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Chimica Analitica e Laboratorio 2
Modulo di Spettroscopia Analitica
Metodo dei minimi quadrati
Si siano raccolte sperimentalmente N coppie di valori Xi, Yi
Y X
0.0123 1.025
0.0134 2.050
0.0139 2.075
0.0205 2.100
0.0261 2.525
…. ….
…. ….
0.1012 10.250
0.1153 11.500
Consideriamo che X sia la variabile affetta da un errore sperimentale minore rispetto a quello della variabile Y.
Metodo dei minimi quadrati
Si riportino questi valori nel piano X,Y.
Y = a+ bX
0
2
4
6
8
10
12
14
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140
Si ha una relazione lineare
0
2
4
6
8
10
12
14
0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140
Si cerchi di tracciare con un righello quella retta che lascia i punti egualmente dispersi sopra e sotto la retta. Per fare questo posso operare su due gradi di libertà: ü posso fare variare l’inclinazione del righello (pendenza) ü posso far variare la distanza del righello dall’asse delle X (intercetta).
Metodo dei minimi quadrati
In termini matematici si tratta di individuare quella retta che renda minima la somma dei quadrati degli scarti (residui) tra i valori sperimentali Yi ed i corrispondenti valori (stesso valore Xi) calcolati sulla retta a + b Xi
Z = Yi − a+ bXi( )"# $%i∑
2
Metodo dei minimi quadrati
Per individuare questa retta, e cioè i valori di a e b, bisogna trovare il minimo di Z rispetto alle variabili a e b. Per trovare il minimo di una funzione si devono trovare i valori delle variabili per cui la derivata prima è zero. Quindi devo derivare Z rispetto ad a e b.
Z = Yi − a+ bXi( )"# $%i∑
2
Metodo dei minimi quadrati
! = ! !! + !!! + !!!!! − 2!!! − 2!!!!! + 2!"!!! !=! !!! + !!! + !!! !!!! − !2! !!! −!2! !!! !! + !2!" !!! !
Derivo rispetto ad a e b, ed eguaglio a zero le derivate
Metodo dei minimi quadrati
Che si riducono a due equazioni risolvibili col metodo di Kramer
Metodo dei minimi quadrati
0 2 4 6 8 10X
0
5
10
15
20
25
Y
Y = 1.945 x X + 3.1638
Metodo dei minimi quadrati
Sensibiltà Per sensibilità di un metodo o di uno strumento si intende
la sua capacità di discriminare tra piccole differenze di concentrazione di analita
Per una risposta lineare la sensibilità corrisponde alla pendenza della retta.
258 nm
350 nm
430 nm
Sensibiltà Retta di taratura di una soluzione di K2Cr2O7
Sensibiltà
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10-5 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003
RETTA DI TARATURA A 258 nmA 350 nmA 430 nm
Sensibiltà
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10-5 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003
RETTA DI TARATURA A 258 nmA 350 nmA 430 nm
Sensibiltà
Limite di rivelabilità Per limite di rivelabilità di un metodo o di uno strumento si intende
la concentrazione (o quantità) di sostanza che può essere rivelato ad un livello di fiducia noto
È possibile distinguere tra un segnale analitico e le fluttuazioni statistiche del bianco quando il primo è almeno k volte superiore alle variazioni casuali del secondo.
Limite di rivelabilità
0 4 8 12 16 20Tempo
Segn
ale
0.4
0.8
0 4 8 12 16 20Tempo
-2
0
2
Segn
ale
x 10
00
Media
0 4 8 12 16 20Tempo
-2
0
2
Segn
ale
x 10
00
Media
Dev. St.
Dev. St.
Limite di rivelabilità
0 4 8 12 16 20Tempo
-2
0
2
Segn
ale
x 10
00
Media
Dev. St.
Dev. St.
0 4 8 12 16 20Tempo
-2
0
2
Segn
ale
x 10
00
Media
Dev. St.
Dev. St.
2 Dev. St.
2 Dev. St.
3 Dev. St.
3 Dev. St.
Limite di rivelabilità
Un segnale di intensità pari a tre volte la standard deviation del rumore di fondo viene riconosciuto come un segnale reale.
K = 3 Il limite di confidenza è 3S, cioè il valore dell’errore relativo è 33,3%.
0 4 8 12 16 20Tempo
0
10
20
30
Segn
ale
x 10
0LR
Il limite di rivelabilità è molto importante, per es. nelle analisi ambientali per le sostanze tossico nocive.
n Queste sostanze, che siano elementi inorganici (Pb, Hg, As, ..) o sostanze organiche (pesticidi, …), devono tutte essere determinate a valori di concentrazioni bassissimi.
n Nei certificati d’analisi deve essere riportato il metodo utilizzato nella determinazione con il suo limite di rivelabilità.
Limite di rivelabilità
Limite di quantificazione
Un segnale di intensità pari a trenta volte la standard deviation del rumore di fondo fornisce una valutazione con errore relativo pari a 3,3%. Questa è la concentrazione (quantità) minima del range operativo per un’analisi chimica quantitativa.
0 4 8 12 16 20Tempo
0
10
20
30
Segn
ale x
100
LR
LQ
Limite di rivelabilità e limite di quantificazione
n Se la St. Dev. del bianco rappresenta il rumore di fondo dello strumento in assenza di analita.
n Il segnale corrispondente al limite di rilevabilità è
SLR = 3 x SDbianco
Ricordiamo che
Limite di rivelabilità e limite di quantificaione
n Errore percentuale di una misura al limite di rilevabilità
ELR = 3 x SDbianco x 100 = 33%
n Errore percentuale di una misura al limite di quantificazione
ELQ = 30 x Sdbianco x 100 = 3%
Intervallo di lavoro
limit of detection (LOD), limit of quantification ( LOQ), dynamic range, and limit of linearity (LOL)
Valore limite per il Pb
g
Effetto matrice
Leggi limite
Le relazioni che legano la risposta strumentale alla concentrazione sono leggi limite.
soluzioni diluite
assenza di interferenti
monocromaticità della radiazione
forza ionica costante .....
Curve di calibrazione
Per ovviare alle deviazioni delle risposte, nelle analisi strumentali è norma lavorare con una curva di calibrazione. Le finalità di questo procedimento sono:
n valutare la risposta segnale – concentrazione
n stimare le costanti di proporzionalità
Deviazioni
La risposta strumentale spesso presenta delle deviazioni.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 2 4 6 8 10 12
Potassio
assorbanza
assorbanza
ppm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 2 4 6 8 10 12
Magnesio
assorbanza
assorbanza
ppm
Effetto matrice
La composizione del campione può essere alquanto complessa ed influenzare la risposta strumentale. La variazione di segnale analitico causata da tutto ciò che è presente nel campione escluso l’analita viene definita come effetto matrice.
Effetto matrice
Le cause dell’effetto matrice possono essere di tipo chimico o fisico
complessazione dell’analita formazioni di composti “mascheranti” variazione dell’attività alterazione del pH ........ variazioni delle proprietà fisiche del mezzo ........
Matrice
Alcune esempi di matrici:
n soluzioni ad alta concentrazione di soluti (scarichi, acque salmastre, salamoie, bibite zuccherine, ..)
n miscele acqua-solvente organico (processi industriali, vini, bibite alcooliche, ....)
n soluzioni con alto contenuto proteico (fluidi biologici, alimenti, ....)
n soluzioni ad elevata acidità (scarichi, estrazione di metalli da matrici solide, ....)
Effetto matrice
n In spettroscopia atomica la risposta strumentale è funzione della concentrazione dell’analita presente in fiamma o nel plasma.
n La determinazione analitica è basata sull’assunzione che il numero di atomi presenti in fiamma – plasma, N, sia proporzionale a quelli nel campione, Nc.
n La costante k è funzione di tutti i processi che contribuiscono all’atomizzazione del campione.
ckNN =
Effetto matrice in spettroscopia atomica
n In spettrofotometria atomica, l’effetto matrice si presenta con:
n interferenze spettrali
n interferenze chimiche
n interferenze fisiche
Interferenze spettrali in Assorbimento Atomico in fiamma
n Formazione di composti con bande di assorbimento sovrapposte alla riga dell’analita
n formazione di CaOH con banda che copre la riga analitica del Ba a 553.6 nm
n Presenza di elementi facilmente ionizzabili n gli elettroni della ionizzazione del Na fanno retrocedere la
ionizzazione dell’Al (aumento del segnale)
n Formazione di particelle che diffondono la radiazione n ossidi refrattari di Ti, Zr, W n sostanze organiche mal combuste danno luogo a particelle di
carbone
Interferenze chimiche in Assorbimento Atomico in fiamma
n fosfati e solfati formano con il Calcio composti stabili poco volatili
n l’Alluminio forma con il Magnesio ossidi misti
n l’assorbimento del Sodio diminuisce in presenza di HCl per il probabile spostamento verso la forma indissociata dell‘equilibrio in fiamma NaCl D Na + Cl, a causa del Cloro
Interferenze fisiche La quantità di campione e le dimensioni delle gocce dell’aerosol che arrivano alla fiamma dipendono da viscosità, densità e tensione superficiale.
n La viscosità interferisce nella velocità di aspirazione
n La tensione superficiale, la densità e la viscosità sono
responsabili della dimensione delle particelle dell’aerosol.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=itàcosvis
1fflusso viscosità relativa all’acqua flusso
Metanolo 0.62 +61% HNO3 1M 1.15 -13% NaCl 1M 1.22 -18% Ca(NO3)2 1M 1.44 -31%
Matrice salina
Scarico di uno stabilimento metallurgico.
R.F. 7,66 g/L
pH 10,4 Cl- 1600 mg/L
SO4= 3300 mg/L
Na+ 1960 mg/L
Ca2+ 440 mg/L
K+ 270 mg/L
Matrice acqua-etanolo Abbattimento dell’intensità del segnale ICP-AES per effetto della concentrazione crescente di alcool.
0 4 8 12 16 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
BaFeMnZn
Percentuale d'alcol
Inte
nsità
rela
tiva
alcol % Ba Zn Mn Fe 0.5 0.9 0.7 0.8 0.9 1 0.8 0.5 0.7 0.8
1.5 0.7 0.4 0.6 0.7 2 0.6 0.4 0.5 0.7
2.5 0.6 0.3 0.5 0.6 3 0.6 0.3 0.5 0.6 6 0.5 0.2 0.3 0.5 9 0.4 0.2 0.3 0.4 12 0.3 0.1 0.2 0.3 15 0.2 0.1 0.2 0.2 18 0.2 0.08 0.1 0.2
Matrice acida
Per la determinazione degli elementi in tracce in tessuti biologici, il campione viene disgregato in acido per 18h.
Come superare l’effetto matrice?
1. eliminazione dell’effetto
n aumento temperatura e tipo di fiamma per eliminare la formazione di ossidi
n tamponi di forza ionica nelle determinazioni con elettrodi ionoselettivi
n modificatori di matrice nel fornetto di grafite
2. riproduzione della matrice con soluzioni compensate
3. metodo dello standard interno
4. metodo delle aggiunte multiple
Metodo dello standard interno
n Il metodo consiste nell’introdurre negli standard e nei campioni una quantità nota di un elemento sicuramente non presente nel campione ma con un comportamento simile all’analita.
n Partendo dall’assunzione che il segnale dello standard interno subisca la stessa alterazione di quello dell’analita, il loro rapporto è indipendente dalla matrice e costante.
n Dalla curva di calibrazione si ricava il fattore di risposta che permette la determinazione della concentrazione dell’analita nel campione.
Metodo delle aggiunte multiple
Se nel metodo dello standard interno si è partiti dall’assunto che aliquote di standard aggiunte al campione subiscano gli stessi effetti matrice degli analiti presenti, a maggior ragione questo assunto sarà verificato se si aggiunge l’analita stesso.
Metodo delle aggiunte
n prelevare aliquote
uguali del campione e trasferirle in matracci
n aggiungere aliquote note e crescenti dell’analita (0, 5, 10, ...)
n portare a volume
Metodo operativo
Metodo delle aggiunte
Metodo delle aggiunte
n Rispetto ad una calibrazione classica la retta non passa per l’origine ma è traslata verso l’alto dal contributo della concentrazione incognita dell’analita.
n Determinata con i minimi quadrati l’equazione della retta, il valore della concentrazione incognita X relativo all’intercetta all’origine (a) si ottiene ponendo Y = 0.
n La concentrazione C dell’analita nel campione originario sarà quindi uguale a quella X trovata corretta del fattore di diluizione
bXaY +=
baX −=
prelevato
matraccio
VVXC ⋅−=
Considerazioni
Nella pratica di laboratorio la scelta della procedura analitica deve tener conto di diversi fattori
n accuratezza richiesta
n precisione
n tempo e costo
Fattori da tener presenti n Sulla base di questi fattori si può dire che:
n la riproduzione della matrice comporta un grosso impegno iniziale per determinare la composizione e riprodurla
n il metodo dello standard interno è un metodo semplice ed economico affidabile nei limiti in cui lo standard risponde in modo analogo agli analiti
n Il metodo delle aggiunte multiple rappresenta sicuramente il metodo più accurato e preciso, ma il suo utilizzo su un numero elevato di campioni richiede tempi e costi che possono risultare eccessivi