บทท 2 ความเครยด (Strain)2.1 เกรนนา2.2 แผนผงความเคน – ความเครยด 2.3 กฎของฮค : การเสยรปในแนวแกน2.4 อตราสวนปวซอง : การเสยรปใน 2 และ 3 แกน2.5 ชนสวนทไมสามารถวเคราะหไดดวยวธทางสถตยศาสตร2.6 ความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภม

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 1

2.1 เกรนนา (Introduction)• วสดทมความยดหยน จะมการเปลยนแปลงรปทรงหรอเสยรปได ภายใตการกระทาของแรงภายนอกชนดตางๆ

• การยดหรอหดตว เนองจากแรงในแนวแกน (Axial loads)• การบดตว เนองจากผลของแรงบด (Torsion)• การแอนตว เนองจากผลของโมเมนตดด (Bending moments)• การขยายหรอหดตว เนองมาจากการเปลยนแปลงอณหภม• การโกงเดาะ (Buckling) ของเสา ฯลฯ

• ในการออกแบบ จะตองคานงถงการยดหยน (Stiffness) ของวสด ควบคไปกบความแขงแรง (Strength) ดวย

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 2

2.2 แผนผงความเคน – ความเครยด• พนฐานในการหาคาความยดหยนของวสด ทาไดดวยการทดสอบการดง (Tension test)

• ทาการวาดกราฟระหวางคาความเคน และอตราสวนระหวางระยะทางทยดออกตอความยาวเดม ซงเรยกวา ความเครยด (Strain) ซงเขยนเปนสมการไดเปน

(2.1)ความเครยด เปนปรมาณทไมมหนวย

oLδε =

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 3

• สมการ (2.1) เปนคาเฉลยตลอดความยาว• คาทแทจรงเปนคาเฉพาะจด หรอเขยนเปนสมการไดวา

(2.1 ก)

สมการ (2.1) ถอวาถกตอง ถาเปนไปตามเงอนไขก. หนาตดชนงานคงท ข. ทาจากวสดเนอเดยว ค. แรงอยในแนวแกน

dLdδε =

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 4

จดสาคญในกราฟของความเคน – ความเครยด ประกอบดวยB - Proportional Limit : เปนจดสดทายทกราฟเปนเสนตรง C – Elastic Limit : เปนจดสดทายทวสดจะกลบคนสสภาพเดมเหมอนกอนมแรง

กระทา (ยาวเทาเดม) ถานาแรงกระทาออกไป บางกรณจะเรยกวาเปน Upper yield point

D – Yield point : เปนจดทวสดจะเกดการคลาก หรอมการยดออกโดยระยะยดไมสมพนธกบคาแรงกระทา (ในความเปนจรง แรงลดลงจากจด Elastic limit) – การคลากนเกดขนเฉพาะกบวสดทเปนเหลกกลา (Steel) เทานน

F – Ultimate strength : เปนจดสงสดบนกราฟG – Rupture strength : เปนจดทชนงานขาดออกจากกน (ตามความเปนจรง

กราฟควรจะเปนไปตามเสนประ และเกดการขาดทจด Gt เพราะพนทหนาตดจรงจะลดลง เนองจากการเกดคอคอด หรอ Necking)

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 5

• สาหรบวสดอนทไมใชเหลกกลา • ไมมจดคลาก• ไมมการเกดคอคอด

ถาตองการใชคาของจดคลากไปใชในการออกแบบ จะใชวธเยองศนย 0.2%(Offset 0.2%) โดยการลากเสนจากจดทมความเครยด 0.002 หรอ 0.2% ขนานกบเสนตรงของกราฟในชวง Proportional limit

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 6

• ความเคนทางาน (Working stress) และ คาเผอความปลอดภย (Factor of Safety)

• ความเคนทางาน คอ ความเคนจรงในวสดขณะทมแรงกระทา ในบางกรณ กจะเรยกวา ความเคนทยอมรบได (Allowable stress) ซงในทางปฏบตแลว ความเคนทยอมรบไดน จะตองไมเกนจด Proportional Limit เพราะมฉะนนแลวจะละเมดกฎของฮค• เนองจาก Proportional Limit หาไดยาก จงใชคาของ Yield Point หรอUltimate strength ซงหาไดงายกวาแทน

• แตเนองจากความเคนของทง 2 จด มคาสงกวา จงตองหารดวยคาเผอความปลอดภย (N) หรอเขยนเปนสมการไดวา

หรอ yp

ypw

Nσσ =

ult

ultw

Nσσ =

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 7

2.3 กฎของฮค (Hooke’s Law)• การเสยรปในแนวแกน (Axial deformation)• จากชวงเสนตรงของกราฟความเคน – ความเครยด ความชนของกราฟ คอ อตราสวนของความเคนตอความเครยด มชอเรยกวาเปน สมประสทธของการยดหยน (Modulus of Elasticity: E) โดย หรอเขยนในอกรปแบบหนงวา

(2.3) ซงมชอเรยกเปนทางการวา กฎของฮค • หนวยของ E เหมอนกบของความเคน (Pa) แตจะมขนาดอยในระดบ

GPa (109 Pa)

εσ

=E

εσ E=

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 8

• จากกฎของฮค เมอแทนคาตามนยามของความเคนและความเครยดจะได

(2.4)

• โดยมเงอนไขอย 3 ประการ คอ• แรงอยในแนวแกนความยาว และตรงศนย (ผานจดเซนทรอยด)• วตถตองมขนาดพนทหนาตดคงทตลอดความยาว และเปนวสดเนอเดยว (Homogeneous)• คาความเคนตองไมเกน Proportional Limit

EL

AEPL σδ ==

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 9

• การเสยรปแบบเฉอน (Shearing deformation)• แรงเฉอนทาใหเกดการเสยรปแบบเฉอน โดยจะเกดการเปลยนแปลงเชงมม แตมขนาดความยาวของดานคงเดม• การเปลยนแปลงเชงมมจรงในชวงการยดหยนเกดขนนอยมาก (ระยะหรอมมเอยง มคานอยมาก)

• ประมาณการไดวา

• หรอเขยนเปนสมการไดเปน (2.5)

sδγ

γδ

γ ≈=L

stan

Lsδγ =

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 10

• สามารถใชกฎของฮคมาประยกตกบกรณของการเฉอนได โดย(2.6)

• โดยท G เปนคาสมประสทธความแขงเกรงของวสด (Modulus of Rigidity)

• ความสมพนธระหวางแรงเฉอนกบการเสยรปจากการเฉอน คอ

(2.7)

γτ G=

GAVL

s

s =δ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 11

ตวอยางท 2.1ใหหาระยะยดตวทงหมดของวตถยาว 10 เมตร ทมแรงดงทปลายทง 2 ดานขนาด P = 100 kN โดยทาจากวสดทมคาสมประสทธการยดหยน E = 200 GPa แทงวตถนเปนแทงแบน หนา 20 มม. และมขนาดความสงลาดเอยงลงจาก 120 มม. จนถง 40 มม. ดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 12

ตวอยางท 2.2แทงเหลกกลา AB และ BC ประกอบเปนโครงสราง โดยมแรงกระทาทขอตอจด B ขนาด P = 30 kN ดงรป กาหนดใหพนทหนาตดของ AB และ BC มคาเปน 300 และ 500 ตร.มม. ตามลาดบ และเหลกกลามคา E = 200 GPa ใหหา ระยะทจด B จะเคลอนทไปจากเดมทงในแนวราบและแนวดง

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 13

ตวอยางท 2.2 (ตอ)

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 14

2.4 อตราสวนปวซอง (Poisson’s Ratio)การเสยรปใน 2 และ 3 แกน (Biaxial and Triaxial deformations)• จากการทดลองการดง พบวาเมอวตถมความยาวยดออกนน จะมขนาดมตของดานทเปนหนาตดลดลง ซงถาหากความเคนยงอยในชวง Proportional limit ปวซองพบวา อตราสวนของความเครยดแนวขวางตอแนวยาวจะมคาคงท และสามารถเขยนเปนความสมพนธไดวา

(2.8)

โดยเครองหมาย ลบ หมายถง ขนาดดานขวางลดลง เมอความยาวเพมขนในกรณของการดง (หรอกลบกน ในกรณของการกด)• ตามทฤษฎ อตราสวนปวซองจะมคาไมเกน 0.50• มคาจรงโดยประมาณ 0.25 – 0.30 สาหรบเหลกกลา สวนโลหะอนๆ จะมคาประมาณ 0.33 และของคอนกรต ประมาณ 0.20

x

z

x

y

εε

εε

ν −=−=

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 15

• ในกรณทวตถมแรงกระทา 2 แนว (เชน x และ y) สามารถเขยนกฎของฮคโดยใชประโยชนจากอตราสวนปวซองได โดยความเครยดรวมในแนวยาว (แกน x) เกดจากผลโดยตรงในแนวแกน x และผลโดยออมจากความเคนในแนวขวาง (แกน y) โดย

(2.9)

• ในทานองเดยวกน ความเครยดรวมในแนวขวาง (แกน y) คอ(2.10)

• สามารถเขยนสมการ (2.9) และ (2.10) ในรปของการหาคาความเคนได โดย(2.11)

EEyx

x

σνσε −=

EExy

y

σνσ

ε −=

22 1)(

;1

)(ννεε

σννεε

σ−+

=−+

=EE xy

y

yx

x

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 16

• ในกรณทวตถมแรงกระทา 3 แนว (เชน x, y และ z) โดยหลกการเดยวกน จะไดวา

(2.12)

• สมการทงหมดในหวขอน ถอวาความเคนเรมตนทงหมดเปน ความเคนดง(เครองหมาย บวก) ในกรณทความเคนเรมตนใดๆเปนความเคนกด ใหแทนคาดวยเครองหมาย ลบ• ความสมพนธระหวางคาคงท E, G และอตราสวนปวซอง เขยนเปนสมการได

(2.10)

[ ]

[ ]

[ ]⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

+−=

+−=

+−=

)(1

)(1

)(1

yxzz

xzyy

zyxx

E

E

E

σσνσε

σσνσε

σσνσε

)1(2 ν+=

EG

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 17

ตวอยางท 2.3ใหหาคาอตราสวนปวซองทางทฤษฎทสงทสด จากการทดสอบวตถทอยภายใตสภาพความเคนในสามมต ซงมคาเทากนทงสามแกน

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 18

ตวอยางท 2.4แทงอลมเนยมกลมขนาด 80 มม. สอดอยภายในทอเหลกกลา โดยมความหลวมเลกนอย ถาออกแรงกดขนาด 400 kN ททงสองปลายของแทงอลมเนยม ทอเหลกกลาจะตองมเสนผาศนยกลางภายในอยางนอยเทาใด ถงจะทาใหผวแทงอลมเนยมสมผสกบผนงดานในของทอเหลกกลาไดพอดกาหนดให อลมเนยมมคา E = 70 GPa และอตราสวนปวซอง = 1/3

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 19

2.5 ชนสวนทไมสามารถวเคราะหไดดวยวธทางสถตยศาสตร (Statically Indeterminate Members)• มปญหาบางชนดทสมการสมดลมไมเพยงพอทจะใชในการวเคราะหหาแรงปฏกรยาภายนอกไดครบถวน เพราะมการบงคบการเคลอนทไวมากเกนไป อนเนองมาจากตองการใหระบบมความแขงเกรงมากขน

• จงมความจาเปน ตองหาสมการเพมเตม ซงไดมาจากการเขยนสมการความสมพนธของการเสยรปของชนสวนทเกยวของ (ถอวาวตถมความยดหยน ไมใชเปนวตถเกรงอกตอไปแลว)

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 20

• ขนตอนการแกปญหาของชนสวนทไมสามารถวเคราะหไดดวยวธทางสถตยศาสตร

1. เขยนแผนผงวตถอสระ (FBD) ของวตถหรอระบบทสนใจ ตามหลกการในวชาสถตยศาสตร

2. เขยนสมการสมดลทเกยวของ3. วาดรปแสดงตาแหนงสดทายของวตถหรอระบบหลงเกด

การเสยรป เทยบกบตาแหนงเรมตน4. เขยนสมการความสมพนธของการเสยรปของวตถหรอ

ระบบ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 21

ตวอยางท 2.5เสาคอนกรตสนเสรมการรบแรงดวยเหลกเสน 6 เสน ทมขนาดพนทหนาตดเสนละ 600 ตร.มม. โดยมแรงกดขนาด P = 1000 kN กระทาผานแผนครอบหวเสาซงถอวาเปนวตถเกรง ถากาหนดให Es = 200 GPa และ Ec = 14 GPa แลว ใหหา ความเคนทเกดขนในเนอคอนกรตและเหลกเสน

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 22

ตวอยางท 2.6จากตวอยาง 2.5 ถากาหนดใหความเคนสงสดทยอมรบไดในคอนกรตและเหลกเสนเปน 6 MPa และ 120 MPa ตามลาดบแลว ใหหาแรงกด P สงสดทกระทา โดยเสายงอยในสภาพปลอดภย

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 23

ตวอยางท 2.7แทงทองแดงสอดอยในทออลมเนยมกลวง โดยมปลายดานบนโผลเลยขนมาจากปลายของทอ 0.130 มม. ดงรป ใหหาแรงกด P สงสดทกระทาผานแผนรบแรงซงเปนวตถเกรง โดยทวสดทงสองชนดยงอยในสภาพปลอดภย กาหนดให พนทหนาตด ความเคนสงสดทยอมรบได และคา E ในทองแดงและอลมเนยมเปน 1200 กบ 1800 ตร.มม., 140 MPa กบ 70 MPa และ 120 กบ 70 GPa ตามลาดบ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 24

ตวอยางท 2.8คานไมคดมวล อยในแนวราบพอดกอนทจะมแรงภายนอกมากระทา จดรองรบท A ถอวาเปนสลกทแขงเกรง สวนแทงเหลกกลากบแทงบรอนซมความยดหยน ใหหา คาความเคนทเกดขนจรงในแทงวตถทงสอง กาหนดให พนทหนาตด ความเคนท proportional limit และคา E ในเหลกกลากบบรอนซเปน 600 กบ 300 ตร.มม.,240 MPa กบ 140 MPa และ 200 กบ 83 GPa ตามลาดบ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 25

2.6 ความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภม(Thermal stress)

• เมอมการเปลยนแปลงอณหภมเกดขน วตถทกชนดจะเกดการเปลยนแปลงขนาด โดยจะขายายตวเมออณหภมสงขน และหดตวเมออณหภมลดลง• ปรมาณการเสยรปในแนวความยาวใดๆ เขยนเปนสมการไดวา

(2.14)

โดย เปนสมประสทธการขยายตวเชงเสนของวสด• ถาวตถสามารถเสยรป (ขยายหรอหดตว) ไดอยางอสระ กจะไมเกดแรงกระทาหรอความเคนเพมขนในวตถแตอยางใด• แตถามการบงคบการเสยรป (ทงหมดหรอบางสวน) จากจดรองรบ จะทาใหเกดแรงตานขนภายในวตถ ทาใหเกด ความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภมขน

)( TLT ∆=αδ

α

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 26

• ขนตอนการแกปญหาทเกยวของกบความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภม

1. นกภาพวาทกชนสวนสามารถเกดการเสยรปไดอยางอสระ (เสมอนไมมจดรองรบหรอการบงคบการเคลอนทใดๆ)

2. เขยนแผนผงการเสยรปดงกลาว โดยเขยนใหมากเกนจรง เพอทจะไดมองภาพความสมพนธไดชดเจน

3. นกภาพวาตองมแรงมาบงคบใหวตถทเสยรปน กลบไปส ตาแหนงทควรจะเปน เขยนแรงดงกลาวและระยะการเสยรปเนองจากแรงนลงในแผนผงตามขอ 2

4. เขยนแผนผงวตถอสระ (FBD) ของวตถหรอระบบตามหลกการในวชาสถตยศาสตร และเขยนสมการสมดลทเกยวของ

5. เขยนสมการความสมพนธของการเสยรปของวตถหรอระบบกลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 27

ตวอยางท 2.9แทงเหลกกลายาว 2.5 เมตร ยดอยางแนนหนาเขากบผนง 2 ดาน โดยเมอเรมตนทอณหภม นน ไมมแรงใดๆกระทาตอแทงเหลก กาหนดใหแทงเหลกม A = 1200 ตร.มม. E = 200 GPa และ

ใหหา ความเคนในแทงเหลกเมออณหภมลดลงไปเปน ถา(ก) ผนงทงสองดานอยกบท(ข) ผนงสามารถเลอนเขามาหากนไดเปนระยะทางรวม 0.500 มม.

C°20

)./(7.11 Cmm °= µα C°− 20

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 28

ตวอยางท 2.10แทงวตถแขงเกรงมมวล 5 Mg มลวด 3 เสน ดงไวใหอยในแนวระนาบ ณ อณหภมปกตดงรป ใหหาความเคนในลวดแตละเสน หลงจากอณหภมเพมขนจากเดมอกกาหนดใหลวดเหลกแตละเสนม A = 500 ตร.มม. E = 200 GPa และ สวนบรอนซม A = 900 ตร.มม. E = 83 GPa และ

C°40

)./(7.11 Cmm °= µα)./(9.18 Cmm °= µα

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 29

ตวอยางท 2.11จากตวอยางท 2.10 ใหหาอณหภมททาใหลวดเหลกรบแรงเพยงอยางเดยว

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 2 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 30