3
3.3 K thut chn im riTrong k thut chn im ri, vic s dng du = trong
BT Csi v cc quy tc v tnh ng thi ca du = , quy tc bin v quy tc i xng
s c s dng tm im ri ca bin.
Bi 1: Cho a 2 . Tm gi tr nh nht (GTNN) ca Gii
Sai lm thng gp ca hc sinh: 2=2
Du = xy ra a = 1 v l v gi thit l a 2.Cch lm ng:
Ta chn im ri: ta phi tch hng t a hoc hng t sao cho khi p dng BT
Csi du = xy ra khi a = 2. C cc hnh thc tch sau:
Chng hn ta chn s im ri (1):(s im ri (2), (3), (4) hc sinh t
lm)
= 4.
Vy ta c: . Du = xy ra a = 2.Bnh lun:
Ta s dng iu kin du = v im ri l a = 2 da trn quy tc bin tm ra =
4.
y ta thy tnh ng thi ca du = trong vic p dng BT Csi cho 2 s v t
gi tr ln nht khi a = 2, tc l chng c cng im ri l a = 2.
Bi 2: Cho a 2. Tm gi tr nh nht ca biu thc: Gii
S chn im ri: a = 2 = 8.Sai lm thng gp:
MinS = Nguyn nhn sai lm:
Mc d chn im ri a = 2 v MinS = l p s ng nhng cch gii trn mc sai
lm trong vic nh gi mu s: Nu a 2 th l nh gi sai. thc hin li gii ng
ta cn phi kt hp vi k thut tch nghch o, phi bin i S sao cho sau khi
s dng BT Csi s kh ht bin s a mu s.
Li gii ng:
Vi a = 2 th Min S =
Bi 3: Cho . Tm gi tr nh nht ca GiiSai lm thng gp:
Min S = 6Nguyn nhn sai lm :
Min S = 6 tri vi gii thit.Phn tch v tm ti li gii:
Do S l mt biu thc i xng vi a, b, c nn d on MinS t ti im ri
S im ri: Hoc ta c s im ri sau:
Vy ta c cch gii theo s 2 nh sau:
. Vi th MinS =
Bi 4: Cho. Tm GTNN ca
GiiSai lm thng gp:
MinS = .Nguyn nhn sai lm:
MinS = tri vi gi thit.Phn tch v tm ti li gii
Do S l mt biu thc i xng vi a, b, c nn d on MinS t ti
Li gii
.Du = xy ra khi Min S = Bnh lun: Vic chn im ri cho bi ton trn
gii quyt mt cch ng n v mt ton hc nhng cch lm trn tng i cng knh. Nu
chng ta p dng vic chn im ri cho BT Bunhiacpski th bi ton s nhanh gn
hn p hn. Trong bi ton trn chng ta dng mt k thut nh gi t TBN sang
TBC, chiu ca du ca BT khng ch ph thuc vo chiu nh gi m n cn ph thuc
vo biu thc nh gi nm mu s hay t sBi 5: Cho a, b, c, d > 0. Tm gi
tr nh nht ca biu thc:
GiiSai lm 1 thng gp:
S 2 + 2 + 2 + 2 = 8Sai lm 2 thng gp:S dng BT Csi cho 8 s:
Nguyn nhn sai lm:
Min S = 8 a + b + c + d = 3(a + b + c + d) 1 = 3 V l.Phn tch v
tm ti li gii
tm Min S ta cn ch S l mt biu thc i xng vi a, b, c, d do Min S nu
c thng t ti im ri t do l : a = b = c = d > 0.(ni l im ri t do v
a, b, c, d khng mang mt gi tr c th). Vy ta cho trc a = b = c = d d
on . T suy ra cc nh gi ca cc BT b phn phi c iu kin du bng xy ra l
tp con ca iu kin d on: a = b = c = d > 0.Ta c s im ri: Cho a = b
= c = d > 0 ta c:
Cch 1: S dng BT Csi ta c:
Vi a = b = c = d > 0 th Min S = 40/3.Chuyn : K THUT CHN IM RI
TRONG BI TON CC TR
I. BI TON M U
Bi ton 1. Cho , tm GTNN ca Gii
Ta c:
Du = xy ra
Bi ton 2. Cho , tm GTNN ca Gii
Li gii 1. Ta c:
Du = xy ra . V nghim
Vy khng tn ti
Li gii 2. Ta c:
Mt khc . Vy
Du = xy ra .
Li bnh: Bi ton 1 v bi ton 2 gn nh tng t nhau, cng p dng bt ng
thc . Li gii 1 ti sao sai? Li gii 2 ti sao li tch ?..? Lm sao nhn
bit c iu ?... chnh l k thut chn im ri trong bt ng thc. V qua chuyn
ny chng ta s hiu su hn v k thut chn im ri trong vic gii cc bi ton
cc tr
II. NI DUNG1. B tc kin thc v bt ng thca) Tnh cht c bn ca bt ng
thc
nh ngha:
b) Mt s bt ng thc c bn Bt ng thc Cauchy
Cho s thc khng m ta lun c . Du = xy ra khi v ch khi . Mt vi h qu
quan trng:
Cho s dng (): ta c:
Bt ng thc BCS
Cho s dng (): ta c:
Du = xy ra H qu(Bt ng thc Svc-x)
Cho hai dy s ta lun c:
Du = xy ra 2. Gi tr ln nht, gi tr nh nht
Cho l mt hm bin thc trn
3. Phng php chn im riNhn xt: Cc bt ng thc trong cc thi i hc thng
thng l i xng vi cc bin, v ta d on du bng xy ta khi cc bin bng nhau
v xy ra ti bin.a) K thut chn im ri trong bt ng thc CauchyS dng h qu
(1) v (2)
Bi 1. Cho , tm GTNN ca biu thc .Sai lm thng gp:Sai lm 1: Ta c
:
.
Mt khc . Vy nn Sai lm 2:
Du bng xy ra . Thay vo ta c khi .Nguyn nhn sai lm:
Sai lm 1: Hc sinh cha c khi nim im ri, vic tch l do thi quen lm
xut hin . . Du = bt ng thc khng xy ra khng kt lun c
Sai lm 2: Hc sinh c khi nim im ri, d on c du bng khi nn tch cc s
hng v khi l ng, nhng bc cui hc sinh l lun sai (tm gi tr bin trc kt
lun gi tr min sau), v d nh , du bng xy ra khi . V
Li gii ng: Do P l biu thc i xng vi , ta d on t ti , ta c:
Du bng xy ra .
Bi 2. Cho , tm GTNN ca biu thc .Sai lm thng gp:
Ta c:
. Vy
Nguyn nhn sai lm: Li gii ng
Ta d on du bng xy ra khi , v ta thy v th ta mun xut hin ; ta p
dng bt ng thc v nu vy:
, ta khng nh gi tip c cho nn ta phi p dng bt ng thc cho 5 s:
Du bng xy ra khi .
Bi 3. Cho . Tm GTLN ca .Sai lm thng gp:
Sai lm 1: Ta c
Sai lm 2:
Nguyn nhn sai lm: C hai li gii trn u bit hng ch song cha bit chn
im ri. , tc l khng tn ti
Li gii ng: T hai li gii trn vi d on t c ti nn tch cc s ra cho du
bng xy ra.
Cch 1: Ta c , tng t v ta c:
, vy khi .
Cch 2: Ta c , mt khc:
, tng t ta c:
. Du = xy ra khi , suy ra:
khi.Nhn xt: Ta c th m rng bi 3:
Cho . Tm GTLN ca .
Vi : Cch lm tng t nh bi 3, ta tch . Nu , th bi ton c cn gii quyt
c khng? Cu tr li dnh cho c gi trong phn sau K thut chn im ri trong
BCS
Bi 4. Cho . Chng minh rng:.Sai lm thng gp:
Ta c: , tng t ta c:
,
m
Nguyn nhn sai lm: , vy
Li gii ng: Ta d on du = trong bt ng thc xy ra khi . Vy ta p dng
Cauchy cho ba s ta c:
, tng t ta c:
, du bng xy ra khi
Bi 5. Cho , chng minh rng: Sai lm thng gp:
Sai lm 1: , mt khc , suy ra:
. Vy , du = xy ra khi
Sai lm 2: ta c:,
mt khc Nguyn nhn sai lm:
sai lm 1: Hc sinh qun tnh cht c bn ca bt ng thc:
sai lm 2: Du = xy ra
Li gii ng: Ta d on du = xy ra khi . V vy khi p dng Cauchy cho v
:
Ta c:
Du = xy ra khi .Bi tp tng t(trch dn trong cc thi i hc)
Bi 1. Cho , chng minh rng ,
vi . Nu m = 1 l thi i hc Khi D nm 2005
Bi 2. Cho l 3 s tha , chng minh rng:
( tham kho 2005)
Bi 3. Cho , tm GTLN:
Bi 4. Cho l cc s dng tha mn .
Chng minh rng: (TK 2005)
Bi 5. Cho , tm GTNN ca cc biu thc sau:
Bi 6. Cho , chng minh rng: .
Bi 7. Cho l cc s dng. Tm GTNN ca:
(HQGHN 2001-2002)
Bi 8. Cho dng tha , tm GTNN ca biu thc:
(H 2000 2001)
Bi 9. Cho , tm GTNN ca (HNT 2001 2002)
Bi 10. Cho l ba s dng v , chng minh rng:
(H 2003)
b) K thut chn im ri trong bt ng thc BCS.
Bi 1. Cho l ba s dng v , chng minh rng:
Nhn xt: chng ta c th dng bt ng thc Cauchy nh phn 1
Sai lm :
Tng t ta c:
Vy
Nguyn nhn sai lm:
Li gii ng: Ta d on du ng thc xy ra khi ; v biu thc trong cn gi
cho ta s dng BCS: vi l nhng s tha mn:
, chn
Ta c , tng t ta c:
, do (v ) nn ta tch:
Vy , du = xy ra khi .
Bi 2. Cho , tm GTLN ca Gii
p dng h qu (1) ta c: , ta chn sao cho v
Vy ta c:
Du bng xy ra khi Bi tp p dng
Bi 1. Cho ,chng minh rng
Bi 2. Cho , tm GTNN ca
Bi 3. Cho , tm GTNN ca
Bi 4. Cho , tm GTNN ca
Bi 5. Cho , chng minh rng:
