01 Table des matieres Avant-Propos Geometrie 1 N-A · 2017-07-10 · 2.2.2 Le théorème de Pythagore 12 2.2.3 Le théorème de Thalès 17 2.2.4 Le théorème d’Euclide et de la

Picchione Serge 2017-2018

GÉOMÉTRIE 1ère année

2.1 Polygones et calculs d'aires 1

2.1.1 Qu’est-ce que la géométrie ? 1

2.1.2 Les angles et leurs mesures 2

2.1.3 Les polygones 4

2.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir 8 2.2 Les premiers théorèmes 9

2.2.1 Introduction 9

2.2.2 Le théorème de Pythagore 12

2.2.3 Le théorème de Thalès 17

2.2.4 Le théorème d’Euclide et de la hauteur 23

2.2.5 Ce qu’il faut absolument savoir 27


2.3 Cercles et éléments de cercle 28

2.3.1 Définitions et rappels 28

2.3.2 Périmètre et aire du disque 29

2.3.3 Longueur d'un arc et aire d'un secteur 32

2.3.4 Angles inscrits et angles au centre 36

2.3.5 Ce qu’il faut absolument savoir 41 2.4 Trigonométrie dans le triangle rectangle 42

2.4.1 Définitions des rapports trigonométriques 42

2.4.2 Relations trigonométriques de base 49

2.4.3 Réciproques des rapports trigonométriques 50

2.4.4 Ce qu’il faut absolument savoir 62 2.5 Solutions des exercices 63


AVANT-PROPOS • Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en première année, en géométrie. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. • Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. • Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. • Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». • Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante : http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione • Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

BON TRAVAIL !


________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 1 Géométrie / Polygones et calculs d’aires / 1 N-A

2.1 Polygones et calculs d'aires 2.1.1 Qu'est-ce que la géométrie ? Ce mot vient du grec et signifie à peu près « mesure de la terre », à comprendre dans le sens « mesure des champs ». Au début elle servait à mesurer la taille de champs à cultiver et les dimensions de certains objets. Par exemple, quelle est la longueur du cerceau métallique qui entoure un tonneau d'un diamètre connu ? Au VIe siècle avant J.-C., Thalès de Milet déduit la hauteur de la grande pyramide de Kheops par un raisonnement géométrique. Plus tard les Grecs ont étudié de façon plus abstraite les propriétés des figures dans un plan. C'est la naissance des mathématiques rigoureuses. On cherche à démontrer certaines formules, on ne se contente plus de simplement les utiliser. Trois noms célèbres de la Grèce antique vont jalonner cette approche des fondements de la géométrie :

Pythagore de Samos

(environ 565-495 av. J.-C)

Thalès de Milet

(environ 625-547 av. J.-C.)

Euclide d’Alexandrie

(environ 330-275 av. J.-C.)

Situation géographique

Mer Méditerranée

Samos

Milet

Alexandrie


2.1.2 Les angles et leurs mesures Voici la nomenclature que nous utiliserons dans ce cours pour décrire les objets courants de la géométrie : Points : les points sont désignés par des lettres majuscules (ex. A, B, C, etc.).

Segments : Le segment qui relie A à B se note [AB]. La longueur du segment [AB] se note AB.

Droites : La droite passant par A et B se note (AB) ou dAB .

Demi–droites : La demi-droite d'extrémité A et passant par B se note [AB) . Définition

Un angle est une figure formée par deux demi-droites issues d'un même point appelé sommet de l'angle. Dans ce dessin le point O est le sommet de l’angle. [OA) et [OB) sont les côtés de l’angle.

Remarque L'alphabet grec se trouve dans la table C.R.M.

Les angles sont désignés par les lettres grecques minuscules α, β, γ, δ , etc.

On peut aussi désigner les angles au moyen de 3 points ; on place dans ce cas le "point-sommet" au milieu et on note AOB . Définition

Un degré est la mesure d'un angle dont le sommet est sur le centre d'un cercle et dont les côtés interceptent un arc de cercle égal à 1/360 de la circonférence. Notation : 1 degré ≡ 1°.

Remarques

a) Afin de ne pas alourdir la notation, on note de la même façon un angle et sa mesure. Autrement dit : on parlera « d’angle α de 45°» ou « α = 45°» par exemple.

b) L'instrument le plus utilisé pour mesurer un angle est le rapporteur (demi-cercle subdivisé en 180 parties égales).

C •

B • • A

• A

B •

AB

AB • •

A

B •

• dAB

A

B

O α

•

• •


α

• Angles particuliers 1) Un angle plat est un angle dont le sommet est situé sur une droite et dont les 2 côtés sont les 2 demi-droites formant la droite. Un angle plat mesure 180°. 2) Un angle droit est la « moitié » d’un angle plat. Il mesure donc 90°. Notations : 3) Deux angles α et β sont dits supplémentaires quand leur somme donne un angle plat.

α + β = 180° 4) Deux angles α et β sont dits complémentaires quand leur somme donne un angle droit.

α + β = 90° 5) Dans la situation suivante, si les droites d et d’ sont parallèles, et si s est une sécante on dit que :

α et γ sont correspondants.

β et δ sont correspondants.

β et γ sont alternes-internes.

α et δ sont alternes-externes.

α et β sont opposés par le sommet.

γ et δ sont opposés par le sommet. De plus : α = β = γ = δ

α β

α

β α

s

d

d’ α

β γ

δ

•


Triangle Pentagone convexe

Hexagone convexe

Heptagone convexe

Ennéagone concave

Quadrilatère concave

Pentagone régulier

Hexagone régulier

Octogone régulier

2.1.3 Les polygones Définition

Un polygone est une ligne brisée fermée qui, pour simplifier les formes à étudier, ne se recoupe pas elle-même.

Un n-gone est une abréviation pour dire un polygone à n côtés.

Remarques

a) Chaque sommet définit un angle du polygone (du grec : poly = plusieurs et gônia = angle). b) Il y a autant d'angles intérieurs que de côtés et de sommets. c) Les polygones les plus fréquents portent un nom particulier :

Nombre de côtés Nom du polygone Nombre de côtés Nom du polygone

3 Triangle 9 Ennéagone 4 Quadrilatère 10 Décagone 5 Pentagone 12 Dodécagone 6 Hexagone 15 Pentédécagone 7 Heptagone 20 Icosagone 8 Octogone

d) Si un polygone possède au moins un angle intérieur supérieur à 180° on dit qu’il est concave alors qu’autrement on dit qu’il est convexe. Ce cours se limite à l’étude des polygones convexes. e) Un polygone est régulier si tous ses côtés et tous ses angles sont égaux. Tous les polygones réguliers et tous les triangles sont convexes.


Définition

Un triangle est un polygone à trois côtés.

Pour désigner ses différentes composantes, on utilise les conventions suivantes :

• les lettres majuscules désignent les sommets du triangle (souvent A, B et C), ils sont placés dans l’ordre inverse du sens des aiguilles d’une montre.

• les lettres minuscules désignent les côtés ou leur longueur, le côté a est le côté qui est opposé au sommet A, le côté b est le côté qui est opposé au sommet B, etc.

• les lettres minuscules grecques désignent les angles, l’angle α (alpha) se trouve au sommet A, l’angle β (bêta) au sommet B, l’angle γ (gamma) au sommet C. Triangles particuliers

Trois types de triangles portent un nom particulier : • Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. • Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins 2 angles égaux (⇔ 2 côtés égaux). • Un triangle équilatéral est un triangle qui possède 3 angles égaux (⇔ 3 côtés égaux). Définition

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

Pour désigner ses différentes composantes, on utilise des conventions similaires à celles utilisées pour le triangle. Quadrilatères particuliers Carré, rectangle, trapèze, parallélogramme, etc.

C

A B

ab

c α

γ

β

A B

C

a

b

c

α

γ

β

Dδ

d


Activité 1 (classification des quadrilatères)

Compléter le schéma de classification des quadrilatères en fonction de leurs caractéristiques :

Définition

Un polygone est régulier si tous ses angles sont égaux et tous ses côtés sont égaux.

Polygones réguliers particuliers Triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, etc.

Triangle Carré Pentagone Hexagone équilatéral régulier régulier (3 côtés) (4 côtés) (5 côtés) (6 côtés)

Définitions

Remarques

a) Il existe une infinité de polygones réguliers. b) Tout polygone régulier admet un cercle circonscrit, inscrit et un centre. c) apothème a < rayon r

• Le cercle circonscrit au polygone régulier est le cercle qui passe par les sommets du polygone régulier. (rayon du cercle circonscrit : r sur le dessin)

• Le cercle inscrit au polygone régulier est le cercle qui est tangent à tous les côtés du polygone régulier. (rayon du cercle inscrit : apothème a sur le dessin)

• On appelle centre (O sur le dessin) d'un polygone régulier le centre des cercles inscrit et circonscrit au polygone. Les deux cercles sont concentriques.

Les côtés de même longueur

Une paire de côtés parallèles

L'autre paire de côtés parallèles

Les angles de même grandeur

Les angles de même grandeur Les côtés de même longueur

O

r

a

cercle circonscrit

cercle inscrit

polygone régulier


O

c

a

Activité 2 (Calculs d'aires de polygones) a) Soit un rectangle dont les côtés mesurent respectivement a et b. Nous admettrons que l'aire d'un rectangle est égale à a·b.

Aire du rectangle ABCD = a⋅b

b) Déduire l’aire d'un parallélogramme à partir de l’aire d'un rectangle. (Justification et dessin explicatif)

Aire du parallélogramme ABCD =

c) Déduire l’aire d'un triangle à partir de l’aire d'un parallélogramme. (Justification et dessin explicatif) Ici, la hauteur h est la distance d'un sommet à la droite supportant le côté opposé (appelé base).

Aire du triangle ABC =

d) Déduire l’aire d'un trapèze à partir de l’aire d'un triangle. (Justification et dessin explicatif)

Les deux côtés parallèles [AB] et [DC] sont appelés les bases et la distance entre les bases est la hauteur h du trapèze.

Aire du trapèze ABCD =

e) Déduire l’aire d'un losange à partir de l’aire d'un rectangle. (Justification et dessin explicatif) Les segments [AC] et [BD] sont appelés les diagonales du losange.

Aire du losange ABCD =

f) Déduire l’aire d'un polygone régulier à n côtés à partir de l’aire d'un triangle. (Justification et dessin explicatif)

Aire du polygone régulier à n côtés =

A B

CD

a

b

A B

CD

b

h

A B

C

b

h

A B

CD

b

h

b'

CA

B

D

dd'


2.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir 1♥ Connaître la nomenclature qui permet de décrire les objets courants de la géométrie ok

2♥ Connaître la définition d'un angle ok

3♥ Connaître la définition d'un degré ok

4♥ Connaître le début de l’alphabet grec en minuscule ok

5♥ Savoir reconnaître des angles particuliers (plat, droit, correspondants, etc.) ok

6♥ Connaître la définition d'un polygone et le nom des polygones les plus fréquents ok

7♥ Savoir reconnaître des triangles particuliers (isocèle, etc.) ok

8♥ Savoir reconnaître des quadrilatères particuliers (trapèze, losange, etc.) ok

9♥ Connaître la définition d'un polygone régulier ok

10♥ Déduire et connaître les formules donnant l’aire de polygones simples (rectangle, parallélogramme, triangle, etc.) ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 9 Géométrie / Les premiers théorèmes / 1 N-A

1T

2Tα β

γδ

λ

φ

2.2 Les premiers théorèmes 2.2.1 Introduction Théorème de la somme des angles dans un triangle

hypothèse conclusion

Dans un triangle la somme des angles vaut 180°. 180α + β + γ =

Démonstration i) On trace deux droites parallèles d et d’. ii) On a : δ + γ + ε = 180° Angle plat.

iii) On a : α = δ et β = ε Angles alternes-internes.

⇒ α + γ + β=180° (fin de la démonstration) Remarque

La démonstration de ce théorème est attribuée à Pythagore lui-même. Corollaire

hypothèse conclusion

Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360°.

Démonstration

i) Un quadrilatère est toujours la réunion de deux triangles.

ii) On utilise le théorème :

« Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ».

180 180

( ) ( ) 360+ + = ° + + = °

⇒ + + + + + = °etα β γ δ λ φ

α φ β γ δ λ

Définitions

Un axiome est un énoncé admis comme vrai sans justification, ou règle arbitraire ne menant à aucune contradiction, une sorte de « règle du jeu ».

Exemples

a) « Par deux points distincts, il ne passe qu’une seule droite ».

b) « Deux droites parallèles n'ont aucune intersection ou conservent une même distance ».

d

d’

ε

α β

γ δ


Remarques

a) Un énoncé est vrai si il est toujours vrai.

b) Un énoncé est faux si il n’est pas toujours vrai.

« Si n est un nombre entier relatif alors 2n est un nombre entier naturel non nul » est un énoncé faux. On n’admet pas d’exception : un énoncé qui est parfois vrai et parfois faux est mathématiquement faux. Une conjecture est un énoncé dont on a l’intuition qu’il est vrai mais qui ne connaît pas encore de démonstration.

Exemples

a) Conjecture de Goldbach

« Tout nombre entier pair strictement supérieur à trois peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé deux fois) ».

b) Conjecture de Legendre « Pour tout entier n positif, il existe un nombre premier entre 2n et ( )2n 1+ ». Remarque

Il existe des milliers de conjectures mathématiques. Certaines font l’objet de recherche de la part de chercheurs (en mathématiques, physique, etc.) qui travaillent dans des universités ou des écoles d’ingénieurs. Un théorème est un énoncé que l’on peut démontrer être vrai.

Exemples

a) « Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ».

b) « Si un nombre entier est divisible par 6 alors il est pair ». Remarques

a) Un théorème est toujours composé d’une hypothèse et d’une conclusion.

L'hypothèse est constituée des données et de leurs propriétés connues. Elle doit permettre de démontrer la conclusion du théorème. La conclusion d’un théorème est la propriété découlant logiquement des hypothèses.

Exemple a) : Hypothèse : « Dans un triangle » . Conclusion : « La somme des angles vaut 180° »

b) La formulation habituelle d'un théorème est de la forme :

« Si hypothèse alors conclusion » ou « hypothèse ⇒ conclusion ».

c) Une démonstration est une suite de raisonnements logiques justifiés par les hypothèses, des axiomes et définitions.


Un corollaire est un théorème qui est la conséquence immédiate ou un cas particulier d'un autre théorème.

Exemple

« Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360° » est un corollaire du théorème suivant : « Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ». Remarque

La démonstration d’un corollaire fait donc appel à d’autres théorèmes.

La réciproque d’un théorème est un énoncé obtenu en inversant hypothèse et conclusion.

Exemple

La réciproque de « Si un nombre entier est divisible par 6 alors il est pair » est « Si un nombre entier est pair alors il est divisible par 6 ». Remarques

a) La réciproque d’un théorème n’est pas toujours vraie ce qui est le cas dans l’exemple ci-dessus.

b) La réciproque des théorèmes de Pythagore et de Thalès sont vraies.

Exercice 1 Calculer la valeur des angles 1 2 et δ δ sachant que 34α = ° .

α

δ1 α

δ5 δ2

δ3 δ4


2.2.2 Le théorème de Pythagore Pythagore de Samos (environ 565-495 av. J.-C) est considéré comme le père des mathématiques grecques. Son éducation de base porta surtout sur les disciplines littéraires et artistiques. Il apprit la poésie, en particulier l'oeuvre d'Homère, et la pratique de la lyre. Comme professeurs, il eut trois philosophes qui l'influencèrent beaucoup. Le plus marquant fut Pherekydes, mais il aurait aussi été l'élève de Thalès et d'Anaximandre qui l'initièrent aux mathématiques. L’école pythagoricienne (secte) était une académie où l’on étudiait la philosophie, les mathématiques, les sciences naturelles en plus de pratiquer des rites secrets. Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est le côté le plus long. Les deux autres côtés s'appellent les cathètes.

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse.

2 2 2a b c+ =

Remarques

a) Hypotèse : « Un triangle est rectangle »

Conclusion : « La somme des carrés des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse ».

b) a b c ; a c ; b c+ > < <

Démonstration

1) On construit deux carrés. On obtient aussi quatre triangles rectangles (voir la figure). Les côtés de ces carrés mesurent respectivement a+b et c.

2) Calculons l'aire du "grand carré" de deux manières différentes :

2 2

aire duaire du carré deaire d uncarré de côté "c"trianglecôté "a + b"rectangle

a b( a b ) 4 c2

′

⋅+ = ⋅ +

3) Développons et simplifions cette relation :

2a 2ab+ 2b 2ab+ = 2 2 2 2c a b c+ ⇔ + = Remarque

La réciproque du théorème de Pythagore est également vraie :

Si 2 2 2a b c+ = alors le triangle dont les côtés mesurent a, b et c est rectangle.

Illustration

c2

a2

b2

a

b

c

a

b

c

a

b c

a

b c

a

b

c


Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Faire un dessin avec des légendes ; indiquer les données du problème.

2) Identifier et noter dans le dessin les triangles rectangles. (hypothèse du théorème de Pythagore)

3) Écrire les égalités entre les longueurs des côtés des triangles rectangles. (conclusion du théorème de Pythagore)

4) Utiliser ces égalités pour calculer les longueurs désirées. (résolution d’une équation) De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 2 (spirale de Théodore de Cyrène)

Sachant que : OA AB BC CD DE EF 1 cm= = = = = = ,

calculer en valeur exacte les longueurs suivantes :

OB, OC, OD, OE et OF . Exercice 3

Calculer l'aire et le périmètre du trapèze ABCD.

AB 35cm= BC 47 cm=

AD 82cm= h 25cm=

Exercice 4

Calculer l’aire de la figure hachurée.

Exercice 5

Les deux cercles ont 5 cm de diamètre.

Calculer la hauteur h.

Indication : utiliser le centre des cercles.

A D

C B

h

A

B

CD

E

F

O

17 cm a

a

b

b

8 cm

• h

•


Exercice 6 Calculer x en fonction de a. Exercice 7 a) Un triangle qui a des côtés de longueur 3 m, 4 m et 5 m est-il rectangle ?

b) Un triangle qui a des côtés de longueur 12 m, 13 m et 14 m est-il rectangle ?

c) Si Le Cap se trouve à 1275 miles de Johannesburg, si Durban est à 765 miles de Johannesburg et si Le Cap est à 1020 miles de Durban, quel est alors l'angle formé à Durban entre les routes directes toutes droites vers Le Cap d'une part et vers Johannesburg d'autre part ? Exercice 8 Calculer x. Exercice 9

Voici des corps On sait que Calculer

ceci est un cône droit.

AB BC 26 m= = CD

ceci est un cube.

AD 125 m= AB

Exercice 10

Peut-on rentrer une règle de 75 cm de long dans une boite à outils dont la base et chacun des côtés sont rectangulaires et qui mesure 60 cm de long, 30 cm de large et 20 cm de haut ?

Justifier votre réponse avec des calculs et un dessin est exigé.

B C D

A

x y

a 2a

4a

x 3

5

A B D

C


Exercice 11

Les pyramides égyptiennes de Gizeh sont des pyramides droites à base carrée. a) Calculer la hauteur et le volume de la pyramide de Kheops. b) Quelles seraient les dimensions d'un cube (longueur d'une arête) ayant le même volume que la pyramide de Kheops ? c) Si le cube représentait un immeuble d'habitation, combien aurait-il d'étages ?

Les pyramides égyptiennes de Gizeh ont

été les dernières demeures des pharaons

Kheops, Khephren et Mykérinos. Elles

ont été construites vers

2600 avant J-C. La plus grande de ces

pyramides fut construite pour recevoir le

corps du souverain Kheops .L'un de ses

successeurs, Mykérinos, décida de

construire une pyramide dont le volume

n’est pas le dixième de celle de Kheops.

Les pyramides font partie des sept

merveilles du monde.

Exercice 12

1) Calculer la longueur d de la diagonale d'un carré de côté a.

2) Calculer la longueur d de la diagonale d'un cube de côté c.

3) Calculer la longueur c du côté d'un cube de diagonale d.

4) Calculer la hauteur h d'un triangle équilatéral de côté a.

5) Calculer l'aire A d'un triangle équilatéral de côté a.

220 m

231 m A B

C

D

H


x

2R

•

• •

Exercice 13 *

On sait que dans un triangle la somme des angles intérieurs est égale à 180° (voir théorème des angles dans un triangle). A l’aide de ce résultat, démontrer que :

a) dans un quadrilatère, la somme des angles intérieurs est égale à 360°.

b) dans un pentagone la somme des angles intérieurs est égale à 540°.

c) dans un polygone à n côtés la somme des angles est égale à ( )n 2 180− ⋅ ° . Exercice 14 *

Démontrer le théorème de Pythagore à l'aide du dessin ci-contre qui comporte deux carrés. Exercice 15 *

Les cercles sont tangents entre eux.

Démontrer que Rx3

= .

Exercice 16 *

ABC est un triangle rectangle en A. On a construit un demi-cercle sur chacun de ses côtés pris comme diamètre. On a ombré les « lunules » compris entre le grand demi-cercle et les deux autres.

Démontrer : ( ) ( ) ( )1 2Aire C Aire C Aire T+ = Exercice 17 *

Deux randonneurs munis d'émetteurs-récepteurs quittent le même point à 9 h, l'un marchant plein sud à 4 km/h et l'autre allant plein ouest à 3 km/h. Combien de temps pourront-ils communiquer l'un avec l'autre si chaque radio a une portée maximale de 2 km ?

Réponse en : heure / minute / seconde

a b

c

a b

c a

b c

a

b c

A

C BO

C1

C2

T

•

• •


2.2.3 Le théorème de Thalès Thalès de Milet (environ 625-547 av. J.-C.), l’un des sept sages de l’Antiquité était un savant grec, astronome, philosophe et mathématicien. Le théorème de Thalès est connu et utilisé depuis l’Antiquité : il permet de calculer des longueurs inaccessibles, par exemple la hauteur d’une pyramide ou la profondeur d’un puit. Définitions

• Deux triangles sont semblables s’ils possèdent les mêmes angles.

• Deux côtés appartenant respectivement à deux triangles semblables sont dits correspondants s’ils sont opposés au même angle.

Exemple (BC) // (DE)

• Les triangles ABC et ADE sont semblables car :

- les angles AED et ACB sont correspondants. - les angles ADE et ABC sont correspondants.

On note alors : Δ ABC ≈ Δ ADE

• Les cotés [AC] et [AE] sont correspondants, car ils sont opposés à l’angle β (bêta).

Définitions

• Le rapport de deux nombres a et b est le quotient de ces deux nombres.

• On dit que ab

est égal à cd

si : *a c ad bc a,b,c,db d

= ⇔ = ∈

Exemple

Le rapport de 3 et 4 est 34

et 34

est égal à 68

car 3 6 3 8 4 64 8

= ⇔ ⋅ = ⋅ .

Activité

Prendre les mesures nécessaires sur les triangles ci-dessus pour compléter ce tableau : (Unité : le cm)

Côtés du triangle ADE AD ≅ AE ≅ DE ≅

Côtés du triangle ABC AB ≅ AC ≅ BC ≅

Rapport des côtés correspondants ADAB

≅ AEAC

≅ DEBC

≅

Que constate-t-on ?

A

B

C

E D

α

β

β

γ

γ


Théorème de Thalès

Si deux triangles sont semblables alors les rapports des côtés correspondants sont égaux.

ADE AD AE DEABC AB AC BC

ΔΔ

γ β α

→= =

→

↑ ↑ ↑

Illustration Démonstration

Si le triangle ADE est semblable au triangle ABC alors la droite passant par DE est parallèle à la droite passant par BC. Le triangle BDE a la même aire que le triangle CDE parce qu'ils ont la même base DE et qu'ils sont compris entre les mêmes parallèles (DE) et (BC). En leur ajoutant à tous deux le triangle ADE, nous obtenons deux nouveaux triangles de mêmes aires, à savoir ABE et ACD. On peut donc écrire :

2 1

2 1

AD h AE haire( ADE ) aire( ADE ) AD AE2 2aire( ABE ) aire( ACD ) AB h AC h AB AC

2 2

⋅ ⋅

= ⇔ = ⇔ =⋅ ⋅

Un argument similaire permet d'établir la proportionnalité : AE DEAC BC

=

Remarque

La réciproque du théorème de Thalès est également vraie :

Si AD AE DEAB AC BC

= = alors les triangles ABC et ADE sont semblables.

A

B

C

E D

h2h1

A

B

C

E D

α

β

β

γ

γ




2) Identifier dans le dessin les triangles semblables. (hypothèse du théorème de Thalès) Vérifier à l’aide des propriétés sur les angles que les triangles présents sont bien semblables.

3) Écrire les égalités entre les rapports des côtés correspondants (conclusion du théorème de Thalès).

4) Utiliser ces égalités pour calculer les longueurs désirées. (résolution d’une équation) De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 18

a) Les droites ABd et CDd sont parallèles. AS 8 cm , BS 12 cm , DS 18 cm , AB 9 cm= = = = Calculer CS et CD. b) Les droites ABd et CDd ne sont pas parallèles. BS 4 m , DS 10 m , AB 8 m , AS 9 m , AC 9 m= = = = = Calculer CD.

Exercice 19 Les droites ABd , CDd et EFd sont parallèles.

AB 126, EF 210, BF 98 , AC 20 , CE 8= = = = =

Calculer BD et CD. Exercice 20 [ED] // [BC]

AD = 32 m , AC = 51 m , DE = 38 m , AB = 45 m

Calculer BC et AE . Exercice 21 AC = 5 m , AE = 11 m , BC = 4 m , DE = 12 m

Calculer AB et CD .

S

B A

D

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B C α

α

D A

F C

B

E


Exercice 22 Sachant que AB = 8 mm ; BE = 7 mm ; BC = 12 mm

calculer AC , CD et DE .

Exercice 23

CE = 111 km ; BC = 35 km ; ED = 36 km

a) Calculer AB et BD .

b) Calculer l’aire de la surface hachurée. Exercice 24

[AF] // [BE] et [AC] // [FE] BC = 54 cm CD = 45 cm EF = 18 cm AF = 100 cm Calculer FD et BD . Exercice 25

[BC] // [DE] AD 5= BD 10=

FE 4= BC 18= Calculer BF . Exercice 26

[AD] // [BC]

Calculer l’aire de la surface hachurée.

D

E

A

B

C

F

F

E D

C B

A

D

E C

B

A

B

C AD

E

8 m

24 m

16 m

h1

h2


Exercice 27

Calculer la profondeur p du puits. Exercice 28

Pour mesurer la hauteur H de la pyramide de Kheops, Thalès recourt à un bâton de longueur p = 2 m qu'il tient verticalement par rapport au sol. Il fait mesurer la base b = 230 m de la pyramide, la longueur S = 300 m de son ombre, ainsi que l'ombre s = 5,7 m du bâton.

Calculer la hauteur H de cette pyramide.

Remarque : C'est en hommage à cette idée qui permit cette mesure que le théorème correspondant fut attribué à Thalès par les mathématiciens du 18e siècle.

0.2 m

p

1,2 m

1,7 m

H

b/2 S s

p

Rayons du Soleil (supposés parallèles)


Exercice 29

Le mathématicien et astronome Eratosthène, (environ 280-198 av. J.-C.), avait évalué le rayon de la Terre à partir des observations suivantes :

À midi, le jour du solstice d’été, dans deux villes de l'actuelle Égypte : Syène (ville qui s'appelle aujourd'hui Assouan, sur le Nil) et Alexandrie, il observe les ombres. A Syène, le Soleil est au zénith : les rayons du Soleil sont verticaux et l’on peut voir l’image du Soleil au fond d’un puits.

À Alexandrie, ville située sur le même méridien que Syène mais 800 km plus au nord, le Soleil est très haut dans le ciel mais pas au zénith. L’ombre d'un obélisque vertical a une longueur égale au 1/8 de sa hauteur.

(Un obélisque) Comme Eratosthène, vous avez tous les éléments pour déterminer approximativement le rayon, puis le diamètre et le périmètre de la Terre.

Alexandrie

Assouan (Syène)

Syène ∏

r

r

∏ Centre de la Terre

∏ Alexandrie 18

800

rayons du Soleil (supposés parallèles)


Exercice 30 (Introduction au théorème d’Euclide et de la hauteur) Compléter le tableau suivant : (2 décimales)

a b c a' b' h

3 4

2.2.4 Le théorème d’Euclide et de la hauteur Exercice 31

Euclide (environ 330-275 av. J.-C.), est le fondateur de l’école de mathématiques de l’université d’Alexandrie. Il est essentiellement connu pour avoir publié les ÉLÉMENTS, treize livres contenant une compilation de travaux antérieurs et traitant de géométrie, de théorie des nombres et d'algèbre élémentaire. Théorème d’Euclide et de la hauteur

Dans un triangle rectangle ABC d'hypoténuse c et de hauteur h, les projections des cathètes a et b sur l'hypoténuse sont désignées respectivement par a' et b'.

Sous ces hypothèses, nous avons : 2 2a a' c et b b' c= ⋅ = ⋅ (théorème d'Euclide) 2h a' b'= ⋅ (théorème de la hauteur)

a) Démontrer le théorème d'Euclide et de la hauteur.

Indication : Utiliser le théorème de Thalès.

b) Démontrer algébriquement ou géométriquement le théorème de Pythagore à l'aide du théorème d’Euclide.

C

A B

a b

c

b' a'

h

H

C

A B

a b

c b' a'

h

H


Exercice 32

Compléter les lignes du tableau suivant, en utilisant le théorème d’Euclide et de la hauteur : (2 décimales)

x y z u w k

I 20 m 5 m

II 18 cm 10 cm

III 24 mm 8 mm

IV 15 km 12 km Exercice 33

ABCD est un rectangle de diagonale DB 3= et DE EF BF 1= = = .

Sans utiliser le théorème de Pythagore :

a) Calculer les dimensions du rectangle.

b) Calculer l’aire du triangle ADE. Exercice 34

Le trapèze ABCD est rectangle en A et B. Ses diagonales se coupent à angle droit.

De plus AB 6= et BC 8=

a) Calculer : AC, EC, AE et BE .

b) Calculer l’aire du triangle CDE.

C

A B

x z

y

u w

k

H

1

1

1

A B

C D

E

F

D

B C

A

E


Exercice 35 *

Démontrer le théorème suivant :

Si les triangles ABC et ADE sont semblables alors AE EC ACAD DB AB

= =

Illustration Indication : Ce résultat est une conséquence du théorème de Thalès (c'est un corollaire).

Remarque : La réciproque de ce corollaire est également vraie.

Exercice 36 *


Si (AA') // (BB') // (CC') alors A' B' B' C' A' C'AB BC AC

= =

Autrement dit : Des parallèles déterminent sur deux sécantes des segments proportionnels.

Illustration

Indication : Ce résultat est une conséquence du théorème de Thalès (c'est un corollaire).

Remarque : La réciproque de ce corollaire est également vraie.

B' A

C'

B

A'

C

A

B

C

E D

α

β

β

γ

γ


Exercice 37 *

Démontrer que la longueur du segment [EF] ne dépend pas de l'écart x entre le segment [AD] et [BC].

Exercice 38 *

Démontrer le théorème de Pierre Varignon (1654-1722) :

« En joignant les milieux d'un quadrilatère ABCD quelconque, on obtient un parallélogramme IJKL ».

Illustration Exercice 39 * Ne tombez pas dans le trou ! Quel est le diamètre du plus grand trou circulaire que l’on peut recouvrir à l’aide de trois plaques carrées de 3 m de côté chacune, sans se chevaucher ? Exercice 40 *

Sachant que a = 1237 et b’ = 3781 , Calculer : b, c, h, et a'

•

•

• •

• •

•

•

L

D B

C

A

I

J K

x

E

D

C

A B F

c

a

b

Bc

C

A

a b

b' a'

h

H


Exercice 41 *

Considérons un cercle. d est le diamètre. c est la corde . f est la flèche. Établir une formule donnant la flèche f en fonction du diamètre d et de la corde c.

2.2.5 Ce qu’il faut absolument savoir

11♥ Connaître et appliquer le théorème de la somme des angles dans un triangle ok

12♥ Démontrer le théorème de la somme des angles dans un triangle ok

13♥ Connaître et appliquer le théorème de la somme des angles dans un quadrilatère ok

14♥ Démontrer le théorème de la somme des angles dans un quadrilatère ok

15♥ Connaître et appliquer le théorème de Pythagore ok

16♥ Démontrer le théorème de Pythagore ok

17♥ Connaître et appliquer le théorème de Thalès ok

18♥ Démontrer le théorème de Thalès ok

19♥ Connaître et appliquer le théorème d’Euclide et de la hauteur ok

20♥ Démontrer le théorème d’Euclide et de la hauteur ok

d

f c

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 28 Géométrie / Cercles et éléments de cercle / 1 N-A

2.3 Cercles et éléments de cercle

2.3.1 Définitions et rappels

• Un cercle est un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné. • Le point donné est le centre C et la distance donnée le rayon r du cercle. • Un disque est une partie finie du plan délimitée par un cercle. • Une droite est une sécante d'un cercle si elle coupe ce cercle en deux points A et B distincts. • Le segment limité par les deux points d'intersection d'une sécante est une corde (on peut la voir aussi comme l'intersection d'une sécante et d'un disque). • Le terme diamètre d est utilisé dans deux sens différents : d'une part, c'est une corde d'un cercle passant par le centre de ce cercle et d'autre part c'est la longueur de cette corde. • De la même façon, le terme rayon est utilisé pour un segment joignant le centre d'un cercle à un point de ce cercle et aussi pour la longueur de ce segment. (remarque : d = 2r) • Une droite est une tangente d'un cercle si elle coupe ce cercle en un seul point T. • Un angle au centre est un angle dont le sommet est situé au centre d'un cercle. • Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est situé sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle. α est un angle au centre β est un angle inscrit

α C

A

B

T

sécante

tangente

corde

diamètre d rayon r

C

•

•

•

•

β

• C


• Un arc de cercle est la partie d'un cercle interceptée par un angle au centre (c'est une courbe). • Un secteur de disque est la partie d'un disque interceptée par un angle au centre (c'est une surface). L est un arc de cercle S est un secteur de disque • On appelle segment circulaire la portion de disque comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend.

2.3.2 Périmètre et aire du disque Rappels

Le périmètre d'un disque (ou d'un cercle) est donné par la formule : P = 2π r

L'aire de ce même disque est donnée par la formule : A = π r2

Où π ≅ 3,14159265358979323846264338........ Remarques

a) Dans ces formules, r représente le rayon du cercle et π un nombre particulier qui se lit Pi.

b) Le nombre π, est un nombre irrationnel ; cela signifie qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers et que son écriture décimale est illimitée et non périodique.

c) Dans les calculs à la main, on prend en général l'approximation π ≈ 3,14. La calculatrice est munie d'une touche π qui donne une dizaine de décimales exactes.

α C

L

α C

S

α

Segment circulaire

α C

• C r

•

P = 2π r

•C r

•

A = π r2


La définition du nombre π Expérience Prenons une roue, peignons-la et faisons lui faire un tour sur le sol. Mesurons ensuite, la longueur de la trace faite par la peinture (périmètre P1 de la roue) et le diamètre d1 de la roue. Calculons pour

finir le rapport entre le périmètre et le diamètre ; on constate que 1

1

P 3,14d

≅ .

Prenons une roue avec un diamètre d2 différent de d1. Dans ce cas nous obtenons aussi : 2

2

P 3,14d

≅ .

Conclusion le rapport entre le périmètre et le diamètre du cercle (roue) est constant et vaut environ 3,14.

Donc on définit : P P d P 2r P 2 rd

π π π π= ⇔ = ⇔ = ⇔ = avec 3,14π ≅

Définition

p est défini comme étant le rapport constant entre le périmètre et le diamètre d'un cercle.

Remarques

a) Le périmètre P du cercle est proportionnel à son diamètre d car P dπ= . Application : Si le diamètre du cercle triple, le périmètre triple aussi.

b) Le périmètre P du cercle est proportionnel à son rayon r car P 2 rπ= . Application : Si le rayon du cercle diminue de moitié, le périmètre diminue aussi de moitié. La notation π

π est la seizième lettre de l'alphabet grec et la première lettre du mot grec περιμετρον, périmètre ou περιϕερεια, circonférence, périphérie. Il y a plusieurs versions sur l'apparition du symbole, mais l'époque est toujours la même : vers 1600. William Oughtred (1574-1660) en 1647 et Isaac Barrow (1630-1677) utilisent le symbole π pour représenter le périmètre d'un cercle de diamètre un. Euler, utilise la lettre π ,dans un ouvrage sur les séries, publié en latin en 1737 puis, en 1748, dans son ’’Introduction à l’analyse infinitésimale’’, ce qui imposa définitivement cette notation.

d1

• •P1

1 tour

d2

• • P2

1 tour


Le nombre π, un nombre "naturel" ?

π apparait dans de très nombreux problèmes physiques et mathématiques. Par exemple, on trouve, par intégration (voir cour de 4e année), des formules classiques telles que :

• le volume d'une sphère de rayon r = 34 r3

π

• le périmètre d'une ellipse = 2 2a b2

2π +

En astronomie, π est important puisque les planètes ont en première approximation une forme de sphère et décrivent des trajectoires elliptiques autour du Soleil.

Le nombre π, fait également partie des formules d'électromagnétisme. Et dans de nombreux autres cas... Lien entre le périmètre et l’aire du disque Expérience

• On suppose connue la formule donnant le périmètre du disque c’est à dire : P 2 rπ= .

• On découpe un disque en un nombre pair de secteurs de disques égaux et on dispose ces secteurs de façon à former une figure ressemblant à un « parallélogramme ondulé ».

• La hauteur du « parallélogramme ondulé » est environ égale au rayon r du disque.

• La base du « parallélogramme ondulé » est environ égale au demi-périmètre du disque, c’est-à-dire P/2.

• L’aire A du « parallélogramme ondulé » est donc environ égale à 2P 2 rA r r r2 2

π π≈ ⋅ = ⋅ = .

Conclusion

Si on augmente indéfiniment le nombre de secteurs de disques on peut admettre que l’aire A du « parallélogramme ondulé » et donc du disque, vaut exactement 2A rπ= .

r

b

a

Transformation

2 1 4

3

6 5 8

7

1 2 3 4

5 6 7 8 ≈ r

≈ P/2


2.3.3 Longueur d'un arc et aire d'un secteur L'aire du secteur S, la mesure de l'angle au centre α° (en degré), la longueur de l'arc L et le nombre de tours x qu'a parcouru un point Q sur le cercle sont des grandeurs proportionnelles et on a alors l’égalité entre les rapports suivants :

= = =

o

2 o

tours

tour

S L xr 360 2 r 1

απ π

Exercice 42

a) Compléter les lignes du tableau suivant : (2 décimales)

α r L S nombre de tours

I 45° 8,31 cm

II 50 m 90,57 m

III 120° 9,70 cm

IV 5,88 cm 90 cm2

V 10 cm 1/3

VI 30 m 1/4

VII 20° 90 dm2

VIII 10,12 m2 3/4

b) Démontrer la formule suivante : L rS 2⋅

=

αC

S

α

L

r

•Q

α C

S

α

L

r

•Q


a

a

• •

• •

•

•

•

•

• •

• • •

•

α b a

a

b

a a

a

a

Exercice 43

Calculer l’aire et le périmètre des surfaces ombrées. 1)

Le côté du carré mesure 5 cm.

2)

Le côté du carré mesure 4 m. 3)

Le rayon de chaque cercle mesure 3 km.

4)

Le côté du triangle équilatéral mesure 5 cm.

5)

L'angle α = 50°, a = 10 cm, b = 8 cm.

6)

Les portions de cercles sont des quarts de cercle.

7)

Les portions de cercles sont des quarts de cercle.

8)

Les cinq disques de la figure ont le même rayon.

Exercice 44

Un « pauvre » mouton était accroché par une corde de 7 mètres de long, à l'extrémité sud-est d'une bergerie dans un champ tout plat.

Quelle était donc la superficie d'herbe ainsi mise à sa disposition ? Indication : la corde peut être tendue et le mouton ne peut pas rentrer dans la bergerie.


Exercice 45

Calculer l’aire et le périmètre des surfaces ombrées.

1)

Le rayon du cercle mesure 10 km et 60λ = .

2)

Le côté de l'hexagone régulier mesure 5 cm.

Exercice 46

Un pendule oscille au bout d'une corde de 60 cm.

Sachant que l'angle décrit est de 64°, trouver la longueur de l'arc décrit. Exercice 47

L'extrémité d'un pendule de 35 cm de long décrit un arc de cercle de 15 cm.

Quel est l'angle décrit au cours d'une oscillation du pendule ? Exercice 48

L'aiguille des minutes d'une horloge mesure 6 cm de long. Quelle est la longueur de l'arc décrit par l'extrémité de l'aiguille (Réponse en cm).

a) en 20 minutes ? b) en 2400 secondes ? Exercice 49

La distance entre deux points A et B sur Terre se mesure le long d’un cercle dont le centre C est au centre de la Terre et dont le rayon est égal à la distance de C à la surface (voir figure). a) Calculer la distance en kilomètre entre A et B si l’angle ACB 60= ° .

b) Si deux points A et B sont éloignés de 1000 Km, déterminer l’angle ACB en degrés. Exercice 50 Une roue pour une petite voiture a un diamètre de 56 cm. Si le véhicule se déplace à une vitesse de 96 km/h, calculer le nombre de tours que la roue fait par seconde.

60 cm 64°

O

•

•

•

A

B

λ •


Exercice 51

La Terre effectue une rotation complète autour de son axe en 23 heures, 56 minutes et 4 secondes. Son rayon à l’équateur est selon les mesures contemporaines d'environ 6378 Km. a) Calculer de combien de degrés, la terre tourne en une seconde.

b) Calculer la distance parcourue (en mètre) pendant une seconde par un point P situé sur l'équateur, dû à la rotation de la Terre.

Exercice 52 *

a) Si le pignon de rayon 1r tourne d’un angle de 1α degré, trouver l’angle de rotation 2α en degré correspondant du pignon de rayon 2r .

b) Un cycliste expérimenté peut atteindre une vitesse de 64 Km/h. Si la transmission par pignons a 1r = 13 cm, 2r = 5 cm, et si la roue a un diamètre de 71 cm, évaluer combien de tours par minute du pignon avant produira une vitesse de 64 Km/h.

Indication : convertir d’abord 64 Km/h en cm/s. Exercice 53 * a) Calculer l’aire et le périmètre de la surface ombrée. Le rayon de chaque cercle mesure 40 cm. b) La figure représente un carré de côté a. Les lignes à l'intérieur représentent des quarts de cercles. Calculer l'aire de la figure hachurée en fonction de a.

•

•

• C2 C3

C1


2.3.4 Angles inscrits et angles au centre Théorème de l'angle au centre et de l'angle inscrit

Si un angle au centre ω intercepte le même arc de cercle qu' un angle inscrit α alors 2ω α=

Illustration α est aigu α est obtus Démonstration a) Exprimons tous les angles du triangle ABO en fonction de β :

Le triangle ABO est isocèle en O car OA OB r= = (le rayon du cercle) donc 1α β=

De plus 1 180 180 2α β λ λ β+ + = ⇒ = − ⋅ (théorème de la somme des angles dans un triangle) b) Exprimons tous les angles du triangle ACO en fonction de γ :

Le triangle ACO est isocèle en O car OA OC r= = (le rayon du cercle) donc 2α γ=

De plus 2 180 180 2α γ θ θ γ+ + = ⇒ = − ⋅ (thm. de la somme des angles dans un triangle) c) Déduisons de a) et de b) que 2ω α= :

( ) ( )1 2360 2 2 2 2 2ω λ θ β γ β γ α α α= − − = + = + = + =

•

•

•

•

α

ω = 2α

β

A

B

γ

α1

O

ω

α2

α

C

λ θ

•

•

•

•

•

•

•

•

α

ω = 2α




2) Identifier dans le dessin les angles inscrits et les angles au centre. (hypothèse du théorème)

3) Écrire les égalités entre les mesures d’angles. (conclusion du théorème)

4) Utiliser ces égalités pour calculer les angles désirés. De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 54

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , δ et γ . Exercice 55


Déterminer la valeur des angles α , β et γ . Exercice 56


Déterminer la valeur des angles α , β , et δ .

γ

A

B 25°

δ

O

C

α

γ

A

B

50°

β O

C

α 50°

D

A

B

C

• δ

β

α 40° O

30°


Exercice 57


Calculer la valeur de l’angle ε. Exercice 58


ABCDE est un pentagone régulier.

Calculer la valeur de l’angle λ. Exercice 59

Démontrer le théorème suivant : (corollaire 1)

Si A, B et C sont trois points sur un cercle et que le segment [BC] est un diamètre du cercle, alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 60


Si des angles inscrits interceptent un même arc de cercle alors ils sont égaux.

Exercice 61


Déterminer la valeur des angles α , β , γ et δ .

a a

aa

a

ε

• O

A B

C

D

E

λ

• O

O

55°

75°

γ

α

• β

δ


Exercice 62 Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , β , γ et δ . Exercice 63


Si un quadrilatère est inscrit dans un cercle alors la somme des angles opposés est de 180°. α + γ = 180° et β + δ = 180°

Exercice 64

Soit O le centre du cercle. On donne le rayon du cercle r = 5 cm et α = 30°. Calculer la longueur l de l’arc de cercle intercepté par l’angle inscrit α. Exercice 65

Les points E, F et G appartiennent au cercle de centre O et de rayon 3 cm.

Sachant que 30α = , calculer l’aire de la surface ombrée.

G

O

α

•

• •

•

F E

•

l

α

A

B

C

O

•

O

80° 30°

α β

δ

γ•

D

A O •

B

C

α

β

γ

•

•

•

δ

•


Exercice 66

Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre AD 10= a) Calculer la longueur de l’arc de cercle l .

b) Déterminer les angles du triangle CDI .

Exercice 67

Soit un demi-cercle de centre O et T un point sur le cercle.

[AB] // [DE]

AT = 220 m DE = 750 m AB = 275 m

Calculer l’aire du triangleTDE. Exercice 68 *


Si le point P est à l’extérieur du cercle

alors PA· PB PC ·PD=

Démarche conseillée :

a) Montrer que les triangles PAD et PBC sont semblables . (justifier en nommant les angles)

b) Poser les rapports du théorème de Thalès pour les triangles PAD et PBC.

P A

B C

D

•

•

• •

•

A D

C

B

•O

I

20°

l

A B

D

T

• O

E


2.3.5 Ce qu’il faut absolument savoir 21♥ Connaître la définition d'un cercle et d'un disque ok

22♥ Connaître la définition d'une droite sécante et tangente à un cercle ok

23♥ Connaître la définition d'un angle au centre et d’un angle inscrit ok

24♥ Savoir reconnaître un angle au centre et un angle inscrit ok

25♥ Connaître la définition d'un arc de cercle, d'un secteur disque et d’un segment circulaire ok

26♥ Connaître les formules donnant l’aire et le périmètre d’un disque fonction du rayon ok

27♥ Connaître et appliquer les formules donnant la longueur d'un arc de cercle, l'aire d'un secteur de disque en fonction de l’angle au centre ok

28♥ Connaître et appliquer le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre ok

29♥ Démontrer le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre ok

30♥ Connaître et appliquer les trois corollaires du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 42 Géométrie / Trigonométrie / 1 N-A

2.4 Trigonométrie dans le triangle rectangle La trigonométrie (trigonos = à trois angles et metron = mesure) est une branche des mathématiques née dans l’antiquité pour résoudre des problèmes d’astronomie. L’un des premiers ouvrages de trigonométrie connus, l’Almageste, est un livre écrit par l’astronome grec Claude Ptolémée (90 –168 ap. J.-C.)

2.4.1 Définitions des rapports trigonométriques Vocabulaire / Notations

Considérons un triangle ABC, rectangle en C avec des cotés de longueurs a, b et c. α et β sont deux angles complémentaires c’est-à-dire : α+β = 90°.

Dans le dessin ci-contre :

• le segment [BC] est le côté opposé à α et BC a= .

• le segment [AC] est le côté adjacent à α et AC b= .

• le segment [AB] est l'hypoténuse du triangle rectangle et AB c= .

Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

À partir du triangle ABC rectangle en C, on définit les relations suivantes : Le sinus de l’angle α est le rapport entre les longueurs du côté opposé à α

et de l’hypoténuse, c’est-à-dire asin( )c

α = « sin-opp-hyp »

Le cosinus de l’angle α est le rapport entre les longueurs du côté adjacent à α

et de l’hypoténuse, c’est-à-dire bcos( )c

α = « cos-adj-hyp »

La tangente de l’angle α est le rapport entre les longueurs des côtés opposé et

adjacent à α, c’est-à-dire atan( )b

α = « tan-opp-adj »

Remarques

a) Attention, ces définitions ne sont valables que dans un triangle rectangle.

b) Les touches /symboles sur la calculatrice sont : SIN COS TAN . Application / Activité

Calculer la hauteur h de l'arbre sachant que la personne mesure 1,80 m.

h

20 m

50°

b α

c a

A

B

C

β


Remarques

a) « Les rapports trigonométriques dépendent uniquement de la mesure de l’angle. » Explication b) « Les rapports trigonométriques ne dépendent pas des triangles particuliers dans lesquels ils sont calculés » Explication Définitions

Selon la figure ci dessus, si un observateur situé en un point X regarde un objet, alors l’angle que forme la ligne de visée avec l’horizontale l est l’angle d’élévation de cet objet, si l’objet se trouve au-dessus de l’horizontale, et l’angle de dépression de l’objet, si l’objet se trouve au-dessous de l’horizontale.

Remarques

a) Pour calculer la hauteur de l’arbre dans l’activité précédente nous avons utilisé un angle d’élévation dont la mesure était de 50°.

b) Nous utiliserons cette terminologie dans les exercices qui suivent.

b=b’

α

a α’

a’ ( ) ( ) avec 'a a'tan tan 'b b'

α αα α ≠= ≠ =

a’

b

α

a

b’

( )( )

( )*

* Théorème deThalèsa a'tanb b'

α = =


Bricoler un « astrolabe » (utile pour mesurer un angle d'élévation ou de dépression)

Remarque

L’angle α indiqué par « l’astrolabe » correspond à l’angle d’élévation ou de dépression α que l’on cherche à déterminer (voir figure ci-contre).

α

α

α

β


y

λ

x u

R

S

T

ε


1) Représenter la situation à l’aide d’un dessin schématique ; indiquer les données du problème.

2) Identifier le ou les triangles rectangles.

3) Écrire les rapports trigonométriques.

4) Résoudre algébriquement.

Exercice 69

Compléter les lignes du tableau suivant en utilisant les rapports trigonométriques : (2 décimales)

a b c α β

I 10,88 mm 16,31°

II 58,25 dm 81°

III 36,61 km 54°

IV 24,35 m 12° Exercice 70

Déterminer : 1) tan(λ) 2) sin(ε) 3) cos(ε)

4) tan(ε) 5) cos(λ) 6) sin(λ) Exercice 71

Un touriste qui mesure 170 cm se trouve à 200 m de la base de la tour Eiffel et observe que l’angle d'élévation entre l'horizontale et le sommet de la tour est de 58,2°. Calculer la hauteur de la tour Eiffel. Exercice 72

Un bûcheron qui mesure 1,80 m se trouve à 60 m de la base d’un séquoia (sol plat) et observe que l’angle d'élévation entre l'horizontale et le sommet de l’arbre est de 60°.

Calculer la hauteur de l’arbre. Exercice 73

Le sommet du mont Fuji, au Japon, culmine à 3778 m d'altitude. Un étudiant en trigonométrie qui se trouve au bord de la mer, à des kilomètres de là, remarque que l’angle entre le sol (supposé horizontal) et le sommet du volcan est de 18°.

Calculer la distance à vol d’oiseau de l’étudiant au sommet du mont Fuji.

b α

c a

A

B

C

β

h

200 m

58,2°


Exercice 74

Un avion décolle à partir du niveau de la mer et parcourt 3’000 mètres suivant un angle constant de 12°. Calculer son altitude au mètre près. Exercice 75

Trouver la hauteur h de l'antenne si α = 45° , β = 50° et b = 25 m. Exercice 76 Un ballon vole à une altitude de 700 m en survolant un lac. Si les angles de dépressions des rives du lac sont α = 48° et β = 39° , trouver la largeur du lac. Exercice 77

Un avion décolle d'une piste située au bord de la mer sous un angle de 10° et vole à une vitesse constante de 75 m/s.

Combien de temps mettra l’avion pour atteindre une altitude de 4’500 mètres ? Exercice 78

Trouver la longueur totale du toboggan d'une piscine au mètre près. Exercice 79

a) On considère un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon 14 cm.

Calculer :

i) l’apothème a,

ii) la longueur d’un côté c de l’octogone,

iii) le périmètre de l’octogone,

iv) l’aire de l’octogone,

v) l’aire hachurée comprise entre le cercle et l’octogone.

b) C est le centre d'un cercle de rayon r = 10 cm.

Calculer l'aire hachurée.

700 m

α β

O

a c

C • 70°


Exercice 80

On doit percer un tunnel pour une nouvelle autoroute à travers une montagne de 3225 m de haut. A une distance de 2000 m de la base de la montagne, l’angle d’élévation est de 36°. Sur l’autre face, l’angle d’élévation à une distance de 1500 m est de 60°.

Calculer la longueur du tunnel.

Exercice 81

La voûte d'un tunnel est un arc de cercle dont l'angle au centre vaut 230°. Le rayon du cercle intérieur est de 5 m et la longueur du tunnel de 2800 m. Calculer le volume de pierre en m3, nécessaire au remblai du tunnel. Un tunnelier est une machine permettant de percer des tunnels, comme le tunnel sous la Manche. Son principe de fonctionnement est celui d'une grosse "râpe à fromage" qui grignote le sol pour réaliser le tunnel à raison de 200 mètres par mois. Au fur et à mesure de l'avancement du tunnelier, sont posés des éléments préfabriqués en béton (voussoirs) qui constituent le revêtement définitif du tunnel. Les déblais sont extraits au moyen d'un tapis roulant que l'on rallonge en fonction de la progression du tunnelier.

230°

Revêtement en béton

Chaussée en asphalte

Remblai en pierre

r •

Coupe transversale du tunnel

36° 60°

2000 m 1500 m

T

A BR

Coupe latérale du tunnel

R

h


Exercice 82 * Les pyramides égyptiennes de Gizeh sont des pyramides droites à base carrée. Si on observe le sommet d'une pyramide droite à base carrée à partir du point A représenté dans la figure, l'angle d'élévation est α . À partir du point B, plus proche de la pyramide de d km , l'angle d'élévation est β.

a) Montrer que la hauteur h de la pyramide est donnée par d tan( ) tan( )htan( ) tan( )

α ββ α

⋅ ⋅=

−

b) Si d = 41,5 m , α = 41° et β = 49° , calculer la hauteur h de la pyramide de Kheops. Les pyramides égyptiennes de Gizeh ont été les dernières demeures des pharaons Kheops,

Khephren et Mykérinos. Elles ont été construites vers 2600 avant J-C. La plus grande de ces

pyramides fut construite pour recevoir le corps du souverain Kheops .L'un de ses successeurs,

Mykérinos, décida de construire une pyramide dont le volume n’est pas le dixième de celle de

Kheops. Les pyramides font partie des sept merveilles du monde.

α β

S

A B

h

C

d


2.4.2 Relations trigonométriques de base Pour 0 90α< < , on a :

1) 0 sin( ) 1 et 0 cos( ) 1α α< < < < 2) 0 tan( )α< < ∞

3) sin( )tan( )cos( )

ααα

= 4) 2 2cos ( ) sin ( ) 1α α+ =

Exemples

1) 0 sin( 30 ) 0,5 1 et 0 cos( 30 ) 0,87 1< = < < ≅ < 2) 0 tan( 89,99 ) 5729,58< ≅ < ∞

3) sin( 45 ) 0,71..1 tan( 45 ) =1cos( 45 ) 0,71..

= = = 4) 2 2 2 2cos ( 90 ) sin ( 90 ) 0 1 1+ = + =

Explications

1) Étant donné que l'hypoténuse c est toujours le plus grand côté d'un triangle rectangle, on a les inégalités suivantes pour tout angle α compris entre 0° et 90°.

0 a c0 a c 0 sin( ) 1c c c

α< < ⇔ < < ⇔ < <

0 b c0 b c 0 cos( ) 1c c c

α< < ⇔ < < ⇔ < <

2) Si la longueur du côté adjacent à α est fixe et vaut b, la longueur

du côté opposé à α peut varier de 0 a0 a 0 tan( )b b b

α∞< < ∞ ⇔ < < ⇔ < < ∞

3) sin( ) a / c a tan( )cos( ) b / c b

α αα

= = =

4) 2 2 2 2 2

2 22 2Thm. de

Pythagore

b a a b ccos ( ) sin ( ) 1c c c c

α α +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b

α

c a

A

B

C

β


2.4.3 Réciproques des rapports trigonométriques Dans certains problèmes où apparaissent des triangles rectangles il est souvent utile de déterminer la mesure de ses angles α et β connaissant au moins la longueur de deux côtés. Considérons un triangle ABC, rectangle en C avec des cotés de longueurs a, b et c. α et β sont deux angles complémentaires c’est-à-dire : α+β = 90°.

Dans le dessin ci-contre :

• le segment [BC] est le côté opposé à α et BC a= .

• le segment [AC] est le côté adjacent à α et AC b= .

• le segment [AB] est l'hypoténuse du triangle rectangle et AB c= . Les formules suivantes et la calculatrice nous permettent de trouver la mesure des angles α et β connaissant au moins la longueur de deux côtés du triangle.

À partir du triangle ABC rectangle en C, on définit les relations suivantes :

1a asin( ) sinc c

α α − ⎛ ⎞= ⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

1b bcos( ) cosc c

α α − ⎛ ⎞= ⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

1a atan( ) tanb b

α α − ⎛ ⎞= ⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Remarque -1 -1 -1Les touches / symboles sur la calculatrice sont : SIN COS TAN Exemple

On cherche la mesure des angles α et β dans un triangle rectangle, connaissant a = 3 m et c = 8 m.

13 3sin( ) sin 22.0248 8

α α − ⎛ ⎞= ⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

13 3cos( ) cos 67.9768 8

β β − ⎛ ⎞= ⇔ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

On vérifie que la somme des angles dans le triangle vaut 180 : 90 22.024 67.976 180+ + =

b

α

c a

A

B

C

β



1) Représenter la situation à l’aide d’un dessin et identifier le ou les triangles rectangles.

2) Indiquer d'abord les rapports trigonométriques et ensuite les réciproques de ces rapports.

3) Résoudre algébriquement.

Exercice 83

Compléter les lignes du tableau suivant en utilisant les rapports trigonométriques : (2 décimales)

a b c α β

I 3 m 4 m 5 m II 8 cm 15 cm 17 cm III 2 mm 5 mm IV 2 km 7 km

Exercice 84

Calculer l’angle d’élévation α du soleil, si une personne haute de 1,5 m projette une ombre de 1,2 m de long sur le sol (voir figure). Exercice 85

Rappel :

La pente d’une droite (AB) est par définition le rapport :

distance verticale BHPentedistance horizontale AH

= =

Remarque : on exprime généralement la pente en pour cent ; par exemple 18 18%100

= .

Question I

a) Quel angle la route ainsi signalée fait-elle avec l'horizontale ?

b) Si on parcourt une distance de 1,5 km sur cette même route, quelle est la dénivellation (distance verticale) ? Question II

a) Un toit a un angle d'inclinaison de 25° ; quelle est sa pente en % ?

b) Si la pente d'un toit est de 17 % ; quel est son angle d'inclinaison ? Question III

Le pas de Chavanette (piste de ski la plus raide de Suisse) à une pente de 50 %.

Comparer cette pente avec les pentes de ski extrêmes qui dépassent les 50° .

A

B

H

b α

c a

A

B

C

β


Exercice 86

a) Une route a une pente de 11%. Quelle distance horizontale a-t-on parcourue en suivant la route sur 2300 m ? De combien de mètres s'est-on élevé ?

b) Un automobiliste roule 500 m sur une route faisant un angle de 20° avec l'horizontale. Quelle est la pente de cette route et à quelle hauteur au-dessus de son point de départ l'automobiliste se trouve-t-il ? Exercice 87

Les côtés d'un parallélogramme mesurent 25 m et 38 m et son aire est de 760 m2. Calculer les angles du parallélogramme (en degrés avec 2 décimales) Exercice 88

Les diagonales d’un losange mesurent 3,36 cm et 9,40 cm. Calculer les angles du losange. Exercice 89

Un cône en papier de forme conique a un rayon de 5 cm. Calculer, au degré près, l’angle β (voir la figure) que devrait former le cône pour obtenir un volume de 328 cm3. Exercice 90

La figure représente l’écran d’un jeu vidéo d’arcade dans lequel des canards se déplacent de A vers B à la vitesse de 7 cm/s. Des balles tirées depuis le point O traversent à 25 cm/s.

Si un joueur tire dès qu’un canard apparaît au point A, quel devrait être l’angle de tir pour atteindre la cible du premier coup? Exercice 91

Les dimensions d’une boîte rectangulaire sont 20cm 15cm 10cm× × . Calculer l’angle θ entre une diagonale de la base et la diagonale de la boîte, comme le montre la figure.


Exercice 92

Soit ABC le triangle tel que l’angle BAD vaut 60°, AB 8 , CD 11= = et [ ] [ ]BD AC⊥ . Calculer BC et γ . Exercice 93

Un triangle ABC isocèle en A de base BC = 48 cm, est inscrit dans un cercle de rayon 25 cm.

a) Faire un dessin.

b) Trouver la longueur des côtés égaux de ce triangle sans utiliser le théorème de Pythagore.

c) Calculer l’aire du secteur de disque définit par l’angle BOC où O est le centre du disque. Exercice 94

Calculer les angles et longueurs du triangle suivant :

B

C AD

γ

60°

7 cm 6 cm

40°α

γ

c


Exercice 95 * Aires de polygones Considérons un triangle quelconque ABC. Appelons ha , hb et hc respectivement la longueur de la hauteur issue du sommet A, B et C. a) Démontrer que l'aire A du triangle quelconque vaut :

(voir table C.R.M.) Autrement dit :

L'aire d'un triangle quelconque est égale au demi-produit de deux côtés par le sinus de l'angle compris entre ces deux côtés. b) Démontrer que l'aire A du parallélogramme ABCD vaut :

A a b sin( )α= ⋅ ⋅ (voir table C.R.M.) c) Démontrer que l'aire A du losange ABCD vaut :

2A a sin( )α= ⋅ (voir table C.R.M.) d) Démontrer que l'aire A du trapèze ABCD vaut :

( a c ) d sin( ) ( a c ) b sin( )A2 2

α β+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= = (voir table C.R.M.)

e) Démontrer que l'aire A d'un polygone régulier vaut :

2 21A n r sin( ) n tan2 2

αα ρ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(voir table C.R.M.)

n = le nombre de côtés du polygone régulier (α = 360°/n).

ρ = le rayon du cercle inscrit.(apothème).

r = le rayon du cercle circonscrit.

b c sin( ) a c sin( ) a b sin( )A2 2 2

α β γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

C

A B

a b

c

hc

hb

ha

α

γ

β

b α

b

a

a

A B

C D

d

α

b

a

c

β A B

C D

a

α

a a

a

A

B

C

D

°

ρ

r

α

c


Exercice 96 * Coordonnées géographiques Introduction :

Pour repérer un point sur le globe terrestre, on utilise des coordonnées (nombres) définies par deux mesures d’angle : (voir un atlas géographique mondial) - la longitude Est (noté E) ou Ouest (noté W) repéré par rapport au méridien de Greenwich.

- la latitude Nord (noté N) ou Sud (noté S) repéré par rapport à l’Équateur. Exemple : Le point P du dessin ci-contre a pour longitude 40°E et pour latitude 80°N.

a) Un point M à la surface de la Terre, assimilée à une sphère de 6370 Km de rayon, est sur un parallèle correspondant à la latitude 50°N. H est le centre du cercle correspondant à ce parallèle. Quelle est la longueur du rayon [HM] de ce parallèle ?

Quelle est la longueur de ce parallèle ? b) Un point A a pour latitude 60°N. Quel est le rayon r du parallèle passant par A et la longueur de ce parallèle ? (On prendra 6370 Km pour rayon de la Terre.) c) Oslo (en Norvège) et Saint-Pétersbourg (en Russie) ont pour coordonnées géographiques respectivement 11°E, 60°N et 20°E, 60°N. Quelle est la distance à la surface de la Terre entre ces deux villes en restant sur une latitude de 60°N ?


Exercice 97 * Le Théorème du sinus Considérons un triangle quelconque ABC avec des cotés de longueurs a, b, c dont les trois angles qui ont pour valeurs α, β, γ sont aigus. Remarque : α + β + γ =180°. Démontrer que :

sin( ) sin( ) sin( )a b cα β γ

= =

(voir table C.R.M.) Exercice 98 * Le Théorème du cosinus Considérons un triangle quelconque ABC avec des cotés de longueurs a, b, c dont les trois angles qui ont pour valeurs α, β, γ sont aigus. Remarque : α + β + γ =180°. Démontrer que :

2 2 2a b c 2 b c cos( )α= + − ⋅ ⋅ ⋅

(voir table C.R.M.)

Remarques

On a aussi : 2 2 2 2 2 2b a c 2 a c cos( ) et c a b 2 a b cos( )β γ= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2

0

Si 90 alors a b c 2bc cos( 90 ) b c ; on retrouve le théorème de Pythagore!α=

= = + − ⋅ = +

Exercice 99 * On désire ranger trois boules de même rayon r dans une boîte. a) Cette boîte peut-elle être carrée ? Justifier.

b) Donner les dimensions de cette boîte en fonction du rayon r.

c) Donner les dimensions de la boîte en forme de triangle équilatéral en fonction du rayon r.

C

A B

a b

c α

γ

β

C

A B

a b

c α

γ

β


Exercice 100 * La première figure représente un satellite de communication sur une orbite équatoriale, c’est-à-dire sur une orbite à peu près circulaire dans le plan déterminé par l’équateur terrestre. Si le satellite tourne autour de la Terre à une altitude a = 35’700 km, sa vitesse est identique à la vitesse de rotation de la terre ; pour un observateur situé sur l’équateur, le satellite paraît stationnaire ; on dit alors que son orbite est synchrone. a) En posant R = 6’400 km pour le rayon de la Terre, déterminer quel pourcentage de l’équateur est à portée de signal de ce satellite. b) La deuxième figure montre trois satellites disposés à distances égales sur des orbites équatoriales synchrones. Utiliser la valeur de θ obtenue en a) pour expliquer pourquoi tout point de l’équateur est à portée de signal d’au moins un des trois satellites. La figure montre la zone desservie par un satellite de communication en orbite autour de la Terre de rayon R à une altitude a. La portion de la surface de la Terre couverte par le satellite est une calotte sphérique de hauteur d dont l’aire est A = 2πRd. c) Exprimer d en fonction de R et θ .

d) Estimer le pourcentage de la surface de la Terre qu’un seul satellite peut couvrir, s’il est sur une orbite équatoriale synchrone.


Exercice 101 *

a) Un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle de rayon r.

Déterminer le périmètre et l'aire du polygone régulier en fonction de n et de r. b) Une compagnie qui vous emploie fabrique des colonnes en béton. Ces colonnes sont creuses pour en diminuer la masse. Trois modèles sont offerts : régulier, fort et extra-fort. Ces piliers sont produits en longueurs de 10 m.

Calculer le volume de béton pour couler une colonne de chaque modèle.

Exercice 102 *

En observant le sommet d’un gratte-ciel depuis le sommet d’un bâtiment haut de 15 m, l’angle d’élévation est de 59°. Si on observe ce même sommet au niveau de la route, l’angle d’élévation est de 62° (voir figure).

a) Calculer la hauteur du gratte-ciel.

b) Y a-t-il d'autres moyens plus simples pour mesurer la hauteur du gratte-ciel ?


Exercice 103 * Introduction

Dans certains problèmes de navigation ou de topographie, la position d’un point Q par rapport à un point P est spécifiée en indiquant : 1) la mesure de l’angle aigu que le segment [PQ] forme avec la ligne nord-sud passant par le point P. 2) si Q est au nord ou au sud et à l’est ou à l’ouest de P. Exemple

La position du point Q1 par rapport au point P est située à 25° au nord-est. Notation : N 25° E. Remarques

A noter que lorsqu’on utilise cette notation pour des directions, les caractères N ou S sont toujours écrits à gauche de l’angle et W ou E à droite. La valeur de l’angle doit être donnée par convention en degrés / minutes / secondes . Conversion : degrés décimaux DD <=> degrés/minutes/secondes DMS On subdivise : - les degrés en minutes et 1 degré = 60 minutes.

- les minutes en secondes et 1 minute =60 secondes. Formule de conversion : Si x est exprimé en degrés, y en minute et z en secondes nous auront les relations de proportionnalités suivantes:

x y' y' z'' 1 60' 1' 60''

= =

Exemples

Donnée: =135,42 ( en degré décimaux ) 0,42 y'135 ,42 = 135 0,42 y' 25,2'

1 60'0,2' z''25,2' 25' 0,2' z'' 12''1' 60''

=135 25' 12'' ( en degrés / minutes / secondes )

α

α

+ = ⇒ =

= + = ⇒ =

⇒

Donnée: =135 25' 12'' ( en degrés / minutes / secondes ) z' 12'' y 25' 0,2' z' 0,2' y 0,421' 60'' 1 60'

= 135,42 ( en degré décimaux )

α

α

+= ⇒ = = ⇒ =

⇒


Enoncé a)

a) Déterminer la position de A, B, C et D par rapport à P.

b) Déterminer la position de P par rapport à chacun des points A, B, C et D. Énoncé b)

Trois navires sont situés comme suit : -A se trouve à 325 km droit au nord de C. -B se trouve droit à l'est de C. -l'angle en A est de 59,36°. a) Représenter la situation à l’aide d’un dessin.

b) Quelle est la position de B par rapport à A ?

c) Quelle est la position de A par rapport à B ? Énoncé c)

Trois navires sont situés comme suit :

- A se trouve à 225 km à l'ouest de C. - B se trouve droit au sud de C. - La position de B par rapport à A est : S 25°10' E. a) Représenter la situation à l’aide d’un dessin.

b) A quelle distance de B se trouve A ?

c) A quelle distance de C se trouve B ?

d) Quelle est la position de A par rapport à B ? Énoncé d)

Un bateau quitte le port à 13h00 et fait route dans la direction N34°W à une vitesse de 38 km/h. Un autre bateau quitte le port à 13h30 et fait route dans la direction N56°E à une vitesse de 30 km/h.

a) Représenter la situation à l’aide d’un dessin.

b) Quelle est la distance approximative séparant les deux bateaux à 15h00 ? Réponse en km. Énoncé e)

Un bateau est à 125 km au nord de la côte. On lui annonce un naufrage à N 13° W par rapport à la côte. Il repère alors la catastrophe à S 77° W par rapport à sa position.

a) Représenter la situation à l’aide d’un dessin.

b) Sachant que la vitesse du bateau est de 40 km/h, au bout de combien de temps pourra-t-il secourir les naufragés ? Réponse en heures / minutes / secondes.

N

S

W E

S


Exercice 104 *

Dans un plan muni d'un système d'axe, un point P est repéré par son abscisse x et son ordonnée y. x et y sont les coordonnées cartésiennes (ou rectangulaires) du point P.

Chaque point P du plan est situé à une distance r de l'origine du système d’axe, sur une droite faisant un angle ϕ avec l'axe horizontal. r et ϕ sont les coordonnées polaires du point P. a) Exprimer x et y en fonction (à l'aide) de r et ϕ.

b) Exprimer r et ϕ en fonction (à l'aide) de x et y.

c) Calculer les coordonnées polaires et cartésiennes des sommets i iH et N . Réponse en valeur exacte. Exercice 105 *

Un bloc de masse m kg (force de pesanteur Fp = mÿg @ mÿ10 N ) repose sur un plan incliné de α degrés. a) Déterminer l'intensité F1 de la force tendant à déplacer le bloc selon le plan incliné ainsi que l'intensité F2 de la force exercée par le bloc sur le plan incliné en fonction (à l'aide) de m et α. b) Déterminer l'angle d'inclinaison α en fonction (à l'aide) de m et de l'intensité F1 de la force tendant à déplacer le bloc selon le plan incliné. c) Déterminer l'angle d'inclinaison α en fonction (à l'aide) de m et de l'intensité F2 de la force exercée par le bloc sur le plan incliné. d) Dans le site de Stonehenge (en Angleterre), il a fallu un groupe de 550 personnes pour tirer un bloc de pierre de 49'500 kg sur une rampe inclinée à 9°. En ignorant la force de frottement, calculer la force minimum pour déplacer le bloc de pierre le long de la rampe par personne. e) Considérons un bloc de 100 gr sur un plan incliné. Quel angle d'inclinaison α doit-on donner au plan incliné si on veut que l'intensité F1 de la force soit de 0,5 N ?

y

x

r

ϕ

P

0

H1 H2

H3 H4

0

Carré de côté 10.

N1

N2 N3

N4

N5 N6

0

Hexagone de côté 7.

α Fp

F1

F2

m


R

x y

Exercice 106 *

En observant le sommet T d'une montagne à partir d'un point P au sud de la montagne, l'angle d'élévation est α. L'observation à partir d'un point Q, situé à d km à l'est de P, donne un angle d'élévation β.

a) Montrer que la hauteur h de la montagne est donnée par :

2 2

dh1 1

sin ( ) sin ( )β α

=−

b) Si d 16 km , 20 et 10 α β= = ° = ° , calculer la hauteur h de la montagne en mètres.

2.4.4 Ce qu’il faut absolument savoir 31♥ Connaître et appliquer les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle ok

32♥ Connaître les relations trigonométriques de base ok

33♥ Connaître et appliquer la réciproque des rapports trigonométriques dans le triangle rectangle ok

________________________________________________________________________________ P.S. / 2017-2018 63 Géométrie / Solutions des exercices / 1 N-A

2.5 Solutions des exercices

Ex 1 1 124δ = ° 2 112δ = ° Ex 2 OB 2= OC 3= OD 4 2= = OE 5= OF 6= Ex 3 Périmètre 191,12 cm≅ Aire 21612,5 cm= Ex 4 2Aire 289 cm= Ex 5 Hauteur = 9 cm Ex 6 x 8a= Ex 7 a) Le triangle est rectangle. b) Le triangle n'est pas rectangle. c) Le triangle est rectangle et l'angle vaut donc 90°. Ex 8 On ne peut pas calculer x avec le théorème de Pythagore car on ne sait pas si le triangle est rectangle ! Ex 9 Cône droit : CD 22,52 m Cube : AB 72,17 m Ex 10 La règle de 75 cm de long ne rentre pas dans la boîte à outils. Ex 11 a) Hauteur DH 147m et le volume 3V 2' 614' 689 m≅

b) Arête du cube 138 m≅ . c) 46 étages.

Ex 12 a) d 2a= b) d 3c= c) dc =3

d) 3ah2

= e) 23aA

4=

Ex 17 * temps = 24 minutes Ex 18 a) CS 12 cm= CD 13,5 cm=

b) Dans cet exercice on ne sait pas si (AB) // (CD). On ne peut donc pas montrer que SAB SCD≈ ce qui implique que la conclusion du théorème de Thalès est peut être fausse.

Autrement dit, on ne peut pas utiliser les relations SA SB ABSC SD CD

= = pour calculer CD .

Ex 19 BD 70= CD 186= Ex 20 AE 28,24 m≅ BC 60,56 m≅ Ex 21 AB 8 m= CD 7.5 m= Ex 22 AC 14.42 mm≅ CD 4.17 mm≅ DE 2.78 mm≅ Ex 23 a) BD 140 km= AB 12 km= b) Aire de la surface hachurée = 22100 km


Ex 24 FD 15 cm= BD 75 cm= Ex 25 BF 12= Ex 26 Aire de la surface hachurée = 160 m2

Ex 27 La profondeur du puits est de 10,2 m. Ex 28 La hauteur de la pyramide est d’environ 146 m. Ex 29 Rayon r 6 400 km≅ Diamètre d 12 800 km′≅ Périmètre P 40 212,99 km′≅ Ex 30 c = 5 b' = 3,2 a' = 1,8 h = 2,4 Ex 32

x y z u w k

I 10 m 20 m ≅ 17.32 m 15 m 5 m ≅ 8.66 m

II ≅ 26.94 cm 32.4 cm 18 cm 10 cm 22.4 cm ≅ 14.97 cm

III 16 mm 32 mm ≅ 27.71 mm 24 mm 8 mm ≅ 13.86 mm

IV 9 km 15 km 12 km 9.6 km 5.4 km 7.2 km

Ex 33 a) CB 3= CD 6=

b) Aire du triangle rectangle ADE = 22

Ex 34 a) AC 10= EC 6.4= AE 3.6= BE 4.8=

b) Aire du triangle rectangle CDE = 8,64

Ex 37 * b est fonction de a et de c mais pas de x. De plus : a cba c⋅

=+

Ex 39 * Le diamètre du plus grand trou circulaire que l’on peut recouvrir à l’aide de trois plaques carrées de 3 m de côté chacune, sans se chevaucher est : 3,75 m. Ex 40 * c ≅ 4150 b ≅ 3961 a' ≅ 369 h ≅ 1181 Ex 42

α r L S nombre de tours

I 45° 8,31 cm 6,53 cm 27,12 cm2 1/8

II 103,79° 50 m 90,57 m 2'264,25 cm2 0,29

III 120° 4,63 cm 9,70 cm 22,46 cm2 1/3

IV 298,29° 5,88 cm 30,61 cm 90 cm2 0,83

V 120° 10 cm 20,94 cm 104,7 cm2 1/3

VI 90° 19,1 m 30 m 286,5 m2 1/4

VII 20° 22,71 dm 7,93 dm 90 dm2 1/18

VIII 270° 2,07 m 9,78 m 10,12 m2 3/4


Ex 43

1) a) Périmètre de la surface ombrée 15,7 cm≅ b) Aire de la surface ombrée 25,375 cm≅ 2) a) Périmètre de la surface ombrée 12,56 m≅ b) Aire de la surface ombrée 28 m= 3) a) Périmètre de la surface ombrée 9,42 km≅ b) Aire de la surface ombrée 21,46 km≅ 4) a) Périmètre de la surface ombrée 45,7 cm≅ b) Aire de la surface ombrée 257,125 cm≅ 5) a) Périmètre de la surface ombrée 40,4 cm≅ b) Aire de la surface ombrée 297,7 cm≅

6) a) Périmètre de la surface ombrée aπ= b) Aire de la surface ombrée 21 a2π⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

7) a) Périmètre de la surface ombrée 2 aπ= b) Aire de la surface ombrée 21 a2π⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

8) a) Périmètre de la surface ombrée 6 a 8aπ= + b) Aire de la surface ombrée 2( 8 ) aπ= + ⋅ Ex 44 2Aire 131 m≅ Ex 45 a) Aire de la surface ombrée 29,06 km≅ Périmètre de la surface ombrée 20,47 km≅

b) Aire de la surface ombrée 213,55 cm≅ Périmètre de la surface ombrée 31,4 cm≅ Ex 46 La longueur d’arc est de 67 cm Ex 47 24,57θ° ≅ ° Ex 48 a) L 12,56 cm b) L 25,13 cm Ex 49 a) L 6 672 km′≅ b) 8,99α ≅ ° Ex 50 15,2 tours en 1 seconde Ex 51 a) 0,004178 b) La distance parcoure par P pendant une seconde est de 465 m.

Ex 52 * a) 1 12

2

rrαα ⋅

= b) tours183,9min

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Ex 53 * a) Aire de la surface ombrée 23061,1 cm≅ Périmètre de la surface ombrée 251,33 cm≅

b) L'aire de la figure ombrée 20,77924 a≈ ⋅ Ex 54 50α = 65γ δ= = Ex 55 80α = 40β = ° 40γ = Ex 56 140α = 20β = ° 15δ = Ex 57 36ε = ° Ex 58 72λ = ° Ex 61 50α = 50β = ° 55γ = 5δ = Ex 62 40α = 60β = ° 30γ = 50δ =


y

λ

x u

A

B

C

ε

Ex 64 l 5,24 cm≅ Ex 65 L'aire de la surface ombrée (segment circulaire) 20,81 cm≅ Ex 66 a) l 3,49≅ b) BDC 20= ACD 90= CID 70= Ex 67 2Aire du triangle TDE 135' 000 m=

Ex 69

a b c α β

I 10,88 mm 37,18 mm 38,74 mm 16,31° 73,69°

II 57,53 dm 9,11 dm 58,25 dm 81° 9°

III 26,60 km 36,61 km 45,25 km 36° 54°

IV 24,35 m 5,18 m 24,89 m 78° 12° Ex 70

1) opp utan( ) = =adj y

λ

λ

λ 2) opp ysin( ) =hyp x

εε =

3) adj ucos( ) =hyp x

εε = 4) opp ytan( ) =adj u

ε

ε

ε =

5) adj ycos( ) = =hyp x

λλ 6) opp usin( ) = =hyp x

λλ

Ex 71 h 324 m≅ Ex 72 h 105,72 m≅ Ex 73 L'étudiant se trouve à environ 12,226 kilomètres à vol d'oiseau du sommet du mont Fuji. Ex 74 Altitude ≈ 623,74 mètres. Ex 75 h 4,79 m Ex 76 L 1494,7 m Ex 77 Il lui faudra environ 5 minutes et 46 secondes. Ex 78 La longueur totale du toboggan est d'environ 32,69 mètres. Ex 79 a) i) a 12,93 cm≅ ii) c 10,72 cm≅ iii) Périmètre de l'octogone 85,68 cm

iv) Aire de l’octogone 2554,44 cm≅ v) Aire hachurée 261,31 cm≅

b) Aire hachurée 214,12 cm≅ Ex 80 La longueur du tunnel est 2800 m≅ Ex 81 Volume du remblai : 352 612 m′≅ Ex 82 * b) hauteur 147 m≅


Ex 83

a b c α β I 3 m 4 m 5 m 36,87° 53,13° II 8 cm 15 cm 17 cm 28,07° 61,93° III 2 mm 4,58 mm 5 mm 23,58° 66,42° IV 2 km 7 km 7,28 km 15,95° 74,05°

Ex 84 L'angle d'élévation du soleil est d'environ 51,34°. Ex 85 QI) a) 10,20α = ° b) d 270 m≅

QII) a) pente 47%= b) 9,65α = °

QIII) Pente du « Pas de Chavanette » = 46,36° < pentes de ski extrêmes dépassent les 50° . Ex 86 a) DV 251,6 m= DH 2286,2 m= b) pente 36% DV 171 m≅ Ex 87 53,13α ≅ ° 126,87β ≅ ° Ex 88 2 39,34α ≅ ° 2 140,66β ≅ ° Ex 89 43,5β ≅ ° Ex 90 L'angle de tir devrait être égal à ≈ 16,26°. Ex 91 L'angle θ indiqué par la figure vaut environ 21,8°. Ex 92 BC 13≅ 57.79γ ≅ Ex 93 b) AB AC 40 cm= = c) 2S 804,5 cm≅ Ex 94 α ≈ 33,47 ° γ ≈ 106,53° c ≈ 10,43 cm Ex 96 * a) HM 4094,56 km≅ Longueur du parallèle 25 713,84 km′≅

b) r 3185 km≅ Longueur du parallèle 20 001,8 km′≅ c) d 500,3 km≅

Ex 99 * a) La boîte ne peut pas être carrée.

b) largeur=4r ( )longueur= 2+ 3 r⋅

c) Le côté c du triangle équilatéral vaut : ( )c 2r 1 3= ⋅ +

Ex 100 * a) 45 % c) d R 1 cos2θ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

d) 42,4%≅

Ex 101 * b) Régulier : V ≅ 4 m3 c) Fort : V ≅ 4,5 m3 d) Extra-fort : V ≅ 5 m3 Ex 102 * a) Hauteur du gratte-ciel ≅ 130,3 m Ex 105 * d) Par personne, la force minimum à appliquer est : ( )140,79 N 14 kg e) α ≅ 30° Ex 106 * b) Hauteur de la montagne ≅ 3225 m


Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Documents

01 Table des matieres Avant-Propos Geometrie 1 N-A · 2017-07-10 · 2.2.2 Le théorème de Pythagore 12 2.2.3 Le théorème de Thalès 17 2.2.4 Le théorème d’Euclide et de la