Cheng Capitulo 7v2

8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2

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David K. Cheng Captulo 7

INDICE DE EJERCICIOS

EJERCICIO 7.1 .......................................................................................Error! Bookmark not defined.

EJERCICIO 7.2 ........................................................................................................................................ 1

EJERCICIO 7.3 ........................................................................................................................................ 3

EJERCICIO 7.4 ........................................................................................................................................ 4

EJERCICIO 7.5 ........................................................................................................................................ 6

EJERCICIO 7.6 ........................................................................................................................................ 9

EJERCICIO 7.7 ...................................................................................................................................... 10

EJERCICIO 7.8 ...................................................................................................................................... 12

EJERCICIO 7.9 ...................................................................................................................................... 18

EJERCICIO 7.10 .................................................................................................................................... 19

EJERCICIO 7.11 .................................................................................................................................... 21

EJERCICIO 7.13 .................................................................................................................................... 22

EJERCICIO 7.14 .................................................................................................................................... 25

EJERCICIO 7.15 .................................................................................................................................... 27

EJERCICIO 7.16 .................................................................................................................................... 29

EJERCICIO 7.17 .................................................................................................................................... 31

EJERCICIO 7.18 .................................................................................................................................... 33

EJERCICIO 7.19 .................................................................................................................................... 34

EJERCICIO 7.20 .................................................................................................................................... 38

EJERCICIO 7.21 .................................................................................................................................... 41

EJERCICIO 7.22 .................................................................................................................................... 44

EJERCICIO 7.23 .................................................................................................................................... 46

EJERCICIO 7.24 .................................................................................................................................... 48


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EJERCICIO 7.25 .................................................................................................................................... 52

EJERCICIO 7.27 .................................................................................................................................... 56

EJERCICIO 7.28 .................................................................................................................................... 59

EJERCICIO 7.29 .................................................................................................................................... 60

EJERCICIO 7.30 .................................................................................................................................... 62

EJERCICIO 7.31 .................................................................................................................................... 63

EJERCICIO 7.32 .................................................................................................................................... 64

EJERCICIO 7.33 .................................................................................................................................... 64


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-1-

EJERCICIOS DEL LIBRO DE DAVID K. CHENG

CAPITULO 7

EJERCICIO 7.1

a)Obtenga las ecuaciones de onda que rigen los campos E y H en un medio conductor sin fuentes

cuyos parmetros constitutivos son , y

b)Obtenga las ecuaciones de Helmholtz para campos con dependencia armnica con el tiempo.

a)

dqqltE

tEE

t

EE

tE

t

EJ

tE

ExHt

EE

xHt

xEx

t

EJxH

conductormediounparaEJentonces

...0

0)()(

0

2

2

2

2

2

2

Para determinar H

dqqlt

H

t

HH

t

H

tt

HH

t

H

tt

H

HH

t

ExExH

t

HxE

...0

)(

2

22

2

2


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-2-

b)

dqqlHkHjH

EkEjE

khacemosSi

EEjE

EjjEE

HjE

k

EjH

HjE

onDemostraci

...0

0

:

22

22

22

22

2

2

0

0

:npropagaciodeContante

22

22

HH

EE

tenemosentoncesjj

PARA MEDIOS CONDUCTORES:

EJERCICIO 7.2

Se usa un radar Doppler de 1 (GHz) en tierra para determinar la posicin y velocidad de un aeroplano

que se aproxima. Suponga que la seal reflejada por el aeroplano a un ngulo de elevacin de 15.5

presento un retardo temporal de 0.3(ms) y un cambio de frecuencia de 2.64 (KHz), determine la

distancia, altura y velocidad del aeroplano.


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-3-

Ecuacin para el radar Doppler:

)1( CosVp

uftfr

)CosVp

uftftfr

Vp

u

EJERCICIO 7.3

Obtenga una formula general que exprese el favor )(RE en trminos de favor )(RH para una onda

transversal electromagntica y la impedancia intrnseca instantnea del medio, siendo R el vector deposicin.


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-4-

RHakRE

EakRH

ekiE

RH

Ej

RH

R

eERE

GENERALazZayYaxXRkZjYiXR

GENERALiki

eEzxE

zjxj

ZXo

ZX

Rj

o

ZX

zjxj

zx

zx

1

1

),( 0

EJERCICIO 7.4

La expresin de la intensidad de campo magntico instantneo de una onda plana que se propaga por el

aire en direccin +y esta dada por: 6 7 04*10 cos 104

zH a t k y A m

a) Determine 0k y al posicin donde se anula zH en 3t ms .b) Escriba la expresin de E instantneo.


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-5-

a)

7 12 7

*

10 8.85*10 * 4 *101.0476

Lk

rad m

6 74*10 cos 10 0.003 1.0476 =04

zH a y

1 7 1cos cos 10 0.003 1.0476 = cos 04

y

94227.8 1.0476 =4 2

y

1.0476 = 94247.8y

8964.7y m

b)

377

y

y x z

r y

y z

x

E a xH

S E H

a a a

a a

E a H a

E a H

X

X

ayktE

ayktE

410cos0015.0

410cos104377

0

7

0

76


8/67


-6-

EJERCICIO 7.5

El campoE de una onda plana que se propaga en un medio dielctrico est dado por

a) Determine la frecuencia y la longitud de onda.b) Cul es la constante dielctrica del medio?.c) Describa la polarizacin de la onda.d) Encuentre el campoH correspondiente.

a)


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-7-

..91.15

102

10

8

8

RtaMHzf

fw

w

..88.10

3

12

3

1

Rtam

b)

.3

10

1033

1

2

8

8

2

Rtaer

er

w

cer

c

urerw

c)

mVaytsenaxtCostE /10102)0,( 88

122010 EE


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-8-

Al ser E10 E20 se tiene una polarizacin elptica, para obtener la direccin hacemos

oa

a

E

Ea

56.26

2

1tan

tan

1

10

201

Dndonos una direccin de mano izquierda.

La Polarizacin de la onda es Elptica de Mano Izquierda. Rta.

d)

3

120

,,

er

o

laresperpendicusonEyHtzE

tzH

EH

./3

10cos23

10120

3,

3

120

310

310cos2

,

88

88

RtamAayz

taxz

tsentzH

ayz

tsenaxz

t

tzH


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-9-

EJERCICIO 7.6

Demuestre que una onda plana con la siguiente expresin del campo elctrico instantneo

)()(),( 2010 kztsenEakztsenEatzE yx

tiene polarizacin elptica.

)()(),( 2010 kztsenEakztsenEatzE yx

Asignamos z=0 para examinar el campo de direccin de E en un punto determinado a medida

que vara t.

),0(),0(),0( 21 tEatEatE yx

)()(),0( 2010 tsenEatsenEatE yx

)0(

),0()(

)0(

),0()(

1

1

2

2

E

tEtsen

E

tEtsen

)cos()()cos()()( tsentsentsen

)(1)()cos()()( 2 tsensentsentsen

2

1

1

1

1

2

2

)0(

),0(1)()cos(

)0(

),0(

)0(

),0(

E

tEsen

E

tE

E

tE

Ya que una onda con polarizacin elptica resulta de la superposicin de dos ondas polarizadas

linealmente una en la direccin x y otra en la direccin y y retardada 90 en la fase temporal.

1)(

0)cos(

sen

2

1

1

2

2

)0(

),0(1

)0(

),0(

E

tE

E

tE

Lo cual conduce a la siguiente ecuacin de una elipse:

1)0(

),0(

)0(

),0(2

1

1

2

2

2

E

tE

E

tE

Donde 2010 EE


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-10-

EJERCICIO 7.7

Una onda plana uniforme de 3GHz, polarizada en y, se propaga en la direccin +x en unmedio no magntico con constante dielctrica de 2.5 y tangente de prdidas de 0.05.

a) Determine la distancia a la cual se reducir a la mitad la amplitud de la onda viajera.b) Determine la impedancia intrnseca, la longitud de onda, la velocidad de fase y la

velocidad de grupo de la onda en el medio.

c) Suponiendo 950 (6 10 3)( / )y

E a sen t V m en x=0, escriba la expresin de H

instantneo para todo t y x.

a)

9 12

7

12

2

.

0.05(2 .3 10 )(8.85 10 )(2.5)

0.0208 /

0.0208 (4 10 )(1)

2 (8.85 10 )(2.5)

2.485 /

Tg

Tg

x x

S m

x

x

rad m

2

92

8

1. 1

8

2 .3 10 1(1)(2.5) 1 0.05

3 10 8

99.377 /

R Rc

x

x

rad m


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-11-

0.5

0.5

ln( ) ln(0.5)

ln(0.5)

ln(0.5)

ln(0.5)

(2.485)

0.279

z

z

z

e

e

e

z

z

z

z m

b)

43.1274.238961.520.238

0025.08

305.01

5.2

1120

83

21

2

j

j

[ ]

c)


14/67


-12-

9

60

1.43

58.56

9

2.485 9

50 (6 10 / 3)

50

238.274

0.2098

( , ) 0.2098 (6 10 58.56 )

( , ) 0.2098 (6 10 99.377 58.56 ) /

y

j

zj

j

z

xz

x

E Sen t a

eH a

e

H e a

H x t e Sen x t x a

H x t e Sen x t x A m

EJERCICIO 7.8

Determine y compare la impedancia intrnseca, la constante de atenuacin (tanto en Np/m como

en dB /m ) y la profundidad de penetracin del cobre.

)/(. mS10805 7cu

Y el bronce:

)/(. mS10591 7br

A las siguientes frecuencias:

a) 1 (MHz) y

b) 1 (GHz)

DESARROLLO:


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-13-

)(..

**

*)(

)/(.

)/(..*.

)/(.

*.*)*(*)*(*

***

*.

)*.(*)*(*)*(*

***

*

)/(*.

:

)

00026080j00026080

f

j1

mrad1915131

mdB516313142968681915131

mNp1915131

10805104101

f

m100866

10805104101

1

f

1

Hz101f

mS10805

Para

a

776

6

776

6

7cu


16/67


-14-

)(..

)*.(

)*(*)*(**)(

**

*)(

)/(*.

)/(..**.

)/(*.

*.*)*(*)*(*

***

)(*.

)*.(*)*(*)*(*

***

)(*

)/(*.

:

)

0082500j0082500

10805

104101j1

f

j1

mrad10513478

mdB9184156363686810513478

mNp10513478

10805104101

f

m10082

10805104101

1

f

1

Hz101f

mS10805

Para

a

7

79

3

3

3

779

6

779

9

7cu


17/67


-15-

)(..

)*.(

)*(*)*(**)(

***)(

)/(.

)/(..*.

)/(.

)*.(*)*(*)*(*

***

)(*.

)*.(*)*(*)*(*

***

)(*

)/(*.

:

)

00049820j00049820

10591

104101j1

fj1

mrad797922

mdB3539688176868797922

mNp797922

10591104101

f

m1021126

10591104101

1

f

1

Hz101f

mS10591

Para

b

7

76

776

6

776

6

7br


18/67


-16-

)(..

)*.(

)*(*)*(**)(

***)(

/*.

)/(..**.

)/(*.

)*.(*)*(*)*(*

***

)(*.

)*.(*)*(*)*(*

***

)(*

)/(*.

:

)

015750j015750

10591

104101j1

fj1

mrad1054250

mdB44217619068681054250

mNp1054250

10591104101

f

m10993

10591104101

1

f

1

Hz101f

mS10591

Para

b

7

79

3

3

3

779

6

779

9

7br

COMPARACIONES:a)Impedancia intrnseca a 1 (MHz) para:Cobre : 0.0003688

Bronce : 0.0007045

Constante de atenuacin a 1 (MHz) para:Cobre : 15131.19 Np/m =131429.51 Db/mBronce : 7922.79 Np/m =68817.3539 Db/m

Profundidad de penetracin a 1 (MHz) para:Cobre : 66.08*10

-6 m

Bronce : 126.21*10-6

m

b)Impedancia intrnseca a 1 (GHz) para:Cobre: 0.0116672

Bronce: 0.022273


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-17-

Constante de atenuacin a 1 (GHz) para:Cobre: 478513 Np/m =4156363.9Db/m

Bronce: 250540 Np/m =2176190.44 Db/m

Profundidad de penetracin a 1 (GHz) para :

Cobre: 2.08*10-6 mBronce: 3.99*10-6 m


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-18-

EJERCICIO 7.9

Si la profundidad de penetracin del grafito a 100 MHz es 0.16mm, determine. a) La

conductividad del grafito y b) la distancia que se propaga una onda de 1 GHz en el grafito antesde que su intensidad de campo se reduzca en 30 dB.

DATOS:

1

16.0

100

grafitodel

mm

Mhzfe

r

a)

:11

dondef

76232 104101001016.011

f

m

s4109.9

b)

dBNp 69.81

479 109.910410 f

m

Np41098.1

xdB

NpdB

30

169.8

Np

dB

NpdBx 45.3

69.8

130

m

Np

Npnciadista

41098.1

45.31

mmnciadista 175.0


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EJERCICIO 7.10

Hay un continuo debate sobre los riesgos de la radiacin para la salud del ser humano. Los

clculos siguientes sirven para una comparacin a grandes rasgos.

a) En estados unidos la norma de seguridad personal para trabajo con equipos demicroondas es que la densidad de potencia sea inferior a 10(mW/cm

2

). Calcule la normacorrespondiente en trminos de la intensidad de campo magntico.

b) Se estima que la tierra recibe energa radiante del sol a razn de unos 1.3(KW/m 2) en unda soleado. Suponga que se trata de una onda electromagntica plana (que no lo es) ycalcule las amplitudes equivalentes de los vectores de intensidad de campo elctrico ymagntico.

a)

2 2

*

2

10 100

1x H

2

.

H=

1. x

2

1cos( ) 100

2

Medio sin peridas:

0

120

120 120 .200 274.cos( )

AV

j z

m

j zm

j z j zmAV m j

AV

mW W

cm m

S RE E

E E e i

Ee j

ES RE E e i e j

e

ES

E

5 /

274.50.728 A/m

120

V m

EH


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-20-

b)

AV 2

AV 2

*

AV

2

S 1.3

S 1300

1S x H

2

.

H=

1. x

2

1cos( ) 1300

2

Medio sin peridas:

0

120

120

cos(

j z

m

j zm

j z j zmm j

AV

KW

m

W

m

RE E

E E e i

Ee j

EE RE E e i e j

e

ES

E

8

8

88

( .3 10 )

( .3 10 )

120 .2600 990.038 /)

990.0382.626 A/m

120

.3 103 10

990.038.

H= 2.626

j x z

j x z

V m

EH

xc x

E e i

e j


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-21-

EJERCICIO 7.11

Demuestre que el vector de pointing instantneo de una onda plana con polarizacin circular

que se propaga en un medio sin perdidas es una constante independiente del tiempo y de ladistancia.

)()()( tHtEts

Desplazamiento en x.

M.S.P

=0

kejEjeEkejEjeEE xjxjxx

jeE

jkeE

jeE

jkeE

H xjxjxx

keeEjjeeEE xjjxjj

jeeE

jkeeE

H xjj

xj

j

)()( jwteEREtE

kxtwsenEjxtwEtE

)()cos()(

jxtwsenE

kxtwE

tH

)()cos()(

)()()( tHtEts


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-22-

ixtwsenE

ixtwE

ts

)()(cos)( 22

2

2

iE

ts

2

)(

EJERCICIO 7.12

Suponga que la intensidad de campo elctrico de radicacin de un sistema de antenas es

E=aE+ aE , determine la expresin de la intensidad del flujo de potencia media que parte

por unidad de area.

)(1

)(1

1

EaEaH

axEaEaH

axEH

EaEaE

R

R

22

22

2

1

*

***

*)Re(2

1

EEaPav

aEEHxE

EaEaxEaEaHxE

HxEavP

R

R

EJERCICIO 7.13


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-23-

Desde el punto de vista del electromagnetismo, la potencia transmitida por un cable coaxial sin

prdidas puede calcularse en trminos del vector de Poynting dentro del medio dielctrico que

hay entre el conductor interno y el revestimiento externo. Suponga que la aplicacin de un

voltaje de corriente continua Vo entre el conductor interno (radio a) y el revestimiento externo

(de radio interno b) ocasiona el flujo de una corriente I por una resistencia de carga. Compruebe

que la integracin del vector de Poynting sobre la seccin transversal del medio dielctrico esigual a la potencia VoI que se transmite a la carga.

Comenzamos calculando el campo elctrico del conductor interno.

ka

IJE

2

Ahora calcularemos el H en el dielctrico es decir entre a y b.

r

IH

HrI

HdlI

2

)2(

El vector Poynting (P)esta dado por:

r

ra

IP

r

IXk

a

IP

22

2

2

2

2

Integrando P a travs de la superficie transversal del dielctrico, tenemos:


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-24-

ra

lIPot

dzrdra

I

Pot

drrra

IPot

l

2

2

0

2

0

22

2

22

2

2

2

Como2

a

l

= R

VoIPotIIRPot

RIPot

.

2


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-25-

EJERCICIO 7.14

Una onda plana uniforme en el aire con )/)(10(50),( 8 mVxtsenatxE yi incide

normalmente sobre un medio sin perdidas ( 0,8,2 rr ) en la regin .0x

Determine:

a) Er y Hr.b) ySy ,, c) Et y Hi.

Para el aire es un medio sin perdidas 0,1,1 rr

Primero calculamos las impedancias intrnsecas:

3

4

120240

240*2

3

1

120240

120240

2402

8120120

120

2

r

r

aire

3

4

3333.0

2

3

11

3

11

1

1

222

111

rr

rr

c

c

S


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-26-

Ahora calculamos los valores de los campos elctricos y magnticos, reflejado y transmitido:

)/)(333.010(..3

50),(

)/)(10(..50),(

8

8

mVxtsenatxE

mVxtsenatxE

yr

yr

)/)(333.010(.0442.0.),(

)/)(333.010(..120

666.16),(

)/)(10(666.16

.),(

8

8

8

mVxtsenatxH

mVxtsenatxH

mVxtsenatxH

Zr

Zr

Zr

Ahora la Onda Transmitida:

)/)(3/410(..3

200),(

)/)(10(..50),(

8

8

mVxtsenatxE

mVxtsenatxE

yt

yt

)/)(3/410(.08841.0.),(

)/)(3/410(..240

3/200),(

)/)(3/410(3/200

.),(

8

8

8

2

mVxtsenatxH

mVxtsenatxH

mVxtsenatxH

Zr

Zr

Zr


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-27-

EJERCICIO 7.15

Una onda plana uniforme se propaga en la direccin z (hacia abajo) hacia el ocano (72r , 1r , )/(4 ms ). El campo magntico en la superficie del ocano ( 0z ) es

jttH )10cos(3.0)0,( 8 (A/m).

a) Determine la profundidad de penetracin y la impedancia intrnseca del agua delocano.

b) Determine las expresiones de ),( tzE y ),( tzH en el ocano.c) Calcule la perdida de potencia media por unidad de rea en el ocano como funcin de z

Solucin:

Verificamos el factor

para aplicar las aproximaciones.

36

107210

49

8

xx

20

Como el factor

>>1 aplicamos las formulas aproximadas de un buen conductor.

a)

853.15

2

)4)(104(10

2

78

x

707.060.5

)1(963.3

)1(4

853.15

)1(

je

jx

j

j

3.10079.63

853.15

1

1

x


30/67


-28-

b)

izteEtzE z )cos(),( 0

00 HE

HE

707.0

0

60.5

3.0

e

H

iztetzH

Ho

iztetzE

iztetzE

izteHtzE

izteHtzE

z

z

z

z

z

)853.1510cos(3.0),(

3,0

)707.0853.1510cos(68.1),(

)707.0853.1510cos(60.5)3.0(),(

)cos(),(

)cos(),(

8853.15

8853.15

8853.15

0

0

c)

keS

kradeS

keHES

keeHES

jeeHxieeeES

eeHxeeeES

HxES

z

AV

z

AV

z

AV

jz

AV

zjzjzjz

AV

zjzjzjz

AV

AV

n

n

n

7.31

)853.15(2

2

00

2

00

00

*

00

*

1782.0

)]707.0cos()3.0)(68.1[(2

1

)]cos([2

1

]Re[2

1

]][Re[

2

1

]][Re[2

1

]Re[2

1


31/67


-29-

EJERCICIO 7.16

Obtenga las razones siguientes para las ondas planas uniformes en un medio 1 que inciden

normalmente sobre una superficie de separacin plana con un medio 2:

a)0

0

i

r

H

H y compare el resultado con el coeficiente de reflexin de la ecuacin:

12

12

0

0

i

r

E

E

b)0

0

i

r

H

H y compare el resultado con el coeficiente de reflexin de la ecuacin:

12

2

0

0 2

i

r

E

E

a) Condiciones de Frontera:

0102

xtgxtg HH iT HH

riT HHH ir HH

iii HHH

1

0201

xtgxtg EE 1

Tri EEE 12

121

Tri HHH 211 12

22


32/67


-30-

iii HHH 211

211 Comparando las ecuaciones obtenidas con las

)1(1 21 ecuaciones dadas del campo elctrico son las

2211 mismas, y esto es razonable ya que los coeficientes

12

12

de reflexin y transmisin no varan si tomamos el

campo elctrico o magntico.


33/67


-31-

EJERCICIO 7.17

Una onda plana con polarizacin circular de mano derecha, representada por el favorzj

yxoz ejaaEE )( incide normalmente sobre una pared conductora perfecta en z=0.

a) determine la polarizacin de la onda reflejada.

b) calcule la corriente inducida sobre la pared conductora.

c) obtenga la expresin de la intensidad elctrica total instantnea utilizando una referencia de

tiempo coseno.

a) Incidente reflejada

ak = az ak = -az

zdireccin

conizquierdamanodecircularnpolarizaciejaaEozr

ejaaEozi

zj

yx

zj

yx

)()(

)()(

b)


34/67


-32-

zjzjxy

zj

xy

zj

xy

eejaaozH

ejaao

zHr

ejaao

zHi

)(

)(

)(

zjzj

y

zjzj

x

yx

zyx

zjzjzjzj

eeo

jaeeo

a

HH

aaa

Js

eeo

yHeeo

xH

0

100

)(;)(

yx

yx

yx

yx

zjzj

jaao

sJ

zjaazo

Js

jaazjsenzzjsenzo

Js

jaaeeo

Js

2

0cos2

coscos

c)

yxyx

zjzj

yx

jaazosenz

zjsenzzjsenzjaaoz

eejaaoz

zrziz

2)(

coscos)(

)(

)()()(

tatsenazosentz

tjsentatsentja

tjsentatsentjazosentz

ejaazosentz

yx

yx

yx

tj

yx

cos2),(

coscos

coscos2Re),(

2Re),(


35/67


-33-

EJERCICIO 7.18

Determine la condicin en la cual la magnitud del coeficiente de reflexin es igual al coeficientede transmisin de una onda plana uniforme que incide normalmente sobre una superficie de

separacin entre dos medios dielctricos sin perdidas.

Cul es la razn de onda estacionaria en dB para esta condicin?

Para una onda normal incidente

1 , donde 1

Si : 1

221 2

21 3

2

1

31

1

S

dBSdB 54.93log20 10


36/67


-34-

EJERCICIO 7.19

Una onda plana uniforme en el aire con zji ez 6

x10aE [V/m] incide normalmente sobre

una superficie de separacin en z = 0 con un medio con prdidas que tiene constante dielctrica

de 2.25 y tangente de prdidas de 0.3. Encuentre lo siguiente:

a) Las expresiones fasoriales de Er(z), Hr(z), Et(z), Ht(z).b) La razn de onda estacionaria para la onda en el aire.c) Las expresiones de los vectores de Poynting de media temporal en el aire y en el medio con

prdidas.

a) 1201 aire

25.2r

3.0tan

c

s

rad9127

10*8.110*854.8*10*4

6

*

0107.025.2*10*854.8*10*8.1*3.0

3.0

3.0

129


37/67


-35-

96.376.251

34.899.245

25.2*10*854.8*10*8.10107.0

10*4*10*8.1

3.0

2

2

129

79

2

2

2

j

j

j

j

j

j

j

7.159

12

12

208.07.159208.0

0722.01951.0

12096.376.251

12096.376.251

je

j

j

j

7.159

0

0 208.0 j

i

r eE

E

7.159

0

7.159

0

0

7.159

0

08.2

x10208.0

x208.0

j

r

j

r

i

j

r

eE

eE

EeE

zjj

zj

r

eez

eEz

67.159

xr

0xr

08.2aE

aE 1

mV08.2aE 7.1596xr zjez


38/67


-36-

7.1596

yr

1

0xzr

120

08.2aH

aaH 1

zj

zjr

ez

eE

z

mA0055.0aH 7.1596yr zjez

1.5808.0

123.58081.0

0722.08049.0

0722.0195.01

1

je

j

j

1.5

0

0 808.0 j

i

t eE

E

1.5

0

1.5

0

0

1.5

0

08.8

x10808.0

x808.0

j

t

j

t

i

j

t

eE

eE

EeE

zjr eEz 20xt aE

zjj eez 10.91.5xt 08.8aE

mV08.8aE 1.510.935.1xt zjzeez

57.844.254


39/67


-37-

4.310.9

yt

1

0xzt

57.844.254

08.8aH

aaH 1

zj

zjr

ez

eE

z

mA032.0aH 4.310.935.1yt xjzeez

b)

208.01

208.01

1

1

s

s

53.1s

c)

2

2

z1

2

1

2

0z1

208.01120x2

10a

12

a

av

iav

E

2z1 W/m127.0aav

21.5

58.8

2

z2

2

2

2

0z2

808.04.254x2

10a

2a

j

jav

iav

ee

E


40/67


-38-

270.2z2 W/m127.0a eav

EJERCICIO 7.20

Una onda plana senoidal uniforme en el aire tiene la siguiente expresin fasorial para la

intensidad elctrica: )/(10),( )86( mVeazxE zxjyi

La onda incide sobre un plano conductor perfecto en z = 0.

a) Calcule la frecuencia y la longitud de ondab) Escriba las expresiones de Ei(x, z; t) y Hi(x, z; t) instantneos.c) Determine el ngulo de incidencia.d) Determine Er(x, z) y Hr(x, z) de la onda reflejada.e) Determine El(x, z) y Hl(x, z) del campo total en el aire.

a.


41/67


-39-

m

MHzf

segradxf

f

segradx

xc

c

sen

i

i

i

i

i

i

628.0

1022

464.477

2

/103

2

**2

103

)103(*10*

869.36

8

6tan

10

643686

8cos

6

9

9

8

1

1

22

1

1

1

b.

Como es incidencia oblicua:

Y como ya tenamos el dato:

|| El vector unitario incidente es:

||

)86cos(10);,(

10,1 00

zxtatzxE

EiEr

yi


42/67


-40-

Entonces H se expresa de la siguiente manera:

( )

c.

869.36

75.0tan

8

6tan

1

1

i

i

i

d.

)86(

00

10),(

10,1

zxj

yr eazxE

EiEr

Entonces H se expresa de la siguiente manera:

( )

Expresando de manera instantnea:

( )

e.


43/67


-41-

)8(20),(

)(10),(

)10(10),(

),(),(),(

6

1

688

1

)86()86(

1

1

zsenejazxE

eeeazxE

eaeazxE

zxEzxEzxE

xj

y

xjzjzj

y

zxj

y

zxj

y

ri

( ) ( ) ( )

EJERCICIO 7.21

Una onda plana uniforme con polarizacin perpendicular incide oblicuamente sobre una

frontera plana con 0210201 ,25.2, . Suponga Ei0 = 20 (V/m), f = 100(MHz) y i= 30

o.

a) Calcule los coeficientes de reflexin y de transmisin.


44/67


-42-

mVExE

E

E

CosCos

Cos

CosCos

CosCosCos

CosCos

CosCos

CosCos

SenCos

SenCos

SenCos

SenSen

mrad

xxxx

mrad

xxxx

t

t

i

t

ti

i

ti

ti

t

t

it

it

it

r

r

r

r

/18.15

20759.0

759.0461.191203032.251

3032.25122

241.0

461.191203032.251

461.191203032.251

461.19

30144.3

095.21

1

1

/144.3

25.210854.8104101002

/095.232.251

10854.810410100225.2

1120

120

120

120

0

0

0

0

12

2

12

12

0

2

2

2

2

2

1

22

2

12

2

1

2

1276

2

12

1276

12

1

2

22

1

1

11

b) Escriba la expresin de );,();,( tzxHytzxE tt instantneos.


45/67


-43-

mAkizxtxCosH

kSeniCoszxtxCosH

mVjzxtxCosE

jeEE

jeEE

t

ttt

t

tztxsenj

tts

tztxsen

tts

/33.094.096.205.1102000604.0

96.205.11020018.15

/96.205.11020018.15

6

6

2

6

cos2

0

cos2

0


46/67


-44-

EJERCICIO 7.22

Una Onda plana uniforme con polarizacin paralela incide oblicuamente sobre una frontera

plana con ,,25.2, 0210201 como se ilustra en la figura 7-15. Suponga

30100),/(053.00 ii yMHzfmAH

a) Calcule los coeficientes de reflexin y transmisin.b) Escriba la expresin de ),,(),,( tzxHytzxE tt instantneos.

32.251

25.2

1120

120

120

120

1

1

2

2

2

1

1

1

1

r

r

r

r


47/67


-45-

mradxxxx

mrad

xxxx

/144.325.210854.8104101002

/095.2

10854.8104101002

2

1276

2

1

1276

1

1

461.19

30144.3

095.21cos

1cos

cos1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

12

2

1

t

t

it

it

it

sen

sen

sen

sensen

a) Calcule los coeficientes de reflexin y transmisin.

1588.0

445.563

522.89

483.32696.236

483.32696.236

30cos120461.19cos32.251

30cos120461.19cos32.251

coscos

coscos

12

12

0

0

it

it

i

r

E

E


48/67


-46-

772566.04455.563

299.435

4838.32696.236

299.435

30cos120461.19cos32.251

30cos32.2512

coscos

cos2

0

0

0

0

12

2

0

0

i

t

i

t

it

i

i

t

E

E

E

E

E

E

b)Escriba la expresin de ),,(),,( tzxHytzxE tt instantneos.

Hi0=0.053 (A/m)

mAzxaytzxHmVzxazaxtzxE

eayzxH

eazaxzxE

mVxEE

mVesenaazxEmAeayzxH

mrad

mradx

x

c

w

dondede

eayzxH

tt

tt

zxj

t

zxj

i

it

zxj

zxi

zxj

i

r

zxse nj

iii

/96.205.1102cos061.0;,

/96.205.1102cos33.0943.042.15;,

061.0,

33.0943.042.15,

/42.1598.19772.0

/5.0866.098.19,/053.0),(

/

/3

2

103

102

:

053.0),(

8

8

96.205.1

96.205.1

00

3/cos3/

3/3/

2222

8

8

1

cos1

EJERCICIO 7.23


49/67


-47-

a. Proponga un mtodo para medir la densidad mxima de electrones en la ionosferab. Suponiendo que 11max 108N por metro cbico, analice la frecuencia mnima que

puede usarse en la comunicacin con una estacin especial ms all de la ionsfera.c. Qu sucede para una incidencia oblicua sobre la ionsfera si se emplea una frecuencia

ms baja?

a)

0

2

2

m

Nefpp

Donde:

N: Nmero de electrones

:e carga del electrn

:m masa del electrn

:pf frecuencia del plasma

2

2

2

0

2

0

22

012404.0

2

2

p

p

p

fN

f

e

mN

m

Nef

De esta manera obtenemos un mtodo para determinar el nmero mximo de electrones enfuncin de la frecuencia del plasma, lo que se tendra que realizar es enviar una seal a unfrecuencia baja y medir la seal de retorno, ya que si existe seal de retorno indica que lafrecuencia usada es menor a la del plasma y la onda se reflejo, entonces vamos aumentando lafrecuencia hasta no detectar onda reflejada, entonces esa frecuencia ser la frecuencia delplasma y as podemos usar la frmula anterior y encontrar la densidad mxima de electrones.

b) 04.810899 11

max Nf MH

c)Qu sucede para una incidencia oblicua sobre la ionsfera si se emplea una frecuencia msbaja?

Al tener una frecuencia de plasma de 8.04MHz, e ingresamos un frecuencia ms baja, estaseales no puede penetrar la capa especificada y se producir una reflexin, la cual incidir en el

suelo y nuevamente se reflejar hacia la ionosfera, realizando mltiples saltos lo que permite


50/67


-48-

que pueda propagarse a grandes distancias alrededor de la Tierra debido a las reflexiones

mltiples entre la frontera de la ionsfera y la superficie de la Tierra.

EJERCICIO 7.24

Una onda plana uniforme incide en la ionosfera con un ngulo de incidencia i = 60. Supongauna densidad constante de electrones y una frecuencia de la onda igual a la mitad de lafrecuencia de plasma de la ionosfera. Determine:

a) y

b) y

medio 1: Aire

medio 2: Ionosfera

2

12060

1

21

P

i

Donde Pes la frecuencia de plasma:

81

81

1

1

10.6

10.3

2

0

P

P

j

j

cj

j


51/67


-49-

Para la ionosfera tenemos:

2

02 1

f

fj P


52/67


-50-

02

8

7

2

2

2

33

120340

310

2

10.42

jjj

j

j

P

P

Otra Forma de encontrar la impedancia del medio dos y las funciones trigonomtricas delngulo de transmisin es:

3

2

3/14

2

1

2

1

2

0

00

2

0

2

0

j

j

ffp

f

fp

j

ffp

f

fp

2

5)2/(1

260

3

2

0

2

jtCos

jSen

jiSentSen

Entonces encontramos los coeficientes de reflexin y transmisin:

a)


53/67


-51-

8

15

1

8

151

16

15216

16

151515

15

15

15

15

)2/1)(3/()2/5(

)2/5(2/13/

coscos

coscos

2

00

00

21

12

j

j

j

jjj

j

j

j

j

j

j

iT

Ti

b)

0522,75

00

00

21

12

4

15

4

1

8

153515

53

53

53

35

2

5

32

1

2

1

2

5

3

coscos

coscos

j

Ti

iT

e

j

jj

j

j

j

j

j

j


54/67


-52-

0

0

76,307

522.75

94868,0

5

3

4

15

4

3

2

5

60cos1

cos

cos1

j

j

T

i

e

j

e

EJERCICIO 7.25

Una onda electromagntica de (10KHz) en el aire, con polarizacin paralela, incide

oblicuamente sobre la superficie del ocano con un ngulo casi rasante = 88. Usando r=81, r = 1 y = 4(S/m) para el agua de mar, encuentre (a) el ngulo de refraccin r (b) elcoeficiente de transmisin , y (c) la distancia bajo la superficie del ocano donde la intensidadde campo ha disminuido en 30 (dB).

f = 10 KHz 88i 81e 1r 4

a)

2

11

1

B

Bsensent

(aire) 644,20932021 00 EEfB


55/67


-53-

(ocano)

3381.3972

3386.3973381.397

812

41812

2

0

002

EB

EjE

fjfj

318.30

3386.397

644.209881

Et

e

esensent

b)

120

coscos

cos2

1

12

211

it

i

3345.993346.99

812

41

81

0

0

0

2

EjE

fj

519.03527.011 jE

c)

De :2 3381.3972 E

30

)10ln(

ln20

30log20 10

z

z

e

dBe

mz

z

z

691.8

20

)10ln(30

20

)10ln(30

EJERCICIO 7.26

Un rayo de luz incide oblicuamente desde el aire sobre una lmina transparente de

grosor d cuyo ndice de refraccin es n, como se muestra en la figura 7.16. El ngulo de

incidencia es i. Encuentre (a) i, (b) la distancia l1 al punto de salida y (c) la cantidad

de desplazamiento lateral l2 del rayo emergente.


56/67


-54-

a) Por la ley de Snell:

2

1

i

t

Sen

Sen

2

11

1

i

t

Sen

Sen

it SenSen

1

b)

dCos

Senl

dl

d

l

t

t

t

t

1

1

1

tan

tan

i

t

i

t

itt

Sen

Cos

SenCos

SenSenCos

22

2

22

2

2 111


57/67


-55-

dSen

Senl

dSen

Sen

l

i

i

i

i

221

221

1

c)

t

ti

i

titi

t

ti

Cos

SenCos

dSendl

SenCosCosSenCos

dSenRSl

2

2 )()(

i

i

ii

Sen

Sen

CosdSendl

222

i

ii

Sen

CosSendl

222 1


58/67


-56-

EJERCICIO 7.27

Una onda plana uniforme con polarizacin perpendicular, representada por las ecuaciones (7-

135) y (7-136), incide sobre una superficie de discontinuidad plana en z=0, como se ilustra en la

figura 7-14. Suponga 2c, a) Obtenga las expresiones fasoriales del campo transmitido(Et, Ht) y b) compruebe que la potencia media transmitida en el medio 2 es cero.

a) Ecuaciones de la onda incidente:

Ya que no se especifica otra cosa en el problema, es necesario suponer que: 1=2, ya que deotra forma no sera posible analizar el problema.

jEi

)(

01 ii CoszSenxj

i eE

)(

1

0 1)( ii CoszSenxj

iii eSenCos

E

kiHi


59/67


-57-

Aplicando la ley de Snell de la reflexin:

El hecho de que 2


60/67


-58-

Debe tomarse en cuenta que para la ecuacin anterior tomamos el signo negativo de la

expresin para Cos t porqu de lo contrario la amplitud de la onda crecera al incrementarse z,lo cul es ilgico.

Si definimos los coeficientes de la expresin anterior de la siguiente forma, entonces podramos

expresar el campo en su forma tpica:

Entonces se puede expresar la intensidad de campo elctrico transmitido como:

Donde T, 2y 2xvienen dados por las ecuaciones halladas anteriormente.

Ecuacin de la intensidad de campo magntico de la onda transmitida:

jEt

1

0

2

2

1

2

12 ii SenjzSenxj

i eET

jEt

zSenxSenj

i

ii

eET

1

0

2

2

12

2

12

jEt

xSenjzSen

i

ii

eET

2

12

2

2

12 1

0

12

2

122 iSen

ix Sen

2

122

jEt

xjz

ixeET 220

xjz

ttt xeSenCosE 22)(2

kiHt

xjz

ii

i xeSenSenjET

22

2

12

2

1

2

0 1

kiH

t

xjz

ii

i xeSenjSenET

2212

2

1

2

1

2

0

ikHt

ikH

t

12

2

1

2

1

2

0 22ii

xjzi SenjSeneET

x


61/67


-59-

La expresin de la intensidad de campo magntico transmitida tambin est en una forma tpica,

en esta expresin 2y 2xvienen dados por las ecuaciones que se hallaron antes.

b) Clculo de la potencia media transmitida:

Para llegar al ltimo resultado se observa que la componente de potencia que se transmitira al

medio 2 (en la direccin de k) es imaginaria, y por lo tanto al tomar la parte real de la expresin

se elimina.

Por lo tanto se demuestra que no hay potencia media transmitida al medio 2.

Se observa tambin que toda la potencia media fluye en direccin paralela a la interfaz, ya que

la potencia est en la direccin de i, o sea en una de las direcciones sobre la que se extiende la

interfaz.

EJERCICIO 7.28

Una onda plana uniforme con frecuencia angular w en el medio1 con ndice de refraccin 1incide con el ngulo critico sobre una superficie de discontinuidad plana en z = del medio zcon ndice de refraccin 2(2

*tttAV HES Re

2

1

kiS tAV

1Re

2

1 2

2

1

2

12

2

2

0 2ii

ziSenjSene

ET

iStAV

i

ziSene

ET

2

12

2

2

0 2

2

1


62/67


-60-

.2

2

2

2

1

21

2

1

21

2

12

2

12

2

oSenCos

SenCos

Eio

Eto

tCosCos

cCos

Eio

Eto

tCosCos

Cos

Eio

Eto

c

i

i

b)

1

2

12

2

12

2

2

)2/(

2

2

Eio

Eto

CosCos

Cos

Eio

EtoCosCos

Cos

Eio

Eto

i

i

it

i

c)

Ei(x,z,t) = yEioe-j(wt+Bi(Sen

i+zCos

i) )

Ei(x,z,t) =yEioCos(wt-ixSeniizCosi)

tttoy zCosxSenwtCosEtzxEt 2.),,(

it

ti

SenSen

SenSen

1

2

21

iiioy SenSenzCosSenxwtCosEtzxEt

1

21

1

2

22.),,(

EJERCICIO 7.29

Una Onda electromagntica que surge con polarizacin perpendicular de una fuente

subacutica incide sobre una superficie de separacin agua- aire con un ngulo i = 20 grado.Usado r = 81 y r = 1 para el agua dulce, calcule:

a) el ngulo crtico c .

b) el coeficiente de reflexin

c) el coeficiente de trasmisin


63/67


-61-

d) la atenuacin en dB para cada longitud de onda en el aire.

1

1

1

81

20

2

1

2

1

0

r

r

r

r

i

1

21

r

r

c Sen

Para la atenuacin en dB para cada longitud de onda, primero se calcula la atenuacin en

Neppers.

j0.331.89

j0.6150.7881

1

j1.34037.971

j0.6150.788

11)j41,86(2.9377cos2011)j41,86(2.9377cos20

tcos

1n

1cos

2n

tcos

1n

1cos

2n

j2.9111i

sen

2

1j

tCos

8879,41)12081x(8.85x1

7x10*4

n1

6,38c

81

11Senc

2


64/67


-62-

mNp

senB

29.18

)911.2(2

12 12

2

1

Y luego pasamos a dB.

m

dB158,88.

1

)(log20

18.29 10

Np

dBe

m

Np

EJERCICIO 7.30

Los prismas triangulares issceles de vidrio, como se muestra en la figura 7-17, se usan

comnmente en los instrumentos pticos. Suponiendo que Er=4 para el vidrio, calcule el

porcentaje de potencia luminosa incidente que refleja el prisma.

En la luz incidente, primero ver la superficie de la hipotenusa.

1

21

2 0

20 0 21 2

2 2 0

0

2

4

i

i

Pav

Pav

Las reflexiones totales ocurren dentro del prisma a ambas superficies sesgado porque

0 1 0145 sin 30

2

i

En la salida del prisma

1

20 0 222 2

0 2 0

4Pav

Pav

Por la tanto


65/67


-63-

2

0 0 2

2

2 0

2

0

2

2

0

2

0

4

4

1

4 4

1 4

0.79

i

r

i r

i

i

Pav

Pav

Pav E

Pav E

Pav

Pav

Pav

Pav

EJERCICIO 7.31

Es costumbre revestir las fibras pticas con un material de bajo ndice de refraccin para evitarla interferencia procedente de ondas en las fibras vecinas y como proteccin mecnica comopuede verse en la figura donde n2


66/67


-64-

b)

si n1=2, n2=1.74 y n0= 1

0

1

1

1

221

2

2

2

1

0

1

4.80

9861.0

9724.0

0276.34

74.121

1

1

a

a

a

a

a

a

sen

sen

sen

sen

nn

n

sen

EJERCICIO 7.32

Demuestre que en la condicin de no reflexin en una superficie de separacin, la suma del

ngulo de Brewster y el ngulo de refraccin es / 2 para:

a) Polarizacin perpendicular 1 2( ) b) Polarizacin paralela 1 2( )

2/cos

1

11cos

1

1

2/cos

1

11cos

1

1

2

1

2

2

2

1

2

1

21

2

1

2

2

2

1

2

1

BtBt

Bt

B

BtBt

Bt

B

seno

sen

seno

ParalelanPolarizaciPara

sen

sen

sen

EJERCICIO 7.33

Para una onda incidente con polarizacin paralela, determine la relacin entre el ngulo crticoc y el ngulo de Brewster B para dos medios contiguos de la misma permeabilidad.


67/67


El ngulo critico es:

1

2

cSen

2

11

1

BSen

21

22

BSen

BB SenCos 21

BcB

B

B

BB

B

B

B

TagSenTag

Tag

CosSenTag

Cos

Cos

Cos

1

2

21

1

21

2

21

1

21

221

21

21

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Cheng Capitulo 7v2