Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Chapter 2: Probability ความนาจะเปนและการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม
1
เนอหา:• ความนาจะเปนพนฐาน (Basic Probability Concepts)• ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional Probability)• เหตการณทอสระกน (Independence events)• ทฤษฎของเบย (Bayes’ Theorem)• ตวแปรสม (Random variable)• การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม (Probability distribution of random
variable)
2
การทดลองเชงสมและสเปซตวอยางการทดลองเชงสม (Random experiment) เปนการทดลองทไมสามารถท านายผลลพธไดแนนอนลวงหนาวาอะไรจะเกดขน เชน การโยนเหรยญ การทอดลกเตาการหยบไพจากส ารบ จ านวนผลตภณฑเสยในการผลตครงหนง เหลานถอเปนการทดลองเชงสม ทงสน และในการท าการทดลองเชงสมครงหนง ๆ นแมวาจะไมามารถท านายผลลพธไดแนนอนลวงหนา แตสามารถทราบบอกไดวาจะมผลลพธอะไรกดขนไดบาง ซงเซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดทเกดขนในการทดลองเชงสมน เรยกวา สเปซตวอยาง (Sample space : S) และผลลพธ (Outcome) หรอ สมาชกแตละตวในสเปซตวอยาง เรยกวา จดตวอยาง (Sample point)
3
ตวอยางการทดลองเชงสม เชน• โยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 ครง• ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง• ทดลองหยบไพจากส ารบมาอยางสม 1 ใบ• ยงปนไปทเปา 1 นด• โยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครง• สมคนมา 1 คน เพอสอบถามหมเลอด
4
Sample Spaces
เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดในการทดลองเชงสมหนง (Collection or Set ofAll Possible Outcomes) เชน โยนลกเตา 1 ลก 1 ครง
S = { All 6 faces of a die } = { 1,2,3,4,5,6 }
เชน ทดลองหยบไพจากส ารบมาอยางสม 1 ใบS = { All 52 cards of a bridge deck }
5
Sample Spaces
เชน โยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครง
S={ HH,HT,TH,TT } , H แทน หว ,T แทน กอย
และสมาชกทเปนไปไดแตละตวในเซต S เรยกวา Sample point
6
เนองจากเหตการณเปนเซตของสมาชกทเราสนใจ ดงนนโดยอาศย การกระท าของเซต (Operationof sets) จะท าใหเกดเหตการณใหม
ให A, B เปนเหตการณใด ๆ ใน Sample space1. เหตการณ A หรอ B แทนดวย
หมายถง เหตการณ A เกดหรอ B เกด หรอทงสองเหตการณเกดขนหรอกลาวไดวามอยางนอยหนงเหตการณเกดขน
นนคอ ผลลพธของเหตการณ จะเปนผลลพธทอยในเหตการณ A หรอ B หรออยทงใน A และ B
7
BA
BA
2. เหตการณ A และ B แทนดวยหมายถง เหตการณ A และ B เกดขนพรอมกนนนคอ ผลลพธของเหตการณ จะเปนผลลพธทอยทงในเหตการณ A และ เหตการณ B
8
BA
BA
3. Complement ของเหตการณ A แทนดวย หรอ หมายถง เหตการณทไมใชเหตการณ Aนนคอ ผลลพธของเหตการณ จะเปนผลลพธทอยใน S แตไมอยใน A
*** S และ Ø เปนเหตการณหนงดวย เพราะแตละกรณเหลานเปนเซตยอยของสเปซตวอยาง
9
A cA
A
Mutually Exclusive Events (M.E.E.)
เหตการณ A และ B จะเรยกวา Mutually exclusive events ถาเหตการณA และ B ไมมผลลพธรวมกน (Disjoint events) นนคอ
10
BA
ตวอยาง 2.1 โยนเหรยญ 1 อน 2 ครงS = {HH, HT, TH, TT}
ถาให A แทน เหตการณทเหรยญขนหนาเหมอนกนทงสองB แทน เหตการณทเหรยญขนหวอยางนอย 1 ครงC แทน เหตการณทเหรยญขนหว 1 ครง
จะไดวา A = {HH, TT}B = {HH, HT, TH}C = {HT, TH}
จงเขยนเซตของเหตการณตอไปน
11
B,A,CA,CA,BA
แนวความคดเกยวกบความนาจะเปน
ในการทดลองเชงสมหนงๆ เหตการณทสนใจอาจจะเกดขนหรอไมเกดขนกไดถาเราจะวดโอกาสหรอความนาจะเปน (Chance or Probability) ทเหตการณทาดหวงจะเกดขน ความนาจะเปนดงกลาวจะถกก าหนดเปนตวเลขในชวง 0 ถง 1 ถาแนใจวาเหตการณเกดขนแนนอน กกลาวไดวาความนาจะเปนของเหตการณนนเปน 1แตถาแนใจวาเหตการณนนไมเกดขน จะไดวาความนาจะเปนของเหตการณนนเปน 0
12
ดงนนกลาวไดวา…ความนาจะเปน (Probability) คอ ตวเลขทใชเปนมาตรในการวดหรอบอกโอกาสของการเกดเหตการณวามโอกาสเกดขนมากหรอนอยเพยงใด
และความนาจะเปนจะมความหมายกตอเมอเหตการณนนหรอเหตการณทเราสนใจยงไมเกดขนหรอเกดขนแลวแตเรายงไมทราบผล
แตถาทราบผลของเหตการณนนแลวความนาจะเปนกจะหมดความหมาย
13
ความนาจะเปนของเหตการณ (Probability of Event)
1. Frequency Probabilty or Frequency Approach or Empirical Probabilty
2. Classical Probabilty or Classical Approach or Mathematical Probabilty
3. Subjective Probabilty
14
Frequency Approach
15
16
Classical Approach
17
ในการท าการทดลองเชงสมหนง สนใจเหตการณ A ความนาจะเปนของเหตการณA แทนดวย P(A)
ซง
โดยท n(A) แทน จ านวนสมาชกของเหตการณ An(S) แทน จ านวนสมาชกทงหมดในแซมเปลสเปซ S
กรณนสมาชกแตละตวในสเปซตวอยางตองมโอกาสเกดขนไดเทา ๆ กนและเกดขนไมพรอมกน (Each of the Outcomes in the Sample Space is Equally Likely to Occur and mutually exclusive)
Axiom of probability
18
1. ให A เปนเหตการณใด ๆ ใน S แลว P(A) ≥ 02. P(S) =13. ให A1 , A2 , ... , kA เปนเหตการณใด ๆ ใน S และเกดขนไมพรอมกนแลว จะได
วา
จาก Axiom ดงกลาว จะไดทฤษฎความนาจะเปนทส าคญดงตอไปน
ทฤษฎทเกยวของ
19
ทฤษฎทเกยวของ
20
ตวอยาง 2.2
21
ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง
ให A แทน เหตการณทลกเตาขนแตมคให B แทน เหตการณทลกเตาขนแตม 2 หรอ 5ให C แทน เหตการณทลกเตาขนแตม 3 และ 4
จงหาความนาจะเปนของเหตการณ A, B, C, A B, A
ตวอยาง 2.3
22
โยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครงให A แทน เหตการณทเหรยญขนหว 2 ครงให B แทน เหตการณทเหรยญขนหวในการโยนครงแรกให C แทน เหตการณทขนหวอยางนอย 1 ครงจงหา
**** ฝกปฏบต
ตวอยาง 2.4
23
หยบไพจากส ารบมาอยางสม 1 ใบจงหา 1. P(ไดไพแตม K)
2. P(ไดไพโพด า)3. P(ไดไพ K โพด า)4. P(ไดไพแตม K หรอ โพด า)
**** ฝกปฏบต
ตวอยาง 2.5
24
โยนเหรยญ 1 เหรยญ 5 ครง จงหาความนาจะเปนท1. เหรยญขนหว 2 ครง2. เหรยญขนหวอยางนอย 1 ครง3. เหรยญขนหวอยางมาก 1 ครง4. เหรยญขนหว 2 หรอ 3 ครง
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (Conditional Probability)
25
ความนาจะเปนของเหตการณ B เมอก าหนดวาเหตการณ A เกดขนแลว(Probability of event B given that event A had occurred.) แทนดวยP(B | A) ซง
Definition
ตวอยาง 2.6
26
ในมหาวทยาลยแหงหนง ทราบวา 25% ของนกศกษาชนปท 1 สอบตกวชาณตศาสตร 15% ของนกศกษาชนปท 1 สอบตกวชาสถตและ 10% ของนกศกษาชนปท 1 สอบตกทงสองวชา ถาสมนกศกษามา 1 คน1. ถาทราบวานกศกษาคนนนสอบตกวชาคณตศาสตรจงหาความนาจะเปนทเขาสอบ
ตกวชาสถต2. ถาทราบวานกศกษาคนนนสอบตกวชาสถตจงหาความนาจะเปนทเขาสอบวชา
คณตศาสตร3. จงหาความนาจะเปนทเขาสอบตกอยางนอย 1 วชา
ตวอยาง 2.7
27
ครอบครวหนงมลก 3 คน จงหาความนาจะเปนท1. ครอบครวนมลกสองคนแรกเปนชาย2. ครอบครวนมลกเปนชายสองคน3. ถาทราบวาครอบครวนมลกสองคนแรกเปนชาย จงหาความนาทครอบครวนมลก
เปนชายสองคน4. ถาทราบวาครอบครวนมลกเปนหญงสองคน จงหาความนาจะเปนทครอบครวน
มลกคนแรกเปนหญง
ตวอยาง 2.8
28
กลองใบหนงบรรจหลอดไฟ 100 หลอด ซงเปนหลอดด 80 หลอดและหลอดเสย20 หลอด หยบหลอดไฟจากกลองนมาอยางสม 2 หลอด โดยหยบมาทละหลอดแบบไมใสคน จงหาความนาจะเปนทหยบไดหลอดเสยทงสองหลอด
ตวอยาง 2.9
29
หยบไพจากส ารบมาอยางสม 3 ใบ โดยหยบทละใบแบบไมใสคน1. จงหาความนาจะเปนทหยบได K ทงสามใบ2. จงหาความนาจะเปนทหยบ J, Q, K ตามล าดบ
กรณ n เหตการณ
ตวอยาง 2.10
30
โยนลกเตา 1 ลก 2 ครงให A แทน เหตการณทครงแรกลก เตาขน แตม 5 หรอ 6ให B แทน เหตการณทครงทสองลกเตาขนแตมค
จงหา
เหตการณทอสระกน (Independent Events)
31
เหตการณ A และ B อสระกน ถา
เหตการณสองเหตการณอสระกน เมอความนาจะเปนของการเกดเหตการณหนงไมมผลกระทบตอความนาจะเปนของการเกดขนของอกเหตการณหนง
เหตการณทอสระกน (Independent Events)
32
เหตการณ A และ B อสระกน กตอเมอ
นยาม
ตวอยาง 2.7 ขอมลจากตาราง
33
สมนกเรยนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนท1. ไดผทใสแวนตา2. ไดผทใสแวนตา โดยก าหนดวาเปนเพศชาย3. ไดผทใสแวนตา และ เปนเพศชาย
**** ฝกปฏบต
ตวอยาง 2.12
34
หยบไพมา 5 ใบอยางสมจากส ารบ โดยหยบทละใบแบบใสคน จงหาความนาจะเปนท1. ได K ทง 5 ใบ2. ได K 3 ใบ และ Q 2 ใบ
**** ฝกปฏบต
กรณ n เหตการณ
ตวอยาง 2.13
35
นาย ก. นาย ข. และนาย ค. ท าขอสอบขอหนง ซงโอกาสทนาย ก. นาย ข. และ นาย ค.
จะท าขอสอบถกตองเทากบ 0.4 , 0.5 , และ 0.6 ตามล าดบ จงหาความนาจะเปนท1. ทงสามคนท าขอสอบถกตอง2. ท าขอสอบถก 2 คน เทานน3. ท าขอสอบถกอยางนอย 1 คน
**** ฝกปฏบต
Partitioned of Sample pace
36
นยาม
Law of Total Probability
37
ตวอยาง 2.14
38
กลองใบหนงบรรจหลอดไฟ 100 หลอด ซงเปนหลอดด 80 หลอดและหลอดเสย 20 หลอด หยบหลอดไฟจากกลองนมาอยางสม 2 หลอด โดยหยบมาทละหลอดแบบไมใสคน จงหาความนาจะเปนทหลอดทสองทหยบไดเปนหลอดเสย
ตวอยาง 2.15
39
มกลอง 3 ใบ กลองแตละใบบรรจบอลดงภาพตอไปน
หยบบอลมาอยางสม 1 ลกจงหาความนาจะเปนทบอลทหยบไดเปนสขาว
Bayes’ Theorem
40
ตวอยาง 2.16
41
มกลอง 3 ใบ กลองแตละใบบรรจบอลดงภาพตอไปน
หยบบอลมาอยางสม 1 ลก ถาทราบวาบอลทหยบไดเปนสขาว จงหาความนาจะเปนทบอลนนมาจากกลองใบทหนง
ตวแปรสม (Random Variable)
42
เปนการเปลยนสมาชกในสเปซตวอยางใหเปนเลขจ านวนจรงหรอถากลาวในเชงคณตศาสตรตวแปรสม คอ ฟงกชนท map สมาชกแตละตวใน Sample space ไปยง
Real number เชน โยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครงS = {HH,HT,TH,TT}
ให X เปนตวแปรสมแทนจ านวนครงทเหรยญขนหวจากการโยนเหรยญดงกลาว
ตวแปรสม แบงเปน 2 ลกษณะ คอ
43
1. ตวแปรสมชนดไมตอเนอง (Discrete random variable)2. ตวแปรสมชนดตอเนอง (Continuous random variable)
ตวแปรสมชนด ไมตอเนอง (Discrete random variable)
44
เปนตวแปรสมทคาทเปนไปไดมจ านวนจ ากดหรอไมจ ากดแตนบไดเชนตวแปรสม X มคาทเปนไปได = 0, 1, 2ตวแปรสม Y มคาทเปนไปได = 0, 1, 2,……
ตวแปรสมชนดตอเนอง (Continuous random variable)
เปนตวแปรสมทคาทเปนไปไดมจ านวนไมจ ากดและนบไดไมถวน มคาตางๆ อยในชวงใดชวงหนง เชน ตวแปรสม X มคาอยระหวาง 0-1 หรอเขยนไดวา 0<X<1 เปนตน
การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม
45
การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมชนดไมตอเนอง ทจะกลาวในบทนคอ- การแจกแจงทวนาม (Binomial Distribution)- การแจกแจงปวสซอง (Poisson Distribution)
การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมชนดตอเนอง ทจะกลาวในบทนคอ- การแจกแจงปกต (Normal Distribution)
46
การแจกแจงทวนาม(Binomial Distribution)
Bernoulli Trial
47
เปนลกษณะการทดลองเชงสมครงหนงๆ ซงจะมผลลพธทเปนไปไดเพยงสองอยางเทานน หรอมผลลพธทเปนไปไดหลายอยางแตแบงเปนสองพวก คอ พวกทสนใจ (Success) และพวกทไมสนใจ (Failure) เชน
- การตรวจหา group เลอด ม group A, B, AB, Oถาขณะนนตองการเลอด group Bดงนน group B จะเปน group ทสนใจ
group อนๆ เปนผลลพธทเราไมสนใจ- การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ผลลพธทเปนไปได 1, 2, 3, 4, 5, 6 เราสนใจแตม 3
ผลลพธปรากฏแตม 3 ถอวา เกดเหตการณทเราสนใจ (Success)ผลลพธปรากฏแตมอน ๆ ทไมใชแตม 3 ถอวา เกดเหตการณทเราไมสนใจ (Failure)
Binomial Experiment
48
1. ท าการทดลองแบบ Bernoulli ซ าๆ กน n ครง2. การทดลองแตละครงอสระกน3. ความนาจะเปนของการเกดเหตการณทเราสนใจในแตละครงคงท เทากบ p
นนคอ P(Success) = p (ในแตละครงคงท)และ P(Failure) = q หรอ 1 p ซง p+q = 1
49
ถาก าหนดตวแปรสม X โดยใหX แทน จ านวนครงของการเกดเหตการณทเราสนใจ (Success) จากการท า
การทดลอง n ครงX มคาทเปนไปไดคอ 0 , 1, 2, 3, …. , nเรยก X วาเปนตวแปรสมทวนาม (Binomial Random Variable) และการแจกแจง
ของตวแปรสม X จะเรยกวา การแจกแจงทวนาม (Binomial Distribution)
Definition
50
เมอ X เปนตวแปรสมทวนาม ฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสม Xถกก าหนดดงน
ซง n เปนจ านวนครงของการทดลองp และ q เปนความนาจะเปนของการเกดเหตการณทสนใจ (Success)
และไมสนใจ(Failure)ของการทดลองแตละครงตามล าดบและ p+q = 1เขยนแทนสน ๆ ไดวา X ~ B(n, p)
ตวอยาง 2.17
51
โยนเหรยญเทยงตรง 1 เหรยญ 4 ครงให X แทนจ านวนครงของการเกดหวจากการโยนเหรยญ 4 ครงจงหาความนาจะเปน
ก. เหรยญขนหว 2 ครงข. เหรยญขนหว 2 ถง 4 ครงค. เหรยญขนหวอยางมาก 2 ครงง. เหรยญขนหวอยางนอย 2 ครง
ตวอยาง 2.18
52
ถา 3 ใน 5 ของคนในเมองหนงม I.Q สงกวา 85 จงหาความนาจะเปนทคน 5คน
ทเลอกมาอยางสมนนก. ม I.Q สงกวา 85 จ านวน 2 คนข. ม I.Q สงกวา 85 อยางนอย 1 คนค. ม I.Q นอยกวาหรอเทากบ 85 ทกคน
**** ฝกปฏบต
Expected Value and Variance of the Binomial Distribution
53
ตวอยาง 2.19
54
1. ทราบวา 3 ใน 5 ของคนในเมองหนงม I.Q สงกวา 85 ถาในเมองนมคน 200 คน
อยากทราบวาก. เฉลยแลวในเมองนจะมคนท I.Q สงกวา 85 คนกคนข. คาความเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเปนเทาใด
55
2. ฝายตรวจสอบคณภาพสนคาของบรษทหนงใชวธการสมตวอยางสนคามาตรวจสอบกลองละ 20 ชน ถาในกลองนนมสนคาช ารด 20%
จงหาคาเฉลยและคาความเบยงเบนมาตรฐานของสนคาทช ารด
**** ฝกปฏบต
56
การแจกแจงปวสซอง(Poisson Distribution)
Poisson Distribution
57
การแจกแจงนประยกตกบการทดลองทตวแปรสมแสดงถงจ านวนครงของเหตการณทเกดขนในชวงเวลาใดเวลาหนง พนทใดพนทหนง หรอ อาณา - บรเวณใดบรเวณหนงทก าหนดให เชน
- จ านวนครงของโทรศพททเรยกเขามายงส านกงานแหงหนงในชวงเวลา 1 นาท- จ านวนตกแตนตอพนทปลกขาว 10 ไร- จ านวนอบตเหตบนถนนสายหนงในชวง 1 สปดาห- จ านวนรอยต าหนบนพรมทมความยาว 1200 ฟต
58
ถาให X แทนจ านวนครงของการเกดเหตการณทสนใจในชวงเวลาทก าหนดใหX มคาทเปนไปไดคอ 0, 1, 2, ……X จะเปนตวแปรสมปวสซอง (Poisson Random Variable)
ถา X เปนตวแปรสมปวสซองฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสม X ถกก าหนด
ดงน
Definition
ตวอยาง 2.20
59
พนทปลกขาวแหงหนง พบวามตกแตนโดยเฉลย 5 ตวตอไรจงหาความนาจะเปนทก. จะพบตกแตน 10 ตวตอไรข. จะพบตกแตน 3-5 ตวตอไรค. จะพบตกแตนอยางมาก 2 ตวตอไรง. จะพบตกแตนอยางนอย 2 ตวตอไร
Expected Value and Variance of the Poisson Distribution
60
61
ตวอยาง 2.21
62
ถาความนาจะเปนทแตละคนจะบอดสเทากบ 0.001 จงหาความนาจะเปนทสมคนมา 1000 คน แลวพบคนทตาบอดสอยางมาก 2 คน
ตวอยาง 2.22
สมมตวาเครองจกรผลตหลอดไฟเครองหนงจะผลตหลอดไฟทบกพรอง 0.1%ถาสมหลอดไฟมา 3,000 หลอด มาตรวจสอบ จงหาความนาจะเปนทจะหลอดไฟทตรวจสอบ
ก. ไมบกพรองเลยข. บกพรอง 2 หลอด หรอนอยกวา
**** ฝกปฏบต
63
การแจกแจงปกต(Normal Distribution)
Normal Distribution or Gaussian Distribution
64
Definition
65
จากฟงกชนความนาจะเปน ถาทราบคา และ เราสามารถเขยนโคงของการแจกแจงได โดยเสนโคง ทไดนจะเรยกวา เสนโคงปกต (Normal Curve) ซงจะม
ลกษณะเปนโคงระฆงคว า (Bell shape) สมมาตรท x =
2
66
จากถา และ จะเขยนแทนไดวา
จะเรยก วามการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน (Standard Normal Distribution)ปกตมกจะใชตวแปรสม Z แทน คามาตรฐาน
),(N~X 2
0 12 ),(N~X 10
67
การหาพนทภายใตโคงปกตมาตรฐาน ระหวางคา z ทตองการจะหาไดโดย
อาศยการอนทเกรต หรออาจหาไดงายโดยอาศยตารางส าเรจ ทปรากฏในทายเลมของหนงสอสถตทว ๆ ไป
Theorem
68
ตวอยาง 2.23
69
ขอมล I.Q. ของนกเรยนกลมหนงทราบวามการแจกแจง N(100,100) สมนกเรยนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทนกเรยนคนนนจะม I.Q. อยระหวาง 110 - 120
ตวอยาง 2.24
70
1. น าหนกของคนกลมหนงมการแจกแจงปกตมคาเฉลย 100 ปอนดและมคาความเบยงเบนมาตรฐาน 25 ปอนด สมคนมา 1 คน จงหาความนาจะเปนทจะไดคนทมน าหนก 100 - 170 ปอนด
2. ถาคะแนนสอบวชาหลกสถตมการแจกแจงปกตโดยมคะแนนเฉลย 55 คะแนนสวนเบยงเบนมาตรฐาน 18 คะแนน ในการสอบอาจารยผสอนใหเกรด A แกนสตทไดคะแนนสงสด 13.35% ของหอง นสตจะตองไดคะแนนอยางนอย กคะแนนจงจะไดเกรด A
**** ฝกปฏบต
การประมาณคาความนาจะเปนของการแจกแจงแบบทวนามดวยการแจกแจงแบบปกต(Normal Approximation to the Binomial Distribution)
71
Central Limit Theorem : CLT)
Theorem
72
ตวอยาง 2.25
73
จากการบนทกเปนเวลานานของเจาหนาทโรงพยาบาลแหงหนง สรปไดวา ในฤดรอนของแตละปจะมผมาเขารบการรกษาดวยโรคอหวาต 30% ของผปวยทมารบการรกษาทงหมด ในชวงฤดรอนนมผมารบการรกษา 50 คน จงหาความนาจะเปนทคนทมารบการรกษาจะเปนโรคอหวาต
ก. ไมเกน 10 คนข. มากกวา 10 คนค. 15 ถง 20 คนง. มากกวา 8 คน แตไมถง 10 คน
74
Theorem
75
ตวอยาง 2.26
76
จากการจดบนทกของเจาหนาทโรงพยาบาลแหงหนง สรปวา ในชวงเทศกาลโดยเฉลยแลวจะมผมารบการรกษาทแผนกฉกเฉน 25 คน/คน
ก. จงหาความนาจะเปนทในชวงเทศกาลคนหนงจะมผมารบการรกษาทแผนกฉกเฉนไมเกน 20 คน
ข. ในชวงเทศกาลลอยกระทงมงาน 2 คน จงหาความนาจะเปนทใน 2 คนจะมผมารบการรกษาทแผนกฉกเฉนมากกวา 40 คน