de 1 ppm (1 mm par km), la dfinition gomtriquedes points doit tre millimtrique.

Pour le RRF, le type de matrialisation retenu est une borne de 1 m3 de bton implanteau ras du sol, double par une borne de 0,5 m 0,5 m 0,8 m. Les deux bornes ont aucentre de leur face suprieure un repre en laiton du type IGN.

Pour le RBF, il faut distinguer :

a) 37 % des sites appartenant la NTF : onretrouve la borne en granit grave IGN : aucentre de la croix grave au sommet de la borneest rajout un repre en laiton permettant un cen-trage de prcision millimtrique et une meilleuredfinition altimtrique. Dautre part, gnrale-ment sur le radier est appose une plaque identi-ficatrice en bronze (ci-contre) signalant que cepoint godsique a bien t nouveau dtermindans le nouveau systme RGF.

b) 63 % des sites entirement nouveaux ; deux types de matrialisation ont t conus :l une borne dite borne RBF lourde , constitue dun bloc de bton cylindrique de 50

cm de diamtre pour un mtre de profondeur. La partie visible est un radier carr rasdu sol de 60 cm de ct, muni dun repre hmisphrique en laiton en son centre, etsignal par la plaqu

Documents

Chapitre2 Géodesie cartographie