ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 1

Chapter 3Chapter 3The Theory of SetsThe Theory of Sets

Benchaporn JantarakongkulBenchaporn Jantarakongkul

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 2

ทฤษฎี�เซต• เซตเซต((setset)) ใช�แทนกลุ่��มของวิ"ตถุ�หร%อสิ่�'งของท�'แตกต�างก"น ใช�แทนกลุ่��มของวิ"ตถุ�หร%อสิ่�'งของท�'แตกต�างก"น

โดยสิ่มาช�กของเซตอาจม�ศู�นย�หร%อมากกวิ�าศู�นย�ช�,นก-ได� แลุ่ะโดยสิ่มาช�กของเซตอาจม�ศู�นย�หร%อมากกวิ�าศู�นย�ช�,นก-ได� แลุ่ะลุ่0าด"บูการเข�ยนสิ่มาช�กของเซตน",นไม�ม�ควิามสิ่0าค"ญ น�ยมใช�ลุ่0าด"บูการเข�ยนสิ่มาช�กของเซตน",นไม�ม�ควิามสิ่0าค"ญ น�ยมใช�อ"กษรอ"งกฤษพิ�มพิ�ใหญ�แทนเซตใดๆ เช�น อ"กษรอ"งกฤษพิ�มพิ�ใหญ�แทนเซตใดๆ เช�น A, B A, B เป็4นต�นเป็4นต�น

• aaAA “a “a เป็4นสิ่มาช�กของเป็4นสิ่มาช�กของ A”A”aaAA “a “a ไม�เป็4นสิ่มาช�กของไม�เป็4นสิ่มาช�กของ A”A”

• ก0าหนดให�ก0าหนดให� A = {aA = {a11, a, a22, …, a, …, ann} } “A “A ม�สิ่มาช�กม�สิ่มาช�ก aa11, …, a, …, ann””

• ลุ่0าด"บูของสิ่มาช�กไม�ม�ควิามแตกต�าง เช�นลุ่0าด"บูของสิ่มาช�กไม�ม�ควิามแตกต�าง เช�น {a, b, c} = {a, c, b} {a, b, c} = {a, c, b}

• สิ่มาช�กท�'เหม%อนก"น ถุ%อวิ�าเป็4นสิ่มาช�กต"วิเด�ยวิก"น เช�นสิ่มาช�กท�'เหม%อนก"น ถุ%อวิ�าเป็4นสิ่มาช�กต"วิเด�ยวิก"น เช�น {a, a, b, a, b, c, c, c, c} = {a, b, c} {a, a, b, a, b, c, c, c, c} = {a, b, c}

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 3

ต"วิอย�างของเซต

• A = A = = {} = {} ““เซตวิ�างเซตวิ�าง” ” หมายถุ5ง เซตท�'ไม�ม�หมายถุ5ง เซตท�'ไม�ม�สิ่มาช�กสิ่มาช�ก

• A = {z}A = {z} zzAA

• A = {{b, c}, {c, x, d}}A = {{b, c}, {c, x, d}} เซตของเซตเซตของเซต• A = {x | P(x)} A = {x | P(x)} ““เซตของเซตของ x x ท�กต"วิท�'ท0าให�ท�กต"วิท�'ท0าให� P(x)P(x) เป็4นจร�งเป็4นจร�ง””

P(x) P(x) เป็4นฟั7งก�ช"'นสิ่มาช�กเป็4นฟั7งก�ช"'นสิ่มาช�ก((membership function)membership function) ของเซตของเซต AAx (P(x) x (P(x) x xA)A)

• A = {x | xA = {x | x NN x > 7} = {8, 9, 10, …}x > 7} = {8, 9, 10, …}““เป็4นการน�ยามเซตแบูบูบูอกเง%'อนไขของสิ่มาช�กภายในเป็4นการน�ยามเซตแบูบูบูอกเง%'อนไขของสิ่มาช�กภายในเซตเซต((set builder notation)”set builder notation)”

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 4

เซตอน"นต�(Infinite Sets)

• เซตอาจม�จ0านวินสิ่มาช�กไม�จ0าก"ดเร�ยกวิ�า เซตอน"นต�เซตอาจม�จ0านวินสิ่มาช�กไม�จ0าก"ดเร�ยกวิ�า เซตอน"นต�((infiniteinfinite))• สิ่"ญลุ่"กษณ์�ของเซตอน"นต� เช�นสิ่"ญลุ่"กษณ์�ของเซตอน"นต� เช�น::• Q = {a/b | aQ = {a/b | aZ Z b bZ+} Z+} เซตของจ0านวินตรรกยะ เซตของจ0านวินตรรกยะ

NN = {0, 1, 2, …} = {0, 1, 2, …} เซตของจ0านวินน"บูเซตของจ0านวินน"บูZZ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} เซตของจ0านวินเต-มเซตของจ0านวินเต-มRR = = เซตของจ0านวินจร�ง เช�นเซตของจ0านวินจร�ง เช�น{-0.15, 3.67,{-0.15, 3.67, 30, 30, 74.18284719818125…}74.18284719818125…}

• น�ยมเข�ยนเป็4นต"วิพิ�มพิ�ใหญ�แลุ่ะเข�มน�ยมเข�ยนเป็4นต"วิพิ�มพิ�ใหญ�แลุ่ะเข�ม หร%อหร%อ เข�ยนด�วิยเสิ่�นค��เข�ยนด�วิยเสิ่�นค�� เช�น เช�น ℕℕ, , ℤℤ, , ℝℝ

• เซตอน"นต�แต�ลุ่ะเซตอาจม�จ0านวินสิ่มาช�กท�'แตกต�างก"นเซตอน"นต�แต�ลุ่ะเซตอาจม�จ0านวินสิ่มาช�กท�'แตกต�างก"น!!

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 5

ต"วิอย�างของเซต

เซต เซต ““มาตรฐานมาตรฐาน””::

• จ0านวินน"บูจ0านวินน"บู((Natural numbersNatural numbers)) NN = {0, 1, 2, 3, …} = {0, 1, 2, 3, …}

• จ0านวินเต-มจ0านวินเต-ม((IntegersIntegers)) ZZ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

• จ0านวินเต-มบูวิกจ0านวินเต-มบูวิก((Positive IntegersPositive Integers)) ZZ++ = {1, 2, 3, 4, = {1, 2, 3, 4, …}…}

• จ0านวินจร�งจ0านวินจร�ง((Real NumbersReal Numbers)) RR = {47.3, -12, = {47.3, -12, , …}, …}

• จ0านวินตรรกยะจ0านวินตรรกยะ((Rational NumbersRational Numbers)) QQ = {1.5, 2.6, -3.8, = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …}15, …}

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 6

Venn Diagrams

• เป็4นแผนภาพิท�'ใช�อธิ�บูายในเร%'องการด0าเน�นการเป็4นแผนภาพิท�'ใช�อธิ�บูายในเร%'องการด0าเน�นการบูนเซตบูนเซต

• โดยจะใช� ภาพิวิงกลุ่ม แทน เซต แลุ่ะใช�ร�ป็โดยจะใช� ภาพิวิงกลุ่ม แทน เซต แลุ่ะใช�ร�ป็สิ่�'เหลุ่�'ยมผ%นผ�าแทนเซตของเอกภพิสิ่"มพิ"ทธิ�สิ่�'เหลุ่�'ยมผ%นผ�าแทนเซตของเอกภพิสิ่"มพิ"ทธิ� U U

• บูร�เวิณ์ท�'แรเงาแสิ่ดงผลุ่การด0าเน�นการบูนเซตบูร�เวิณ์ท�'แรเงาแสิ่ดงผลุ่การด0าเน�นการบูนเซตท�'ต�องการท�'ต�องการ

For 2 sets For 3 sets

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 7

Venn Diagrams

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 8

Venn Diagrams

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 9

เซตย�อย(Subset)แลุ่ะซ�ป็เป็อร�เซต(Superset)

• SSTT (“ (“SS เป็4นเซตย�อยของเป็4นเซตย�อยของ TT”) ”) หมายถุ5ง สิ่มาช�กหมายถุ5ง สิ่มาช�กท�กต"วิของ ท�กต"วิของ SS เป็4นสิ่มาช�กของเป็4นสิ่มาช�กของ T T ด�วิยด�วิย

• SST T x x ((xxSS xxTT))S S ((เซตวิ�างจะเป็4นเซตย�อยของเซตใดๆเสิ่มอเซตวิ�างจะเป็4นเซตย�อยของเซตใดๆเสิ่มอ))• SSS S ((เซตใดๆจะเป็4นเซตย�อยของต"วิเองเสิ่มอเซตใดๆจะเป็4นเซตย�อยของต"วิเองเสิ่มอ))• SSTT (“ (“SS เป็4นซ�ป็เป็อร�เซตของเป็4นซ�ป็เป็อร�เซตของ TT”) ”) หมายถุ5งหมายถุ5ง TTSS• ข�อสิ่"งเกต ข�อสิ่"งเกต :: S=TS=T SSTT SSTT• หมายถุ5งหมายถุ5ง ((SSTT), ), น"'นค%อน"'นค%อ xx((xxSS xxTT))TS /

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 10

เซตย�อยแท�แลุ่ะซ�ป็เป็อร�เซต(Proper Subsets & Supersets)

• SST T (“(“SS เป็4นเซตย�อยแท�ของเป็4นเซตย�อยแท�ของ TT”) ”) หมายถุ5งหมายถุ5ง SST T แต�แต�

• ตั�วอย่�าง: ถุ�า A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 1},

C = {3}– ด"งน",น B = A, C A, C B

• ตั�วอย่�าง: ถุ�า U = 1, 2, 3, , 11, 12 แลุ่ะ T = 1, 2, 3, 6

– ด"งน",น T U แลุ่ะ T U

ST /

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 11

Subset Proof

ExampleExample::จงแสิ่ดงวิ�า จงแสิ่ดงวิ�า A A B, B, โดยท�'เซต โดยท�'เซต A A แลุ่ะ แลุ่ะ B B น�ยามโดยน�ยามโดย

• A={x|x A={x|x เป็4นจ0านวินเฉพิาะ แลุ่ะ เป็4นจ0านวินเฉพิาะ แลุ่ะ 42 ≤ x ≤ 51}42 ≤ x ≤ 51}• B={x|x=4k+3 B={x|x=4k+3 แลุ่ะ แลุ่ะ k k NN}}• ให� ให� xxAA ด"งน",น ด"งน",น x=43 x=43 หร%อ หร%อ x=47 x=47 โดยท�'เราสิ่ามารถุโดยท�'เราสิ่ามารถุ

เข�ยนได�วิ�า เข�ยนได�วิ�า 43=4(10)+3 43=4(10)+3 แลุ่ะ แลุ่ะ 47=4(11)+347=4(11)+3• ด"งน",นสิ่มาช�กท�กต"วิในเซต ด"งน",นสิ่มาช�กท�กต"วิในเซต A A เป็4นสิ่มาช�กในเซต เป็4นสิ่มาช�กในเซต B B

ด�วิย จ5งสิ่ร�ป็ได�วิ�า ด�วิย จ5งสิ่ร�ป็ได�วิ�า A A B B##

• จากต"วิอย�างน�, จงแสิ่ดงวิ�า จากต"วิอย�างน�, จงแสิ่ดงวิ�า BB A A หร%อไม�หร%อไม�??

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 12

Non-Subset Proof

ExampleExample::จงแสิ่ดงวิ�า จงแสิ่ดงวิ�า A A B B แลุ่ะ แลุ่ะ B B A A โดยท�'เซต โดยท�'เซต A A แลุ่ะ แลุ่ะ B B น�ยามโดยน�ยามโดย

• A={3k+1 |A={3k+1 | k k NN} } แลุ่ะ แลุ่ะ B={4k+1 |B={4k+1 | k k NN} }

• จากข�อก0าหนด เข�ยนแจกแจงสิ่มาช�กของเซต จากข�อก0าหนด เข�ยนแจกแจงสิ่มาช�กของเซต A={1,4,7,…} A={1,4,7,…} แลุ่ะแจกแจงสิ่มาช�กของเซต แลุ่ะแจกแจงสิ่มาช�กของเซต B={1,5,9,…}B={1,5,9,…}

• ซ5'งจะเห-นวิ�า ซ5'งจะเห-นวิ�า 44A A แต� แต� 44B B ด"งน",น ด"งน",น A A B B แลุ่ะจะเห-นแลุ่ะจะเห-นวิ�า วิ�า 55B B แต� แต� 55AA ด"งน",น ด"งน",น B B A A

##

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 13

ขนาดของเซต(Cardinality)

• ||SS| (| (อ�านวิ�าอ�านวิ�า “ “ขนาดของขนาดของ SS”) ”) แสิ่ดงจ0านวินแสิ่ดงจ0านวินสิ่มาช�กท�'แตกต�างก"นในเซตสิ่มาช�กท�'แตกต�างก"นในเซต SS

• เช�นเช�น, |, ||=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2,|=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2, |{{1,2,3},{4,5}}| = ____ |{{1,2,3},{4,5}}| = ____

• ถุ�าถุ�า ||SS||NN, , แลุ่�วิ กลุ่�าวิได�วิ�าแลุ่�วิ กลุ่�าวิได�วิ�า SS เป็4นเซตเป็4นเซตจ0าก"ดจ0าก"ด((finitefinite))กรณ์�อ%'น เรากลุ่�าวิได�วิ�ากรณ์�อ%'น เรากลุ่�าวิได�วิ�า SS เป็4นเซตเป็4นเซตอน"นต�อน"นต�((infiniteinfinite))

D = { xD = { xN N | x | x 7000 } 7000 } |D| = 7001|D| = 7001

E = { xE = { xN N | x | x 7000 } 7000 } E E เป็4นเซตอน"นต�เป็4นเซตอน"นต�

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 14

เซตก0าลุ่"ง(Power Set)

• เซตก0าลุ่"งเซตก0าลุ่"ง P(P(SS) ) ของเซตของเซต SS ค%อเซตของเซตย�อยค%อเซตของเซตย�อยท",งหมดของเซตท",งหมดของเซต SS P(P(SS) :) :≡ ≡ {{x x | | xxSS}}

• เช�นเช�น P({a,b}) = {P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}, {a}, {b}, {a,b}}• A = A = , P(A) = {, P(A) = {},}, ด"งน",นด"งน",น: |A| = 0, |P(A)| = : |A| = 0, |P(A)| =

11• ถุ�าถุ�า SS เป็4นเซตจ0าก"ดเป็4นเซตจ0าก"ด, , |P(|P(SS)| = 2)| = 2||SS||

• ด"งน",นด"งน",น SS:|P(:|P(SS)|>|)|>|SS||, , เช�นเช�น |P(|P(NN)| > |)| > |NN||

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 15

ค��อ"นด"บู n ต"วิ(Ordered n-tuples)

• คลุ่�ายก"บูเซตคลุ่�ายก"บูเซต ยกเวิ�น กรณ์�ท�'สิ่มาช�กซ0,าก"นน",นจะเข�ยนต"วิยกเวิ�น กรณ์�ท�'สิ่มาช�กซ0,าก"นน",นจะเข�ยนต"วิเด�ยวิไม�ได� แลุ่ะลุ่0าด"บูการเข�ยนสิ่มาช�กม�ควิามสิ่0าค"ญเด�ยวิไม�ได� แลุ่ะลุ่0าด"บูการเข�ยนสิ่มาช�กม�ควิามสิ่0าค"ญ

• สิ่0าหร"บูสิ่0าหร"บู nnNN, , ค��อ"นด"บู ค��อ"นด"บู nn หร%อ ลุ่0าด"บูยาวิหร%อ ลุ่0าด"บูยาวิ nn เข�ยนแทนเข�ยนแทนด�วิยด�วิย ((aa11, , aa22, …, , …, aann) ) โดยสิ่มาช�กต"วิแรกแทนด�วิยโดยสิ่มาช�กต"วิแรกแทนด�วิย aa1 1

• สิ่"งเกต�วิ�าสิ่"งเกต�วิ�า (1, 2) (1, 2) (2, 1) (2, 1) (2, 1, 1) (2, 1, 1)

• ค��อ"นด"บูยาวิค��อ"นด"บูยาวิ nn (a (a11, a, a22, a, a33, …, a, …, ann) ) แลุ่ะแลุ่ะ (b(b11, b, b22, b, b33, …, b, …, bnn) ) เท�าก"น ก-ต�อเม%'อ ค��อ"นด"บูท",งสิ่องม�เท�าก"น ก-ต�อเม%'อ ค��อ"นด"บูท",งสิ่องม�สิ่มาช�กในลุ่0าด"บูเด�ยวิก"นเหม%อนก"นท�กต"วิสิ่มาช�กในลุ่0าด"บูเด�ยวิก"นเหม%อนก"นท�กต"วิ, , หร%อหร%อ aaii = b = bii

สิ่0าหร"บูสิ่0าหร"บู 1 1 i i n n

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 16

ผลุ่ค�ณ์คาร�ท�เซ�ยนของเซต• สิ่0าหร"บูเซตสิ่0าหร"บูเซต AA, , BB, , ผลุ่ค�ณ์คาร�ท�เซ�ยนผลุ่ค�ณ์คาร�ท�เซ�ยน((Cartesian Cartesian

productproduct)) AAB B :: {( {(aa, , bb) | ) | aaAA bbB B }}..

• AA = = , , A = A = • ต"วิอย�าง เช�นต"วิอย�าง เช�น: A = {x, y}, B = {a, b, c}: A = {x, y}, B = {a, b, c}

AAB = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}B = {(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}• กรณ์�ท�'เซตกรณ์�ท�'เซต A A แลุ่ะแลุ่ะ BB ไม�ใช�เซตวิ�างไม�ใช�เซตวิ�าง: :

AAB B A AB B B BAA• สิ่0าหร"บูเซตจ0าก"ดสิ่0าหร"บูเซตจ0าก"ด AA, , B B จะได�วิ�าจะได�วิ�า, , ||AABB|=||=|AA||||BB||• ผลุ่ค�ณ์คาร�ท�เซ�ยนของเซต ผลุ่ค�ณ์คาร�ท�เซ�ยนของเซต A A ท�'ม�สิ่มาช�ก ท�'ม�สิ่มาช�ก n n ต"วิ เข�ยนต"วิ เข�ยน

ได�ด"งน�,ได�ด"งน�, AA11 AA22 … … AAnn......

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 17

ต"วิด0าเน�นการผลุ่รวิม(Union Operator)

• ก0าหนดเซตก0าหนดเซต AA, , BB, , ผลุ่รวิมผลุ่รวิม((nion)nion) AABB ค%อ เซตค%อ เซตของสิ่มาช�กท",งหมดท�'อย��ในของสิ่มาช�กท",งหมดท�'อย��ใน AA, , หรื�อหรื�อ อย��ใน อย��ใน BB ((หร%ออย��ในท",งสิ่องเซตหร%ออย��ในท",งสิ่องเซต))

• เข�ยนได�วิ�าเข�ยนได�วิ�า, , AA,,BB: : AABB = { = {x x | | xxAA xxBB}}

• สิ่"งเกตวิ�าสิ่"งเกตวิ�า AAB B เป็4นเป็4น ซ�ป็เป็อร�เซต ของท",งเซตซ�ป็เป็อร�เซต ของท",งเซต AA แลุ่ะเซตแลุ่ะเซต B B

AA, , BB: (: (AAB B AA) ) ( (AAB B BB))•{a,b,c}{a,b,c}{2,3} =__________{2,3} =__________•{2,3,5}{2,3,5}{3,5,7}{3,5,7} =___________ =___________

{a,b,c,2,3}{a,b,c,2,3}{{2,3,52,3,5,,3,5,73,5,7}}

= = {2,3,5,7}{2,3,5,7}

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 18

Generalized Union• ต"วิด0าเน�นการ ต"วิด0าเน�นการ union: union: AAB B สิ่ามารถุด0าเน�นการระหวิ�างเซตสิ่ามารถุด0าเน�นการระหวิ�างเซต

มากกวิ�า มากกวิ�า 2 2 เซตได� เร�ยกวิ�า เซตได� เร�ยกวิ�า nn-ary union:-ary union:= = AA11AA22……AAnn

• ในกรณ์�ท�'ด0าเน�นการก"บูกลุ่��มเซตท�'ม�จ0านวินไม�จ0าก"ด จะใช�ในกรณ์�ท�'ด0าเน�นการก"บูกลุ่��มเซตท�'ม�จ0านวินไม�จ0าก"ด จะใช�สิ่"ญลุ่"กษณ์�สิ่"ญลุ่"กษณ์�::

• ถุ�า ถุ�า II แทนเซตของด"ชน� แลุ่ะ แทนเซตของด"ชน� แลุ่ะ AAii เป็4นเซตใดๆโดยท�' เป็4นเซตใดๆโดยท�' iiI I ด"งน",นด"งน",นการ การ union union ของกลุ่��มเซตแทนได�โดยสิ่"ญลุ่"กษณ์�ของกลุ่��มเซตแทนได�โดยสิ่"ญลุ่"กษณ์�

• เช�น ก0าหนดให�เช�น ก0าหนดให� AAii ={-2={-2ii, 2, 2ii}} โดยท�' โดยท�' ii เป็4นเลุ่ขจ0านวินน"บูท�'เป็4นเลุ่ขจ0านวินน"บูท�'เป็4นจ0านวินค�'เป็4นจ0านวินค�' ด"งน",นด"งน",น = = {…, -10, -6, -2, 2, 6, 10,…}{…, -10, -6, -2, 2, 6, 10,…}

1iiA

n

iiA

1

Ii

iA

Oddi

iA

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 19

ต"วิด0าเน�นการสิ่�วินต"ด(Intersection Operator)

• ก0าหนดเซตก0าหนดเซต AA, , BB, , สิ่�วินต"ดสิ่�วินต"ด((intersectionintersection)) AABB ค%อ เซตของสิ่มาช�กท",งหมดท�'อย��ในเซตค%อ เซตของสิ่มาช�กท",งหมดท�'อย��ในเซต A A และและ (“(“”) ”) ในเซตในเซต BB

• เข�ยนได�วิ�าเข�ยนได�วิ�า, , AA,,BB: : AABB={={x x | | xxAA xxBB}}

• สิ่"งเกตวิ�าสิ่"งเกตวิ�า AAB B เป็4นเป็4นเซตัย่�อย่ เซตัย่�อย่ ของท",งเซตของท",งเซต A A แลุ่ะแลุ่ะ B:B:

AA, , BB: (: (AAB B AA) ) ( (AAB B BB))•{a,b,c}{a,b,c}{2,3} = ___{2,3} = ___•{2,4,6}{2,4,6}{3,4,5}{3,4,5} = ______ = ______

{4}

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 20

Generalized Intersection

• ต"วิด0าเน�นการ ต"วิด0าเน�นการ intersection: intersection: A A B B สิ่ามารถุด0าเน�นการสิ่ามารถุด0าเน�นการระหวิ�างเซตมากกวิ�า ระหวิ�างเซตมากกวิ�า 2 2 เซตได� เร�ยกวิ�า เซตได� เร�ยกวิ�า nn-ary intersection :-ary intersection :

= = AA1 1 AA2 2 … … AAnn

• ในกรณ์�ท�'ด0าเน�นการก"บูกลุ่��มเซตท�'ม�จ0านวินไม�จ0าก"ด จะใช�ในกรณ์�ท�'ด0าเน�นการก"บูกลุ่��มเซตท�'ม�จ0านวินไม�จ0าก"ด จะใช�สิ่"ญลุ่"กษณ์�สิ่"ญลุ่"กษณ์�::

• ถุ�า ถุ�า I I แทนเซตของด"ชน� แลุ่ะ แทนเซตของด"ชน� แลุ่ะ AAii เป็4นเซตใดๆโดยท�' เป็4นเซตใดๆโดยท�' iiI I ด"งด"งน",นการ น",นการ intersectionintersection ของกลุ่��มเซตแทนได�โดยสิ่"ญลุ่"กษณ์�ของกลุ่��มเซตแทนได�โดยสิ่"ญลุ่"กษณ์�

• เช�น ก0าหนดให�เช�น ก0าหนดให� AAii ={x|x ={x|x ZZ แลุ่ะ –แลุ่ะ –i i ≤ x ≤ ≤ x ≤ ii }} โดยท�' โดยท�' ii เป็4นเป็4นเลุ่ขจ0านวินน"บูท�'เป็4นจ0านวินค�'เลุ่ขจ0านวินน"บูท�'เป็4นจ0านวินค�' ด"งน",นด"งน",น = = {-1, 0, 1}{-1, 0, 1}

1iiA

n

iiA

1

Ii

iA

Oddi

iA

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 21

Inclusion-Exclusion Principle

• จ0านวินสิ่มาช�กของจ0านวินสิ่มาช�กของ AAB B เท�าก"บูเท�าไรเท�าก"บูเท�าไร?? ||AABB|| = |A| = |A| |B| |B| | |AABB||

• ต"วิอย�างต"วิอย�าง: : จ0านวินน�สิ่�ตในห�องน�,ท�'อย��ในรายการเมลุ่�จ0านวินน�สิ่�ตในห�องน�,ท�'อย��ในรายการเมลุ่�((Mailing Mailing List)List)ม�ก�'คนม�ก�'คน? ? พิ�จารณ์า เซตพิ�จารณ์า เซต E E I I MM, , II = { = {ss | | ss สิ่�งข�อม�ลุ่ผ�านแบูบูฟัอร�มกระดาษสิ่�งข�อม�ลุ่ผ�านแบูบูฟัอร�มกระดาษ}}MM = { = {ss | | s s สิ่�งข�อม�ลุ่ผ�านอ�เมลุ่�สิ่�งข�อม�ลุ่ผ�านอ�เมลุ่�}}

• น�สิ่�ตบูางคนท0าท",งสิ่องอย�างน�สิ่�ตบูางคนท0าท",งสิ่องอย�าง ด"งน",นด"งน",น ||EE| = || = |IIMM|| = |I| = |I| |M| |M| | |IIMM||

• เซตสิ่องเซตเซตสิ่องเซต AA, , BB เร�ยกวิ�า เร�ยกวิ�า ไม�ม�สิ่�วินร�วิมไม�ม�สิ่�วินร�วิม((disjoint)disjoint) ก-ต�อเม%'อก-ต�อเม%'อสิ่�วินต"ดสิ่�วินต"ด((intersection)) ของเซตท",งสิ่องน",นเป็4นเซตวิ�างของเซตท",งสิ่องน",นเป็4นเซตวิ�าง ((AABB==))

• เช�นเช�น: : เซตของจ0านวินเต-มค�� ไม�ม�สิ่�วินร�วิม ก"บูเซตของจ0านวินเต-มเซตของจ0านวินเต-มค�� ไม�ม�สิ่�วินร�วิม ก"บูเซตของจ0านวินเต-มค�'ค�'

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 22

สิ่�วินต�างของเซต(Set Difference)

• ก0าหนดเซตก0าหนดเซต AA, , BB, , สิ่�วินต�างของสิ่�วินต�างของ A A แลุ่ะแลุ่ะ BB, , เข�ยนเข�ยนแทนด�วิยแทนด�วิย AABB, , ค%อเซตของสิ่มาช�กท",งหมดในค%อเซตของสิ่มาช�กท",งหมดในเซตเซต AA แต�ไม�อย��ในแต�ไม�อย��ใน BB เข�ยนได�วิ�าเข�ยนได�วิ�า:: A A B B :: x x x xA A x xBB : : xx xxAA xxBB

• จ0านวินสิ่มาช�กของเซตจ0านวินสิ่มาช�กของเซต: |: |A-BA-B| = || = |AA| - || - |AABB||

Set A Set B

SetAB

A−B ค%อ เซตของ สิ่มาช�กของ A

ท�'เหลุ่%อจากการต"ดสิ่มาช�กของ B ออกไป็แลุ่�วิ

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 23

Set Difference Examples

• {1,2,3,4,5,6} {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {2,3,5,7,9,11} = ___________ ___________

• Z Z N N {… , {… , −−1, 0, 1, 2, … } 1, 0, 1, 2, … } {0, 1, … } {0, 1, … } = { = {x x | | xx เป็4นจ0านวินเต-มท�'ไม�ใช�เป็4นจ0านวินเต-มท�'ไม�ใช�จ0านวินน"บูจ0านวินน"บู}} = { = {xx | | x x เป็4นจ0านวินเต-มลุ่บูเป็4นจ0านวินเต-มลุ่บู}} = {… , = {… , −−3, 3, −−2, 2, −−1}1}

{1,4,6}

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 24

Symmetric Difference

A B

UAB

AB = { x | x A x B } สิ่มาช�กใดๆจะอย��ในเซตได�เพิ�ยงเซตเด�ยวิสิ่มาช�กใดๆจะอย��ในเซตได�เพิ�ยงเซตเด�ยวิ((ไม�ใช�ท" ,งสิ่องเซตไม�ใช�ท" ,งสิ่องเซต))::

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 25

• เซตของเอกภพิสิ่"มพิ"ทธิ�เซตของเอกภพิสิ่"มพิ"ทธิ�((universe of universe of discoursediscourse)) แทนด�วิยแทนด�วิย U U ค%อเซตท�'แสิ่ดงค%อเซตท�'แสิ่ดงขอบูเขตของเซตท�'ก0าลุ่"งศู5กษาขอบูเขตของเซตท�'ก0าลุ่"งศู5กษา

• เซตเซต AA ใดๆท�'ใดๆท�' AAUU, , สิ่�วินเต�มเต-มของ สิ่�วินเต�มเต-มของ AA((complementcomplement)) แทนด�วิยแทนด�วิย , , เรากลุ่�าวิวิ�า เรากลุ่�าวิวิ�า แลุ่ะ เป็4นสิ่�วินเต�มเต-มของ แลุ่ะ เป็4นสิ่�วินเต�มเต-มของ AA เม%'อเท�ยบูก"บูเม%'อเท�ยบูก"บู UU, , น"'นค%อน"'นค%อ = U= UA A

• เช�นเช�น, , ถุ�าถุ�า UU==NN, ,

สิ่�วินเต�มเต-มของเซต(Set Complements)

A

A

,...}7,6,4,2,1,0{}5,3{

}|{ AxxA AA

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 26

Set Operations

A B

A B

A

B

A-B

B-A

A B

ตั�วอย่�าง: U = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

A= 1, 2, 3, 4, 5 , B = 4, 5, 6, 7, 8

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 27

การเท�าก"นของเซต

•เซตเซต A A แลุ่ะแลุ่ะ B B เท�าก"น ก-ต�อเม%'อ เซตท",งสิ่องม�สิ่มาช�กท�'เหม%อนก"นท�กต"วิ เช�นเท�าก"น ก-ต�อเม%'อ เซตท",งสิ่องม�สิ่มาช�กท�'เหม%อนก"นท�กต"วิ เช�น::

• A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} :A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} : A = BA = B

• A = {A = {หมาหมา, , แมวิแมวิ, , ม�าม�า}, }, B = { B = {แมวิแมวิ, , ม�าม�า, , กระรอกกระรอก, , หมาหมา} :} : A A B B

• A = {A = {หมาหมา, , แมวิแมวิ, , ม�าม�า}, }, B = { B = {แมวิแมวิ, , ม�าม�า, , หมาหมา, , หมาหมา} :} :

A = BA = B

• A = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2, 3, 4}, B = { B = {xx | | xx เป็4นจ0านวินเต-ม โดยท�'เป็4นจ0านวินเต-ม โดยท�' xx>0 >0 แลุ่ะแลุ่ะ xx<5 }:<5 }:

A = BA = B

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 28

Set Identities

• เอกลุ่"กษณ์�เอกลุ่"กษณ์�((IdentityIdentity)) : : AA = = AA = = AAUU

• ครอบูคลุ่�มครอบูคลุ่�ม((Domination): Domination): AAU U = = U U ,, A A = = • สิ่ะท�อนสิ่ะท�อน((Idempotent): Idempotent): AAAA = = A A = = AAAA

• สิ่�วินเต�มเต-มซ�อนสิ่�วินเต�มเต-มซ�อน((Double complement): Double complement):

• สิ่ลุ่"บูท�'สิ่ลุ่"บูท�'((Commutative): Commutative): AAB B = = BBA A , , A AB B = = BBAA

• กระจายกระจาย((Distributive):Distributive): AA(B(BC) = (AC) = (AB)B)(A(AC)C)

• เป็ลุ่�'ยนกลุ่��มเป็ลุ่�'ยนกลุ่��ม((Associative): Associative): AA((BBCC)=()=(AABB))C C ,, AA((BBCC)=()=(AABB))CC

• ซ5มซ"บูซ5มซ"บู((Absorption):Absorption): AA(A(AB) = A, AB) = A, A(A(AB) = AB) = A

• สิ่�วินเต�มเต-มสิ่�วินเต�มเต-ม((Complement):Complement): AA = = UU, A, A = = A

AA )(

A

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 29

การพิ�สิ่�จน�การเท�าก"นของเซตในการพิ�สิ่�จน�การเท�าก"นของป็ระโยคท�'ม�ต"วิแป็รเป็4นเซตในการพิ�สิ่�จน�การเท�าก"นของป็ระโยคท�'ม�ต"วิแป็รเป็4นเซต

EE11 = = EE22 ( (โดยท�'โดยท�' EEs s แทนน�พิจน�ของเซตใดๆแทนน�พิจน�ของเซตใดๆ), ), ท0าได� ท0าได� 3 3 วิ�ธิ�วิ�ธิ�::1. 1. พิ�สิ่�จน�วิ�าพิ�สิ่�จน�วิ�า EE11 EE22 แลุ่ะแลุ่ะ EE22 EE11

2. 2. ใช�เง%'อนไขของสิ่มาช�กเซตใช�เง%'อนไขของสิ่มาช�กเซต((set builder notationset builder notation)) แลุ่ะ แลุ่ะ กฎีการสิ่มม�ลุ่กฎีการสิ่มม�ลุ่

3. 3. ใช�ตารางค�าสิ่มาช�กใช�ตารางค�าสิ่มาช�ก((membership tablemembership table))

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 30

Equal Sets Proof Method 1: Mutual subsets

ExampleExample::จงแสิ่ดงวิ�า จงแสิ่ดงวิ�า A A == B B โดยท�'เซต โดยท�'เซต A A แลุ่ะ แลุ่ะ B B น�ยามโดยน�ยามโดย• A={x|x A={x|x เป็4นจ0านวินเฉพิาะ แลุ่ะ เป็4นจ0านวินเฉพิาะ แลุ่ะ 12 ≤ x ≤ 18}12 ≤ x ≤ 18}• B={x|x=4k+1 B={x|x=4k+1 แลุ่ะ แลุ่ะ k k {3,4}{3,4}}}• สิ่�วินท�'สิ่�วินท�'1 1 พิ�สิ่�จน�วิ�า พิ�สิ่�จน�วิ�า A A B B โดยให� โดยให� xxAA ด"งน",น ด"งน",น x=13 x=13 หร%อ หร%อ

x=17 x=17 โดยท�'เราสิ่ามารถุเข�ยนได�วิ�า โดยท�'เราสิ่ามารถุเข�ยนได�วิ�า 13=4(3)+1 13=4(3)+1 แลุ่ะ แลุ่ะ 17=4(4)+1 17=4(4)+1 แสิ่ดงวิ�า แสิ่ดงวิ�า xxB B ด�วิย จ5งสิ่ร�ป็ได�วิ�า ด�วิย จ5งสิ่ร�ป็ได�วิ�า A A B B

• สิ่�วินท�'สิ่�วินท�'2 2 พิ�สิ่�จน�วิ�า พิ�สิ่�จน�วิ�า B B A A โดยให� โดยให� xxB B ด"งน",น ด"งน",น x=4(3)+1 x=4(3)+1 หร%อ หร%อ x=4(4)+1x=4(4)+1 ซ5'งจะได�ค�า ซ5'งจะได�ค�า x=13 x=13 แลุ่ะ แลุ่ะ 17 17 ซ5'งเป็4นจ0านวินซ5'งเป็4นจ0านวินเฉพิาะท�'ม�ค�าระหวิ�าง เฉพิาะท�'ม�ค�าระหวิ�าง 12 12 แลุ่ะ แลุ่ะ 18 18 แสิ่ดงวิ�า แสิ่ดงวิ�า xxAA ด�วิย จ5งด�วิย จ5งสิ่ร�ป็ได�วิ�า สิ่ร�ป็ได�วิ�า B B A A

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 31

ใช�น�ยามของเซต แลุ่ะต"วิด0าเน�นการต�างๆ ช�วิยในการพิ�สิ่�จน� ใช�น�ยามของเซต แลุ่ะต"วิด0าเน�นการต�างๆ ช�วิยในการพิ�สิ่�จน� ต"วิอย�าง เช�นต"วิอย�าง เช�น::

ทฤษฎี�ย่�อย่ทฤษฎี�ย่�อย่:: จงพิ�สิ่�จน�กฎีการเป็ลุ่�'ยนกลุ่��มของการรวิมจงพิ�สิ่�จน�กฎีการเป็ลุ่�'ยนกลุ่��มของการรวิม((Unions)Unions) ((AAB B ))C C = = AA((B B C C ) )

พิ�สิ่�จน�พิ�สิ่�จน� : (: (AAB B ))C C = {= {x x || x x A A B B x x C C }} ((จากน�ยามจากน�ยาม))

= {= {x x || ((x x A A x x B B ) ) x x C C } } ((จากน�ยามจากน�ยาม))

= {= {x x || x x A A ( ( x x B B x x C C ) } ) } ((กฎีการเป็ลุ่�'ยนกลุ่��มกฎีการเป็ลุ่�'ยนกลุ่��ม))

= {= {x x || x x A A ( (x x B B C C ) } ) } ((จากน�ยามจากน�ยาม))

= {= {x x || x x AA((B B C C ) }) } ((จากน�ยามจากน�ยาม)) = = AA((B B C C ) ) ((จากน�ยามจากน�ยาม)) ��

Method 2: Set builder notation

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 32

ต"วิอย�าง 2• จงพิ�สิ่�จน�การเท�าก"นของเซตท�'ก0าหนดโดยใช�จงพิ�สิ่�จน�การเท�าก"นของเซตท�'ก0าหนดโดยใช� set set

builder notation builder notation แลุ่ะแลุ่ะ logical equivalencelogical equivalence– Proof: Proof:

– Q.E.D.Q.E.D.

BABA union of Def.)

complement of Def.)

laws sMorgan' De)

onintersecti of Def.)(

of Def.))((

complement of Def.

BAxx

BxAxx

BxAxx

BxAxx

BAxx

BAxxBA

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 33

Method 3: Membership Tables

• ม�ลุ่"กษณ์ะคลุ่�ายก"บูตารางค�าควิามจร�งในเร%'องม�ลุ่"กษณ์ะคลุ่�ายก"บูตารางค�าควิามจร�งในเร%'องตรรกศูาสิ่ตร�ตรรกศูาสิ่ตร�

• คอลุ่"มน�แทนน�พิจน�ของเซตคอลุ่"มน�แทนน�พิจน�ของเซต• แถุวิ แทนกรณ์�ท�'เป็4นไป็ได�ท",งหมดของค�าการเป็4นแถุวิ แทนกรณ์�ท�'เป็4นไป็ได�ท",งหมดของค�าการเป็4น//ไม�ไม�

เป็4นสิ่มาช�กของเซตท�'ต�องการพิ�สิ่�จน�เป็4นสิ่มาช�กของเซตท�'ต�องการพิ�สิ่�จน�• ใช�ใช� “ “1” 1” แสิ่ดงการเป็4นสิ่มาช�กของเซตแสิ่ดงการเป็4นสิ่มาช�กของเซต, “0” , “0” แสิ่ดงการไม�แสิ่ดงการไม�

เป็4นสิ่มาช�กของเซตน",นเป็4นสิ่มาช�กของเซตน",น• เป็ร�ยบูเท�ยบูค�าในคอลุ่"มน�ของน�พิจน�ท�'ต�องการ หากค�าเป็ร�ยบูเท�ยบูค�าในคอลุ่"มน�ของน�พิจน�ท�'ต�องการ หากค�า

เหม%อนก"นท�กแถุวิ แสิ่ดงวิ�าน�พิจน�ของท",งสิ่องคอลุ่"มน�เหม%อนก"นท�กแถุวิ แสิ่ดงวิ�าน�พิจน�ของท",งสิ่องคอลุ่"มน�น",นเป็4นเซตท�'เท�าก"นน",นเป็4นเซตท�'เท�าก"น

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 34

Membership Table Example

จงพิ�สิ่�จน�วิ�าจงพิ�สิ่�จน�วิ�า ((AABB))B B == A ABB

ด"งน",น ด"งน",น ((AABB))B B == A ABB ##

AA BB AABB ((AABB)) BB AA BB0 0 0 0 00 1 1 0 01 0 1 1 11 1 1 0 0

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 35

Membership Table Exercise

จงพิ�สิ่�จน�วิ�าจงพิ�สิ่�จน�วิ�า ((AABB))CC = ( = (AACC))((BBCC))A B C AABB ((AABB)) CC AA CC BB CC ((AA CC))((BB CC))0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

ภาควิ�ชาวิ�ทยาการคอมพิ�วิเตอร� ม.บู�รพิา 36

แบูบูฝึ>กห"ด• จงพิ�สิ่�จน�วิ�า จงพิ�สิ่�จน�วิ�า ((AABB))B B == A ABB โดยใช�วิ�ธิ� โดยใช�วิ�ธิ� Set builder Set builder

notationnotation

• น"กเร�ยนห�องหน5'งม� น"กเร�ยนห�องหน5'งม� 180 180 คน ท�กคนชอบูเลุ่�นก�ฬา จากคน ท�กคนชอบูเลุ่�นก�ฬา จากการสิ่0ารวิจพิบูวิ�า ม�น"กเร�ยนท�'ชอบูเลุ่�นป็@งป็อง การสิ่0ารวิจพิบูวิ�า ม�น"กเร�ยนท�'ชอบูเลุ่�นป็@งป็อง 100 100 คน คน น"กเร�ยนท�'ชอบูวิ�ายน0,า น"กเร�ยนท�'ชอบูวิ�ายน0,า 92 92 คน น"กเร�ยนท�'ชอบูเลุ่�นคน น"กเร�ยนท�'ชอบูเลุ่�นตะกร�อ ตะกร�อ 115 115 คน น"กเร�ยนท�'ชอบูท",งเลุ่�นป็@งป็องแลุ่ะวิ�ายคน น"กเร�ยนท�'ชอบูท",งเลุ่�นป็@งป็องแลุ่ะวิ�ายน0,าม� น0,าม� 52 52 คน น"กเร�ยนท�'ชอบูท",งวิ�ายน0,าแลุ่ะเลุ่�นตะกร�อม� คน น"กเร�ยนท�'ชอบูท",งวิ�ายน0,าแลุ่ะเลุ่�นตะกร�อม� 57 57 คน น"กเร�ยนท�'ชอบูเลุ่�นท",งป็@งป็องแลุ่ะตะกร�อม� คน น"กเร�ยนท�'ชอบูเลุ่�นท",งป็@งป็องแลุ่ะตะกร�อม� 43 43 คนคน– ม�น"กเร�ยนก�'คนท�'ชอบูเลุ่�นก�ฬาท",งสิ่ามป็ระเภทม�น"กเร�ยนก�'คนท�'ชอบูเลุ่�นก�ฬาท",งสิ่ามป็ระเภท– ม�น"กเร�ยนก�'คนท�'ชอบูวิ�ายน0,าอย�างเด�ยวิม�น"กเร�ยนก�'คนท�'ชอบูวิ�ายน0,าอย�างเด�ยวิ– ม�น"กเร�ยนก�'คนท�'ชอบูเลุ่�นป็@งป็องอย�างเด�ยวิม�น"กเร�ยนก�'คนท�'ชอบูเลุ่�นป็@งป็องอย�างเด�ยวิ