Chuyên Đề 1: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT I. Caùc kyù hieäu:

A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, C a, b, c : laø ñoä daøi caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc ñænh A, B, C ha, hb, hc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng cao haï töø caùc ñænh A, B, C ma, mb, mc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán keû töø A, B, C la, lb, lc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A, B, C R : laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC r : laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC p = (a+b+c) : laø nửa chu vi tam giaùc ABC S : laø dieän tích tam giaùc ABC

c

a

b

malaha

H D MB

A

C

II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng :Trong tam giaùc vuoâng ABC . Goïi b', c' laø ñoä daøi caùc hình chieáu caùc caïnh goùc vuoâng leân caïnh huyeàn ta coù caùc heä thöùc:

c b

a

h

c' b'H

A

B C

II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc thöôøng 1. Ñònh lyù haøm soá COÂSIN: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :

c b

a

A

B C

Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, bình phöông moãi caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh kia tröø ñi hai laàn tích hai caïnh aáy vôùi coâsin cuûa goùc xen giöõa chuùng.Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù :

, ,

2. Ñònh lyù haøm soá SIN: Trong tam giaùc ABC ta coù :

Heä quaû: Vôùi moïi tam giaùc ABC, ta coù:

c

a

bO

A

B C

Ghi nhôù:Trong moät tam giaùc, tyû soá giöõa moät caïnh cuûa tam giaùc vaø sin cuûa goùc ñoái dieän vôùi caïnh ñoù baèng ñöôøng kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.3. Ñònh lyù veà ñöôøng trung tuyeán: Trong tam giaùc ABC ta coù :

4. Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc:

Dieän tích tam giaùc ABC ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc sau:

c

a

b

ma

MB

A

C

c

a

bha

HB

A

C

B. BÀI TẬPDạng 1: Tính một số yếu tố trong tam giác theo một số yếu tố cho trước

1. Phương pháp:* Sử dụng trực tiếp định lí Cosin và định lí Sin* Chọn các hệ thức lượng thích hợp đối với tam giác để tính một số yếu tố cần thiết.

2. Bài tập Bài 1:Cho tam giác ABC có b = 7cm , c = 5cm và Cos A = 0,6.

a) Tính a, Sin A, diện tích của tam giác ABC.b) Tính đường cao ha xuất phát từ đỉnh A và kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Giải a) Theo định lí Cosin ta có:

.

Mặt khác vì Sin2A = 1 – Cos2A =

b) Từ .

Theo định lí Sin thì:

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 21cm, BC = 17cm , CA = 10cm.

a) Tính góc A =? b) Tính diện tích tam giác và chiều cao của ha

c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác.d) Tính độ dài đường trung tuyến ma phát xuất từ đỉnh A của tam giác.e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác.

Giải a) Tính góc A =?

Theo hệ quả của định lí Cosin ta có:

b) Ta có:

Theo công thức hê rông ta có:

Do đó:

c) Ta có S = p.r

d) Độ dài đường trung tuyến ma được tính theo công thức:

e) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác

Ta có:

Dạng 2: Giải tam giác

1. Phương pháp.Sử dụng các định lí Cosin, định lí Sin, định lí tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800, nếu là tam giác vuông thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác.

2. Bài tậpBài tập Giải tam giác biết

a) b = 14 ; c = 10 ; b) a = 4 ; b = 5 ; c = 7

Giải a) Ta có:

b)

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊBài 1: Cho tam giaùc ABC coù góc A =600, caïnh CA = 8, caïnh AB = 5 1.Tính caïnh BC

2.Tính dieän tích tam giaùc 3.Tính ñoä daøi ñöôøng cao AH4.Tính baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc

Bài 2: Cho tam giaùc ABC coù a = 13 ; b = 14 ; c = 15 1.Tính dieän tích tam giaùc ABC 2.Tính baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r vaø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R

3.Tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán ma

Bài 3: Cho tam giác ABC có a = 3 ; b = 4 và góc C = 600; Tính các góc A, B, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và trung tuyến ma.

Chuyên đề 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. Vec tơ chỉ phương – vec tơ pháp tuyến của đường thẳng 1) Vec tơ pháp tuyến: Vec tơ được gọi là vec tơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng

nếu nó có giá vuông góc với đường thẳng . 2) Vec tơ chỉ phương: Vec tơ được gọi là vec tơ chỉ phương ( vtcp) của đường thẳng

nếu nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng .* Chú ý - Nếu là vec tơ pháp tuyến và chỉ phương của đường thẳng thì các vec tơ

cũng đồng thời là vec tơ pháp tuyến, vec tơ chỉ phương của đường thẳng . - Nếu là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng thì có các vec tơ chỉ phương là:

hoặc . - Nếu là vec tơ chỉ phương của đường thẳng thì đường thẳng có vec tơ pháp tuyến hoặc .

II. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua và có vec tơ pháp tuyến là . Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng được cho bởi công thức:

(1). ( )

III. Phương trình tham số của đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua và có vec tơ chỉ phương là:

.Khi đó phương trình tham số của đường thẳng được cho bởi công thức:

(2) . ( )

* Chú ý: - Nếu đường thẳng có hệ số góc k thì vec tơ chỉ phương của là - Nếu đường thẳng có vec tơ chỉ phương là với thì có hệ số

góc là: .

IV. Chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số 1. Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì . Từ đó đường thẳng có vtcp là hoặc . Cho thay vào phương trình (2) Khi đó ptts của là:

( ).

2. Nếu đường thẳng có phương trình dạng (2) thì có vtcp là . Từ đó đường thẳng có vtpt là hoặc . Và phương trình tổng quát của đường thẳng được xác định bởi : .* Chú ý : - Nếu thì pttq của là : . - Nếu thì pttq của là :

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua và có một vtcp ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng trong c¸c trêng hîp sau :

a. §i qua vµ cã mét vtcp .b. §i qua hai ®iÓm vµ c. §i qua vµ

d. §i qua vµ .Giảia) Đi qua M (1 ; -2) và có một vtcp là

Vì đường thẳng đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là nên phương trình tham số của đường thẳng là :

b) Đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4)Vì đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) nên có vec tơ chỉ phương Phương trình tham số của là:

c) Đi qua M (3 ;2) và Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là : . Vì song song với d nên nhận vec tơ làm vec tơ chỉ phương. Hay , đi qua M(3 ; 2) vì vậy có phương trình đường thẳng là:

d) §i qua vµ .Đường thẳng d : 2x – 5y + 3 = 0 d có vec tơ pháp tuyến là .Vì vuông góc với đường thẳng d nên nhân vec tơ pháp tuyến của d là vec tơ chỉ phương. Vì vậy vtcp của là . đi qua M(2 ; -3) nên phương trình đường thẳng là :

Dạng 2 : ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua vµ cã mét vtpt . ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng trong c¸c trêng hîp sau :

a. §i qua vµ cã mét vtpt .b. §i qua vµ

c. §i qua vµ .Giảia) Đi qua M(1;2) và có một vtpt là Vì đường thẳng đi qua M (1 ;2) và có vtpt là nên phương trình tham số của đường thẳng là : 2(x – 1) – 3(y – 2) = 0 2x – 3y + 4 = 0

b) Đi qua A(3 ; 2) và // d : 2x – y – 1 = 0đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 có vtpt là .Dường thẳng song song với đường thẳng d nên nhận làm vec tơ pháp tuyến. Vì đi qua A(3; 2) và có vtpt là nên có phương trình là: 2(x – 3) – (y – 2) = 0 2x – y – 4 = 0

c) Đi qua B(4 ;-3) và

Đường thẳng d có vtcp là . Vì vuông góc với d nên nhận vtcp của d làm vtpt . Đường thẳng đi qua B(4 ;-3) và có vtpt nên có phương trình tổng quát là: 2(x – 4) – (y + 3) = 0 2x – y – 11 = 0

Dạng 3 : ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua vµ cã hÖ sè gãc k cho tríc.

- Nếu đường thẳng có hệ số góc k thì vec tơ chỉ phương của là - Kết hợp giả thiết đi qua M(x0 ; y0)

Bài tập 1 ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng trong c¸c trêng hîp sau :

a. §i qua vµ cã hÖ sè gãc . b. §i qua vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc gãc Giải

a) §i qua vµ cã hÖ sè gãc . có hệ số góc k = 3 nên có vtcp là: . đi qua M(-1 ; 2) và có vtcp là nên có phương trình là:

b) Đi qua A(3 ;2) và tạo với chiều dương trục ox góc 450 Giả sử đường thẳng có hệ số góc k, như vậy k được cho bởi công thức k = tan với k = tan 450 k = 1Đường thẳng hệ số góc k = 1 vậy thì vtcp của là , đi qua A(3;2) nên có phương trình là :

Bài tập 2:Cho tam giaùc ABC, vôùi A(1; 4); B(3; - 1); C(6; 2). Haõy vieát phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng cao AH, vaø trung tuyeán AM cuûa tam giaùc ABC.

Giải + Ta coù: AH BC nên AH nhận vec tơ = (3; 3) laø vecto phaùp tuyeán cuûa AH.ẠH đi qua A(1 ; 4) và nhận = (3; 3) làm vtpt nên Phöông trình toång quaùt cuûa (AH) laø: 3(x - 1) + 3(y - 4) = 0 3x + 3y - 15 = 0.

+ Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC, ta coù:

Vậy là vec tơ chỉ phương của đường thẳng AM.

Đường thẳng AM đi qua A(1 ; 4) và vtcp nên AM có phương trình:

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng trong c¸c trêng hîp sau : a. §i qua vµ ; vµ ; b. §i qua vµ cã vtcp , nÕu : + vµ . + vµ . c. §i qua vµ . d. §i qua vµ . e. §i qua vµ víi : + Trôc . + Trôc f. §i qua vµ cã hÖ sè gãc . g. §i qua vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc gãc .Bài 2: ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh biÕt : a. b. Trung ®iÓm c¸c c¹nh lµ :

Chuyên đề 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. Bµi to¸n: Trong mÆt ph¼ng cho hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh

Hái: Hai ®êng th¼ng trªn c¾t nhau, song song hay trïng nhau ? Tr¶ lêi c©u hái trªn chÝnh lµ bµi to¸n xÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng.

II. Ph¬ng ph¸p.1. C¸ch 1:

NÕu th× hai ®êng th¼ng c¾t nhau.

NÕu th× hai ®êng th¼ng song song nhau.

NÕu th× hai ®êng th¼ng trïng nhau.

2. C¸ch 2:

XÐt hÖ ph¬ng tr×nh (1) NÕu hÖ (1) cã mét nghiÖm th× hai ®êng th¼ng c¾t nhau vµ to¹ ®é giao ®iÓm lµ nghiÖm cña hÖ. NÕu hÖ (1) v« nghiÖm th× hai ®êng th¼ng song song nhau. NÕu hÖ (1) nghiÖm ®óng víi mäi th× hai ®êng th¼ng trïng nhau.

* Chó ý: NÕu bµi to¸n kh«ng quan t©m ®Õn to¹ ®é giao ®iÓm, ta nªn dïng c¸ch 1.

B. BÀI TẬP

Bài tập 1: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi c¸c cÆp ®êng th¼ng sau vµ t×m to¹ ®é giao ®iÓm trong trêng hîp c¾t nhau: a) . b) c)

Giải a) số giao điểm của chính là số nghiệm của hệ phương trình: Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1).Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm, tọa độ giao điểm là (x , y) = (1 ; 1).

b) Từ phương trình đường thẳng ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào ta được2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0 10 – 8t + 8t = 0 10 = 0 (vô lí) hai đường thẳng này không có điểm chung.Vậy hai đường thẳng song song với nhau.

c)

Đường thẳng có vtcp là nên có vtpt là . đi qua điểm có tọa độ (-6 ; 6) nên có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0 4x + 5y – 6 = 0. Số giao điểm của chính là số nghiệm của hệ phương trình: Hệ này có vố số nghiệm nên trùng nhau.(Chú ý: bài toán này yêu cầu phải tìm tọa độ giao điểm nên ta dùng cách 2. Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng thì ta nên dùng cách 1)

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi c¸c cÆp ®êng th¼ng sau vµ t×m to¹ ®é giao ®iÓm trong trêng hîp c¾t nhau: a) . b) c)

Chuyên đề 4: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

I. §Þnh nghÜa: Gi¶ sö hai ®êng th¼ng c¾t nhau. Khi ®ã gãc gi÷a lµ gãc nhän vµ ®îc kÝ hiÖu lµ: .* §Æc biÖt: - NÕu th× . - NÕu th× hoÆc .

II. C«ng thøc x¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®êng th¼ng trong mÆt ph¼ng to¹ ®é. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é , gi¶ sö ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh

Khi ®ã gãc gi÷a hai ®êng th¼ng ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:

Chú ý: - - Nếu có phương trình y = k1x+m1 và y = k2x + m2 thì

BÀI TẬPBài tập 1 X¸c ®Þnh gãc gi÷a hai ®êng th¼ng a) b) c) d1: x – 2y + 5 = 0 d2: 3x – y = 0.

Giải a)

ta có:

với a1 = 4 ; b1 = -2 ; a2 = 1 ; b2 = -3 Vậy

b) Đường thẳng có vtcp là vì vậy vtpt của là Đường thẳng có vtpt là .Vậy

c) d1: x – 2y + 5 = 0 d2: 3x – y = 0.Ta có:

Vậy góc giữa d1 và d2 = 45o

Bài tập 2:Chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau: a) b)

Giảia)

Đường thẳng có vtcp là vì vậy vtpt của là Đường thẳng có vtpt là .Vì vậy

Vậy hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng : 2y +6x – 4 = 0 y = -3x + 2. có hệ số góc k2 = -3 Đường thẳng có hệ số góc k1 = 3. k1.k2 = 3.(-3)= 0 vuông góc với nhau

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1: X¸c ®Þnh gãc gi÷a c¸c cÆp ®êng th¼ng sau a) b) c) Bài tập 2: Các cặp đường thẳng sau có vuông góc với nhau không? a) 2x - y - 3 = 0. và 2x + y - 4 = 0 b) và 4x + 6y - 6 = 0

Chuyên đề 5: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0(x0; y0). Khoảng từ điểm M0 đến đường thẳng , kí hiệu là d(M0, ), được tính bởi công thức

Bài tập 1:Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau:

a) A(3 ; 5) và : 4x + 3y + 1 = 0b) B(1 ; 2) và : 3x – 4y + 1 = 0

Giải :

a) Ta có:

b)

Bài tập 2:Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:

a) A(4 ; -2) và đường thẳng d: b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:

Giải a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:

Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là vì vậy vtpt của d là

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 0 2x +2y - 6 = 0Ta có:

b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’: Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là vì vậy vtpt của d là

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0 -x + 3y +1 = 0Ta có:

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1Tính bán kính đường tròn tâm I( 1 ; 5) và tiếp xúc với đường thẳng d: 4x -3y +1 = 0

Bài tập 2Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: A(4 ; 6) ; B(1 ; 4) : C(7 ; 2) Hãy tính khoang cách từ các đỉnh đến các cạnh đối diện tương ứng.

Chuyên đề 6: ĐƯỜNG TRÒN

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Phương tr×nh chÝnh tắc.

Trong mặt phẳng cho đường trßn t©m b¸n kÝnh . Khi đã phương tr×nh chÝnh tắc của đường trßn à :

2. Phương tr×nh tæng qu¸t.

Phương tr×nh cã dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 Với c = a2+b2 - R2. *a2 + b2 > c. Khi ®ã t©m I(a ; b), B¸n kÝnh .

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M(x0 ; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a ; b). Gọi d là tiếp tiếp của (C) tại M, vậy thì d có phương trình là: (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn.

1. Phương pháp: Cách 1: Đưa phương trình về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 (1) - Xét dấu biểu thức m = a2 + b2 – c Nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a , b) bán kính

Cách 2: - Đưa phương trình về dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = m (2) - nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính

2.Bài tập Bài tập 1Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Hãy tìm tâm và bán kính nếu có:

a) x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0 b) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0c) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0

Giải a) x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0 (1)

(1) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 trong đó a = 3 ; b = -4 , c = 100

Xét biểu thức m = a2 + b2 – c = 32 + (-4)2 – 100 = 9 + 16 – 100 = 75 < 0Vậy phương trình (1) không phải là phương trình của đường tròn.

b) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0 (2)(2) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 trong đó a = -2 ; b = 3 , c = -12 Xét biểu thức m = a2 + b2 – c = (-2)2 + (3)2 +12 = 4 + 9+12 = 25 > 0 phương trình (2) là phương trình đường tròn tâm I(-2 ; 3) và có bán kính

c) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0 (3) Ta có: 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - 2 = 0 x2 + y2 – 2x + 4y - 1 = 0. Phương trình này có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c trong đó a = 1 ; b = -2 . Xét biểu thức m= a2 + b2 – c = 12 + (-2)2 +1 = 6 > 0. Phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(1 ; -2) và có bán kính

Bài tập 2Cho phương trình x2 + y2 – 2mx +4my + 6m -1 = 0 (1) Với giá trị nào của m thì phương trình trên là đường tròn?

Giải Phương trình (1) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 với a = m ; b = -2m ; c = 6m – 1.(1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi m = a2 + b2 – c > 0. Với a2 + b2 – c > 0 m2 +(-2m)2 – 6m + 1> 0 5m2 – 6m + 1 > 0

Dạng 2: Lập phương trình của đường tròn

1. Phương phápCách 1:

- Tìm tọa độ tâm I(a ; b) của đường tròn (C)- Tìm bán kính R của (C)- Viết phương trình đường tròn theo dạng (x – a)2 + (y – b)2 = R2

* Chú ý- (C) đi qua A , B IA2 = IB2 = R2

- (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng m tại A IA = d(I ; m)- (C) tiếp xúc với hai đường thẳng m1 và m2 d(I ; m1) = d(I ; m2) = R

Cách 2   - Gọi phương trình của đường tròn là x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 (2)- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c- Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn

2. Bài tậpBài tập 1Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :

a. (C) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng m : x – 2y + 7 = 0b. (C) có đường kính là AB với A( 1 ; 1) , B(7 ; 5).

Giải

a) Ta có :

Đường tròn (C) có tâm I(-1 ; 2) có bán kính R = nên phương trình đường tròn là:

(x + 1)2 + (y – 2)2 =

b) Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của AB

ta có:

Vì vậy Vậy phương trình đường tròn là: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13

Bài tập 2Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1 ;2) ; B(5 ; 2) ; C(1 ;-3)

Giải Xét đường tròn (C) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by +c = 0 (C) đi qua A ,B, C khi và chỉ khi A, B, C thỏa mãn phương trình đường tròn, tức là : Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A , B, C là: x2 + y2 - 6x + y – 1 = 0 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến.

1. Phương pháp* Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại M(x0 ; y0) thuộc đường tròn (C).- tìm tọa độ tâm I(a ; b) của (C).- Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0 ; y0) có dạng (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0

*Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) khi chưa biết tọa độ tiếp điểm:- dùng điều kiện tiếp xác để xác định d: d tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R d(I,d) =R

2. Bài tậpBài tập 1Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn

(C) : (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25 Tại điểm M(4 ; 2) thuộc đường tròn (C)

Giải Đường tròn (C) có tâm là I (1 ; -2). Vậy phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M(4 ; 2) có dạng: (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0 (4 – 1)(x – 4) + (2 + 2)(y – 2) = 0 3x + 4y – 20 = 0

Bài tập 2Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x – 2y = 0Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(3 ;-2)

Giải Phương trình đường thẳng d đi qua A(3 ;-2) có dạng y + 2 = k(x – 3) kx – y – 2 -3k = 0Đường tròn (C) có tâm I(2 ; 1) và có bán kính d tiếp xúc với (C)

d(I, d) =

Vậy có hai tiếp tuyến với (C) được kẻ từ A là: d1: 2x – y – 8 = 0 d2: x + 2y + 1 = 0 C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.

Bài tập 1Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Hãy tìm tâm và bán kính nếu có: a. . b. . c. . d.

Bài tập 2Tìm m để phương trình sau là phương trình của đường tròn a. b. c.

Bài tập 3Viết phương trình đường tròn biết đường tròn đi qua 3 điểm a. .

b. .

Bài tập 4Viết phương trình đường tròn biết đường tròn đi qua 3 điểm

a. Đi qua gốc tọa độ và có bán kính R = 3b. Tiếp xúc với Ox tại (5 ; 0) và có R = 3c. Có tâm là I(2 ;3) và R = 3d. Có tâm là I(2 ;3) và tiếp xúc với e. Có đường kính là AB với f. Haõy vieát phöông trình ñöôøng troøn ñi qua ba ñieåm: M(0; 1), N(4;

1) vaø P(0; - 4)g. Đi qua và có tâm thuộc đường thẳng

Bài tập 5Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong các trường hợp saua. b. c. d. e. f.

Bài tập 6 Haõy vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (C):a) Bieát: (C): (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9, vaø tieáp ñieåm M0 coù toïa ñoä: (2; 2)b) Bieát: (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 10, vaø tieáp tuyeán (t) song song vôùi ñöôøng thaúng (d): 3x - y + 9 = 0

Chuyên đề 6: E LIP

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Phương trình chính tắc của Elip (E) là:

.

2. Các thành phần của Elip (E) là:* Hai tiêu điểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0).* Bốn đỉnh: A1 (-a ; 0 ) ; A2 (a ; 0 ) B1 (0; -b ) ; B2 (0 ; b ) * Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a

* Độ dài trục bé: B1B2 = 2b* Tiêu cự: F1F2 = 2c.

3. Hình dạng Elip (E) - E có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đố xứng là gốc tọa độ- Mọi điểm của Elip (E) đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b gới hạn bởi các đường thẳng . Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cấp cơ sở của Elip (E).

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Lập phương trình chính tắc của một (E) khi biết các thành phần đủ để xác định Elip đó

1. Phương pháp- Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của E đó.

- Lập PTCT theo công thức: (E) :

- Ta có các hệ thức: * 0 < b < a* c2 = a2 – b2 * Tiêu cự: F1F2 = 2c* Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a* Độ dài trục bé: B1B2 = 2b* - Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của E* Hai tiêu điểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0).* Hai đỉnh trên trục lớn: A1 (-a ; 0 ) ; A2 (a ; 0 ) * Hai đỉnh trên trục nhỏ: B1 (0; -b ) ; B2 (0 ; b )

2. Bài tập

Bài tập 1: Lập PTCT của Elip trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

b) Một tiêu điểm và điểm nằm trên Elip

c) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và mọt tiêu điểm là (-2 ; 0)

d) Elip đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N

Giải a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

Ta có độ dài trục lớn bằng 10 nên 2a = 10 a = 5 ; Tiêu cự bằng 6 nên 2c = 6 c = 3

Với b2 = a2 – c2 = 25 – 9 = 16 . Từ đây ta có phương trình chính tắc của elip là:

b) Một tiêu điểm và điểm nằm trên Elip

Phương trình chính tắc của (E) có dạng

Vì (E) có một tiêu điểm .

Điểm nằm trên (E) nên

Với a2 = b2 + c2 = b2 +3 thế vào (1) ta có:

Vậy phương trình chính tắc là

c) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và một tiêu điểm là (-2 ; 0)Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) nên ta có a = 3Một tiêu điểm là (-2 ; 0) nên c = 2. Suy ra b2 = a2 – c2 = 32 – 22 = 9 – 4 = 5

Vậy phương trình chính tắc là

d) Elip đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N

Phương trình chính tắc của (E) có dạng

Vì E đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N nên thay tọa độ hai điểm M và N vào

phương trình E ta được:

Vậy phương trình chính tắc là .

Dạng 2: Xác định thành phần Elip khi biết PTCT của E đó.

1. Phương pháp

Các thành phần của E : là:

* Tiêu cự: F1F2 = 2c* Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a* Độ dài trục bé: B1B2 = 2b* - Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của E* Hai tiêu điểm: F1(-c ; 0) ; F2(c ; 0).

* Hai đỉnh trên trục lớn: A1 (-a ; 0 ) ; A2 (a ; 0 ) * Hai đỉnh trên trục nhỏ: B1 (0; -b ) ; B2 (0 ; b )

* Tỉ số:

* Phương trình đường thẳng chứa cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:

2. Bài tập

Cho E có phương trình:

Xác định độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh

Giải

Phương trình chính tắc của (E) có dạng vì vậy ta có:

Vậy (E) có: - Trục lớn A1A2 = 2a = 10 - Trục nhỏ: B1B2 = 2b = 6 - Hai tiêu điểm: F1(-4 ; 0) ; F2(4 ; 0). - Bốn đỉnh: A1 (-5 ; 0 ) ; A2 (5 ; 0 ) B1 (0; -3 ) ; B2 (0 ; 3 )

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : .

a/ Tìm tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip . b/ Xác định độ dài các trục và tiêu cự.

Bài 2: Trong mp với hệ tọa độ 0xy cho elip (E) : x2 + 4y2 = 4 a/ Tìm tọa độ các đỉnh , tọa độ các tiêu điểm và tính tâm sai của elip b/ Xác định độ dài các trục và tiêu cự.

Bài 3: Viết phương trình chính tắc trong các trường hợp sau: a/ Khoảng cách giữa các đường chuẩn là 36 và bán kính qua tiêu điểm của điểm M thuộc (E) là 9 và 15

b/ (E) đi qua điểm M (2; ) và 1 tiêu điểm F1 ( -2; 0).

c/ Biết (E) đi M ( 2; - ) và N ( - ; 1) d/ (E) có độ dài trục lớn bằng 2 và tiêu cự bằng 2.