1.NORMAL DAILIMDoada meydana gelen bir ok olayn sonucu normal dalma benzer bir dalm gsterdii iin, normal dalm srekli verilerin dalmlarnda kullanlan en nemli dalmdr. rnek olarak insan kannda llen homoglobin, eker deerleri, su debisindeki deiim, ya miktar gibi deikenler normal dalma uygunluk gsterir.Normal dalma ait olaslk fonksyonu aada verilmitir;

f (x)= 1222e1/2 (x)

2

2

Burada e=2.718 ve =3.1416dr. Formlde yer alan < m diye okunur > ans deeri x' in ortalamas iken de varyansdr. Buradan da anlalaca zere ve normal dalmn parametreleridir.

Normal dalm erisi kartezyen dzlemde aadaki gibi izilir.

Normal dalm erisinin ekli normal dalm parametreleri olan ve 'nin deerine gre deiiklik gsterir.

Yukardaki dallara gre A ve B nin ortalamar ayndr ve C nin ortalamas onlardan daha byktr. Buna karn B ve C nin varyanslar ayn iken A nin varyans dierlerinden daha kktr;

A=B A

Bu bilgilere gre; sivri olan A nn dalnda varyans daha kk olmakla birlikte c ile ayn varyansa sahip B nin ortalamas C den daha kktr. Baka bir deile grafiin x eksenindeki yerini gsterir, 'nin deeri artarsa grafik y ekseninden uzaklar. Buna karn bir dal ls olan 'nin deeri deiirse grafiin yanlzca ekli deiir. 'nin deeri klrse grafik y ekseni zerinde sivrilir, aksi taktirde y ekseni zerinde basklar.

Normal Dalmn zellikleri:1. Dal simetrik olup tam ortaya den mod, medyan ve ortalama birbirine eittit.2. Dal erisi yatay ekseni + ve sonsuz arasnda sonsuza gider,3. Grafik an biimindedir.4. Grafiin tek bir dnm noktas vardr.

1.1.Normal Dalmda Olaslk HesabNormal dalmda olaslk erinin altnda kalan alann hesaplanmas ile elde edilir ve bu da normal dalm fonksyonun integralinin alnmas ile gerekleir.

Normal Dalm fonksyonun altnda kalan alan yani olaslklar toplam 1 e eittir.+ f (x )dx=1

Bu fonksyonun integralinin alnmas her zaman kolay olmad iin standard normal dal (z dalm) gelitirilmitir.

1.2.Standard Normal Dalx deikeninin belirli bir aralkta bulunmas hesaplanrken normal daln ilem zorluundan kurtulmak iin z=(x-)/ deeri daha nce verilen normal dal fonksiyonunun yerine yazlarak,

f (z)= 1222e1/2 z

2

standard normal dal fonksyonu elde edilir.Bu ilem bir bakma x in z ye transformasyonu olarak da dnlebilir. z i le gsterilen standard normal deiken ortalamas z=0 ve z

2=1 olan simetrik normal dal gsterir.Standard normal dal ok iyi bilinen bir dalmdr ve standard sapma alanlarna gre grafik altnda kalan alanlar hesaplanabilmeltedir.

Yukardaki ekilde grld gibi ortalamann 1 standart sapma sanda ve solunda kalan alanlar eri altndaki toplam alann %34,1'ini oluturmaktadr. -1 ve +1 standart sapma arasnda kalan alan toplam alann %68,2'sidir. Ortalamann 2 standart sapma sa ile 2 standart sapma solu yani -2standart sapma ile +2 standart sapma arasnda kalan alan, eri altnda kalan toplam alann yaklak %95'ini oluturmaktadr. -3 ve +3 standart sapma aral ise eri altndaki toplam alann yaklak %99'unu oluturmaktadr.

Bunlara gre, x in x1 ile x2 arasnda olma ihtimali z nin z1 ile z2 arasnda olma ihtimaline eittir. Z cetveline baklarak bu deer kolaylkla okunabilir. Z cetveli yardmyla eitli ihtimallerin nasl hesaplanacan rneklerle aklayalm. Dal simetril olduu iin P(z0)=0.5 olduundan z cetveli tablosu sadece daln %50 lik alan iin P(z> z0 )= eitliine gre hazrlanmtr. Yani tablodan okunan deer erinin sa tarafndaki altta kalan alan verir. ( Aada ekilde gsterilmitir.)

Mesela z = 2.14n gsterdii normal eri alann bulmak istediimizde tablonun ilk stunundaki 2.1 deerinin bulunduu satr ile banda 0.04 bulunan stunun kesime noktasndaki deere bakarz. z = 2.14n gsterdii normal eri alan 0.0162dir.

Buna gre:

1. P(z>0.25)=0.4013

2. P(0.281.28) =0.3897-0.1003=0.2894

3. P(z2.12)=1-0.0170=0.9830

4. P(-1.250.86)]

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2297 0.2266 0.2236 0.2207 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1563 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1094 0.1075 0.1057 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0352 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0126 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0076 0.0073 0.0071 0.0070 0.0068 0.0066 0.0064 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0042 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 3.0 0.0014 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 3.6 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 3.7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 3.8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 3.9 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

=1-(0.1056+0.1949)=0.6995

5. P(z1.16) olarak yazlp tablodan direk okunabilir ve o da 0.123'e eittir.

6. Bazen cetvelin iinde % noktas bilinir ve bunu snrlayan z deeri aratrlr. Mesela, P(z>z1)=0.025, z1=?Cetvelin iinde 0.025 deeri bulunarak z1=1.96 olduu grlr.

7. P(-z1

3. Etkinlik : Nokta tahminlerinin en nemli zelliidir. Varyans en kk nokta tahmini en etkin tahmindir.

4. Yeterlilik: Nokta tahmininin rnekteki bilgileri kullanma zelliidir. rnekteki bilgileri en fazla kullanan istatistik en yeterli istatistiktir.

2.2.Aralk Tahmini ( Gven Snrlar)

Nokta tahmininin belirli bir hata pay ile poplasyon parametresine yaklama derecesinin tesbit edilmesinde byk fayda vardr.Bundan dolay nokta tahminini kullanarak poplasyon parametresini belirli bir ihtimalle iinde bulunduraca snrlarn tahmini eklinde; gven snrlar ve ya gven aral tahminleri yaplmaktadr.

Hipotez testleriyle gven snrlar tayinininde ilgilenilen parametreye ait poplasyon varyansnn bilinip bilinmemesi ve rnek byklne bal olarak farkl dallar kullanlmaktadr. Bundan dolay hangi durumlarda hangi daln kullanlmas gerektiini aadaki gibi aklayabiliriz.

1. Eer poplasyonun varyans biliniyorsa, her zaman standard normal z dal kullanlr.2. Poplasyon varyans bilinmiyor ve bunun yerine rnek varyans kullanlacaksa o tahdirde n

deerinin byklne baklr. Eer n deeri 30 dan bykse z dal, deilse t dal kullanlr.

2.2.1.Varyans () Bilinen Normal Daln Ortalamas in Gven SnrlarOrtalamas ve varyans olan normal bir poplasyondan ekilen n birimlik bir rnein ortalamas x yine normal dal gsteririr fakat ortalamas ve varyans /n dir. Bu durumda ortalamann gven snrlar dahilindeki tahmini:

s= x+z /222/n

alt= xz/ 222/n

Daha ak bir ekilde anlatacak olursak ortalamann gven snr tayini z dalna gre yaplaca iin P(z /2

Mesela, %95 gven snrlaru tespit edilirken hatas:1- =0.95 alnrsa, =0.05 olur. Bu hata normal erinin sa ve sol ucuna eit olarak datldnda

/2=0.0025 bulunur.Bu alanlar belirleyen biri negatif dieri pozitif iki z deeri vardr. Z cetvelinde P(z>z /2)=0.0025 deerine baklarak z0.025=1.96 deeri elde edilir. Bu durumda gven snrlar:

s= x+1.9622/n

alt= x1.9622/n olur.

2.2.2.Varyans () Bilinmeyen Normal Daln Ortalamas in Gven Snrlar:Poplasyon varyansnn bilinmedii bilhassa n deerinin 30dan kk olduu, kk rneklerin ortalamasnn gven snr z dal yerine kk rnekler iin gelitirilmi olan t dal ile bulunur. T dal

t= xs x

eklindedir. T nin bu eitlii z'de olduu gibi

P(t/2 ,n1

3.HPOTEZ TESTLER

Karar teorisinin en nemli dal hipotez testleridir. rnek verilerden elde edilen bilgilere gre temsil ettii poplasyonun dal ve parametreleri hakknda karar verilir.rneklerden elde edilen bilgilerle poplasyon hakknda hatasz karar vermek imkanszdr. Kesin sonulara varabilmek iin poplasyonun btn fertlerini kapsayan bir deerlendirme yapmak gerekir.Poplasyonlar hakknda karar verlirken nce neyin aratrld sorusuna bal olarak hipotezler kurulur.Daha sonra kurulan hipotezin testine imkan verecek rnekleri ve denemelerden elde edilen verileri istatistik metodlara uygun olarak deerlendirilerek baz hkmlere varlr.

3.1.HipotezlerHipotez bir ve ya daha fazla poplasyon hakknda ileri srlen, doruluunu nceden bilmediimiz iddialardr. Ortaya atlan bu iddialarn rneklerden elde edilen bilgilere bal olarak belirli bir hata pay ile dorulanmasna, hipotez testi denilebilir. Hipotezler, bir Ho'la gsterilen sfr hipotezi ve bir de H 1 ile gsterilen alternatif hipotez diye ikiye ayrlr. Genellikle normal artlarn kabulu eklinde ileri srlen negatif manal hipotez, sfr hipotezidir. Yaplan aratrmalarla bu iddialarn reddi iin delil toplanr.Sonuta Ho red edilirse 0 hipotezinin geerli olmad, kabul edilmesi halinde ise Ho hipotezinin red edilemedii ortaya kar.Ho hipotezinin red edilmesi halinde kabul edilen, kabul edilmesi halinde red edilen hipoteze alternatif hipotez ya da kar hipotez H 1 denir.

3.2. Hata Tipleri ve Testin GcHipotez testlerinde doru bir hipotezin reddi ve ya yanl bir hipotezin kabul edilmesi ihtimalleri vardr.Bu ihtimaller hata tipleri ile aklanmaktadr.Doru bir hipotezin red edilmesi halinde ileyen hata 1. tip hata(), yanl bir hipotezin kabul edilmesi halinde ilenen hataya da 2. tip hata () denir. Bu iki hata tiinden herhangi birinin bymesi dierinin klmesini sonu verir.Ancak rnek bykln arttrarak iki hata tipi birlikte kontrol altnda tutulur. Testin gc 1- ile llr.

3.3.Tek ve ift Ynl HipotezlerAlternatif, hipotezin kurulu ekline gre testler tek ya da ift ynl yaplr. Mesela, H1 hipotezinin

H1: 0 ve ya H 1: 0 eklinde ise tek ynl olarak yaplr. Bunun aksine eer hipotez H 1: 0 eklinde kurulmu ise hipotez ift ynl test edilir.

Aadaki grafikte deeri baz alnarak yaplan tek ve ift ynl testlerde red blgesini snrlayan deerler aadaki grafikte verilmitir.ekildede grld gibi tek ynl testte nem seviyesi daln bir ucunda yer almasna karn , ift ynl testte /2 daln bir ucunda, /2 ise daln dier ucunda yer almaktadr.Alternatif hipotezin kurulu ekli problem in yapsna gre dzenlenir. Mesela, eer yeni gelitirilmi bir teknoloji eskisi ile karlatrlacaksa H1: 0 kullanmak daha doru iken iki teknoloji firmas birbiri ile karlatrlacaksa H 1: 0 kullanmak daha doru olur.

3.4.Standardize Edilmi Normal Dalm (z) ile Yaplan TestlerPoplasyon varyansnn bilindii ve daln normal olduu durumlarda z testi uyguland gibi byk rneklerden elde edilen oranlarla ilgili testlerde de z dal kullanlmaktadr.

3.4.1. Bir Ortalamann Tersi:Daln normal olduu ve poplasyon varyansnn bilindii baz durumlarda aratrc rnekten elde ettii sonucu bilinen bir standarda gre test etmek isteyebilir. Bu durumda z dal gvenle kullanlabilir.

3.4.2.ki Ortalama Farknn Testi:Ortalama ile ilgili poplasyon varyanslarnn bilindii ve ya rneklerin ok byk olduu durumlarda dal normal, varyanslar da homojen ise hipotez testinde z dal kullanlr.ki ortalama farknn hipotez testinde sfr hipotezi her zaman iki ortalamann eitlii 1=2 eklinde kurulmasna karlk, alternatif hipotez problemlerdeki bilgilere bal olarak, ya ift ynl 0 ve ya tek ynl 0 , 0 ekillerinde kullanlr. Hipotez ile ilgili test istatistii,

zh=( x1 x2)(12)

x1 x2 forml ile hesaplanr.Bu formldeki ortalamalar arasndaki farkn standard

hatas,

x1x2=21 /n1+2 /n2 ile hesaplanr.

3.5. Student t dal ile Yaplan TestlerYaplan aratrmalarda ou zaman poplasyona ait varyans bilinmediinden rnek bykln istediimiz kadar arttramyoruz. Pratikte karlan bu tarz durumlarda z dalm yerine t dalm kullanlr.

3.5.1. Bir Ortalamann Hipotez Testi:t ile yaplan hipotez testinde takip edilecek ilemler, z de olduu gibidir. Sadece test istatistiinin paydasnda parametre deeri yerine rnekten hesaplanan istatistik ( rnein standard hatas ) kullanlr.

3.5.2. ki Ortalama Arasndaki Farkn Testi:Poplasyon varyansnn bilinmedii durumlarda iki ortamalamm t dalm ile karlatrlacan aklamtk. ki ortalama farknn karlatrma ilemi deneme materyalinin zelliine, denemenin yrtlne bal olarak farkl iki ekilde yaplr. Eer materyal homojen ve gruplar gruplar birbirinden bamsz ise grup karlatrlmas, deilse eleme metodu kullanlr.

3.5.2.1. Grup KarlatrmasBilhassa homojen bir materyalin ayrld iki ksmdan her birine tesadf olarak bir muamelenin uygulanmas ile elde edilen ortalamalarn karlatrlmasnda, grup karlatrmas methodu kullanlmaktadr. Bu methodda gruplar arasnda bir bamlln bulunmad ve kovaryansn sfr olduu kabul edilir. Mesela, btn zellikleri bakmndan homojen olan iki ehrin lmlerindeki ortalamalar grup karlatrmas ile test edilir. Grup karlatrmas methodunun balca varsaymlar daln normal, gruplara ait varyanslarn homojen ve kovaryansn sfr olmasdr.

Grup karlatrmasnda:

t h=( x1 x2)(12)

sx1x2forml kullanlr.

Burada:( x1 x2)=gruplara ait rnek ortalamalarn ,(12)=gruplaraait poplasyon ortalamasn ,s x1 x2=rnek ortalamalar arasndaki farkn standard hatasn gstermektedir.

Testin varyasmlarnda 1 =2 art bulunduu iin farka ait standard hata hesaplanrken nce, eer rnek saylar eit deilse (n1n2)

s=(n11)s1+(n21) s2

n1+n22forml ile ortak varyanstan hesaplanr. Burada,

s1 , s2 =rneklereait varyanslarn1 , n2=rneklere ait fert saylarn gstermektedir.

Ortak varyans kullanlarak ortalamalar arasndaki farkn standard hatas,s x1 x2=

2s (1/n1+1/n2) den hesaplanr.Foml 8.11 de verilen t hesap deerini karlatrmak iin kritik deer olarak

t ,(n1+n22)cetveldeeri kullanlr. Buradaki(n1+n22)t cetvelindeki serbestlik derecesidir.

3.5.2.2.Eleme Methodu

Grup karlatrmasnda deneme materyalinin tmyle homoje olmas art yerine getirilemedii zaman kullanlr.Mesela, ayn sahsn sa ve sol elinin pratiklii, havann yamur yadktan nceki ve sonraki nem oran karlatrlrken eler arasndaki farklara dayal olan eleme methodu kullanlr.Eleme methodu ile hipotez testi yaplrken gruplara ait deerler arasndaki farklarla ilgilenilir. nce elere ait rakamlar arasndaki farklarn meydana getirdii veri setinin ortalamas x f ve standard hatas s xf hesaplanr. Sonra bu deerler,

t=x f f

s xfformlnde yerine yazlarak t hesap deeri elde edilir. Farklara ait poplasyonun

ortalamas f olmak kayd ile hipotezler:

H 0: f=0H 1: f0 ve ya f 0, f 0 eklinde kurulur. T cetvel deerinin serbestlik derecesi, n-1'dir.

3.6. Ki-kare DalmKi-kare testi, istatistiksel aratrmalarda kullanlan deikenlerin genellikle hepsinin nitel (saysal olmayan) ya da birinin nicel, dierinin nitel olmas durumlarnda uygulanan ve uygulama kolayl nedeniyle tercih edilen bir testtir.Ki-kare testinin esas Karl Pearson tarafndan 1900 ylnda yazlan bir makalede ki-kare dalmna dayandrlmtr. rnekleme yoluyla elde edilen rakamlarn, anaktle rakamlarna uygun olup olmad; bir baka ifadeyle gzlenen deerlerin teorik (beklenen) deerlere uygunluk gsterip gstermedii ki-kare testi ile belirlenir.

Standart normal deiken zi deerlerinin;

Z i2=(

X i

)2

eklinde karesi alndnda, Z i2 deerlerinin dalm ki-kare dalmna dnr.

X tesadfi deiken dalmndan bir deer seilip standart hale dntrlr ve karesi alnrsa X deikeninin dalm ki-kare dalmna dnr.Normal dalm gsteren bir X tesadfi deiken dalmndan tesadfi ve birbirinden bamsz olarak iki deer seilsin. Seilen deerleri;

Z1=X1

Z2=

X2

eklinde standart hale dntrlsn.

Bu Z deerlerinin kareleri alnp toplanrsa elde edilen Z12+Z2

2 deikeni ki-kare dalm gsterir. N adet rnek iin bu prosedr takip edildiinde;

Z12+Z2

2+Z32+. ..+Zn

2 deikeni de ki-kare dam gsterir.Ki-kare dalm dier ki-kare dalmlarndan serbestlik derecelerine gre ayrlr. Kareleri alnp toplandnda, ki-kare dalm gsteren bamsz standart normal deer saysna serbestlik derecesi denir. Bir ki-kare dalmnn ortalamas, dalmn serbestlik derecesine ve varyans, serbestlik derecesinin iki katna eittir. Mesela, serbestlik derecesi 10 olan bir ki-kare dalmnn ortalamas 10 ve varyans 20dir.Ki-kare deikeni, 2 sembol ile gsterilir. Bir dalm dierinden ayrmak iin bu sembole

serbestlik derecesini gsteren bir indis eklenebilir.

Bylece 1, 2 ve n serbestlik dereceleriyle ki- kare dalm gsteren deikenler 12 ve n

2

eklinde gsterilebilir.

Ki-kare dalm saa arpktr ve normalden daha diktir. N bydke merkezi limit teoreminin bir

sonucu olarak diklik ve asimetri azalr ve dalm normale yaklar.

Ki-kare deerleri 0 ile arasnda deiir.

Ki-Kare Testleri

yi Uyum Testi

Varsaymlar:

1. ok deerli kategorik veri

2. Tek bir rnek, birden ok ilgilenilen oran

3. rnek oranlar hakknda varsaylan oranlarn test edilmesi

Homojenlik Testi

Varsaymlar:

1. Tek bir kategorik deiken

2. Her gruptan alnan ayr birer rnek

3. Varsaylan oran yok

4. Bir grup iin orann dier grup veya gruplar iin de ayn olup olmadnn test edilmesi

Bamszlk Testi

Varsaymlar:

1. ki kategorik deiken

2. Sadece tek rnek, oranlarla ilgili varsaym yok

3. Bir kategorik deikenin dieriyle ilikili olup olmadnn test edilmesi

3.6.1.Ki-Kare yi Uyum Testi:

rnek verilerin normal, binom, poisson gibi dallara ve sfr hipotezine gre hesaplanan

beklenenlere uyumunu test etmek iin 2 dal ile uyum testi yaplr.

2= (OiE i)2/EiOi=gzlenen ,

Ei=beklenen frekanslargstermektedir.

rnek: Genelde bir istatistik snfnda, rencilerin %60nn devaml, %30unun bazen, %10unun ise

ok az derse geldikleri dnlmektedir. Sizin snfnzdan 100 kiilik bir rnek alnm ve %65inin

devaml, %20sinin bazen, ve %15inin ok az derse geldii bulunmutur. Bu snfn devam durumunun

genel devam durumuna uyduu sylenebilir mi?

Varsaylan oranlar Gzlenen oranlar

Devaml 0.60 0.65

Bazen 0.30 0.20

ok az 0.10 0.15

H0: Pdevaml=0.60, Pbazen=0.30, Pok az=0.10

H1: En az bir oran varsaylandan farkldr.

Bu hipotez testini uygulamak iin gzlenen ve beklenen deerler arasndaki farklarn byklne bakmak gerekir. Bu farklarn mutlak deeri ne kadar bykse, sfr hipotezi hakknda o kadar kukuya deriz. Sfr hipotezi doruyken ve rnek orta byklkteyken (beklenen deerlerin (Ei) herbiri en az 5 ise), bu hipotez testi iin aadaki Ki-Kare test istatistii kullanlr:

test2 = (

OiEi )2

Ei tablo

2 = k1, 2

O: Gzlenen deer

E: Beklenen deer

Bu test istatistii, k-1 serbestlik dereceli tablo deeriyle karlatrlr. (Burada k: kategori saysdr. =3)

test2 = (

OiEi )2

Ei N=100

Beklenen deer = rnek hacmi x beklenen olaslk : Ei = n x pi

Gzlenen deer = rnek hacmi x gzlenen olaslk : Oi = n x ri

Varsaylan oranlar

Gzlenen oranlar

Beklenen Deerler (Ei)

Gzlenen Deerler(Oi)

Oi-Ei (Oi-Ei) (Oi-Ei)/Ei

Devaml 0.60 0.65 60 5 5 25 0.42

Bazen 0.30 0.20 30 -10 -10 100 3.33

ok az 0.10 0.15 10 5 5 25 2.50

0 Ki-kare test 6.25

1) H0: Pdevaml=0.60, Pbazen=0.30, Pok az=0.10

H1: En az bir oran varsaylandan farkldr.

2) test2 = (

OiEi )2

Ei=6 .25

3)

test2 > tablo

2 H0 red !

tablo2 = k1,

2 = 2,0.052 =5 .99

4) Yorum: %5 hata olasl ile, en az bir oran dierlerinden farkl olduu iin, bu snfn devam

durumu, genel devam durumu yapsna uymamaktadr.

3.6.2.Ki-Kare Homojenlik Testi:

Birok durumda farkl yer ve ya zamanlarda yaplan denemelerde rnek byklkleri snrl olmaktadr.

Test ve tahminlerde varlan sonularn daha tutarl olmas iin rnek byklnn fazla olmas

nemlidir. Bunun iin bazen denemelerin sonular birletirilerek tm verilerin birlikte analiz edilmesi

istenebilir. Byle durumlarda rnekler iin homojenlik testi yaplr.

rnek: Ayn retim yesinin istatistik dersi verdii 3 farkl snfta devam durumlarnn ayn olup

olmad aratrlmaktadr. Her snftan alnan ayr rneklerin sonucu aadaki tabloda grld

gibidir.

Devaml Bazen ok az

Snf 1 15 8 3

Snf 2 14 6 4

Snf 3 6 7 7

H0: snf1in devam yaps = snf2nin devam yaps = snf3n devam yaps

H1: En az bir snfn devam yaps dierlerinden farkldr.

Bu test istatistii, (k-1)(r-1) serbestlik dereceli tablo deeriyle karlatrlr.

tablo2 = ( k1)( r1 ),

2

Burada k: kategori says (stun says),

r: grup says (satr says)

test2 = (

OiEi )2

Ei

Hesaplamalar ayr tablolarla yaplr.Gzlenen Devaml Bazen ok az

Snf 1 15 8 3

Snf 2 14 6 4

Snf 3 6 7 7

Stun Toplam 35 21 14

Beklenen Devaml Bazen

Snf 1 13 7.8

Snf 2 12 7.2

Snf 3 10 6

(O-E)/E Devaml Bazen ok az

Snf 1 0.31 0.01 0.93

Snf 2 0.33 0.20 0.13

Snf 3 1.60 0.17 2.25

5.93

1) H0: snf1in devam yaps = snf2nin devam yaps = snf3n devam yaps

H1: En az bir snfn devam yaps dierlerinden farkldr.

2) test2 = (

OiEi )2

Ei=5 .93

3)

test2 < tablo

2 H0 reddedilemez .

4)Yorum: %5 hata olasl ile, snflarn devam yapsnn birbirinden farkl olduu sylenemez.

tablo2 = (k1)( r1 ),

2 = 2x2 , 0 .052 =9 .49

3.6.3.Ki-Kare Bamszlk TestiSk sk karlalan aratrma sorularndan biri de iki deikenin birbiri ile ilikili olup olmaddr. Mesela, bir sosyolog okul araclyla kazanlan eitim seviyesinin gelirle ilikili olup olmadn aratrmak isteyebilir. Bir okulda alan beslenme uzman rencilerin beslenme seviyelerinin akademik performanslaryla ilikili olup olmadn bilmek isteyebilir.ki deiken arasnda iliki yoksa, birisinin dalm hibir ekilde dierinin dalmna baml deilse bu iki deiken birbirinden bamszdrdenir. ki deiken arasnda iliki yoksa, belirli bir deikenin deerini bilmek, dier deikenin deerini belirlemeye imkan salamaz.Bu fakltedeki devam durumu ile geme notu arasnda bir iliki olup olmad aratrlmak istenmektedir. Faklte rencilerinden alnan 100 kiilik bir rnee devam durumlar ile geme notlar sorulmu ve aadaki tablo elde edilmitir:

50 5070 7090 =90

Devaml 15 20 10 1

Bazen 12 19 5 3

ok az 2 5 5 3

H0: Devam yaps, geme notu ile ilikili deildir.

H1: Devam yaps, geme notu ile ilikilidir.

tablo2 = ( k1)( r1 ),

2

Bu test istatistii, (k-1)(r-1) serbestlik dereceli tablo deeriyle karlatrlr. Burada k: stun says, r:satr says

test2 = (

OiEi )2

Ei

O-E 50 5070 7090 =90

Devaml 1.7 -0.2 0.8 -2.2

Bazen 0.7 1.8 -2.8 0.3

ok az -2.4 -1.6 2.0 2.0

(O-E) / E 50 5070 7090 =90

Devaml 0.21 0.003 0.07 1.53

Bazen 0.04 0.20 1.01 0.03

ok az 1.27 0.39 1.33 3.62

Kikare 1.52+ 0.59+ 2.41+ 5.18= 9.69

1) H0: Devam yaps, geme notu ile ilikili deildir.H1: Devam yaps, geme notu ile ilikilidir.

2) test2 = (

OiEi )2

Ei=9 .69

3)

test2 < tablo

2 H0 reddedilemez .

tablo2 = (k1)( r1 ),

2 = 3x2 , 0 .052 =12 .59

4)Yorum: %5 hata olasl ile, devam yap ile geme notu deikenlerinin ilikili olduuna dair yeterli kant bulunamamtr.

4.REGRESYON VE KORELASYONBir deikenin deerinin dier deikendeki veya deikenlerdekideiimlere bal olarak nasl etkilendiinin istatistiksel analizlerle incelenmesi eitli nedenlerle istenmektedir :

Deikenler aras ilikiler bilindiinde, bir deikenin deerine bakarak dierinin deeri tahmin edilebilir.

Etki eden faktrler kontrol altna alnabilirse ilgilenilen deikenlerin deerleri optimum (en uygun) dzeye getirilebilir.

4.1.Korelasyon Analizi:ki veya daha fazla deiken arasndaki ilikinin varl, bu ilikinin yn ve iddeti korelasyon analizi ile belirlenir.

Sz edilen ilikinin fonksiyonel ekli ise regresyon analizinin konusunu oluturur.ki deiken arasndaki ilikinin yn ve derecesi korelasyon katsays ile ifade edilir. ncelenen deiken says :

ki tane ise korelasyon katsays kiden fazla ise oklu veya ksmi korelasyon katsays

Ancak, bu kapsamda iki deiken arasndaki basit dorusal korelasyon katsays zerinde durulacaktr. rnein ;korelasyon katsays r ile gsterilirken anaktlenin korelasyon katsays ile gsterilmektedir.

ncelenen veri grubu koordinat sistemine iaretlenirse deikenler arasndaki ilikinin yn ve derecesi grsel olarak kabaca belirlenebilir.

Ancak ilikinin gerek dzeyi sadece hesaplama ile belirlenebilir.X ve Y ilgilenilen deikenleri gstermek zere korelasyon katsaysnn forml aada verilmitir.

Korelasyon katsays -1 ile 1 arasnda deer alr.Hesaplanan katsaynn ald deere bal olarak, deikenler arasnda;r=-1 ise ters ynl mkemmel bir iliki,r=0 ise iliki yok,r=1 ise ayn ynl mkemmel bir iliki,r=0.80 ise ayn ynl olduka iyi bir iliki,r=-0.60 ise ters (zt) ynl orta derecede bir iliki olduu anlamna gelmektedir.

4.1. 1.Korelasyon Katsaysnn Testi:Hesaplanan korelasyon katsaysnn anlaml olup olmad aada kurulan hipotez ile belirlenebilir.

r'nin ait olduu anaktlenin varyans bilinmedii iin testte t dalmndan yararlanlr. te yandan, korelasyon katsaysnn belirli bir deere eit olup olmad aadaki hipotez yardmyla belirlenebilir.

4.2.Regresyon Analizi:ncelenen deikenlerin birinin baml (Y) dierlerinin bamsz (x1, x2 , x3 ...) olmas halinde baml deikenin bamsz deikenlerin fonksiyonu olarak: Y=f (x1, x2 , x3 ...) eklinde ifade edilmesi regresyon analizinin konusunu oluturur.

ncelenen olayda; bir baml, bir bamsz deiken varsa oluturulacak model tek deikenli regresyon modeli

Y=f(X), incelenen olayda bir baml, birden fazla bamsz deiken varsa oluturulacak model ok

deikenli regresyon modeli Y=f (x1, x2, x3...) olarak adlandrlr.

Ayrca, regresyon denklemleri dorusal ve erisel olmak zere iki ayr ekilde de snflandrlmaktadr.

4.2.1.Tek Deikenli Dorusal Regresyon Modeli

Regresyon denklemleri oluturulurken ortalamadan sapma kareler toplamn en kkleyen ve en kk kareler yntemi olarak adlandrlan yntem kullanlr. Genel bir yntem olan en kk kareler yntemi aadaki gibi ifade edilir :

En kk Kareler Yntemi:X ve Y arasndaki iliki tam ve kusursuz bir iliki (r=1 veya r=-1) olmadka YninXe gre regresyon dorusu serpilme diyagramndaki btn noktalardan gemez. Bu iliki kusursuz deilse baz noktalar iin regresyon dorusundan sapmalar grlebilir.Bu dorularn bazlarnda gzlenen sapmalar dierlerine gre daha ok (veya daha az ) olabilir. En kk kareler yntemi, gzlenen bu sapmalar en kkleyen doruyu belirlemekte kullanlr.

Tek deikenli dorusal regresyon denkleminin genel yazl:

ki katsayy belirleyebilmek iin hata terimi aadaki gibi yazlr ve en kk kareler yntemine gre hata kareleri toplam alnrsa:

Hata kareleri toplam eitliinin sa tarafndaki ifadenin deeri bilinmeyen a ve b katsaylarna gre ksmi trevleri alnrsa:

Bu denklemlere normalin denklemleri denir. Elde edilen iki denklem zlerek a ve b katsaylarnn belirlenir. Oluturulan regresyon denkleminin ne derece iyi bir tahminleyici olduunu belirleyen oran belirlilik katsays olarak ifade edilir ve R ile gsterilir.

Belirlilik katsays R 0 ile 1 arasnda deerler alabilir. R deeri 1 e ne kadar yaknsa o kadar iyi, 0 a ne kadar yaknsa o kadar kt bir tahminleyici olarak kabul edilir.

4.2.2. Regresyon Katsaysnn TestiBelirlenen regresyon katsaylar anlaml ise oluturulan regresyon denklemi tahmin amacyla kullanlabilir.

Oluturulan regresyon denkleminin katsaylarnn anlaml olup olmadklar aadaki hipotez ile belirlenebilir:Oluturulan tek deikenli dorusal regresyon denkleminde nemli ve ok etkin olan katsay b katsaysdr.O nedenle, sadece b katsaysnn anlaml olup olmadnn test edilmesi yeterlidir. Ayrca, oluturulan regresyon denkleminde bamsz deikenin arpan durumunda olan ve dorunun eimini gsteren b katsaysnn denklem zerindeki etkisi dikkate alnarak, b katsays iin gven aral oluturulmaktadr. b katsays iin hata seviyesindeki gven aral t dalm kullanlarak aadaki gibi hesaplanr.

KAYNAKA

1. Necati Yldz. 1994. 'Uygulamal statistik'. Atatrk niversitesi Yaynlar. Erzurum2. Mustafa Akar.1993. 'statistik'.ukurova niversitesi Yaynlar. Adana3. Hamdi Eme Ders Notlar. (http://kisi.deu.edu.tr/hamdi.emec/ist1-7.pdf)4. Ankara niversitesi Ak ders Notlar.

( acikders.ankara.edu.tr/pluginfile.php/1382/mod_resource/content/2/B9_Normal Dalm.pdf) 5. Berk Ayvaz. 2013. statistik ve Olaslk Ders Notlar. stanbul Ticaret niversitesi6. Suat ahiner. statistik Ders Notlar. (www.mku.edu.tr/getblogfile.php?keyid=360)7. Tahmin Teorisi ve Gven Aralklar Ders Notlar.

( kisi.deu.edu.tr/userweb/hanifi.../1_Tahmin_teorisi_ve_guven_araligi.PP... )8. Ankara niversitesi Ak ders Notlar.

(http://acikders.ankara.edu.tr/pluginfile.php/230/mod_resource/content/3/8-Hipotez%20Testleri.pdf)

9. Ki-kare Dalm Ders Notlar. (www.deu.edu.tr/userweb/s.ucdogruk/istatistik/10.ki-kare_testi.ppt )

10. rfan Kaymaz. statistik ve Olaslk Ders Notlar. (http://muhserv.atauni.edu.tr/makine/ikaymaz/istatistik/dosyalar/DERS_10_KORELASYON_REGRESYON_ANALIZI.pdf)