Chuong05 Ánh xạ tuyến tính

7/27/2019 Chuong05 Ánh xạ tuyến tính

http://slidepdf.com/reader/full/chuong05-anh-xa-tuyen-tinh 1/85

Chƣơng 5 –

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

ThS. LÊ HOÀNG TUẤN



Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn

Chƣơng 5 – ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

,,W V


Xét là các KGVT trên F

,, mn W V là các KGVT trên F có số chiều là n, m

Lúc này, ánh xạ W V f :đgl ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa đồng thời 2 điều kiện

F cV

cf c f

f f f ;,,

)()(

)()()(

F cV f cf c f ;,),()()(

Ký hiệu }|:{),( axtt là f W V f W V L





f


Lưu ý

không là axtt

)()(:,

)()()(:,

cf c f V F c

f f f V

NHẬN DIỆN NHANH ),( mn R R L f

Cho mn R R f : , lúc này, nếu có )( R M A mn

sao cho XA X f )( n R X

thì f là axtt





23: R R f


Ví dụ

)95,372(),,( z y x z y x z y x

xét

3

),,( R X z y x

ta có

93

17

52

)()( z y x X f

X

A

KL: f là axtt





),( W V L f

TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Xét , khi đó

a/ W V f )(

b/ V f f ),()( ( chọn 1c )

c/ ảnh của 1 tổ hợp tuyến tính (thtt) qua ánh xạ f sẽ bằng thtt của

các ảnh tương ứng

V F ccc k k ,,,;,,, 2121

)()()()( 22112211 k k k k f c f c f cccc f

tổ hợp tuyến tính tổ hợp các ảnh ảnh





),( 32 R R L f

TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ví dụ có

)1,3,2()(

)4,3,0()(

)5,2,1()(

3

2

1

f

f

f

tính )825( 321 f

Ta có

)(8)(2)(5)825( 321321 f f f f

)8,24,16()8,6,0()25,10,5(

)41,20,11(





nV

XÂY DỰNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH KHI BIẾT ẢNH CỦA 1 CƠ SỞ

Xét KGVT có 1 cơ sở },,,{ 21 na

, và KGVT W trên F

Chọn trước n ,,, 21 tùy ý W , khi đó

Tồn tại duy nhất axtt

W V f : thỏa

nn f

f f

)(

)()(

22

11





nV


Ánh xạ f được xác định như sau

tìm tọa độ

n

a

c

c

c

2

1

][

)( 2211 nnccc

)()()()( 2211 nnc f c f c f f

)()()( 2211 nn f c f c f c

nnccc 2211





3 R


Ví dụ có cơ sở )}1,0,0(),1,1,0(),1,1,1({ 321 a

, và trong4 R chọn trước

)7,9,0,1(

)0,5,1,2(

)2,0,1,3(

3

2

1

),(! 43 R R L f thỏa

332211 )(;)(;)( f f f

xác định f , nghĩa là3

),,( Rwvu

???),,()( wvu f f





),( W V L f

TÍCH CỦA 2 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Cho , và ),( U W L g , khi đó

),()( 0 U V L f g h

V W

U

f

g

)( 0 f g h





),( W V L f

ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CÁC KGVT CON QUA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Cho , và

W K

V H ( KGVT con )

Khi đó a/

V W

H )( H f

f

}|)({)( H f H f

W H f )( ta luôn có





V


b/

W

K

f

)(1 K f

})(|{)(1 K f V K f

V K f )(1 ta luôn có





W V f )(


c/ kết luận ảnh và ảnh ngược các KGVT con (qua axtt)

cũng là KG con

ÁP DỤNG CỤ THỂ CHO TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT H = V Xét ),( W V L f

a/ chọn )( V V H thì

Ký hiệu )Im()( f V f

= không gian (toàn bộ) ảnh của axtt f

( Image of f )





a


b/ chọn là 1 cơ sở của V thì )(a f là 1 tập sinh của f(V)

chưa chắc đltt

c/ khinV V ( hữu hạn chiều ) có cơ sở },,,{ 21 na

thì )()Im()( a f f V f

)}(,),(),({ 21 n f f f

Tiếp theo, ta mô tả các vector )Im( f

Sau đó tìm được 1 cơ sở của Im(f) từ tậpsinh )}(,),(),({ 21 n f f f của nó





32: R R f


Ví dụ

)74,23,5(),( y x x y y x y x

Kiểm chứng ),( 32 R R L f ( dễ dàng )

Tìm Im(f) và 1 cơ sở cho Im(f)

Trước tiên, ta chọn cơ sở )}1,0(),0,1({ 210 a của 2

R

)}(),({)( 21 f f a f

mà

)7,3,1()1,0()(

)4,2,5()0,1()(

2

1

f f

f f

)}7,3,1(),4,2,5({)( 21 a f





)()Im( a f f


Ta có )7,3,1(),4,2,5(

Chọn )Im( f 221121 :, cc Rcc

hệ 2211 cc có nghiệm

Đặt )Im(),,( f wvu

),,()7,3,1()4,2,5( 21 wvucc có nghiệm

( ẩn là ), 21 cc

w

v

u

74

32

15

có nghiệm





vw

wuv

wu

w

v

u

2

22

10

190

81

74

32

15)1(2)2()2()2(2)3()3(

)3()1()1(


Ta có

vw

wvu

vwu

2

17392

167

10

00

01)3()3(

)3(19)2()2()3(8)1()1(

)3()2(

wvu

vw

vwu

17392

2

167

00

10

01 Hệ này có nghiệm

017392 wvu





}017392|),,({)()Im( 3 wvu RwvuV f f


Vậy

Tiếp theo, ta tìm 1 cơ sở cho không gian Im(f)

)}7,3,1(),4,2,5({)Im( 21 f

tọa độ không tỷ lệ

},{ 21 là tập sinh đltt của Im(f)

},{ 21 là một cơ sở của Im(f)

, và ta có 2)Im(dim f R





),( W V L f

ÁP DỤNG CHO TRƢỜNG HỢP ĐẶC BIỆT K = {O}


Xét

Chọn

}{ W K )( W

Khi đó V K f )(1

V W

f

W

)(1 K f

Đặt })({)()( 11W f K f f Ker

})(|{ W f V

kernel & đgl không gian hạt nhân của f





})(|{)( W f V f Ker


Vậy

= không gian nghiệm của pt W f )(

Ta tìm 1 cơ sở cho Ker(f)

tìm cơ sở cho không gian nghiệm của pt W f )(

Ví dụ 44: R R f

,22,523,742(),,,( t z y xt y xt z y xt z y x

)33 t z y x

Kiểm chứng ),( 44 R R L f ( dễ dàng )

Tìm Ker(f) và 1 cơ sở cho Ker(f)

Á Ế Í





})(|{})({)(41 f R f f Ker


Ta có

)}0,0,0,0(),,,(|),,,({ 4 t z y x f Rt z y x

033

022

05230742

),,,(4

t z y x

t z y x

t y xt z y x

Rt z y x

( không gian nghiệm của 1 hệ pttt thuần nhất)

Á Ế Í





0

0

0

0

1313

2112

5023

7421


Ta chuyển sang giải hệ

0

0

0

0

201550

12930

161240

7421

)1(3)4()4(

)1(2)3()3()1(3)2()2(

0

0

00

0000

0000

43101201

0

0

00

4310

4310

43107421

Á Ế Í





Rba

ab x

ba x

b x

a x

,;

34

2

2

1

4

3


Nghiệm

},|),,34,2({)( Rbabaabba f Ker

},|)1,0,4,1()0,1,3,2({ Rbaba

1 2

a f Ker )( , với

)}1,0,4,1(),0,1,3,2({ 21 a


a là cơ sở của Ker(f) , và 2)(dim f Ker R

Á Ế Í





},,,{ 43210


Tìm 1 cơ sở cho không gian Im(f)

Trước hết, ta chọn cơ sở chính tắc

thì )}({)Im( 0 f f

Ta có )}(),(),(),({)}({ 43210 f f f f f , với

)1,2,5,7()1,0,0,0()(

)3,1,0,4()0,1,0,0()(

)1,1,2,2()0,0,1,0()(

)3,2,3,1()0,0,0,1()(

44

33

22

11

f f

f f

f f

f f

},,,{)Im( 4321 f

Á Ế Í





1257

3104

1122

3231

4

3

2

1


Lập ma trận

)1(7)4()4()1(2)2()2()2(2)3()3(

2012160

53405340

3231

0

0

0000

00005340

3231

2

1

)2(4)4()4(

)2()3()3(

Vậy Im(f) có 1 cơ sở là )}5,3,4,0(),3,2,3,1({ 21

Á Ế Í





2)Im(dim f R


Và lúc này

Từ đó, ta có thể mô tả không gian Im(f)

},{)Im(),,,( 21 f t z y x

hệ 2211 cc có nghiệm thực

),,,()5,3,4,0()3,2,3,1( 21 t z y xcc có nghiệm

t

z

y

x

53

32

43

01

có nghiệm đk của x,y,z,t ???

Vậy

......}..........|),,,({)Im( 4 Rt z y x f

( các đk của x,y,z,t)

Á Ế Í





),( W V L f

LƢU Ý

Xét , với nV F dim

thì khi đó n f f Ker F F )Im(dim)(dim

ĐẶC TRƯNG CỦA AXTT ĐƠN ÁNH Xét ),( W V L f

Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương

a/ f đơn ánh

b/ }{)( f Ker ( nghĩa là pt )( X f

có nghiệm duy nhất ) X

Á Ế Í





V đltt g

ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT ĐƠN ÁNH

c/ , thì W đltt g f )(

( nghĩa là f bảo toàn tính đltt )

d/ cơ sở V a , thì W đltt a f )(

( nghĩa là f bảo toàn tính đltt của 1 cơ sở nào đó )

Ví dụ 4

1 ][: R x R f

)94,83,57,2()( babaabbabxa

Kiểm tra f đơn ánh

Ta sử dụng tính chất d/ a/

Á Ế Í





},1{ xa

ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT ĐƠN ÁNH

Xét cơ sở của ][1 x R

)}9,8,7,1(),4,3,5,2({)}(),1({)( 21 x f f a f

không tỷ lệ

đltt a f )(

KL: f đơn ánh

Á Ế Í





)(: f W V V

ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT TOÀN ÁNH

Xét ),( W V L f


a/ f toàn ánh

b/

( f bảo toàn tính sinh )

c/ cơ sở V a , thì W a f )(

( ảnh của 1 cơ sở nào đó sinh ra không gian sau )

Ví dụ ][][: 23 xQ xQ f

)('3)( x x Hỏi f có là axtt toàn ánh ???

Á Ế Í





},,,1{ 32 x x xa

ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT TOÀN ÁNH

Xét cơ sở của ][3 xQ

)}(),(),(),1({)( 32 x f x f x f f a f

}9,6,3,{2 x x

][)( 2 xQa f

])[)9()6()3()(( 2

2

4321 xQ xc xcccdo

KL: f là toàn ánh

h Á Ế Í





)(a f

ĐẶC TRƢNG CỦA AXTT SONG ÁNH

Xét ),( W V L f


a/ f song ánh

b/ cơ sở V a , thì là cơ sở của W

( f bảo toàn cơ sở )

)(a f c/ cơ sở V a thì là cơ sở của W

( ảnh của 1 cơ sở nào đó là cơ sở của KG sau)

Lưu ý nếu ),( W V L f là song ánh thì ánh xạngược

),(1

V W L f

( f -1

cũng là axtt )

Ch 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH





][: 1

2 x R R f


Ví dụ

xuvvuvu )2()32(),( CM: f song ánh

Xét )}1,0(),0,1({21

a là 1 cơ sở của 2 R

}32)(,2)({)( 21 x f x f a f

][)( 1 x Ra f

có 2 vector

2 chiều

Tiếp theo, ta giải thích f(a) đltt

Xét hệ thức 0)()( 2211 f c f c

Chƣơ 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH





0)32()2( 21 xc xc


0)2()32( 1221 xcccc

02

032

12

21

cc

cc

021 cc

đltt a f )( )(a f là 1 cơ sở của ][1 x R

KL: f là song ánh

Viết ánh xạ ngược 1 f

Xét ][)( 1 x Rbxa

Giải pt bxavu f

),( ( u, v là ẩn số )






bxa xuvvu )2()32(


buv

avu

2

32

bav

bau

2

32

KL:2

1

1 ][: R x R f

)2,32(),()( babavubxa

MỆNH ĐỀ

Xét ),( mn W V L f )dim;(dim mW nV m F n F

Nếu f là đơn ánh thì mn






mn


Suy ra, nếu thì f không là đơn ánh

Nếu f là toàn ánh thì mn

( suy ra, nếu n < m thì f không toàn ánh )

Nếu f song ánh thì n=m

( suy ra, nếu n ≠ m thì f không song ánh )

Giả sử n = m; khi đó

f đơn ánh f toàn ánh f song ánh






),( mn W V L f

MA TRẬN BIỂU DỄN AXTT

Xét , trong đó

có cơ sở nV },,,{ 21 na

có cơ sởm

W },,,{21 m

Xác định ảnh )}(,),(),({)( 21 n f f f a f

Lấy tọa độ của )(,),(),( 21 n f f f theo cơ sở

Đặt

)]([)]([)]([][ 21, na f f f f

và gọi là ma trận biểu diễn axtt theo cặp cơsở vàa






mn W V


Lưu ý nếu , và a thì aa f f ][][ ,

Ví dụ

23: R R f

)754,2(),,( z x y z y x z y x

có cơ sở 3 R },,{ 321 a

có cơ sở 2 R }','{ 21 Hỏi ???][ , a f

Ta có

)}7,1()(),4,1()(),5,2()({)( 321 f f f a f

7

1

)]([;4

1

)]([;5

2

)]([ 321 f f f






)]([)]([)]([][ 321, f f f f a


)(745

11232 Q

TỌA ĐỘ CỦA ẢNH THEO CƠ SỞ

nV thì aa f f ][][)]([ ,

gọi là tọa độ củaảnh

)( f ( theo cơ sở β )

( tính theo tọa độ của biến theo cơ sở a )

Chƣơng 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH





2 R

TỌA ĐỘ CỦA ẢNH THEO CƠ SỞ

Ví dụ có cơ sở )}1,2(),2,3({ 21 a3 R có cơ sở

)}3,5,2(),1,0,3(),2,1,1({ 321

Cho ),( 32 R R L f có

43

01

72

][ , a f Tìm biểu thức của f

Gợi ý xét2),( Rvu Tìm ??),()( vu f f

Trước hết, tìm

2

1

][ c

c

a aa f f ][][)]([ ,






),(

),(,

pm

mn

U W Lh

W V L g f

MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TỔNG & ÁNH XẠ TÍCH

Cho , trong đó

p

m

n

U

W

V có cơ sở

............

............

a

Lúc này, ta có

a/ )(][].[ ,, F c f c f c aa

b/ ,,, ][][)][( aaa g f g f c/ ,,, ][][][ aa f h f h

nV

mW

pU

f

h

f h






),( mn W V L f

MỆNH ĐỀ

Xét , và vàa

lần lượt là cơ sở của

mn W vàV

Khi đó

a/ f song ánh ,][ a f khả nghịch 0)]det([ , a f

b/ nếu f song ánh thì ),(1

nm V W L f , và

1

,,

1 )]([][ aa f f

( tìm ra biểu thức của f -1 )






nV

SỰ THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN AXTT THEO CƠ SỞ

),( mn W V L f Xét , trong đó

có 2 cơ sở 'avàa

mW có 2 cơ sở ' và

)'( aa P S là ma trận chuyển cơ sở từ

'aa)'( P T '

Khi đó

S f T f aa ,

1

',' ][][

Ví dụ 23: R R f

)92,853(),,( wuvwvuwvu






3 R


có cơ sở 0 a , và

)}2,2,1(),7,5,2(),0,1,3({' 321 a

2 R có cơ sở 0

' , và )}5,3(),7,2({'21

hỏi ???][ ',' a f

Ta có

270251

123

)'( aa P S

57

32)'( P T






921

853][ , a f


( có dễ dàng )

S f T f aa ,

1

',' ][][

270

251

123

921

853

27

35

11

1






),( V V L f

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

Nếu thì f gọi là 1 toán tử tuyến tính (tttt) trên V

Ký hiệu }|:{),()( axtt là f V V f V V LV L

V V :

toán tử zero

V V Id V :

toán tử đồng nhất

Xét )(V L f

f f Id Id f

f f

V V

0

00ta có






)(V L f


Xét

Đặt

f f f f

f f f

f f

Id f

k

V

000

0

2

1

0

( k lần

)

Ta có )(V L f k

Nếu f song ánh thì ta định nghĩa thêm các lũy thừa nguyên âm

1 f ánh xạ ngược của f

1;)(1

k f f k k






22: R R f


Ví dụ

),(),( y y x y x

Chứng tỏ )( 2 R L f ( dễ dàng )

Ta có 0;),(),( k yky x y x f k

Mặt khác, f song ánh vì

10

11

][][ 000 , f f khả nghịch

Ánh xạ ngược 21 ),(;),(),( R y x y y x y x f






}{)( f Ker

TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Các mệnh đề sau đây là tương đương

a/ f song ánh

b/ f đơn ánh

c/ f toàn ánh

d/

e/ n f F )Im(dim

f/ cơ sở )(: a f V a n cũng là 1 cơ sở của nV

g/ cơ sở )(: a f V a n cũng là 1 cơ sở của nV

h/ cơ sở aaan f f V a ][][: , khả nghịch

i/ cơ sở aaan f f V a ][][: , khả nghịch

j/ cơ sở ,][:, an f V a khả nghịch

k/ cơ sở ][:, an f V a khả nghịch






)( nV L f


Xét , vànV có 2 cơ sở là 'avàa

Thì lúc này,

a/ )(][][)]([ naaa V f f

b/ )(;][][][][][ F c f ccf và g f g f aaaaa

c/ aaa f g f g ][][][ 0

d/ 0;][][ k f f k

aa

k (*)

e/ nếu f song ánh thì (*) đúng Z k

f/ nếu đặt )'( aa P S thì

S f S f aa ][][1

'






)(V L f

TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG, KHÔNG GIAN RIÊNG

Xét , và F c

Đặt })(|{ c f V E c

)}()(|{ V cId f V

}))((|{ V cId f V

)( V c cId f Ker E , lúc này V E c

TH1: nếu }{c E tầm thường

TH2: nếu }{c E gọi c là 1 trị riêng của f , và

c E gọi là không gian riêng (ứng với c) của f






}{\ c E


Lúc này, mỗi gọi là vector riêng

(ứng với trị riêng c) của f

Lưu ý

0}{

0

)( ckhi

ckhi E

E f

c

c

, nghĩa là cc E E f )(

XÉT CHO MA TRẬN VUÔNG

Xét ma trận )( F M A n , và F c

Đặt }|{ cX AX F X E

n

c

, mà X cI cX n )(






})(|{ X cI A F X E nn

c


c E không gian nghiệm của hệ pttt thuầnnhất

X cI A n )(

Lúc này,n

c F E

TH1: nếu }{c E tầm thường

TH2: nếu }{c E gọi c là 1 trị riêng của A , và

c E gọi là không gian riêng (ứng với c) của A

}{\ c E Lúc này, mỗi gọi là vector riêng

(ứng với trị riêng c) của A






)(

121

101

365

3 Q A


Ví dụ

Xét Qc 3 , ta có })3(|{ 3

3

3 X I AQ X E

Tiếp theo, ta giải X I A )3( 3

0

0

0

421

131

368giải

0 z y x

)}0,0,0({3 E

3 c không là trị riêng của A






)}0,0,0({2 E

Xét Qc 2 , ta có })2(|{ 33

2 X I AQ X E


Tiếp theo, ta giải X I A )2( 3

0

00

121

121363 giải vô số nghiệ

m (2ẩn tự do)

b x

a xab x

3

2

1 2

2 c là trị riêng của A (trên Q) , và

2 E là không gian riêng (ứng với trị riêng 2) của A , và

mỗi }{\2 E là vector riêng (ứng với trị riêng 2) của A






)( nV L f

ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG CỦA TOÁN TỬ TT VÀ MA TRẬN VUÔNG

Xét , và a là 1 cơ sở tùy ý của Vn

Viết ma trận a f ][ , và lập ma trận )][( an f xI

Đặt )][det()( an f f xI x p gọi là đa thức đặc trưng của f

01

1

1 a xa xa x n

n

n

)( F A n Xét

Lập matrận

)( A xI n

Đặt )det()( A xI x p n A gọi là đa thức đặc trưng của A

01

1

1 a xa xa xn

n

n

hệ số của bậc cao nhất luôn =1






22: R R f


Ví dụ a/

)83,52(),( vuvuvu

Chọn )}1,0(),0,1{(0 a

83

52][ a f

83

52

83

52

10

01][2

x

x x f xI a

31683

52)( 2

x x

x

x x p f






)(52

172 C A

Ví dụ (tt)


b/ tìm p A(x)

Ta có

52

17

52

17

10

012

x

x x A xI

3312

52

17)( 2

x x

x

x x p A






)( nV L f

LIÊN HỆ GiỮA TRỊ RIÊNG VÀ ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG

Xét , và )( F A n

a/ nếu c là 1 trị riêng (trên F) của f (hoặc A)

c là 1 nghiệm (trên F) của pf (x) (hoặc p A(x))

b/ suy ra, muốn tìm tất cả các trị riêng (trên F) của toán tử f

hoặc ma trận vuông A, thì ta tìm tất cả các nghiệm trênF của đa thức đặc trưng tương ứng

Ví dụ a/ )( 4V L f có 86)( 24 x x x p f

Giả sử R F )2)(2)(2)(2()( x x x x x p f

f có 4 trị riêng thực 2,2,2,2 4321 cccc






)()()( 444 C RQ A

LIÊN HỆ GiỮA TRỊ RIÊNG VÀ ĐA THỨC ĐẶC TRƢNG

Ví dụ (tt) b/ có

)2)(2()4()( 224 x x x x p A ( trường Q )

)2)(2)(2( 2 x x x ( trường R )

)2)(2)(2)(2( i xi x x x ( trường C )

, nghĩa là

nếu F=Q : thì A không có trị riêng trên Q

nếu F=R : thì A có 2 trị riêng trên R ( là )2

nếu F=C : thì A có 4 trị riêng trên C ( là )2,2 i






)()( 01

1

1 x pa xa xa x x p A

n

n

n

f

ĐỊNH LÝ HAMILTON - CAYLEY

)( nV L f Xét , và )( F A n

Giả sử

Lúc này, đa thức đặc trưng của f (hoặc A) sẽ triệt tiêu chính toán tử

f (hoặc chính ma trận A), nghĩa là

0

01

1

1)( f a f a f a f f p n

n

n

f

nV Id

toán tử zero

n

n

n

n

A Aa Aa Aa A A p

0

01

1

1)(

n I






)0()0( 0 A f pa p

MỆNH ĐỀ

)( nV L f Xét , và )( F A n

)()( 01

1

1 x pa xa xa x x p A

n

n

n

f Giả sử

Để ý , khi đó

a/ f song ánh 0)0( 0 a p f

b/ A khả nghịch 0)0( 0 a p A

c/ giả sử f song ánh (hoặc A khả nghịch), nghĩalà

00 a

Ta tìm f -1 và A-1 như sau








nV

TOÁN TỬ VÀ MA TRẬN CHÉO HÓA ĐƢỢC

Xét )( nV L f , lúc này ta nói f chéo hóa được trên

nếu tồn tại cơsở

},,,{ 21 na của nV

sao cho

n

a

c

c

c

f

2

1

][

ma trận đường chéo

nghĩa là

nnn c f

c f

c f

)(

)(

)(

222

111

, trong đó

0

0)]([

1

1

c

f a

an

c

f 0

0

)]([;





C ƣơ g 5 Ạ U

)( F n

TOÁN TỬ VÀ MA TRẬN CHÉO HÓA ĐƢỢC

Xét )( F A n , lúc này ta nói A chéo hóa được trên F

nếu tồn tại ma trận P khảnghịch

thỏa

n

c

cc

AP P

2

1

1

ma trận chéo





g Ạ

k jr E

c xc xc x x p

jcV

r

k

r r

f

jn

k

,,2,1;dim

)()()()( 21

21

ĐK CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ 1 TOÁN TỬ (MT VUÔNG) CHÉO HÓA ĐƢỢC

Xét )( nV L f , và )( F A n

f chéo hóa được trên Vn

k jr E

c xc xc x x p

jc F

r

k

r r

A

j

k

,,2,1;dim

)()()()( 21

21

A chéo hóa được trên F





g Ạ

)( x p f

ĐK CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ 1 TOÁN TỬ (MT VUÔNG) CHÉO HÓA ĐƢỢC

jcV

r

k

r r

f

r E k jc xc xc x x p

jn

k

dim:},,2,1{)()()()(

21

21

f không chéo hóa được trên Vn

không tách được trên Vn , hay

)( x p A

jc F

r

k

r r

A

r E k j

c xc xc x x p

j

k

dim:},,2,1{

)()()()( 21

21

A không chéo hóa được trên F

không tách được trên F, hay





g Ạ

)][det()( f xI x p n f

THUẬT TOÁN CHÉO HÓA

Xét )( nV L f

Tìm , với β là 1 cơ sở tùy ý của Vn

Nếu pf

(x) không tách được trên F : thì f không chéo hóa được

trên Vn

Nếu pf (x) tách được trên Vn thành

k r

k

r r

f c xc xc x x p )()()()( 21

21

, với F ccc k ,,, 21

Thì ta tìm cơ sở a j cho không gian riêng

)( n j V jc Id c f Ker E )1( k j





g Ạ

},,2,1{ k j


Nếu jc F r E

j dimsao cho

thì f không chéo hóa được trên Vn

Nếu },,2,1{,dim k jr E jc F j thì f chéo hóa được trên Vn

Đặt k aaaa 21 thì a là cơ sở của Vn

Lúc này,





g Ạ

1r

k

k

a

c

c

c

c

f

1

1

][


lần

k r lần

ma trận chéo





g Ạ

)1( k j


Xét )( F A n

)det()( A xI x p n A Tìm

Nếu p A(x) không tách được trên F : thì A không chéo hóa được

trên F

Nếu p A(x) tách được trên F thành

k r

k

r r

Ac xc xc x x p )()()()( 21

21

, với F ccc k ,,, 21

Thì ta tìm cơ sở a j cho không gian riêng

})(|{

X I c A F X E n j

n

c j





g Ạ


},,2,1{ k j Nếu jc F r E

j dimsao cho

thì A không chéo hóa được trên F

Nếu },,2,1{,dim k jr E jc F j thì A chéo hóa được trên F

Đặt k aaaa 21 thì a là cơ sở của Fn

Đặt )( 0 a P P

dễ tìm cơ sở chính tắc của Fn

( không cầntìm P-1 nếukhông cóyêu cầu )





g Ạ


1r

k

k

c

c

c

c

AP P

1

1

1

lần

k r lần

ma trận chéo





33: R R f


Ví dụ

)4,23,58(),,( wvuwuvwvuwvu

114

132

518

][ 0 f nên )][det()( 03 f xI x p f

114

132

518

)(

x

x

x

x p f

114

132

404)3()1()1(

x

x

x x





314

132

004)'1()'3()'3(

x

x

x


31

13)4(

x

x x

)2()4( 2 x x

)2()4()( 2 x x x p f tách được trên R

2,4

1,2

22

11

r c

r c

Tiếp theo, ta tìm cơ sở 2a cho )4( 3

2 4 Rc Id f Ker E E

Ta có ),,(4),,(),,)(4( 3 wvuwvu f wvu Id f R





)54,2,54(),,)(4( 3 wvuwuvwvuwvu Id f R


giải ),,)(4( 3 wvu Id f R

054

02

054

wvu

wuv

wvu

00

514112

)1(2

1

)1(

)1(2)2()2(

0

0

330

2/12/11

0

0

110

101)2(

2

1)1()1(

)2(3

1)2(

nghiệm

wv

wu

w tùy ý





}|),,({4 Rwwww X E


}|)1,1,1({ Rww X

)}1,1,1({

4 E có cơ sở )}1,1,1({2 a

21dim 24 r E R

KL: f không chéo hóa được trên R

Ví dụ 2

cho

121

101

365

A hỏi A có chéo hóa được không?





121

11365

||)( 3

x

x x

A xI x p A


Ta có

121

220

365)3()2()2(

x

x x

x

)'2()'3()'3(

3)2(

11

95)2(

121

020

965

x x

x x

x

x

x





3)2()( x x p A


tách được trên R

Tiếp theo, ta tìm cơ sở a cho

})2(|{ 3

3

2 X I A R X E E c

Ta có

0

0

0

121

121

363

)2( 3 X I A

)0121(

nghiệm

vwu

wv

2

, thực tùy ý





},|),,2({2 Rwvwvvw X E


},|)1,0,1()0,1,2({ Rwvwv X

1 2

)}1,0,1(),0,1,2({ 212 E


2 E có cơ sở },{ 21 a

32dim 2 r E F

KL: A không chéo hóa được trên R





)())(()( 21 n f c xc xc x x p

MỆNH ĐỀ

Xét )( nV L f ( hay )( F A n )

Nếu pf (x) (hay p A(x)) tách được trên F, và chỉ có nghiệm đơn

, hay

)())(()( 21 n A c xc xc x x p

n jicc ji 1;

thì f (hay A) chéo hóa được trên Vn (trên F)





a f f ][

MA TRẬN BIỂU DIỄN TOÁN TỬ

Xét )( nV L f

Chọn cơ sở a cố định (tùy ý) của Vn

Ta có sự tương ứng song ánh giữa )( nV L với

)( F n

, nghĩa là

Cho )( nV L f

thì có )(][ F f A na

Ngược lại, cho )( F A n thì có )( nV L f

mà A f a ][





a f ][

MA TRẬN BIỂU DIỄN TOÁN TỬ

f chéo hóa được trên Vn chéo hóa được trên F

TOÁN TỬ HÓA MA TRẬN VUÔNG

Xét )( F A n

Lập toán tử nn

A F F f :t XA X

chuyển vị của A

Ta có )( n

A F L f , và A f A 0

][

f A gọi là toán tử hóa của A





)(

520

643

512

3 Q A

TOÁN TỬ HÓA MA TRẬN VUÔNG

Ví dụ

Lập 33: R R f A

565

241

032

),,(),,( wvu XAwvu X t

)52,643,52( wvwvuwvu

thì )( 3 R L f A A f A 0

][ , và





)()( x p x p A f A

MỆNH ĐỀ

Xét A và f A như trên , khi đó

a/

b/ A

c

f

c E E A

c/ f A chéo hóa được trên Fn A chéo hóa được trên F

Documents

Chuong05 Ánh xạ tuyến tính