ECUACIONES DIFERENCIALES

Cauchy-Euler

en una ecuación de lineal de la forma: 

donde los coeficientes    son constantes se

le conoce como una ecuación de cauchy-euler la

característica de este tipo de ecuaciones que el

grado k=n,n-1.....1,0 de los coeficientes  coincide

con el orden ñ de diferenciación 

la solución de ecuaciones se deduce de una manera

análoga , de la ecuación no homogénea

se resuelve mediante variación de parámetros, una vez

que se determina la función complementaria  . 

Una solución de la forma    donde m es un valor que

se debe determinar. análogo a lo que sucede cuando se

sustituye    en una ecuación lineal con coeficientes

constantes , cada termino en CE se convierte en un

polímero en m multiplicado por    ya que: 

si sustituimos    es una solución de la ecuación

diferencial siempre que m sea una solución de la ecuación

auxiliar por lo que hay 2 casos distintos por considerar en

función de si a las raíces de esta ecuación cuadrática son

reales y distintas reales e iguales o complejas. en el ultimo caso

las raíces aparecen como un par conjugado. 

CASOS

Caso I (raíces reales y distintas)

sean m1 y m2 de    con    entonces    y   

forman un conjunto fundamental de soluciones. 

Caso II (raíces repetidas)

si las raíces son repetidas es decir m1=m2 entonces se obtiene una sola solución

a saber, . Cuando las raíces de la ecuación cuadrática son iguales, el

discriminante de los coeficientes necesariamente es cero de la formula

cuadrática se deduce que las raíces deben ser    ahora se puede

escribir una segunda solución    pero antes debemos escribir la ecuación de

Cauchy en la forma estándar: 

 

Nombre del Maestro: Martínez Padilla Cesar Octavio

Nombre de la Materia: Ecuaciones Diferenciales

Nombre de la Tarea: Cauchy-Euler

Nombre del Alumno: Edgar Jonathan Villegas Cárdenas

Registro: 10310449