Chương7

Bài giảng môn học: Kết cấu bêtông cơ bản

Nguyễn Tấn Page 66

Chương 7: TÍNH TOÁN THEO TRẠNG THÁI GIỚI HẠN THỨ 2

Cùng với sự phát triển của công nghệ vật liệu và kỹ thuật thi công, kết cấu bê tông cốt

thép với các tiết diện thanh mảnh ngày càng trở nên phổ biến. Tiết diện càng thanh

mảnh thì cấu kiện càng dễ bị võng và càng có nguy cơ bị nứt.

Cấu kiện được tính toán theo trạng thái giới hạn thứ hai, sau khi đã tính toán thỏa độ

bền, nhằm đảm bảo điều kiện sử dụng bình thường của kết cấu: Không có những biến

dạng ( độ võng, góc xoay, góc trượt, và dao động) vượt qua giới hạn cho phép, cũng

như không cho hình thành và mở rộng vết nứt quá mức.

7.1 Tính độ võng của cấu kiện

Cấu kiện có độ võng quá lớn sẽ làm mất mỹ quan hoặc gây tâm lý sợ hãi nơi người sử

dụng. Theo TCXD, độ võng và chuyển vị của các cấu kiện do tải trọng tiêu chuẩn gây

ra ( hệ số độ tin cậy tải trọng bằng 1) không được vượt qua giới hạn cho phép. Cần

tính độ võng với tải trọng tiêu chuẩn để phù hợp với điều kiện làm việc bình thường

của kết cấu. Các trường hợp vượt tải chỉ là nhất thời, không làm tăng độ võng.

Ngoài ra, độ võng có thể tăng dần theo thời gian sử dụng do hiện tượng từ biến khi tải

trọng ( khi tải trọng không thay đổi giá trị), co ngọt của bêtông, hoặc các hiện tượng

khác, nên khi tính độ võng, còn phải phân biệt tác dụng dài hạn và ngắn hạn của tải.

Độ võng giới hạn của các cấu kiện thông dụng cho ở Bảng 6.1.

Bảng 7.1: Trị số giới hạn của độ võng( Bảng 4 TCXDVN trang 17)

Loại cấu kiện Giới hạn độ võng

1. Dầm cầu trục với:

a) Cầu trục quay tay L/500

b) Cầu trục chạy điện L/600

2. Sàn có trần phẳng, cấu kiện của mái và tấm tường treo

(khi tính tấm tường ngoài mặt phẳng)

a) Khi L<6m L/200

b) Khi 6m L 7.5m 3cm

c) Khi L > 7,5m L/250

3. Sàn với trần có sườn và cầu thang

a) Khi L<5m L/200

b) Khi 5m L 10m 2,5cm

c) Khi L>10m L/400

Ghi chú: L là nhịp của dầm hoặc bản kê lên 2 gối; đối với công xôn L = 2 lần chiều dài

vươn của công xôn.



Độ võng hay góc xoay của các cấu kiện bêtông cốt thép được tính toán theo các

công thức của cơ học kết cấu sau khi đã xác định được độ cong( hay độ cứng) của cấu

kiện.

Nếu vật liệu là đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng, độ cong của một cấu kiện chịu

uốn cho bởi

1 M

r EJ (7.1)

Trong đó, 1

r Độ cong của trục cấu kiện; EJ = Độ cứng chống uốn.

Đối với bê tông cốt thép là vật liệu đàn hồi dẻo, không đồng chất, không đẳng

hướng, và có thể có vết nứt trong vùng chịu kéo, độ cong 1/r sẽ được xác định cho

từng tiết diện hoặc từng đoạn cấu kiện hoặc từng đoạn cấu kiện tùy thuộc bê tông

vùng kéo có hình thành vết nứt hay không.

a. Tính độ cong trên những đoạn không có vết nứt

Trên những đoạn không có vết nứt, độ cong tính theo công thức:

2

1

1 b

b b td

M

r E J

(7.2)

Trong đó Jtd = mô men quán tính của tiết diện tương đương, gồm cả bê tông và cốt

thép qui đổi về bêtông theo hệ số tình đổi n= Es/Eb; b1 = 0.85 = hệ số xét đến ảnh

hưởng của từ biến ngắn hạn của bê tông; b2 = hệ số xét đến ảnh hưởng của từ biến

dài hạn của bê tông : Khi tính với tác dụng ngắn hạn của tải trọng, lấy b2 = 1; trong

khi với tác dụng dài hạn trong môi trường có độ ẩm 40 – 75%, lấy b2 = 2. Chú ý

công thức (7.2) áp dụng riêng rẽ cho tải trọng dài hạn và ngắn hạn. Độ cong toàn bộ

tính bằng tổng các độ cong thành phần.

b. Tính độ cong trên những đoạn có xuất hiện vết nứt

Xét một đoạn dầm chịu uốn thuần túy như hình dưới. Sauk hi xuất hiện vết nứt tiết

diện xem như làm việc ở giai đoạn II của trạng thái ứng suất biến dạng.



Dọc theo trục dầm ở giai đoạn này chiều cao vùng bê tông chịu nén sẽ biến đổi theo

hình lượn sóng, với chiều cao nhỏ nhất, ký hiệu là x. Tại các tiết diện có vết nứt và

chiều cao trung bình ký hiệu là x . Tại các tiết diện có vết nứt thì ứng suất trong cốt

thép là lớn nhất và giảm dần khi xa khỏi vết nứt đến khoảng tiết diện giữa hai vết nứt.

tương ứng với ứng suất kéo tăng dần do có sự truyền lực thông qua lực dính giữa bê

tông và cốt thép vùng kéo. Gọi b và s lần lượt là ứng suất tại ứng suất tại mép bê

tông chịu nén và trong cốt thép ở trong cốt thép ở các tiết diện có vết nứt, thì để xét

đến sự biến thiên vừa nêu, có thể biểu diễn chúng qua các giá trị trung bình.

b b b và s s s

Trong đó, ,b s là các hệ số (<1). Lấy b=0.9 đối với bê tông nặng và s, Xác định

bằng tính toán.

Nếu chấp nhận giả thiết tiết diện phẳng giữa hai vết nứt thì biến dạng tỷ đối của vùng

bêtông chịu nén và của cốt thép sẽ là:

*b

b bb

bbEE

và s s

s s

s sE E

Trong đó, =hệ số đặc trưng trạng thái đàn dẻo của bê tông vùng nén ( chương 1): Khi

tính với tác dụng ngắn hạn của tải trọng. =0.45; và với tác dụng dài hạn trong môi

trường có độ ẩm 40-75%, =0.15.

bt

s

s

M

x x x

Z

b

sAs

ln ln Tiết diện nứt



Tại tiết diện có vết nứt, biểu đồ ứng suất xem như có dạng hình chử nhật, cân bằng

mômen nội và ngoại lực ta có:

b

b

M

A Z

và s

s

M

A Z

ở đây, bA diện tích vùng bê tông chịu nén, sA diện tích cốt thép chịu kéo, và

Z=cánh tay đòn nội ngẫu lực.

Hình: Biểu đồ quan hệ ứng suất – biến dạng của bê tông.

Trong trường hợp tông quát có cốt thép chịu nén sA thì cần qui đổi diện tích cốt

chịu nén thành diện tích bêtông tương đương sbq b

nAA A

v

và khi đó b

bq

M

A Z

.

Để tính độ cong, xét một đoạn dầm giữa hai vết nứt như Hình bên. Khoảng cách trung

bình trên trục trung hòa giữa hai vết nứt là ln , và bán kính cong trung bình là r. Sử

dụng phép đồng dạng tam giác lập quan hệ

0 0

( ) 1b bn nl l

r h r h

b

Rb

chb

dh d

0

A

D

b A

b



Thay các thông số tương ứng vào biểu thức trên ta có:

0

1 s b

s s b bq

M

r h Z E A E A

(7.3)

So sánh công thức (7.3) với (7.1) có thể tìm ra độ cứng chống uốn của dầm bê tông

cốt thép.

Có thể nhận thấy độ cứng của cấu kiện bê tông cốt thép không những phụ thuộc vào

các đặc trưng cơ học và hình học của tiết diện (như đối với vật liệu đàn hồi), mà còn

phụ thuộc vào tải trọng (thông qua bqA ) và tính chất đàn dẻo của bê tông. Để tăng độ

cứng của cấu kiện ( giảm độ cong) thì tăng chiều cao tiết diện là hiệu quả nhất.

Trường hợp tổng quát của một tiết diện hình chữ T làm việc chịu uốn hoặc chịu nén

lệch tâm hoặc kéo lệch tâm với độ lệch tâm 0 00.8e h thì độ cong được tính bởi

0 0

1 s b s

s s b bq s s

MN

r h Z E A E A h E A

(7.4)

h 0

rln

bln

sln



Trong đó N= Lực dọc đúng tâm; M=N(e0+h/2-a) = mômen uốn lấy đối với trục đi

qua trọng tâm cốt thép As; số hạng thứ hai của vế phải dùng dấu (+) cho cấu kiện chịu

kéo lệch tâm. Theo TCXDVN, các thông số trong công thức (7.4) có thể tính theo các

công thức thực nghiệm như sau:

Diện tích qui đổi của vùng bê tông chịu nén tại tiết diện có vết nứt bqA tính được

thông qua chiều cao tương đối của vùng này:

0

0

1.51

1 5( )1.8 11.5 5

10

cx

eh

n h

Trong đó, ở chổ có hai dấu, lấy dấu trên cho trường hợp nén lệch tâm và dấu dưới cho

trường hợp kéo lệch tâm; 0

sA

bh và ;s

b

En

E e = khoảng cách từ điểm đặt lực dọc đến

trọng tâm cốt thép As, và

2

0 00

( )

; (1 );2

c c sc

c c

bn

nb b h A

hM v

h bhR bh

Khi 0

ch

h

thì tính toán như tiết diện hình chữ nhật có chiều rộng cbBiết

thì có thể xác định được cho tiết diện tổng quát hình chử T

0( ) ( )sbq c c c

AA bx b b h n bh

Cánh tay đòn Z

M

b

sAs

'sA's

Z

b'c

x

h' c

hc

h0



Z là khoảng cách từ trọng tâm cốt thép As đến điểm đặt hợp lực của vùng bê tông chịu

nén tại tiết diện có vết nứt. Với giả thiết biểu đồ ứng suất của vùng bê tông chịu nén

phân bố đều thì Z tính theo công thức:

20

0

/1

2

c c

c

h hZ h

Đối với tiết diện hình chử nhật( Hay chử Tcos cánh trong vùng kéo), trong các công

thức tính và Z:

Lấy 2ch a khi có cốt thép sA trong vùng chịu nén và

Lấy 0ch khi 0sA

Hệ số s, tính theo công thức

2(1 )

1.25 1(3.5 1.8 )

ms dh m

m e

Trong đó,

dh= hệ số xét đến ảnh hưởng thời gian tác dụng của tải trọng và loại cốt thép:

Khi tải tác dụng ngắn hạn dh=1.1 đối với cốt thép có gân và

dh=1.0 đối với cốt thép khác

Khi tải tác dụng dài hạn dh=0.8

m= xét đến đặc trưng tương tác của cốt thép với bê tông dọc theo trục cấu kiện :

Đối với cấu kiện chịu uốn: Mr=M, và không kể số

hạng cuối cùng của vế phải s.

Đối với cấu kiện chịu nén lệch tâm: Mr=N(e0-r1)

Đối với cấu kiện chịu kéo lệch tâm: Mr=N(e0-r1)

r1 là khoảng cách từ trọng tâm tiết diện qui đổi đến đỉnh lỏi của tiết diện trong vùng

nén;

Wn = mô men kháng đàn hồi-dẻo của tiết diện qui đổi ngay trước khi nứt đối với thớ

chịu kéo ngoài cùng: 0

0

2( )b s sn b

J nJ nJ hW s

h x



Với Jb, Js, và J’s=mô men quán tính đối với trục trung hòa của vùng bê tông chịu nén

của cốt thép As và A’s; Sb=mômen tĩnh của diện tích vùng bê tông chịu kéo đối với

trục trung hòa; và x0 = chiều cao vùng nén khi chưa xuất hiện vết nứt. Vị trí trục trung

hòa (x0) được xác định từ điều kiện mô men tĩnh của tiết diện qui đổi bằng không:

0( )0

2

btb s s

h x AS nS nS

Trong đó ,b sS S và sS =mô men quán tính đối với trục trung hòa của vùng bê tông chịu

nén, của cốt thép As và A’s; Abt = diện tích vùng bê tông chịu kéo.

Thực tế tính toán có thể tính Wn theo công thức xấp xỉ

( tham khảo sách KC BTCT – Ngô Thế Phong chủ biên 2003)

2(0.292 0.75 0.15 )n w wW bh

Trong đó,

( ) 2 ( ) 2

;c c s c c sw w

b b h nA b b h nA

bh bh

c. Tính độ võng của dầm.

Như đã nêu trên độ cứng của cấu kiện bê tông cốt thép phụ thuộc vào độ lớn tải trọng

( làm thay đổi chiều cao vùng nén). Do

đó ngay cả đối với một đoạn dầm có tiết

diện và cốt thép không đổi dọc theo trục,

nếu mô men ngoại lực biến đổi thì độ

cứng dầm cũng biến đổi. Tuy nhiên, một

cách gần đúng, TCXDVN cho phép coi

các đoạn dầm có tiết diện không đổi, hay

có mô men cùng dấu đối với dầm liên

tục, sẽ có độ cứng là một hằng số, xác

định theo giá thị mô men lớn nhất trong

đoạn dầm đó:

Độ võng do biến dạng uốn gây ra tại một

tiết diện A nào đó của cấu kiện xác định

theo công thức mohr:

1

0

1( )

( )Af M z dz

r z

a)

b)

c)

d)

Cấu kiện bê tông cốt thép có tiết diện

không đổi

a) Sơ đồ tải trọng

b) Biểu đồ mô men uốn

c) Biểu đồ độ cứng

d) Biểu đồ độ cong



Trong đó, M(z) là mô men uốn tại tiết diện z(z=0l)do tác dụng của một lực đơn vị

đặt tại A theo phương thẳng đứng; và 1/r(z) là độ công tại tiết diện z dưới tác dụng

của tải trọng đã cho. Giá trị 1/r tính từ các công thức (7.2)và (7.3) tùy theo đoạn dầm

không có hay có vết nứt.

Đối với các dầm thông dụng, độ võng lớn nhất có thể xác định theo công thức

max

21M M

f lr

Trong đó là hệ số tùy thuộc vào liên kết và dạng tải trọng.

Bảng 7.2: Hệ số để tính dầm đơn giản

Sơ đồ tính toán Sơ đồ tính toán

1

4

5

48

1

3

1

12

36

a a

l l

2

2

1

8 6

a

l

Độ võng toàn phần của dầm sẽ là độ

võng do cả tải trọng ngắn hạn và dài hạn

gây ra, có thể xác định theo công thức

sau

1 2 3f f f f

Trong đó ,

1 = độ võng do tác dụng ngắn hạn của

toàn bộ tải trọng,

2 = độ võng do tác dụng ngắn hạn của tải trọng dài hạn,

1 = độ võng do tác dụng ngắn hạn của tải trọng ngắn hạn.

q

l

q

l

F

l

F

l l

a

F

l

a a

F F

l

f

f 2

f 3

f 1

P

Pdh



Sauk hi tình được độ võng, trong một số trường hợp như cấu kiện chịu uốn có l<10h,

bản đặc có chiều dày <25cm…, TCXDVN còn qui định cần phải điều chỉnh ( tawnng

hay giảm) để xét đến ảnh hưởng của lực cắt và các ảnh hưởng khác.

7.2 Tính bề rộng vết nứt.

Vết nứt xuất hiện trong kết cấu bê tông cốt thép do nhiều nguyên nhân: do co ngót của

bê tông, do sự thay đổi nhiệt độ và độ ẩm môi trường, hay do tải trọng và các tác động

khác, khi trong bê tông tồn tại ứng suất kéo vượt quá cường độ chịu kéo thì bê tông

bắt đầu bị nứt. Ở thời điểm mới nứt, vết nứt không nhìn thấy được bằng mắt thường,

cho đến khi bề rộng vết nứt khoảng 0.005mm. Vết nứt, ngoài những nhược điểm về

mỹ quan công trình và tâm lý người sử dụng, còn có thể gây thấm, ngăn cản bê tông

bảo vệ cốt thép khỏi ăn mòn dưới tác động của môi trường xâm thực.

Theo TCXDVN, về khả năng chống nứt của kết cấu hay của các bộ phận kết cấu được

phân thành ba cấp phụ thuộc điều kiện làm việc và loại cốt thép sử dụng:

Cấp 1: Không cho phép xuất hiện vết nứt,

Cấp 2: Cho phép có sử mở rộng ngắn hạn của vết nứt (khi kết cấu chụ tác dụng

đồng thời của tỉnh tải, hoạt tải dài hạn và ngắn hạn), nhưng với bề rộng hạn chế an1 và

phải đảm bảo sau đó vết nứt sẽ được khép kín lại.

Cấp 3: Cho phép có sự mở rộng ngắn hạn của vết nứt nhưng với bề rộng hạn chế

an1, và có sự mở rộng dài hạn của vết nứt ( Khi kết cấu chỉ chịu tác dụng của tỉnh tải

và hoạt tải dài hạn) nhưng với bề rộng hạn chế an2.

Qui định tải trọng sử dụng khi tính toán kết cấu BTCT theo điều kiện hình thành và

mở rộng vết nứt được qui định trong bảng 6.3.

Bảng 6.3: Tải trọng khi tính nứt(bảng 3 TCXDVN trang 14)

1

Giá trị tính

toán của tất

cả tĩnh tải và

hoạt tải

-

-

-

2

Giá trị tính

toán của tất


hoạt tải

Giá trị tiêu

chuẩn của tất


hoạt tải

-

Giá trị tiêu

chuẩn của tất


hoạt tải

Hình thành Cấp chống nứt

Mở rộng

ngắn hạn Mở rộng dài

hạn Khép kín

Điều kiện vết nứt



3

Giá trị tiêu

chuẩn của tất


hoạt tải

Giá trị tiêu

chuẩn của tất


hoạt tải

Giá trị tiêu

chuẩn của tất


hoạt tải

a. Tính toán cấu kiện theo sự hình thành vết nứt

Cấu kiện bê tông cốt thép cần được tính toán theo sự hình thành vết nứt thẳng góc và

vết nứt xiên với trục dọc cấu kiện. Đối với vết nứt thẳng góc, việc tính toán dựa trên

tiết diện ngay trước khi nứt (giai đoạn Ia) với các giả thiết sau

Tiết diện vẫn coi là phẳng sau khi bị

biến dạng

Độ giãn dài tương đôi lớn nhất của

thớ chịu kéo ngoài cùng là 2Rbt/Eb ( tức là

tính với =0.45)

Ứng suất bê tông trong vùng chịu nén

xem như có dạng tam giác với giá trị lớn nhất

ở thớ trên cùng là b

Ứng suất bê tông trong vùng chịu kéo

xem như phân bố đều và đạt đến cường độ Rbtn.

Điều kiện tính toán theo sự hình thành vết nứt thẳng góc là r btn nM R W

Trong đó Mr và Wn lấy theo chỉ dẫn ở các công thức phần 6.1

Đối với vết nứt xiên, cần kiểm tra ứng suất tại trọng tâm tiết diện qui đổi và ở các vị

trí tiếp giáp giữa cạnh chịu nén với sườn cấu kiện đối với tiết diện chử T và I, theo

điều kiện

4mt b btnR

Trong đó b4 = hệ số điều kiện làm việc của bê tông, tính théo

4

1

0.2 0.01

mc

bnb

R

B

mt, mc= ứng suất kéo chính và ứng suất nén chính trong bê tông, xác định như vật

thể đàn hồi; B= cấp độ bền chịu nén của bê tông(MPa) lấy tối thiểu là 30MPa.

b. Tính toán cấu kiện theo sự mở rộng vết nứt.

Tính toán theo sự mở rộng vết nứt cũng cần được thực hiện cho vết nứt thẳng góc và

vết nứt xiên với trục dọc cấu kiện.

M s<Rs

b<Rb

Rbtn

x

Iab

Rbtn



Đối với vết nứt thẳng góc, bề rộng vết nứt có thể tính qua điều kiện hình học: Độ

giãn dài của thớ bê tông ở nagng tầm cốt dọc cộng với bề rộng khe nứt bằng độ giãn

dài của cốt thép: s n bt nl a

Nếu bỏ qua độ giãn của bê tông chịu kéo, bt s nl và thay thế ss s

s sE E

thì bề

rộng vết nứt sẽ có dạng sn s n s n

s

a l lE

Theo TCXDVN, bề rộng vết nứt an, mm, được xác định theo công thức thực nghiệm

3(70 2000 )sn ck t s

s

a dE

Trong đó,

0

0.02sA

bh là hàm lượng cốt thép của tiết diện;

s và Es= ứng suất và mô đun đàn hồi của cốt thép chịu kéo tại tiết diện có vết nứt;

ck=1 đối với cấu kiện chịu uốn và nén lệch tâm, ck=1.2 đối với cấu kiện chịu kéo

t= hệ số xét đến tính chất tác dụng của tải trọng: t=1 đối với hoạt atir ngắn hạn

và tác dụng ngắn hạn của tỉnh tải và hoạt tải dài hạn, t=1.6 - 15 đối với tỉnh tải và

hoạt tải dài hạn trong điều kiện độ ẩm tự nhiên.

s=hệ số xét đến tính chất bề mặt cốt thép : s = 1 đối với cốt thép thanh có gân, s

= 1.3 đối với cốt thép thanh tròn trơn;

d=đường kính cốt dọc chịu kéo,mm, nếu cốt dọc gồm nhiều loại đường kính khác

nhau thì thính theo đường kính tương đương: 2

i i

i i

n dd

n d

Khi trên kết cấu có cả tải trọng tác dụng dài hạn và ngăn hạn (lưu ý hệ số t và ứng

suất s) thì bề rộng vết nứt toàn bộ được tính bằng tổng các bề rộng do tác dụng riêng

rẽ.

Đối với vết nứt xiên, bề rộng vết nứt khi dặt cốt thép đai vuông góc với trục dọc cấu

kiện cần được tính theo công thức

0.6

0.15 (1 2 )

sw w sn t

s w o b w

da

E d h E n

Trong đó, dw=đường kính cốt đai;

/ ( )w dA bs ; và sw=Ứng suất trong cốt thép đai.



c. Tính toán cấu kiện theo sự khép lại vết nứt.

Vết nứt thẳng góc và vết nứt xiên với trục dọc cấu kiện được đảm bảo khép lại một

cách chắc chắn khi tuân theo các điều kiện sau:

Đối với vết nứt thảng góc: Tiết diện có vết nứt cần phải luôn bị nén dưới tác dụng

dài hạn của tải trọng, và có ứng suất nén tại biên chịu kéo lớn hơn 0.5MPa.

Đối với vết nứt xiên: cả hai ứng suất chính trong bêtông ở trọng tâm tiết diện qui

đổi khi chịu tác dụng dài hạn của tải trọng phải là ứng suất nén và lớn hơn 0.6MPa.

Documents

Chương7