Chapter 4BASIC LOGIC

สาขาเทคโนโลยี�สารสนเทศคณะเทคโนโลยี�สารสนเทศและการส��อสาร

มหาวิ�ทยีาล�ยีพะเยีา

Overview

Introduction to logic ความรู้� �เบื้�องต้�นต้รู้รู้กศาสต้รู้�

Syntax & Semantics ภาษาต้รู้รู้กศาสต้รู้� Symbolic logic ตรรกส�ญล�กษณ� Proposition (ประพจน�)

Single Proposition ปรู้ะพจน�เชิ�งเดี่��ยว Compound Proposition ปรู้ะพจน�เชิ�งซ้�อน

Propositional Logic ต้รู้รู้กะที่��ว#าดี่�วยปรู้ะพจน� Predicate Logic ต้รู้รู้กะที่��ว#าดี่�วยภาคขยาย

Objective

เพ�อในน�ส�ต้ที่��เรู้�ยนรู้� �ถึ'งความหมายของต้รู้รู้กศาสต้รู้�

รู้� �ถึ'งชิน�ดี่ รู้�ปแบื้บื้ และส+ญญาล+กษณ์�ต้#างๆ ของต้รู้รู้กะ

สามารู้ถึว�เครู้าะห�และค�ดี่ในเชิ�งต้รู้รู้กะไดี่� สามารู้ถึแปลงรู้�ปปรู้ะโยคให�เป1นส�ต้รู้ที่างต้รู้รู้กะไดี่�

Introduction to logic(ควิามร!"เบื้�$องต"นตรรกศาสตร�) ตรรกะ (Logic) คอ ศาสต้รู้�ที่��ว#าดี่�วยการู้หาเหต้2

และผลดี่�วยว�ธี�การู้ต้#างๆ อย#างม�รู้�ปแบื้บื้และรู้ะบื้บื้ที่��ชิ+ดี่เจน โดี่ยการู้พ�ส�จน�จากข�อเที่5จจรู้�งที่��ก6าหนดี่

ต้รู้รู้กศาสต้รู้�แบื้#งออกเป1น 2 ปรู้ะเภที่ ตรรกศาสตร�แบื้บื้ดั้�$งเดั้�ม เป1นต้รู้รู้กศาสต้รู้�แรู้กเรู้��มที่��

พ+ฒนามาจากหล+กการู้และกรู้ะบื้วนการู้ที่างเหต้2ผลของอรู้�สโต้เต้�ล

ตรรกน�รน�ยี (Deductive Logic) เป1นการู้หาความจรู้�งจากส#วนมากไปหาส#วนน�อย

ตรรกอ(ปน�ยี (Inductive Logic) เป1นการู้หาความจรู้�งจากส#วนน�อยไปหาส#วนมาก

ตรรกส�ญล�กษณ� (Symbolic Logic) เป1นต้รู้รู้กศาสต้รู้�ที่��ใชิ�ว�ธี�การู้ที่างคณ์�ต้ศาสต้รู้�เข�ามาพ�ส�จน�ข�อเที่5จจรู้�ง ม�การู้ใชิ�ส+ญล+กษณ์�แที่นการู้ใชิ�เวลาที่��ม�ความก6ากวม

Syntax & Semantics (ภาษาตรรกศาสตร� )

Syntax (ไวยกรู้ณ์�) คอการู้ก6าหนดี่รู้�ปแบื้บื้ของภาษา ต้+วอย#าง syntax ของคณ์�ต้ศาสต้รู้�

X + Y = 8 X5y+2Z =

Semantics ความหมายของปรู้ะโยคน+�นๆ ในที่างต้รู้รู้กศาสต้รู้� Semantics จะบื้อกถึ'งความเป1น

จรู้�งของปรู้ะโยค ปกต้� semantics จะม�ค#าแค# true หรู้อ false

X + Y = 8 เป1นจรู้�งเม�อ X = 4 และ Y = 4เป1นเที่5จเม�อ X = 1 และ Y = 1

Symbolic logic (ตรรกส�ญล�กษณ�) ต้รู้รู้กส+ญล+กษณ์� (Symbolic logic) แบื้#งไดี่� 2

ปรู้ะเภที่ Propositional Logic ตรรกะท��วิ*าดั้"วิยีประพจน�

เป1นต้รู้รู้กศาสต้รู้�ที่��ว#าดี่�วยการู้ที่ดี่สอบื้ปรู้ะโยคหรู้อเน�อหา ที่��เรู้�ยกว#า ประพจน� เพ�อหาข�อเที่5จจรู้�งหรู้อความสมเหต้2สมผลของปรู้ะพจน�ล+กษณ์ะต้#างๆ ที่+�งที่��เป1นปรู้ะพจน�เชิ�งเดี่��ยว และ ปรู้ะพจน�เชิ�งซ้�อน

Predicate Logic ตรรกะท��วิ*าดั้"วิยีภาคขยีายี เป1นต้รู้รู้กศาสต้รู้�ที่��ที่ดี่สอบื้ปรู้ะโยคกล#าวอ�างที่��เก��ยวข�องก+บื้ปรู้ะโยคที่+�วไป และ ปรู้ะพจน�เชิ�งเดี่��ยว เพ�อหาความสมเหต้2สมผลของปรู้ะโยคกล#าวอ�าง

Propositional Logic

Proposition (ปรู้ะพจน�) เป1นส#วนที่��ใชิ�พ�ส�จน� เพ�อบื้#งชิ��ความจรู้�งต้ามหล+กเหต้2ผล ม� 2 ชิน�ดี่ คอ ปรู้ะพจน�เชิ�งเดี่��ยว (Single Proposition) ปรู้ะพจน�เชิ�งซ้�อน (Compound Proposition)

Propositional Logic

ประพจน�เชิ�งเดั้��ยีวิ ปรู้ะโยคหรู้อเน�อหาที่างต้รู้รู้กะที่��ม�เพ�ยงใจความเดี่�ยว ม�ปรู้ะธีานและภาคแสดี่งเพ�ยงต้+วเดี่�ยว และไม#สามารู้ถึแบื้#งย#อยเน�อหาไดี่�อ�ก ประพจน�เชิ�งเดั้��ยีวิแบื้บื้ยี�นยี�น แสดี่งถึ'งข�อความที่+�งหมดี่ที่��สามารู้ถึยนย+น

ไดี่� ไม#ม�ข�อความแสดี่งการู้ปฏิ�เสธี น+กเรู้�ยนท(กๆคน อยากเรู้�ยนจบื้

ประพจน�เชิ�งเดั้��ยีวิแบื้บื้ปฏิ�เสธ แสดี่งถึ'งข�อความที่��ม�ค6าค+ดี่ค�านหรู้อปฎิ�เสธี ไม*ม�น+กเรู้�ยนคนไหนอยากสอบื้ต้ก

ประพจน�เชิ�งเดั้��ยีวิแบื้บื้ยี�นยี�นบื้างส*วิน แสดี่งข�อความยนย+นบื้างส#วน น+กเรู้�ยนส*วินใหญ*เรู้�ยน 4 ป:ก5จบื้การู้ศ'กษา

ประพจน�เชิ�งเดั้��ยีวิแบื้บื้ปฎิ�เสธบื้างส*วิน แสดี่งข�อความปฎิ�เสธีบื้างส#วน คนไที่ยส*วินใหญ*ไม*ยากจน

Propositional Logic ประพจน�เชิ�งซ้"อน คอการู้น6าเอาปรู้ะพจน�เชิ�งเดี่��ยวหลาย

ปรู้ะโยคมารู้วมก+นดี่�วยค6าเชิ�อมปรู้ะโยค ประโยีคควิามรวิม เป1นปรู้ะโยคต้รู้รู้กะที่��เก�ดี่จากค6าเชิ�อม

และ“ ”, “แต้#”, “แม�”, “เม�อ ในต้รู้รู้กะศาสต้รู้�จะใชิ�ต้+ว ”AND () ฉั+นชิอบื้ก�นข�าวสวยแต*เธีอชิอบื้ก�นข�าวเหน�ยว

ประโยีคควิามเล�อก คอ ปรู้ะโยคต้รู้รู้กะที่��เก�ดี่จากค6าเชิ�อม หรู้อ “ ” ()

พรู้2 #งน��เป1นว+นพ2ธีหร�อว+นพฤห+สบื้ดี่� ประโยีคม�เง��อนไข เป1นปรู้ะโยคต้รู้รู้กะที่��เก�ดี่จากค6าเชิ�อม

ถึ�า“ ...แล�ว โดี่ยปรู้ะพจน�หน'�งจะเป1นเง�อนไข อ�กต้+วจะเป1น”ผลสรู้2ป () ถ้"าน+กศ'กษาที่6าข�อสอบื้ไดี่�คะแนนเต้5มแล"วิจะไดี่�เกรู้ดี่ A

ประโยีคสมภาค คอ ปรู้ะโยคต้รู้รู้กะที่��เก�ดี่จากค6าเชิ�อม “..ก5ต้#อเม�อ..” () สมชิายเป1นคนดี่�ก4ต*อเม��อสมชิายไม#ที่6าชิ+�ว

Propositional Logic

ปรู้ะพจน� คอ ปรู้ะโยคที่��ม�เหต้2ผลและพ�จารู้ณ์าไดี่�ว#าเป1นจรู้�งหรู้อเที่5จ

ม�กฎิ 3 ข�อ ปรู้ะพจน�ต้�องเป1นจรู้�งหรู้อเที่5จเที่#าน+�น

พรู้ะอาที่�ต้ย�ข'�นที่างที่�ศต้ะว+นออก (ปรู้ะพจน�เป1นจรู้�ง) ปรู้ะพจน�จะเป1นจรู้�งหรู้อเที่5จพรู้�อมก+นไม#ไดี่�

พะเยาเป1นเมองที่างต้อนใต้�ของปรู้ะเที่ศไที่ย ปรู้ะพจน�เชิ�งซ้�อน จะหาค#าความจรู้�งโดี่ยรู้วม ปรู้ะเที่ศไที่ยส#งข�าวออกเป1นอ+นดี่+บื้ต้�นๆ ของโลก

Propositional Logic : Syntax Syntax

Atomic sentences : ปรู้ะกอบื้ไปดี่�วย 1 proposition symbol

แต้#ละ proposition symbol จะให�ค#า จรู้�ง หรู้อ เที่5จ Symbol จะใชิ�ภาษาอ+งกฤษต้+วพ�มพ�ใหญ# เชิ#น P, Q, R, etc..

แล�วแต้#จะต้+�ง ม� 2 symbol ที่��สงวนค#าความเป1นจรู้�งไว� คอ

True จะเป1นจรู้�งเสมอ และ False จะเป1นเที่5จเสมอ Complex sentences : เก�ดี่จากการู้น6า sentences มาเชิ�อม

ต้#อก+นซ้'�งม�ต้+วเชิ�อมอย�# 5 ต้+ว Negation not ~ หรู้อ Conjuntion and หรู้อ & Disjunction or Condition/Implies If…then… หรู้อ Biconditional If and only if หรู้อ

Propositional Logic BNF

BNF (Backus-Naur Form) เป1นรู้�ปแบื้บื้การู้เข�ยนโครู้งสรู้�างไวยกรู้ณ์�ของภาษา

Example

Q)(P

)( SentenceSentence )( enceAtomicSentenceAmoticSent

)( SymbolSymbol

tenceComplexSenSentence

) Q)P(( is not a Sentence

Propositional Logic : Semantics

Semantics ของ Propositional Logic ม�เพ��อใชิ"ก6าหนดั้ค*าควิามเป7นจร�งให"ก�บื้ sentence ส6าหร�บื้ Atomic Sentence

True ค�อจร�งเสมอ False ค�อเท4จเสมอ Symbol ข8$นอยี!*ก�บื้ค*าควิามจร�งท��ก6าหนดั้

ส6าหร�บื้ Complex Sentence ให"ถ้�อตามตารางควิามจร�ง (Truth table)

P Q P P Q P Q P Q P Q

True True False True True True True

True False False False True False False

False True True False True True False

False False True False False True True

Propositional Logic : using

ต�วิอยี*าง การใชิ"งานของร!ปประโยีคข"างล*างน�$ ถึ�าฝนต้กแล�วจะอย�#บื้�าน ก6าหนดี่

P แที่น ฝนต้ก Q แที่น อย�#บื้�าน รู้�ปปรู้ะโยคจะเป1น P Q

ถึ�า P เป1นจรู้�ง คอฝนต้ก ปรู้ะโยคจะให�ค#าเป1นจรู้�ง เม�อ Q เป1นจรู้�ง ก5คอ อย�#บื้�าน

ค6าน�ยีามเก��ยีวิก�บื้ค*าควิามเป7นจร�ง (1) Tautology : เป1นปรู้ะโยคที่��ให�ความเป1นจร�งในที่2ก

กรู้ณ์�R ((P Q) (R Q))P Q R P Q R Q (R Q) (P Q) (R Q) R ((P Q) (R Q))

T T T T T F T T

T T F T T F T T

T F T F F T T T

T F F F T F F T

F T T T T F T T

F T F T T F T T

F F T T F T T T

F F F T T F T T

ค6าน�ยีามเก��ยีวิก�บื้ค*าควิามเป7นจร�ง (2)

Self-contradiction : เป1นปรู้ะโยคที่��ให�ความเป1นเท4จในที่2กกรู้ณ์�

(P Q) (Q P)

Contingent : เป1นปรู้ะโยคที่��สามารู้ถึม�ที่+�งค#าจรู้�งและเที่5จ

P Q P Q (P Q) Q P (Q P) (P Q) (Q P)

T T T F T F F

T F F T T F F

F T T F F T F

F F T F T F F

ค6าน�ยีามเก��ยีวิก�บื้ค*าควิามเป7นจร�ง (3) เม�อม�ประโยีคมากกวิ*า 1 ประโยีค จะเรู้�ยกว#าปรู้ะโยคเหล#าน+�น

Consistent ก+นก5ต้#อเม�อปรู้ะโยคเหล#าน+�นม�โอกาศที่��จะเป1นจรู้�งในกรู้ณ์�เดี่�ยวก+น ไม#เชิ#นน+�นจะเรู้�ยกว#าปรู้ะโยคเหล#าน+�น Inconsistent

ต�วิอยี*าง 1 : ปรู้ะโยค 2 ปรู้ะโยคคอ (P Q) และ (P Q)

ต�วิอยี*าง 2 : ปรู้ะโยค 2 ปรู้ะโยค คอ (P Q) P และ (Q P)

P Q P Q Q P Q (P Q)

T T T F F T

T F T T T F

F T T F T F

F F F T F T

consistent

P Q P Q (P Q) P P Q P (Q P)

T T T T F T F

T F F F F F T

F T T F T T F

F F T F T T F

ค6าน�ยีามเก��ยีวิก�บื้ค*าควิามเป7นจร�ง (4) 2 ปรู้ะโยคจะถึอว#า Logically equivalent

ก5ต้#อเม�อค*าควิามเป7นจร�งของท�$ง 2 ประโยีคเหม�อนก�นในท(กกรณ�

P Q และ (Q P)P Q P Q P Q Q P (Q P)

T T F F T F T

T F F T T F T

F T T F F T F

F F T T T F T

Rules of Replacement

ชิ��อกฎิ Logically equivalent

Double negation (DN) P P

Commutativity (Com) P Q Q PP Q Q P

Associativity (Assoc) (P Q) R P (Q R)(P Q) R P (Q R)

Tautology (Taut) P P P, P P P

Demorgan’s Law (DM) (P Q) P Q(P Q) P Q

Transposition (Trans) P Q Q P

Material Implication (Impl) P Q P Q

Exportation (Exp) P (Q R) ( P Q ) R

Distribution (Dist) P (Q R) (P Q) (P R)P (Q R) (P Q) (P R)

Material Equivalent (Equiv) P Q (P Q) (Q P) (P Q) (P Q)

ปรู้ะโยคใน propositional logic สามารู้ถึแที่นที่��ก+นไดี่� ถึ�าปรู้ะโยคที่+�ง 2 น+�น logically equivalent

ต�วิอยี*างการพ�ส!จน�ดั้"วิยีตารางควิามเป7นจร�งจงพ�ส�จน�การู้เที่#าก+นของสมการู้ต้#อไปน�� (P (Q R)) [(P

Q) ( P R)]P Q R (Q R) P (Q R) (P (Q R)) (P Q) (P R) (P Q) ( P R) [(P Q) ( P R)]

T T T T T F T T T F

T T F F F T T F F T

T F T F F T F T F T

T F F F F T F F F T

F T T T T F T T T F

F T F F T F T T T F

F F T F T F T T T F

F F F F T F T T T F

ต�วิอยี*างการพ�ส!จน�ดั้"วิยีกฎิ จงพ�ส�จน�การู้เที่#าก+นของสมการู้ต้#อไปน�� (P (Q R)) [(P Q) ( P

R)](P (Q R)) (P (Q R)) Impl

P (Q R) DM P (Q R) DM (P Q) (P R) Dist ( ( P) Q) ( ( P) R) DN ( P Q) ( P R) DM ( P Q) ( P R) DM [( P Q) ( P R)] DM [(P Q) (P R)] Impl

แบื้บื้ทดั้สอบื้ดั้"วิยีการใชิ"ตารางควิามเป7นจร�งและดั้"วิยีการใชิ"กฎิ

(((A B) B) B) A B [(P Q) R] P Q R

ค6าน�ยีามเก��ยีวิก�บื้ค*าควิามเป7นจร�ง (5) Logically consequence : B จะถึ�กเรู้�ยกว#า logically

consequence ของ A1,A2,..,An ก5ต้#อเม�อ ไม#ม�ค#าความเป1นจรู้�งใดี่ที่��ที่6าให� A1,A2,.., An เป1นจรู้�ง แต้#ไม#ที่6าให� B เป1นจรู้�ง

ข�อโต้�แย�งจะ Logically valid ก5ต้#อเม�อข�อสรู้2ปน+�น logically consequence ก+บื้สมม2ต้�ฐาน ถึ�าสมม2ต้�ฐานม�ข�อเดี่�ยว(A) จะเรู้�ยกไดี่�ว#า A logically imply B

ต�วิอยี*าง : ข�อโต้�แย�งม�สมม2ต้�ฐาน 2 ปรู้ะโยค P Q และ Q P และข�อสรู้2ปคอ Q

P Q P Q Q Q P

T T T F T

T F F T T

F T T F T

F F T T F

Deduction: Rules of Inference and Replacement

การู้แก�ไขป@ญหาของ Propositional Logic โดี่ยใชิ�ต้ารู้างความเป1นจรู้�ง (truth table) ต้ามที่ฤษฎิ�สามารู้ถึแก�ไขไดี่�ที่2กป@ญหา

แต้#ขนาดี่ของต้ารู้างความเป1นจรู้�งจะใหญ#ข'�นมาก ต้ามจ6านวนของต้+วแปรู้ของปรู้ะโยคน+�นๆ

ต�วิอยี*าง ถึ�าม�ปรู้ะโยค Propositional Logic ม�ต้+วแปรู้ 10 ต้+ว ต้ารู้างความเป1นจรู้�งจะต้�องม�ที่+�งหมดี่ 210 = 1024 แถึว

ดี่+งน+�นจ'งม�ว�ธี�แก�ป@ญหาโดี่ยเอาที่ฤษฎิ�ต้#างๆ แที่นการู้ใชิ�ต้ารู้างความเป1นจรู้�ง Natural Deduction Direct Deduction Indirect Deduction

Natural Deduction (การู้น�รู้น+ย)

ว�ธี� natural deduction พยายามที่��จะลดี่การู้ค�ดี่ค#าความเป1นจรู้�งของแต้#กรู้ณ์� โดี่ยหาค#าความเป1นจรู้�งที่6าต้ามข+�นต้อนที่�ละข+�นต้อนไปเรู้�อยๆ ต้ามความรู้� �ที่��ม�

ต�วิอยี*าง : ข�อกล#าวอ�างที่+�วไปในสถึานที่��เก�ดี่เหต้2ม�ขนแมวหรู้อขนส2น+ขต้กอย�# ถึ�าม�ขนส2น+ขต้กอย�#ในที่��เก�ดี่เหต้2เจ�าหน�าที่��สมชิายจะเป1นโรู้คภ�ม�แพ� ถึ�าเป1นขนแมวที่��ต้กอย�#ในที่��เก�ดี่เหต้2 แล�วสมปองเป1นฆาต้กรู้ แต้#เน�องดี่�วยเจ�าหน�าที่��สมชิายไม#ไดี่�เป1นโรู้คภ�ม�แพ�ดี่+งน+�นสมปองคอฆาต้กรู้

1 ) ม�ขนแมวต้กอย�#ในที่��เก�ดี่เหต้2 หรู้อ ม�ขนส2น+ขต้กอย�#ในที่��เก�ดี่เหต้2 (สมม2ต้�ฐาน)2 ) ถึ�าม�ขนส2น+ขต้กในที่��เก�ดี่เหต้2 แล�ว เจ�าหน�าที่��สมขายจะเป1นโรู้คภ�ม�แพ� (สมม2ต้�ฐาน)3 ) ถึ�าม�ขนแมวต้กอย�#ในที่��เก�ดี่หต้2 แล�ว สมปองเป1นฆาต้กรู้ (สมม2ต้�ฐาน)4 ) เจ�าหน�าที่��สมชิาย ไม#ไดี่�เป1นโรู้คภ�ม�แพ� (สมม2ต้�ฐาน)5 ) ไม#ม�ขนส2น+ขต้กอย�#ในที่��เก�ดี่เหต้2 (จากข�อ 2 และ ข�อ 4)6 ) ม�ขนแมวต้กอย�#ในที่��เก�ดี่เหต้2 (จากข�อ 1 และ ข�อ 5)7 ) สมปองคอฆาต้กรู้ (จากข�อ 3 และข�อ 6)

Rules of Inference (กฎิของการู้อน2มาน) การู้อน2มานดี่�วยว�ธี�การู้ให�เหต้2ผลจะต้�องม�การู้ต้รู้วจสอบื้

ความสมเหต้2สมผล กฎิของการู้อน2มานเชิ�งต้รู้รู้กศาสต้รู้� ไดี่�แก# Modus Ponens (MP) Modus Tollens (MT) Disjunctive Syllogism (DS) Addition (Add) Simplification (Simp) Conjunction (Conj) Hypothetical Syllogism (HS) Constructive dilemma (CD) Absorption (Abs)

Modus Ponens (MP)

Modus Ponens (-elimination)

P Q P Q

P Q P Q

T T T

T F F

F T T

F F T

Modus Tollens (MT)

Modus Tollens (-elimination)

P Q Q P

P Q P Q Q P

T T T F F

T F F T F

F T T F T

F F T T T

Disjunctive syllogism (DS)

Disjunctive Syllogism (-elimination)

หรู้อ P Q P Q

P Q P Q P

T T T F

T F T F

F T T T

F F F T

P Q Q P

P Q P Q Q

T T T F

T F T T

F T T F

F F F T

Addition (Add)

Addition (-introduction)

หรู้อ P P Q

P Q P Q

T T T

T F T

F T T

F F F

P Q P Q

T T T

T F T

F T T

F F F

Q P Q

Simplification (Simp)

Simplification (-elimination)

หรู้อP Q P

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

P Q Q

Conjunction (Conj)

Conjunction (-introduction)

PQ

P Q

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

Hypothetical syllogism (HS) Hypothetical syllogism (chain reasoning, chain deduction)

P Q R P Q Q R P R

T T T T T T

T T F T F F

T F T F T T

T F F F T F

F T T T T T

F T F T F T

F F T T T T

F F F T T T

P QQ RP R

Constructive Dilemma (CD) Constructive Dilemma

P Q R S P Q R S (P Q) (R S) P R Q S

T T T T T T T T T

T T T F T F F T T

T T F T T T T T T

T T F F T T T T T

T F T T F T F T T

T F T F F F F T F

T F F T F T F T T

T F F F F T F T F

F T T T T T T T T

F T T F T F F T T

F T F T T T T F T

F T F F T T T F T

F F T T T T T T T

F F T F T F F T F

F F F T T T T F T

F F F F T T T F F

(P Q) (R S) P R Q S

Absorption (Abs) Absorption

P Q P Q P Q P (P Q)

T T T T T

T F F F F

F T T F T

F F T F T

(P Q)

P (P Q)

Direct Deduction

Direct deduction ของข"อสร(ปจากเซ้4ตของสมม(ต�ฐานประกอบื้ไปดั้"วิยีล6าดั้�บื้ของประโยีค สมม(ต�ฐาน (premise) ประโยีคท��มาจากกฎิของการอน(มาน (rules of

inference) ประโยีคท��มาจากกฎิของการแทนท�� (rules of

replacement) ต�วิอยี*างม� สมม(ต�ฐานค�อ C D, C O, D M, และ O ม�

ข"อสร(ป M จะพ�ส!จน�วิ*าถ้!กต"อง

1. C D premise2. C O premise3. D M premise4. O

premise5. C 2,4

MT6. D 1,5 DS7. M 3,6

MP

1. C D premise2. C O premise3. D M premise4. O

premise5. (C O) (D M) 2,3 Conj6. O M 1,5 CD7. M 4,6 DS

Example : Direct Deduction

พ�ส�จน� T U จากสมม2ต้�ฐาน P Q , (S T) Q, และ P (T R)

1. P Q premise2. (S T) Q premise3. P (T R) premise4. (P Q) (Q P) 1 Equiv5. (Q P) 4 Simp6. (S T) P 2,4 HS7. P (T R) 3 Impl8. (S T) (T R) 6,7 HS9. (S T) (T R) 8 Impl10. (S T) (T R)9 DM11. [(S T) T] [(S T) R) 10 Dist

12. (S T) T 11 Simp13. (S T) (T T) 12 Dist14. T T 13 Simp15. T 14

Taut16. T U 15 Add17. T U 16 Impl

Indirect Deduction

Indirect deduction ม� 2 ว�ธี� Conditional proof : สมม2ต้�ค#าความเป1นจรู้�งให� 1 ต้+วแปรู้

เพ�อแก�ป@ญหา Indirect proof : ก6าหนดี่ข�อสรู้2ปเป1นเที่5จ แล�วถึ�าม�พ�ส�จน�ห+ก

ล�างไดี่� จะที่6าให�ข�อสรู้2ปน+�นเป1นจรู้�ง ต�วิอยี*าง : ม�สมม2ต้�ฐานคอ P Q และ P (Q P) ม�ข�อสรู้2ปคอ

P จงพ�ส�จน�ว#าเป1นจรู้�งหรู้อไม# (ใชิ�ว�ธี� Indirect proof)1. P Q premise2. P (Q P) premise3. P assumption4. Q 1,3 MP5. (Q P) 2,3 MP6. P 5,4 MP7. P P 3,6 Conj8. False 7 IP

ข+ดี่ก+บื้ assumptionเพรู้าะฉัะน+�น P เป1น

จรู้�ง

Example

จงพ�ส�จน�ว#าค6ากล#าวต้#อไปน��ถึ�กต้�องถึ�าอ2ณ์หภ�ม�และความดี่+นคงที่��ฝนจะไม#ต้ก ขณ์ะน��อ2ณ์หภ�ม�คงที่�� ดี่+งน+�นถึ�าฝนต้กแล�วหมายความว#าความดี่+นไม#คงที่��

วิ�ธ�พ�ส!จน� ก6าหนดี่ A แที่น อ2ณ์หภ�ม�คงที่�� B แที่น ความดี่+นคงที่�� C แที่น ฝนต้ก แที่นปรู้ะโยคดี่�วย propositional logic

Premise : ถึ�าอ2ณ์หภ�ม�และความดี่+นคงที่��ฝนจะไม#ต้ก (A B) C Premise : ขณ์ะน��อ2ณ์หภ�ม�คงที่�� A Conclusion : ถึ�าฝนต้กแล�วหมายความว#าความดี่+นไม#คงที่�� C B

Example

ข�อสรู้2ปคอ C B1. (A B) C Premise2. A Premise3. (C B) Assumption4. (A B) C 1 Impl5. A B C 4 DM6. B C 2,5 DS7. C B 6 Comm8. C B 7 Impl9. (C B) C B 3,8 Conj10. False 9 IP

Predicate Logic ต้รู้รู้กะที่��ว#าดี่�วยภาคขยาย

เราไดั้"ทราบื้ถ้8งตรรกะแบื้บื้ Proposition logic มาแล"วิ ในส*วินน�$จะเป7นส*วินท��เพ��มเต�มในการชิ*วิยีการขยีายีประโยีคในร!ปตรรกะ Predicate Logic หร�อ First-order Logic (FOL)

การแปลงร!ปประโยีคภาษาท��วิๆ ไป ในอยี!*ในร!ปส!ตรน�$เราเร�ยีกวิ*า Predicate Calculus

โดั้ยีม�ส�ญญาล�กษณ�พ�$นฐานดั้�งน�$ Predicate symbol เป7นต�วิอ�กขระต�$งแต* 1 ต�วิข8$นไป

เชิ*น P, Q, R, … Variable symbol เป7นต�วิอ�กขระต�$งแต* 1 ต�วิข8$นไป

เชิ*น x, y, z, … Function symbol เป7นต�วิอ�กขระต�$งแต* 1 ต�วิข8$นไป

เชิ*น f, g, h, ... Constant symbol เป7นต�วิอ�กขระต�$งแต* 1 ต�วิข8$นไป

เชิ*น A, B, C, … Bracket symbols และเคร��องหมายีวิงเล4บื้ต*างๆ เชิ*น

[], {}, (), … ส�ญญาล�กษณ�ต�วิเชิ��อมต*างๆ จะใชิ"เหม�อนก�บื้

Proposition Logic เชิ*น ~ &

Predicate Logic ต้รู้รู้กะที่��ว#าดี่�วยภาคขยาย

และส+ญญาล+กษณ์�ที่��แสดี่งปรู้�มาณ์ (quantifiers) ม�สองแบื้บื้คอ

x หมายถึ'ง บื้างส��ง บื้างอย#าง บื้างคน someone something x หมายถึ'ง ที่2กส��ง ที่2กอย#าง ที่2กคน everyone everything

Predicate Logic ต้รู้รู้กะที่��ว#าดี่�วยภาคขยาย

ต้+วอย#าง : ในรู้�ปแบื้บื้ฟั@งก�ชิ+ �น เชิ#น Father(x,y) ความหมายคอ x เป1นพ#อของ

y จงแปลงรู้�ปปรู้ะโยคต้#างๆ เหล#าน�� ให�อย�#ในรู้�ป

Predicate Calculus All dogs are mammals (x)

(Dx Mx) Some cats are mammals

(x)(Cx & Mx) ส�งเกตวิ*า ถ้"าใชิ" (x) จะใชิ"ส�ญญาล�กษณ�

ร*วิมก�น ขณะท��ถ้"าใชิ" (x) จะใชิ"ส�ญญาล�กษณ� & ท�$งๆ ท��ควิามหมายี = “ค�อ หร�อ ” is, are

แต้#โดี่ยรู้วมแล�วใชิ�ไดี่�เหมอนก+น

Example:

จงแปลงปรู้ะโยคให�อย�#ในรู้�ปแบื้บื้ปรู้ะโยค FOL “Every rose has a thorn” ดี่อกก2หลาบื้ที่2กต้�นม�หนาม

For all X if (X is a rose) then there exists Y

(X has Y) and (Y is a thorn)

44

Example:

จงแปลงปรู้ะโยคให�อย�#ในรู้�ปแบื้บื้ปรู้ะโยค FOL “On Mondays and Wednesdays I go to John’s

house for dinner”

ถึ�าเปล��ยนจาก “and” เป1น “or” การู้แปลก5จะม�ความหมายที่��เปล��ยนไป

45

LAB 4 Propositional Logic

1. จงต�$งประโยีคโดั้ยีใชิ"ภาษาธรรมดั้า แล"วิเปล��ยีนประโยีคน�$นให"อยี!*ในร!ปส!ตรPropositional Logic คนละ 1 ประโยีค

2. จงเปล��ยีนประโยีคต*อไปน�$ให"อยี!*ในร!ปของ Propositional Logic อาชิาค�อม"าต�วิหน8�ง ฝนตกเป7นน6$า น�กศ8กษาท��ต�$งใจเร�ยีนจะสอบื้ผ่*าน

LAB 4 Propositional Logic

p q ~p ~q ~p ~q

T T

T F

F T

F F

p q p q ~(p q)

T T

T F

F T

F F

จงใชิ�ต้ารู้างในการู้พ�ส�จน�ค#าน��~(p q) ~p ~q

3.

LAB 4 Predicate Logic

1. จงต�$งประโยีคโดั้ยีใชิ"ภาษาธรรมดั้า แล"วิเปล��ยีนประโยีคน�$นให"อยี!*ในร!ปส!ตร Predicate Logic คนละ 1 ประโยีค

2. จงเปล��ยีนประโยีคต*อไปน�$ให"อยี!*ในร!ปของ Predicate Logic หร�อ FOL

ม"าท(กต�วิเร4วิกวิ*าสน�ข