Embed Size (px)
Citation preview
BÀI SOẠN
GIẢI TÍCH TOÁN HỌC II
1
CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
§1:KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU1)Hàm số nhiều biến số
Trong không gian Euclide n chiều một phần tử là một bộ n số thực
.Tập .ta gọi ánh xạ xác định bởi
là một hàm số n biến xác định
trên
2) Tập hợp trong :Giả sử trong .Khoảng
cách giữa 2 điểm ấy,ký hiệu d(M,N) được xác định bởi
a)Ta gọi là một lân cận của
b)Cho tập ,điểm được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại một lân
cận của M nằm hoàn toàn trong E
c)Điểm M được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi lân cận của M vừa chứa
những điểm của E và những điểm không thuộc E.Biên của E kí hiệu
d)Tập E được gọi là mở của nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
e)Tập E được gọi là đóng là tập bao gồm cả biên.
f) Tập E được gọi là liên thông nếu với mọi điểm đều nối với nhau bởi
một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong E.
3) Giới hạn của hàm số nhiều biến số:
a)Ta nói rằng dãy điểm dần tới khi và viết
2
nếu hay và
b)Giả sử hàm xác định trong một lân cận V của .
Hàm được gọi là có giới hạn khi M(x,y) dần đến nếu
và viết
hoặc
Lưu ý:Giới hạn của hàm số (nếu có) là duy nhất.
c)Định lý: khi và chỉ khi với mọi dãy thỏa mãn
thì
Lưu ý:Định lý này thường dùng để chứng minh cho hàm số không tồn tại giới hạn tại
một điểm.
Ví dụ: Tìm
Đặt khi đó sẽ có những giá trị khác nhau ứng với
những giá trị khác nhau của k.Do đó không tồn tại giới hạn đã cho.
4) Tính liên tục của hàm nhiều biến: Nếu và thuộc
miền xác định của hàm f(M) thì hàm f(M) được gọi là liên tục tại .
5) Liên tục đều hàm số được gọi là liên tục đều trên tập D,
nếu luôn có
6) Giới hạn hoặc được gọi là giới hạn lặp của
hàm f(x,y) tại .Thực chất giới hạn lặp là giới hạn của hàm một biến số.
Lưu ý: Tập E được gọi là đóng nếu mọi dãy điểm mà thì .
3
§2:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
I. Đạo hàm riêng:Cho hàm xác định trong D mở, .
Cho một số gia sao cho .Nếu tồn tại
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại
và ký hiệu .Hoàn toàn tương tự ta cũng có .
Lưu ý:Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến số thực chất là đạo hàm của hàm một biến
số.Vì trong quá trình lấy đạo hàm theo biến x thì .
Hoàn toàn tương tự ta cũng có các định nghĩa đạo hàm riêng của các hàm 3,4…biến.
II. Vi phân toàn phần
1) Định nghĩa:Cho hàm xác định trong D mở, .
Cho một số gia và tương ứng sao cho .Biểu thức
gọi là số gia toàn phần của
tại .Nếu có ,trong đó A,B chỉ phụ thuộc
thì hàm được gọi là khả vi tại .Biểu thức được
gọi là vi phân toàn phần của hàm tại .
ký hiệu: .
Chú ý:Nếu hàm khả vi tại thì liên tục tại đó.
2) Định lý:Nếu hàm khả vi tại thì tại đó hàm có đạo hàm
riêng.Với ,khi đó và
3) Định lý:Cho hàm số có đạo hàm riêng trong lân cận của điểm
và các đạo hàm riêng liên tục tại thì tại đó hàm khả vi.
Chứng minh: Ta có
4
theo công thức số gia giới nội Lagrang của hàm một biến thì
và
trong đó .
Mặt khác với khi và
với khi
Vậy đpcm.
Chú ý:+ Nếu hoặc thì và khi đó
+ Ta có thể dùng vi phân toàn phần để tính giá trị gần đúng của một biểu
thức,xong sai số không theo ý muốn.
III. Đạo hàm của hàm hợp: Cho trong đó và là các
hàm số.Các hàm u, x, y là các hàm có đạo hàm riêng,khi đó
là các đạo hàm riêng của hàm u theo biến t và s.Ngoài ra ta còn có cách thể hiện khác:
ở đó ma trận
gọi là ma trận Jacobi của x,y đối với t và s.Định thức của ma trận gọi là định thức
5
Jacobi của x,y đối với t và s.Ký hiệu
Chú ý:Các quy tắc lấy đạo hàm riêng và vi phân của hàm số nhiều biến số tương tự như
quy tắc đối với hàm một biến số.
IV. Đạo hàm của hàm ẩn:
1) Khái niệm về hàm ẩn:Gsử từ phương trình xác định hàm
thỏa mãn .Như vậy hàm được xác định một cách ẩn bởi
phương trình .Tương tự đối với các hàm nhiều hơn ba biến.
2) Định lý:Giả sử hàm có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của
và ; .Khi đó từ trong lân cận
xác định duy nhất hàm ẩn liên tục,có đạo hàm riêng liên tục và
thỏa mãn và ; .
V. Đạo hàm và vi phân cấp cao
1)Khái niệm:Giả sử hàm số có đạo hàm riêng và
cũng là những hàm số có đạo hàm riêng và đó là các đạo hàm riêng cấp 2
&
&
Các đạo hàm và được gọi là các đạo hàm hỗn hợp cấp 2.Với cách lý luận
tương tự ta cũng có các đạo hàm cấp 3,4…
2)Định lý(Schwarz):Nếu trong lân cận nào đó của hàm số
6
có các đạo hàm riêng và các đạo hàm đó liên tục tại thì
Chứng minh:Xét
Giữ y và không đổi, đặt thì
từ giả thiết ta có khả vi trong ,nên
với
tức là
Vậy
Hoàn toàn tương tự,giữ cố định ta cũng có
khi ta có
khi và thì vì các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục.
3)Vi phân cấp cao:Giả sử là vi phân toàn phần của hàm
tại ,với dx,dy được coi như hằng số và cũng là một hàm có
vi phân toàn phần.Khi đó và
Về mặt hình thức:
VI. Hàm số đẳng cấp
Cho thỏa mãn .
Hàm số xác định trên G được gọi là đẳng cấp bậc k nếu thỏa mãn
với
Ví dụ :
7
Nhận xét:Nếu đẳng cấp bậc k thì các đạo hàm riêng cấp 1 của nó cũng là
những hàm số đẳng cấp bậc k – 1.
Hàm số đẳng cấp bậc k khi và chỉ khi (CT Euler)
Thật vậy từ lấy đạo hàm hai vế theo t ta được
cho t = 1 ta có đpcm.
Ngược lại thay bởi và nhân hai vế của đẳng thức đã cho với thì được
Nhận thấy rằng vế trái của đẳng thức trên là đạo hàm theo t của
do đó cho ta được ,tức là
VII. Đạo hàm theo hướng.Gradien
Cho hàm số xác định trên .Qua điểm vẽ một đường
thẳng định hướng có vecto đơn vị là ,M là một điểm trên đường thẳng đó.
Ta có trong đó là độ dài đại số của vecto .Nếu tồn tại
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm U theo
hướng tại .ký hiệu
đặc biệt khi cùng phương thì
Định lý:Nếu hàm khả vi tại thì tại đó nó có đạo hàm theo
mọi hướng và
8
trong đó là tọa độ của vecto (hay còn gọi là côsin chỉ phương).
Chứng minh:Do giả thiết,nên
trong đó
nên
Chuyển qua giới hạn khi ta có điều phải chứng minh.
Vectơ được gọi là Gradien của tại và ký hiệu
nếu gọi là cơ sở trong thì
VIII. Công thức Taylor:
Định lý:Cho hàm số có đạo hàm riêng đến cấp liên tục trong lân cận nào đó
của điểm .Nếu cũng thuộc lân cận đó thì
với
Chứng minh:Đặt với khi đó
do giả thiết nên F(t) khả vi trên ,theo
Taylor đối với hàm một biến số ta có
với
9
Nhưng
và
cứ tiếp tục ta có .
Qua đó ta có điều cần phải chứng minh.
§3:CỰC TRỊ
I. Cực trị của của hàm nhiều biến:Cho hàm số xác định trong miền D nào
đó trong ,điểm .Ta nói hàm đạt cực trị tại nếu với mọi
điểm trong lân cận của : giữ nguyên một dấu
nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại
nếu thì hàm số đạt cực đại tại
Đặt
Định lý:Nếu hàm đạt cực trị tại và tại đó có các đạo hàm riêng,thì
.
Định lý: Giả sử hàm có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận
nào đó của và .Khi đó tại :
a)Nếu thì đạt cực trị tại và
thì đạt cực tiểu tại .
thì đạt cực đại tại .
b) thì không đạt cực trị tại
c) thì có thể đạt hoặc không đạt cực trị tại .
10
Chứng minh:Giả sử ở trong lân cận theo công thức Taylor ta có:
.Khi h, k đủ nhỏ thì
coi là cùng dấu với . Ta coi
là dạng toàn phương của 2 biến h và k.Dạng toàn phương có ma trận
khi thì dạng toàn phương trên không xác định âm hoặc dương
Hàm số không có CĐ,CT.
Nếu Nếu và thì dạng toàn phương trên xác định dương,do
đó hàm số đạt CT tại .
Nếu Nếu và thì dạng toàn phương trên xác định âm,do đó
hàm số đạt CĐ tại .
Chú ý:Nếu ta cần khai triển Taylor hàm đến cấp 3...
Trong trường hợp hàm n biến ta cần xét đến dạng toàn phương xác định dương,âm.Ở đó
các hệ số của dạng toàn phương là các đạo hàm riêng cấp hai tại .
Cụ thể:Với hàm 3 biến có ,còn các đạo hàm
cấp hai tính tại .Ở đó
Và ta có ma trận của dạng toàn phương là
11
Ví dụ:Tìm cực trị của hàm số
Chứng minh:
1)Tìm điểm nghi ngờ:
2)Tính các đạo hàm riêng cấp hai
;
và
Đặt khi đó khai triển Taylor của hàm số tại O(0,0,0) là
Ma trận của dạng toàn phương là: là ma trận xác định dương.Vậy tại điểm
O(0,0,0) hàm số đạt cực tiểu và .
Nhắc lại
Định thức con chính dương thì dạng toàn phương xác định dương.
Dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính cấp lẻ âm và cấp
chẵn dương.
II. Cực trị có điều kiện
1)Bài toán:Tìm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện
12
2)Điều kiện ắt có của cực trị có điều kiện
Giả sử là điểm cực trị có điều kiện của hàm số và thỏa mãn điều
kiện .
Định lý:Các hàm ; có đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận của
điểm và thỏa mãn .Khi đó
Chứng minh:Hiển nhiên ,giả sử ,theo điều kiện của hàm ẩn
tồn tại y = y(x) khả vi trong lân cận điểm và hàm đạt cực trị tại ,nên
hay
mặt khác
xét hệ với ẩn dx, dy
có nghiệm không tầm thường và định thức ma trận hệ
Đối với hàm nhiều hơn hai biến số ta cũng có kết quả tương tự.
§4:PHÁP TUYẾN VÀ TIẾP DIỆN1) Tiếp tuyến của đường cong ghềnh trong không gian
Trong không gian cho đường cong ghềnh
13
ở đó các hàm x(t), y(t), z(t) là các hàm số có các đạo hàm liên tục.Khi đó phương
trình cát tuyến đi qua 2 điểm được xác định
=>
Và phương trình tiếp tuyến với đường cong tại M là
=> vecto chỉ phương của tiếp tuyến là .
Nếu gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến với chiều dương Ox,Oy,Oz thì
; ;
trong đó việc chọn dấu được xác định với việc chọn hướng của tiếp tuyến.
Mặt phẳng pháp diện của đường cong tại M có phương trình
2) Tiếp diện
Giả sử trong không gian cho một mặt S có phương trình trong đó
là hàm khả vi.và gọi là điểm chính quy khi
Giả sử đường L trong S qua có phương trình
Từ phương trình ta có
14
Nhận thấy vecto không đổi,còn thay đổi khi L thay đổi
nhưng vẫn qua .Nên vecto được xem như pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc
với S tại . Khi đó tiếp diện của mặt S tại có phương trình
Khi măt S có phương trình dạng ,thì tiếp diện của mặt S có phương trình
Nếu gọi là góc tạo bởi pháp tuyến tại tiếp điểm với chiều dương
Ox,Oy,Oz thì
; ;
Dấu ± cần ứng với hướng ngược nhau của pháp tuyến khi ta xác định hướng.
TÍCH PHÂN BỘI
§1.TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ
I. Tích phân phụ thuộc tham số cận là hằng số
1)Khái niệm:Cho tích phân với .Đặt ,tích
phân đó phụ thuộc y được gọi là tích phân phụ thuộc tham số .
2)Tính chất
a) Định lý 1:Nếu liên tục trên thì hàm
liên tục trên .
15
Chứng minh:Với y bất kỳ và ta có
vì hàm liên tục trên nên liên tục đều trên đó,nên
Chứng tỏ ,tức là F(y) liên tục tại y.Do y bất kỳ trên nên F(y)
liên tục trên .
b) Định lý 2:Nếu với mỗi hàm số liên tục trên theo x và
liên tục trên thì hàm khả vi trên và ta có
.
Chứng minh:
Xét (Công thức số gia giới nội)
Mặt khác
với vì hàm liên tục đều trên .
Chứng tỏ đó là điều phải chứng minh.
16
c) Định lý 3:Nếu hàm liên tục trên thì
khả tích trên và .
Chứng minh:hàm khả tích trên là hiển nhiên.
Giả sử với u bất kỳ thỏa mãn ,ta chứng minh
đạo hàm theo u vế trái ta được ().
Xét trong vế phải thỏa mãn các điều kiện của định lý 2 nên
hàm có do đó
()
Từ () và () ta có
Đặc biệt thì C = 0.
II. Tích phân phụ thuộc tham số cận là hàm của tham số: là tích phân có dạng
1) Định lý 1:Nếu hàm liên tục trên ,các hàm số 17
liên tục trên và thì
liên tục trên
Chứng minh:Dễ dàng suy ra sự tồn tại của tích phân
Xét
(Định lý giá trị trung bình).
Ở đó tương ứng nằm giữa và .Từ giả thiết của
định lý thì tức là hàm số liên tục trên .
2) Định lý 2: Nếu hàm và liên tục trên ,các hàm số
liên tục khả vi trên và thì
Chứng minh:
18
Ở đó tương ứng nằm giữa và .
III. Tích phân phụ thuộc tham số cận suy rộng:Cho hàm số xác định trong
miền .Giả sử với mỗi mà tích phân
hội tụ và ký hiệu
Nói cách khác ;hàm I(u) xác định trên đoạn .
Một cách tương tự ta cũng có các định nghĩa
và .
1) Định nghĩa: tích phân gọi là hội tụ đều về hàm I(u) trên đoạn
nếu để sao cho :
2) Định lý(Dấu hiệu hội tụ đều):Nếu với x đủ lớn với sao cho
19
ta có và tích phân hội tụ.Thì tích phân
hội tụ đều trên .
3) Định lý:Cho hàm số liên tục trên mà tích phân hội
tụ đều trên ,thì tích phân liên tục trên .
Chứng minh: tích phân hội tụ đều trên nên với đủ lớn ta có
Mặt khác liên tục,nên
với đủ nhỏ
với thì
.
Chứng tỏ liên tục tại u.
20
4) Định lý:Cho hàm số liên tục trên mà tích phân hội
tụ đều trên ,thì tích phân khả tích trên .Và
Chứng minh:Ta có
nên
do đó
5) Định lý : Cho hàm số ; liên tục trên ,
tích phân hội tụ và hội tụ đều trên .Khi đó
Chứng minh:Xét hàm hội tụ về I(u) với .Mặt khác
.Do hàm hội tụ đều trên nên dãy hàm
21
hội tụ đều về trên ,tức khả vi trên .
§2. KHÁI NIỆM VỀ TÍCH KÉP
I. Thể tích hình trụ. Cho vật thể trụ V xác định bởi phương trình z = f(x,y), đáy là miền
D. Chia D thành n phần rời nhau. Gọi tên và diện tích mỗi phần là . Trên
mỗi miền con , chọn bất kì điểm Mi(xi,yi). Khi đó V được tách thành các vật thể hình
trụ có tên gọi và thể tích là , mà đáy của nó là , với i =1,2,...n. Do rất nhỏ
nên có thể coi đáy cong của vật thể nhỏ là phẳng. Vậy: . Từ đó
Xấp xỉ trên càng chính xác nếu tăng số mảnh chia lên vô hạn ( ), sao cho đường
kính của mỗi mảnh đều dần tới 0( ). Ngoài ra thể tích phải là đại lượng
không phụ thộc cách chia miền D và cách chọn các điểm Mi. Vậy ta định nghĩa :
Khi tăng số mảnh chia lên vô hạn, sao cho . Nếu giới hạn:
I =
là tồn tại và không phụ thuộc cách chia V, và cách chọn các điểm M i, thì giới hạn I được
gọi là thể tích của vật thể hình trụ V.
II. Định nghĩa tích phân kép. Cho hàm hai biến f(x,y), xác định và liên tục trên miền
đóng giới nội D của mặt phẳng tọa độ Oxy. Chia D thành n phần không giẫm lên nhau.
Gọi tên và diện tích mỗi phần là . Trên mỗi miền con , chọn bất kì điểm
Mi(xi,yi). Lập tổng , và gọi là tổng tích phân của hàm f trên D.
22
Gọi . Nếu giới hạn
tồn tại và không phụ thuộc cách chia miền D, cách chọn các điểm Mi, thì giới hạn trên
được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên D.
và hàm f(x,y) được gọi là khả tích trên D. Kí hiệu tích phân này là .
III. Ý nghĩa của tích phân kép
1. Tính thể tích. Trường hợp f(x,y) không âm thì tích phân
là thể tích vật thể trụ V đã nói trong mục I . Ta có .
2. Tính diện tích hình phẳng D tính theo công thức:
3. Tính khối lượng của bản phẳng không D, đồng chất :
trong đó (x,y) là hàm khối lượng riêng của bản phẳng.
4. Tính tọa độ trọng tâm. Cho hệ gồm n chất điểm M1(x1,y1), M2(x2,y2), … , Mn(xn,yn), với
khối lượng tương ứng là m1, m2, … mn. Khi đó trọng tâm G của hệ có tọa độ tính
theo công thức
23
Xét bản phẳng D trong mặt phẳng Oxy. Giả sử hàm liên tục là hàm khối lượng
riêng của D. Khi đó tọa độ trọng tâm G của D được tính theo công thức
Trong đó m là khối lượng của D. Trường hợp D là đồng chất thì
IV. Sự tồn tại và tính chất của tích phân kép
1. Sự tồn tại: Người ta chứng minh được rằng, nếu f(x,y) liên tục trên miền đóng, bị chặn
thì khả tích trên miền ấy.
2. Tính chất: Tích phân kép có các tính chất giống với tích phân xác định. Nếu các tích
phân có mặt trong các công thức sau là tồn tại thì:
c) .
d) Nếu trên D có thì
e) Nếu f(x,y) là hàm số liên tục trên D thì tồn tại điểm sao cho
với S là diện tích miền D
24
V.TÍNH TÍCH PHÂN KÉP
V1) Miền lấy tích phân là hình chữ nhật.
Định lí 1. (Định lí Fubini). Giả sử D là hình chữ nhật [a,b] × [c,d] và là hàm
số khả tích trên D. Khi đó:
1) Nếu với mỗi x cố định trên [a,b], hàm một biến f(x,.) Khả tích trên [c,d] thì hàm số
khả tích trên [a,b] và:
. (1)
2) Nếu với mỗi y cố định trên [c,d], hàm một biến f(.,y) khả tích trên [a,b] thì hàm số
khả tích trên [c,d] và:
. (2)
Chứng minh: 1) Chia các đoạn [a,b] và [c,d] bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, c = y0 < y1 < y2 < ... < ym = d.
Đặt
Trên Dij có . Vậy .
25
Lấy tổng theo j, được . Nhân các vế với , rồi
cộng theo i, được: .
Vế đầu và vế cuối là tổng Darboux dưới s và tổng Darboux trên S, vế giữa là tổng tích
phân của hàm I(x). Vì hàm số f(x,y) khả tích, nên khi , , thì s
và S cùng dần tới tích phân . Vậy:
Công thức (2) được chứng minh tương tự.
V2) Miền lấy tích phân là hình bất kì, giới nội.
Định lí 2. Giả sử , trong đó y1(x), y2(x) là hai
hàm liên tục trên [a,b]. Nếu f(x,y) là hàm số liên tục trên D thì
. (3)
Chứng minh: Do y1(x), y2(x) liên tục trên D, nên giới nội trên đó. Vậy tồn tại các hằng số
c, d sao cho .
Gọi Q là hình chữ nhật . Dựng hàm
.
F là hàm khả tích trên Q và có đẳng thức:
26
. Theo định lí Fubini, có :
.
Nhưng , nên: .
Trường hợp , x1(y), x2(y) liên tục trên [c,d],
f(x,y) là hàm số liên tục trên D. Tương tự như (3), có:
(4)
V3) Công thức đổi thứ tự lấy tích phân. Xét tích phân , trong đó D là miền
giới nội có biên là đường cong đơn liên L, sao cho mỗi đường thẳng song song với trục
tọa độ cắt biên L tại không quá hai điểm.
Giả sử hình chiếu của D trên trục Ox là [a,b], trên trục Oy là [c,d]. Giả sử biên của D
được chia thành các phần: Dưới, Trên, Trái, Phải, với các phương trình tương ứng dưới
dạng tường minh là: y = y1(x), y = y2(x), x = x1(y), x = x2(y) .
Khi đó, theo công thức (3), ta có . (5)
Theo công thức (4), ta có . (6)
So sánh (5) và (6), ta được công thức đổi thứ tự lấy tích phân sau đây:
27
.
Luyện tập
1. Xác định cận lấy tính phân , với D được xác định bởi các đường:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Đổi thứ tự lấy tích phân
a)
b)
c)
d)
2. Tính tích phân I = , trong đó:
a)D = {y = x2, 4y = x2, x = 2}, f(x,y) = x2y.
28
b)D = { }, f(x,y) = 6x2y2.
c) D = {y = x, x = 0, y = 1, y = 2}, f(x,y) = x2 + y2.
3. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau
a) .
Giải: Miền D được xác định như sau: .
Vậy:
b) .
Giải: Miền lấy tích phân D được xác định như sau:
D = . Từ đó vẽ được D
Vậy:
29
VI. ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP
6.1) Đổi biến tổng quát. Xét , trong đó f liên tục trên D. Giả sử phép
đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v), thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Các hàm số , cùng các đạo hàm riêng của chúng, là liên
tục trên một miền đóng D' nào đó của mặt phẳng o'uv.
2) Ánh xạ là một song ánh tử D' vào D.
3) Định thức Jacobi .
Khi đó, ta có công thức .
Lưu ý: công thức vẫn đúng khi định thức tại một số điểm trong D.
Ví dụ 1. Tính , trong đó D là miền giới hạn bởi các đường cong
.
Giải. Miền lấy tích phân tương đối phức tạp. Để khắc phục, ta thực hiện phép đổi biến
. Từ đó,
Có . Vậy .
Miền D' được giới hạn bởi các đường .Ta được
30
Ví dụ 2. Tính , .
Miền lấy tích phân đơn giản, nhưng hàm dưới dấu tích phân phức tạp. Thực hiện phép
đổi biến , được . Tính được J = 1/2.
Vậy .
Miền D' được xác định như sau:
Từ đó:
6.2) Tính tích phân kép trong tọa độ cực.
1. Nhắc lại tọa độ cực. Trong mặt phẳng, dựng trục Ox. Xét điểm M bất kì.
Đặt . Khi đó bộ số ( , r) được gọi là tọa độ cực của điểm M.
Tọa độ đề các và tọa độ cực có liên hệ .
2. Đổi biến sang tọa độ cực.
Thực hiện phép đổi biến sau, gọi là đổi biến sang tọa độ cực:
.Định thức Jacobi của phép đổi biến là
. Vậy, gọi D' là miền nghịch ảnh D qua phép đổi biến, thì
.
31
Để xác định cận lấy tích phân, ta mô tả D' dưới dạng các ràng buộc bất đẳng thức
. Khi đó:
Đó là công thức tính tích phân kép trong tọa độ cực.
Chú ý: Nếu đổi biến ,thì phép đổi biến được gọi là đổi sang tọa độ
cực suy rộng. Định thức Jacobi của phép đổi biến là . Vậy, gọi D' là miền nghịch
ảnh của miền D qua phép đổi biến thì
.
Ví dụ 1. Tính .
Đổi sang tọa độ cực , được:
Ví dụ 2.Tính , trong đó:
.
Giải:
a) . Đổi sang tọa độ cực với
Phương trình biên của D được viết như sau:
32
Vậy .
b)Đổi sang tọa độ cực với
Phương trình biên của D được viết như sau:
Vậy .
Ví dụ 3. Tính .
Đổi biến với
Ví dụ 4. Tính diện tích miền D gới han bởi đường Lemnicat
.
Giải. Chuyển sang tọa độ cực. Phương trình đường cong .
Đó là hình hoa hồng hai cánh đối xứng qua Ox và Oy. Do nên D là cánh phải.
Ta có
S = .
Ví dụ 5. Xác định trọng tâm G của của bản đồng chất D xác định bởi các bất đẳng thức
33
.
Ta có m = S = . Vậy . Do tính đối xứng,
nên .
3. Chú ý về ứng dụng phép đổi biến trong tích phân kép.
Khi tính tích phân kép, cần để ý trước hết đến miền lấy tích phân. Nếu miền lấy tích phân
là hình tròn hoặc hình quạt, thì nên đổi biến sang tọa độ cực. Khi đó việc xác định cận
tích phân là dễ dàng.
§3. TÍCH PHÂN BỘI BA.
I. Định nghĩa và tính chất tích phân bội ba.
1. Định nghĩa. Cho hàm số f(x,y,z), xác định và liên tục trên miền đóng giới nội V của
không gian Oxyz. Chia V thành n phần rời nhau. Gọi tên và thể tích mỗi phần là
. Trên mỗi miền con , chọn bất kì điểm Mi(xi,yi,zi). Lập tổng
, (In gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y,z)) . Cho , sao cho
. Nếu giới hạn I = là tồn tại và không phụ thuộc
cách chia miền V, và cách chọn các điểm Mi, thì hàm sô f(x,y,z) được gọi là khả tích trên
34
V, và giới hạn I được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên D. Kí hiệu tích phân
này là .
2. Ý nghĩa của tích phân bội ba
1) Khối lượng m của V tính theo công thức m = , trong đó
là hàm khối lượng riêng của V.
2) Thể tích của vật thể V tính theo công thức V = ( ).
3) Tọa độ trọng tâm của vật thể V tính bởi công thức
3. Sự tồn tại và tính chất của tích phân bội ba. Người ta chứng minh được rằng, nếu
f(x,y,z) liên tục trên miền đóng, bị chặn thì khả tích trên miền ấy. Tích phân kép có các
tính chất giống với tích phân xác định.
II. Tính tích phân bội ba trong tọa độ đề các.
Xét tích phân I = . Đưa I về ba tích phân đơn liên tiếp như sau:
a) Chiếu V lên mặt phẳng Oxy. Gọi hình chiếu là D. Giả sử biên trên và dưới của V là hai
mặt cong S1, S2 với các phương trình tương ứng là z = z1(x,y), và z = z2(x,y). Khi đó ta
có:
b)Nếu D xác định bởi các bất đẳng thức
thì công thức trên được viết tiếp như sau
35
c) Nếu chiếu V lên mặt phẳng tọa độ khác, sẽ được công thức tích phân theo thứ tự khác.
Ví dụ 1. Tính tích phân I = , V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng tọa
độ và mặt phẳng x + y + z = 1.
Giải.
Ví dụ 2. Tính I = , V = {z = 0 và z = }.
Giải. Gọi D là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy. D là hình tròn tâm O bán kính a. Ta
có
Chuyển sang tọa độ cực , được:
Ví dụ 3.
36
Ví dụ 4.
Chú thích. Có thể tính tích phân bội ba theo cách sau:
Trong đó [a, b] là hình chiếu của V lên trục Ox, và S(x) là thiết diện tạo thành khi cắt
miền V bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại hoành độ x.
Ví dụ: , V là miền giới hạn bởi mặt Elipxôit .
Có . Tích phân lớp trong chính là diện tích
miền S(x). Đó là hình tròn bán kính . Vậy
.
III. Tính tích phân kép trong tọa độ cầu.
37
2. Nhắc lại tọa độ cầu. Trong không gian Oxyz, xét điểm M bất kì. Gọi N là hình
chiếu của M lên Oxy. Đặt .
Khi đó bộ ba số được gọi là tọa độ cầu của điểm M. Giữa tọa độ đề các và tọa độ
cầu có liên hệ x = rcos sin , y = rsin sin , z = rcos
Một số vật thể trong tọa độ cầu:
2. Đổi biến sang tọa độ cầu.
Thực hiện phép đổi biến sau, gọi là đổi biến sang tọa độ cầu:
x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos
Khi đó người ta chứng minh được công thức
Trong đó V' là miền nghịch ảnh của miền V qua phép đổi biến (*).
Chú ý: Nếu đổi biến x = arsin cos , y = brsin sin , z = crcos
Thì phép đổi biến được gọi là đổi sang tọa độ cầu suy rộng. Khi đó
Ví dụ 1. Tính .
Đổi biến sang tọa độ cầu. Miền V được xác định bởi hệ các bất đẳng thức:
. Vậy
Ví dụ 2. ,trong đó
38
Đổi biến sang tọa độ cầu. Miền V được xác định bởi hệ các bất đẳng thức:
.
Vậy
Ví dụ 3. Tìm tọa độ trọng tâm của vật thể đồng chất V với
Giải: Gọi là tọa độ trọng tâm của V. Do tính đối xứng, ta có x0 = y0 = 0. Chỉ
còn tính z0.
Miền V xác định bởi bất đẳng thức
.
Vậy a) Khối lượng m = .
b) Có . Vậy z0 = .
3. Chú ý về ứng dụng phép đổi biến trong tích phân bội ba.
a) Khi tính tích phân bội ba, cần để ý trước hết đến miền lấy tích phân. Nếu miền lấy tích
phân là khối cầu hoặc khối quạt cầu, thì nên đổi biến sang tọa độ cầu. Khi đó việc xác
định cận tích phân là dễ dàng.
b) Khi miền lấy tích phân là hình trụ cong, có đáy là hình tròn hoặc quạt tròn, hãy đưa
tích phân bội ba về tích phân kép lấy trên đáy của trụ. Để tính tích phân kép này, đổi biến
sang tọa độ cực.
39
CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – MẶT
A: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
§1:TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I
I. Định nghĩa:Trong mphẳng x0y cho hàm số xác định dọc theo .
Dùng phép phân hoạch chia L bởi các điểm chia .
Trên mỗi cung lấy bất kỳ điểm .Gọi ds là vi phân cung,nếu tồn tại
với
mà không phụ thuộc vào cách chia và phép chọn ,thì giới hạn đó gọi là tích phân
đường loại I của hàm dọc theo L,kí hiệu
40
Chú ý: nếu thì cho ta kết quả là độ dài cung L
II. Cách tính:
1. Khi L có phương trình với thì
2. Khi L có phương trình dạng tham số
trong đó ,thì ta có
3. Đối với phương trình đường cong trong không gian
(L)
trong đó ,thì
§2:TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II
I. Định nghĩa:Cho hai hàm số và xác định trên cung .Chia cung
thành n cung nhỏ bởi các điểm chia .Gọi hình chiếu của
vectơ lên hai trục 0x , 0y là và . là điểm tùy ý chọn trên cung
.
41
Nếu tồn tại giới hạn mà không phụ thuộc vào
cách chia và cách chọn trên cung thì giới hạn đó gọi là tích phân đường
loại II của các hàm số và dọc theo cung .
ký hiệu:
Chú ý:
1. =
2. Tính chất tích phân đường loai II tương tự như tính chất của tích phân xác định.
3. Đối với đường cong kín chiều dương là chiều đi dọc theo đường cong miền giới
giới hạn bởi đường cong ở phía tay trái.Chiều âm là chiều ngược lại.
II. Cách tính :
1. cung có phương trình với theo thứ tự từ A đến B
2. cung có phương trình tham số
trong đó theo thứ tự từ A đến B thì
III. Công thức Green:Nếu các hàm và cùng các đạo hàm riêng cấp
một liên tục trong miền D thì
Trong đó D liên thông có biên trơn L.
42
Chứng minh:
Để đơn giản ta giả thiết D đơn liên và được xác định và
Hoàn toàn tương tự ta có
Từ hai kết quả trên ta có
Chú ý:
1. Nếu và thì
2. Đối với miền D đa liên và liên thông ta chia nhỏ miền D thành các miền đơn
liên và tính trên các miền đơn liên như ở trên.
IV. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân
Định lý:Giả sử hai hàm số và cùng với các đạo hàm riêng cấp một của
chúng liên tục trong miền đơn liên D.Khi đó các mệnh đề sau tương đương
1.
2. dọc theo mọi đường cong kín L nằm chọn trong D
3. ,( là cung nằm trong D)chỉ phụ thuộc vào hai đầu mút A, B
mà không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B
4. Biểu thức là vi phân toàn phần của một hàm số trong D
Chứng minh:
43
:Theo Green ta có điều phải chứng minh
Giả sử có trong đó là hai cung
nằm trong D.Nên
Giả sử trong đó còn thay đổi và C
là hằng số.
Xét
trong đó .Do đó
trong đó
sử dụng định lý giá trị trung bình trong tích phân xác định
Hoàn toàn tương tự khi thì ta có
Do và liên tục,nên là vi phân toàn phần của U(x, y)
Từ giả thiết 4: và gt đlý ta có
Hệ quả 1:Nếu là vi phân toàn phần của hàm U(x, y) thì
44
Hệ quả 2:Nếu thì là vi phân toàn phần của một hàm số
được xác định
hoặc
B: TÍCH PHÂN MẶT
§1:TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
1. Khái niệm
Định nghĩa. Cho hàm số f(x,y,z) xác định và giới nội trên mặt cong S. Chia S thành n
mảnh nhỏ. Gọi tên và diện tích mỗi mảnh là . Trên lấy tùy ý điểm M(xi,yi,zi).
Lập tổng .
Cho n → sao cho max{ } → 0. Nếu tồn tại hữu hạn giới hạn và giới hạn
này không phụ thuộc cách chia mảnh S và cách chọn điểm Mi thì hàm số f(x,y,z) được
gọi là khả tích trên S và I được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f(x,y,z) trên mặt
S. Ký hiệu là .
45
Điều kiện khả tích. Nếu S là mặt cong trơn từng mảnh và f là hàm số liên tục trên S thì f
khả tích trên S.
Tính chất. Giống tích phân xác định.
Ý nghĩa.
1) là số đo khối lượng của mảnh vật chất S, với f(x,y,z) là hàm khối lượng
riêng trên S.
2) là số đo diện tích của mặt S.
3) Tọa độ trọng tâm G của mặt cong S được cho bởi công thức
Trong đó m là khối lượng của S và f là hàm khối lượng riêng.
2. Cách tính. Giả sử S có hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ Oxy là D và phương trình của
mặt S là z = z(x,y). Luôn giả thiết rằng hàm số f(x,y,z) và các đạo hàm riêng của hàm
z(x,y) liên tục trên D.
Gọi là hình chiếu của lên Oxy. Gọi là mảnh thiết diện của mặt S tại điểm
Mi mà hình chiếu của nó lên Oxy là . Vì đủ nhỏ nên có xấp xỉ
ở đây véc tơ pháp tuyến của S tại
Mi là . Vậy
46
Ví dụ 1. Tính
Giải: Phương trình S là .
Có
. Vậy
Ví dụ 2. Tính
Giải: Có . Vậy
I =
§2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI
1. Khái niệm
Mặt định hướng. Một mặt cong thường có hai phía: trong-ngoài, trái-phải, trên
dưới,v.v... Nếu một mặt có hai phía mà ta chọn một phía làm phía dương thì phía
còn lại là âm. Khi đó mặt được gọi là định hướng. Tại mỗi điểm, véc tơ pháp tuyến
hướng vào phía dương gọi là véc tơ pháp tuyến dương, véc tơ pháp tuyến hướng vào phía
âm gọi là véc tơ pháp tuyến âm. Có những mặt không định hướng được.
Trường véc tơ. Xét véc tơ có điểm đặt tại M, và tọa độ của véc tơ
47
phụ thuộc vào tọa độ điểm đặt: . Véc tơ như vậy gọi là
trường véc tơ.
Thông lượng của trường véc tơ. Giả sử S là mặt định hướng. Gọi diện tích của nó cũng
là S. Xét dòng chảy qua mặt S có véc tơ vận tốc . Ta gọi lượng vật chất chảy qua
mặt S trong một đơn vị thời gian, là thông lượng của trường véc tơ qua S.
Nếu S là mảnh phẳng có véc tơ pháp tuyến dương là , và vận tốc là véc tơ hằng thì
= S.| |. cos( , )
Trường hợp tổng quát, chia S thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và diện tích của chúng là .
Lấy tùy ý các điểm Mi trên . Vì các mảnh là đủ nhỏ nên coi là phẳng và F không
đổi trên . Như vậy
trong đó bộ
ba ( ) là cosin chỉ phương của véc tơ pháp tuyến dương tại Mi.
Từ đó
Xấp xỉ trên càng chính xác nếu tăng số mảnh chia lên vô hạn sao cho max{ }→0. Vậy
người ta định nghĩa
Cho n→ sao cho max{ }→0. Nếu tồn tại hữu hạn giới hạn và giới hạn này
không phụ thuộc cách chia S và cách chọn các điểm Mi, thì I được gọi là thông lương của
trường véc tơ F qua mặt S.
Định nghĩa tích phân mặt loại hai. Cho các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định
trên mặt định hướng S. Khi đó thông lượng qua mắt S của trường véc tơ
Được gọi là tích phân mặt loại hai của các hàm số P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)
48
trên mặt S. Ký hiệu là
Hoặc
Điều kiện khả tích. Nếu các hàm số P, Q, R liên tục và mặt S trơn thì tích phân trên là
tồn tại.
Tính chất: Tích phân mặt loại 2 có tính chất giống tích phân xác định.
2. Cách tính tích phân mặt loại hai.
Xét tích phân . Ta tính riêng tích phân
. Các tích phân khác tính tương tự.
Chiếu S lên mặt phẳng Oxy. Gọi hình chiếu là D. Giả sử S có phương trình dạng
z = z(x,y). Khi đó theo định nghĩa tích phân mặt, có
a) Nếu véc tơ pháp tuyến tạo với trục Oz góc nhọn thì
b) Nếu véc tơ pháp tuyến tạo với trục Oz góc tù thì
49
Nếu véc tơ pháp tuyến tạo với trục Oz góc nhọn thì
Ví dụ 1. Tích phân theo mặt ngoài.
Giải: Trước hết tính . Gọi S1, S2 là nửa trên và dưới của S. Có
.
Do tính đối xứng nên I = 3I1 = 4.
Công thức Stốc
Chiều lấy tích phân trên Lđược chọn sao cho đi dọc theo L thì miền giới hạn bởi đường L
là mặt S phía tay trái.Người ta chứng minh rằng tích phân trong
không gian không phụ thuộc đường nối A, B nằm hoàn toàn trong V là
đó cũng là điều kiện cần và đủ để là vi phân toàn phần của hàm
U(x,y,z) nào đó trong V.Nếu V là thì hàm U(x,y,z) được tính
50
Trong trường hợp ta gọi là lưu số của
trường vecto dọc theo L.Và vecto gọi là vecto
xoáy hay rôta của .
Lưu số của trường vecto dọc theo đường cong kín L bằng thông lượng của qua
mặt định hướng S nào đó có biên L.
Công thức Ostrogradsky :
Cho 3 hàm P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên miền
V có biên là mặt S(trơn).Khi đó
ở đó tích phân lấy ngoài của S.
Thể tích vật thể V được giới hạn bởi mặt S được xác định
Nếu thì được gọi là dive của ,
và ký hiệu
Vậy thông lượng của trường vecto qua mặt kín S hướng ra ngoài dược xác định
Giả sử ,nếu trong V có hàm U(x,y,z) thỏa mãn
51
khi đó và được gọi là trường thế xác định
trong V.Vậy điều kiện cần và đủ để là vi phân toàn phần của hàm
U(x,y,z) là .
Hoặc điều kiện cần và đủ để trường vecto là một trường thế
Người ta gọi toán tử Hamilton (nabla),ký hiệu là một vecto tượng trưng có các
thành phần hay .Về mặt hình thức nếu U là một hàm
số thì
Nếu thì:
Mặt khác gọi là toán tử Laplace.
nếu hàm U(x,y,z) thỏa mãn thì hàm U(x,y,z) gọi là hàm
điều hòa.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x, y, y', y", ... , y(n)) = 0, trong đó x là
biến độc lập, y = y(x) là hàm phải tìm, y', ... , y(n) là các đạo hàm của nó.
Cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình, gọi là cấp của phương trình. Giáo trình
này chỉ xét các phương trình cấp 1 và 2.
52
Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình đã cho.
Nghiệm của phương trình có thể tìm được dưới dạng tường minh y = y(x), hoặc dạng
tham số x = x(t); y = y(t); hoặc dạng ẩn (x,y) = 0.
§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I.
1. Đại cương về phương trình vi phân cấp 1
Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình dạng F(x,y,y') = 0. Nếu từ
phương trình đã cho giải được theo y' thì phương trình có dạng y' = f(x,y).
Bài toán Cauchy. Là bài toán tìm nghiệm của phương trình y' = f(x,y) thỏa mãn điều
kiện y(x0) = y0, trong đó (x0, y0) là các giá trị cho trước. Bài toán Cauchy được viết
Điều kiện (2) gọi là điều kiện ban đầu, hay điều kiện Cauchy.
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Xét bài toán Cauchy (1), (2). Giả sử f(x,y) liên tục
trên , và . Khi đó, trong một lân cận nào đó của x0, bài toán Cauchy
(1), (2) luôn có nghiệm. Nếu có thêm điều kiện liên tục trên D, thì nghiệm là
duy nhất.
Nghiệm tổng quát. Ta gọi ghiệm tổng quát của phương trình y' = f(x,y) là hàm số
, trong đó C là hằng số tùy ý, thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Hàm số thỏa mãn phương trình đã cho với mọi giá trị của C.
b) , với D là miền mà điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm được
thỏa mãn, luôn tìm được giá trị của hằng số , sao cho nghiệm thỏa
mãn điều kiện ban đầu (2).
Nghiệm riêng, tích phân riêng. Nếu trong công thức nghiệm tổng quát hoặc tích phân
53
tổng quát, ta cho C giá trị cụ thể C0, thì nghiệm nhận được gọi là nghiệm riêng hoặc
tích phân riêng.
Nghiệm kỳ dị. Có thể tồn tại các nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát.
Những nghiệm như vậy gọi là nghiệm kỳ dị.
2. Phương trình phân ly.
Là phương trình dạng f(x)dx + g(y)dy = 0.
Cách giải: Tích phân hai vế phương trình, được .
Gọi F(x) và G(y) là các nguyên hàm tương ứng, thì tích phân tổng quát của phương
trình là F(x) + G(y) =C.
Ví dụ: Giải phương trình .
Giải: Nếu , chia hai vế cho y, được Tích phân hai
vế,được . Ngoài ra, y(x) 0 cũng là nghiệm. Nghiệm này không
nằm trong họ nghiệm tổng quát, nên là nghiệm kỳ dị .
3. Phương trình thuần nhất.
Là phương trình có dạng .
Cách giải: Đặt y = tx. Đạo hàm theo x, được y' = xt' + t. Thế vào phương trình đã
cho,được . Nếu , chia hai vế cho x(f(t) - t) được
.
Nếu f(t) t, thì y' = y/x. Nghiệm tổng quát là y = Cx.
54
Nếu tồn tại t0 sao cho f(t0) = t0 thì thử trực tiếp, thấy y = t0x là nghiệm riêng.
Ví dụ: Giải phương trình .
Giải: Chia tử và mẫu cho x, dễ thấy đây là phương trình thuần nhất. Đặt y = tx, được
Tích phận hai vế, được + lnC. Vậy .
4. Phương trình khuyết biến.
a) Phương trình khuyết y. Dạng phương trình là F(x,y') = 0.
+ Nếu giải được y' = f(x) thì nghiệm tổng quát là y = + C.
+ Nếu giải được x = g(y') thì đặt y' = t được .
Ngoài ra x = g(t). Vậy nghiệm tổng quát dạng tham số là x = g(t); .
Ví dụ: Giải phương trình x = y'2 + y' + 1.
Giải: Đặt y' = t, được x = t2 + t + 1. Từ đó dy = tdx = t(2t + 1)dt,
. Nghiệm của phương trình là ; x = t2 + t + 1.
+ Nếu giải được x, y' dạng tham số x = f(t) ; y' = g(t) thì dy = f(t)dx = g(t)f '(t)dt.
Do đó y = +C. Vậy nghiệm tổng quát là
Ví dụ: x2 + y'2 = 1.
Giải: đặt x = cost ; y' = sint. Từ đó .
55
Vậy . Đáp số { x = cost ; }.
b) Phương trình khuyết x. Dạng phương trình là F(y,y') = 0.
+ Nếu giải được y' = f(y) thì .
+ Nếu giải được y = g(y') thì đặt y' = t. Do dy = tdx nên g'(t)dt = tdx. Vậy
. Vậy nghiệm tổng quát là
Ví dụ: Giải phương trình .
Giải: Đặt y' = t, nhận được
. Vậy
nghiệm tổng quát là .
+ Nếu giải được y, y' dạng tham số y = f(t) ; y' = g(t) thì do dy = y'dx,
nên f '(t)dt = g(t)dx. Do đó Vậy nghiệm tổng quát là
Ví dụ: .
Giải: Từ phương trình đã cho, được . Do dy = y'dx
nên costdt = costdx, dt = dx, x = t + C. Đáp số . 56
5. Phương trình tuyến tính.
Là phương trình có dạng y' + p(x)y = f(x).
Nếu f(x) 0 thì phương trình trên được gọi là phương trình thuần nhất
a) Giải phương trình thuần nhất y' + p(x)y = 0.
Nếu y , chia hai vế cho y, phương trình trở thành phân ly biến
. Trường hợp y = 0 cũng là nghiệm
và là nghiệm riêng khi C = 0
b) Giải phương trình không thuần nhất y' + p(x)y = f(x).
Chúng ta tìm nghiệm dưới dạng , trong đó C(x) là hàm số cần tìm.
Tính đạo hàm từ biểu thức của y rồi thế vào phương trình đã cho, được
Vậy nghiệm tổng quát là .
Phương pháp tìm nghiệm như trên gọi là phương pháp biến thiên hằng số. Nếu đã biết
một nghiệm riêng thì ta dễ dàng tìm được nghiệm tổng quát nhờ định lý sau:
Định lý. Gọi Y(x) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y' + p(x)y = 0
và gọi y*(x) là nghiệm riêng của phương trình không thuần y' + p(x)y = f(x),
thì nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là y = Y(x) + y*(x).
Ví dụ 1: Tìm nghiệm riêng của phương trình , y(1) = 1.
57
Giải: Theo công thức nghiệm tổng quát, được
Khi x = 1, thay vào nghiệm tổng quát, được K = 1/2. Vậy nghiệm riêng cần tìm là
y = x(1 + x2)/2 .
Ví dụ 2: Giải phương trình .
Giải: Coi x là hàm của y, phương trình đã cho viết thành eyx' + (xey - 1) = 0, hay
x' + x = e-y. Vậy nghiệm tổng quát là
6. Phương trình Bernoulli.
Là phương trình có dạng (với ).
Cách giải: Chia hai vế cho , được . Đặt ,
được . Phương trình trở thành .
Đây là phương trình tuyến tính đã biết cách giải.
Ví dụ: .
Giải: Chia hai vế cho y4 được . Đặt z = y -3, được z' = -3y -4y'.
Phương trình trở thành . Nghiệm tổng quát là
.
7. Phương trình vi phân toàn phần.
Là phương trình dạng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
58
trong đó P, Q liên tục cùng các đạo hàm riêng của chúng trên miên D nào đó.
Ngoài ra .
Cách giải: Với điểu kiện đã cho, vế trái của phương trình là vi phân toàn phần của hàm
u(x,y) xác định bởi một trong hai công thức sau
hoặc
Trong đó (x0, y0) là điểm bất kỳ trong miền D. Khi đã có hàm u(x,y) như trên thì nghiệm
tổng quát là u(x,y) = C.
Ví dụ: Giải phương trình (4xy2 + y)dx + (4x2y + x)dy = 0.
Giải: Dễ kiểm tra điều kiện để vế phải là vi phân toàn phần. vậy tích phân tổng quát của
phương trình là
.
Nhận xét: trong trường hợp mà tồn tại hàm để phương
trình là phương trình vi phân toàn phần.Khi đó hàm
được gọi là thừa số tích phân.Nói chung không có phương pháp chung để tìm
khi nó phụ thuộc vào cả hai biến x,y.
Đặc biệt khi thì ta có
Tương tự khi thì ta cũng tính được qua đó ta tìm được thừa số
tích phân tương ứng,từ đó có được phương trình vi phân toàn phần và tìm được nghiệm
tương ứng.
59
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI
1. Đại cương về phương trình vi phân cấp 2.
Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình dạng F(x,y,y',y'') = 0.
Nếu giải được phương trình trên theo y' thì nó có dạng y'' = f(x,y,y').
Bài toán Cauchy. Là bài toán tìm nghiệm của phương trình y' = f(x,y,y') thỏa mãn điều
kiện y(x0) = y0, y'(x0) = y0' , trong đó x0, y0 ,y0' là các giá trị cho trước.
Bài toán Cauchy được viết
Điều kiện (4) gọi là điều kiện ban đầu, hay điều kiện Cauchy
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Xét bài toán Cauchy (3, 4). Giả sử các hàm số
liên tục trên miền .
Khi đó, với ,thì trong một lân cận nào đó của điểm x0, tồn tại nghiệm
duy nhất y = y(x) của phương trình (3) thỏa mãn điều kiện ban đầu (4).
Nghiệm tổng quát. Ta gọi nghiệm tổng quát của phương trình y' = f(x,y,y') là hàm số
, trong đó C1,C2 là hằng số tùy ý, thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Hàm số thỏa mãn phương trình đã cho với mọi C1, C2.
b) , với D là miền mà điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm được
thỏa mãn, luôn tìm được giá trị của các hằng số C1, C2 sao cho nghiệm
thỏa mãn điều kiện ban đầu (4).
Nghiệm riêng, tích phân riêng. Nếu trong công thức nghiệm tổng quát ta cho C1, C2 các
60
giá trị cụ thể thì nghiệm nhận được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm kỳ dị. Có thể tồn tại các nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát.
Những nghiệm như vậy gọi là nghiệm kỳ dị.
2. Phương trình khuyết.
a) Phương trình khuyết y, y'. Dạng phương trình F(x,y'') = 0.
Đặt y' = t, được F(x,t') = 0. Đây là phương trình cấp 1 khuyết biến t đã biết cách giải.
Nếu nghiệm của phương trình này là t = f(x,C) thì nghiệm phương trình ban đầu là
y = T(x,C) + D, trong đó T(x) là nguyên hàm của f(x).
Ví dụ: Giải phương trình y'' = x2 + xex + 1.
Giải:
b) Phương trình khuyết y. Dạng phương trình là F(x,y',y'') = 0.
Đặt y' = t, được F(x,t,t') = 0. Đó là phương trình cấp 1 đối với t.
Ví dụ: Giải phương trình .
Đặt t = y', được t'(1 + x2) = 2xt
Thay điều kiện đầu được Nên y = x3 + 3x +1.
c) Phương trình khuyết x. Dạng phương trình là F(y,y',y'')= 0.
Đặt y' = t, được . Thế vào phương trình, được F(y, t, t ) = 0. Đây là
phương trình cấp 1 đối với t(y).
Ví dụ: Giải phương trình 2yy'' = y'2 +1.
61
Đặt y' = t, được . Thế vào phương trình đã cho, được ;
.
Mặt khác, do y' = t, nên dy = tdx. Thế y từ kết quả trên vào đây,
được .
Đáp số y = C(t2 + 1) ; x = 2Ct + D (dễ dàng viết dàng tường minh).
3. Phương trình tuyến tính thuần nhất.
Đó là phương trình dạng y'' + p(x)y' + q(x)y = 0. (5)
a) Cấu trúc nghiệm tổng quát.
Định lý. Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phương trình thuần nhất (5),
thì cũng là nghiệm của phương trình này.
Nếu có thêm điều kiện hai nghiệm riêng y1(x) và y2(x) độc lập tuyến tính thì nghiệm
y = C y1(x) + D y2(x) là nghiệm tổng quát của (5).
(Hai hàm số y1(x), y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính nếu phân thức y1(x)/y2(x)
không đồng nhất bằng hằng số)
Chứng minh: Dễ kiểm tra rằng nếu y1(x) và y2(x) là các nghiệm của (5) thì y(x) cũng là
nghiệm của (5). Ta sẽ chứng minh y(x) là nghiệm tổng quát. Xét điều kiện đầu bất kỳ
. Khi đó
Đây là hệ phương trình đại số tuyến tính với định thức của hệ khác 0(do giải thiết về tính
độc lập tuyến tính của y1 và y2). Vậy, hệ luôn có nghiệm, tức là luôn tìm được các hằng
số C, D để nghiệm y thỏa mãn điều kiện ban đầu. ĐFCM.
Định lý trên cho thấy, để tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, chỉ việc tìm
hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính là được. Người ta chưa có cách chung để tìm hai 62
nghiệm này. Tuy nhiên, nếu đã biết một nghiệm riêng thì có thể tìm được nghiệm riêng
thứ hai bằng phương pháp dưới đây.
b) Phương pháp tìm nghiêm riêng thứ hai.
Bổ đề . Nếu y1(x), y2(x) là hai nghiệm riêng của phương trình (5) thì định thức Wronsky
thỏa mãn hệ thức .
Chứng minh. Vì y1(x), y2(x) là hai nghiệm của phương trình (5), nên
Nhân hệ thức đầu với -y2, sau với y1, rồi cộng lại, được
Mà
.
Thế vào kết quả trên, được
. ĐFCM.
Định lý. Nếu y1(x) 0 là một nghiệm riêng của phương trình (5) thì nghiệm riêng thứ hai
y2(x), độc lập với y1(x) tìm được theo công thức
Chứng minh. Theo bổ đề, có
63
Ví dụ: Giải phương trình , biết một nghiệm riêng y = x.
Giải: Chia hai vế cho 1- x2, thì .
Vậy nghiệm thứ hai là
T
ừ đó nghiệm tổng quát y = Cx + D(x2 + 1).
4. Phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Là phương trình có dạng . (6)
Định lý. Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần (6) bằng tổng của
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (5) với một nghiệm riêng nào
đó của phương trình không thuần (6).
Nói cách khác, nghiệm tổng quát của (6) là y = Y(x) + y*(x), trong đó Y(x) là nghiệm
tổng quát của (5), y*(x) là nghiệm riêng của (6).
a) Phương pháp biến thiên hằng số. Giả sử đã biết nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất (5) là Y(x) = Cy1(x) + Dy2(x). Chỉ còn phải tìm nghiệm riêng của (6) là xong.
Ta Coi C, D là các hàm phụ thuộc x, và phải tìm các hàm số này để biểu thức y(x) =
C(x)y1(x) + D(x)y2(x) là nghiệm của phương trình (6).
Có . Chọn C, D sao cho . Khi đó
y' = Cy1' + Dy2' (7)
Lấy đạo hàm, được . Thế y' và y'' vào phương trình (6),
được ;
.
Vì y1, y2 là nghiệm của phương trình thuần nhất, nên
64
(8)
Tổng hợp điều kiện (7) (8) nhân được kết quả:
Định lý: Biểu thức y = Cy1 + Dy2 là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
(6) , nếu thỏa mãn hệ
Hệ trên là hệ đại số tuyến tính với ẩn C', D'. Từ đó tìm được C, D.
Ví dụ: Giải phương trình , biết một nghiệm riêng của
phương trình thuần nhất tương ứng là y = x. (xem ví dụ ở mục trên)
Giải: Phương trình viết thành
Theo bài giải đã có ở trên, nghiệm tổng quát của phương tình thuần nhất tương ứng là
Y = Cx + D(x2 + 1), ở đây y1 = x ; y2 = x2 + 1.
Để tìm nghiệm riêng, ta giải hệ
Vậy nghiệm riêng là . Nghiệm tổng quát là
5. Phương trình tuyến tính có hệ số không đổi.
Đó là phương trình có dạng y'' + py' + qy = f(x), trong đó p, q là các hằng số.
1) Giải phương trình thuần nhất
65
(9)
Ta sẽ tìm các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất dưới dạng
y = ekx, trong đó k là hằng số cần tìm. Có y' = kekx ; y'' = k2ekx. Thế y'', y' , y
vào phương trình đã cho, được
hay (10)
phương trình (10) được gọi là phương trình đặc trưng. Xét các trường hợp:
a) Nếu (10) có hai nghiệm đơn k1, k2. Khi đó phương trình thuần nhất (9) có hai nghiệm
riêng . Hai nghiệm này độc lập tuyến tính. Vậy nghiệm tổng quát là
.
b) Nếu (10) có nghiệm kép k0. Khi đó phương trình thuần nhất (9) có một nghiệm riêng
. Nghiệm tổng quát là .
c) Nếu (10) có nghiệm phức k = a bi. Khi đó phương trình thuần nhất (9) có hai nghiệm
riêng
.
Từ đó, cũng là hai nghiệm riêng.
Chúng độc lập tuyến tính, vậy nghiệm tổng quát là
.
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau
(a)
(b)
(c)
Giải: (a) Phương trình đặc trưng k2 - 3k + 2 = 0, k = 1, k = 2. Nghiệm tổng quát là
66
.
(b) Phương trình đặc trưng k2 + 4k + 4 = 0, k = -2 là nghiệm kép. Nghiệm tổng quát của
phương trình vi phân là .
(c) Phương trình đặc trưng k2 + 2k + 5 = 0, (k +1)2 + 4 = 0, k = -1 2i. Nghiệm tổng quát
của phương trình vi phân là .
2) Phương trình có vế phải đặc biệt.
Xét phương trình y'' + py' + qy = f(x). Trong trường hợp tổng quát, ta đã biết cách giải
phương trình thuần nhất, nên có thể dùng phương pháp biến thiên hằng số để tìm một
nghiệm riêng, từ đó tìm được nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất đã
cho.
Trường hợp vế phải f(x) có dạng đặc biệt, chúng ta tìm được nghiệm riêng một cách
nhanh chóng như trình bày dưới đây.
a) Trường hợp , (P(x) là đa thức bậc n cho trước).
Ta sẽ xác định dạng của nghiệm riêng y*(x), tùy theo các trường hợp có là nghiệm của
phương trình đặc trưng hay không
+ Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng, .
+ Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, .
+ Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng, .
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau
(a)
(b)
(c)
67
Giải: (a) Phương trình đặc trưng k2 - 3k + 2 = 0, k = 1, k = 2. Nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng là Y = Cex + De2x.
Vế phải f(x) = 2xe0x, ( = 0). Vậy tìm nghiệm riêng dạng y* = ax + b. Tính các đạo hàm
của y* rồi thế vào phương trình đã cho, được
- 3a + 2(ax + b) 2x, từ đó a = 1, b = 3/2.
Đáp số y = Cex + De2x + x + 3/2.
(b) Vế phải f(x) = xex. Có = 1 là một nghiệm riêng của phương trình đặc trưng. Vậy
tìm nghiệm riêng dạng y* = x(ax + b)ex = (ax2 + bx)ex. Tính các đạo hàm:
.
Thế vào phương trình đã cho, được
Đáp số .
(c) Phương trình đặc trưng k2 - 2k + 1 = 0, = 1 là nghiêm kép. Nghiệm riêng có dạng
. Tính các đạo hàm:
.
=
Thế vào phương trình đã cho, được 68
Đáp số .
b) Trường hợp ,ở đó P(x) và Q(x) là đa thức
Ta sẽ xác định dạng của nghiệm riêng Y(x), tùy theo các trường hợp có là nghiệm
của phương trình đặc trưng hay không
+ Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng, tìm Y dạng
.
+ Nếu là nghiệm của phương trình đặc trưng, tìm Y dạng
.
Trong đó, U và V là đa thức cần tìm có bậc bằng bậc cao nhất của P và Q.
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau
(a)
(b) .
Giải: (a) Phương trình đặc trưng k2 - 3k + 2 = 0, k = 1, k = 2. Nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng là Y = Cex + De2x.
Vế phải f(x) = sinx + cosx. Có I không là nghiệm của phương trình đặc trưng.
Bậc cao nhất của các đa thức P, Q là 0.
Vậy ta tìm nghiệm riêng dạng y* = asinx + bcosx. Tính các đạo hàm của y*
.
69
Thế vào phương trình đã cho, được
-
Đáp số .
(b) Phương trình đặc trưng k2 + 1 = 0, là nghiệm . Bậc cao nhất của các đa thức
P, Q là 0. Vậy nghiệm riêng có dạng . Có:
Thế vào phương trình đã cho, được
. Từ đó a = 1, b = 0.
Đáp số .
c) Trường hợp .
Đặt y = zeax, sẽ đưa về dạng đã xét.
Ví dụ: Giải phương trình .
Giải: Đặt . Thế vào phương trình đã
cho, được z'' + z = xsinx
Theo cách giải của phần (b), tìm được nghiệm tổng quát của phương trình này là
. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
.
70
d) Trường hợp f(x) = f1(x) + f2(x), trong đó f1(x), f2(x) có dạng như đã xét.
Áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm sau đây:
Định lý(Nguyên lý chồng chất nghiệm). Cho phương trình
(11)
Nếu là nghiệm riêng của phương trình và là
nghiệm riêng của phương trình , thì là
nghiệm riêng của phương trình (11).
Chứng minh định lý là dễ dàng.
Ví dụ: Giải phương trình y'' - y' = 2cos2x
Giải: Nghiệm của phương trình thuần nhất là
Để tìm nghiệm riêng, ta phân tích vế phải: 2cos2x = 1 + cos2x. Vậy xét hai phương trình:
(1) . Nghiệm là .
(2) . Nghiệm là .
Đáp số:
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Đại cương
Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính chuẩn tắc cấp 1 là hệ có dạng
71
(12)
Nghiệm tổng quát của hệ (12) là bộ n hàm số yi(x, C1, ... , Cn), i = 1, 2, ..., n, với C1, ... ,Cn
là các hằng số tuỳ ý, thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Thỏa mãn (12) với mọi C1, ... ,Cn.
(ii) Với mọi điểm (x0, y10,y2
0, ... , yn0) của không gian Rn+1, mà ở đó điều kiện tồn tại và
duy nhất nghiệm được thỏa mãn, luôn tìm được các giá trị của C1, ... , Cn sao cho các hàm
số yi(x, C1, ... ,Cn), i = 1, ... , n thỏa mãn điều kiện đầu
Nghiệm riêng là nghiệm có được bằng cách cho C1, ... , Cn trong họ nghiệm tổng quát các
giá trị xác định.
Đường dòng của trường véc tơ. Giả sử trong miền D của không gian Rn, cho trước một
trường véc tơ . Ta gọi đường dòng của trường F là một
đường cong (C) sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó là đồng phương với F tại điểm đó.
2. Cách giải hệ phương trình vi phân.
Xét hệ (12). Ta luôn đưa hệ về một phương trình cấp cao bằng cách khử những hàm số
chưa biết từ các phương trình của hệ. Phương pháp này được gọi là phương pháp khử.
Minh họa phương pháp bằng ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1: Giải hệ
Giải: Lấy đạo hàm hai vế (1), rồi thế z' từ phương trình (2), được
. (3)
72
Khử z từ (1), được z = (y' - 5y) / 4. Thế vào (3), nhận được
(4).
Nghiệm của phương trình (4) là y = Cex + De9x. Thế nghiệm này vào (1) được
.
Đáp số ;
Ví dụ 2: Giải hệ
Giải: Lấy đạo hàm hai vế (1), rồi thế z' từ phương trình (2), được
y'' = y' + z' = y' + (y + z + x) = y' + y + z + x (3)
Khử z từ (1), được . Thế vào (3), nhận được y'' - 2y' = x (4).
Nghiệm của phương trình (4) là . Thế y vào phương trình (1)
được .
Đáp số : ; .
------------------------------------------------
73
