1

Chapter 2- Fundamentals of Statistics for Quality Control

2

Statistics for QC

1 . ค่�าแนวโน�มสู่��ค่�ากลาง (Central Tendency)

1.1 ค่�าเฉล��ยของประชากร (Population Mean, )

1.2 ค่�าม�ธยฐาน (Median, )

1.3 ค่�าฐานน�ยม (Mode, Xmo)

2 . ค่�าที่��ใช�อธ�บายค่วามแปรปรวนของระบบ (Variability)

2.1 ค่�าเบ��ยงเบนมาตราฐาน (Standard Deviation, S.D. or σ)

2.2 ค่�าค่ลาดเค่ล$�อนมาตราฐาน (Standard Error )

2.3 ค่�าพิ�สู่�ยค่วอไที่ล' ( Interquartile Range, IQR )

ค่�าสถิ�ติ� (Statistics ) ค่$อค่�าของข�อม�ลที่��รวบรวมมาจากการส�มติ�วอย่�าง (Sampling ) ข�อม�ลเพิ�ยงบางสู่�วนจากข�อม�ลในระบบหร$อกระบวนการที่�*งหมด ซึ่,�งในที่างสู่ถิ�ต�ม�กจะใช�ค่.าแที่นระบบหร$อกระบวนการที่��สู่นใจด�วยค่.าว�า “ประชากร ” ( Population ) และเร�ยกข�อม�ลจากการสู่/�มต�วอย�างว�า “ข้�อม�ลติ�วอย่�าง ” (Sample ) ค่�าสู่ถิ�ต�น�*นได�พิ�ฒนาข,*นมาเพิ$�อใช�เป1นค่�าประมาณของค่�าจร�งจากประชากร ซึ่,�งเร�ยกว�า “ค่�าพาราม�เติอร� ”(Parameter ) ค่�าพิาราม�เตอร'น�*เป1นค่�าที่��ใช�อธ�บายล�กษณะที่�*งหมดที่��สู่.าค่�ญของประชากร ซึ่,�งจะที่ราบค่�าพิาราม�เตอร'ได�ที่� *งหมดต�องที่ราบค่�าที่��เป1นไปได�ที่� *งหมดของประชากร หร$อที่ราบการแจกแจงที่��แที่�จร�งของประชากรน�*น

ค่�าพิาราม�เตอร' (Parameter) สู่ามารถิจ�ดแบ�งได�เป1น สู่องกล/�ม ด�งน�*

μ~

3

Central Tendency (ค่�าแนวโน�มสู่��ค่�ากลาง )

~x~

~

xi

N

;

N

xN

ii

1

ประไพิศร� และ พิงศ'ชน�น, สู่ถิ�ต�ว�ศวกรรม, 2551

4

Central Tendency (ค่�าแนวโน�มสู่��ค่�ากลาง )

ประไพิศร� และ พิงศ'ชน�น, สู่ถิ�ต�ว�ศวกรรม, 2551

5

Questions (A)

1. ในสู่ถิานการณ'การที่.างานในดรงงานแห�งหน,�งที่.าการผล�ตเหล7กเสู่�นสู่.าหร�บงานก�อสู่ร�าง เจ�าหน�าที่�� QC ที่.าการสู่ร/ปข�อม�ลที่��ได�จากพิน�กงานกะกลางค่$นที่��ที่.าการสู่/�มว�ดค่�า Yield Strength ของต�วอย�างเหล7กเสู่�น 15 ช�*น จาก 100 ช�*น ในล7อตเด�ยวก�น มาขอค่.าแนะน.าจาก ว�ศวกร (SUT) โดยข�อม�ลที่��สู่ร/ปได�ม�ด�งน�*

MEAN MEDIAN MODE

326.93 GPa 265 GPa 260 GPa

ในกรณ�ที่��ที่�านที่ราบว�า specification ของผล�ตภั�ณฑ์'ม�ค่�าอย��ในช�วง 258-268 MPa ที่�านค่�ดว�าข�อม�ลน�*น�าเช$�อถิ$อหร$อไม� ถิ�าไม�ที่�านจะด.าเน�นการว�เค่ราะฆื$ข�อม�ลเบ$*องต�นอย�างไร

MEAN MEDIAN MODE

326.93 MPa 265 MPa 260 MPa

ประไพิศร� และ พิงศ'ชน�น, สู่ถิ�ต�ว�ศวกรรม, 2551

(Excel)

6

Variability (ค่�าที่��ใช�อธ�บายค่วามแปรปรวนของระบบ )

N

xN

ii

1

2

2

)( และค่�า Standard Deviation ค่$อ

N

xN

ii

1

2)(

nx

x n

n

7

Variability (ค่�าที่��ใช�อธ�บายค่วามแปรปรวนของระบบ )

(Excel)

8

Statistical Analysis(การว�เค่ราะห'ที่างสู่ถิ�ต�)

Parametric Statistics(การว�เค่ราะห'แบบอ�ง

พิาราม�เตอร')

Parametric Statistics(การว�เค่ราะห'แบบไม�อ�ง

พิาราม�เตอร')

Descriptive Statistics(สู่ถิ�ต�เช�งพิรรณนา)

• Graph (กราฟ)

• Table (ตาราง)

• Percentage (ร�อยละ)• Mean (ค่�าเฉล��ย)

• Standard Deviation (ค่�าเบ��ยงเบนมาตรฐาน)

• Range (ค่�าพิ�สู่�ย)

Inference Statistics(สู่ถิ�ต�เช�งอน/มาน)

• Hypothesis Testing (การที่ดสู่อบสู่มมต�ฐาน)

• Confidence Interval (ช�วงค่วามเช$�อม��น)

• Regression Analysis (การว�เค่ราะห'การที่ดถิอย)

• Analysis of Variance , ANOVA (การว�เค่ราะห'ค่วามแปรปรวน)

การรวบรวมข�อม�ลจาก

ประชากร หร$อ ต�วอย�างสู่/�ม

เพิ$�อมาต�ค่วามหมายหร$อน.ามาสู่ร/ปโดย

ไม�ม�การประมวลผล

ด�วยการที่ดสู่อบที่าง

สู่ถิ�ต� (ค่วามน�าจะเป1น, Law of

Probability)

การรวบรวมข�อม�ลจากการ

ต�วอย�างสู่/�มแล�วน.ามาผ�านการ

ที่ดสู่อบที่างสู่ถิ�ต� (ค่วามน�าจะเป1น,

Law of Probability )เพิ$�อใช�อ�างอ�งหร$อต�ค่วามข�อม�ลของประชากรที่�*งหมด

9

Populationประชากร

Sampleสู่��งต�วอย�าง ข�อม�ล

Descriptive Statistics

ต�ค่วามหมาย/interpretต�ค่วามหมาย/

interpret

Populationประชากร

Sampleสู่��งต�วอย�าง ข�อม�ล

Inference Statistics

ต�ค่วามหมาย/interpret

Conclusionข�อสู่ร/ป

การว�ด/measurement

การว�ดช�กต�วอย�าง/Sampling

ช�กต�วอย�าง/Sampling

การว�ด

Descriptive and Inference Statistic

10

Population (ประชากรในเช�งจ�ดการและบร�หาร)

Processes (กระบวนการ)

Raw Materials

Man, Machine, Method

Products• Hardware• Service

y = f(x1, x2,…, xn) + ε

x1, x2,…, xn

z1 + z2+… +zn = ε

ε

Controllable cause

Uncontrollable cause

Population

Population (ประชากรในเช�งสู่ถิ�ต�)

ประชารกรในเช�งสู่ถิ�ต�หมายถิ,งสู่��งที่��สู่นใจเพิ$�อที่��จะน.ามาใช�ในการต�ดสู่�นใจที่างสู่ถิ�ต� เช�น ผล�ตภั�ณฑ์'ในแต�ละลอตการผล�ตร�ปแบบการกระจายของประชากรจะม�แน�วโน�มล��เข�าสู่��ค่�าที่��ค่วรจะเป1นค่�าหน,�ง () ค่�าข�อม�ลของประชารกรแต�ละค่�าในเช�งสู่ถิ�ต�อาจไม�เที่�าก�น เป1นอ�สู่ระต�อก�นและเบ��ยงเบนไปจากค่�า การเบ��ยงเบนน�*ม�ผลมาจาก สู่าเหต/สู่.าค่�ญ 2 ชน�ดค่$อ สู่าเหต/จากธรรมชาต� (Chance cause หร$อCommon cause) และสู่าเหต/ที่��ระบ/ได� หร$อ สู่าเหต/ที่��เก�ดจากค่วามผ�ดผลาด (Assignable cause)

11

ล�กษณะของข�อม�ลที่��ได�จากกล/�มต�วอย�าง

ข�อม�ลของกล/�มต�วอย�างที่��ได�จากประชากรจะม�ค่วามเบ��ยงเบนที่��ม� ล�กษณะสู่มบ�ต�ค่ล�ายๆก�บค่วามเบ��ยงเบนของประชากร โดยสู่ามารถิสู่ร/ปล�กษณะสู่มบ�ต�ของข�อม�ลเช�งสู่ถิ�ต�ได�ด�งน�*

ค่�าข�อม�ล = ค่�าที่��ค่วรจะเป1นที่��ได�จากการเก7บข�อม�ล (ค่�าเฉล��ยของกล/�มต�วอย�าง , i) + ค่�าค่วามเบ��ยงเบนจากต�วแปรที่��ไม�สู่ามารถิค่วบค่/มได� (ε) iy

population samples data

sampling measurement

yi then ,0 If

ii

iiii

ythen

and, If

หมายถิ,ง ค่�าที่��ค่วรจะเป1นหร$อค่�าเฉล��ยของประชากร

i หมายถิ,ง ค่�าที่��ค่วรจะเป1นหร$อค่�าเฉล��ยของกล/�มต�วอย�าง

i หมายถิ,ง ค่�าค่วามเบ��ยงเบนของค่�าที่��ค่วรจะเป1นของกล/�มต�วเม$�อเที่�ยบก�บประชากรหร$อ หมายถิ,งอ�ที่ธ�พิลของต�วแปรที่��ได�ร�บการค่วบค่/ม (Controlled Effect)

ε

i

Controllable cause

Uncontrollable cause

i

12

is the mean

is the standard deviation

ร�ปแบบการกระจายต�วแบบปกต� (Normal distribution)

13

x x

x x

Data Precision (แม�นย.า) and Accuracy (ถิ�กต�อง)

specification

High precision RepeatabilityHigh accuracy No Bias

14

Questions

1 .จงอธ�บายถิ,งค่วามแตกต�างระหว�างสู่ถิ�ต�เช�งพิรรณนา ก�บ สู่ถิ�ต�เช�งอน/มาน

2. ล�กษณะสู่.าค่�ญของประชากร ในค่วามหมายที่างสู่ถิ�ต�ประกอบด�วยอะไรบ�าง

3. จงอธ�บายถิ,งค่วามแตกต�างระหว�างค่วามเบ��ยงเบนเน$�องจากสู่าเหต/ธรรมชาต� และจากสู่าเหต/ค่วามผ�ดผลาด

4. จงอธ�บายถิ,งค่วามหมายและค่วามแตกต�างระหว�าง Precision (ค่วามแม�นย.า) และ Accuracy (ค่วามถิ�กต�อง) ของข�อม�ล

15

Statistical Data Analysis• To evaluate the quality of Data, data dispersion will

be considered.

• Data dispersion can be analyzed by using statistical parameters:– Range– Standard deviation– Coefficient of Variation– Capability Index

• In addition, data dispersion can be evaluated by considering the pattern of dispersion using– Skewness– Kurtosis– Normal Probability Paper (NOPP)

16

Range (ค่�าพิ�สู่�ย)

R = Xmax – Xmin

R is Range, Xmax and Xmin is maximum and minimum value of data respectively.

เน$�องจากค่�า Range ค่.านวณจากเฉพิาะค่�าสู่�งสู่/ดและต.�าสู่/ดของช/ดข�อม/ลเที่�าน�*น ด�งน�*น ค่�า Range จ,งเหมาะสู่มก�บการใช�ว�ดค่วามเบ��ยงเบนของข�อม�ลที่��ม�จ.านวณไม�มากน�ก (ไม�เก�น10 ต�ว)*

* ก�ตต� พิลอยพิาน�ชเจร�ญ, สู่ถิ�ต�สู่.าหร�บงานว�ศวกรรม, 2540

Data A Data B10 2412 209 168 25

10 207 18

13 1810 198 20

11 21R = 6 22

1915201915172220231720182118201915251426

17

Interquartile Range, IQR (พิ�สู่�ยระหว�างค่วอไตล')

IQR = Q3 – Q1

Q3 and Q1 is 75th and 25th percentile (or Q3 = P75 and Q1 = P25) of data respectively. ( 75th percentile หมายถิ,งค่�าของข�อม�ลม�ค่�ามากกว�า 75เปอร'เซึ่นต'ของข�อม�ลที่�*งหมด)

Data A Data B7 248 208 169 25

10 2010 1810 1811 1912 2013 21

IQR = Q3 - Q1 = 3 221915201915172220231720182118201915251426

18

Supplement for percentile calculation Estimation of percentiles

(1) Percentiles can be estimated from N measurements as follows: for the pth percentile, set p(N+1) equal to k + d for k an integer (เลขจ.านวนเต7ม), and d (ที่ศน�ยม), a fraction greater than or equal to 0 and less than 1.

1. For 0 < k < N, Y(p) = Y[k] + d(Y[k+1] - Y[k]); โดย Y(p) ค่$อค่�าข�อม�ลที่�� Percentile ที่�� p, และY[k] ค่$อค่�าข�อม�ลที่�� Percentile ที่�� k 2. For k = 0, Y(p) = Y[1]

3. For k = N, Y(p) = Y[N]

(2) Some software packages (EXCEL, for example) set 1+p(N-1) equal to k + d, then proceed as above. (ว�ธ�การค่.านวณค่�า Percentile ของ EXCEL)

(3) A third way of calculating percentiles starts by calculating pN (p ค่�ณ N). If pN is not an integer (เลขจ.านวนเต7ม), round up (ป=ดค่�าที่ศน�ยม

ข,*นเป1นจ.านวนเต7ม) to the next highest integer k and ,percentile Y(p) = Y[k] as the percentile estimate. If pN is an integer k, use Y(p) = 5(Y[k] +Y[k+1]).

Data A

iMeasurements Ranks

1 95.1772 92 95.1567 63 95.1937 104 95.1959 115 95.1442 56 95.061 17 95.1591 78 95.1195 49 95.1065 3

10 95.0925 211 95.199 1212 95.1682 8

example

19

Mean Absolute Deviation, MAD (ค่วามเบ��ยงเบนสู่มบ�รณ'โดยเฉล��ย)

n

xxn

ii

1 MAD

Data A Data B10 2412 209 168 25

10 207 18

13 1810 198 20

11 2122191520191517222023172018

20

Root Mean Square, RMS (รากที่��สู่องของม�ชฌิ�มาก.าล�งสู่อง)

n

xxn

ii

1

2)( RMS

Data A Freq (f) f7 1 -2.8 7.84 7.848 2 -1.8 3.24 6.489 1 -0.8 0.64 0.64

10 3 0.2 0.04 0.1211 1 1.2 1.44 1.4412 1 2.2 4.84 4.8413 1 3.2 10.24 10.24

S = 31.6

RMS = 1.77764

)( yyi 2yy i 2yy i

21

Standard Deviation, SD (ค่วามเบ��ยงเบนมาตรฐาน)

1

)( SD

2

1

n

xxn

ii

Data A Data B10 2412 209 168 25

10 207 18

13 1810 198 20

11 2122191520191517222023172018

freedom" of degree" called 9or 1-n is variablefree theSo,

9.or 1)-(n is which xofrest fix the and

xof oneleast at vary tohave we, x want to weIf

10 n example, in this ;...

i

i

1021

n

xxxx

If is the mean of population which we do not know, we can estimate from the mean of samples ( ). ค่�าเฉล��ยของประชากรอาจประมาณได�จากค่�าเฉล��ยของกล/�มต�วอย�าง ( )

x

x

22

Coefficient of Variation, COV(สู่�มประสู่�ที่ธ�?แห�งค่วามผ�นแปร)

? cov 6.108 and ,40.7 :Aset data

? cov 2.8 and ,48.1 :Aset data

%100cov

xSD

xSDx

SD

Data set A: 8 9 6 10 8

Data set A: 100 110 120 108 105

23

Capability Index, Cp, Cpk

(ด�ชน�แสู่ดงค่วามสู่ามารถิ)

Limition SpecificatLower LSL

Limition SpecificatUpper USL

;6

Cp

SD

LSLUSL

ค่วามค่ลาดเค่ล$�อนที่��ยอมให�เก�ด (Tolerance of specification)

ค่วามเบ��ยงเบนของประชากรหร$อกล/�มต�วอย�าง

LSL = 50 USL = 100

75x

90x

100x

SD= 25

SD= 25

SD= 25

SD

LSLxSD

xUSL

3 C

3 C

pl

pu

Cpk = ค่�าที่��ต.�าที่��สู่/ดระหว�าง Cpuและ Cplโดยค่�าที่�*งสู่องน�*หาได�

จาก

Cp = 2.00 Cpk = 2.00

Cp = ? Cpk = ?

Cp = ? Cpk = ?

24

Skewness and Kurtosis

(ค่วามเบ�และค่วามโด�ง)

Median is ~ ;~

Skewness xSD

xx

x~x[(n+1)/2] if n is an odd number (เลขค่��)

(x(n/2) + y(n/2)+1)/2 if n is an even number (เลขค่��)

xn หมายถิ,งค่�าของข�อม�ลล.าด�บที่�� n

Positive skewed distribution

Negative skewed distribution

Normal distribution

=

x~x <

<

x~x

x~x

25

Skewness and Kurtosis

(ด�ชน�แสู่ดงค่วามสู่ามารถิ)

Platykutic 0.2635 Kurtosis if

cLeptokurti 0.2635 Kurtosis if

0.2635 Kurtosis on,distributi normalFor

percentile is P and Quartile is Q

;2)(

Kurtosis

*

1090

13

PP

QQ

* ก�ตต� พิลอยพิาน�ชเจร�ญ, สู่ถิ�ต�สู่.าหร�บงานว�ศวกรรม, 2540

โด�งแบนราบ

26

Normal Probability Paper (NOPP) (กราฟที่ดสู่อบการแจกแจงแบบปกต�)

Normal distribution

Freq.

-1 -2 -3 0 1 2 3

0

-1 -2 -3 0 1 2 3

Accumulative Freq.

50%

How to plot a graph on NOPP

1. Rearrange the data in ascending or descending order (จ�ดเร�ยงข�อม�ลตามล.าด�บน�อยไปหามากหร$อมากไปน�อยก7ได�)

2. Calculate accumulative percentage by using this equation: (หาค่�าเปอร'เซึ่นต'หร$อค่วามถิ��สู่ะสู่ม)

3. Use the data to plot the curve on NOPP (สู่ร�างกราฟบน NOPP)

4. If the plotting result is a straight line, data dispersion is normal distribution (ถิ�ากราฟที่��ได�ป1นเสู่�นตรงแสู่ดงว�าข�อม�ลม�การแจกแจงแบบปกต�)

data ofnumber the data, ofrank the Freq, veaccumulati is

%;1005.0

)(

nkF(x)n

kXF

27

การใช� NOPP สู่.าหร�บข�อม�ลจ.านวนน�อย

ในการศ,กษาถิ,งค่วามสู่ามารถิในการว�ดซึ่.*า หร$อ Repeatability (ซึ่,�งเป1นสู่�วนหน,�งของ Gauge Repeatability & Reproducibility or Gauge R&R ) ของเพิลาช�*นหน,�งซึ่,�งม�เสู่�นผ�านศ�นย'กลาง ซึ่.ม. ได�ผลด�งน�* (use Excel to prepare)

10.3 10.2 10.0 9.6 10.1

10.2 9.8 9.7 9.5 10.3

ให�พิ�จารณาว�าข�อม�ลที่��ได�ด�งกล�าวม�การแจงแบบปกต�หร$อไม�

ถิ�าใช� ที่�านค่�ดว�าระบบการว�ดน�*น�าเช$�อถิ$อได�หร$อไม�

ถิ�าไม� อะไรที่��ที่�านค่�ดว�าน�าจะเป1นสู่าเหต/

Note: There are two important aspects on a Gauge R&R:

Repeatability, Repeatability is the variation in measurements taken by a single person or instrument on the same item and under the same conditions.

Reproducibility, the variability induced by the operators. It is the variation induced when different operators (or different laboratories) measure the same part.

28

การใช� NOPP สู่.าหร�บข�อม�ลจ.านวนมากข�อม�ลจากการว�ดค่วามกว�างของช�องว�าง (Gap Width) ของห�วบ�นที่,กข�อม�ล

(Magnetic Recording Head) แสู่ดงไว�ด�*งน�* * (use Excel)

1.39 1.40 1.60 1.41 1.43

1.46 1.30 1.50 1.34 1.47

1.56 1.35 1.52 1.51 1.25

1.39 1.55 1.59 1.50 1.66

1.61 1.32 1.46 1.30 1.51

1.52 1.48 1.38 1.40 1.55

1.39 1.33 1.46 1.43 1.35

1.57 1.50 1.20 1.48 1.41

1.65 1.51 1.42 1.60 1.29

1.38 1.46 1.39 1.42 1.46

1.69 1.55 1.46 1.52 1.33

1.52 1.25 1.48 1.60 1.43

1.51 1.35 1.40 1.46 1.57

1.62 1.46 1.51 1.24 1.50

1.56 1.30 1.40 1.55 1.50

1.52 1.43 1.39 1.41 1.38

1.40 1.35 1.48 1.42 1.30

1.38 1.55 1.46 1.58 1.34

1.41 1.29 1.41 1.42 1.43

1.38 1.48 1.42 1.60 1.35

* ก�ตต� พิลอยพิาน�ชเจร�ญ, สู่ถิ�ต�สู่.าหร�บงานว�ศวกรรม, 2540