Chapitre 2 Le théorème de Pythagore 2019-2020 4ème I – Racine carré d’un nombre positif Définition : La racine carré d’un nombre positif ou nul 𝑦 est un nombre positif 𝑥 qui, élevé

au carré (multiplié par lui-même) donne 𝑦. Autrement dit : 𝑦 = 𝑥 × 𝑥 = 𝑥& , 𝑥 est la racine carrée de 𝑦

Exemples : la racine carrée de 25 est 5 car 5 × 5 = 25 La racine carrée de 121 est 11 car 11 × 11 = 121 Notation : on considère 𝑥un nombre positif. La racine carrée de 𝑥 est notée √𝑥 Exemple : on cherche la racine carrée de 36. √36 = 6 car 6 × 6 = 36 II – Le théorème de Pythagore Définition : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

Théorème : Dans un triangle rectangle, la longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la

somme des carrés des longueurs des deux côtés qui forment l’angle droit. Exemple : On considère le triangle ABC rectangle en A ci-contre : Rédaction : comme le triangle ABC est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on a :

𝑩𝑪𝟐 = 𝑨𝑪𝟐 + 𝑨𝑩𝟐

• Calcul de l’hypoténuse On considère le triangle ABC rectangle en A. Question : calculer la longueur BC. Rédaction : comme le triangle ABC est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on a : 𝐵𝐶& = 𝐴𝐶& + 𝐴𝐵& 𝐵𝐶& = 4& + 3& 𝐵𝐶& = 16 + 9 = 25 Donc 𝐵𝐶 =√25 = 5

• Calcul de l’un des deux côtés formant l’angle droit On considère le triangle ABC rectangle en A. Question : calculer la longueur AC. Rédaction : comme le triangle ABC est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on a : 𝐵𝐶& = 𝐴𝐵& + 𝐴𝐶& 13& = 5& + 𝐴𝐶& 169 = 25 + 𝐴𝐶& 𝐴𝐶& = 144 − 25 𝐴𝐶& = 144 Donc 𝐴𝐶 =√144 = 12

Chapitre 2 Feuille 1 2019-2020 4ème Exercice 1 : 1) Compléter le tableau suivant :

a 0 1 7 12 10 𝒂𝟐

2) Compléter les phrases suivantes par « est le carré de » ou « est la racine carrée de ».

a) 0 …………………………………… 0.

b) 49 …………………………………. 7

c) 12 …………………………………. 144.

d) 1 ……………………………………. 1.

e) 10…………………………………. 100.

Exercice 2 : Compléter le tableau suivant.

a 9 144 √𝒂 5 10 𝒂𝟐 16

Exercice 3 : Trouver un encadrement de la racine carrée des nombres suivants :

(On cherchera à encadrer la racine carrée entre deux nombres entiers consécutifs.) Exemple : On cherche à encadrer la racine carrée de 110. 10& = 100 et 11& = 121 donc : 10 < √110 < 11 après vérification √110 ≈ 10,49 donc l’encadrement est correct.

1) Encadrer la racine carrée de 89.

2) Encadrer la racine carrée de 34.

3) Encadrer la racine carrée de 54.

4) Encadrer la racine carrée de 17.

5) Vérifier la vraisemblance de vos résultats à l’aide de la touche √ de

la calculatrice.

(Calculer une valeur approchée des racines carrées et vérifier que

l’encadrement est correct)

Chapitre 2 Feuille 2 2019-2020 4ème Exercice 1 : Dans chaque préciser l’hypoténuse du triangle rectangle, et appliquer le

théorème de Pythagore.

Exercice 2 : Dans chacun des trois triangles rectangles (ABD, ABC et ADC) de cette

figure, appliquer le théorème de Pythagore.

Exercice 3 : Associer à chaque triangle rectangle, l’égalité de Pythagore qui lui

correspond.

Exercice 4 : Dans chaque cas, réaliser une figure à main levée pour laquelle l’égalité

proposée est vraie :

a) 𝐴𝐸& = 𝐶𝐴& + 𝐶𝐸& b) 𝐺𝐼& = 𝐼𝐻& + 𝐺𝐻& Exercice 5 : En utilisant la figure ci-contre, compléter chaque égalité :

a) 𝐴𝐶& = ⋯+⋯ b) 𝐵𝐶& = 𝐷𝐵& +⋯ c) … = 𝐷𝐸& +⋯ d) … = ⋯+ 𝐴𝐵& e)

Chapitre 2 Feuille 3 2019-2020 4ème Exercice 1 : a) Tracer à main levée, un triangle RTA rectangle en R tel que RT = 7,2

cm et RA = 5,4 cm. b) Calculer la longueur de l’hypoténuse AT.

Exercice 2 : a) Tracer à main levée, un triangle UVW rectangle en V, tel que VW =

7,7 cm et VU = 8,5 cm. b) Calculer la longueur UW.

Exercice 3 : Le cadre de ce BMX est un triangle ABC rectangle en B avec :

AB = 50 cm et BC = 20 cm Calculer la longueur du tube inférieur [AC], en cm. Vous donnerez une valeur approchée au dixième près.

Exercice 4 : Lors de l’épreuve au sol, les gymnastes évoluent sur un tapis carré de 12 m

de côté. Calculer la longueur de sa diagonale, en m. Donner une valeur approchée au centième près.

Exercice 5 : On considère la figure suivante :

A est le centre du cercle. ABCD est un carré et DEFG est un carré.

1) AB = 10 cm Montrer que 𝐴𝐶 = √200𝑐𝑚

2) Expliquer pourquoi 𝐴𝐸 =√200𝑐𝑚 3) Montrer que l’aire du carrée DEFG est le triple

de l’aire du carrée ABCD.

Chapitre 2 Feuille 4 2019-2020 4ème Exercice 1 : a) Construire à main levée, le triangle DEF rectangle en D tel que DF = 8

cm et FE = 17 cm. b) Calculer la longueur DE.

Exercice 2 : a) Construire à main levée, le triangle LMN rectangle en N tel que

LM = 29 cm et MN = 21 cm b) Calculer la longueur LN.

Exercice 3 : Sur cette carte de Martinique, le triangle MLA est

rectangle en L. Calculer la longueur LM en km. Donner une valeur approchée au dixième près.

Exercice 4 : Une échelle de 3 m de long est posé verticalement le long

d’un mur perpendiculaire au sol. On éloigne l’extrémité bas de l’échelle de 1,80 m du mur. De quelle hauteur descend l’extrémité haut de l’échelle posée le long du mur ?