บทที่ 4 แรงภายในคาน (Internal Forces in Beams)

4.1 เกริ่นนํา4.2 แรงเฉือนและโมเมนตดัด4.3 การเขียนแผนผังแรงเฉือนและโมเมนตดัด

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 1

4.1 เกริ่นนํา (Introduction)• คานเปนชิ้นสวนซึ่งมีแรงกระทําในแนวตั้งฉากกับความยาวอยางนอย 1 แรงขึ้นไป• แรงภายในคานมักจะเปลี่ยนแปลงตลอดชวงความยาว (ชิ้นสวนที่รับแรงในแนวแกนและแรงบิด มกัจะมีคาแรงภายในดังกลาวคงที่เปนชวงๆ)• การเสียรูปของคานจะอยูในลักษณะของการแอนตัว (Deflection) • คานสามารถจําแนกได 2 กลุม ตามเงื่อนไขการบังคับการเคลื่อนที่ ณ จุดรองรับ1. คานแบบวเิคราะหไดดวยวิธีสถติยศาสตร (บงัคับพอดีกับสมการสมดุล)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2

2. คานแบบวเิคราะหไมไดดวยวธิีสถิตยศาสตร (บังคบัมากกวาสมการสมดลุ)

• แรงกระทําตอคานมี 2 แบบ คือ • แรงเขม (Concentrated loads)• แรงกระจาย (Distributed loads)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 3

4.2 แรงเฉือนและโมเมนตดัด (Shear and Bending moment)• เมือ่พจิารณา ณ ภาคตัดใดๆของคาน สมดุลจะเกิดขึ้นไดก็ตอเมือ่มีแรงภายในหนาตัดตานกับผลรวมจากแรงภายนอก• ในระบบ 2 มิติทั่วๆไป จะมีสมการสมดุลของแรง 2 สมการ และของโมเมนตอีก 1 สมการ • เนื่องจากในที่นี้ ถือวาคานมีเฉพาะแรงในแนวตั้งฉากกับความยาวเทานั้น จึงเหลอืแรงตานทานในหนาตัดของคานเพียง 2 แรงเทานั้น คือ

1. แรงตานทานในแนวดิ่ง (ขนานกับหนาตัด)เรียกวาเปน แรงเฉือน (Shear force)2. โมเมนต ซึ่งจะพยายามดัดคานใหแอน เรียกวา โมเมนตดัด (Bending moment)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 4

• สมการสําหรับหาคาแรงเฉือน คือ (4.1)

แลวแตวาจะเลือกสวนของคานดานไหนของหนาตัดมาพจิารณา• สมการสําหรับหาคาโมเมนตดัด คือ (4.2)

แลวแตวาจะเลือกสวนของคานดานไหนของหนาตัดมาพจิารณา

ขอตกลงเรื่องเครื่องหมายของแรงเฉือน• แรงภายนอกที่พยายามเลื่อนคานดานซายของหนาตัดขึ้น - แรงเฉือนเปน บวก

• แรงภายนอกที่พยายามเลื่อนคานดานซายของหนาตัดลง - แรงเฉือนเปน ลบ • ถาพิจารณาคานสวนดานขวาของหนาตัด – เครื่องหมายกลับกันกับดานซาย

RyLy FVFV )(;)( Σ=Σ=

RL MMMM )(;)( Σ=Σ=

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 5

• ขอตกลงเรื่องเครื่องหมายของโมเมนตดดั• แรงภายนอกที่พยายามดัดคานดานซายของหนาตัดใหแอนลง - โมเมนตเปน บวก • แรงภายนอกที่พยายามดัดคานดานซายของหนาใหแอนขึ้น - โมเมนตเปน ลบ • ถาพิจารณาคานสวนดานขวาของหนาตัด – เครื่องหมายกลับกันกับดานซาย

• ขอสรปุเรื่องเครื่องหมาย (เฉพาะการพิจารณาดานซายของภาคตัด)

“แรงดานซายที่มีทิศพุงขึ้น ทําใหเกิดแรงเฉือนและโมเมนตดดั ที่เปน บวก”“แรงดานซายที่มีทิศพุงลง ทําใหเกิดแรงเฉือนและโมเมนตดดั ที่เปน ลบ”

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 6

ตัวอยางที ่4.1ใหเขียนสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดของคานที่มีแรงกระทํา ดังรูป

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 7

ตัวอยางที ่4.1 (ตอ)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 8

ตัวอยางที ่4.2ใหเขียนสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดของคานที่มีแรงกระทํา ดังรูป

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 9

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 10

4.3 การเขียนแผนผังแรงเฉือนและแผนผงัโมเมนตดัด (Shear Force and Bending Moment Diagrams)

• ในการออกแบบ จุดอันตรายที่สุด คือ จุดที่มีแรงกระทํามากที่สุด ในกรณีของคาน คือ จดุที่มแีรงเฉือนสูงที่สุด และจดุที่มีโมเมนตดัดสูงที่สุด• จากสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดดั สามารถหาตําแหนงที่เกิดคาสูงสุดได โดยการ Differentiate เทียบกับระยะทางในแนวแกน x แลวใหคาเทากับศูนย พรอมกับนําตําแหนงที่ไดกลับไปแทนคาในสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดัดตอไป• วิธีดังกลาว ไมสามารถมองภาพความสัมพันธระหวางแรงภายนอก แรงเฉือนและโมเมนตดัดไดอยางชัดเจน ตลอดจนมองการเปลี่ยนแปลงตางๆไดลําบาก• การนําเอาสมการของแรงเฉือนและโมเมนตดดัมาวาดเปนกราฟ ชวยใหมองเห็นภาพความสมัพันธและการเปลี่ยนแปลงตางๆไดชัดเจน เทยีบกันจดุตอจดุ เรียกกราฟดังกลาววา แผนผังของแรงเฉือน (Shear Force Diagram: SFD) และ แผนผังโมเมนตดัด (Bending Moment Diagram: BMD)

ตัวอยางที ่4.1 (เพิ่มเติม)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 11

21063;2063 xxMxV ABAB −=−=

25037;37 +−=−= xMV BCBC

42030;30 −== xMV CDCD

ตัวอยางที ่4.2 (เพิ่มเติม)

6;

2

32 xMxV ABAB −=−=

7218;18 +−=−= xMV BCBC

23238;38 +−=−= xMV CDCD

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 12

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 13

• วิธีดังกลาวมขีอเสียเปรียบ คือ ใชระยะเวลานานกวาจะไดกราฟ

• การหาความสัมพันธทางคณิตศาสตรระหวาง แรงกระทํา แรงเฉือนและโมเมนตดัด จะชวยใหสามารถเขียนกราฟไดโดยตรง โดยไมจําเปนตองเขียนสมการกอน

• พจิารณาสวนของคานที่ยาวนอยมาก dx ใดๆสมดลุของแรงในแนวดิ่ง จะได (ก)สมดลุของโมเมนตดัด จะได

(ข)

wdxdVdVVwdVV =⇒=+−+ 0)(

VdxdMdMMdxwdxVdxM =⇒=+−−+ 0)(2

)(

• โดยการอินติเกร็ตสมการ (ก)และ (ข) จะไดวา(4.3)

และ (4.4)

สมการ (4.3) และ (4.4) นี้ ใชเพือ่หาคาของแรงเฉือนและโมเมนตดัด ณ ระยะ x ใดๆสมการ (ก) และ (ข) สามารถเขียนในอีกรูปแบหนึ่งวา

(4.5)

(4.6)

สมการ (4.5) คือ ความชันของกราฟแรงเฉือนสมการ (4.6) คือ ความชันของกราฟโมเมนตดัด

Load

x

x

V

VAreaVVVwdxdV )(12

2

1

2

1=∆=−⇒= ∫∫

Shear

x

x

M

MAreaMMMVdxdM )(12

2

1

2

1=∆=−⇒= ∫∫

dxdVw =

dxdMV =

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 14

ขอสังเกตในการเขียนกราฟ จากความสมัพันธของแรงและแรงเฉือน (จากปลายคานดานซายมือไปขวามอื)• แรงภายนอกที่เปนแรงเขม – จะทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงแรงเฉือนอยางกะทันหัน ตามทิศทางของแรงภายนอกนั้นๆ (พุงขึ้นหรือพุงลง)• แรงกระจายที่อยูดานบนคาน มีทิศพุงลง – ทําใหความชันของกราฟแรงเฉือนเปนลบ (คาลดลง) และในทางกลับกัน แรงกระจายที่อยูดานลางคาน ทําใหความชันเปนบวก • ชวงที่ไมมีแรงภายนอกใดๆกระทํา ความชันของกราฟแรงเฉือน คือ ศูนย (แนวราบ)ขอสังเกตในการเขียนกราฟ จากความสมัพันธของแรงเฉือน และโมเมนตดดั • แรงเฉือนที่อยูดานบน (คาบวก) – ทําใหความชนัของกราฟโมเมนตดดัเปนบวก (ทําใหโมเมนตดัดเพิม่ขึ้น) และตรงกันขามกัน สําหรับแรงเฉือนที่อยูดานลาง• โมเมนตภายนอกที่กระทําตอคาน – จะทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงโมเมนตดัดอยางกะทันหัน (พุงขึ้นหรือพุงลง แลวแตลักษณะทิศทางของโมเมนตภายนอกนั้นๆ)

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 15

ตัวอยางที ่4.3ใหเขียนแผนผังของแรงเฉือนและโมเมนตดัดของคานที่มีแรงกระทําดังรูป

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 16

ตัวอยางที ่4.4ใหเขียนแผนผังของแรงเฉือนและโมเมนตดัดของคานที่มีแรงกระทําดังรูป

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 17

ขอสังเกตสําหรับคาแรงเฉือนสูงสุดหรือต่ําสุด • เกิดขึ้น ณ ตําแหนงที่มีการแรงเขมภายนอกกระทําตอคาน หรือ• เกิดขึ้น ณ ตําแหนงที่มีการเริม่ตนกระทําหรือสิ้นสุดของแรงกระจาย หรือ• สําหรับคานแบบ Cantilever จะเกิดขึ้นที่ปลายฝงแนนเสมอขอสังเกตสําหรับคาโมเมนตดัดสูงสุดหรือต่ําสุด • เกิดขึน้ ณ ตําแหนงที่มีโมเมนตเขมภายนอกกระทําตอคาน หรือ• เกิดขึ้น ณ ตําแหนงที่ความชันของกราฟแรงเฉือนเปนศูนย• สําหรับคานแบบ Cantilever จะเกิดขึ้นที่ปลายฝงแนนเสมอ

กลศาสตรของของแข็ง วศ.ก.214 - 3 ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยเชียงใหม 18