Chuong01

PHƯƠNG PHÁP SỐ

(NUMERICAL METHODS/ COMPUTATIONAL METHODS)

Bài giảng môn

Trần Quốc Việt

Tài liệu tham khảo

Tạ Văn Đỉnh, Phương pháp số, Nhà xuất bản giáo dục, 2006 Nguyễn Chí Long, Phương pháp tính, Nhà xuất bản Đại học

Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, 2002 Lê Trọng Vinh, Giải tích số, Nhà xuất bản khoa học và kỹ

thuật, 2000 “Numerical Recipes in C”, William H. Press, Saul A.

Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery.

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

Phương pháp tính (Computational methods) hay toán học tính toán (Computational mathematics) hay phương pháp số (Numerical methods) hay giải tích số (Numerical Analysis) là một bộ phận của toán học ứng dụng Phương pháp tính nghiên cứu về các cách giải tìm nghiệm bằng số gần đúng (với sai số nào đó) của các phương trình, hệ phương trình, bài tóan nội suy (Tìm giá trị gần đúng của một giá trị dựa trên các giá trị đã biết), … xây dựng các giải thuật có thể thực hiện trên máy tính…

a) Số gần đúng: Số a gọi là giá trị gần đúng của số đúng A nếu a không sai khác

nhiều so với A. Kí hiệu: a A Trong thực hành, thường dùng số gần đúng a thay cho số đúng Ab) Sai số tuyệt đối:

Giả sử A là số đúng, a A. Sai số tuyệt đối của số gần đúng a (kí hiệu ) là:

Hay: A= a

Ví dụ 1.1.1: Giả sử độ dài đúng của đọan AB là 20,1824 (cm), giá trị gần đúng đo được là 20,1836 (cm), sai số tuyệt đối của phép đo là:

= |20,1836 – 20,1824| = 0,0012 (cm)

1.1 Một số khái niệm

Sai số tuyệt đối xác định độ lệnh của một giá trị gần đúng so với giá trị thực của nó

Aa (1.1)

1.1 Số gần đúng, sai số (tiếp theo)

Sai số tuyệt đối giới hạn: Thường A không biết nên không biết Thường dùng “sai số tuyệt đối giới hạn” thay cho sai tuyệt đối. Sai số tuyệt đối giới hạn (kí hiệu a) của số gần đúng a là một

giá trị không nhỏ hơn sai số tuyệt đối của a ( a).

Ta có: a- a A a + a

a không đơn trị , và nên chọn a nhỏ nhất có thể.

Ví dụ 1.1.2 : Lấy số a = 3,1415.

Do: 3,14 < a <3,15 có thể chọn a = 0,01.

Hơn nữa 3,141 < a < 3,142 có thể chọn a = 0,001 (tốt hơn)


c) Sai số tương đối:Sai số tương đối của số gần đúng a so với số đúng A (kí hiệu ) được tính bởi :

Ví dụ 1.1.3: Độ dài đúng của đọan AB là 20,1824 và giá trị gần đúng đo được là 20,1836. Vậy sai số tương đối của phép đo là:

%006,000006,0 20,1824

|20,1824– 20,1836|

A

Sai số tương đối của số gần đúng a cho biết chất lượng của phép đo (hoặc tính toán)

A

Aa

A

(1.2)


Sai số tương đối giới hạn

Trong thực hành, thường dùng sai số tương đối giới hạn a thay cho :

Ví dụ 1.1.5: Lấy số a=3,14 là số gần đúng của , sai số tuyệt đối giới hạn a = 0,01. Sai số tương đối giới hạn có thể chọn

%32,00032,014,3

01,0

a

aa

aa

a

(1.3)


Ví dụ 1.1.4: Đo độ dài của 2 đoạn thẳng AB và CD.

Ta có:

%05,00005,0200

1,0

l1

ll

1

1

δ

1

2

2 l2

ll %0429,0000429,0

350

15,0

lδδ

Vậy, phép đo CD chính xác hơn

A B

C D

Độ dài đo được: l1=200cm, l1=0,1cm

Độ dài đo được: l2=350cm, l2= 0,15 cm

Phép đonào chínhxác hơn?

1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc chắna) Chữ số có nghĩa: Một số có thể gồm nhiều chữ số. Ví dụ: số 132 có 3 chữ số, số

0,00547 có 6 chữ số,… Các chữ số có nghĩa trong một số là các chữ số của số đó kể từ chữ

số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải.Ví dụ 1.2.1: Số 132 có 3 chữ số có nghĩa (1,2 và 3)

Số 0,005079 có 4 chữ số có nghĩa (5, 0, 7 và 9)b) Chữ số chắc chắn (chữ số đáng tin): Mọi số thực a đều có thể biểu diễn dưới dạng:

a = (m10m+ m-110m-1+…+ m-210m-2+…+ m-n+110m-n+1+ m-n10m-n+…

Trong đó 0i9 với i=m-1, m-2, … và 0<m9 , (Hay i , i=m,m-1,…,m-n,..là các chữ số có nghĩa)

Ví dụ 1.2.2: Số a = 0,005079 có thể biểu diễn dưới dạng:a = 510-3+ 010-4+ 710-5 + 910-6.

1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc chắn Cho số gần đúng a với sai số tuyệt đối giới hạn a,

Chữ số có nghĩa k trong a được gọi chữ số chắc chắn (hay chữ số đáng tin) nếu:

Ngược lại k gọi là chữ số nghi ngờ.

Ví dụ 1.2.3: - Cho số gần đúng a = 0,03145 với sai số a = 0,0004 có 2 chữ số chắc chắn là 3 và 1 (phần gạch chân), các chữ số 4 và 5 là nghi ngờ.- Cho số gần đúng a = 1,0519 với sai số a = 0,003 có 3 chữ số chắc chắn là 1, 0, và 5 (phần gạch chân), chữ số 9 là nghi ngờ.

Chú ý: Nếu chữ số k là chắc chắn thì tất cả chữ số có nghĩa bên trái của k cũng là

chắc chắn Nếu chữ số có nghĩa k là nghi ngờ thì tất cả chữ số phía phải của k cũng

là nghi ngờ.

ka 10

2

1 (1.4)

Gọi A là số đúng, và a là số gần đúng của A với sai số a.

Cách 1: a a. Thường dùng trong đo đạt hoặc tính toán.

Ví dụ 1.3.1: Số gần đúng a = 0,03145 với sai số a=0,0004 được viết là: 0,03145 0,0004

Cách 2: Theo quy ước: “mọi chữ số có nghĩa đều là chữ số chắc chắn”. Thường dùng trong các bảng như bảng logarithm, bảng các hàm số lượng giác,…

Theo cách viết thứ 2, chữ số cuối cùng (n) bên phải của số gần đúng cũng là chữ số chắc chắn, do đó: a (1/2).10n. Thường chọn a = (1/2).10n

Ví dụ 1.3.2:

Viết a =1,539 theo cách viết thứ 2, thì a (½).10-3=0,0005. Có thể chọn

a =0,0005

Viết a=0,1076 theo cách viết thứ 2, thì a (½).10-4=0,00005. Có thể chọn

a =0,00005

1.3 Cách viết số gần đúng

1.4 Sự quy tròn số và sai số quy tròn

Trong tính toán ta thường quy tròn một số a thành một số gần đúng đơn giản hơn.

Quy tắc quy tròn: Giả sử ta cần làm tròn a đến vị trí thứ n (sẽ thay các chữ số bên phải chữ số thứ n bởi 0):

Quy tắc 1: Nếu chữ số thứ n+1≥ 5 thì tăng chữ số thứ n lên một đơn vị Nếu chữ số thứ n+1 < 5 thì giữ nguyên chữ số thứ n

Ví dụ 1.4.1 : Làm tròn 2,1436 đến 3 và 2 chữ số lẻ ta được 2,144 và 2,14

Ví dụ 1.4.2: Làm tròn 2,1456 đến 3 và 2 chữ số lẻ ta được 2,146 và 2,14

Quy tắc 2: Nếu chữ số thứ n+1> 5 thì tăng chữ số thứ n lên một đơn vị Nếu chữ số thứ n+1 < 5 thì giữ nguyên chữ số thứ n Nếu chữ số thứ n+1 =5 thì giữ nguyên chữ số thứ n nếu nó chẵn hoặc

tăng thêm 1 nếu nó lẻ

Sự quy tròn số và sai số quy tròn (tt)

Sai số quy tròn:Giả sử a là số gần đúng của A, sai số tuyệt đối Δa.

Làm tròn a thành a’, sai số tuyệt đối quy tròn θa’:

'aaaA'aaaA'aA :có Ta

'aa'aA :Nên θ

Có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn kết quả sau cùng a’ là:

'aa'a θ

'' aaa

'aa vàaA :Mà a'a θ

Ví dụ 1.4.3: giả sử a = 0,5364 ± 0,00003. Làm tròn a đến hàng phần trăm (2 số lẻ thập phân), ta được a’ = 0,54. Có thể chọn sai số tuyệt giới hạn của kết quả là:

2'aa'a 10365,05364,054,000003,0 θ

(1.5)

1.5 Các quy tắc tính sai số

1.5.1) Trường hợp tổng quát:

Cho u = f(x1, x2, .., xn) với:x1, x2,…, xn là các giá trị gần đúng của X1, X2,…,Xn với sai số tuyệt đối giới hạn Δx1, Δx2,…, Δxn.

Xác định Δu và δu ?

Ta có:

n

1ii

iii

n

1i i

xx

f)xX(

x

fdu

)x,...,x,x(f)X,...,X,X(fuU n21n21

Chọn

và

xi

n

i iu x

f

1

ix

n

i i

uu u

xu

1

ln

ix

n

1i ii

n

1i i x

fx

x

f

(1.6)

(1.7)


Ví dụ 1.5.1: Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu V=(1/6)d3. Biết đường kính d = 3,70cm 0,05 cm và 3,14 với sai số chọn 0,0016?

Ta có:

4933,21)70,3(14,32

1

2

1 22

dd

V

088,10016,04422,805,04933,21

V

d

VdV

4422,8)70,3(6

1

6

1 33

d

V

%1,404105,05084,26

0882,1

VV

V

)( 5084,26)70,3(14,36

1

6

1 333 cmdV

(cm3)


Ví dụ 1.5.2 : Công suất của một máy phát điện cho bởi công thức: P = I2R

Tính P và các sai số P, p . Biết rằng:

I = 5,6 A I = 0,084 A

R = 25 R = 0,5

Giải ?

1.5.2) Một số trường hợp đặc biệt:

a) Sai số của tổng đại số: Giả sử ta có xi là giá trị gần đúng của Xi (i=1..n) với sai số

tuyệt đối giới hạn Δxi (Δxi = |Xi-xi|) Xét tổng đại số: u = x1 + x2 + . . . + xn. Xác định sai số tuyệt đối giới hạn u và sai số tương đối

giới hạn u của tổng u?

Ta có:

Theo công thức (1.6) và (1.7) ta có:

n)1,2,...,(i 1

ix

u


ni xx

n

ix

iu x

u

... 21x

1 uu

u

(1.8) (1.9)

Ví dụ 1.5.3: Cho a1 = 2,73 ± 0,005; a2 = 3,14 ± 0,0016 Tính u=a1+a2 và sai số?

Ta có: u=2,73+ 3,14 = 5,87Sai số: u = 0,005+ 0,0016 = 0,0066

u = u /|u| = 0,0066/5,87 0,112%

Ví dụ 1.5.4: Cho 2 số gần đúng theo cách viết thứ 2: x1 = 47,132 và x2 = 47,111. Tính u=x1 – x2, và xác định Δu và δu.

Ta có: u = x1 - x2 = 47,132 - 47,111 = 0,021. Δu = Δx1 + Δx2 =0,0005+0,0005=0,001

Nhận xét: Khi x1 gần với x2, sai số tương đối có thể lớn Tránh tính hiệu của 2 số gần đúng xấp xỉ nhau.


%76,40476,0021,0

001,0

uu

u

δ


Ví dụ 1.5.4: Cho 2 số gần đúng: a = 14.539 0,004 và b = 14.536 0,003

Tính u = a – b, u và u ?

Ta có:

u = a – b = 14,539 – 14,536 = 0,003

u= a+ b = 0,004+0,003 = 0,007

%100%3,233003.0

007.0

bau

u

δ

Nhận xét: Sai số tương đối giới hạn lớn hơn 100%


b) Sai số của tíchCho các số gần đúng x1, x2 với các sai số tuyệt đối giới hạn : Δx1, Δx2 và sai số tương đối giới hạn δx1, δx2. Tính u = x1.x2 và sai số u, u?

Ta có:

Theo công thức (1.6) ta có:

Giả sử x1<>0 và x2<> 0. Chia 2 vế cho |u|, ta được:

Vậy: và 21 xxu

uu u .

12

21 x

u ; xx

x

u

212121

1221 21

xxxxxxu

u xxxx

xx

u

2121 1221

xxxxu xxx

u

x

u


c) Sai số của thươngCho các số gần đúng x1, x2 (x2 0) với các sai số tuyệt đối giới hạn Δx1, Δx2

và sai số tương đối giới hạn δx1, δx2. Tính u = x1/x2 và sai số u, u?

Vậy: và 21 xxu uu u .

2121 22

1

221

1xxxxu x

x

xx

u

x

u

21

x

22

1

21

2

21

21

x

)1

(

x

x

x

xx

x

u

x

xxu

u

Theo các công thức 1.6 và 1.7, ta có:


Ví dụ 1.5.5: Tính diện tích của hình chữ nhật và đánh giá các sai số nếu các cạnh đo được là a= 12,5 (cm) 0,04 (cm) và b = 6,4 (cm) 0,02 (cm).

Diện tích hình chữ nhật tính theo công thức:

Ta có:

a = 0,04/12,5 = 0,0032 = 0,32%

b = 0,02/6,4 0,0031 = 0,31%

Vậy: u = a + b = 0,0032+ 0,0031 =0,0063 = 0,63%

u = |u|.u =|12,5 6,4| 0,0063 = 0,5 (cm2)

u = 12,5 6,4 0,5 = 80 (cm2) 0,5 (cm2)

1.6 Sai số phương pháp và sai số tính toán

Sai số phương pháp: Sai số xảy ra ki thay thế bài toán đó bởi bài toán xấp xỉ, đơn giản hơn

Ví dụ 1.6.1: Khai triển Mac Laurin của hàm ex:

n

k

nxk

nxn

x

xn

e

k

x

xn

e

n

xxxe

0

1

12

)!1(!

)!1(!...

!211

!...

!2!11

!

2

0 n

xxx

k

xe

nn

k

kx

1

)1(

n

x

xn

e

Sai số

1

)1(

n

x

xn

e

Sai số Là sai số phương pháp

Có thể tính

1.6 Sai số phương pháp và sai số tính toán

Sai số tính toán: Sai số xảy ra trong quá trình tính toán (làm tròn, tích luỹ)

Ví dụ: 3233 4

1

3

1

2

1

1

1S

Ta có 000,11

13 Sai số 01

125,08

1

2

13

Sai số 02

037,027

1

3

13

Sai số4

3 10.1

016,064

1

4

13

Sai số4

4 10.4

896,0

016,0037,0

125,0000,1

S

4-

44

5.10

10.410.10

016,0037,0

125,0000,1

S

1.7 Sự ổn định của quá trình tính toán

Xét một quá trình tính toán gồm vô số bước Nếu sai số tính toán tích luỹ không tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính

là ổn định. Ngược lại, quá trình tình là không ổn định

Mô hình toán học của vấn đề thực tế không biểu diễn đúng như thực tế.

Do sự phức tạp của bài toán mà ta chọn cách giải gần đúng, dẫn đến có sai số.

Do thu thập số liệu từ thực nghiệm: Số liệu thu thập từ thực nghiệm thường phải có sai số.

Do làm tròn số: Trong quá trình tính toán, đôi khi ta làm tròn kết quả để có được số đơn giản hơn (sai số làm tròn)

1.7 Một số nguyên nhân dẫn đến sai số

Bài tập1. Xác định các chữ số chắc chắn trong các số gần đúng sau:

a) a1 = 0,050146 0,0002 b) a2 = 1,025 0,004

c) a3 = 127,5 với a = 0,03% c) a4 = 5,3442;a = 0,110 -

2

2. Cho số gần đúng a = 1,3641 với sai số a = 0,45 10 -4

Làm tròn a đến 2 số lẻ thập phân. Cho biết kết quả làm tròn và xác định sai số tuyệt đối

3. Đo trọng lượng của 1 dm3 nước ở 0oC nhận được:p=999,847 g 0,001g

Xác định sai số tương đối giới hạn của phép đo.4. Hằng số khí của không khí đo được là R = 29,25. Xác định các giới

hạn của R? cho biết sai số tương đối giới hạn của R là 1%5. Khi đo chiều dài và chiều rộng của một mảnh vườn hình chữ nhật

người ta nhận được: dài = 101,5m0,07m;rộng=15m 0,4m

Bài tập

a) Tính chu vi của mảnh vườn và xác định các sai số

b) Tính diện tích của mảnh vườn và xác định các sai số

6. Khi đo độ dài của 2 đoạn AB và CD nhận được kết quả:

AB = 500,5m 0,2m và CD = 809,4 3m

Hãy cho biết phép đo trên đoạn nào chính xác hơn.

7. Tính giá trị của biểu thức S và xác định các sai số tương đối và tuyệt đối trong các trường hợp sau

a) S = x + y với x= 0,0506 0,0002; y = 1,0205 0,0004

b) S = x2yz3 với x=5,34;a = 0,110 -2

y = 2,51 0,02

và z = 1,24 0,01

Bài tập

8) Cho các số gần đúng:

x = 5,452 0,002; y= 10,205 0,001

Tính S = x2y+(x+y)3, xác định sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của S.

Documents

Chuong01