2/15/2019

1

QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP

1

Chương 3 Chương 3

2

3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc

• Luật “không - một” A(p) Bernoulli

• Luật nhị thức B(n,p) Binomial

• Luật Poisson P() Poisson

• Luật siêu bội H(N,M, n) Hypergeometric

3

Phân phối Không – một

• Ký hiệu khác: X~A(p)

• Còn gọi là phân phối Bernoulli.

• Bảng ppxs:

• Tham số đặc trưng:

4

X 0 1

P q p

E X p V X pq

Phân phối Nhị thức (Binomial)

• Kí hiệu: X~B(n,p)

• Hàm khối xác suất:

• x={0,1,2,3…n}

• n,p gọi là các tham số (parameter)

5

k x n x

np x C p q

Khi nào có phân phối B(n,p)

• Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là cóphân phối Nhị thức nếu:

• Một thí nghiệm hoặc một phép thử được thực hiệntrong cùng một điều kiện đúng n lần

• Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố. Một biến cố gọi là“thành công” và một biến cố “thất bại”.

• n phép thử độc lập nhau.

• Xác suất thành công, ký hiệu p, là như nhau trong mỗiphép thử. Xác suất thất bại là q=1-p.

• Biến ngẫu nhiên X = số lần thành công trong n phépthử

6

2/15/2019

2

Ví dụ 1

• Một đồng xu được chế tạo sao cho xác suất xuấthiện mặt ngửa mỗi lần tung là 70%. Tung đồng xu100 lần, theo các cách y hệt nhau. Gọi X là số lầnđồng xu xuất hiện mặt ngửa. X có phải là biếnngẫu nhiên có phân phối Nhị thức?

• Một giảng viên đại học lấy mẫu ngẫu nhiên các sinhviên cho đến khi anh ta tìm thấy bốn sinh viên tìnhnguyện đi mùa hè xanh. Đặt X là số sinh viên đượclấy mẫy. X có phải là biến ngẫu nhiên có phân phốinhị thức không?

7

Ví dụ 2

• Một cuộc khảo sát với cỡ mẫu n = 1000 người Mỹtrưởng thành ngẫu nhiên được tiến hành. Đặt X làsố người sở hữu một chiếc xe thể thao đa dụng(SUV) trong mẫu. X có phải là biến ngẫu nhiên nhịthức không?

• Một nhân viên kiểm soát chất lượng điều tra mộtlô gồm 15 sản phẩm. Anh ta lấy mẫu ngẫu nhiên(không thay thế) 5 sản phẩm từ lô. Đặt X bằng sốsản phẩm đạt yêu cầu. X có phải là biến ngẫu nhiênnhị thức không?

8

Effect of n and p on Shape

9

For small p and small n,

the binomial distribution

is what we call skewed

right

For large p and small n,

the binomial distribution

is what we call skewed

left

Effect of n and p on Shape

10

For p = 0.5 and large and

small n, the binomial distribution

is what we call symmetric.

For small p and large n, the

binomial distribution

approaches symmetry.

Tham số đặc trưng

• Cho bnn X~B(n,p). Ta có:

11

)

)

) 1 1 1

i E X np

ii VX npq

iii n p ModX n p

Ví dụ 3

• Xác suất để 1 bệnh nhân được chữa khỏi khi điềutrị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4. Nếu 15người đồng ý chữa trị thì xác suất:

• A) Có ít nhất 10 người khỏi

• B) Có từ 3 đến 8 người khỏi

• C) Có đúng 5 người khỏi

Là bao nhiêu?

12

2/15/2019

3

Ví dụ 4

• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua một loại thiếtbị điện tử về để bán. Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bịhư hỏng của loại thiết bị này là 3%.

a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lôhàng được giao. Xác suất có ít nhất 1 thiết bịhỏng là bao nhiêu?

b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và vớimỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20thiết bị. Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ítnhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị đượckiểm tra?

13

Ví dụ 5

• Có giả thiết cho rằng 30% các giếng nước ở vùngnông thôn có tạp chất. Để có thể tìm hiểu kỹ hơnngười ta đi xét nghiệm một số giếng (vì không đủtiền xét nghiệm hết).

• A) Giả sử giả thiết trên đúng, tính xác suất có đúng3 giếng có tạp chất.

• B) Xác suất có nhiều hơn 3 giếng có tạp chất?

• C) Giả sử trong 10 giếng đã kiểm tra thì có 6 giếngcó tạp chất. Có thể kết luận gì về giả thiết trên?

14

Phân phối siêu bội

• Định nghĩa. Nếu ta chọn ngẫu nhiên n phần tử,không hoàn lại, trong một tập hợp gồm N phần tửvới:

• NA phần tử thuộc một loại, giả sử loại A.

• Và N- NA phần tử còn lại thuộc loại khác.

• Gọi X là số phần tử loại A trong số n phần tử đượcchọn. Khi này PDF của X dạng

15

.

A A

x n x

N N N

n

N

C Cp x

C

Phân phối siêu bội

• Các giá trị của bnn X thỏa mãn:

• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu bội.

• Ký hiệu: X~H(N,NA,n)

16

)    

)    

)            

A

A

i x n

ii x N

iii n x N N

.

A A

x n x

N N N

n

N

C Cp x

C

Các tham số đặc trưng

Cho bnn X~H(N,NA,n) ta có:

Trong đó:

17

;1

N nE X np V X npq

N

; 1ANp q p

N

ModX

• Ta có:

• Với

• Công thức trên cho ta khoảng chứa ModX.

18

0 01k ModX k

0

1 11

2

AN nk

N

2/15/2019

4

Ví dụ 7

• Một hồ có 600 con cá, 80 con được đánh dấu bởicác nhà khoa học. Một nhà nghiên cứu chọn ngẫunhiên 15 con từ hồ. Hãy tìm công thức cho hàmP.M.F của biến ngẫu nhiên X, với X là số cá đượcđánh dấu có trong mẫu lấy ra.

19

Ví dụ 8

• Giả sử có 5 người, trong đó có bạn và một ngườibạn của bạn, xếp hàng một cách ngẫu nhiên. Gọi Xlà biến ngẫu nhiên thể hiện số người ở giữa bạnvà bạn của mình. Hãy xác định PMF của X dướidạng bảng. Hãy kiểm ta tính hợp lý của hàm PMFnày.

20

X 0 1 2 3

P 0,4 0,3 0,2 0,1

Ví dụ 9

• Kiện hàng chứa 40 sản phẩm. Bên mua sẽ khôngmua kiện hàng nếu có từ 3 sản phẩm lỗi trở lên.Để tiện, bên mua quy ước lấy 5 sản phẩm ra kiểmtra, nếu có đúng 1 sản phẩm lỗi thì không mua lôhàng. Xác suất tìm thấy đúng 1 sản phẩm lỗi biếtlô hàng có 3 sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

21

Ví dụ 10

Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5 bónghỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi Xlà số bóng hỏng người đó mua phải.

a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức?

b) Tính kì vọng, phương sai của bnn X?

c) Tính ModX?

22

Ví dụ 11

Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phế phẩmtrong 4 sp.

a) Luật phân phối xác suất của X.

b) Tính E(X), Var(X)?

c) Tìm Mod(X)

23

Quan hệ giữa Nhị thức và siêu bội

24

~ ,X B n p ~ , ,AX H N N nn<<N

N>20n

A A

k n k

N N N k k n k

nn

N

C CP X k C p q

C

2/15/2019

5

Ví dụ 12

• Nhà sản xuất thông báo rằng trong số 5000 lốp xemáy gửi cho một nhà phân phối ở HCM có 1000lốp có lỗi nhẹ. Nếu một người mua ngẫu nhiên 10lốp xe từ nhà phân phối này thì xác suất có 3 lốpmắc lỗi là bao nhiêu?

25

Phân phối Poisson

• X: số lần một sự kiện xh trong 1 khoảng thời gian(không gian)

• X=0,1,2,…

• X có thể là bnn Poisson

• Ví dụ:

• Số lỗi sai trên 1 trang in

• Số khách hàng vào ATM trong 10 phút

• Số người qua ngã tư trong 2 phút

26

Phân phối Poisson P(λ)

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luậtPoisson P(λ) nếu có PMF dạng:

• x=0,1,2,3… và λ>0

• Kí hiệu: X~ P(λ)

27

.!

x

p x ex

Điều kiện để xấp xỉ phân phối Poisson

• X: số lần sự kiện xh trong 1 khoảng liên tục.

• X tuân theo quá trình xấp xỉ Poisson với tham số λ>0nếu:

a) Số lượng các sự kiện xh trong những khoảng rời nhaulà độc lập.

b) Xác suất có đúng 1 sự kiện xh trong 1 khoảng ngắn cóđộ dài h=1/n xấp xỉ với λh = λ(1/n) = λ/n.

c) Xác suất có đúng 2 hoặc nhiều hơn hai sự kiện xhtrong một khoảng ngắn là 0 (rất nhỏ).

28

Các tham số và tính chất

• Cho X~ P(λ). Ta có:

• X1, X2 là hai bnn độc lập và X1~ P(λ1); X2~ P(λ2).

Ta có:

29

)

)

) 1

i E X

ii V X

iii ModX

1 2 1 2~ X X P

Một số ví dụ

• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗiphút.

• Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong mỗiphút.

• Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thờigian xác định.

• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy.

• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗiđơn vị độ dài của một con đường.

• Số lượng cây thông trên mỗi đơn vị diện tích rừnghỗn hợp.

30

2/15/2019

6

Ví dụ 13

Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xácsuất trong 1 giờ có

a. Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A)

b. Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B)

31

Ví dụ 14

Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộcgọi trong một giờ. Tính xác suất:

a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút.

b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút.

32

Xấp xỉ B(n,p) bằng P(λ)

• Khi n lớn và p nhỏ thì ta có thể xấp xỉ phân phốiNhị thức bằng phân phối Poisson

• Nghĩa là:

• Trong đó:

• Điều kiện để xấp xỉ tốt:

33

!

x

x x n x

nC p q ex

. n p E X

20 100

0,05 0,1

n nhay

p p

Ví dụ 15

• Năm phần trăm (5%) bóng đèn cây thông Giáng sinhdo một công ty sản xuất bị lỗi. Giám đốc của bộ phậnkiểm soát chất lượng của công ty khá quan ngại và dođó lấy mẫu ngẫu nhiên 100 bóng đèn ra khỏi dâychuyền lắp ráp. Gọi X là số bóng đèn trong mẫu bị lỗi.Xác suất mà mẫu chứa nhiều nhất là ba bóng đèn bị lỗilà bao nhiêu?

34

3.2. Biến ngẫu nhiên liên tục

• Phân phối đều U(a, b) Uniform

• Phân phối lũy thừa Exponential

• Phân phối chuẩn Normal

• Phân phối Student

• Phân phối Khi bình phương Chi-squared,

• Phân phối Fisher

35

Phân phối đều

Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phốiđều U(a,b) nếu hàm mật độ có dạng:

Trong đó: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

36

1( )

f x

b a

( )

x aF x

b a

2/15/2019

7

Phân phối đều

• Các tham số đặc trưng

37

2

0

)2 12

) ,2

b aa bi E X Var X

a bii ModX x a b MedX

Ứng dụng của phân bố đều

• Bài 1. Lớp có 40 sinh viên, giảng viên cần chiathành 2 nhóm mỗi nhóm 20 sinh viên. Làm cáchnào chia nhóm một cách ngẫu nhiên?

• Bài 2. Làm cách nào chọn được ngẫu nhiên 100sinh viên trong toàn bộ sinh viên đang học tạiFTU2 (giả sử gồm 4000 sinh viên) để tham giakhảo sát về chất lượng giảng dạy.

• Xem bài viết gốc tại:

• https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/137/

38

Biểu đồ Q-Q (quantile-quantile plot)

• Làm thế nào chúng ta có thể đánh giá nếu một tậphợp dữ liệu cụ thể tuân theo phân phối xác suấtcụ thể?

• Cách 1: so sánh các số đặc trưng không đủ

• Cách 2: dùng Q-Q plot (biểu đồ so sánh các phânvị)

39

Ví dụ 17

• Tập hợp 19 số dưới đây được phát sinh ngẫunhiên từ phân phối U(0,1) bằng phần mềmMinitabs. Hãy xem xét xem các số này có phù hợpvới mô hình xác suất cho bởi f(x)=1 với 0<x<1 haykhông?

40

Phân phối lũy thừa

Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phốilũy thừa E(𝜆) nếu hàm mật độ có dạng:

Trong đó: 0≤ 𝑥, 𝜆 > 0

41

( ) xf x e

Phân phối lũy thừa

• Các tham số đặc trưng

• Thời gian giữa hai lần xuất hiện trong phân phốiPoisson P(𝜆 ) có phân phối lũy thừa E(1/ 𝜆)

42

2

1 1)

ln 2) 0

) 1

x

i E X V X

ii MedX ModX

iii F x e

2/15/2019

8

Ví dụ 18

• Các cuộc gọi đến một tổng đài điện thoại tuân theomột quy trình Poisson gần đúng với tốc độ trung bình30 cuộc gọi mỗi giờ. Xác suất để tổng đài viên phải chờhơn 3 phút để có cuộc gọi tiếp theo là bao nhiêu?

43

Ví dụ 19

• Quãng đường (km) một chiếc xe hơi có thể chạytrước khi phải thay pin ắc quy có phân phối lũythừa với trung bình là 10.000 km. Chủ xe muốn đidu lịch bụi với quãng đường khoảng 5000km. Xácsuất để anh ta có thể hoàn thành chuyến đi màkhông cần phải thay pin ắc quy là bao nhiêu?

44

Phân phối chuẩn N(, 2)

• Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân

phối chuẩn N(, 2) nếu hàm mật độ có dạng:

• Trong đó:

• Ký hiệu: X ~ N(, 2)

45

, , 0 x

2

2

21

)2

(

x

f x e

Tính chất

46

2

2

~ ,

)

)

Neáu thì:

X N

i E X V X

ii ModX MedX

Đối xứngDạng hình chuông “bell sharped”

lim 0

x

f x

Chuẩn hóa phân phối chuẩn

• Định lý. Nếu 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 thì biến ngẫu nhiên

chuẩn hóa của nó, 𝑍 =𝑋−𝜇

𝜎, cũng có phân phối

chuẩn. Cụ thể là:

• Phân phối N(0,1) được gọi là phân phối chuẩntắc.

• Standard Normal Distribution

47

2~ , ~ 0,1 .Neáu thì:X

X N Z N

Xác suất của phân phối chuẩn

Ta có thể tìm xác suất dạng P(a<X<b) của biến ngẫunhiên 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 như sau:

• 1) Xác định miền tính xác suất theo X.

• 2) Biến đổi X, a, b theo công thức:

• 3) Sử dụng bảng Phụ lục xác suất N(0,1) để tìm xácsuất mong muốn.

48

XZ

b a

P a X b

2/15/2019

9

Bảng phân phối chuẩn tắc

• Đồ thị của N(0,1)

• Bảng phụ lục xác suất N(0,1) thể hiện giá trị xácsuất dạng:

49

0 P Z z z

z

2 /2

0

1

2

z

xz e dx

Tính chất của hàm 𝜑(x)

50

)

) 0,5 0,5

) 0,5 5

i z z

ii

iii z khi z

z

2 /2

0

1

2

z

xz e dx

Giá trị tới hạn Zα

• Giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là sốthực ký hiệu Zα sao cho với Z~N(0;1) thì:

• Chú ý:

51

P Z Z

0 1

0,5 10

Z Z

Z Z Z

Z

Quy tắc k-sigma

• Trong thực nghiệm, nếu một tập số liệu có phân phốichuẩn thì:

• Khoảng 68% dữ liệu nằm trong một độ lệch chuẩn so vớitrung bình

• Khoảng 95% dữ liệu nằm trong hai độ lệch chuẩn so vớitrung bình

• khoảng 99,7% dữ liệu nằm trong ba độ lệch chuẩn so vớitrung bình

52

2

) 0,6826 ) 2 0,9544

) 3 0,9974 ) 4 1

P X k P Z k k

a P X b P X

c P X d P X

Nhận biết phân phối chuẩn

• Q-Q plot

• http://www.jbstatistics.com/normal-quantile-quantile-plots/

• Ví dụ. Liệu các giá trị sau đây có phải được lấy ratừ một phân phối chuẩn?

• 7.19; 6.31; 5.89; 4.5; 3.77; 4.25; 5.19; 5.79; 6.79.

53

Ví dụ 20

1) Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10 vàP(10<X<20)=0,3. Tính xác suất P(0<X<15)?

2) Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) là hai biến ngẫu nhiênđộc lập. Tìm xác suất P(X>2Y).

54

2/15/2019

10

Ví dụ 21

Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tạimột cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21)

a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút?

b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t làkhông quá 5%?

55

Ví dụ 22

• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phânphối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4 triệuđồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình khi bánloại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng thì cần qui địnhthời gian bảo hành là bao lâu?

56

Phân phối Khi bình phương

• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với nbậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

• Ký hiệu:

• Là trường hợp riêng của pp Gamma.

57

12 2

2

1, 0

22

0 , 0

n x

nx e x

nf x

x

2~X n

Khi bình phương và Chuẩn

• Định lý. Nếu 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 thì:

• Định lý. Cho n biến ngẫu nhiên độc lập cùng cóphân phối chuẩn tắc.

• Khi đó:

58

2 2

1

~n

i

i

X n

2

2 2~ 1

XZ

~ 0,1iX N

Phân phối Khi bình phương

• Nếu X~χ2(n) thì

• Đồ thị dạng:

59

; 2 E X n V X n

Bậc tự do n và dạng đồ thị

60

2~ ,2Neáu thì

F

nX n X N n n

2/15/2019

11

Giá trị tới hạn 𝜒2 (n; α)

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu 𝜒2(n;𝛼) sao cho với Z~ 𝜒2(n) thì:

61

2 ;nP Z

2 ;n

Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương

62

Ví dụ 23

• Cho 𝑍~𝜒2 20

• Tìm các xác suất sau:

63

2) 20;0,95

) 8,2604 ?

) 10,8508 31,4104 ?

a

b P Z

c P Z

Phân phối Student

• Định nghĩa. Nếu 𝑋~𝑁 0,1 và 𝑌~𝜒2 𝑛 là haibiến ngẫu nhiên độc lập thì biến ngẫu nhiên:

có phân phối Student hay phân phối t với n bậc tựdo.

• Ký hiệu: T~𝑡 𝑛

64

X X n

TY Y

n;

Phân phối Student t(n)

• Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phốiStudent với n bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:

• Kí hiệu: X ~ t(n)

65

12 2

,

1

1 21

2

n

x

n

xf x

n nn

Tính chất

66

• Nếu X ~ t(n) thì:

) 0 1 ;

) 2 .2

) 0,1

F

n

a E T n

nb V T n

n

c T N

2/15/2019

12

Giá trị tới hạn 𝑡(𝑛, 𝛼)

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu 𝑡(𝑛, 𝛼) sao cho với Z~ 𝑡(n) thì:

67

;nZ tP

;0 ;1

;0,5 ;1 ;

;

0

n n

n n n

n

n

t t

t t t

t Z

Bảng giá trị tới hạn Student

68

Ví dụ 24

• Cho 𝑍~𝑡 15 . Tìm các giá trị tới hạn và xác suấtsau:

69

15;0,025

15;0,975

) 0,025 ?

) 2,602 ?

) 2,0343 2,9467 ?

) 0,975 ?

a P Z a hay t

b P Z

c P Z

d P Z b hay t

Phân phối Fisher - Snedecor

• Định nghĩa. Nếu 𝑋~𝜒2 𝑛 ; 𝑌~𝜒2 𝑚 là hai biếnngẫu nhiên độc lập nhau thì biến ngẫu nhiên:

• có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc tự do.

• Ký hiệu:

70

/

/

X nF

Y m

~ ;F F n m

Đồ thị hàm mật độ

71

, 1,0F

mn

F n m N

Tính chất

• Cho X~F 𝑛,𝑚 thì:

72

2

2

, 22

2 2

2 4

, 1,0

F

mn

mE X m

m

m n mV X

n m m

F n m N

, 1,0F

mn

F n m N

𝑛,𝑚

2/15/2019

13

Giá trị tới hạn phân phối Fisher

• Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực kýhiệu F(n,m, α) hay 𝑓(n,m, α) sao cho với F~𝐹(n,m) thì:

• Tính chất:

73

, ,P F f n m

, ,f n m

( )1

, ,1, ,( )

f n mf n m

Bảng giá trị tới hạn Fisher

74

Ví dụ 25

• Cho F~F(20; 30). Tìm a, b, c sao cho:

75

) 0,05

) 0,01

) 0,95

a P F a

b P F b

a P F c

3.3 Định lý giới hạn trung tâm

• Central Limit Theorem

• Giả sử X1, X2, ... , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập vàcó cùng phân phối xác suất (bất kỳ dạng nào) với kỳvọng μ và phương sai hữu hạn σ2. Khi n đủ lớn thì:

a) Trung bình cộng của Xi, ký hiệu 𝑋, có phân phối xấp xỉvới phân phối chuẩn.

b) Với kỳ vọng là 𝐸 𝑋 = 𝜇

c) Và phương sai là V 𝑋 =𝜎2

𝑛

76

2

1 ...,

n

n

X XX N

n n

Ví dụ 28

• Gọi Xi biểu thị thời gian chờ đợi (tính bằng phút)của khách hàng thứ i. Một trợ lý quản lý tuyên bốrằng, thời gian chờ đợi trung bình của toàn bộkhách hàng, là 2 phút. Người quản lý không tinvào tuyên bố của trợ lý, vì vậy anh ta quan sát mộtmẫu ngẫu nhiên gồm 36 khách hàng. Thời gianchờ trung bình cho 36 khách hàng được quan sátlà 3,2 phút. Người quản lý có nên bác bỏ tuyên bốcủa trợ lý (... và sa thải anh ta) không?

77

Xấp xỉ xác suất

78

~ ,X B n p

~

.

X P

n p

~ , ,AX H N N nn<<N

Y ~

.

P

n q

n rất lớn

p rất nhỏ n rất lớn

p rất lớn

2/15/2019

14

Xấp xỉ pp chuẩn

79

2~ ,X N ~ ,X B n pn rất lớn

2

E X np

V X npq

0,1<p<0,9

5; 5

30

0,1 0,9

np nq

n

p

20npq

Công thức xấp xỉ

• Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) ≈ 𝑁(𝜇; 𝜎2)

80

2 /2

2 11 2

1 1) ;

2

0,5 0,5)

xk npi P X k f f x e

npq npq

k np k npii P k X k

npq npq

Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)

• Cho bnn X có phân phối Poisson

• Ta chứng minh được:

• Trong thực hành, ta xấp xỉ được khi 𝜆 > 20. Nghĩa là:

81

~ 0,1X

N khi

~ ? ?X P E X V X

0,1 ~ , 20X

N khi X P

Ví dụ 30

• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình củamột viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch chuẩn 4,2mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn.

• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260mg.

• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹhơn x0.

• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng xungquanh trung bình với độ lệch tối đa 5%. Tính tỷ lệ viênthuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được khảo sát.

82

Bài tập chương 3

• 3.1; 3.2; 3.3; 3.6; 3.7; 3.8; 3.11; 3.12; 3.16

• 3.17; 3.22; 3.23; 3.29; 3.32; 3.37; 3.38

• 3.39; 3.40; 3.42

• Tất cả 19 bài

83